等腰直角三角形题型

有关等腰Rt三角形的题形

在初二几何中，有几组等腰直角三角形题形非常典型。现介绍如下：

一．多垂直、锐角相等

例1: △ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC, D为BC A 上一点,过B，C做BE⊥AD, CF⊥AD

求证: BE=EF+CF

证：∵BE⊥AD,∠BAC=90° E ∴∠EBA=∠CAF B D C 易证: △EBA≌△FAC

∴AE=FC, BE=AF F

∴BE=EF+CF

A

例2: △ABC中, ∠B=22.5°, AB的垂直平分

线交BC于D, 过D作DE⊥AC于E,

AF⊥BC于F交DE于G , G E

求证: GF=FC.

证：∵∠B=22.5°∴∠ADF=45°

∵AF⊥DC ∴AF=DF B D F C ∵DE⊥AC, AF⊥DC

∴∠FDG=∠CAF. 易证△CAF≌△GDF

∴GF=FC

A

思考题:1.△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC,

AD⊥BC 于D, E为AC上一点,

BE交AD于H, AF⊥BE于G. G E

求证:DH=DF H

B D F C

2.△ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC, A

AD⊥BC于D, E为AD延长线上一点,

AG⊥BE于G..

求证: BE=AF, DE=DF

F D

B C

G E

二.通过三线合一构造全等

例1：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC， A

AB是BC边上中线，∠ABF=∠CAE，

求证：EF∥AC

证：Rt△ABC中，AD为中线

∴BD=AD，∠ABD=∠DAC=45° F

又∵∠ABF=∠CAE

∴∠DBF=∠DAE

∴易证：△DBF≌△DAE B D E C ∴DE=DF，∴∠FED=∠C=45°

∴EF∥AC

例2：等腰Rt△ABC中，∠A=90°，P为BC延长

线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，M为BC

中点连ME、MF E

求证：ME=MF，ME⊥MF A

证：由题意知矩形AFPE

∴PF==AE，∠MAC=∠FPC=45°

∴∠MAE=∠FCM=135°

∴易证△AME≌△CMF

∴ME=MF，∠AME=∠PMF C P 又∵∠AME+∠EMC=90° B M F ∴∠EMC=∠PMF=90°

∴ME⊥MKF

思考题：

1．△ABC中，∠A=90°，AB=AC， A

AD⊥BC过D作DE⊥DF

求证：DE=DF E

F

B D C

2．△ABC中，∠A=90°，AB=AC， A

AD⊥BC，H为BC上一点，

HE⊥AB，HF⊥AC连DE、DF E

求证：DE=DF，ED⊥DF

F

B D H

C 三．利用垂直与等腰构造全等

例1：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

平分∠ABC，CE⊥BD交BD

求证：BD=2CE

证：∵BD平分∠ABC，且CE⊥BE

∴延长CE、BA交于F

易证：△FBE≌△CBE

∴FE=CE，△ABD≌△ACF

∴BD=CF=2CE

例2：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

D、E在BC上，∠DAE=45°，若

BD=2，CE=3 A

求DE的长

解：∵∠DAE=45°

∴∠BAD+∠CAE=45°

∴作∠HAD=∠BAD，

取AH=AB连DH、EH

∴易证：△ABD≌△AHD B D E C ∴DB=DH=2，∠AHD=∠B=45°，

∠EAH=∠CAE

易证：△CAE≌△HAE H

∴EH=EC=3，∠AHE=∠C

∴在Rt△DHE中，易求DE

思考题：

1．△ABC中，∠BAC=90°AB=AC， A

F为AC中点，连BF作AE⊥BF交

BF于E，交BC于D

求证：∠AFB=∠CFD E F

B D C

2．△ABC中，∠A=90°，AB=AC， A

D在ABC内，且∠ABD=30°

BA=BD

求证：DA=DC

D

B C