归纳与演绎

第13章归纳与演绎

13．1 归纳与演绎方法概述

在人类认识客观世界的发展历程中，归纳和演绎作为两科t重要的思维方法，

曾经起着还必将继续发挥巨大的功能和作用。占希腊时期，人们习惯于从某些原理原则出发，采用演绎的方法来说明问题，伟大的思想家亚里士多德总结当时人们思维的成果，对演绎进行充分的研究，写fqJ《工具论》一书，奠定了他作为逻辑学创始人的地位。

到了十七世纪，生产力的发展和科学技术的进步，使人们注意实践和经验的

总结。英圈唯物主义哲学家培根适应时代的要求，总结经验科学的成果，较全面地研究并提倡归纳法，强调经验在认识中的作用，与《工具论》相对立而写出《新工具》一书。他在书中写道：“寻求和发现真理的道路……是从感觉与特殊事物把公理引伸出来，然后不断地逐步上升，最后才‟达到最普遍的公理。”

在逻辑科学发展过程中，早期形成的纯演绎派和完全归纳派都曾经片面夸大

各自的作用，把归纳和演绎看成是互相割裂、绝对对立的思想方法。因此，恩格

斯特别指出：“归纳和演绎，正如分析和综合一样，是必然相互联系的。不应当牺

牲一个而把另一个捧到天上去，应该把每一个都用到该用的地方，而要做到这一一点，就只有注意它们的相互联系，它们的相互补充。”

一般说来，人们认识现实越界的事物，有时候是由认识个别的和特殊的事物，

进而认识一般的事物；有时候又由认识一般的事物过渡到认识特殊的和个别的事物。前者我们称为归纳，后者称为演绎。这是人类认识运动的两种方向相反的思

维过程。比如人们在对许多个别的三角形的三个角进行度量和计算后，发现三个

角的和都等于180。，通过归纳就会得到一个一般性认识：“三角形的三个内角和

等于180一‟。有了这个一般性认识，当人们要认识某一特殊的比如等腰直角三角

形的一个锐角是多少度时，我们就可芝t由这个一般的认识通过演绎而得到如下特

殊的和个别的认识：等腰直角三角形的锐角等于45。。由此我们还看到，归纳和

演绎决不是互相割裂和绝对对立的。它们虽然是互相区别、彼此对立的，然而它

们又相互联系、相互依存，在一定条件下互相转化。这就是说，在人们的认识过

程中，由个别、特殊到一般和由一般到特殊、个别，总是交错进行着的，认识的

上升运动，既不是单纯的归纳，也不是单纯的演绎。归纳帮助我们把对于许多个

别事物的特殊属性的认识发展为对于一类事物的共同属性的认识。演绎把我们从

归纳得出的一般结论作为根据，继续研究那些尚未深入研究或者新出现的个别事

物和其他特性，而这一研究也为进一步的归纳准备条件。因此，归纳为演绎提供

了作为前提的基础，而演绎又指导着并进一步深化着归纳的进行。归纳和演绎就

是这样密切的联系着和相互依赖着，互为条件和互相渗透着。

在认识事物的过程中，应用归纳和演绎这两种思维方法进行推理，所表现出来

的思维形式，我们分别称为归纳推理和演绎推理，也常称为归纳法和演绎法，下面

我们将分别阐述。

13．2 归纳方法

13．2．1 归纳推理及其分类

归纳推理是以某些个别的和特殊的判断为前提，推出一个作为结论的一般性

判断的推理形式。

例1 三角形三内角和等于多少?

(i)单称判断(个别的判断)

锐角三角形三内角和等于180。，

直角三角形三内角和等于180。，

钝角三角形三内角和等于180。。

(ii)特称判断(特殊的判断)

锐角三角形、直角三角形、钝角三角形构成三角形全体。

(iii)全称判断(一般的判断)

三角形内角和等于180。

例2考察由下列公式给出的数的性质。

／‟(聆)=即。一胛+41(刀∈Ⅳ)

设胛=1，厂(1)=41(质数)

设胛=2，厂(2)=43(质数)

设胛=3，厂(3)=47(质数)

结论：由厂(行)="。一船+4l(，z∈Ⅳ)给出的数是质数。

例1说明归纳是推理的一种特殊形式；例2则说明归纳常常需要通过试验和

观察来得到一些个别的和特殊的判断，以作为归纳的前提。因此，试验与观察是

归纳的基础，而归纳则成为人们探索和发现真理的主要工具。

对于归纳(以及类比)推理在从事数学创造性科学研究活动过程中的作用，

我国数学家徐利治用图13．1作出很好的阐述。比如被誉为数学皇冠上的明珠的哥德巴赫猜想的提出和证明就经历了这么一个过程：

1742年，德国数学家哥德巴赫根据对某些大奇数的分解式的考察，如

15。3+5+7，21=3+7+ll，77=7+17+53，46l=5+7+449，……，通过思考、分析而归纳得到一个猜想：任何大于5的奇数都可以分解为三个质数之和。他把这个猜想

告诉瑞士数学家欧拉，欧拉在肯定他的猜想的同时，进行新的试验和观察，经过

分析而归纳出一个更简明的命题：任何大于2的大偶数都可以表示为两个质数之和。比如4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=3+7，……，这个命题可以推出前一个命题，然而它们还只是根据有限个个别的试验和判断所归纳得到的命题，还没有经过严

格的证明，还只能称为猜想。这个猜想被简记为：大偶数=(1+】)。它吸引了许多数学家的注意，从哥德巴赫和欧拉开始至今，许多数学家前赴后继，努力攻克这

一世界性的数学难题，但遇到的困难仍很大。我国数学家陈景润于1973年证明了“每一个充分大的偶数都可以表示为二个质数及不超过两个质数乘积之和。”简记为：大偶数=(1+2)。他的研究成果是目前世界上攻克这一难题的最好成果，它距

离摘取教学皇冠上的这颗明珠还有非常艰难的一步之遥，而在还没有得到完全的

证明之前，这个命题还只能称作猜想。

为了对归纳推理进行较深入的研究，我们根据归纳过程中的特点，即根据归

纳的前提是考察了一类对象的全体，还是仅仅考察它的部分，把它分为完全归纳

法和不完全归纳法。

13．2．2不完全归纳法

不完全归纳法是以某类对象中个别的或特殊的部分对象具有(或不具有)某种

属性为前提，推出该类事物具有(或不具有)该属性的一般结论的推理方法。

例3考察相邻两个奇数(偶数)的乘积与它们中问的数的关系。

1×3=3(比2。少1)

2×4=3 (比3。少1)

3×5=15 (比4。少1)

4×6=24 (比5。少1)

结论：相邻两个奇数(偶数)的乘积比它们中间的数的平方少1。