最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案
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2-5 求通过(0)1x =，(1)2x =，使下列性能泛函为极值的极值曲线*
()x t ：
2(1)f
t t J x dt =+⎰
解：由题可知，始端和终端均固定，
被积函数2
1L x =+，
0L x ∂=∂，2L x x ∂=∂， 2d L x dt x
∂⋅=∂ 代入欧拉方程0L d L
x dt x
∂∂-⋅=∂∂，可得20x =，即0x =
故1x c = 其通解为：12x c t c =+
代入边界条件(0)1x =，(1)2x =，求出11c =，21c = 极值曲线为*
()1x t t =+
2-6 已知状态的初值和终值为
(1)4x =，()4f x t =
式中f t 自由且f t >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*
()x t ：
2
1
1[2()()]2
f
t J x t x t dt =+
⎰ 解：由题可知，2
122L x x =+
，()4f t ψ=，()14x =，()4f x t = 欧拉方程：
L 0d L x dt x
∂∂-=∂∂ 横截条件：()00t x =x ，()()
f f x t t ψ=，(
)0f
T
t L L x
x ψ∂⎛⎫+-= ⎪∂⎝
⎭
易得到
2dx
dt
= 故12x t c =+ 其通解为：()2
12x t t c t c =++
根据横截条件可得：()()()122
121114424
f f f f f x c c x t t c t c x t t c ⎧=++=⎪⎪=++=⎨⎪=+=⎪⎩
解以上方程组得：12569f t c c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 还有一组解⎪⎩⎪
⎨⎧===1212
1c c t f (舍去，不符合题意f t >1)
将f t ，1c ，2c 代入J 可得3
140
)3(4)212(5025
.
2
*
=
-=+
=⎰⎰
•t dt x x J . 极值轨线为()*
2
69x t t t =-+
2-7 设性能泛函为
1
20
(1)J x dt =+⎰
求在边界条件(0)0x =，(1)x 自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线*
()x t 。
解：由题可知，2
1L x =+，()00x =，()1x 自由
欧拉方程：
L 0d L x dt x
∂∂-=∂∂ 横截条件：()00t x =x ，L 0f
t x
∂=∂，0f
T t L L x x ∂⎛
⎫+= ⎪
∂⎝
⎭
易得到()x t a =
其通解为：()x t at b =+
代入边界条件()
f x t a =，()00x =，1f t =，求出0a =，0b = 将f t ，a ，b 代入J 可得()1
*
2
11J x dt =+=⎰
极值轨线为()*
0x t =
2－8 设泛函
dt t x x x x L J tf
t ),,,,(2.
.120
1⎰=
端点),,(02010t x x A 固定，端点)),(),((21t t x t x B f f 可沿空间曲线 )()(),()(21f f f f t t c t t c ψϕ== 移动。试证：当泛函取极值时，横截条件为
0)()([.2.2..
.1.=⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡∂∂-+∂∂-+tf
x L x x L x L ψϕ
证：根据题意可知，此题属于起点固定，末端受约束情况，由25P
0)(.
.
.=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡∂∂--tf
T x L x c L 可得， （1）
由 c=[]T
ψϕ,,T
x x x )
,(2.
1.
.
=
),()(.
2.
.
1.
..
x x x c T
--=-ψϕ,
T x L
x L
x
L ),
(
.
.
1.
2
∂∂∂∂=∂∂
∴ .
2
2.
.1
.
1.
..
.
.
)
()
()
(x L x x L x x
T x c T
∂∂-+∂∂-=∂∂-ψϕ （2）
将（2）代入（1）式，得：
0)()(..
.22.1.1=⎥⎥
⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂-+∂∂--tf
x L x x L x L ψϕ,得证。
2-13 设系统状态方程
12()()x t x t =，1(0)2x = 2()()x t u t =，2(0)1x =
性能指标如下：
2
01()2
f t J u t dt =
⎰ 要求达到()0f x t =，试求
（1）5f t =时的最优控制*
()u t 。 （2）f t 自由时的最优控制*
()u t 。
解：由题可知
构造H ：2
12212
T
H L f u x u λλλ=+=
++ 正则方程：1
1212()0()H t x H t x λλλ∂⎧
=-=⎪∂⎪
⎨∂⎪=-=-⎪∂⎩
可求得 11
212
()()t c t c t c λλ=⎧⎨
=-+⎩