利用函数的单调性求参数的取值范围

即2ax 3x 2
a 3 x, x (0,2)
2
a
(
3 2
x)max
,
x
(0,2),
a3
分离参数法： 分离参数 构造函数g(x) 求g(x)的最值 求得参数范围
例2：
已知函数f ( x) x3 3ax2 2a2 x 1在[0,2]上是单调递增函数 求参数a的取值范围.
解： f '( x) 3x2 6ax 2a2 , x [0,2]
练出高分
B组 专项能力提升
1
2
3
4
5
6
7
值范围 数g(x)---求g(x)的最值---得参数范围 数的取值范围 次方程或可化为二次方程 的形式，要从对称轴、判别式、区间端点的
练出高分
B组 专项能力提升
1
2
3
4
5
6
7
4．已知函数 f(x)＝1a－xx＋ln x，若函数 f(x)在[1，＋∞)上为增函数，
∵函数 f(x)在[1，＋∞)上为增函数，
∴f′(x)＝axa－x21≥0 对 x∈[1，＋∞)恒成立， ∴ax－1≥0 对 x∈[1，＋∞)恒成立，即 a≥1x对 x∈[1，＋∞) 恒成立，∴a≥1.
方法：（分离参数） 2ax 3x2 3恒成立
3x2 3
a
,
2x
3x2 3 a ( 2 x )min
令g( x) 3x2 3 , x [2,4] 2x
练习1：
已知函数f ( x) x3 ax 3x 1在[0,)上是单调递增函数 求参数a的取值范围.
解： f '( x) 3x2 a 3, x [0,) 则f '( x) 0在[0,)上恒成立
数学 R A（理）
利用函数单调性求参数的 取值范围
学习目标：
1、熟练掌握原函数的单调性与导函数的关系； 2、利用分离参数法求参数的取值范围； 3、利用分类讨论的方法求参数的取值范围。
请思考：
问题：在区间(a,b)内f (x) 0
f (x)单调递增
f (x)在(a,b)上单调递增 f (x) 0在(a,b)上恒成立
思想方法·感悟提高
范失 误 与 防
1．函数 f(x)在某个区间内单调递增，则 f′(x)≥0 而不 是 f′(x)>0 (f′(x)＝0 在有限个点处取到)．
2．导数为 0 的点不一定是极值点，极大值未必大于极 小值．
练出高分
A组 专项基础训练
1
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3
4
5
6
7
8
9
3．已知函数 f(x)＝x2＋mx＋ln x 是单调递增函数，则 m 的取值范围是
则f '( x) 0在[0,2]上恒成立
即3x2 6ax 2a2 0恒成立，x [0,2]
即f '( x)min 0, x [0,2]
而f '(x)为二次函数，开口向上， 对称轴为x a
f '( x) 3x2 6ax 2a2 0, x [0,2]
即(3x2 6ax 2a2 )min 0, x [0,2]
A．m>－2 2
解析
B．m≥－2 2
C．m<2 2
() D．m≤2 2
练出高分
A组 专项基础训练
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8
9
3．已知函数 f(x)＝x2＋mx＋ln x 是单调递增函数，则 m 的取值范围是
(B )
A．m>－2 2 B．m≥－2 2 C．m<2 2 D．m≤2 2
解析
依题意知，x>0，f′(x)＝2x2＋xmx＋1， 令 g(x)＝2x2＋mx＋1，x∈(0，＋∞)， 当－m4 ≤0 时，g(0)＝1>0 恒成立，∴m≥0 成立， 当－m4 >0 时，则 Δ＝m2－8≤0，∴－2 2≤m<0， 综上，m 的取值范围是 m≥－2 2.
a 1
o
②x
a 3
f
0 '(a)
3
0
a 6 2
分类讨论法：
在利用函数的单调性求参数的取值范围时， 当导函数可化为二次函数形式时，应注意 从对称轴，区间端点函数值方面考虑
小结：
1、函数在某个区间单调递增或递减，可转化为函数 的导数在这个区间上大于或等于0恒成立的问题
2、解题方法：分离参数法、 分类讨论法
即3x2 a 3 0, 恒成立x [0,)
方法：（分离参数）
a 3x2 Байду номын сангаас恒成立
a (3x2 3)min a 3
练习2： 若函数f ( x) x3 ax2 1在（0,2）内单调递减, 求实数a的取值范围.
解析：
f '( x) 3x2 2ax, x (0,2)
则f '( x) 0在（0,2）上恒成立
f ( x) 0 是 f ( x)单调递增的 充分不必要 条件
例1：
已知函数f (x) x3 ax2 3x 1在[2,4]上是单调递增函数， 求参数a的取值范围.
解：
f '(x) 3x2 2ax 3, x [2,4]
则f '(x) 0在[2,4]上恒成立
即3x2 2ax 3 0, 恒成立x [2,4]
y
o
x 2
X=a
X=a X=a
练习：设a为实数，函数f (x) x3 ax2 (a2 1)x在
[0， ）上是增函数,求a的取值范围.
解: f '(x) 3x2 2ax (a2 1) 0, x [0,)
[3x2 2ax (a2 1)]min 0, x [0,)
y
①
a
0
3
f ' (0) 0
则正实数 a 的取值范围为___________．
解析
练出高分
B组 专项能力提升
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7
4．已知函数 f(x)＝1a－xx＋ln x，若函数 f(x)在[1，＋∞)上为增函数，
则正实数 a 的取值范围为__[_1_，__＋__∞__)_．
解析
∵f(x)＝1－ axx＋ln x，∴f′(x)＝axa－x2 1 (a>0)，
方
为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合
法
思想的应用．
与 3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，
技
那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即
巧
可，不必再与端点的函数值比较．
4．要充分理解列表在研究函数极值过程中的重要性，
以及列表的操作步骤与算法思想，能利用导数研究
函数的极值与最值．
3：数学思想：分类讨论、数形结合、化归
测试题：
（2011 江西高考）已知函数 f(x)＝x2(x－a)． 若 f(x)在(2,3)上单调递减，求实数 a 的取值范围
练出高分
A组 专项基础训练
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9
思想方法·感悟提高
1．理解极值与最值的区别，极值是局部概念，最值是
整体概念．
2．利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化