模型参考自适应控制(建大)资料
第5章 模型参考自适应控制
设n1 ( s ) nm ( s ) ( s) nm ( s ) ( s ) n1 ( s )n p ( s ) nm ( s ) ( s)n p ( s) a ( s ) ( s )n p ( s )
d p ( s )d1 ( s ) k p n p ( s )n2 ( s ) d m ( s ) ( s ) d p ( s )d1 ( s ) k p n p ( s )n2 ( s ) d m ( s ) ( s )n p ( s ) d1 ( s ) d m ( s ) ( s ) d p ( s ) k p n2 ( s ) n p (s) q( s)d p ( s) p( s) p( s) d1 ( s ) q ( s )n p ( s ), n2 ( s ) kp
例题
x p a p x p bp u y p cp xp c p bp 1 G p ( s) , Gm s - ap s 1
设 ( s ) s a d m ( s ) ( s ) ( s 1)( s a ) d p (s) s - ap s 1 a a p a a p (1 a a p ) 1 C0 c pbp n1 ( s ) d 2 ( s ) s a d1 ( s ) n p ( s ) q ( s ) s 1 a a p a a p (1 a a p ) n2 ( s ) p ( s ) / k p c pbp
未知或 者缓慢 变化
nm ( s) n p ( s) n( s) d m ( s) d p ( s) d ( s) 求C0
对象参数未知或者部分参数未知 lime(t)=0
模型参考自适应控制
e
c
(Km
'eym
K
p
Kc
)r
设在t=0时，输入r(t)=R(阶跃),假定ym的动态响应比e的自适应调
整过程快得多，则当时间充分长以后，ym取稳态值KmR,yp取稳态
值Kc(0)KpR,此时输出的广义误差e满足：
a2e a1e e -KmKp' R2e
a2e a1e e KmKp' R2e 0
r(t) Kc
自适应机构
KpQ(s) P(s)
e -
y
图 1 增益可调的参考模型自适应 控制系统
即e(t)所满足的微分方程为：P(D)e (Km KcK p )Q(D)r
微分算子：D
d dt
,
D2
d2 dt 2
.
.
.
.
两边对Kc求导：
P(D) e Kc
K pQ(D)r
ym
– 对实际控制系统来说,带有微分因素的控制规律对系统的环 境变化或扰动较敏感,容易引起系统的不稳定,而且实现纯 微分环节也较困难.
– 因此,该自适应规律在具体实现上有一定困难.
– 为此，可在选择P矩阵时使P满足PB=μCT =[μ 0 … 0]T，
– μ>0此时就有
K c
er,
K p
i0
i0
下面基于李氏稳定性理论,设计比例调节器的增益Kc的自适应 规律.
• 首先定义如下广义误差 e=ym-y • 因此,误差e的传递函数为
E(s) r(s)
(Km
-
Kc Kp )
N (s) D(s)
模型参考自适应控制建大资料精品PPT课件
p( s )
p( s )
其中: p(s) sn a1sn-1 an-1s an
q(s) b1sn-1 b2sn-2 bn
– Km为常数，根据系统希望的动态响应事先确定 – p(s)、q(s)已知
R
—kpm(—qs()—s)
ym +e
Kc
Kp
-pq-((-ss-))- -
yp
适应律
R
- 麻省理工学院于1958年提出的，因此也叫MIT方法 - 最早提出、最早应用的一种方法 - 理论简单，实施方便，可用模拟元件实现 - 实质是一个可调增益的系统
一. 单个参数的MIT方法
第三章模型参考自适应控制 §2 局部参数最优化设计方法
工作背景
设参考模型为 Kmq( s) ，对象模型为 K p(t)q(s)
一般来说，自适应控制系统在反馈控制的 基本回路上加上自适应机构构成。具有三 方面的功能：
（1）在线辨识。 （2）决策控制。 （3）在线修正。
自适应控制系统主要分为两大类： （1）模型参考自适应控制系统。 （2）自校正自适应控制系统
模型参考自适应控制
(Model Reference Adaptive Control) MRAC
(2.3)
Kc
p( D)
欲消去 q(D) / p(D),
ym Km q( D)
R
p( D)
即:
q( D) p( D)
ym R Km
Байду номын сангаас
代入(2.3)式，
e Kc
-
Kp Km
ym
(2.4)
e
Kp
Kc - Km ym
Kc
-
B2e
自适应控制讲义(模型参考部分)2013-v1
第4章模型参考自适应控制系统4.1 概述⏹MRAC系统具有多种结构形式，互相之间可以互相转换。
最典型的一类MRAC系统结构框图如图4.1.1所示，由参考模型、被控对象、参数可调控制器和自适应机构组成。
⏹其中参数可调控制器由一个前馈调节器和一个反馈调节器组成，它与被控对象形成一个常规的反馈控制系统，这个系统相对于MRAC系统来说是一个“内环”。
⏹另外，MRAC系统还有一个由自适应机构组成的自适应反馈回路，称为“外环”，用来调节内环参数可调控制器中的相关参数。
⏹MRAC系统的参考模型体现了人们对闭环控制系统的性能要求。
也就是说，这个参考模型反映了人们期望闭环控制系统如何响应指令信号。
图4.1.1 典型MRAC系统的结构框图到目前为止，已有许多种类型的MRAC系统，并且采用不同分类标准就有不同的分类方法。
⏹如按结构特征来分类，可将MRAC系统分为并联MRAC系统、串联MRAC系统以及串并联MRAC系统。
一般，这三种结构是从不同的观点来讨论的，但是用统一的方法对它们进行分析和综合也是可能的。
⏹根据自适应机构对系统的影响方式可以分为参数自适应方式和信号综合自适应控制方式。
前者表示自适应机构根据参考模型与被控对象之间的误差直接修改控制器的参数，如图4.1.1中从自适应机构出发的实线所代表的方式；后者是由自适应机构产生一个辅助输入信号来修改加在被控对象的信号，如图4.1.1中从自适应机构出发的虚线所代表的方式。
根据MRAC系统的设计方法可以分为如下三类：基于局部参数最优化的方法、基于Lyapunov稳定性理论的方法以及基于Popov超稳定性理论的方法。
⏹基于局部参数最优化的方法是最早采用的MRAC系统设计方法，通常称为MIT律。
⏹基于Lyapunov稳定性理论的方法是Butcharty及Parks于六十年代中期相继提出的，这种方法与局部参数最优化方法相比，不仅可保证系统的稳定性，还具有自适应速度快的优点。
⏹由法国学者Landau于1969年提出的基于Popov超稳定性理论的方法，主要是以Popov超稳定性理论为基础，由于不需要选择Lyapunov函数，并且能给出一族自适应规律，从而该方法有利于设计者结合实际系统灵活地选择合适的自适应规律。
自适应控制第4章
25
（3）一般n阶定常线性系统
数学模型: e=ym-yr满足:
试取
(4.3.20) (4.3.21) (4.3.22) (4.3.23)
26
得自适应律:
(4.3.24)
或
(4.3.25)
可以看出,得到的自适应律依赖于整个状态向量X(t),即,自适 应控制律不仅与广义误差e(t)有关,而且与e(t)的各阶导数有 关,为自适应律的实现带来极大不便。
选定指标泛函:
(4.2.4)
(4.2.5)
(4.2.6) (4.2.7) (4.2.8)
8
广义误差对输入的开环传函:
对Kc求偏导: 另根据参考模型 比较(12)、(13):
(4.2.9)
(4.2.10) (4.2.11) (4.2.12) (4.2.13) (4.2.14)
(4.2.15)
可调增益Kc的自适应律—MIT自适应规则(1958 年MIT提出)
9
自适应系统的 数学模型
图4.2.3 MIT可调增益自适应系统
开环广义误差方程
参考模型方程 (4.2.16)
参数调节方程(自适应律)方程 10
凡是用可凋增益构成自适应系统,都可套用 上述模型。
缺点:设计过程中未考虑稳定性问题 因此,求得自适应律后,尚需进行稳定性校验,
以确保广义误差e在了司环回路中能收敛于 某一允许的数值。 补充假设: ✓ 参考模型与可调系统的初始偏差较小; ✓ 自适应速度不能太快(即u不能过大)。
综合出只与e(t)有关的自适应律。选择李亚普诺夫函数时增 加一约束条件:
自适应律简化为:
(4.3.26) (4.3.27)
第八章 模型参考自适应控制(Model Reference Adaptive Control)简称MRAC
第九章 模型参考自适应控制（Model Reference Adaptive Control ）简称MRAC介绍另一类比较成功的自适应控制系统，已有较完整的设计理论和丰富的应用成果（驾驶仪、航天、电传动、核反应堆等等）。
§9 —１MRAC 的基本概念系统包含一个参考模型，模型动态表征了对系统动态性能的理想要求，MRAC 力求使被控系统的动态响应与模型的响应相一致。
与STR 不同之处是MRAC 没有明显的辨识部分，而是通过与参考模型的比较，察觉被控对象特性的变化，具有跟踪迅速的突出优点。
设参考模型的方程为式(9-1-1)式(9-1-2)被控系统的方程为式(9-1-3) 式(9-1-4)两者动态响应的比较结果称为广义误差,定义输出广义误差为e = y m – y s 式(9-1-5)；X A X Br y CX m m m m m∙=+= X A B r y CX S S S S S∙=+=状态广义误差为ε = X m – X s 式(9-1-6)。
自适应控制的目标是使得某个与广义误差有关的自适应控制性能指标J 达到最小。
J 可有不同的定义，例如单输出系统的式(9-1-7)或多输出系统的式(9-1-8)MRAC 的设计方法目的是得出自适应控制率，即沟通广义误差与被控系统可调参数间关系的算式。
有两类设计方法：一类是“局部参数最优化设计方法”，目标是使得性能指标J 达到最优化；另一类是使得自适应控制系统能够确保稳定工作，称之为“稳定性理论的设计方法。
§9 —2 局部参数最优化的设计方法一、利用梯度法的局部参数最优化的设计方法这里要用到非线性规划最优化算法中的一种最简单的方法——J e d t=⎰20()ττJ ee d Tt=⎰()()τττ梯度法（Gradient Method ）。
1.梯度法考虑一元函数f(x)，当: ∂ f (x)/ ∂x = 0 ，且∂ f 2 (x) / ∂x 2 > 0 时f(x) 存在极小值。
模型参考自适应控制—MIT法
一 原理及方法模型参考自适应系统，是用理想模型代表过程期望的动态特征，可使被控系统的特征与理想模型相一致。
一般模型参考自适应控制系统的结构如图1所示。
图1 一般的模型参考自适应控制系统其工作原理为，当外界条件发生变化或出现干扰时，被控对象的特征也会产生相应的变化，通过检测出实际系统与理想模型之间的误差，由自适应机构对可调系统的参数进行调整，补偿外界环境或其他干扰对系统的影响，逐步使性能指标达到最小值。
基于这种结构的模型参考自适应控制有很多种方案，其中由麻省理工学院科研人员首先利用局部参数最优化方法设计出世界上第一个真正意义上的自适应控制律，简称为MIT 自适应控制，其结构如图2所示。
图2 MIT 控制结构图系统中，理想模型Km 为常数，由期望动态特性所得，被控系统中的增益Kp 在外界环境发生变化或有其他干扰出现时可能会受到影响而产生变化，从而使其动态特征发生偏离。
而Kp 的变化是不可测量的，但这种特性的变化会体现在广义误差e 上，为了消除或降低由于Kp 的变化造成的影响，在系统中增加一个可调增益Kc ，来补偿Kp 的变化，自适应机构的任务即是依据误差最小指标及时调整Kc ，使得Kc 与Kp 的乘积始终与理想的Km 一致，这里使用的优化方法为最优梯度法，自适应律为：⎰⨯+=tm d y e B Kc t Kc 0)0()(τMIT 方法的优点在于理论简单，实施方便，动态过程总偏差小，偏差消除的速率快，而Yp Yme+__+R参考模型调节器被控对象适应机构可调系统———kmq(s)p(s)KcKpq(s)-----p(s)适应律Rymype+-且用模拟元件就可以实现；缺点是不能保证过程的稳定性，换言之，被控对象可能会发散。
二 对象及参考模型该实验中我们使用的对象为：122)()()(2++==s s s p s q K s G pp 参考模型为：121)()()(2++==s s s p s q K s G mm 用局部参数最优化方法设计一个模型参考自适应系统，设可调增益的初值Kc(0)=0.2，给定值r(t)为单位阶跃信号，即r(t)=A ×1(t)。
模型参考自适应控制系统的理论基础
t1
t0
wT vdt r02 , t1 t0
问题：前馈环节满足什么条件时整个反馈系统全局稳定？
1．基本定义
x Ax Bu Ax Bw v Cx Du Cx Dw u w w f (v , t , ) , t
b1 s a1
b2 s a2
负反馈，正实
1．基本定义
1. 若s为实数,则G(s)必为实数=> a1 R, a2 R, b1 R 2. G(s)在Re(s)≥0中无极点=> a1 0 3. Re[G(jw)]>0,
2 2 => b1 (a2 ) a1 0 , R
T T V ( x, t ) || x ||2 x P x , P P P
2 V xT (F T P PF ) x || x ||Q xT Q x 0
则存在P，满足：F T P PF Q， Q QT 0
2．有关稳定性基本定理
(3) 唯一性：设 P ，则有 1 P 2
T 且 V ( x) || x ||2 x P x 是李雅普诺夫函数 P
推论2：常数矩阵F特征值的实部小于的充要条件是对任意 给定对称阵Q，存在正定对称阵P，是矩阵方程唯一解
2 P F T P PF Q
2．有关稳定性基本定理
定理(推论1)证明: 充分性、必要性、唯一性
(1) 充分性： F T P PF Q a.s
第二章 模型参考自适应控制系统的 理论基础
Lyapunov稳定性 Hyperstability超稳定性
模型参考自适应器的设计
模型参考自适应控制器设计摘要：本文首先介绍了模型参考自适应的基本概念，做出了模型参考自适应的系统结构图，然后介绍了设计模型参考自适应系统的三种常用的方法。
结合遗传算法的学习，给出了基于遗传算法设计自适应PID控制器，在论文中，随着交叉互换率与突变率随基因的适应度值而变化，因而增强了算法的性能。
最后结合MATLAB的学习，举出了一个例子，做出了仿真。
从仿真的结果来看，提高了系统的响应速度，降低了超调量，使系统更加稳定，基本达到了设计要求。
关键字：遗传算法自适应控制器仿真1.前言模型参考自适应控制(model reference adaptive control,MRAC)是从模型跟踪问题或模型参考控制(model reference control,MRC)问题引申出来的。
在MRC中，只要设计者非常了解被控对象(其模型已获知)和它应当满足的性能要求，即可提出一个被称为“参考模型”的模型，用以描述希望的闭环系统的输入输出性能。
MRC的设计任务是寻求一种反馈控制率，使被控对象闭环系统的性能与参考模型的性能完全相同。
但在对象参数未知的情况下，MRC是不可行的。
处理这种情况的一种途径是，采用确定性等价方法，即用参数估计值代替控制率中的未知参数，从而得到了MRAC结构，如图1所示。
图1 模型参考自适应控制系统结构由图1可知，MRAC 系统有两个环路组成：内环和外环。
内环与常规反馈系统类似，由被控对象和可调控制器组成，称为可调系统；外环是调整可调控制器参数的自适应回路，其中的参考模型与可调系统并联。
由于加在可调系统的参考输入信号同时也加到了参考模型的输入端，所以参考模型的输出或状态可用来规定希望的性能指标。
因此，MRAC 的基本工作原理为：根据被控对象结构和具体控制性能要求,设计参考模型，使其输出m y 表达对参考输入r 的期望响应；然后在每个控制周期内，将参考模型输出m y 与被控对象输出y 直接相减，得到广义误差信号y y e m - ，自适应机构根据一定的准则，利用广义误差信号来修改可调控制器参数，即产生一个自适应控制率，使e 趋于零，也就是使对象实际输出向参考模型输出靠近，最终达到完全一致。
自适应控制系统资料
自适应控制系统班级：姓名：学号：自适应控制自适应控制包括模型参考自适应控制和自校正控制两个分支。
前者是20世纪50年代建立起来的，它是通过自适应机构来克服系统模型参数的不确定性；后者是瑞典学者Astrom1973年提出的，它是通过在线估计系统模型参数，进而修改控制器的参数，以使系统适应环境的变化。
到70年代末和80年代初，李推普诺夫稳定性理论和轶收敛定理在自适应控制中的成功应用，使得基于稳定性分析的模型参考自适应控制系统的设计得到了蓬勃发展，形成模型参考自适应控制的完整理论体系和设计方法；秋收敛定理由于在研究自校正控制系统的稳定性有独到之处，使得基于参数估计的自校正控制系统研究取得了突破性进展。
自适应控制的概念在反馈控制和最优控制中，都假定被控对象或过程的数学模型是已知的，并且具有线性定常的特性。
实际上在许多工程中，被控对象或过程的数学模型事先是难以确定的，即使在某一条件下被确定了的数学模型，在工况和条件改变了以后，其动态参数乃至于模型的结构仍然经常发生变化。
在发生这些问题时，常规控制器不可能得到很好的控制品质。
为此，需要设计一种特殊的控制系统，它能够自动地补偿在模型阶次、参数和输入信号方面非预知的变化，这就是自适应控制。
自适应控制简介自适应控制的研究对象是具有一定程度不确定性的系统，这里所谓的“不确定性”是指描述被控对象及其环境的数学模型不是完全确定的，其中包含一些未知因素和随机因素。
任何一个实际系统都具有不同程度的不确定性，这些不确定性有时表现在系统内部，有时表现在系统的外部。
从系统内部来讲，描述被控对象的数学模型的结构和参数，设计者事先并不一定能准确知道。
作为外部环境对系统的影响，可以等效地用许多扰动来表示。
这些扰动通常是不可预测的。
此外，还有一些测量时产生的不确定因素进入系统。
面对这些客观存在的各式各样的不确定性，如何设计适当的控制作用，使得某一指定的性能指标达到并保持最优或者近似最优，这就是自适应控制所要研究解决的问题。
模型参考自适应控制共80页文档
4从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
模型参考自适应控制
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
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B1为常数
J
t
2e
e
d
Kc 0 Kc
代入上式，
Kc
Kc(0)
-
B2
t 0
e
e Kc
d
,
B2 2 B1
即:
Kc
-
B2e
e Kc
(2.1)
e : 灵敏度函数，反映参数变化 Kc 对误差e变化的大小，求解关键。
求 e ： Kc
e ym - yp
R Kc
[
Kmq(s) p(s)
-
R
调节器
被控对象
+
可调系统
Yp
适应机构
二 工作原理 分类 – 并联型
– 串联型
– 串并联型
技术难点 — 设计自适应机构，确定自适应律 – 局部参数最优化方法 – 利用李雅普诺夫稳定性理论的设计方法 – 利用波波夫超稳定性理论的设计方法
§2 局部参数最优化设计方法
第三章 模型参考自适应控制
一 单个参数的MIT方法 简介（以调节器的增益Kc作为可调参数的MIT方法）
自适应律为： Kc Beym
R为一阶跃信号，即R(t)=A×1(t)， 当t →∞，ym 达到稳态，此时，ym=Km × A 此时，e 的动态方程为( 把 Kc 代入，方程两边对t 求导)，
b2e b1e e -K pK c R -K pBeym A -K p ABeKm A
即： b2e b1e e BK pKm A2e 0
第三章模型参考自适应控制 §2 局部参数最优化设计方法
同理可得：
y i
p -1
y p
i -1
-
Di-1 y p
n
，1
1 jDj
j 1
D i -1r
n
，1 i
1 jDj
in m
j 1
可见：
t
[ y p i-1
]
-
1
[ y p ]
t
i-1
1
Di yp
n
jDj
j 1
Dir
i 1
i0
对上式两边分别求偏导，可得：
即：
y p
i y p
i
-Di -D
yp ir -
n
j 1
n
j
j 1
jD Dj
j y p i
y p
i
y p
i
y p
i
-
Di y p
n
， 1
1
jD j
j 1
Dir
n
， 1 i
1
jD j
in m
j 1
二 具有多个可调参数的MIT的设计
三 局部参数优化方法的稳定性问题
b2e b1e e BK pKm A2e 0
第三章模型参考自适应控制 §2 局部参数最优化设计方法
根据劳斯稳定判据，列出劳斯行列式:
s3
b2
1
s2
b1
BK p Km A2
s1 b1 - b2 BK p K m A2
0
b1
s0
1
得知，当
BK p K m A2
b1 b2
R
调节器
被控对象
+
可调系统
Yp
适应机构
二 工作原理
自适应控制（模型跟随） - 参考模型输出Ym(k)是可调系统的参考轨迹 - 希望对象的动态输出跟踪参考模型的输出 - 适应机构比较两者之差，确定自适应规律 - 改变调节器参数（参数自适应型），或产生一辅助输入信 号(信号综合型)
第三章模型参考自适应控制
- 麻省理工学院于1958年提出的，因此也叫MIT方法 - 最早提出、最早应用的一种方法 - 理论简单，实施方便，可用模拟元件实现 - 实质是一个可调增益的系统
一. 单个参数的MIT方法
第三章模型参考自适应控制 §2 局部参数最优化设计方法
工作背景
设参考模型为 Kmq( s) ，对象模型为 K p(t)q(s)
时，系统不稳定。
作业：实验2 用局部参数最优化方法设计MRAC
实验二 用MIT方法设计模型参考自适应控制系统
1. 要求 某一被控对象:
q( s )
2
Gp(s) K p
p( s )
s2 2s 1
参考模型:
q(s)
1
Gm (s) Km
p( s )
s2 2s 1
用局部参数最优化方法设计一个模型参考自适应系统，了解这种设计方
(2.3)
Kc
p( D)
欲消去 q(D) / p(D),
ym Km q( D)
R
p( D)
即:
q( D) p( D)
ym R Km
代入(2.3)式，
e Kc
-
Kp Km
ym
(2.4)
e
Kp
Kc - Km ym
Kc
-
B2e
e Kc
(2.1)
第三章模型参考自适应控制 §2 局部参数最优化设计方法
代入(2.1)式: Kc B e ym (2.5)
其中 B
B2
Kp Km
为一系数。
自适应律为一积分适应律：Kc(t )
Kc(0)
t
B0
e
ymd
(2.6)
系统构成框图：
Kmq(s)
ym
R
P(s)
+e
-*
Kc
Kp
q(s)
p(s)
yp
*B
+
Kc(0)
需要两个乘法器和一个积分器，可用模拟元件构成。
当其它参数，如T、τ发生变化时，也可仿效这种方法设计，
第三章模型参考自适应控制
李雅普诺夫稳定性定理
二 函数的正定性 设V(X)是定义在状态空间上的一个标量函数。
1. 正定 2. 负定
3. 半正定
V
(
x)
0
0
x0 x0
V
(
x)
0
0
x0 x0
0 V ( x) 0
0
x0 某些点
x0
4.半负定 V(x)为半正定，V(x)为半负定
一般来说，自适应控制系统在反馈控制的 基本回路上加上自适应机构构成。具有三 方面的功能：
（1）在线辨识。 （2）决策控制。 （3）在线修正。
自适应控制系统主要分为两大类： （1）模型参考自适应控制系统。 （2）自校正自适应控制系统
模型参考自适应控制
(Model Reference Adaptive Control) MRAC
简单直观，但在某些情况下，不能保证设计系统的全局稳定性 考察这种方法的稳定性可观察广义误差信号的稳定性
三 局部参数优化方法的稳定性问题
第三章模型参考自适应控制 §2 局部参数最优化设计方法
例：某一二阶系统的传递函数为:
G(s)
K pq(s) p( s )
b2 s2
Kp b1s 1
b2 yp b1 y p y p K pu K p Kc R
b2 ym b1 ym ym 差方程为: b2e b1e e (Km - K p Kc ) R
自适应律为： Kc Be ym
三 局部参数优化方法的稳定性问题
第三章模型参考自适应控制 §2 局部参数最优化设计方法
广义误差方程为: b2e b1e e (Km - K p Kc ) R
稳定判据计算的结果比较。
复习：李雅普诺夫稳定性定理
第三章模型参考自适应控制
李雅普诺夫稳定性定理
一 李雅普诺夫意义下的稳定性
设系统的状态方程为: x f ( x, t )
x为系统状态，t 为连续时间变量。 如果状态空间存在某一状态Xe，使下式成立:
f ( xe ,t) xe 0
则Xe为系统的一个平衡点。 设状态空间的原点为系统的平衡点，即有: f(0，t)=0
i si
i0 n
1 isi
i 1
广义输出误差为:
e(t)=ym(t)-yp(t)，目标函数为：J
1 2
t1e2 ( t0
)d
设计目标是寻求 i (e,t), i (e,t) 的调节规律，以使J 最小。
按照单参数的调节规律，可导出下列适应律：
i
i
- Kie - K ie
e i e i
(1) 李雅普诺夫意义下的稳定性概念 用η表示系统平衡点(状态空间原点)附近 的一个球域，而用ε表示另一球域。
ε η
复习：李雅普诺夫稳定性定理
(1)稳定性概念 ε
(2) 渐进稳定性
ε
η
η
第三章模型参考自适应控制
李雅普诺夫稳定性定理
(3) 不稳定
ε η
从η域出发的 任何轨迹总 不脱离ε.
if‖x(t0)‖≤η
Kc
K
p
q(s) ]R
p(s)
(Km
-
Kc
K
p
)
q(s) p(s)
R
引入微分算子D，即: D d D2 d 2
dt
dt2
—kpm(—qs()—s)
Kp
-pq-((-ss-))-
适应律
ym +e -
yp
e的微分方程:
e (Km - KcKp) q(D) R p( D)
(2.2)
e - Kp q(D) R
p( s )
p( s )
其中: p(s) sn a1sn-1 an-1s an
q(s) b1sn-1 b2sn-2 bn
– Km为常数，根据系统希望的动态响应事先确定 – p(s)、q(s)已知
R
—kpm(—qs()—s)