正态分布论文
投资组合论文正态分布论文期望收益论文
投资组合论文正态分布论文期望收益论文投资组合论文正态分布论文期望收益论文股评推荐股票价值的实证分析摘要：股评作为股票市场有益的补充和辅助投资手段，再过却越来越受争议。
我国股市经历了大起大落，目前正处于横盘整理的阶段，这个阶段也是研究我国股评土建股票拥有多少价值最好的时间段。
本文就是立足这一观点，实证分析来研究股屁股推荐所涉股票的投资价值，以考察我国股评信息的价值。
关键词：投资组合；正态分布；期望收益自2005年以来，我国股票市场经历了倒v字反转，股价大起大落。
伴随着股市的跌宕起伏，股评行业悄然兴起。
我国的股票投资者主要以散户为主，其特点就是资金量较少，缺乏股票投资的专业知识，更重要的一点是由于我国股票市场非有效，因此投资者拥有的投资信息不对称。
从本质上说，股评家的投资推荐信息是为了弥补散户投资者信息不充分的缺陷，促进股票市场有效。
然而，股评家本身并不是完全理性，其推荐信息所表现的投资业绩并不理想，甚至有些股评家利用公信度进行欺诈牟利。
理论上说，股票投资信息价值的本质表现是信息所涉股票未来的投资业绩，因此，考察我国股评推荐信息的投资价值对于促进和规范股评行业将具有现实意义。
一、文献综述cowels(1933)在其论文中对美国股票分析机构给出的股票投资组合的收益率做了实证分析，并发现这些投资组合在考察期内并没有获得超额收益。
由于数据收集困难，这个结论没有被普遍认可和接受。
之后，leavyh和barber(2001)经过研究发现股票投资建议具有一定的价值。
国内理论界对股评推荐相关也做了较多的研究。
张建成(2001)发现我国股评推荐的股票或股票组合，在推荐信息公布前有正的累积超额收益，而在信息公布后往往有负的超额收益。
因此，该结论反应了我国股票市场非有效。
王怡凯(2003)从《上海证券报》每周日的《为您选股》栏目中收集了自2001年1月至11月共565只股票推荐信息，按照推荐信息中的持有策略和买卖时机对这些股票的投资价值进行了分析，发现所推荐的短线股票投资收益高于资金的收益，推荐的中线股票投资收益几乎均低于大盘指数收益。
正态分布的重要性及应用
正态分布的重要性及应用正态分布，又称高斯分布，是统计学中最为重要的概率分布之一。
它具有许多独特的特性，被广泛应用于各个领域，包括自然科学、社会科学、工程技术等。
本文将探讨正态分布的重要性及其在实际应用中的作用。
正态分布是一种连续型的概率分布，其曲线呈钟形，两侧尾部逐渐衰减，中间部分较为集中。
正态分布的曲线呈对称性，均值、方差完全决定了整个分布的形态。
在正态分布中，均值、中位数和众数是重合的，这也是正态分布在统计学中被广泛应用的原因之一。
正态分布在实际应用中具有重要的意义。
首先，许多自然现象和社会现象都服从正态分布。
例如，人的身高、体重、智力水平等很多特征都呈正态分布。
其次，正态分布在统计推断中起着至关重要的作用。
许多统计方法的前提假设是数据服从正态分布，只有在这种前提下，才能够进行有效的统计推断。
此外，正态分布在风险管理、财务分析、医学诊断等领域也有着重要的应用价值。
在风险管理中，正态分布被广泛用于描述金融资产的价格波动。
通过对资产价格的正态分布进行建模，可以帮助投资者评估风险并制定相应的投资策略。
在财务分析中，正态分布常用于对企业盈利、股票收益等指标进行分析和预测。
通过对这些指标的正态分布进行建模，可以帮助企业制定合理的财务策略。
在医学诊断中，正态分布常用于描述人群的生理指标，如血压、血糖等。
医生可以根据这些指标的正态分布，对患者的健康状况进行评估和诊断。
除了以上应用外，正态分布还在工程技术、社会科学等领域有着广泛的运用。
在工程技术中，正态分布常用于描述产品的质量特性，帮助企业提高生产效率和产品质量。
在社会科学中，正态分布常用于描述人群的行为特征，帮助社会科学家进行社会调查和研究。
总之，正态分布作为统计学中最为重要的概率分布之一，具有广泛的应用价值。
它不仅在自然科学、社会科学、工程技术等领域有着重要的作用，还在统计推断、风险管理、财务分析、医学诊断等方面发挥着重要的作用。
因此，深入理解正态分布的特性及其应用，对于提高我们的统计分析能力和决策水平具有重要意义。
浅谈正态分布在现实生活中的应用论文doc
浅谈正态分布在现实生活中的应用摘要：无论从理论和实际应用的观点来看，正态分布毫无疑问是概率论和数理统计中的重要分布。
它的重要性质是由于实际中遇到的随机变量有许多服从正态分布或近似服从正态分布的。
（例如，气象学中的温度、湿度、降雨量，有机体的长度、重量，智能测度的评分，实验中的测量误差，经济学中的众多度量等等）正态分布是许多重要分布的极限分布；许多非正态分布变量是正态分布变量的函数；正态分布的概率密度和分布函数具有各种优良性质等。
本文总结分析了正态分布和标准正态分布的性质和特点，然后着重分析了正态分布在医学，岗位测评，试卷命题难度评价，天气预报等实际问题中的应用。
关键词：正态分布；标准正态分布；统计量一、 正态分布的有关知识1、正态分布的定义设连续型随机变量X 具有概率2()(2)()x f x μσ--=，x -∞<<∞ (1.1)其中μ(-∞<μ<∞)，(0)σσ>为常数，则称x 服从以,μσ为参数的正态分布，正态分布又称高斯分布，记为2(,)XN μσ。
2、 正态分布的图形特点为了画出正态分布的图形，先对概率密度做几点讨论：（1）()0f x >，即整个概率密度曲线都在x 轴的上方；（2）令x c μ=+，(0)x c c μ=->，分别代入()f x ，由（1.1）式可得()()f c f c μμ+=- 且()()f c f μμ+≤ ()()f c f μμ-≤故()f x 以x μ=为对称轴，并在x μ=处达到最大值()f μ=（3）当x →±∞时，()0f x →，这说明曲线()f x 向左右伸展时越来越贴近以x 轴，即()f x 以x 轴为渐近线。
（4）用求导的方法可以证明x μσ=±为，为()f x 的两个拐点的横坐标。
综上，即可画出正态分布的概率密度曲线如图1，它是一条关于x μ=对称的钟形曲线。
图1 为了说明参数,μσ对曲线位置形状的影响，请看图2图2 可以看出：μ决定了图形的中心位置，σ决定了图形中峰的陡峭程度，当σ较大时，图形趋于平缓，当σ较小时，图形趋于陡峭。
正态分布的发展及应用学士学位论文
提供全套毕业设计，欢迎咨询正态分布的发展及应用薛峰杰（东海科学技术学院，浙江舟山316004）摘要生活中诸多的经验和理论都表明，我们所处的环境中服从正态分布的事件是极其常见的。
例如：工程中的加工尺寸，人的身高，降雨量等都可以看做是正态分布。
所以在统计学中对于正态分布的使用越来越广泛。
本文是对正态分布的发展以及应用做一些基本的阐述。
正态分布又名高斯分布，德国数学家高斯对于正态分布的形成与发展有着举足轻重的地位。
正态分布从无到有，最后成为数理统计中非常重要的模型大致可分为三个阶段：第一个阶段是形成阶段，18世纪30年代数学家狄莫弗在一个赌博问题的概率计算中意外发现了正态曲线，所以人们也把正态分布的起源归于赌博问题，但由于社会及个人的问题，正态曲线在那时并没都得到很大的发展。
第二个阶段是18世纪中叶正态分布的模型建立，在天文学发展的刺激下，数学家拉普拉斯，高斯对于正态分布又有了新的拓展，让人们逐渐认识到了其在天文，误差领域的应用。
第三阶段19世纪中叶在凯特莱，高尔顿的努力下，使正态分布进入到自然和科学领域，从此进入了统计学的大家庭。
最后本文总结了现阶段正态分布的一些最基本最实用的应用。
【关键词】正态分布狄莫弗拉普拉斯高斯凯特莱Development and Application of the NormalDistributionFengjie xue(Department of mathematics physics and information, Donghai Science & TechnologySchool 316004)AbstractMany life experiences and theories that we normally distributed environment in which the event is extremely common. For example: the size of the project in the process, a person’s height, rainfall and so can be seen as a normal distribution. Therefore, the normal distribution in statistics more widely used. This article is a normal development and application to do some basic exposition.Normal distribution, also known as the Gaussian distribution, the German mathematician Gauss for the formation and development of the normal distribution has a pivotal position. Normal distribution from scratch, eventually became a very important mathematical statistics model can be divided into three stages: the first stage is the formation stage, 18 in the 1930s mathematician Moivre probability calculations in a gambling problem accidentally discovered normal curve, so people have attributed the origin of the normal distribution of gambling problems, but because of social and personal problems, the normal curve at that time did not have a great development. The second stage is the mid-18th century the normal distribution model, the stimulation of the development of astronomy, mathematician Laplace, Gaussian normal distribution has a new development, so that people come to realize that its in astronomy, application error field. The third stage in the mid-19th century Quetelet, Galton’s efforts to make the normal into the natural and scientific fields, from entering the family statistics. Finally, the paper summarizes some of the most basic and normal stage of practical application.【Keywords】Normal distribution Moivre Laplace Gauss Kettle目录摘要 (I)Abstract ............................................................................................................................. I I 1绪论 . (1)1.1正态分布的定义 (1)1.2正态分布的曲线 (1)1.3正态分布与标准正态分布 (2)2.正态分布的起源 (3)2．1 古典统计时期的概率论 (3)2．2 二项式正态逼近——狄莫弗 (4)2．3 为何当时正态分布未能有大发展 (4)3.正态分布的重新出发 (6)3．1 天文中的误差 (6)3．2 误差论的形成 (6)3．2．1 拉普拉斯的概率论 (7)3．2．2 高斯分布 (7)3．3基本误差假设 (8)4.正态分布的近代统计学之路 (9)4．1“近代统计学之父”—凯特莱 (9)4．2 凯特莱对正态曲线的拓展 (10)4．3高尔顿对正态分布的创新 (10)5. 现代统计学中的正态分布 (12)6.正态分布的应用 (13)6.1频数分布 (13)6.2对学生的一些情况进行调查 (13)6.3医学的正常值范围参考 (17)6.4正态分布促进统计学的发展 (17).结束语 (19)参考文献 (20)1 绪论1.1正态分布的定义若随机变量x 服从一个位置参数为μ，尺度函数为σ，其概率密度函数为()22()2x f x ⎛⎫-μ=- ⎪ ⎪σ⎝⎭则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作X~N （2μ,σ），读作服从N （2μ,σ），或者X 服从正态分布。
正态分布进入统计学的历史演化(基础数学专业优秀论文)
ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔ）ｒ ｍｏｄｅｌ ｏｆ趾ａｌｙｚｉｎｇ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｄａ饥ｉＩｌ １ ７３０ｓ，Ｄｅ ＭｏｉＶｒｅ ｉｎｊｔｉ“１ｙ ｆｏｕＩｌｄ ｔ１１ｅ ｎｏｎＩｌａｌ
ｃｌｌｒｖｅ ｗｒｈ∞ｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ锄ａｐｐｒｏｘｉｌＩｌａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｐｒｏｂａｂｉｌｉ劬ｂｕｔ ｆｏｒ ｃｅｎａｉｎ ｒｅａｓｏｎｓ ｉｔ ｄｉｄｎ’ｔ
ｅｔｃ；ｅｎｔ谢ｎｇ ｍｅ ｍｉｄｄｌｅ ｏｆ ｌ ９ｔｈ ｃ饥ｔｕ阱ｔ１１ｅ ｗｏｒｋ ｏｆ Ｑｕｅｔｅｌｅｔ ｉ１１ ｔｈｅ ｓｏｃｉａｌ ｓｐｈｅｒｅ ａｎｄ Ｇａｌｔｏｎ’ｓ
ｒｅｓｅａｒｃｈ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｏｆｂｉｏｌｏｇｙ ｍａｄｅ ｔｈｅ ｄｉｓ缸伯ｕｔｉｏｎ ｅＸｐａｌｌｄ ｔｏ ｍａＩｌｙ ｎａｔｕｒａｌ ａｕｌｄ ｓｏｃｉａｌ ｓｃｉｅｎｃｅ
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论文作者（签名）：吴孑ｚ庄
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峨日 ．易
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ｍｅ １ ９ｍ ｃｅｌｌｔＬ叫ｔｏ ｍｅ １ ９３ ０ｓ）．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｄｅＶｅｌｏｐｍｅｎｔ ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄｓ ｏｆ ｄｉ仃ｅｒｅｎｔ ｓｔａｇｅｓ， 恤ｓ ｔｈｅｓｉｓ百ｖｅｓ ａｎ ｅｌａｂｏｒａｔｅ ａｎａｌｙｓｉｓ砒１ｄ ａ ｓⅧ吼ａｒｙ ｏｎ ｍｅ ｅＶｏｌｕｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｉＩｌｌｐｏｒｔａｎｔ ｗｏｒｋ ｏｆ ｔｈｅ ｒ印ｒｅｓｅｎｔａｔｉＶｅ ｃ＿ｈａｒａｃｔｅｒｓ．Ｓｙｎｃｈｒｏｎｏｕｓｌｙ，ｉｔ ｃ１砌ｆｉｅｓ ｍｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｂｅ帆ｅｃＩｌ廿ｌｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ａｎｄ ｉｔｓ ｒｅｌａｔｅｄ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｉ１１ ｄｉｆｆ－ｅｒｅｎｔ ｓｔａｇｅｓ ａｎｄ ｕｎｄｅｄｉｎｅｓ ｉｔｓ ｓｉｎｕｏｓｉｔｙ 舶‘ｍ ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｔｏ ｍａｎ鹏，ｔ１１ｅ ｄｅｌｉｃａｃｙ ｏｆ ｍｅ ｐｒｏｇｒｅｓｓ ｐｕｓｈｅｄ ｂｙ ｔｅｃｈｉｑｕｅ ｉｎｎｏＶａｔｉｏｎ ａｎｄ
《正态分布的应用》论文
《正态分布的应用》论文论文《正态分布的应用》专业：光伏产品检测技术学号：21号姓名：王景卓生活中诸多的经验和理论都表明，我们所处的环境中服从正态分布的事件是及其常见的。
例如：工程中的加工尺寸，人的身高，降雨量等都可以看做是正态分布。
所以在统计学中对于正态分布的使用越来越广泛，本文是对正态分布的应用做一些基本阐述。
正态分布，又名高斯分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。
若随机变量服从一个位置参数为、尺度参数为的概率分布，且其概率密度函数为则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作当，读作服从，或服从正态分布。
时，正态分布就成为标准正态分布正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。
正态分布正态分布一种概率分布，也称“常态分布”。
正态分布具有两个参数μ和σ^2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ^2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N（μ，σ^2）。
服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。
正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。
当μ=0，σ^2 =1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。
μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。
探析正态分布的应用
探析正态分布的应用探析正态分布的应用摘要：正态分布是概率论与数理统计中最重要的一个分布，并且在生物，物理及工程管理领域都有着十分广泛的应用。
本文讨论了正态分布在解决概率论与数理统计中一些复杂问题中的应用，并通过具体例子说明正态分布也是一个解决现实应用问题的有效手段。
关键词：正态分布性质应用Analyze application of normal distributionAbstract : Normal distribution is the most important distribution of probability theory andmathematical statistic, and has a very wide range of applications in biology, physics and engineering. This paper discussed the normal distribution solving some complex probability and mathematical statistics and real-life problems.Keywords: normal distribution; property; application正态分布又称高斯分布或是误差分布，它是自然界中最常见的一种概率分布，在数学、生物、物理及工程管理等领域都有着十分广泛的应用，比如在相同的生产条件下，产品的抗磨损度、抗拉强度、抗压强度等指标；一个生态系统内物种丰富度、物种分布密度等指标；同一种类种子的发芽率、充实饱满度等。
中心极限定理表明：假如一个随机变量是由大量微小的、独立的随机因素构成的叠加结果，那么这个变量一定是正态随机变量。
1.正态分布密度函数性质的应用如果随机变量X 的概率密度为()()22221σμσπ--=x ex f ()+∞<<∞-x ,其中σμ,为常数且0>σ，则称X 服从参数σμ,的正态分布，记为()2 ,~σμN X,称X为正态变量，()x f 为正态分布密度函数，如图1. 图1正态分布密度函数()x f1.1对称性的应用正态分布密度函数曲线关于直线μ=x对称，因此对任意的0>a,有()1()()a X P X a P +<<=<<-μμμμ; ()2()()21=>=≤μμx P xP ，即()()??+∞∞-=μμxx d x f d x f .由()1可以看出在关于μ的对称区间上X 取值的概率是相等的；由()2可以看出在直线x=μ的两边的面积相等,且都等于21.例1.设()()2.0105,,5~2=<<X P N X σ,求()50<<="" bdsfid="118" p="">解：因为()2,5~σN X,所以其概率密度曲线关于5==μx 对称。
数学正态分布论文
华北水利水电大学North China University of water conservancy and hydroelectric power高等数学（2）结课论文题目：正态分布及其应用课程名称：高等数学（２）学院名称：资源与环境学院专业班级：测绘工程１３班成员组成：慕克歌（２０１２０１３３１）游春林（２０１２０１３３０）赵聪（２０１２０１３２５）联系电话：游春林130****8656指导老师：张广强２０１３年６月９日正态分布及其简单应用摘要：正态分布又名高斯分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
它概率论中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布。
该分布由两个参数——平均值和方差决定。
它是一种最常见的连续性随机变量的概率分布，其概率密度函数曲线以均值为对称中线,方差越小，分布越集中在均值附近。
其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
关键字：高斯分布、概率分布、平均值、方差、钟形曲线、连续性随机变量Normal Distribution And Simple AppliationAbstract:the normal distribution, Gauss distribution, a probability is very important in mathematics, physics and engineering fields distribution, has a great influence in many aspects. A distribution is the most important it in probability theory, a distribution is the most common. The distribution of the two parameters -- mean and variance to decide. It is the probability distribution is one of the most common continuous random variables, the probability density function curve to mean the symmetrical central line, the variance is smaller, more focusedon the distribution of mean value. The curve of a bell, so people often call the bell curve.Keywords: Gauss distribution, probability distribution, average value, variance, the bell curve, continuous random variables【一】背景正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
大学概率论-正态分布及标准化 论文
题目：浅谈正态分布及其标准化院系：卓越学院班级：经管班姓名：郭佳妮学号：15031206目录一．浅谈正态分布 (3)1.正态分布的概率密度函数 (3)数学期望 (4)方差 (4)2.正态分布的分布函数 (5)3.正态分布的性质 (6)二．正态分布的标准化 (7)一．浅谈正态分布如果影响该事件的因素有无穷多个,而每个因素的影响又是无穷小,那么这个事件就服从正态分布例如：测量某零件的尺寸时,由于温度、湿度等众多因素的微小影响,使得测量结果出现误差,这种误差就服从正态分布大误差出现的概率很小,经常出现的误差概率就高,就象一条钟型曲线,即正态分布曲线从这条曲线可以看出正态分布曲线关于x=μ对称，并在x=μ取到最大值1.正态分布的概率密度函数记作X～N(μ，σ^2)数学期望μ为正态分布的E（x），即为数学期望，又称为均值在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值的大小。
E(X) = X1*p(X1） + X2*p(X2） + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1） + X2*f2(X2）+ …… + Xn*fn(Xn)性质设C为一个常数，X和Y是两个随机变量。
以下是数学期望的重要性质：1.E（C）=C2.E（CX）=CE（X）证明方差σ^2为正态分布的方差，（variance)是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
性质1.设C是常数，则D（C）=02.设X是随机变量，C是常数，则有3.D(X+C)=D(X)3.D(X+C)=E((X+C-E(X+C))^2)=E((X-E(X))^2)=D(X)2.正态分布的分布函数f（x）为x=A事件的概率，即为p（x=a）F（x）为x在区间（-∞，a）上的概率介绍F（x）3.正态分布的性质关于x=μ对称，在任意h>0时都有P{μ-h<x<μ}=P{μ<x<μ+h}当x=μ时取到最大值F（μ）=1/√（2π）σ代入即可4.标准正态分布正态分布的特殊情况，当期望值μ=0，即曲线图象对称轴为Y轴，标准差σ^2=1条件下的正态分布，记为N(0，1)。
概率论文正态分布
正态分布在生活中的应用X班XX XX XXX【部分名词解释】正态分布：正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ^2的高斯分布，记为：则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
我们通常所说的标准正态分布是μ= 0,σ= 1的正态分布。
【引入】正态分布是一个具有神秘色彩的分布。
我们知道，对于某一件事或者某个要达到的目标，很多很多的个体发挥出来的水平大致上服从正态分布。
也就是说，对于大量个体的发挥统计，常常能看到正态分布“冥冥之中”束缚着整体的状态。
对于某个单独的单位，一般来说，对于“发挥出来的水平”这件事，也往往有波动的效果，不管是机器、工具还是我们人本身：有的时候，超水平发挥了；有的时候正常发挥；有的时候又会发挥失常。
这种东西应该也可以抽象为围绕期望水平的正态分布。
还有一个角度，如果有若干数据，包括发挥水平、排位情况，但是没有整体数据的时候，如果能推测是正态分布的情形，就可以近似计算出分布函数来，然后去估计其他的分布情况。
这是反向推导的过程。
【大量个体的分布】大量个体做同一件事，或者为同一目标去发挥，水平（成绩）分布近似为正态分布。
既然正态分布在大量个体角度是许多单位为同一个目标去发挥的结果统计，我们就要对正常的“表现情况”进行统计，而忽略“各怀各的想法”的发挥统计。
首先要去进行统计来验证这个假设的正确性，也就是说，找一些许多人参与的事，看看水平分布情况。
这里是我们对104位06级男同学的跳远成绩的统计结果。
根据上文所述的条件，“大量个体”在这里有104人；“同一目标”都是尽量向远处跳，应该是没有故意不好好干的情况。
正态分布用于实际,魅力无比[论文]
![正态分布用于实际,魅力无比[论文]](https://img.taocdn.com/s3/m/49e032f84693daef5ef73d53.png)
正态分布用于实际，魅力无比数学是一门应用学科，它源于生活，又要服务于生活，所以许多数学知识都来源于实际，应用于实际，结合实际加以深化。
在工农业生产和实际生活中，有这样一类现象，被称为正态分布。
在实际中遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布。
比如对于成批生产的产品，如果生产条件正常并稳定，即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等条件相对稳定，而且不存在系统误差的明显因素，那么产品的尺寸服从正态分布。
生产中，在正常生产条件下，各种产品的质量指标，如电子管的使用寿命、电容器的电容量、零件的尺寸、铁水的含碳量、纤维的纤度等等，在生物学中，统一群体的某种特征，如同龄儿童的身高、体重、肺活量，在一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量、千粒重等等，都服从正态分布，正常情况下，一个班级、一个学校、一个地区学生的学习成绩，人的寿命也服从正太分布。
因此，掌握正态分布有很实际的意义。
正态分布是指随机变量的分布呈现中间多，两头少的趋势。
其密度函数为f（x）= 其中μ为随机变量取值的平均值，σ为随机变量的标准差。
并且有р（x≤a）表示直线x=a以及曲线还有x轴围成的区域的面积。
其中μ=0，σ=1的正态分布为标准正态分布，因正态分布特别重要，所以配有标准正态分布表。
在标准正态分布中，记р（x≤а）= φ（а），于是有：φ（0）=0.5，其他的非标准正态分布都可以转化为标准正态分布来解决，转化方法为р（ξ≤x）=φ（）下面通过几个例子来说明正态分布在实际中的应用。
如某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况，因此可以把统考成绩作为总体。
平均成绩μ=480，标准差σ=100，总体服从正态分布，若要录取40%，录取分数线是多少分？因为总体服从正态分布，又是非标准正态分布，因非标准正态分布可以转化为标准正态分布，可利用正态分布表求得结果。
设录取分数线为x分，由题意知分数在x分以上的占总体的40%，而成绩在x分以下的占60%，于是有р（ξ≤x）=60%，转化为标准正态分布为1?-φ（）=40%，即φ（）=60%，有标准正态分布表知φ（0.25）=60%，于是有 =0.25，解方程得x=505（分）。
概率论论文正态分布
哈尔滨工业大学正态分布初探课程：概率论与数理统计姓名：***院系：英才学院飞行器设计与工程班级：1236005学号：**********指导老师：***二零一三年十一月三十正态分布初探林海奇（哈尔滨工业大学飞行器设计与工程）摘要：正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
[1]自然界的一切分布的极限分布均为正态分布，并且正态分布具有许多良好的性质，在数学、医学、统计学和日常生活中的方方面面应用十分广泛。
关键词：正态分布发展历史性质应用一：正态分布的发展历史正态分布是最重要的一种概率分布。
正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布。
高斯是一个伟大的数学家，重要的贡献不胜枚举。
但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。
这无不说明在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。
在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。
这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。
拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。
这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。
浅谈正态分布及其应用【范本模板】
性质2对称性：正态曲线以均值为中心，左右对称,曲线两端永远不与横轴相交.
性质3均匀变动性:正态曲线由均值所在处开始，分别向左右两侧
逐渐均匀下降。
(三)一般正态分布与标准正态分布
标准正态分布是一种特殊的正态分布,标准正态分布的 和 为0和1,通常用 表示服从标准正态分布的变量，记为 ，其密度函数记为 ,分布函数为 ，所以
如果 （ 可由标准正态分布表查得)则原假设错误，否则原假设成立。
（二)中心极限定理
中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近与正态分布的定理，这个定理是数理统计和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量积累分布函数逐点收敛到正态分布的积累分布函数的条件.
它是概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景.在自然界与生产如果每个因素所产生的影响很小,总的影响就可以看作是服从正态分布的。中心极限定理就是从数学上证明了这一现象.
定理3.1在 重伯努利试验中，事件 在每次试验中出现的概率为 , 为 次试验中事件 出现的次数，则
定理3。2若 是一列独立同分布的随机变量,且
则有
例某单位内部有260部电话分机,每个分机有4％的时间要用外线通话，可以认为各个电话分机用不用外线是相互独立地,问总计要备有多少条外线才能以95%的把握保证各个分机在用外线时不用等候。
其中
但是对具体的 ，因为其中的二项公式中有组合数，为了把这个理论结果实际计算出数值结果，棣莫弗运用了斯特林公式（ )假设 无穷大，从而得出了二项分布的极限是正态分布;但由于德国数学家高斯率先将其应用于天文学研究，故正态分布又叫高斯分布；高斯与拉普拉斯研究了正态分布的性质。
高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布不仅有了“高斯分布”的名称，而且后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作.高斯是一个伟大的数学家,重要的贡献不胜枚举.在高斯刚做出这个发现之初也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。但随着各种理论的深入研究，高斯理论的卓越贡献日显重要.
正态分布的应用研究
正态分布的应用研究一、本文概述正态分布，又称高斯分布，是统计学中最常见的连续概率分布之一，其在各个领域都有广泛的应用。
正态分布因其独特的数学性质，如对称性、集中性和稳定性，成为了许多复杂现象的理想化模型。
本文旨在深入研究正态分布的应用，探讨其在不同领域中的实际运用，以及如何利用正态分布的性质解决实际问题。
文章将首先回顾正态分布的基本概念和性质，为后续的应用研究提供理论基础。
随后，文章将分别从自然科学、社会科学、工程技术以及金融经济等多个领域出发，详细阐述正态分布在这些领域中的具体应用。
文章还将探讨正态分布的参数估计和假设检验等统计方法，并通过案例分析来展示这些统计方法在实际应用中的效果。
通过本文的研究，读者可以更加深入地理解正态分布的性质和应用，掌握利用正态分布解决实际问题的方法，同时也能够了解到正态分布在不同领域中的研究前沿和发展趋势。
本文旨在为正态分布的应用研究提供有益的参考和启示，推动正态分布在实际应用中的进一步发展和完善。
二、正态分布的基本理论正态分布，也称为高斯分布，是一种在自然界和社会科学中广泛存在的连续概率分布。
正态分布以其独特的钟形曲线特性，为许多自然现象和社会现象提供了有效的描述模型。
正态分布有两个主要参数：均值（μ）和标准差（σ）。
均值决定了分布的位置，而标准差则决定了分布的宽度或离散程度。
当数据符合正态分布时，大约2%的数据值会落在均值的一个标准差范围内，大约4%的数据值会落在均值的两个标准差范围内，而几乎全部（约7%）的数据值会落在均值的三个标准差范围内。
正态分布的一个重要特性是其对称性，即分布曲线关于均值对称。
这意味着，对于任何给定的正值偏离均值的距离，都存在一个等距离的负值偏离，且两者的概率密度相同。
正态分布还具有可加性，即如果多个独立且同分布的随机变量之和，那么其和也将服从正态分布。
正态分布的理论基础包括中心极限定理，该定理指出，在适当的条件下，大量独立随机变量的平均值将趋于正态分布。
正态分布作文
正态分布作文正态分布（又称高斯分布）是一种广泛应用的统计学概念，时常被用于描述自然现象中可能出现的变量分布情况。
本文从概念性和应用性两个方面介绍正态分布，以便读者对正态分布有一个清晰的认识。
正态分布是一种概率分布，按照正态分布函数（又称正态曲线）分布，其变量的概率密度呈现出一种“正锥形”的曲线，其中标准正态分布的曲线在最高点（也称峰值点，均值）处拐向左右两侧。
整个曲线的变化趋势是先上升后下降，同时在左右两侧的变化趋势也基本是对称的。
正态分布的另一个特点是其变量的概率密度分布以峰值点（也称均值）为中心，随着距离峰值点距离的增加，概率密度值线性下降，最终收敛于“零”，即其他变量的概率密度值都接近于“零”。
正态分布函数是由卡洛斯高斯（Carl Friedrich Gauss）发明的，他是19世纪著名的德国数学家，也是拉格朗日的最重要的学生。
高斯在椭圆曲线的基础上发展出了正态分布函数。
今天，正态分布被称为“高斯分布”，它是数学中最重要的平均分布之一。
正态分布函数广泛用于自然科学、经济学、金融学、医学等领域，甚至在日常生活中也有广泛的应用。
例如在统计学中，正态分布可用于查明某种现象的发生概率。
例如，在众多病例中，某种病毒的检测结果可能分布在正态分布函数拟合的曲线上。
正态分布的应用广泛，在许多领域可以提供有价值的信息。
例如，在营销研究中，正态分布可以帮助公司分析客户购买行为的分布情况；在金融领域，正态分布可以被用来标准化和分析参数的概率分布，以帮助进行风险分析；在经济学领域，正态分布可以为经济预测提供历史数据；在教育学领域，正态分布可以用来分析学生对某科目的考试成绩分布状况；此外，正态分布函数还可以用于图像处理，以及语音识别等多种应用中。
正态分布函数是一种有效的概率分布方法，它可以帮助人们更好地了解自然现象的变化趋势，并可以有效地分析出其中的规律。
同时，它还可以提供在多个领域有效的实用解决方案。
总之，正态分布函数是一个极其有效而常见的统计概念，可以说它无处不在，有利于我们理解自然现象、改善人类生活和发展环境。
浅谈正态分布论文
正态分布浅谈摘要正态分布在概率论与数理统计中占有很重要的地位，是许多概率形成的理论基础，它是不以人的主观思想而转移的。
正态分布有统一的表达式，通过表达式我们可以发现正态分布是一个怎样的分布。
在自然界和人类活动的范畴里，大量的随机变量都服从正态分布，如测量误差、产品的各类质量指标、人的身高、某一区域的成绩、计算机大量的数据处理和内部的算法运行等等都趴在了正态分布的曲线图上，可以说，服从正态分布的随机变量应用已经是自然的规律，所以多年来科学家对正态分布的探究是非常值得的。
本文通过对正态分布的基础入手，阐述正态分布在各行业所起的作用，如机械设计、医疗统计、水平测试等。
关键词正态分布；表达式；应用1、正态分布的由来和发展正态分布是最重要的一种概率分布。
正态分布概念是由德国的数学家和天文学家（棣莫佛）于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布。
高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。
高斯是一个伟大的数学家，重要的贡献不胜枚举。
但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。
这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。
在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。
这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。
拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章(发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。
这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。
后来到1837年，海根在一篇论文中正式提出了这个学说。
论正态分布的重要地位和应用2
学校代码13651编号0320150016本科毕业论文（设计）题目：论正态分布的重要地位和应用学部：工学部学生姓名：王梅影学号：2011070102021年级：2011级专业班级：信息与计算科学指导教师：赵姣珍职称：讲师完成时间：2015/5/15中国·贵州·贵阳成果声明本人的毕业论文是在贵州民族大学人文科技学院赵姣珍老师的指导下独立撰写并完成的。
毕业论文没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
本声明的法律结果由本人承担。
论文作者签名：日期年月日目录摘要 (1)Abstract (2)1绪论 (3)1.1研究背景 (3)1.2研究目的 (3)1.3研究现状 (4)1.4研究意义 (4)2 正态分布相关知识介绍 (5)2.1正态分布的概念 (5)2.2正态分布曲线特性 (5)2.3 标准正态分布 (8)3 正态分布的应用 (9)3.1 正态分布应用实例 (9)3.1.1 正态分布在生产中的应用 (9)3.1.2正态分布在日常生活中的应用 (10)3.1.3正态分布在销售分类中的应用 (11)3.1.4正态分布在工作学习中的应用 (12)3.1.5 正态分布在仪器测量中的应用 (12)3.2 正态分布的应用价值 (14)总结 (15)参考文献 (16)致谢 (17)摘要：正态分布是一种最常见的连续型随机变量的分布,是概率论中最重要的一中分布.在理论上和实际生活中正态分布具有重要地位，数理统计中的正态分布是很多重要问题的解决的基础，在理论研究中占有举足轻重的地位.本文首先针对正态分布这一理论研究与实际应用都占有重要地位的概率分布展开分析研究，从其基本概念出发，然后分析其特性以及各种应用价值，最后通过一系列研究给出正态分布具有重大作用的理论依据.关键词：正态分布标准正态分布方差标准差Abstract: The normal distribution is the most common distribution of a continuous random variable whether in theoretical research or practical application. It occupies pride of place in that it has a wide application in the field . It can solve many important problems in the mathematical statistics which based on the normal distribution for the normal distribution, so in theory to study the normal distribution.This paper analysis the normal probability distribution according to the theoretical research and practical application which occupy an important position in many science fields from the basic concept, analysis and application value of its characteristics. The theoretical basis is given through a series of studies on the normal distribution has a significant role.Key words: The normal distribution Standard distribution The curve Standard deviation1绪论1.1研究背景随机现象存在于自然界和人类生活中的每一个角落，因此概率论在现实中的应用非常之广泛，而在概率论中的最主要的一个分支就是正态分布（Normal distribution），正态分布不仅在金融、精算以及保险等新型领域中占有重要地位，而且对于医学、物理学、生物学等领域的影响也是不可忽略的.正态分布又被称为高斯分布，正态分布在统计学科、数学领域、自然生物领域都有着极其关键作用的概率分布.我们假设连续性随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2).μ决定了正态分布的期望值，其标准差σ决定了分布的幅度.由于正态分布的曲线也称为钟形曲线.在日常的学习研究之中，标准正态分布，它是μ =0,σ = 1的正态分布.正态分布是我们生活中不可或缺的一部分，如果能够充分理解它，它能够带来的利益也是无法估量的.作为新时代的大学生，很好地掌握正态分布的原理并能够将其运用于社会生活中，是我们的一个任务，为此对正态分布进行系统的学习和研究.1.2研究目的正态分布是统计方法的理论中最为基础的部分，是不以人类的意志而转移的统计规律，具有统一的函数表达式.正态分布在实际生活中，存在着很多服从正态分布的例子,.比如测量产品的误差、产品质量的测量，农业作物的产量等.服从正态分布的随机变量应用非常之广.没有任何一种随机变量可以相比较.所以，我们需要对正态分布进行深入广泛的研究.为了能够更好地掌握正态分布，让其能够更好地被应用生活之中，为人类谋取更多的福利，对其在理论和应用方面进行了系统的研究以求进一步的了解正态分布的奥秘.1.3研究现状正态分布概念首先由数学家De Moivre发现引入并提出，然后直到1809年，德国数学家Gauss将其应用于自然科学的广泛研究，因此又被称作高斯分布.正态分布最早是通过进行误差分析而发现的.进入近代统计时代，拉普拉斯首次提出了概率论的古典定义，把概率论的理论作为基本理论，再次进行了中心极限定理的证明，进一步完善了观测误差论，在前人的基础上进行了一次伟大的改革.19世纪50年代凯特莱运用大量的概率论原理对自然和社会现象进行测量，然后统计出大数据，这些数据反映出来的规律可以体现事物的变化，甚至可以预测未来事件发生的可能性.随后凯特莱有对正态曲线进行了拓展，高尔顿对正态分布进行了创新.19世纪起，以马尔可夫和切比雪夫为代表的数学家通过引入随机变量的盖帘，建立了随机变量的独立性和非独立性的标准，提出了收敛到正态分布的充要条件.到达20世纪，通过哥赛特，费歇尔等人的努力，小样本理论诞生了，正态分布的地位得到了进一步的巩固.20世纪后，统计学家在实验中获得的数据越来越精确，由统计分析得到的结论得到了普遍认可.1.4研究意义正态分布具有极其广泛的实际应用背景，在人们的各种生产生活以及科学实验当中，有大量的随机变量的概率分布特性都可以近似的用正态分布来描述.当我们描述某一件事或者某一个要达到的目标时，大部分的个体所发挥出来的特性都能够很好地服从正态分布.这也就是说，对于大量的个体的特性统计分析，可以尝试利用正态分布来估量.除此之外，正态分布也可应用到解决现实生活问题，产品质量管理、人体生理的特征及学生的综合素质等多领域都可以用正态分布进行研究.因此，正态分布作为一种最常见的连续型随机变量的分布，不仅在概率论和数理统计的理论研究中有重要地位，而且在实际应用上也有着重要研究价值.充分研究正态分布在理论和应用中的重要定位，可以让我们充分学习到正态分布的理论知识，站在前人的肩膀上获得最好的研究成果.有利于在今后的研究中少走弯路，为今后研究打好基石.2 正态分布相关知识介绍2.1正态分布的概念正态分布又被称作高斯（Gauss ）分布或常态分布.正态分布曲线的两边低，中央是高峰，逐渐下降至两侧，左右呈现对称的，曲线不与横轴相交.设连续型随机变量ξ的密度函数为:()()22221σμπσϕ--=x e x ()x -∞<<+∞ (2.1)(其中μσ、是常数,且 0σ>,μ为所研究的正太总体平均值,σ为标准差,x 为随机抽取得正态分布中的样本值).则称随机变量ξ服从参数为μσ、的正态分布,记作()2,~σμξN ，正态分布密度函数的图形如下图所示，这条曲线应称作“正态分布曲线”.图2-1 正态密度曲线分布图2.2正态分布曲线特性对上式（2.1）进行一定的数学计算处理：对式（2.1）求导，可得：)(21)(222)(3μπσϕσμ-⋅-='--x e x x （2.2）令()0='x ϕ,则有x μ=,即当x μ=时, ()x ϕ有极大值max ()2x ϕσπ=对式（2.2）求导有: ()()()[]22252221σμπσϕσμ--⋅=''--x e x x (2.3) 令()0=''x ϕ,则有()22x μσ-= ,即曲线在:x μσ=±可以看到拐点，而且有两个.表2-1 正态曲线的特性表 x (,)μσ-∞- σμ-(,)μσμ- μ (,)μμσ+ σμ+ (,)μσ++∞()x ϕ' + ++ 0 - - - ()x ϕ' + 0- - - 0 + ()x ϕ ↑ e πσ21 ↓πσ21 ↑ e πσ21 ↓ 曲线 凹 拐点 凸 极大值 凸 拐点凹 对正态分布整体特性做了一定的介绍之后，下面对参数当μ和σ的意义进行阐释，当它们确定后，正态曲线就几乎能够得到了完全的确定.μ和σ 不同，μ的大小决定曲线的“高”、“矮”、“胖”、“瘦”，如果μ不变，改变σ，则曲线在x 轴上的位置不变，形状会变化，σ愈小，曲线愈“高瘦”；σ越大，曲线越“矮胖”，如图2-3所示； 如果σ不变，改变μ，那么曲线形状不变，只在x 轴上平行移动如图2-2所示：图2-2 正态曲线的特性图图2-3 正态曲线的密度函数图我们从几何的角度对上图进行分析，在上图中，μ是高斯曲线取得极大值的横坐标、σ是曲线中拐点横坐标与极大值坐标μ间的距离，也能够说σ是凸、凹曲线的连接点在横坐标轴的位置；从物理的角度对上图进行分析，在上图中，μ是正态曲线与x轴之间所构成的平面图形重心的横坐标.在计量学科中，μ是被测量的随机变量的真值，σ是表征随机变量对象测量值分散特性的一个评价尺度因素.在数理统计学科中，μ被称为数学期望也就是平均值，σ是随机变量的标准偏差.当σ的值越小，说明观测值落在μ所在横坐标左右范围的概率越大，观测值较集中，测量精度相对较高；σ的值越大，说明观测值落在μ所在横坐标左右范围内的概率越小，观测值较分散，测量精度偏低.综上所述，正态分布的参数μ代表着随机变量样本观测值的集中的趋势,参数σ反映了随机变量样本观测值的分散程度.2.3 标准正态分布称1,0==σμ的正态分布为标准正态分布，将1,0==σμ代入(2.1)式可以得到：()2221x ex -=πϕ ()x -∞<<+∞ (2.4)式(2.4)为标准正态分布的密度函数，服从标准正态分布的随机变量()2,~σμξN通过对概率论的学习告诉我们，标准正态分布的分布函数(也叫概率分布函数)为：()()()()dt edt t x P x P x F t x x 2221-∞-∞-⎰⎰==<<∞-=<=πϕξξ (2.5)通常用()x Φ表示标准正态分布的分布函数，即：()()()()dt edt t x P x P x t x x2221-∞-∞-⎰⎰==<<∞-=<=Φπϕξξ (2.6)取不同的x 的值，式(2.6)的几何意义是在区间(),x -∞内正态曲线与x 轴之间所围曲边梯形的面积,如图所示,图2-4 标准正态分布的分布函数图这也是将“正态分布表”称作“正态概率曲线下的面积”的道理.由于密度函数()x ϕ可以在整个x 轴上取值，密度函数性质得:12122=-∞+∞-⎰dt et π即迎合了正态曲线的一个性质：线与x 轴所围面积为l.3 正态分布的应用3.1 正态分布应用实例 3.1.1 正态分布在生产中的应用正态分布实际应用很广，在很多产品生产及科学实验中，随机变量的概率分布特性都可以近似的用正态分布来描述.对于大量的个体的特性统计分析，可以尝试利用正态分布来估量.例3.1 有一种螺纹量规平均可使用5年,其标准差为0.8年.假设螺纹量规的使用寿命服从正态分布,试求以下概率:1)使用期不到4年;2)使用期超过6年.解 设量规使用期为随机变量ξ,由题意知()28.0,5~N ξ,本题求()()46P P ξξ<>和 1) 根据公式有:()()()44544 1.250.10560.8P P μξξσ--⎛⎫⎛⎫<=-∞<<=Φ=Φ=Φ-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,或由公式可得()()()()4045054040.80.81.25 6.250.105600.1056P P μμξξσσ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=<<=Φ-Φ=Φ-Φ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=Φ--Φ-=-=,2) 根据公式有()()()6561611 1.2510.89440.10560.8P P ξξ-⎛⎫>=-≤=-Φ=-Φ=-= ⎪⎝⎭.例3.2 某车间加工一批轴,其直径服从正态分布,平均直径μ=l0mm ,标准差σ=0.015mm .规定直径在(10±0.03)mm 范围内为合格品.求:1)不合格品的概率;2)合格品的概率.解 设这批轴的直径为随机变量ξ,由题意知()015.0,10~N ξ.03.10>ξ和97.9<ξ为不合格品.1) ()()()9.97109.9710.03110.030.015不合格P P P P ξξξ-⎛⎫=<+>=Φ+-≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ ()()()()()()10.031021212[12]120.015222220.977250.0455-⎛⎫=Φ-+-Φ=Φ-+-Φ=-Φ+-Φ ⎪⎝⎭=-Φ=-⨯= 2) ()10.03109.97109.9710.030.0150.015合格P P ξ--⎛⎫⎛⎫=<<=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2222120.9772510.9545=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=,或 110.04550.9545P P =-=-=合格不合格. 即975.002.0=⎪⎭⎫ ⎝⎛Φd .3.1.2正态分布在日常生活中的应用在自然界以及人类自然生活中,很多的实践经验证实，正态分布这种随机变量的概率分布的应用是十分广泛的，十分常见.例如：人的身高、体重、生物的生理尺寸等外观评估指标.随机测量误差指标等，都能够看作是近似服从的正态分布. （1）已知某条件下的概率,求参数μ 和σ例3.3 有一群男子,4％的身高在m 608.1以下,有52％在m 608.1到m 753.1之间.若身高成正态分布,求这一分布的平均值和标准差.解 由题意得:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=<=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=<56.052.004.0753.1753.104.0608..1608.1σμξσμξP P ,由概率值0.04和0.56反查正态分布表得: ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-15.0753.175.1608.1σμσμ,化为:⎩⎨⎧=--=+-015.0753.1075.1608.1σμσμ, 解得:()()⎩⎨⎧==m m 742.1076.0μσ, 即这群男子平均身高为m 742.1,标准差为mm 076.0.(2)已知 μ,σ 和区问(a,b)内的变量数,求总变量数例3.4 某天中午一餐厅所有顾客吃饭用的钱服从正态分布,平均数为8.74元,标准差为1.2元.这天中午有420人吃午饭用了8.5元或更多,问一共来了多少顾客？解 ()()()5793.04207.012.012.174.85.815.815.8=-=-Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=≤-=>ξξP P故总顾客数为: 7255793.0420=÷=ξ(人).3.1.3正态分布在销售分类中的应用例3.5 某水果重量成正态分布,现进行分级,20％为小的,55％为中等,15％为大，10％为特大.所有水果平均重量为241.5g ,标准差为60g ,求中等水果的下限与上限的重量.解 由题意知,中等水果下限下x 以下的概率为0.20,上限为上x 以下的概率为 (0.20+0.55)=0.75,于是有:()75.0605.241=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=<下下下x x x P σμξ()75.0605.241=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=<上上上x x x P σμξ 84.0605.241-=-下x 675.0605.241=-上x反查正态分布表得:g x 1.19184.0605.241=⨯-=下 g x 282675.0605.241=⨯+=上即中等水果下限重量为191g ,上限为282g .3.1.4正态分布在工作学习中的应用正态分布不仅是概率论与数理统计的一种基本研究工具，也可以将它应用到解决考试成绩与学生综合素质研究的现实生活问题当中.例3.6 某公司对职工进行基本理论考试,决定给14％ 的人以优.由以往经验知考试成绩成正态分布,平均分数为80分,标准差为14分,问职工至少考多少分方能得优?解 设至少考x 分方能得优,由题意:()()14.0148011=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=<-=≥x x P x P ξξ，86.014.011480=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φx . 反查正态分布表得:08.11480=-x ， 故9508.11780=⨯+=x (分)即考生至少得95分方能得优.3.1.5 正态分布在仪器测量中的应用正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标. 可以制定参考值范围. （1）已知μ ,σ及各范围内的概率,求某范围的上、下限例3.7 用某量具测量(5.26±d)mm 这一尺寸.已知测量值平均数为5.26mm ,标准差为0.02mm ,测量值服从正态分布.要使测量值的95％都在公差范围内,问d 值应定为多少?解 本题是求概率为0.95的尺寸范围.设测得的值为随机变量ξ,则()202.0,26.5~N ξ.由题意得() 5.26 5.26 5.26 5.265.26 5.260.020.02210.950.020.020.02d d P d d d d d ξ+---⎛⎫⎛⎫-<<+=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ-=Φ-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，反查正态分布表得:96.102.0=d， 故有mm 0392.002.096.1=⨯=σ.（2）用标堆差确定所需测量次教例3.8 用某仪器测一尺寸L,已知该仪器标准差 m μδ1=,尺寸允许的测量极限误差m μδ4.1±=,问测量一次能否达到要求？解 因δ=1.4<3σ=3,故测量一次达不到精度要求,应进行多次测量, 由式23⎪⎭⎫ ⎝⎛>δσn得559.44.13322≈=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥δσn ，可见,至少要测量5次.3.2 正态分布的应用价值正态分布理论有很多重要的理论和应用价值：（1）估计频数分布，一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例.（2）制定参考值范围.（3）质量控制.（4）制定医学参考值范围:医学现象中，如同质群体的身高、红细胞数，及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些指标虽服从偏态分布，但经数据转换后的新变量可服从正态或近似正态分布，可按正态分布规律处理.总结正态分布不仅是概率论与数理统计的一种基本研究工具，也可以将它应用到解决一些现实生活问题当中.医学遗传分析、考试成绩与学生综合素质研究以及质量管理和控制等诸多领域都可以利用正态分布进行研究.正态分布是统计方法的理论中最为基础的部分，具有统一的函数表达式.正态分布在实际应用中也扮演着不可或缺的角色.在自然界和社会中，存在着很多服从或近似服从正态分布的例子，如测量产品的误差、各类质量指标的测量，经济学中的股票价格走向的估计，生物学中农业作物收获量的猜测等等.服从正态分布的随机变量应用之广是任何一种随机变量不可比拟的.为此，对正态分布进行更深入更广泛的研究也是必不可少的.为了能够更好地掌握正态分布，让其能够更好地被应用生活之中，为人类谋取更多的福利，对其在理论和应用方面进行了系统的研究以求进一步的了解正态分布的奥秘.参考文献[1] 概率论与数理统计（第三版）高等教育出版社.[2] 龚光鲁.概率论与数理统计.清华大学出版社.[3] 胡细宝.概率论与数理统计与随机过程.北京邮电大学出版社.[4] 上海交大应用数学系.概率论与数理统计初步.上海交太出版社,1989.1.[5] 沈恒范.概率论讲义[M].第2版.人民教育出版社,1983.4.[6] 盛骤等.概率论与数理统计[M].第3版.高等教育出版社,2001.12.[7] 范金城等.概率论与数理统计[M].西安交大出版社,2001.10月.[8] 周富臣等.机械制造计量检测技术手册[J].机槭工业出版社. 2000.10.[9] 王梓坤著.概率论基础及其应用[M].北京师范大学出版社，1996.[10] 李逢高著.概率统计应用与提高[M].科学出版社，2005.[11] 朱燕堂等著.应用概率统计方法[M].西北工业大学出版社，1997.致谢在历时三个月时间的努力下，我终于顺利写完了毕业论文.在这篇充满奋斗的历程中，带给我的学习生涯无限的激情和收获.在我的论文的写作的过程中，虽然遇到了一些困难和阻碍，不过感谢在同学和老师的帮助下我都度过了.不管是在图书馆收集查找资料还是借阅书籍文献的时候，图书馆的老师都给了我许许多多的帮助.在此，我要特别感谢我的论文指导老师——赵姣珍老师，感谢她在论文写作这三个月期间对我进行了无微不至的帮助，一次一次不厌其烦的为我进行论文的修正与改进，如果没有赵老师的悉心指导，我想我也将不会顺利的完成我的论文.同样我向所有指导过以及帮助过我的老师们表示最由衷的感谢！同时，我也要感谢本论文所引用的众多学者的著作，若没有这些学者的研究成果的启发和引导帮助，我也将无法完成我的论文.我还要感谢我的同学和朋友们，是你们给我打气给我鼓励，还给予我有价值的论文相关资料，在论文的排版及撰写过程中给予我的支持与热情的帮助！最后，由于我的专业学术水平有限，所写论文也许有些许不足，诚恳殷切地希望老师们和同学们能够给予我批评与指正！谢谢！。
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正态分布【摘要】正态分布又名高斯分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
它概率论中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布。
该分布由两个参数——平均值和方差决定。
它是一种最常见的连续性随机变量的概率分布，其概率密度函数曲线以均值为对称中线,方差越小，分布越集中在均值附近。
其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
【关键字】高斯分布、概率分布、平均值、方差、钟形曲线、连续性随机变量【正文】大二下学期所学的概率论是一门研究随机现象数量规律的科学。
随机现象在自然界和人类生活中无处不在，因而概率论在现实中的应用也非常广泛，而在概率论中正态分布是其主要的分支，正态分布不仅在概率统计中发挥着重大作用而且在医学、物理学、生物学等领域中都发挥着重大作用。
【一】正态分布的由来正态分布是最重要的一种概率分布。
正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。
高斯是一个伟大的数学家，重要的贡献不胜枚举。
但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。
这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。
在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。
这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。
拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章(发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。
这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。
后来到1837年，海根(G.Hagen)在一篇论文中正式提出了这个学说。
其实，他提出的形式有相当大的局限性：海根把误差设想成个数很多的、独立同分布的“元误差” 之和，每只取两值，其概率都是1/2，由此出发，按狄莫佛的中心极限定理，立即就得出误差(近似地)服从正态分布。
拉普拉斯所指出的这一点有重大的意义，在于他给误差的正态理论一个更自然合理、更令人信服的解释。
因为，高斯的说法有一点循环论证的气味：由于算术平均是优良的，推出误差必须服从正态分布；反过来，由后一结论又推出算术平均及最小二乘估计的优良性，故必须认定这二者之一(算术平均的优良性，误差的正态性) 为出发点。
但算术平均到底并没有自行成立的理由，以它作为理论中一个预设的出发点，终觉有其不足之处。
拉普拉斯的理论把这断裂的一环连接起来，使之成为一个和谐的整体，实有着极重大的意义。
【二】正态分布的定义正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。
服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。
正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。
它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。
当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。
μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。
多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
【三】正太分布的特征（1）正太分布的曲线特征正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。
1、集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
2、对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
3、均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
4、正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N（μ，σ）：均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。
σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。
5、u变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。
（2）正态曲线下面积分布1．实际工作中，正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比，或变量值落在该区间的概率（概率分布）。
不同范围内正态曲线下的面积可用公式计算。
2.几个重要的面积比例轴与正态曲线之间的面积恒等于1。
正态曲线下，横轴区间（μ-σ，μ+σ）内的面积为68.268949%，横轴区间（μ-1.96σ，μ+1.96σ）内的面积为95.449974%，横轴区间（μ-2.58σ，μ+2.58σ）内的面积为99.730020%。
（3）正态分布函数特征若已知的密度函数（频率曲线）为正态函数（曲线）则称已知曲线服从正态分布，记号～。
其中μ、σ2 是两个不确定常数，是正态分布的参数，不同的μ、不同的σ2对应不同的正态分布。
(1)μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。
正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。
正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于μ。
(2)σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。
也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。
（4）标准正态曲线1．标准正态分布是一种特殊的正态分布，标准正态分布的μ和σ2为0和1，通常用ξ（或Z）表示服从标准正态分布的变量，记为 Z～N（0，1）。
2．标准化变换：此变换有特性：若原分布服从正态分布，则Z=(x-μ)/σ～N(0,1) 就服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。
故该变换被称为标准化变换。
3. 标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X(当前值）范围内的面积比例。
（5）一般正态分布与标准正态分布的转化由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。
只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。
“小概率事件”和假设检验的基本思想“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。
这种认识便是进行推断的出发点。
关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。
【四】正太分布的应用正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。
例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。
一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。
从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。
其主要应用如下：1估计频数分布一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例。
2.制定参考值范围（1）正态分布法适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。
（2）百分位数法常用于偏态分布的指标。
表3-1中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握。
3. 质量控制：为了控制实验中的测量（或实验）误差，常以作为上、下警戒值，以作为上、下控制值。
这样做的依据是：正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布。
4.正态分布是许多统计方法的理论基础。
检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。
许多统计方法虽然不要求分析指标服从正态分布，但相应的统计量在大样本时近似正态分布，因而大样本时这些统计推断方法也是以正态分布为理论基础的。
5制定医学参考值范围:某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些指标（变量）虽服从偏态分布，但经数据转换后的新变量可服从正态或近似正态分布，可按正态分布规律处理。
其中经对数转换后服从正态分布的指标，被称为服从对数正态分布。
6统计方法的理论基础：如t分布、F分布、分布都是在正态分布的基础上推导出来的，u检验也是以正态分布为基础的。
此外，t分布、二项分布、Poisson分布的极限为正态分布，在一定条件下，可以按正态分布原理来处理。
【五】正太分布的意义在联系自然、社会和思维的实践背景下，我们以正态分布的本质为基础，以正态分布曲线及面积分布图为表征（以后谈及正态分布及正态分布论就要浮现此图），进行抽象与提升，抓住其中的主要哲学内涵，归纳正态分布论（正态哲学）的主要意义如下：(1)整体论正态分布启示我们，要用整体的观点来看事物。
“系统的整体观念或总体观念是系统概念的精髓。
” 正态分布曲线及面积分布图由基区、负区、正区三个区组成，各区比重不一样。
用整体来看事物才能看清楚事物的本来面貌，才能得出事物的根本特性。
不能只见树木不见森林，也不能以偏概全。
此外整体大于部分之和，在分析各部分、各层次的基础上，还要从整体看事物，这是因为整体有不同于各部分的特点。
用整体观来看世界，就是要立足在基区，放眼负区和正区。
要看到主要方面，还要看到次要方面，既要看到积极的方面还要看到事物消极的一面，看到事物前进的一面还要看到落后的一面。
片面看事物必然看到的是偏态或者是变态的事物，不是真实的事物本身。
(2)重点论正态分布曲线及面积分布图非常清晰的展示了重点，那就是基区占68.27%，是主体，要重点抓，此外95%，99%则展示了正态的全面性。
认识世界和改造世界一定要住住重点，因为重点就是事物的主要矛盾，它对事物的发展起主要的、支配性的作用。
抓住了重点才能一举其纲，万目皆张。
事物和现象纷繁复杂，在千头万绪中不抓住主要矛盾，就会陷入无限琐碎之中。
由于我们时间和精力的相对有限性，出于效率的追求，我们更应该抓住重点。
在正态分布中，基区占了主体和重点。
如果我们结合20/80法则，我们更可以大胆的把正区也可以看做是重点。