二次函数常见关系式符号的判定

二次函数常见关系式符号的判定

湖北省黄石市下陆中学陈勇

二次函数是初中数学的重点内容之一，它的图像是由字母系数a、b、c的符号确定的，反之在给定抛物线的条件下如何确定字母系数的范围呢?现将二次函数的图像与字母系数的关系归纳如下：

（1）抛物线开口向上；

抛物线开口向下．

（2）抛物线开口大小，越大开口越小

（3）、同号对称轴在轴左侧；

、异号对称轴在轴右侧；

=0对称轴为轴．

（4）抛物线与轴的交点在轴上方；

抛物线与轴的交点在轴下方；

抛物线必过原点．

（5）抛物线与轴有两个交点；

抛物线与轴有唯一交点；

抛物线与轴没有交点．

（6）的符号由点( 1，)的位置来确定；

的符号由点( -1，)的位置来确定；

的符号由点(2，)的位置来确定。

例1如图1是抛物线的图像，则① 0；② 0；③ 0；

④ 0；⑤ 0；⑥ 0；⑦ 0。

解析：由图知：抛物线开口向下，；对称轴在轴左侧，、同号，故；抛物线与轴的交点在轴上方，；点( 1，)、点( -1，)分别在第四象限和第二象限，得<0, >0；抛物线与轴有两个交点，得；由对称轴得=0．

例 2如图2，已知二次函数的图像与轴相交于(，0 )，(， 0)两点，且，与轴相交于(O，-2)，下列结论：①；②；③；④；⑤。．其中正确结论的个数为( ) A．1个 B.2个 C.3个D．4个

解析：由图知：.当时，，所以，故③错误；因为抛物线与轴有两个交点，所以即，所以④正确；当时，由图像得，即，所以，故①错误；因为

，又，所以，故②错；当时，，即，所以故⑤错误．

所以答案选 A．

研究中考命题动向，加强二次函数教学

江苏省东台市实验中学周礼寅

摘要：本文通过对近两年课改实验区中考试题的分析，探讨了二次函数这一部分内容在中考命题中呈现出的三个方面的新动向。

关键词：二次函数、变换、数学模型

新课标对于函数内容的教学主要关注：将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；及早渗透函数的思想；借助多种现实背景理解函数；通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；关注函数与相关知识的联系；推迟函数的形式化表达方式等。这些新变化在近几年课改实验区的中考试题得到了充分的体现。通过分析2005、2006年课改实验区的中考试题，发现对二次函数知识的考查呈现出如下几方面的新动向：

一、将二次函数与几何变换相结合。

例一、（浙江湖州2006年中考题）已知二次函数y=x2－bx+1（－1≤b≤1），当b从－1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动。下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（）

A、先往左上方移动，再往左下方移动；

B、先往左下方移动，再往左上方移动；

C、先往右上方移动，再往右下方移动；

D、先往右下方移动，再往右上方移动。

分析：二次函数y=x2－bx+1可化为，可知抛物线的顶点

坐标为()，当b从－1逐渐变化到1的过程中，顶点横坐标的值逐渐增大，表示抛物线往右方移动；而当b从－1逐渐变化到1的过程中，顶点纵坐标的值先逐渐增大后逐渐减小，表示抛物线先往上方移动再往下方移动，故选答案D。

例二、（旅顺口区2006年中考题）已知抛物线y=x?-4x+1。将此抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线。

（1）求平移后的抛物线解析式；

（2）若直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点，求实数m的取值范围；

（3）若将已知的抛物线解析式改为y=ax?+bx+c(a＞0，b＜0)，并将此抛物线沿x轴方向向左平移 -个单位长度，试探索问题（2）．

解：(1)y=x2-4x+1 配方，得y=(x-2)2-3，向左平移4个单位，得平移后得抛物线的解析式为y=x2+4x+1

(2)由(1)知，两抛物线的顶点坐标为(2，3)，(－2，－3)

解，得

∴两抛物线的交点为（0，1）

由图象知，若直线y＝m与两条抛物线有且只有四个交点时，m＞－3且m≠1

（3）由y=ax2+bx+c配方得，

向左平移-个单位长度得到抛物线的解析式为

∴两抛物线的顶点坐标分别为，

解得∴两抛物线的交点为（0，c）

由图象知满足（2）中条件的m的取值范围是：m＞且m≠c

评析：图形与变换是《初中数学新课程标准》中新增加的内容，把它与二次函数相结合,既考查了学生几何建模以及探究活动的能力，又考查了学生对几何与代数之间的联系、多角度、多层次综合运用数学知识、数学思想方法分析和解决问题的能力，是今后命题的重点。

二、在初高中知识衔接处命题

1、求分段函数解析式。

例三、 ( 连云港2005年中考题) 据某气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图2所示．过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．

（1）当t=4时，求s的值；

（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；

（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城．如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．

略解：（1）S=24(km);

（2）当0≤t≤10时, ；

当10＜t≤20时,s=30t-150；

当20＜t≤35时,s= -(t-35)2+675.

（3）沙尘暴发生后30h将侵袭到N城。