2011年秋季工学硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷B

2011年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷B

(总分：28.00，做题时间：90分钟)

一、填空题(总题数：6，分数：12.00)

1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。（分数：

2.00）

__________________________________________________________________________________________ 解析：

2.设｜x｜>>1______

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：()

解析：

3.求积分∫ a b f（x）dx的两点Gauss公式为______

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：()

解析：

4.设∞ =______，‖A‖ 2 =______．

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：()

解析：

5.给定f(x)=x 4，以0为三重节点，2为二重节点的f(x)的Hermite插值多项式为______．

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：x 4)

解析：

6.己知差分格式r≤______时，该差分格式在L ∞范数下是稳定的．

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：()

解析：

二、计算题(总题数：2，分数：4.00)

7.给定方程lnx-x 2+4=0，分析该方程存在几个根，并用迭代法求此方程的最大根，精确至3位有效数字．（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：令f(x)=lnx-x 2 +4，则f"(x)= -2x,当x= 时，f"(x)=0. 注意到

f(0．01)=-0．6053＜0,f(1)=3＞0,f(3)=-3．9014＜0,而当时，f"(x)＞0，当时，f"(x)＜

0，所以方程f(x)=0有两个实根，分别在(0．01，1)和(1，3)内．方程的最大根必在(1，3)内，用Newton

迭代格式取x 0 =2，计算得x 1 =2．1980，x 2 =2．1)

解析：

8.用列主元Gauss

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：求得x 1 =3，x 2 =1，x 3 =5．)

解析：

三、综合题(总题数：6，分数：12.00)

9.设α，β表示求解方程组．Ax=b的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法收敛的充分必要条件．

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：Jacobi迭代格式的迭代矩阵特征方程为展开得500λ3—15αβλ=0或者λ(500λ2—15αβ)=0，解得λ=0或λ2 = 则Jacobi格式收敛的充要条件为｜αβ｜＜

Gauss-Seidel格式迭代矩阵的特征方程为展开得500λ3—15αβλ2 =0或者λ2

(500λ-15αβ)=0，解得λ=0或λ则Gauss-Seidel格式收敛的充)

解析：

10.设x 0，x 1，x 2为互异节点，a，b，m为已知实数．试确定x 0，x 1，x 2的关系，使满足如下三个条件p(x 0 )=a， p"(x 1 )=m，p(x 2 )=b的二次多项式p(x)存在且唯一，并求出这个插值多项式p(x)．（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由条件p(x 0 )=a，p(x 2 )=b确定一次多项式p 1 (x)，有所以p(x)-P 1

(x)=A(x—x 0 )(x—x 2 )，p"(x)=p" 1 (x)+A(x—x 0 +x—x 2 )，p"(x 1+A(2x 1 -x 0 -x 2) 解析：

11.求y=｜x｜在[-1，1]上形如c 0 +c 1 x 2的最佳平方逼近多项式．

（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：取φ0 (x)=1，φ1 (x)=x 2，则(φ0，φ0)=∫ -11 =2，(φ0，φ1)=∫ -1

1 x 2)

1 x 2，(φ

1，φ1)=∫ -1

解析：

12.已知函数f(x)∈C 3 [0，3]，试确定参数A，B，C，使下面的求积公式

数精度尽可能高，并给出此时求积公式的截断误差表达式．

（分数：2.00）