2011年秋季工学硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷B
三峡大学硕士研究生数值分析11年-12年秋考试试卷Word版
阅卷负责人签名：.（5分）设 n n n I I e -=，则11---n n I I )(1n n I I n--=， ||11---n n I I |)(|1n n I I n -=，即n n e ne 11=-.每迭代一次误差均在减少，所以设计的递推算法是数值稳定的. （15分）二、（15分）设n n ij R a A ⨯∈=)(对称,顺序主子式),,2,1(0n i i =≠∆则T LDL A =分解存在,其中L 为单位下三角形矩阵,D 为对角阵,试写出求方程组b Ax =解的计算步骤(用矩阵表示), 此法称为改进平方根法. 试用它求解方程组.：⎩⎨⎧=+=+221669632121x x x x 解: 由T LDL A =可得b Ax =的方程为b x LDL T=,令y x DL T=,则b Ly =.计算步骤(1) 将A 直接分解T LDL A =，求出 D L , (2) 求解方程b Ly =(3) 求解方程y D x L T 1-= （5分）现有⎢⎣⎡63 ⎥⎦⎤166⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10121l ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100d d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡10121l 比较矩阵两边的元素,可得: ,221=l ,31=d .42=d由b Ly =可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201⎥⎦⎤⎢⎣⎡21y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=229 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒4921y y 由y D x L T1-=得⎥⎦⎤⎢⎣⎡1021⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=13 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒1112x x （15分）三、（15分）已知下列线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-14514103131021310321x x x 之精确解Tx )1,1,1(=.用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列问题: (1) 写出Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代两种迭代格式的分量迭代形式；(2) 求Jacobi 迭代格式的迭代矩阵及其-∞范数,并指出Jacobi 迭代法的收敛性. 解： (1) Jacobi 迭代法的分量形式:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=----=--=+++10/)314()10/()325(10/)314()(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x ),1,0( =kGauss-Seidel 迭代法的分量形式:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=----=--=++++++10/)314()10/()325(10/)314()1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x ),1,0( =k (10分)(2) Jacobi 迭代格式的迭代矩阵及其-∞范数分别为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-=-010/310/110/3010/210/110/301A D I B J15.010/310/2||||<=+=∞J B Jacobi 迭代收敛. (15分)四、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=+7262353114221212121x x x x x x x x 解 +-+=221)1142(),(x x y x Q 221)353(--x x+-++221)62(x x 221)72(-+x x要使总残差达到最小，必有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0021x Q x Q ⇒⎩⎨⎧-=-=-48463513182121x x x x⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==9111327383021x x 或⎩⎨⎧≈≈24.104.321x x （10分）五、(10分) 设23)()(a x x f -=.(1) 写出0)(=x f 解的Newton 迭代格式; (2) 证明此迭代格式是线性收敛的.解 (1) 因23)()(a x x f -=,故)(6)(32a x x x f -='.由Newton 迭代公式: ,1,0,)()(1='-=+k x f x f x x k k k k 得 ,1,0,665)(6)(232231=+=---=+k x ax a x x a x x x kk k k k k k .（5分）（2）迭代函数,665)(2x a x x +=ϕ而,365)(3--='x ax ϕ 又3*a x =, 则 =-='-333)(3165)(a a ϕ.0213165≠=-故此迭代格式是线性收敛的. （10分）六、(15分) 取节点21,010==x x ,12=x ，求函数xe x y -=)(在区间]1,0[上的二次插值多项式),(2x L 并估计插值误差.解 由Lagrange 插值公式得()()()2112142122112----⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=e x x e x x x x x L . （10分）())1)(5.0)(0(!3)()()(22---'''=-=x x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()1)5.0(max 6110--≤≤≤x x x x 令 ),1)(5.0()(--=x x x x h 由0)(='x h ，求得两个驻点得)311(211+=x ， )311(212-=x于是 =≤≤|)(|max 10x h x 3121)}1(),(),(),0({max 2110=≤≤h x h x h h x所以，有())()(22x L x y x R -=)(max 6110x h x ≤≤≤008019.03721≈=（15分） 七、(10分)已知某河宽20m ，测得水深)(x f 如下表 （单位：m ）:4.18.10.28.20.35.28.20.38.15.10.1)(20181614121086420k kx f x利用所有数据，用复合梯形公式和复合Simpson 公式计算河水的截面积dx x f ⎰20)(的近似值.解：用复合梯形公式，小区间数,10=n 步长.21020=-=h]4.1)8.10.28.20.35.28.20.38.15.1(20.1[22)(1020++++++++++=≈⎰T dx x f)(8.442m = （5分）用复合Simpson 公式. 小区间数5=n , 步长4)020(51=-⨯=h ]4.1)0.20.38.28.1(2)8.18.25.20.35.1(40.1[64)(520++++++++++=≈⎰S dx x f)(33.45)(313622m m ≈=（10分）八、（10分）设初值问题:⎩⎨⎧=≤≤-='0)0(10),1(10y x y x y ,(1) 写出用Euler 方法、取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的公式； (2) 写出用改进Euler 方法、取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的公式. 解: （1）取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的Euler 公式为；9,,1,0),1(),(01==-+=+=+y n y x y y x hf y y n n n n n n n （5分）（2）取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的改进Euler 公式为：)]1()1([21)1(01111=⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-+=++++y y x y x y y y x y y n n n n n n n n n n 9,,1,0 =n （10分）。
[考研类试卷]2008年工程硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷B.doc
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[考研类试卷]2008年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷B一、填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。
1 为了使计算y=11+的乘除法运算次数尽量地少，应将该表达式改为_____．2 求方程x-f(x)=0根的牛顿迭代格式是_____3 设A=则‖A‖∞=_______4 解方程组的Jacobi迭代格式为______5 设f(x)=8x4+3x3-98x+1,则差商f[2，4，8，16，32]=______6 记h=(b-a)／n，x i=a+ih，0≤i≤n，则计算I(f)=的复化Simpson公式为______，代数精度为______7 用简单迭代法求非线性方程x-lnx=2在(2，+∞)内的根，要求精确至6位有效数字，并说明所用迭代格式为什么是收敛的．8 给定线性方程组 1)写出Gauss-Seidel迭代格式； 2)分析此迭代格式的收敛性．9 1)给定如下数据表：求f(x)的2次插值多项式L(x)；2)利用如下数据表：求f(x)的3次插值多项式H(x)．10 求a，b，使得达到最小，并求出此最小值．11 求系数A1，A2，A3，使得求积公式≈A1f(-1)+A2f(-1/3)+A3f(2/3)的代数精度尽可能高，并指出所达到的代数精度的次数．12 给定常微分方程初值问题取正整数n，并记h=(b-a)／n，x i=a十ih，0≤i≤n．1)分析如下求解公式的局部截断误差y i+1=y i+[f(x i+1,y i+1)+f(x i,y i)](A)2)分析如下求解公式的局部截断误差y i+1=y i+[3f(x i，y i)-f(x i-1，y i-1)]；(B)3)指出以上两个求解公式各是儿阶公式，并从局部截断误差的大小、显隐格式及单多步公式几方面作一个简单的比较．。
Ch1-Ch4(2009-2011级硕士研究生《数值分析》试卷)
2009级一、判断题 (每题2分)3. 若n 阶方阵A 是严格对角占优的，则解方程组A =x b 的Jacobi 迭代法收敛。
( √ )4. 设是方程的根，则求的Newton 迭代法至少是平方收敛的。
( ) *x 0)(=x f *x二、填空题 (每空2分)1. 近似数关于准确值* 3.120x = 3.12065x =有 位有效数字，相对误差是 . 4. 设2543A −⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦，则1A = ，A ∞= ，1Cond()A = .五(本题满分10分) 对于下列方程组1231231234222633245x x x x x x x x x ,,,−+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 建立Gauss–Seidel 迭代公式，写出相应的迭代矩阵，并用迭代矩阵的范数判断所建立的Gauss–Seidel 迭代公式是否收敛。
七(本题满分10分) 已知方程在10x xe −=00.5x =附近有一个实根.*x (1) 取初值00.5x =，用Newton 迭代法求（只迭代两次）。
*x (2) 取初值010.5,0.6x x ==，用弦截法求（只迭代两次）。
*x2010级一、填空题 (每空2分，共20分)1. 近似数关于准确值*2.315x = 2.31565x =有 位有效数字，相对误差是 .4. 设2345A −⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦，则1A = ，Cond()A ∞= .5. 设是方程的3重实根，则求的改进的Newton 迭代公式为 *x 0)(=x f *x .二 (本题满分8分) 对下列方程组1231231232633245,422x x x x x x x x x ,++=⎧⎪++=⎨⎪−+=⎩ 建立收敛的Jacobi 迭代公式和收敛的Gauss–Seidel 迭代公式，并说明理由。
五(本题满分10分) 已知方程在3210x x −−=0 1.5x =附近有一个实根.*x (1) 取初值0 1.5x =，用Newton 迭代法求（只迭代两次）。
数值分析试题10A
《数值分析》A 卷 第 1 页 共 2 页 华南理工大学研究生课程考试 《数值分析》试卷A 2011年1月7日 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请按要求填写在试卷上； 课程代码：S0003004 考试形式：闭卷 考生类别：硕士研究生 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。
一．选择、判断、填空题(10小题,每小题2分,共20分): *** 第1--2小题: 选择A 、B 、C 、D 四个答案之一, 填在括号内,使命题成立 *** ．求解线性代数方程组的追赶法适用于求解（ ）方程组。
A . 上三角 B . 下三角 C . 三对角 D . 对称正定 求解一阶常微分方程初值问题的经典4阶Runge-Kutta 公式（ ）。
A. 是隐式公式 B. 是单步法 C. 是多步法 D. 局部截断误差为O (h 4) *** 第3--6小题: 判断正误,正确写"√ ",错误写"× "，填在括号内 *** ．设近似数x *=2.5368具有5位有效数字,则其相对误差限为0.25×10－4 。
（ x ） ．矩阵A 的条件数越小，A 的病态程度越严重。
（ x ） ．解线性方程组 Ax=b 时，J 迭代法和GS 迭代法对任意的x (0) 收敛的充要条件是A 严格对角占优。
（ x ） ．n 个求积节点的插值型求积公式至少具有n -1次代数精度。
（ v ） *** 第7--10小题: 填空题，将答案填在横线上 *** ．为避免两相近数相减的运算，应将11310-变换为 。
．方程组 Ax=b ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=5.1112A ，则求解此方程组的J 迭代法的迭代矩阵 为 ，而GS 迭代法的迭代矩阵为_ _ 。
．设i x i =),,2,1,0(n i =, )(x l i 是相应的n 次Lagrange 插值基函数，则∑==n i i n i x l x 0)( 。
武汉大学2011工程硕士数值分析考试复习题
武汉大学2011工程硕士数值分析考试复习题预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制1、设()0f x =有根，且'0(),m f x M x <≤≤-∞<<+∞，试证明由1()k k k x x f x λ+=-产生的序列{}k x 对任意的0x 和02M λ<<均收敛。
2、对3*(),0()x x x x x φφ=+=为的一个不动点，验证10()0k k x x x φ+=≠对不收敛，但改用steffen 方法却收敛。
3、设*x 是()0f x =的根，且()()'''*0,f x f x x ≠在领域上连续，试证明：Newton 迭代序列{}n x 满足''*12'*12()lim ()2()k k k k k x x f x x x f x -→∞---=-4、给定方程组的雅可比迭代矩阵为022101220J B =----??，试证明雅可比迭代收敛而高斯迭代不收敛。
5、设二阶方程组为12630321x x = ? ? ?-????，取(0)00x ??= （1）用最快速下降法迭代两次求近似解(2)x ；（2）用共轭梯度法迭代两次求近似解(2)x ；（3）与精确解进行比较分析。
6、设方程组AX=B 系数矩阵A 非奇异，条件数cond （A ），设A 有扰动A δ，且11A A δ-<，分析解的扰动X δ的相对变化XX δ。
7、设2()[,],()()0f x c a b f a f b ?==且，试证明：2''()max ()max ()8a xb a x b b a f x f x ≤≤≤≤-≤8、试证明两点三次Hermite 插值余项(4)2231()()()()4!k k f R x x x x x ξ+=--，并求此分段三次Hermite 插值的误差限。
2010-2011学年北京理工大学硕士研究生数值分析期末试卷
20102011学年北京理工大学硕士研究生数值分析期末试卷20102011学年北京理工大学硕士研究生数值分析期末试卷1一20分考虑线性方程组axb其中a111t1222123312b4321341
2010-2011 学年北京理工大学硕士研究生数值分析期末试卷 1 一（20 分）考虑线性方程组 Ax=b，其中 A= 1 1 1
π 2 0
1−
3 cos x 4
2
dx，
用数值积分的方法求其近似值（要求计算结果具有四位有效数字） 。 2 四（15 分）用迭代法求 x +10x-18=0 在[1,2]内的根，取初值为 1.5 1. 构造一个收敛的迭算 2 步，然后采用 Aitken 加速算法再计算一步是否能得 到更精确的近似值？计算过程中小数点后保留 4 位。 五（10 分）求函数 ex 在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。 y ′ + y = 0, xϵ[0,1] 六（20 分）对初值问题 y 0 =1 1. 求此微分方程的精确解。 2. 证明：用格式yn+1 = yn + 2 (−yn − yn+1 )所求得的近似解在步长 h0 时收敛 于精确解。 3. 写出上述格式的 Matlab 程序源代码， 要求： 输出近似解曲线图和误差曲线图。
T
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2 ，b=（4，3，2，1） 3 4
1. 用平方根法解线性方程组。 2. 对上述方程组构造收敛的迭代格式，说明其收敛原因，取初始值 X（0）=（0,0,0,0）T 用所给的迭代格式计算迭代序列的前两项（用分数表示） 。 二（15 分）已知sin （0.32）=0.314567，sin （0.34）=0.333487 均具有 6 位有效 数字。 1. 请用线性插值求sin （0.33）的近似值。 2. 证明在区间[0.32,0.34]上用线性插值求sin x的近似值时至少有 4 位有效数字。 三（20 分）长半轴为 2，短半轴为 1 的椭圆的周长 s 为 s=8
2011年秋研究生数值分析试题A卷答案
2011年秋研究生数值分析期末考试试题答案一、单选题（4*5=20分）1、B;2、D ；3、D ；4、B ；5、C 。
二、填空题（4*5=20）1、2；2、()()1k k k k f x x x f x +=-'，平方收敛；3、8，8；4、9； 5、a <。
三、（10分）解：构造3次Lagrange 插值多项式3001001201()()(,)()(,,)()()L x f x f x x x x f x x x x x x x =+-+--0123012(,,,)()()()f x x x x x x x x x x +--- 3’利用待定系数法，令430123()()()()()()H x L x A x x x x x x x x =+----， 5’同时， '''14131101213()()()()()()f x H x L x A x x x x x x ==+--- 7’解出A 即可。
8’ 考虑余项4()()()E x f x H x =-，如果5()[,],,0,1,2,3i f x C a b a x b i ∈≤≤=，那么，当a x b ≤≤时()()5240123()()()()()()()5!f E x f x H x x x x x x x x x ξ=-=----. 0 10’ 四、（10分）解：设所求多项式为23202)(x C x C C x P ++=，10=ϕ，x =1ϕ，22x =ϕ，11),(10++==⎰+k j dx e k j k j ϕϕ，1),(100-==⎰e dx e f x ϕ， 1),(101==⎰dx xe f xϕ，2),(1022-==⎰e dx e x f x ϕ 5’ 所以有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21151413141312131211210e e C C C ，求解得到 8’ ⎪⎩⎪⎨⎧===83917.085114.001299.1321C C C ，所求最佳平方逼近多项式为:2283917.085114.001299.1)(x x x P ++=。
硕士课程—数值分析题集(附答案).docx
2009-2010数值分析第一章绪论 (1)第二章函数插值 (2)第三章函数逼近 (5)第四章数值积分与数值微分 (10)第五章解线性方程组的直接解法 (12)第六章解线性方程组的迭代解法 (16)第七章非线性方程求根 (19)第九章常微分方程初值问题的数值解法 (21)第一章绪论1.1要使胸的相对误差不超过0.1%,应取几位有效数字？解：面的首位数字％=4。
设/有n位有效数字，由定理知相对误差限k(.r*)|<—xlO1^ =-xl0^1 r 1 2x4 84-xio1-" <0.1%, 8解得〃Z3.097,即需取四位有效数字.1.2 序列｛/｝满足关系式y,,=10y,_]-l(n = l,2,...),若y0=V2«1.41,计算到M。
，误差有多大？这个算法稳定吗？解：y0 = V2,y* =1.41,|y0 -y*| <^-xl0-2=5 ,于是|/i 一川=|1。
》0 —IT。
〉；+1| = 1。
|光 - 司 < 1。
5卜2-》；| = |10》1一1一10》；+1| = 10卜1一酣〈10逆, 一般地|儿一司<103 因此计算到Mo其误差限为1010^，可见这个计算过程是不稳定的。
1. 3计算球的体积，要使相对误差限为1%,问测量半径R时允许的相对误差限是多少?解:5,、九兀K ~-7tK R_R* R2+R*R + R*2R_R* 37?2R_R*。
，“ ,(v)= _2 ---------- 2 «■«.____________ = _____ 3 = 1% ' 4 f RR- R R 2 R-7lR 3》=一' ,即测量半径R 时允许的相对误差限是一、。
R 300300第二章函数插值2.1、利用如下函数值表构造差商表，并写出牛顿插值多项式。
进而得牛顿多项式为 地⑴=f (.%) + /■氏次』吼⑴+ /[.r (p x 1,.r 2]<»2(.r) + /[.r (p x 1,.r 2,.r 3]<»3(.r)1 1 33A^3 (x) = 3 + — (x -1) + — (x -1)(尤)-2(x- l)(x )x2. 2、已知f(-2) = 2, f(-1) = 1, f (0) = 2, f (0.5) = 3试选用合适的插值节点利用Lagrange 二次插值多项式计算f (-o.5)的近似值，使之精度 尽可能高。
2011数值分析试题及答案
由于f(x)二si nx的4阶导数在[0,二]上的最大值为：M4=1,所以
5
误差为：|I-S2|：：——44=0.006641
2880x24
6.求解初值问题」y=sin(x+2y),0兰x兰2的改进Euler方法是否收敛？为什
.y(0) = 1
么？
解：由于|sin(x 2y)-sin(x 2y)|二| 2cos(x 2 )(y-y) 2 | y-y |
5.设f(x) = 4x33x-5，求差商f[0,1], f[1,2,3,4]和f[1,2,3,4,5]。
f(D…f(0)
解：f[0,1]==2-(-5) = 7
1-0
f [1,2,3,4^4，f[1,2,3,4,5]=0
3.解线性方程组丿X1-2忑=2的Jacobi迭代法是否收敛，为什么?
+9x2=3
即，函数f(x, y)二sin(x•2y)连续，且关于变量y满足Lipschitz条件，所以，改 进Euler方法收敛。
所以，a=0, b=5/6，拟合曲线为：y=5/6x2
3.求满足条件f(0)=1,f(1)=2,f(2) =0,f(1)=0的三次插值多项式Ha(x)
的表达式。
解：设H3(x)二(^2)(ax2bx c)，则有:
1213
所以，H3(x) (x-2)(x2x 1) (x-3x-2)。
22
11
4.确定求积公式Jf(x)dx痒三f(-1)+Af(0)+A2f(1)中的待定系数，使其代数精 度尽可能高，并问此公式是不是插值型求积公式.
解：令公式对f(x) = 1,x都精确成立，得：A,・A2= 3/2, A2= 1/2,
o
• • •
硕士生数值分析试卷答案2011
（2）当同时收敛时试比较其收敛速度.
证所给线性方程组系数矩阵为 记
（1）雅可ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ迭代矩阵J为
特征方程为
即 .
因而谱半径
高斯-赛德尔迭代矩阵G为
特征方程为
即 .
因而谱半径
当 时， 雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此方程组都收敛；
当 时， 雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此方程组都发散.
(2)当 时，雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此方程组同时收敛.当 时，有 所以高斯-赛德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快.
若已知 的一个近似值 ，则实际计算得到的 的近似值 为
将以上两式相减得
两边取绝对值得
这说明 的误差将放大n倍传到 .因而正向递推时误差传播逐步放大.
逆向递推时，由 来计算 ：
若已知 的一个近似值 ，则实际计算得到的 的近似值 为
将以上两式相减得
两边取绝对值得
这说明 的误差将缩小n倍传到 .逆向递推时误差传播逐步衰减.
(3)设 是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则
； 1.
(4) 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n-1次.
(5)梯形求积公式具有1次代数精度,辛普生求积公式具有3次代数精度.
(6)用二分法求方程 在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为 ，进行二步后根所在区间为 .
(7)设 ，则 =___1.1_____ =___0.8_____, =_0.825___.
证（1）梯形公式为
解出 ，得到
递推得
（2）方程的精确解为 注意到 于是
(洛必达)
即当 时， 收敛于精确解.
2010年秋季工学硕士研究生学位课程数值分析真题试卷C_真题-无答案
2010年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷C(总分20,考试时间90分钟)1. 计算题1. 设序列{yn}满足递推关系若y0是具有4位有效数字的近似值，试估计y10的绝对误差限和相对误差限．2. 用简单迭代法求方程sinx-x2+2=0的正根，精确到4位有效数字，并验证迭代法的收敛性．3. 用列主元Gauss消去法解方程组2. 综合题1. 给定线性方程组1)写出求解该方程组的Jacobi迭代格式；2)取初始向量x(0)=(1，1，1)T，用Jacobi迭代求方程组的解，精确到2位有效数字．2. 若g(x)是f(x)以x0，x1，…，xn-1为插值节点的(n-1)次插值多项式，h(x)是f(x)以x1，x2，…，xn为插值节点的(n-1)次插值多项式．证明函数是f(x)以x0，x1，…，xn为插值节点的n次插值多项式．3. 求a，b，使得取最小值，并求该最小值．4. 设f(x)∈C2[a，b]，I(f)=I(f)的梯形公式．将[a，b]进行n等分，记h=(b-a)/n，xi=a+ih，0≤i≤n．1)写出计算积分I(f)的复化梯形公式Tn(f)．2)已知I(f)-T(f)=证明：存在η∈(a，b)，使得I(f)-Tn(f)=5. 给定常微分方程初值问题取正整数n，记h=(b—a)／n，xi=a+ih，i=0，1，2，…，n；yi≈y(xi)，1≤i≤n，y0=η．试用数值积分方法导出Adams两步显式公式并写出局部截断误差的表达式．6. 给定常微分方程初值问题取正整数n，记h=(b—a)／n，xi=a+ih，i=0，1，2，…，n；yi≈y(xi)，1≤i≤n，y0=η．试分析公式的局部截断误差，并指出该公式是一个几阶公式．7. 设抛物型方程初边值问题有光滑解u(x，t)，其中ψ(0)=α(0)，ψ(1)=β(0)．取正整数M和N，并记h=1／M，τ=T／N；xi=a+ih，0≤i≤M；tk=kτ，0≤k≤N．1)写出求上述定解问题的古典隐格式；2)若f(x，t)=x+t，ψ(x)=x(1-x)，α(t)=0，β(t)=0，h=1/3，τ=V3，求u11和u21．。
[考研类试卷]2011年工程硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷B.doc
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[考研类试卷]2011年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷B
1 设x=1．231，y=0．5122是由四舍五入法得到的近似值，试计算函数e xy的绝对误差限和相对误差限．
2 给定方程x3+2x-1=0，判别该方程有几个实根，并用迭代法求出方程所有实根，精确到4位有效数字．
3 用列主元Gauss 消去法求下面线性方程组的解：
4 给定线性方程组写出求解上述方程组的Gauss-Seidel 迭代格式，并分析收敛性．
5 已知f(x)=xe x，求一个3次多项式H(x)，使之满足H(0)=f(0)，H(1)=f(1)，
H'(0)=f'(0)，H"(1)=f"(1)．
6 求a，b ，使得积分取最小值．
7 试用Simpson 公式计算积分的近似值，精确到4位有效数字．
8 给定常微分方程初值问题取正整数n，记h=(b—a)／n，
x i=a+ih，i=0，1，2，…，n；y i≈y(x i)，1≤i≤n，y0=η．求常数A，B，使数值求解公
式y i+1=y i十h[A，(x i+1,y i+1)+f(x i，y i)+Bf(x i-1,y i-1)]，1≤i≤n-1的阶数尽可能高，并
求出公式的阶数和局部截断误差表达式．
答案见麦多课文库。
2011级硕士研究生《数值分析》试卷(A)
合肥工业大学2011级硕士研究生《数值分析》试卷(A)班级 姓名 学号 成绩一、判断题 (下列各题，你认为正确的，请在题后的括号内打“√ ”，错误的打“×”，每题2分，共10分) 1. 设函数f 具有5阶导数，则(5)[0,1,2,3,4,5]()f f ξ=，其中ξ介于0,1,2,3,4,5之间,[0,1,2,3,4,5]f 是()f x 关于节点0,1,2,3,4,5的5阶差商。
( )2. 若方阵A 是严格对角占优的，则可用Gauss 消去法直接求解方程组=Ax b ，无须选主元素。
( )3. 若()()0f a f b <，则方程()0f x =在区间(,)a b 内至少有一个根。
( )4. 若函数()f x 是多项式，则它的Lagrange 插值多项式()()p x f x ≡. ( )5. 解常微分方程初值问题的四阶Runge-Kutta 方法的局部截断误差是5()O h ，其中h 是步长。
( )二、填空题 (每空2分，共10分)1. 近似数*3.200x =关于准确值 3.200678x =有 位有效数字。
2. 设2435A =⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则1Cond()A = . 3. 设函数(2.6)13.4673,(2.7)14.8797,(2.8)16.4446f f f ===, 用三点数值微分公式计算(2.7)f '= 14.8865 .4. 设函数sin 2()x f x =, 2()p x 是()f x 的以1,2,3为节点的二次Lagrange 插值多项式，则余项2()()f x p x -= .5. 二元函数(,)f x y 在区域D 上关于y 满足Lipschitz 条件是：.三 (本题满分12分) 对下列方程组1231231235212,4220,23103x x x x x x x x x ++=-⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ 建立Jacobi 迭代格式(4分)和Gauss –Seidel 迭代格式(4分)，写出Jacobi 迭代格式的迭代矩阵，并用迭代矩阵的范数判断所建立的Jacobi 迭代格式是否收敛(4分)。
数值分析(2011年12月)B卷
湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目： 数值分析 （B 卷） 专业年级：2011级各专业 考试形式： 闭 卷（可用计算器） 考试时间：120分钟……………………………………………………………………………………………………………………… 注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。
一、填空题(每空3分，共30分)（1）利用4位浮点数计算，319.7-（2.457+0.1352）=（ ）。
(2) 设1||<<x ，为了提高计算精度，应将计算公式xx x y 211121--+-=等价转化为（ ）。
（3）用二分法求1)(3-+=x x x f 在区间[0,1]内的唯一根，迭代二步后根所在的区间为（ ）。
（4）求1)(23--=x x x f 在区间（1,2）内的根，用迭代格式111-=+k k x x ，该迭代格式是收敛还是发散？ （ ）。
（5）用高斯消元法求解n 阶线性方程组的乘除运算量为（ ）。
（6）T x )2,2,22(-=，则向量x 的1-范数1||||x =（ ）。
（7）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=81032423222A ，则矩阵A 的无穷范数∞||||A =（ ）。
（8）设x 为n 维列向量，B 为n 阶矩阵，则迭代格式f Bx xk k +=+)()1(收敛的充分必要条件为（ ）。
（9）已知2)1(1)(x x f +=在 1.2 1.1, ,0.1 三点的函数值分别为0.2066 0.2268, ,25.0，利用三点数值微分公式近似计算f(x) 在1.1处的导数值)1.1('f ≈（ ）。
（10） 设9876)(257-+-=x x x x f ，则差商=]2,,,2,2[821 f （ ）。
二、(10分) 当2,1,0,1-=x 时，函数值分别为15,4,1,6)(-=x f 求f(x)的三次插值多项式。
三、(10分) 求函数x x f sin )(=在区间]2,0[π的最佳平方逼近一次多项式。
数值分析试卷(工程硕士)
内蒙古科技大学工程硕士2011/2012学年 《数值分析》考试试题 课程号： 考试方式：开卷 使用专业、年级：2010工科硕士 任课教师：曹富军,丁立刚 考试时间： 备 注： 一、计算题（共7题，共100分） 1. (15分) 什么是数值分析？结合自己的专业谈谈数值分析在以后工作学习中的应用，并说明使用数值方法进行计算时需要注意哪些问题？ 2. (20分) 使用牛顿插值法，构造下列已知函数点上的插值函数。
并求出x=0.7的值。
已知函数在下列各点的值为：3．(10分) 观测物体的直线运动,得出以下数据:求运动方程. 4．(15分) 利用一种复合求积公式计算下列积分，并说明所选择方法的精度？ 120,84x dx n x =+⎰ 5．(15分) 设线性方程组：………………装订线………装订线………装订线…………试卷须与答题纸一并交监考教师…………装订线………装订线………装订线………………1231231235212422023103x x x x x x x x x ++=-⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩取初始值(0)(0,0,0)x =，求使用高斯-赛德尔迭代法计算5步(3)x 的结果。
6．(15分) 使用牛顿迭代方法求3()310f x x x =-+=在02x =附近的根，根的准确值* 1.87938524x =,要求计算结果准确到四位有效数字。
7．(10分) 选择一种数值方法，求解常微分方程初值问题：2',(0)0y x x y y =+-=取步长0.1h =，计算到0.5x =，并与精确解21x y e x x -=-+-+相比。
内蒙古科技大学研究生考试试卷考试科目：阅卷人：专业：学号：姓名：1、考前研究生将上述项目填写清楚；2、字迹要清晰；3、教师将试卷、答案一起送研究生学院归档。
年月日答卷要求:1.打印该试卷和考试封面，即文档1-3页。
2.认真填写封面，将阅卷人和成绩留空3.用A3白纸进行答卷4.试卷要求手写，保持卷面整洁5.将本试卷及答案于本周六（5月19日）集体交到学校，如有其它原因不能到来，允许同学带过来。
研究生《数值分析》试卷(带答案)
一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为xy y x y x u 223),(+=，其中，y x ,由统计方法得到，分别为4,2==y x ,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限)(u ε和相对误差限)(u r ε.解：)(23)(6)(),()(),()(222y x y x x x y xy y y y x u x x y x u u εεεεε⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂+∂∂≈6.016.044.001.0)412(01.0)448(=+=⨯++⨯-=0.010714566.03)()(22=≈+=xy y x u u r εε 二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f .解：21142512)1()2(]2,1[,311401)0()1(]1,0[=-=--==-=--=f f f f f f9232102]1,0[]2,1[]2,1,0[=-=--=f f f0!4)(]4,3,2,1,0[)4(==ξf f三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[121)]1()0([21)(10f f f f dx x f -++≈⎰的代数精度. 解：记⎰=10)(dx x f I )]1(')0('[121)]1()0([21f f f f I n -++=1)(=x f 时：1110==⎰dx I 1]00[121]2[21=-+=n Ix x f =)(时：2110==⎰xdx I 21]11[121]1[21=-+=n I2)(x x f =时：31102==⎰dx x I 31]20[121]1[21=-+=n I3)(x x f =时：41103==⎰dx x I 41]30[121]1[21=-+=n I4)(x x f =时：51104==⎰dx x I 61]40[121]1[21=-+=n I求积公式)]1(')0('[121)]1()0([21)(1f f f f dx x f -++≈⎰具有3次代数精度. 四.(12分) 已知函数122)(23-++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间},,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式.其中,权函数1)(=x ρ,154))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ϕϕϕ. 解：0))(),(())(),((21))(),((1101101100=====⎰⎰--dx x x x x x dx x x ϕϕϕϕϕϕ32))(),(())(),(())(),((112110220====⎰-dx x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ0))(),(())(),((1131221===⎰-dx x x x x x ϕϕϕϕ52))(),((11422==⎰-dx x x x ϕϕ解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1541532345203203203202210a a a 得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛15161210a a a 则)(x f 的最佳平方逼近多项式为：1516)(2-+=x x x p 五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:(1) 填写均差计算表((2) 分别求出满足条件22k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示.解：12)12)(02()1)(0()20)(10()2)(1()(22+-=----+----=x x x x x x x L12)1)(0(1)0)(1(1)(22+-=--+--+=x x x x x x N 令)2)(1()(12)(24--+++-=x x x b ax x x x H则)2()()2)(1)(()2)(1(22)('4-++--++--+-=x x b ax x x b ax x x ax x x H)1()(-++x x b ax由 ⎩⎨⎧-=+=+⇒⎩⎨⎧=-++-=-=-++-=1220)12(2)2(24)2('2)21)((22)1('44b a b a b a H b a H 解得 5,3=-=b a因此1820143)2)(1()53(12)(23424++-+-=--+-++-=x x x x x x x x x x x H 六.(16分)(1). 用Romberg 方法计算⎰31dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填).(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式⎰∑-=≈11)()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ⎰31dx x .解：过点（1，-1）和点（3，1）作直线得 y t x +=所以积分⎰⎰-+=11312dt t dx x由三次Legendre 多项式 )35(21)(33x x x p -= 得得Gauss 点：,515,0,515210==-=x x x再由代数精度得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==+-==++⎰⎰⎰---32535305155152111220112011210dt x A A dt x A A dt A A A即 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=++9/10022020210A A A A A A A解得 ,95,98,95210===A A A所以三点Gauss-Legendre 求积公式为：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈⎰-5159509851595)(11f f f dx x f 因此 79746.2515295298515295211=+++-≈+=⎰-dx t I 七.(14分)(1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5110||-+<-k k x x ). 解：令 2ln )(--=x x x f),1(,011)('∞∈>-=x xx f > 即)(x f 在区间 ),1(∞ 单调增 又 04)(,02ln )2(22>-=<-=e e f f 所以 02ln =--x x 在区间 ),1(∞有一单根 ),1(20e x ∈Newton 迭代公式为1ln 112ln 1-+=----=+k kk k kk k k k x x x x x x x x x 令 20=x 计算得八. (12分) 用追赶法求解方程组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x 的解.解： 由计算公式 ⎪⎩⎪⎨⎧-===+====-1,,2,,,2,,111111n i c n i b a c b i i ii i i i i i βααβγγβαα得 ,2,1,1,21,1,24321111======γγγββαα25211322212=⨯-=⇒=+ααβγb 52222222==⇒=αββαc c 53521133323=⨯-=⇒=+ααβγb 35333333==⇒=αββαc c 37352144434-=⨯-=⇒=+ααβγb因此 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛135152121137253125121211113112 即 LU A = 令 b Ly = 解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-022137253125124321y y y y 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23753214321y y y y令 y Ux =解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛237532113515212114321x x x x 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21104321x x x x九. (12分) 设求解初值问题⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 的计算格式为:)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .（注：原题中)(2h o 错误）解：)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y )](')('[)(1-++=n n n x by x ay h x y])('''21)('')('[)(')(2++-++=n n n n n x y h x hy x y hb x hay x y ++-++=)('''21)('')(')()(32n n n n x by h x by h x y b a h x y 对比 ++++=+)('''61)(''21)(')()(321n n n n n x y h x y h x hy x y x y 得 ⎩⎨⎧==+2/11b b a ， 即 2/1==b a 时该计算格式具有二阶精度.。
数值分析(2011)试题A卷
装 订 线 年 级学 号姓 名专 业一、填空题（本题40分, 每空4分） 1．设),,1,0()(n j x l j =为节点n x x x ,,,10 的n 次基函数，则=)(i j x l 。
2．已知函数1)(2++=x x x f ，则三阶差商]4,3,2,1[f = 。
3．当n=3时，牛顿-柯特斯系数83,81)3(2)3(1)3(0===C C C ，则=)3(3C 。
4．用迭代法解线性方程组Ax=b 时，迭代格式 ,2,1,0,)()1(=+=+k f Bx x k k 收敛的充分必要条件是 。
5．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1221A ，则A 的条件数2)(A Cond = 。
6.正方形的边长约为100cm ，则正方形的边长误差限不超过 cm 才能使其面积误差不超过12cm 。
（结果保留小数） 7.要使求积公式)()0(41)(1110x f A f dx x f +≈⎰具有2次代数精确度，则 =1x ， =1A 。
8. 用杜利特尔（Doolittle ）分解法分解LU A =，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=135 9 45- 279 126 0 945- 0 45 1827- 9 18 9A 其中，则=L =U 。
二、计算题（10分）已知由数据（0,0），（0.5，y ），（1,3）和（2，2）构造出的三次插值多项式)(3x P 的3x 的系数是6，试确定数据y 。
2011级数值分析 试题 A 卷 2011 ～ 2012学年，第 1 学期 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 年 级2011级研究生份 数拟题人 王吉波审核人装 订 线 年 级学 号姓 名专 业三、计算题（15分）试导出计算)0(1>a a 的Newton 迭代格式，使公式中（对n x ）既无开方，又无除法运算，并讨论其收敛性。
四、计算题（15分）已知43,21,41210===x x x 。
（1）推导出以这3个点作为求积节点在[0，1]上的插值型求积公式； （2）指明求积公式所具有的代数精确度；（3）用所求公式计算⎰102dx x 。
2011年工程硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷B
2011年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷B(总分：16.00，做题时间：90分钟)一、计算题(总题数：3，分数：6.00)1.设x=1．231，y=0．5122是由四舍五入法得到的近似值，试计算函数e xy的绝对误差限和相对误差限．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：根据题意，可知｜e(x)｜≤ ×10 -3，｜e(y)｜≤ ×10 -4，｜e(e xy)｜≈｜ye xy e(x)+xe xy e(y)｜≤e xy (y｜e(x)｜+x｜e(y)｜)≤0．5967×10 -3，)解析：2.给定方程x 3 +2x-1=0，判别该方程有几个实根，并用迭代法求出方程所有实根，精确到4位有效数字．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：改写方程为x 3 =-2x+1，作函数y=x 3和y=-2x+1的图像(见下图)，由图像知方程有一个实根x *∈ 构造Newton迭代格式：x k+1=x k k=0，1，2，…，取初值x 0=0．25，计算得x 1 =0．47143，x 2 =0．45357，x 3 =0．45340，x 4 =0)解析：3.用列主元Gauss（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：求得x 1 =1，x 2 =1，x 3 =-1，x 4 =-1．)解析：二、综合题(总题数：5，分数：10.00)4.Gauss-Seidel迭代格式，并分析收敛性．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：Gauss-Seidel迭代格式为Gauss—Seidel迭代矩阵的特征方程为展开得4λ3—4λ2—2λ+8λ2 +2λ2—2λ2 =0，即λ(2λ2 +2λ-1)=0，求得λ1 =0，因为所以Gauss-Seidel迭代发散．)解析：5.已知f(x)=xe x，求一个3次多项式H(x)，使之满足H(0)=f(0)，H(1)=f(1)，H"(0)=f"(0)，H"(1)=f"(1)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：作2次插值多项式p(x)，满足p(0)=f(0) p(1)=f(1)，P"(0)=f"(0)，则p(x)=f(0)+f[0,0]x+y[0，0，1]x 2．列表求差商：可得p(x)=x+(e-1)x 2．由插值条件易知H(x)=p(x)+Ax 2 (x-1)，其中A为待定系数．由条件H"(1)=f"(1)得2(e-1)+4A=3e，求得A= 所以H(X)=x+(e-1)x 2x 2 ()解析：6.求a，b（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：取φ0 (x)=1，φ1 (x)=x 2，则(φ0，φ0)=∫ -11 1dx=2，(φ0，φ1)=∫-11 x 2，(φ1，φ0)=∫ -11 x 2)解析：7.试用Simpson4位有效数字．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由复化Simpson公式得S 1(f)= [f(1)+4f(1．5)+f(2)]= (e -1+4e -1.52+e -22)=0．13463，S 2(f)= [f(1)+4f(1．25)+2f(1．5)+4f(1．75)+f(2)]=0．13521，因为｜S 2 (f)-S 1 (f)｜=0．38675×10)解析：8.给定常微分方程初值问题取正整数n，记h=(b—a)／n，x i=a+ih，i=0，1，2，…，n；y i≈y(xi )，1≤i≤n，y 0 =η．求常数A，B，使数值求解公式y i+1 =y i十h[A，(x i+1 ,y i+1f(x i，y i )+Bf(x i-1 ,y i-1 )]，1≤i≤n-1的阶数尽可能高，并求出公式的阶数和局部截断误差表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：求解公式的局部截断误差为 R i+1 =y(x i+1 )-y(x i )-Ahf(x i+1，y(x i+1 ))-hy(x i，y(x i ))-Bhf(x i-1，y(x i-1 ))=y(x i+1 )-y(x i )-Ahy"(x i+1hy"(x )解析：。
数值分析A卷(2011年秋)
三、 （10 分）设 f ( x) 在 [ x0 , x3 ] 上有 5 阶连续导数，且 x0 x1 x2 x3 ， （1）试作一个次数不高于 4 次的多项式 H 4 ( x) ，满足条件
H 4 ( x j ) f ( x j ) , j 0,1, 2,3, ' ' H 4 ( x1 ) f ( x1 ) ;
(D)、它不是插值型求积公式。
y f x, y 1、求解常微分方程初值问题 的改进的欧拉法是 y x0 y0
阶方法。 ，其 收 敛 阶
2 、 解 非 线性方程 f x 0 的单根 的牛顿法 格 式为 为 。
4 1 2 2 ， x 1 ， 则 Ax 3 2 1 1 3 3、设矩阵 A 1 2
（2）写出 E( x) f ( x) H 4 ( x) 的表达式。
四、 （10 分）求 f ( x) e x 在 [0,1] 上的二次最佳平方逼近，权为 1。
3
五、 （10 分）用 n 2, 3 的高斯－勒让德公式计算积分 e x sin xdx
1
六、 （10 分）已知
0 1 2 1 , b ， 2 5 8 1 请用 Doolittle 三角分解法求解线性方程组 Ax b 。 1 3 7 7 1 3 9 9
，对于其产生的数列 k 0 , 1, 2 , xk ，下列说法正确的是
(A)、若数列 xk 收敛，则迭代函数 x 唯一； (B)、若对于 x a, b ， x 1 ，则 xk 收敛； (C)、若对于 x a, b ， x 1 ，则 xk 收敛； (D)、若对于 x a, b ， x L 1 ，则 xk 收敛。 3、对矩阵 A 采用幂法迭代，如果该方法收敛，则其收敛速度取决于（ (A)、模最大特征值和模次最大特征值的比值； (B)、模最大特征值和模次最大特征值的模的比值； (C)、模次最大特征值和模最大特征值的比值； (D)、模次最大特征值和模最大特征值的模的比值。 ） 。
2011年下学期数值分析考试试卷答案(A)
2011年下学期数值分析考试试卷答案(A)D222223221()()(1)(2)(1)21(45)2P x H x Ax x x x x x x x x =+-=-+-=-+余项为 R(x)=(5)22()(1)(2)5!f x x x ξ-- ……………………………12分解法2：构造带重节点的Newton 差商表 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 -1 2211/2 ………………………8分2222221()00(0)1(0)1(0)(1)(0)(1)21(45)2N x x x x x x x x x x =+-+----+--=-+…………………12分三、 (12分) 求()xf x e -= 在区间[-1，1]上的最佳平方逼近2次多项式. (用勒让德正交多项式2121{(),(),()}{1,,(31)}2P x P x P x x x =-) 解：用勒让德多项式20121{(),(),()}{1,,(31)}2P x P x P x x x =-,2(,)21iiP P i =+ …………………………………………………………………………………..3分计算：11101(,)( 2.3504）x f P e dx e e ---==-≈⎰,1111(,)20.7358x f P xe dx e---==-≈-⎰121211(,)(31)70.143132x f P x e dx e e ---=-=-≈⎰…………………………………………………………………………………..8分111101010011(,)(,)2* 1.1752,*3 1.1036(,)2(,)2/3 f P f P e e e a a e P P P P ----==≈==-=-≈-12222(,)7*0.3578(,)2/5f P e e a P P --==≈故最优平方逼近函数为：11112225351()3(31)22211.1752 1.10360.3758(31)20.5367 1.10360.9963e e e e p x e x x x x x x -----=-+⋅-≈-+⋅-=-+。
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2011年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷B
(总分：28.00，做题时间：90分钟)
一、填空题(总题数：6，分数：12.00)
1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。
（分数：
2.00）
__________________________________________________________________________________________ 解析：
2.设｜x｜>>1______
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：()
解析：
3.求积分∫ a b f（x）dx的两点Gauss公式为______
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：()
解析：
4.设∞ =______，‖A‖ 2 =______．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：()
解析：
5.给定f(x)=x 4，以0为三重节点，2为二重节点的f(x)的Hermite插值多项式为______．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：x 4)
解析：
6.己知差分格式r≤______时，该差分格式在L ∞范数下是稳定的．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：()
解析：
二、计算题(总题数：2，分数：4.00)
7.给定方程lnx-x 2+4=0，分析该方程存在几个根，并用迭代法求此方程的最大根，精确至3位有效数字．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：令f(x)=lnx-x 2 +4，则f"(x)= -2x,当x= 时，f"(x)=0. 注意到
f(0．01)=-0．6053＜0,f(1)=3＞0,f(3)=-3．9014＜0,而当时，f"(x)＞0，当时，f"(x)＜
0，所以方程f(x)=0有两个实根，分别在(0．01，1)和(1，3)内．方程的最大根必在(1，3)内，用Newton
迭代格式取x 0 =2，计算得x 1 =2．1980，x 2 =2．1)
解析：
8.用列主元Gauss
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：求得x 1 =3，x 2 =1，x 3 =5．)
解析：
三、综合题(总题数：6，分数：12.00)
9.设α，β表示求解方程组．Ax=b的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法收敛的充分必要条件．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：Jacobi迭代格式的迭代矩阵特征方程为展开得500λ3—15αβλ=0或者λ(500λ2—15αβ)=0，解得λ=0或λ2 = 则Jacobi格式收敛的充要条件为｜αβ｜＜
Gauss-Seidel格式迭代矩阵的特征方程为展开得500λ3—15αβλ2 =0或者λ2
(500λ-15αβ)=0，解得λ=0或λ则Gauss-Seidel格式收敛的充)
解析：
10.设x 0，x 1，x 2为互异节点，a，b，m为已知实数．试确定x 0，x 1，x 2的关系，使满足如下三个条件p(x 0 )=a， p"(x 1 )=m，p(x 2 )=b的二次多项式p(x)存在且唯一，并求出这个插值多项式p(x)．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由条件p(x 0 )=a，p(x 2 )=b确定一次多项式p 1 (x)，有所以p(x)-P 1
(x)=A(x—x 0 )(x—x 2 )，p"(x)=p" 1 (x)+A(x—x 0 +x—x 2 )，p"(x 1+A(2x 1 -x 0 -x 2) 解析：
11.求y=｜x｜在[-1，1]上形如c 0 +c 1 x 2的最佳平方逼近多项式．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：取φ0 (x)=1，φ1 (x)=x 2，则(φ0，φ0)=∫ -11 =2，(φ0，φ1)=∫ -1
1 x 2)
1 x 2，(φ
1，φ1)=∫ -1
解析：
12.已知函数f(x)∈C 3 [0，3]，试确定参数A，B，C，使下面的求积公式
数精度尽可能高，并给出此时求积公式的截断误差表达式．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：当f(x)=1时左=∫ 03 1dx=3，右=A+B+C，当f(x)=x时左=∫ 03 xdx= ，
右=B+2C 当f(x)=x 2时左=∫ 03 x 2 dx=9,右=B+4C．要使公式具有尽可能高的代数精度，则而当f(x)=x 3时，左=∫ 03 x 3)
解析：
13.给定常微分方程初值问题取正整数n，并记h=a／n，x i =a+ih，0≤i≤n．证明：用梯形公式
求解该初值问题所得的数值解为且当h→0时，y n收敛于y(a)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：梯形公式应用于方程有y i+1=y i+ (-y i—y i+1)，即有所以
i=1，2，…．当h→0时，n→∞我们有而由方程知解析解y=e -x则y(a)=e -a，所以)
解析：
14.Ω={0＜x＜3，0＜y＜3)．试用五点差分格式求u(1，1)，u(1，2)，u(2，1)，u(2，2)的近似值．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：五点差分格式为根据要求，可取h= ，将(1，1)，(2，1)，(1，2)，
(2，2)处的差分格式列成方程组有或者解得u 11=15．8750，u 21=22．6250，u 12=15．8750，u 22 =22．6250．)
解析：。