数学建模(微积分)二

（3）
则与不允许缺货的贮存模型相比有
T T
Q Q
即允许缺货时订货周期应增大，而订货批量应减 少，当缺货费c3越大时，T´和Q´就越接近T，Q。分析 知，缺货造成的损失越大时，越不允许缺货。
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屋檐水槽的模型
背景知识
房屋管理部门想在房顶的边缘安装一个檐槽,其 目的是为了雨天出入方便,简单来说,从屋脊到屋檐的 房顶可以看成是一个12米长,6米宽的矩形平面,房顶与 水平方向的锓倾斜角度要视具体的房屋而定,一般来说, 这个角度通常在200—500之间。 现在一个公司想承接这项业务，他们允诺：提供 一种新型的可持久的檐槽，它包括一个横截面为半圆 形（半径为7.5厘米）的水槽和一个竖直的排水管（直 径为10厘米），并且不管天气情况如何，这种檐槽都 能排掉房顶的雨水。
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模型 假设
为了叙述方便，设时间以天为单位，货物以吨 为单位，每隔T天订一次货（T称为订货周期）。 订货量为Q吨。
订货费、贮存费及单位时间需求量均为已知常数。 模型要以总费用为目标函数确定订货周期T和订货 量的最优值。假设条件可归纳如下： （1）、每次订货费为c1,每天每吨货物贮存费为c2； （2）、每天的货物需求量为r吨； （3）、每T天订货Q吨，当贮存量降为零时，订货立 即到达。
变
变 参 常
量
量 数 数
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模型建立
根据速度平衡原理，对于房顶排水系统有： 雨 水槽中水的容量的变化率= 水 水流 b 雨水的流入速度-排水管流出的速度 即 V (t ) Q1 Q0 分析知，雨水流入水槽的速度为： Q1 r (t )bd cos sin 同理容易写出，槽中水的体积为： 0 a 2 a sin 2 2 P V (t ) (a )d
（3）
C C 利用微分法，令 0, 0，可以求出T，Q的最优值 T Q
分别记作T ´，Q´，有
T 2c1 c 2 c3 rc 2 c3 Q c3 2rc1 c 2 c 2 c3
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若记
c2 c3 c3 ( 1)
即假设条件改为：
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模型假设
（1）、每次订货费为c1,每天每吨货物贮存费为c2；
（2）、每天的货物需求量为r吨；
（3）´每隔T天订货Q吨，允许缺货，每天每吨货 物缺货费为c3 q
模型建立
Q A r T 图2 t
缺货时贮存量q视作负值， q(t)如图2所示；货物在t=T1 0 B 时售完，有一段时间缺货 （这时需求量仍为r，在t=T 时下一次订货量Q到达。
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数学建模 之 微积分模型(二)
曹勃
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微分方程建模具体实例 实例一、椅子在地面上放稳的问题
实例二、咳嗽问题
实例四、储存销售模型 实例六、广告决策问题
实例三、减肥模型 实例五、屋檐水槽的模型
实例七、价格竞争模型 实例九、湖水污染模型
实例八、药物模型
实例十、群体遗传模型
但是在本问题中会使方程出现奇异解，所以我们可 以设h(0)=0.01米，也就是开始计时时，已下了一段 时间的雨了，槽内有一定的积水。
将本题中的已知条件代入方程，有微分方程：
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dh 1.299 r 0.00145 h 2 dt 0.15 h h h(0) 0.01
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4.5 4 3.5 3 2.5
25 4.17 … …
30 35 4.35 4.50 120 5.00
4.86
0.05 1.5
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
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r 2、 (t )是周期函数，不妨设为正弦函数，即
t 1 sin( ), 0 t 40 r (t ) 20 40 0 , t 40
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于是
Q rT1
（1）
T
1 ，其中积分等于图中三角形面积A，A QT1 ，缺货费 2
c3 | q(t ) | dt，其中积分等于三角形面积B，易知
T1 T
一个订货周期T内的总费用：订货费c1;贮存费c2 0 q(t )dt
B
1 r (T T1 ) 2 2
由（1）可知，一个订货周期T内的总费用为
1 C c1 c 2 rT 2 2
（2）
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这个贮存模型的目标函数不能是一个周期的总费用 C
而应取作每天的平均费用，记作C（T），显然
C c1 1 C (T ) c 2 rT T T 2
（3）
模型分析
制订最优贮存策略归结为求订货周期T，使C（T）最小
于是总费用为
1 1 2 C c1 c2 QT1 c3 r (T T1 ) 2 2
（2）
模型的目标函数仍为每天的平均费用。
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模型分析
将（2）代入（1），可知平均费用是T和Q的二元函数 记作C（Q，T），且
c1 c 2 Q 2 c3 (rT Q) 2 C (Q, T ) T 2rT 2rT
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针对房屋管理部门的要求，我们考虑两种情形：
r 1、 (t ) 是常数，即对一场长时间内持续不断的下雨过 程来说，这时将出现或者水槽溢出，檐槽不能胜任， 或者水槽中水的深度趋于一个低于0.075米的稳定值， h(t ) 0 对于后一种情况来说，即 ，因此
h 802568 .85r 2
这表明下雨过程是在40秒内发生的一个短促的阵雨行为, 最大的降雨强度是0.05厘米/秒,那么就有如下微分方程:
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1 t 1.299 2 sin( 40 ) 0.00145 h , 0 t 40 dh 0.15 h h 2 dt 0.00145 h , t 40 0.15 h h 2 h(0) 0.01
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对于第3条假设中订货可以瞬时完成，可解释为 由于需求是确定和已知的，只需要提前订货，使得贮 存量为零时立即进货即可。当然，贮存量降到零不符 合实际生产的需要，应该有一个最低库存量，可以认 为模型中贮存量是在这个最低存量之上计算的。
模型 建立
订货周期T，订货量Q与每天需求量r之间满足
dC 利用微分法，令 0 dT
，不难求得 （4）
2c1 r c2
T
2c1 rc 2
再根据（1）有，
Q
（5）
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Q
2c1 r c2
（5）
这就是经济理论中著名的经济订货批量公式（EOQ公式） 货物本身的价格可不考虑，这是因为若记每吨货 的价格为k，则一周期的总费用 C 中应添加kQ，由于
Q rT 所以公式（3）中增加一常数项kr，对求解结果
式（4）、（5）没有影响。 （5）式表明，订货费c1越高，需求量越大，订货批量 Q应越大；贮存费c2越高，订货批量Q应越小，这些关系 当然是符合常识的，不过公式在定量上表明的平方关系 却是凭常识方法得到的
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Q rT
（1）
订货后贮存量由Q均匀地下降，记任意时刻t的贮 存量为q，则q(t)的变化规律可以用图1表示
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数学建模讲座 q
Q A r T 图1 t
0
考察一个订货周期的总费用：订货费为c1;贮存费是
c2 q(t )dt 其中积分恰等于图中三角形的面积为A，显然
0 T
1 A QT 2
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问题 首先假定需求是恒定的，并且不允许缺货现 分析 出现，如钢厂订购废钢以供炼钢用，因为炼钢生
产对原料的需求是一定的，而且一旦缺少了原料 将造成巨大的损失。 在不允许缺货的情况下，只考虑两种费用：
（1）、订货时需付的一次性订货费；
（2）、货物贮存费 至于货物本身的价格，下面将看到它与要讨论的 优化问题无关。 建立模型的目的是在单位时间内需求量为常数 的情况下，制订最优贮存策略。 即多长时间订一次货，每次订多少货，使总费用最小
符号说明
有关因素 降水速度 时 间 房顶的倾斜角 房顶的长度 房顶的宽度 水槽的半径 水槽中水的深度 水槽中水的容量
因素类型 输入变量 变 量 输入参数 输入参数 输入参数 输入参数 输出变量 变 量
符号
单位
r

d b a h V Q1 Q0 A g
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t
流入水槽的流速
流出水槽的流速 排水管的横截面积 重力加速度
2h(t )d 2ah h 2 (t ) r (t )bd cos sin A 2 gh(t )
即
dh r (t )bd cos sin A 2 gh(t ) dt 2d 2ah(t ) h 2 (t )
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模型求解与分析
一般地,为了求解微分方程的解,设初始条件h(0)=0,
背景 知识 问 题 分 析
允许缺货的贮存数学模型
考察一个商店经理制订最优订货周期和是最优 订货指是经常碰到的问题。 设市场对某种商品的需求是确定的和已知的。仅是 允许缺货时因失去销售机会而使利润减少，减少的 利润可以视为因缺货而付出的费用。于是，这个模 型的第1、2条假设条件与不允许缺货的贮存模型相 同，而第3条改为： （3）´每隔T天订货Q吨，允许缺货，每天每吨货 物缺货费为c3
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借助数学软件，可以求得其数值解
0 t/秒 h/厘米 1.00 16 t /秒 h/厘米 3.92 2 4 6 8 0.28 0.12 0.39 0.84 20 25 30 35 5.70
模型假设
（1）、雨水垂直下落并且直接落在房顶上； （2）、所有落在房顶上的雨水全部迅速流入水槽中； （3）、直接落入水槽中的雨水可以忽略不计；
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（4）、落在房顶上的雨水没有溅到外面去； （5）、在排水的系统中不存在一些预料不到的障碍， 像落在房顶上的杂物、树叶等；
2 a h (a h) 2ah h 2 a 2 d (cos1 ( ) ) 2 a a
h
A
C
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因此不难得出
V (t ) 2h(t )d 2ah h 2 (t )
根据能量守衡定律,可知流出速度为 2 gh(t ) 因此有 Q0 A 2 gh(t ) 这样就可以得到如下模型:
当 r 0.0205 厘米/秒时，将有 h 7.5厘米，雨水将从槽 中溢出，当 r 0.0205 厘米/秒时， 5.02 厘米，这时不 h 会发生雨水溢出现象
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借助数学软件，可以求得其数值解
0 t/秒 h/厘米 1.00 40 t /秒 h/厘米 4.61 5 10 15 20 2.39 3.11 3.58 3.92 45 50 55 60 4.69 4.76 4.81
实例十一、森林救火数学模型
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贮存模型 背景 不允许缺货的贮存数学模型 知识 工厂要定期地订购各种原料，在仓库里供生产
之用。商店要成批地购进各种商品，放在货柜中以 备零售。水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和航运。 无论是原料、商品还是水的贮存，都有贮存多少的 问题。原料、商品贮存得太多，贮存费用高；贮存 得太少，则无法满足需求。水库雨季蓄水过量，更 可能危及安全。当影响贮存量的因素包含随机性时， 如顾客对商品的需求，天气对蓄水的影响，需要建 立贮存模型。
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但是房管部门还在犹豫，考虑公司的承诺能否实
现，于是想请你用数学的方法给出一个详细的分析，
论证这个方案的可行性。
b
房顶
d

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问题分析
这实际上是一个水槽的容量能否足以排出雨水的问 题，它是诸如水箱、河流和水库类型的流入—流出的问 题的一种简化，在这里，从房顶上流下的雨水是流入量， 排水管排出的是流出量，问题的关键在于水槽能否在没 有溢出的情况下将全部雨水排出，或都换言之，我们需 要着重研究水槽中水的深度与时间的一种函数关系