4.1.2圆的一般方程课件

r = 1 D2 + E2 - 4F

-
D 2
，-
E 2

为半径为
2
配方
2.一般方程
标准方程
展开
3.方程形式的选用： ①若知道或涉及圆心和半径, 采用圆的标准方程 ②若已知三点求圆的方程, 采用圆的一般方程求解.
作业 A组1、6，B组1、2、3
x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
由于a,b,r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E,a2 + b2 - r 2 = F
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
探究
是不是任何一个形如 x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 - a)2 + (1- b)2 = r 2 a = 2 (7 - a)2 + (-3 - b)2 = r 2 b = -3 (2 - a)2 + (-8 - b)2 = r 2 r = 5
所求圆的方程为
(x - 2)2 + (y + 3)2 = 25
( x + D )2 + ( y + E )2 = D2 + E2 - 4F
2
2
4
(1)
当D2+E2-4F>0时,表示以（
-
D 2
,-
E 2
）
为圆心，以( 1 D2 + E2 - 4F ) 为半径的圆.
2
(2) 当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解x=-D/2
y=-E/2，表示一个点（
-
D 2
,-
.
（-1，0）O
.
A(3,0)
x
所以所求的曲线是以C（-1，0）为圆心，2为半径的圆（如图）
2.已知P(2,0),Q(8,0)，点M到点P的距离是它到点Q的距离 的1/5，求M的轨迹方程，并求轨迹上的点到直线l:8x-y-1=0 的最小距离
3.已知P(x,y)为圆x2+y2-6x-4y+12=0上的点 (1)求 y 的最小值
方法一：待定系数法 解：设所求圆的方程为：
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0(D2 + E2 - 4F 0)
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 +12 + 5D + E + F = 0

72
+
(-1)2
+
7D
-
E
+
F
=
0
22 + 82 + 2D + 8E + F = 0
（2） 4x2 + 4 y2 - 4x +12 y +11 = 0
（3） x2 + y2 - 2ax - b2 = 0
练习
1. 已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),
半径为4,则D,E,F分别等于
D
( A)4,-6,3 (B) - 4,6,3 (C) - 4,6,-3 (D)4,-6,-3
x (2)求x2+y2的最大值与最小值
4.已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问：是否存在斜率为1的直线 使l被圆C截得得弦AB为直径的圆过原点，若存在，写出 直线方程
课堂小结
1.任何一个圆的方程可以写成x2 +y2+Dx+Ey+F=0
（1）的形式，但方程（1）表示的不一定是圆，只
有D2+E2-4F>0时，方程表示圆心
所求圆的方程为
D = -4


E
=
6
F = 12
x2 + y2 - 4x + 6 y +12 = 0 待定系数法
即 (x - 2)2 + (y + 3)2 = 25
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 方法二：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
(x - a)2 + (y - b)2 = r2(r 0)
x (2)求x2+y2的最大值与最小值
1.若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么 y 的最大值 x
2.已知P(2,0),Q(8,0)，点M到点P的距离是它到点Q的距离 的1/5，求M的轨迹方程，并求轨迹上的点到直线l:8x-y-1=0 的最小距离
3.已知P(x,y)为圆x2+y2-6x-4y+12=0上的点 (1)求 y 的最小值
圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
M(x,y) OC
复习 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2
特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
把圆的 标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
2. x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的方程的充要条件是
( A)a 1 2
(B)a 1 2
(C )a
=
1 2
(D)a 1 2
D
3. 圆x2+y2+8x-10y+F=0 与x轴相切,则这个圆截y
轴所得的弦长是
A
( A)6
(B)5
(C )4
( D)3
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
即:

x0 y0
= =
2 2
x y
-
4 3
因为点A在圆上运动,所以A的坐标满足圆的
方程,即: ( x0 + 1)2 + y02 = 4
(2x - 4 + 1)2 + (2 y - 3)2 = 4
( x - 3)2 + ( y - 3)2 = 1
2
2
点M的轨迹方程
相关点法步骤：
1设被动点M（x,y）,主动点Q（x0,y0） I
E 2
）.
( x + D )2 + ( y + E )2 = D2 + E2 - 4F
2
2
4
(3) 当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所 以不表示任何图形.
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
1.圆的一般方程: x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）
相关点法
例2:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端
点A在圆( x + 1)2 + y2 = 4上运动,求线段
AB的中点M的轨迹方程. 解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是( x0 , y0 ) .
由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点,
所以 x = x0 + 4 2
y=
y0 + 3 2
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
方法三： 几何方法
y
A(5,1)
O
x
E
B(7,-3)
C(2,-8)
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
例2、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在 圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程，

2
求出点M与点Q坐标间的关系
x y
= =
f1 f2
x0, x0,
y0 y0
（II）
3
从

I中解出

x0 y0
= =
g1 g2
x, x,
y y
4 将（II）代入主动点Q的轨迹方程（已知曲线的方程），
化简得被动点的轨迹方程。
例题3 已知一曲线与两个定点O（0，0）,A(3,0)距离
方程表示的曲线是圆呢？
尝试1： 判断下列方程分别表示什么图形
（1）x2+y2-2x+4y-4=0 （2）x2+y2-2x+4y+5=0
方程（1）并不一 定表示圆
（3）x2+y2-2x+4y+6=0
（1）圆 圆心为（1，-2），半径为3 （2）点（1，-2） （3）不表示任何图形
动动脑
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 配方可得：
之比为1 : 2.求此曲线的方程，并画出该曲线.
解：设M（x，y）是曲线上的任意一点,
则点M所属集合为：
y
P = M OM = 1 AM 2
M. (x,y)
x2 + y2
1
即：
(x - 3)2 + y2
= 2
整理化简得： x2 + y2 + 2x - 3 = 0 配方得： (x +1)2 + y2 = 4
2.圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=
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-
D 2
，b= -
E 2
，r=
1 2
D2 + E2 -4F
（2）标准方程易于看出圆心与半径
一般方程突出形式上的特点：
x2与y2系数相同并且不等于0；
没有xy这样的二次项
应用 1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是， 请求出圆的圆心及半径。