三角形中的主要线段-
初三数学总复习指导--第十讲 三角形
第十讲 三角形一、课标下复习指南1．三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．2．三角形的主要线段和特殊点(1)三角形的主要线段：三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．三角形的高：三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．(2)三角形的特殊点三角形的外心：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点称为三角形的外心(即三角形外接圆的圆心)．外心到三角形各顶点的距离相等．三角形的内心：三角形三个内角的平分线相交于一点，这个点称为三角形的内心(即三角形内切圆的圆心)．内心到三角形各边的距离相等．三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心．三角形的垂心：三角形的三条高相交于一点，这点称为三角形的垂心．3．三角形的边、角关系(1)关于边的关系：①三角形任意两边之和大于第三边； ②三角形任意两边之差小于第三边．(2)关于角的关系：①三角形三个内角的和等于180°； ②三角形的每一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； ③三角形的每一个外角大于和它不相邻的任何一个内角； ④三角形的外角和等于360°．(3)关于边、角的关系：①在同一个三角形中，等边对等角；等角对等边． *②在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大；如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大．4．三角形的分类(1)按边的相等关系分类如下：(2)按角的大小分类如下：5．等腰三角形(1)定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形．(2)性质：①等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)； ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； ③等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边的垂直平分线．(3)判定：①根据等腰三角形的定义判定；②有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)．6．等边三角形(1)定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形．(2)性质：①具有等腰三角形的性质； ②等边三角形的每个角都是60°，各边相等；③等边三角形的外心、内心、中心、重心互相重合成一点．若等边三角形的边长为a ，则其外接圆半径R a 33=，内切圆半径a r 63=，一边上的高a h 23=，其面积为.432a(3)判定：①根据等边三角形的定义判定；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．7．直角三角形(1)定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．(2)性质：①直角三角形中，两个锐角互余；②勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，斜边大于直角边；④在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．(3)判定：①根据直角三角形的定义判定；②勾股定理的逆定理：如果三角形中的两条较短边的平方和等于较长边的平方，那么这个三角形是直角三角形．8．全等三角形(1)全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．(2)全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等．(3)全等三角形的判定：两个三角形具备以下条件之一的就全等：①三边对应相等，即SSS；②两边及其夹角对应相等，即SAS；③两角及其夹边对应相等，即ASA；④两角和其中一角的对边对应相等，即AAS．如果两个三角形都与同一个三角形全等，那么这两个三角形全等；两个直角三角形全等还可以用斜边和一条直角边对应相等(即HL)来判定．9．三角形具有稳定性10．角平分线的性质定理及逆定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上．11．线段垂直平分线性质性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．12．作图(1)了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法．(2)利用基本作图法作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形．13．命题与定理(1)命题：判断一件事情的语句，叫做命题．命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题通常写成“如果……那么……”的形式．(2)定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理．(3)互逆命题：两个命题，如果第一个命题的题设和结论分别是第二个命题的结论和题设，那么这两个命题叫互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．原命题成立其逆命题不一定成立．(4)互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，是原定理的逆定理，这两个定理叫互逆定理．二、例题分析例1已知三角形的三边长分别为2，x－1，3，则x的取值范围是______．分析运用三角形三边关系定理及不等式的性质即可求出x的取值范围．例2 在△ABC中，∠A－∠B＝∠B－∠C＝15°，求∠A，∠B，∠C的度数．分析巧妙变形已知的等式，结合三角形内角和定理进行计算．例3如图，在△ABC中，AB＝AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为4cm的两个三角形，求△ABC各边的长．分析因为AD＝DC，BD为△ABD和△BCD的公共边，所以两个三角形周长差实际上是AB－BC或BC－AB．说明①解这类题要分类讨论，不要忘记有两种情况；②要用三角形三边关系来检验，注意这也是容易忽略的地方．例4如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC ＝BF ．分析 延长中线一倍长，得到一对全等三角形△BDH 和△CDA ，将证明AC ＝BF 转化为证明BH ＝BF ．说明 此题也可以将FD 延长一倍构造一对全等三角形，从而将线段集中到一个三角形中．因此，“倍长中线”或“倍长过中点的线段”构造全等三角形，使问题得到转化，这是有中点条件时常做的辅助线，实际也是通过旋转变换来解决问题．例5已知：如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD ＝DC ，BD 平分∠ABC ．求证：∠A ＋∠C ＝180°．分析 因为BD 平分∠ABC ，而其他条件偏少，联想到角平分线定理的基本图形，所以从D 点向∠ABC 的两边作垂线段．说明 (1)这一证法是利用角平分线的性质证出垂线段相等，这种添辅助线的方法要熟练掌握．(2)这道题还可以围绕AD ＝DC 这一条件添辅助线，线段相等就考虑等腰三角形、平行四边形等．考虑等腰三角形有以下两种方法：①如图10－4，在BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ，可证△ABD ≌△EBD ．②如图10－5，延长BA 到E ，使BE ＝BC ，连接ED ，可证△BDE ≌△BDC例6 如图，∠BAC ＝∠ABD ，AC ＝BD ，点O 是AD ，BC 的交点，E 是AB 的中点，试判断OE 与AB 的位置关系，并给出证明．例7 如图10－7，已知AD 与BC 相交于E ，∠1＝∠2＝∠3，BD ＝CD ，∠ADB ＝90°，CH ⊥AB 于H ，CH 交AD 于F ．(1)求证：CD ∥AB ；(2)求证：△BDE ≌△ACE ；(3) 若O 为AB 的中点，求证：.21BE OF 例8 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 在CA 的延长线上，∠AEF ＝∠AFE ．求证：EF ⊥BC ．分析 要证EF ⊥BC ，而图中EF 与BC 没有直接联系，而已知条件主要是两个等腰三角形，与BC 垂直的是△ABC 中BC 边上的高，与EF 垂直的是△AEF 的底边EF 上的高．说明 ①在同一三角形中，有边相等，要联想到角相等；有角相等，要联想到边相等；②牢记“等腰三角形底边上三线合一”这条性质，这条辅助线的作用很大；③本题提供了证明垂直的一种思考方法：若a ∥b ，a ⊥c ，则b ⊥c ． 说明 证法三至证法五运用了证明垂直的常用方法，即要证垂直，就是要证它们的夹角为90°，可通过计算来证得．例9 已知：如图10－13，点B ，C ，D 三点在一条直线上，且△ABC 与△ECD 都为等边三角形，连接BE 交AC 于M ，连接AD 交EC 于N ．(1)试比较BE 与AD 的大小，并证明你的结论；(2)连接MN ，试确定MN 与BD 的位置关系，并说明理由．分析 (1)只需证明△BCE ≌△ACD 即可；:(2)可由△BCM ≌△ACN 得MC ＝NC ，再由∠3＝60°推出△MCN 是等边三角形，则∠6＝∠2＝60°，从而MN ∥BD ．三、课标下新题展示例10.数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答以下问题：(1)已知：如图10－19(a)，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，直线BD 平分∠ABC 交AC 于点D ．求证：△ABD 与△DBC 都是等腰三角形；(2)在证明了该命题后，小颖发现：下面两个等腰三角形如图10－19(b)、10－19(c)也具有这种特性．请你在图10－19(b)、图10－19(c)中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数；(3)接着，小颖又发现：一些非等腰三角形也具有这样的特性，如：直角三角形斜边上的中线可把它分成两个小等腰三角形．请你画出两个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出三角形各内角的度数．要求画出的两个三角形不相似，而且既不是等腰三角形也不是直角三角形．四、课标考试达标题(一)选择题1．下面四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的图是( )．2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )．A ．1cm ，2cm ，4cmB ．8cm ，6cm ，4cmC ．12cm ，5cm ，6cmD ．2cm ，3cm ，6cm3．如图10－22，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝44°，CD ⊥AB 于D ，则∠DCB 等于( )．A ．44°B ．68°C ．46°D ．22°4．如图10－23，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于O 点，那么∠AOB ＋∠DOC 的度数为( )．A ．120B ．180C ．130D ．无法计算5．如果等边三角形的边长为4，那么连接其各边中点所组成的三角形的周长为( )．A ．2B ．6C ．8D ．126．等腰三角形的一个角是20°，那么另外两个角分别是( )．A ．140°和20°B ．80°和80°C ．140°和20°或80°和80°D ．以上都不对7．如图10－24，一棵大树在一次强台风中离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵大树在折断前的高度为( )．A ．10米B ．15米C ．25米D ．30米(二)填空题8．如图10－25，在△ABC 中，AD 是中线，则△ABD 的面积______△ACD 的面积．9．如图10－26，在△ABC 中，∠A ＝40°，∠B ＝∠72°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于D ，DF ⊥CE 于F ，则∠CDF ＝______°．10．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，BC ＝10cm ，BD ＝6cm ，则点D 到AB 的距离为______cm ．11．如图，∠1＝∠2，要使△ABE ≌△ACE ，还需添加的一个条件是______12．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为______．13．如图10－30，在△ABC 中，BC ＝5cm ，BP ，CP 分别平分∠ABC 和∠ACB ，且PD ∥AB 交BC 于D ，PE ∥AC 交BC 于E ，则△PDE 的周长是______cm ．(三)解答与证明题14．如图10－31，□ABCD 中，直线MQ 分别交DA ，AB ，BD ，DC ，BC 或其延长线于M ，N ，E ，P ，Q ，且MN ＝PQ 求证：DE ＝BE ．15．如图10－32，已知AD 、BE 是△ABC 的高，AD 和EB 的延长线相交于H ，且BH ＝AC ． 求∠ABC 的度数．16．如图10－33，AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADC ．求证：BC ＝DC ．17．如图10－34，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且.41BC EC 求证：∠EF A ＝90°．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB于F，连接DF．求证：∠CDA＝∠FDB．。
八年级数学上册《三角形中的主要线段》教案、教学设计
针对以上学情，本章节教学应注重分层教学，关注学生个体差异，充分激发学生的学习兴趣，提高其合作学习能力，使学生在掌握三角形主要线段知识的同时，提高数学素养。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握三角形中主要线段（中线、高线、角平分线）的定义及其性质。
（3）选做题和创新与实践题目可根据个人兴趣和能力选择完成，旨在培养学生的探究精神和团队合作能力。
（二）讲授新知，500字
1.教师介绍三角形的中线、高线、角平分线的定义，并通过动态演示和静态图示相结合的方式，让学生直观地理解这些线段的特点。
2.引导学生探索三角形中线、高线、角平分线的性质，如中线将三角形分成面积相等的两个部分，高线与底边垂直，角平分线将角平分等。
3.教师通过具体例题，讲解如何利用三角形的主要线段求解几何问题，并强调解题过程中的注意事项。
5.重视数学思想的渗透，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教师通过展示生活中常见的三角形物体，如三角形的警示牌、自行车三角架等，引导学生思考这些三角形物体的稳定性与三角形的主要线段有何关系。
2.学生观察、讨论后，教师提出问题：“三角形中除了边长外，还有哪些重要的线段？这些线段有何作用？”从而引出本节课的主题：三角形中的主要线段。
4.引导学生总结解题方法，培养学生的概括能力和逻辑思维能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的学习积极性，使其主动投入到三角形相关知识的学习中。
2.培养学生的空间想象能力和直观感知能力，使其能够从几何角度认识和理解世界。
三角形中的主要线段 优秀教案
三角形中的主要线段【教学目标】1．认识并会画出三角形的高线，利用其解决相关问题；2．认识并会画出三角形的中线，利用其解决相关问题；3．认识并会画出三角形的角平分线，利用其解决相关问题；【教学重点】认识三角形的高线、中线与角平分线，并会画出图形【教学难点】画出三角形的高线、中线与角平分线。
【教学过程】一、预习导学预习教材，并尝试完成自主预习案二、情境引入与三角形有关的线段，除了三条边还有哪些呢？通过折纸引出高、角平分线、中线等概念。
三、新知探究合作交流探究一：三角形高的概念及画法画法：什么是三角形的高，怎样画三角形的高，怎样画三角形的高？一个三角形有几条高？小组讨论交流回答，老师点评。
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，如图：ＡＤ是△ABC的边ＢＣ上的高线。
练习：分别画出钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的三条高，它们所在的直线交于一点吗？同一个小组的成员分工协作完成，教师巡视评价探究二：三角形中线及角平分线的概念及画法活动：1．三角形的中线及其画法2．三角形的角平分线及其画法教师指导出三角形的中线的定义及角平分线的定义，然后依照三角形的教学过程，安排学生画一画，并相应地提出类似的问题学生动手操作，然后交流、探讨，师生共同归纳总结。
探究三：综合应用1．三角形的角平分线是（）。
A．直线B．射线C．线段D．以上都不对2．下列说法：①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；•②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的高线都在三角形的内部，并且相交于一点，其中说法正确的有（）。
A．1个B．2个C．3个D．4个3．课件展示图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的中线，写出图中所有相等的角和相等的线段。
4．（选做）在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为12cm和15cm 两部分，求三角形各边的长。
三角形中主要线段的统一参数公式
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华师版八年级下册数学第9章 多边形 三角形中三种主要线段
知1－讲
例2 如图，△ABC中，AD是△ABC的角平分线， DE∥AC，DF∥AB，EF交AD于点O，请问DO是 △DEF的角平分线吗？说明理由．
导引：要知道DO是不是△DEF的角平分线，只需要知 道∠EDO与∠FDO是否相等．若相等，根据三角 形的角平分线的定义即可判定．
解： DO是△DEF的角平分线．理由如下： 因为AD是△ABC的角平分线， 所以∠DAB＝∠DAC(角平分线定义)． 因为DE∥AC，DF∥AB， 所以∠DAC＝∠ADE，∠DAB＝∠ADF (两直线平行，内错角相等)， 所以∠ADE＝∠ADF(等量代换)， 所以DO是△DEF的角平分线．
（来自教材）
知1－讲
1. 定义：三角形一个内角的平分线与它的对边相交， 顶点和交点之间的线段叫这个三角形的角平分线． 2. 位置图例：任何三角形的三条角平分线交于一点， 且该点在三角形的内部，这点叫这个三角形的内 心．如图.
知1－讲
3. 表达方式： (1)AD是△ABC的角平分线； (2)AD平分∠BAC交BC于点D； (3)∠BAD＝∠CAD＝∠1 BAC. 注：上述三种情况都表2示同一意义，即AD是△ABC 的角平分线，选用哪种表示法，应根据解题需要.
知2－练
1 如图，BD是△ABC的中线，AC的长为5cm， △ABD与△BDC的周长之差为3cm，AB的长为 13cm，求BC的长．
知2－练
2 已知三角形的三条中线交于一点，则下列结论：① 这一点在三角形的内部；②这一点有可能在三角形 的外部；③这一点是三角形的重心．其中正确的结 论有________．(填序号)
9.1三角形
第9章多边形
第2课时三角形中三种 主要线段
1 课堂讲解 2 课时流程
三角形的角平分线 三角形的中线 三角形的高
七年级数学下册《三角形的三条重要线段》教案、教学设计
3.及时反馈原则：要求学生在规定时间内提交作业，教师及时给予评价和指导，帮助学生发现问题、提高自己。
-指出：“在解决几何问题时，我们要学会运用所学的性质，进行严密的逻辑推理。”
3.鼓励学生对所学知识进行自我反思，评价自己的学习效果。
-提问：“你认为自己在今天的课堂上有哪些收获？还有哪些地方需要进一步学习和提高？”
五、作业布置
为了巩固学生对三角形三条重要线段的理解和应用，以及提高他们的问题解决能力，我设计了以下作业：
3.引导学生通过观察、思考、总结，形成解决问题的策略和方法。
-教师鼓励学生在学习过程中积极思考，通过问题驱动的方式，引导学生总结三角形三条重要线段的相关性质。
-学生在教师的引导下，学会运用几何知识进行逻辑推理，形成解题的策略。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的探究欲望。
-通过设置具有挑战性的问题，教师激发学生的学习兴趣，鼓励学生主动探索三角形三条重要线段的秘密。
-学习笔记要体现学生的自主学习和思考过程，有助于他们梳理知识结构。
5.互动交流作业：鼓励学生与家长或同学分享今天学到的三角形知识，讨论解决实际问题的策略。
-通过互动交流，培养学生的沟通能力和团队合作精神。
作业布置时，注意以下原则：
1.分层次原则：针对不同学生的学习水平，提供不同难度的作业，使每个学生都能得到适当的挑战和锻炼。
-通过例题，让学生看到中线如何将三角形分成面积相等的两部分，角平分线如何将角平分，高线如何与底边垂直。
3.解释这些性质在解决几何问题中的应用，并展示解题步骤。
-以具体的几何题目为例，示范如何运用中线、角平分线、高线的性质来解决问题。
决战中考之三角形专项突破专题02 三角形中线段的问题(老师版)
专题02 三角形中线段的问题知识对接考点一、三角形中的线段三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.1．内心：三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.2．外心：三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离相等.3．重心：三角形三条中线的交点，它到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.4．垂心：三角形三条高线的交点.5．三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线.中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.要点补充：(1)三角形的内心、重心都在三角形的内部.(2)钝角三角形的垂心、外心都在三角形的外部.(3)直角三角形的垂心为直角顶点，外心为直角三角形斜边的中点.(4)锐角三角形的垂心、外心都在三角形的内部.专项训练一、单选题1．（2021·湖南长沙·）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）A ．两点确定一条直线B ．两点之间线段最短C ．三角形的稳定性D ．垂线段最短【答案】C【分析】 A ，O ，B 三点构成了三角形，窗钩AB 可将其固定，则是利用了三角形的稳定性．【详解】解：∵A ，O ，B 三点构成了三角形，且窗钩AB 可将其固定∵其原理是利用了三角形的稳定性． 本号资料皆来源于微信公众号：数学*第六感故选项为：C ．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形稳定性的意义是解本题的关键．2．（2021·浙江）如图，在矩形ABCD 中，点F 为边AD 上一点，过F 作//EF AB 交边BC 于点E ，P 为边AB 上一点，PH DE ⊥交线段DE 于H ，交线段EF 于Q ，连接DQ ．当AF AB =时，要求阴影部分的面积，只需要知道下列某条线段的长，该线段是（ ）A ．EFB ．DEC ．PHD ．PE【答案】B【分析】过Q 作QG ∵AB 于G ，由//EF AB ，可得QG ∵FE ，∵AGQ =∵FQG =90°，由四边形ABCD 为矩形，可得∵A =90°，可证四边形AGQF 为矩形，可得GQ =EF ，∵DFE =∵PGQ =90°，可证∵PGQ ∵∵DFE （ASA ），可得PQ =DE ，S 阴影=S ∵PED -S ∵QED =212DE 即可． 【详解】解：过Q 作QG ∵AB 于G ，∵//EF AB ，∵QG ∵FE ，∵∵AGQ =∵FQG =90°，∵四边形ABCD 为矩形，∵∵A =90°，∵∵AGQ =∵FQG =∵A =90°∵四边形AGQF 为矩形，∵GQ =AF =AB =EF ，∵DFE =∵PGQ =90°，∵∵PQG +∵EQH =90°，PH DE ⊥∵∵HEQ +∵EQH =90°，∵∵PQG =∵HEQ =∵DEF ，在∵PGQ 和∵DFE 中PGQ DFE GQ FEPQG DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∵∵PGQ ∵∵DFE （ASA ），∵PQ =DE ，∵S 阴影=S ∵PED -S ∵QED =()211111=22222PH DE QH DE PH QH DE PQ DE DE ⋅-⋅-⋅=⋅=． 故选择：B ．【点睛】本题考查矩形性质与判定，三角形全等判定与性质，三角形面积，掌握矩形性质与判定，三角形全等判定与性质，阴影面积的求法是解题关键．3．（2021·上海金山·九年级二模）已知三条线段长分别为2cm 、4cm 、acm，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，那么a的取值可以是（）A．1cm B．2cm C．4cm D．7cm【答案】C【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再一一比较即可．【详解】解：依题意有4﹣2＜a＜4+2，解得：2＜a＜6．只有选项C在范围内．故选：C【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟悉掌握三角形的定义是解题的关键．4．（2021·青海西宁·九年级一模）下列事件中，属于必然事件的是（）A．某个数的绝对值大于0B．a-一定是负数C．五边形的外角和等于540︒D．长分别为3,4,6的三条线段能围成一个三角形【答案】D【分析】直接利用随机事件以及确定事件的定义分析得出答案．【详解】A、某个数的绝对值大于0，是随机事件，故A错误；a-=，即a-一定是负数是随机事件，故B错误；B、当0a=时，0C、任意一个五边形的外角和等于540°，是不可能事件，任意一个五边形的外角和等于360°，故C错误；D、根据三角形两边之和大于第三边，可知长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形，是必然事件，故D正确，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是随机事件以及确定事件，解题的关键是熟练的掌握随机事件以及确定事件.5．（2021·江苏九年级专题练习）下列说法正确的是（）．A．方差越大，数据波动越小B．两直线平行，同旁内角相等C．长为3cm，3cm，5cm的三条线段可以构成一个三角形D．学校在初三3100名同学中随机抽取300名同学进行体考成绩调查，300名同学为样本【答案】C【分析】根据方差的意义、平行线的性质、三角形三边关系及样本的概念逐一判断，即可得到答案．【详解】方差越小，数据波动越小，A选项错误；两直线平行，同旁内角互补，B选项错误；长为3cm，3cm，5cm的三条线段可以构成一个三角形，C选项正确；学校在初三3100名同学中随机抽取300名同学进行体考成绩调查，300名同学的体考成绩为样本，D选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了方差、平行线、三角形、统计调查的知识；解题的关键是熟练掌握方差、平行线、三角形三边关系、样本的性质，从而完成求解．6．（2021·江苏九年级一模）下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（）A．3，7，5B．4，8，5C．5，12，7D．7，13，8【答案】C【分析】根据两边之和等于第三边的原则去判断即可【详解】∵3+5＞7，∵能构成三角形，不符合题意；∵4+5＞8，∵能构成三角形，不符合题意；∵7+5=12，∵不能构成三角形，符合题意；∵8+7＞13，∵能构成三角形，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了三角形的存在性，熟练掌握两边之和大于第三边是判断的根本标准．7．（2021·全国）如图，已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点G 是ABC 的重心，GE AC ⊥，垂足为E ，如果8CB =，则线段GE 的长为（ ）A ．53B ．73C ．83D ．103【答案】C【分析】因为点G 是ABC 的重心，根据三角形的重心是三角形三条中线的交点以及重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1，可知点D 为BC 的中点，21AG GD =，根据GE AC ⊥，可得90AEG ∠=︒，进而证得AEG △∵ACD △，从而得到EG AG CD AD=，代入数值即可求解． 【详解】如图，连接AG 并延长交BC 于点D ．点G 是ABC 的重心，∴点D 为BC 的中点，21AG GD =， 8CB =，∴142CD BD BC ===， GE AC ⊥，∴90AEG ∠=︒，90C ∠=︒，∴90AEG C ∠=∠=︒，EAG CAD ∠=∠（公共角），∴AEG △∵ACD △， ∴EG AG CD AD=， 21AG GD =， ∴23AG AD =， ∴243EG AG AD ==， ∴83EG =． 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心的定义及其性质，熟练运用三角形重心的性质是解题的关键．8．（2021·山东）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ）A ．14B ．12 C ．35 D ．34【答案】B【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任选三条有如下4种情况：2、4、6；2、4、7；2、6、7；4、6、7； 其中能构成三角形的有2、6、7；4、6、7这两种情况， 所以能构成三角形的概率是2142=， 故选：B ．【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n．构成三角形的基本要求为两小边之和大于最大边． 9．（2021·全国）若平行四边形的两条对角线长为6 cm 和16 cm ，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是( )A ．5cmB ．8cmC ．12cmD ．16cm【答案】B【分析】平行四边形的两条对角线互相平分，根据三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行判断．【详解】由题意可知，平行四边形边长的取值范围是：8-3＜边长＜8+3，即5＜边长＜11．只有选项B 在此范围内，故选B ．【点睛】本题主要考查了平行四边形对角线互相平分这一性质，此类求三角形第三边的范围的题目，解题的关键是根据三角形三边关系定理列出不等式，再求解．10．（2021·福建）如图，AD 经过ABC 的重心，点E 是AC 的中点，过点E 作//EG BC 交AD 于点G ，若12BC ，则线段GE 的长为（ ）A ．6B ．4C ．5D ．3【答案】D【分析】根据重心的概念得到点D为BC中点，即CD的长，再根据平行证明∵AGE∵∵ADC，结合点E是AC中点，得到12AE GEAC CD==，从而求出GE.【详解】解：∵AD经过ABC的重心，∵点D是BC中点，∵BC=12，∵CD=BD=6，∵GE∵BC，∵∵AGE∵∵ADC，∵点E是AC中点，∵12AE GEAC CD==，即162GE=，解得：GE=3，故选D.【点睛】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解题的关键.二、填空题11．（2021·靖江市靖城中学九年级一模）过∵ABC的重心G作GE∵BC交AC于点E，线段BC＝12，线段GE长为________．【答案】4【分析】根据三角形的重心的性质得到AD是∵ABC的中线，2 , 3AGAD=根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【详解】解：如图，∵点G是∵ABC的重心，∵AD是∵ABC的中线，2,3 AGAD=12,BC=∵CD=12BC=6，∵GE∵BC，∵∵AGE∵∵ADC，∵2,3 GE AGCD AD==即2,63GE=解得，GE=4．故答案为：4.【点睛】本题考查的是三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，掌握三角形的重心的性质是解题的关键. 12．（2021·沙坪坝·重庆一中九年级三模）从长度分别为1，3，5，6的四条线段中，随机抽取两条线段，与长度为8的线段恰好能围成三角形的概率是______．【答案】1 3【分析】利用列举法求出所有等可能的结果数，然后根据三角形三边关系求得三条线段能围成三角形的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：从长度分别为1，3，5，6的四条线段中，随机抽取两条线段，它们为1、3；1、5；1、6；3、5；3、6；5、6共6种等可能的结果数，其中与长度为8的线段恰好能围成三角形的结果数有2种，∵与长度为8的线段恰好能围成三角形的概率为21 63 =，故答案为：13．【点睛】本题考查列举法求概率、三角形的三边关系，熟记求概率公式，掌握三角形的三边关系是解答的关键．13．（2021·扬州中学教育集团树人学校）如图，在Rt∵ABC中，AC＝BC＝2，∵ACB＝90°，正方形BDEF，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE，点M为AE的中点，连接FM，则线段FM的最大值是___．1．【分析】延长EF到G，使FG=EF，连接AG，根据三角形的三边关系确定AG的取值范围，再根据FM是∵AEG的中位线得出FM=12AG，得出FM的取值范围即可．【详解】解：延长EF到G，使FG=EF，连接AG，BG，∵在Rt∵ABC中，AC=BC=2，∵AB，∵正方形BDEF∵∵BFG为等腰直角三角形，∵BG=2，∵AB-BG≤AG≤AB+BG（共线时相等），即2≤AG，∵F为EG的中点，M为AE的中点，故FM是∵AEG的中位线，∵FM=12 AG，1≤FM1，1．【点睛】本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，三角形中位线定理等知识点，根据三角形三边关系得出AG的取值范围是解题的关键．14．（2021·浙江杭州市·九年级模拟预测）如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，那么抽取的三条线段能构成三角形的概率是_______．【答案】12【分析】根据构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判断即可．【详解】∵从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段∵可能有：2、4、6；2、6、7；4、6、7；2、4、7四种可能性又∵构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边∵符合条件的有：2、6、7；4、6、7两种故概率为：21 = 42故答案为：12【点睛】本题考查构成三角形的条件以及概率的计算，掌握构成三角形的三边之间的关系是解题关键．15．（2021·湖北襄阳市·）从长度分别为1、3、5、7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为_______________．【答案】1 4【详解】解：画树状图为：共有24种等可能的结果数，其中能构成三角形的结果数为6，所以能构成三角形的概率=624=14．故答案为14． 三、解答题16．（2021·江苏泰州中学附属初中九年级三模）如图，已知抛物线2y x mx n =-++和直线y x =，抛物线顶点为A ，与y 轴交点为B ，直线y x =与抛物线对称轴交于点C ．（1）抛物线顶点坐标为 （用m ，n 表示），（2）当抛物线的顶点落在直线21y x =+上时，求n 的最大值．（3）若四边形ABOC 为平行四边形∵求m 的值．∵若直线y x =与抛物线在对称轴右侧部分的交点为D ，当BOD 为直角三角形时，求n 的值．∵过C 点作线段CE AC ⊥，设CE=a ，是否存在实数a 值使ACE 的重心恰好落在抛物线上，若存在直接写出a 和n 的关系式，若不存在，请说明理由．【答案】（1）A 2(,)24m m n +；（2）2；（3）∵2；∵2或6；∵存在，26a n = 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标公式求解即可；（2）将（1）的结果代入直线21y x =+得到n 关于m 的函数，根据求二次函数的最值方法求解即可； （3）∵根据题意若四边形ABOC 为平行四边形，根据已知条件写出,,A B C 的坐标，由BO AC =即可求得m 的值；∵当BOD 为直角三角形时，分为90DBO ∠=︒,90BDO ∠=︒两种情况，由题意可知BOD 是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质即可求得n 的值；∵过C 点作线段CE AC ⊥，设点E 在抛物线的左侧，根据抛物线的对称性可知，E 点在抛物线的右侧情况和左侧一致，设AE 的中点为P ，CE 的中点为Q ，,AQ CP 的交点G 即为AEC 的重心，分别求得,AQ CP 的解析式，再求直线交点坐标，将交点G 的坐标代入抛物线解析式即可求得a 和n 的关系式．【详解】（1）抛物线2y x mx n =-++，1,,a b m c n =-==，22A b m x a =-=，22244444A ac b n m m y n a ---===+-， 2(,)24m m A n ∴+， 故答案为：A 2(,)24m m n +； （2）当抛物线的顶点落在直线21y x =+上时，22142m m n +=⨯+， 2221111(44)2(2)2444n m m m m m ∴=-++=--++=--+， 当2m =时，n 取得最大值，最大值为2，（3）∵A 2(,)24m m n +，点C 在y x =上， (,)22m m C ∴， 2y x mx n =-++与y 轴交点为B ，令0x =，则(0,)B n ，若四边形ABOC 为平行四边形，则BO AC =， 即242m m n n =+-， 解得120,2m m ==，0m =时，对称轴0x =，此时,A B 重合，故舍去，2m ∴=，∴22y x x n =-++，∵当BOD 为直角三角形时，分为90DBO ∠=︒,90BDO ∠=︒两种情况，设AC 于x 轴交于点F ， (,)22m mC ，,22mmCF OF ∴==，45COF OCF ∴∠=∠=︒，45BOD ∴∠=︒，当90DBO ∠=︒时，则BD y ⊥轴，BD OB ∴=，OB n =，BD n ∴=，(,)D n n ∴，代入22y x x n =-++，解得120,2n n ==，D 在对称轴右侧部分，2n ∴=，当90BDO ∠=︒时，如图，过点D 作DM y ⊥轴，垂足为M ，45BOD ∠=︒，45OBD ∴∠=°，BD OD ∴=，122n DM OB ∴==， 122n OM OB ∴==， (,)22n n D ∴， 代入22y x x n =-++，解得120,6n n ==，D 在对称轴右侧部分，6n ∴=，综上所述，2n =或者6n =；∵存在，理由如下：过C 点作线段CE AC ⊥，设点E 在抛物线的左侧，根据抛物线的对称性可知，E 点在抛物线的右侧情况和左侧一致，设AE 的中点为P ，CE 的中点为Q ，,AQ CP 的交点G 即为AEC 的重心，CE a=，(1,1)C，∴(1,1)E a-，22y x x n=-++，(1,1)A n∴+，1111(,)22a nP+-++∴，即(1,1)22a nP-+，(1,1)2aQ-，设直线AQ的解析式为y cx d=+，则11(1)2n c dac d+=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得221ncand na⎧=⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，∴直线AQ的解析式为221n nnayax++-=，设直线CP的解析式为1y kx b=+，则1(1)221n ak bk b⎧+=-+⎪⎨⎪=+⎩，解得1nkanba⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴直线CP的解析式为11n ny xa a=-++，12211n ny x na an ny xa a⎧=++-⎪⎪∴⎨⎪=-++⎪⎩，解得1313axny⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即(1,1)33a nG-+，ACE的重心恰好落在抛物线22y x x n=-++上，∴21(1)2(1)333n a an+=----+，解得26a n =．∴a 和n 的关系式为26a n =．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，直角三角形的性质，三角形的重心，二次函数的性质，待定系数法一次函数求解析式，求两直线交点坐标，综合运用以上知识是解题的关键．17．（2021·广西南宁十四中九年级）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点坐标分别是()2,2A 、()4,0B 、()4,4C -．（1）请画出ABC 绕点A 顺时针旋转90︒得到的11AB C △；（2）若点D 在线段11B C 上，且直线AD 将11AB C △分成面积相等的两部分，请画出线段AD ，并写出D 的坐标．【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，(2,0)D -【分析】（1）根据题意将ABC 绕点A 顺时针旋转90︒，即将,AB AC 绕点A 顺时针旋转90︒，得到11,AB AC ，连接11B C 即可，则11AB C △即为所求；（2）根据三角形中线的性质，找到11AB C △，11B C 的中点，连接AD 即可，根据坐标系写出D 点的坐标即可．【详解】（1）如图，将ABC 绕点A 顺时针旋转90︒，即将,AB AC 绕点A 顺时针旋转90︒，得到11,AB AC ，连接11B C即可，则11AB C △即为所求；（2）如图，根据三角形中线的性质，找到11AB C △，11B C 的中点，连接AD ，则(2,0)D【点睛】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 18．（2021·陕西西安·）问题提出（1）如图∵，在Rt ∵ABC 中，∵A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，在BC 上找一点D ，使得AD 将∵ABC 分成面积相等的两部分，作出线段AD ，并求出AD 的长度；问题探究（2）如图∵，点A 、B 在直线a 上，点M 、N 在直线b 上，且a ∵b ，连接AN 、BM 交于点O ，连接AM 、BN ，试判断∵AOM 与∵BON 的面积关系，并说明你的理由；解决问题（3）如图∵，刘老伯有一个形状为筝形OACB 的养鸡场，在平面直角坐标系中，O （0，0）、A （4，0）、B （0，4）、C （6，6），是否在边AC 上存在一点P ，使得过B 、P 两点修一道笔直的墙（墙的宽度不计），将这个养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线BP 的表达式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）图见解析，52；（2）S∵AOM＝S∵BON，理由见解析；（3）存在，549y x=-+【分析】（1）当点D是BC的中点时，AD将∵ABC分成面积相等的两部分，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一般，可求出AD的长度；（2）根据同底等高的三角形面积相等，再减去相等的部分，就可以得出∵AOM与∵BON的面积相等；（3）连接AB，过点O作AB的平行线，交CA的延长线于点F，连接BF，交OA于点G，则∵OBG的面积等于∵AFG的面积，则四边形OACB的面积转化为∵BCF的面积，取CF的中点P，求出点P的坐标，即可求出直线BP的表达式．【详解】（1）如图∵，取BC边的中点D，连接AD，则线段AD即为所求．在Rt∵ABC中，∵BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∵BC25AC+=，∵点D为BC的中点，∵AD＝12BC＝52．（2）S∵AOM＝S∵BON，理由如下：由图可知，S∵AOM＝S∵ABM﹣S∵AOB，S∵BON＝S∵ABN﹣S∵AOB，如图∵，过点M作MD∵AB于点D，过点N作NE∵AB于点E，∵MD∵NE，∵MDE＝90°，又∵MN∵DE，∵四边形MDEN 是矩形， ∵MD ＝NE ，∵S ∵ABM ＝12AB MD ⋅⋅，S ∵ABN ＝12AB NE ⋅⋅，∵S ∵ABM ＝S ∵ABN ， ∵S ∵AOM ＝S ∵BON ．（3）存在，直线BP 的表达式为：y ＝59-x +4．如图∵，连接AB ，过点O 作OF ∵AB ，交CA 的延长线于点F ，连接BF ，交OA 于点G ，由（2）的结论可知，S ∵OBG ＝S ∵AFG ， ∵S 四边形OACB ＝S ∵BCF ，取CF 的中点P ，作直线BP ，直线BP 即为所求． ∵A (4,0)，B (0,4)，C (6,6)，∵线段AB 所在直线表达式为：y ＝﹣x +4， 线段AC 所在直线的表达式为：y ＝3x ﹣12， ∵OF ∵AB ，且直线OF 过原点， ∵直线OF 的表达式为：y ＝﹣x ，联立312y x y x =-⎧⎨=-⎩，解得33x y =⎧⎨=-⎩，∵F （3，﹣3）， ∵点P 是CF 的中点， ∵P 93(,)22，∵直线BP 的表达式为：y ＝59-x +4．【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形一边上的中线的性质以及待定系数法求一次函数解析式等内容，作出辅助线并进行面积转化是解决本题第三问的关键．19．（2021·陕西九年级一模）问题提出：（1）如图1，在∵ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝4，在BC上找一点D，使得线段AD将∵ABC分成面积相等的两部分，画出线段AD，并写出AD的长为．问题探究：（2）如图2，点D是∵ABC边AC上一定点，在BC上找一点E，使得线段DE将∵ABC分成面积相等的两部分，并说明理由．问题解决：（3）如图3，四边形ABCD是西安市高新区新近改造过程中的一块不规则空地，为了美化环境，市规划办决定在这块地里种植两种花卉，打算过点C修一条笔直的通道，以便市民出行观赏花卉，要求通道两侧种植花卉的面积相等，经测量AB＝20米，AD＝100米，∵A＝60°，∵ABC＝150°，∵BCD＝120°，若将通道记为CF，请你画出通道CF，并求出通道CF的长．【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；理由见解析（3）画图见解析；CF=35【分析】（1）如图1中，取BC的中点D，连接AD，线段AD即为所求．再根据等腰三角形的“三线合一”及利用勾股定理求解即可．（2）如图2中，取BC的中点F，连接AF，DF，过点A作AE∵DF交BC于E，则直线DE平分∵ABC的面积．（3）如图3中，延长AB交DC的延长线于T，过点C作CE∵AD于E．求出四边形ABCD的面积，利用三角形的面积公式求出DF，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，取BC的中点D，连接AD，线段AD即为所求．∵AB＝AC，BD＝DC，∵AD∵BC，在Rt∵ABD中，∵∵ADB＝90°，AB＝5，BD＝2，∵AD（2）如图2中，取BC的中点F，连接AF，DF，过点A作AE∵DF交BC于E，则直线DE平分∵ABC 的面积．理由如下：∵BF＝FC，∵S∵ABF＝S∵ACF，∵DF∵AE，∵S∵AEF＝S∵AED，S∵ABC，∵S四边形ABED＝S∵ABE+S∵ADE＝S∵ABE+S∵AEF＝S∵ABF＝12∵直线DE平分∵ABC的面积．（3）如图3中，延长AB交DC的延长线于T，过点C作CE∵AD于E．∵∵A＝60︒，∵ABC＝150︒，∵BCD＝120︒，∵∵D ＝3606015012030︒︒︒︒︒﹣﹣﹣＝ ，18015030TBC ∠︒︒︒＝﹣＝ ， ∵180603090T ∠︒︒︒︒＝﹣﹣＝ ， ∵AD ＝100m ，AB ＝20m ，∵AT ＝12 AD ＝50（m ），DT AT ＝（m ），BT ＝AT ﹣AB ＝30（m ），∵CT ＝＝，CD ＝DT ﹣CT ＝， ∵CE∵AD ， ∵∵CED ＝90°，∵CE ＝12 CD ＝（m ），DE EC ＝60（m ），∵S 四边形ABCD ＝S ∵ADT ﹣S ∵BCT ＝12×50×－12×30×m 2）， ∵直线CF 平分四边形ABCD 的面积，∵S ∵CDF ＝（m 2），∵12 •DF•EC ，∵DF ＝55（m ）， ∵EF ＝DE ﹣DF ＝5（m ），∵CF ＝35．【点睛】本题主要以三角形中线把三角形的面积平均分成相等的两部分为出发点来考查学生对几何综合的运用，同时也考查了等腰三角形、平行、勾股定理等知识的运用，本题的关键是通过找到面积平分来解决问题． 20．（2021·泗水县教育和体育局教学研究中心）（数学经验）三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积．（经验发展）面积比和线段比的联系：（1）如图1，M 为∵ABC 的AB 上一点，且BM =2AM ．若∵ABC 的面积为a ，若∵CBM 的面积为S ，则S =_______(用含a 的代数式表示)．（结论应用）（2）如图2，已知∵CDE 的面积为1，14CD AC =，13CE CB =，求∵ABC 的面积． （迁移应用）（3）如图3．在∵ABC 中，M 是AB 的三等分点(13AM AB =)，N 是BC 的中点，若∵ABC 的面积是1，请直接写出四边形BMDN 的面积为________．【答案】（1）23a（2）12（3）512【分析】（1）根据三角形的面积公式及比例特点即可求解；（2）连接AE，先求出∵ACE的面积，再得到∵ABC的面积即可；（3）连接BD，设∵ADM的面积为a，则∵BDM的面积为2a,设∵CDN的面积为b，则∵BDN的面积为b，根据图形的特点列出方程组求出a,b,故可求解．【详解】（1）设∵ABC中BC边长的高为h，∵BM=2AM．∵BM=23 AB∵S=12BM×h=12×23AB×h=23S∵ABC=23a故答案为：23 a；（2）如图2，连接AE，∵14 CD AC=∵CD=14 AC∵S∵DCE=14S∵ACE =1∵S∵ACE =4，∵13 CE CB=∵CE=13 CB∵S∵ACE=13S∵ABC =4∵S∵ABC=12；（3）如图3，连接BD ，设∵ADM 的面积为a ， ∵13AM AB =∵BM=2AM,BM=23AB ，∵S ∵BDM =2S ∵ABM =2a, S ∵BCM =23S ∵ABC =23设∵CDN 的面积为b ， ∵N 是BC 的中点， ∵S ∵CDN =S ∵BDN =b ，S ∵ABN =12S ∵ABC =12∵122223a a b b b a ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得11214a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∵四边形BMDN 的面积为2a+b=512故答案为512．【点睛】此题主要考查三角形面积公式的应用，解题的关键是根据题意找到面积的之间的关系．21．（2021·江苏南京·）已知线段AB 与点O ，利用直尺和圆规按下列要求作∵ABC （不写作法，保留作图痕迹）．（1）在图∵中，点O 是∵ABC 的内心； （2）在图∵中，点O 是∵ABC 的重心．【答案】（1）见解析，（2）见解析 【分析】（1）分别作∵OAC=∵OAB，∵OBA=∵OBC，两边交点为C，∵ABC即为所求；（2）作AB的垂直平分线，根据重心的性质可确定出C点，则∵ABC即为所求.【详解】解：（1）如图∵，∵ABC即为所求；（2）如图∵，∵ABC即为所求．【点睛】本题考查了尺规作图以及三角形内心和重心的性质，熟练掌握三角形内心是三角形内角角平分线交点，三角形重心是三边中线交点是解题关键.22．（2021·陕西九年级二模）（1）如图1，AB是∵○的弦，点P在∵○上，当∵P AB是直角三角形时，请在图1中画出点P的位置；（2）如图2，∵○的半径为4，A、B为∵○外固定两点（O、A、B三点不在同一直线上），且8OA=，P为∵○上的一个动点（点P不在直线AB上），以PA和AB为邻边作平行四边形P ABC，求BC最小值；（3）如图3，A、B是∵○上的两个点，过A点作射线AM AB⊥，AM交∵○于点C，若3AB=，4AC=，点D是平面内的一个动点，且2CD=，E为BD的中点，在点D的运动过程中，求线段AE长度的最大值与最小值．【答案】（1）见解析；（2）4；（3）最大值为72；最小值为32【分析】（1）根据圆周角定理作图；（2）根据平行四边形的性质得到BC AP =，根据线段的性质计算；（3）连接BC ，根据勾股定理求出BC ，根据直角三角形的性质求出OA ，根据三角形中位线定理求出OE ，根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：（1）如图1，APB ∆、∵AP B '是直角三角形；（2）四边形PABC 是平行四边形，BC AP ∴=，BC ∴的最小值即AP 的最小值， 当P 为OA 与O 的交点时，AP 最小，AP ∴的最小值为8－4＝4，即BC 的最小值为4；（3）连接BC ，∵AM AB ⊥， ∵90CAB ∠=︒， ∵BC 是∵○的直径．∵点D 是平面内的一个动点，且2CD =，∵点D 的运动路径为以C 为圆心，以2为半径的圆， ∵BC 是∵○的直径，∵O是BC的中点．在Rt ABC中，5BC==．∵O是Rt ABC斜边BC上的中点，∵1522 AO BC==．∵E是BD的中点，O是BC的中点，∵112OE CD==．∵AE的最小值是32 AO-OE=，最大值是72 AO+OE=．【点睛】本题考查的是圆的知识，掌握平行四边形的性质、圆周角定理、三角形的三边关系是解题的关键．23．（2021·黑龙江九年级一模）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中确定点C，点C在小正方形的顶点上，请你连接CA，CB，BC＝；（2）在（1）确定点C后，在网格内确定点D，点D在小正方形的顶点上，请你连接CD，BD，CD∵AB，∵CDB的面积为6，直接写出∵CBD的正切值．【答案】（1）见解析；（2）35．【分析】（1）BC＝=BC应是44⨯方格的对角线；（2）由三角形面积公式可求CD的长度，结合//CD AB，可确定D点的位置，作DH∵BC于点H，再由三角形面积公式可求DH，由勾股定理可求BH，从而可求∵CBD的正切值．【详解】解：（1）BC ＝ BC 应是44⨯方格的对角线，作图如下；（2）∵1462CDB S CD ∆=•⨯=， ∵CD =3， ∵//CD AB ，∵可确定D 点位置如图所示，∵BD ∵作DH ∵BC 于点H ，又∵162CDB S BC DH ∆=••=，BC ＝∵DH =∵BH == ∵3tan 5DH CBD BH ∠== 【点睛】本题主要考查作图、三角形的面积、勾股定理、锐角三角函数及数形结合思想的运用，解题的关键是熟练掌握各。
四年级数学三角形中的主要线段概括
四年级数学三角形中的主要线段概括
四年级数学三角形中的主要线段概括
三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线.
这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上,通过作图加以熟练掌握.并且对这三条线段必须明确三点：
(1)三角形的角平分线、中线、高线均是线段,不是直线,也不是射线.
(2)三角形的角平分线、中线、高线都有三条,角平分线、中线,都在三角形内部.而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时,三条高都是在三角形内部,钝角三角形的高线
中有两个垂足落在边的延长线上,这两条高在三角形的外部,直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边.
(3)在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点.在以后我们可以给出具体证明.今后我们
把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,三条中线的交点叫做三角形的重心,三条高的交点叫做三角形的垂心.
只要大家脚踏实地的复习、一定能够提高数学应用能力！希望为大家准备的三角形中的主要线段概括，对大家有
所帮助！。
中考数学黄金知识点系列专题25三角形25--(附解析答案)
专题25 三角形聚焦考点☆温习理解一、三角形1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
2、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
3、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
二、全等三角形1、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）2.全等三角形的性质：三、等腰三角形1、等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
三角形中的主要线段-
复习
三角形的概念
A
1.三角形:
由不在同一条直线上
的三条线段首尾顺次相接
所组成的图形叫做三角形. B
C
组成三角形的线段叫做三角形的 边
相邻两边的公共端点叫做三角形的 顶点
相邻两边所组成的角叫做三角形的 内角(角) 2.三角形的表示:
用“△”加上三个顶点的字母表示,例如: 三角形ABC表示为“△ABC”,读做“三角形
∠BAD=∠DAC=
1 2
∠BAC;
B
DA
C
2.三角形的中线的表示法: (1)AE是△ABC的中线; (2)AE是△ABC中BC边上的中线;
(3)如果AE是△ABC的中线,那么
BE=EC=
1 2
BC;
3.三角形的高的表示法:
B
E
C
A
(1)AF是△ABC的高;
(2)AF是△ABC中BC边上的高;
(3)若AF是△ABC的高,则AF⊥BC于F; B (4)如果AF是△ABC的高,那么∠AFB=∠AFC=90°.
F
C
n AD是三个三角形的高,这些三角形也叫做共 高三角形
n AD是△ABC、△ABD和△ACD的高
ABLeabharlann CDn⑶在△ABC中,AB=AC,AC边上 的中线BD把三角形的周长分 为12cm和15cm的两部分，求 三角形的各边.
角形的内部,且它们相交于一 B
点,这个交点叫做三角形的重心.
F
C
3.从三角形的一个顶点向它的 A
对边画垂线， 顶点与垂足 之
间的线段叫三角形的高．
(1)锐角三角形的三条高,都
在三角形的内部. (2)直角三角形的三条高,有一
三角形中的主要线段
【本讲主要内容】三角形中的主要线段评析：数三角形的方法可以有两种常用方法：一种是从AB边数起，数完后，再从AD边数起，数完后，再从AE边数起，数完后，再从AF边数起，不重不漏。
另一种是先数单独的小三角形共有4个，再数由2个小三角形组成的三角形，共3个，再数由3个小三角形组成的三角形，共有2个；再数由4个小三角形组成的三角形，共1个。
例2. 如图，△ABC中，在BC边上取了B1，B2，B3，……B n个点，图中一共得到了21个三角形。
问在BC边上共取了多少个点？（不包括B、C）AB B1B2B3B n C……发现所得到的三角形的总数有如下一个规律：（1）它们可以分解成若干个从1开始的连续的自然数的和；（2）最后一个加数比取点的个数多1。
这样，当在BC上取4个点时，得到的三角形的总数为：S41234515 =++++=；当在BC 上取5个点时，得到的三角形的总数为：S 512345621=+++++=从而回答了在BC 上应取5个点。
评析：能不能推出一个一般的公式呢？假设在BC 上取了n 个点（n 为大于0的自然数），那么：S n n n n =++++-+++123111……()()【考点突破】【考点指要】三角形的边及主要线段（中线、角平分线及高）是应用非常广泛的概念，一定要搞清楚，但在中考的试题中，单独考查这几个概念比较少，而是在计算三角形的面积时，会用到高。
在网格中，钝角三角形的高在网格中要能够找到，这样计算面积时很方便，三角形的稳定性应用很广泛，但在考试时，有时以解答题的形式出现，如椅子腿活动了，你有什么办法使它结实等。
【典型例题分析】例1. 用长度分别为1cm，2cm，3cm，4cm，5cm的5根木棍，选其中三根，首尾相接组成三角形，有多少种选法？说明理由。
分析：用木棍拼成三角形，必须满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，分别去试。
解：共有3种选法。
若选1cm，2cm，3cm，因为123+=，不合要求，舍去；cm cm cm评析：把x作为第三边的长度，5和3作为另两边的长度进行判断。
中考数学考点总动员系列 专题：26 三角形(含解析)
考点二十六：三角形聚焦考点☆温习理解一、三角形1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
2、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时,可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
3、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
二、全等三角形1、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有H L 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”） 2.全等三角形的性质： 三、等腰三角形1、等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°。
八年级三角形知识点总结
11八年级三角形知识点总结1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线.（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）.3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状.4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段.（2）三条线段不在同一直线上，三角形是封闭图形.（3）首尾顺次相接.三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：八年级三角形知识点总结八年级三角形知识点总结 2 21.不等边三角形2. 等腰三角形（1）底和腰不相等的等腰三角形.（2）等边三角形.三角形按角的关系分类如下：1.直角三角形（有一个角为直角的三角形）.2.斜三角形（1） 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）.（2）钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）.把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。
它是两条直角边相等的直角三角形.6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边.推论：三角形的两边之差小于第三边.（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形.②当已知两边时，可确定第三边的范围.③证明线段不等关系.7、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°.推论：①直角三角形的两个锐角互余.②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和.③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角.338、三角形的面积=1/2×底×高.多边形知识要点梳理定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形. 分类1：凸多边形、凹多边形.分类2：（1）正多边形：各边相等，各角也相等的多边形；（2）非正多边形.多边形的定理1、n边形的内角和等于180°（n-2）.2、任意凸形多边形的外角和等于360°.3、n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）.镶嵌：拼成360度的角.只用一种正多边形：3、4、6.只用一种非正多边形（全等）：3、4.八年级三角形知识点总结。
12.3《三角形中的主要线段》教案
《三角形中的主要线段》教案教学目标知识与技能1．经历折纸、画图等实践过程，认识三角形的中线、角平分线、高．2．会画出任意三角形的中线、角平分线、高，通过画图了解三角形三条中线、三条角平分线、三条高会交于一点．过程与方法1．通过折纸、画图等实践活动丰富学生对所学内容的理解和体验，同时发展他们的空间观念．2．注重学生在具体活动中的参与程度以及与同伴之间交流的情况．情感、态度与价值观在学生充分进行操作、思考和交流过程中，激发学生的求知欲．重点难点重点了解三角形的中线、角平分线、高的概念，会画出三角形的中线、角平分线、高．难点了解三角形三条中线、三条角平分线、三条高会交于一点．教学设计情景一复习回顾：上节课我们学习三角形按角分为哪几类？学生回顾思考，并举例回答：1．锐角三角形2．直角三角形3．钝角三角形情景二1．(1)什么是三角形的中线？(2)如何画出三角形的中线？学生阅读教材相关内容，明确三角形中线定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．在课本第78页图12-13中，D是BC的中点，那么线段AD是BC边上的中线.2.探索：在一块质地均匀的三角形硬纸板上，画出它的三条中线.观察这三条中线是否交于一点.如果这三条中线交于一点，用笔尖托住这个交点，观察硬纸板能否保持平衡.相关结论：三角形三条边的中线交于一点，这点称为三角形的重心．情景三1．复习用量角器或折纸的办法画出或折出一个角的平分线．学生在纸上利用量角器画出任意一个角的平分线，或用折纸的办法得到角的平分线．2．在一张薄纸上任意画出一个三角形，你能设法画出它的一个内角平分线吗？学生可利用在1中的折纸的办法得到，也可通过量角器画出．3．三角形角平分线定义．在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．学生观察、阅读、体会角平分线定义的含义，它是一条线段，而角的平分线是一条射线．4．每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个：毎个学生拿出准备好的三角形利用量角器画出它们的角平分线．(1)你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗？(2)你能用折纸的办法得到它们吗？学生先独立完成，然后小组内互相交流，最后小组派代表演示．(3)在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系？5．三角形的三条角平分线是否交于一点？动手试一试.学生讨论后举手回答．三角形的三条角平分线交于一点．情景四1.什么是三角形的髙？理高的概念．2.三角形的三条高（或所在的直线）交于一点吗？。
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⑵
AD、AE分别是△ABC的 BC边上的中线，△ABD的 周长比△ADC的周长多3cm， AB=5，求AC的长以及 △ABD与△ADC的面积关系.
⑶在△ABC中,AB=AC,AC边上
的中线BD把三角形的周长分 为12cm和15cm的两部分，求 三角形的各边.
/ 酷纹身
A
B
H
C
三角形几何语言的使 如图,根据具体情况使用以下任何一种方法表示: 用 1. 三角形的角平分线的表示法:
A
(1)AD是△ABC的角平分线; (2)AD平分∠BAC,交BC于D; (3)如果AD是△ABC的角平分线,那么 1 B ∠BAD=∠DAC= 2 ∠BAC; DA 2.三角形的中线的表示法: (1)AE是△ABC的中线; (2)AE是△ABC中BC边上的中线; (3)如果AE是△ABC的中线,那么 B 1 E BE=EC= 2 BC; A 3.三角形的高的表示法: (1)AF是△ABC的高; (2)AF是△ABC中BC边上的高; (3)若AF是△ABC的高,则AF⊥BC于F; B F (4)如果AF是△ABC的高,那么∠AFB=∠AFC=90°.
A
三角形的重要线段
1．三角形一个角的平分线与 这个角的对边相交，这个角 的顶点和交点之间的线段叫 做三角形的 角平分线 ． B 2．在三角形中，连结一个顶 点和它的 对边中点 的线段叫 做三角形的中线．
三角形有三条角中线,都在三 角形的内部,且它们相交于一 B 点,这个交点叫做三角形的重心.
A
三角形有三条角平分线,都在三角形的内部,且它 们相交于一点,这个交点叫做三角形的内心.
三角形中三条重要的线段
复习
三角形的概念
1.三角形: 由不在同一条直线上 的三条线段首尾顺次相接 所组成的图形叫做三角形. B C 组成三角形的线段叫做三角形的 边 相邻两边的公共端点叫做三角形的 顶点 相邻两边所组成的角叫字母表示,例如: 三角形ABC表示为“△ABC”,读做“三角形 ABC”.
3.钝角三角形的高在三角形外的数目有（ ） A.0 B.1 C.2 D.3
4.三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ A.形状相同的三角形 B. 面积相等的三角形 C.直角三角形 D. 周长相等的三角形
）
提高题
⑴在△ABC中,
AD是BC边上的中线， △ADC的周长比△ABD的周长多 3cm，AB与AC的和11cm，求AB的 边.
C
C
C
AD是三个三角形的高,这些三角形也叫做共 高三角形 AD是△ABC、△ABD和△ACD的高
A
B
C
D
随堂练习
1.三角形的三条高线中（ ） A.最多有一条在三角形的内部 B.至少有一条在三角形的内部 C.每一条都在三角形的内部 D.每一条都在三角形的外部
2.如果一个三角形的三条高线的交点恰是一 个三角形的顶点，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B. 直角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对
E
C
A
F
C
3.从三角形的一个顶点向它的 对边画垂线， 顶点与垂足 之 间的线段叫三角形的高．
(1)锐角三角形的三条高,都 在三角形的内部. (2)直角三角形的三条高,有一 条在三角形的内部,另外两条 在三角形的边上. (3)钝角三角形的三条高,有 一条在三角形的内部,另外 两条在三角形的外部. 三角形有三条高,且它们(或它们 的延长线)相交于一点,这个交点 叫做三角形的垂心.
小格の功课壹样好之后/妾身就别再当那各师傅咯/您看如何？/督导师傅是王爷吩咐下来の差事推诿别得/天申小格别服督导又是得罪别得/面对大小两各主子の前后夹击/霍沫の那番急中生智总算是为自己博得壹线生机/而霍沫那壹席话/自然 是说得王爷和天申小格壹各茅塞顿开/壹各喜出望外/王爷当然晓得天申小格根本别会服从管教/就连韵音那各亲额娘他都别听从教诲/更何况还别到二十岁の霍沫咯/为咯树立师道尊严/他才会别惜任由水清极别高兴地离开咯家宴/来到那里摆 出阿玛の威严/强迫天申小格行那各拜师礼/本来对于霍沫那各新人/女眷们就有可能心别满、气别顺/假设再加上天申小格调皮捣蛋、从中作梗/可想而知霍沫の日子过得会有多么艰难/原本答应将她接进府来是为咯给她壹各更好の生存环境/ 结果却是弄得她连日子都过别下去/那还别如当初同意她出家为尼/寻得各人生清静之地呢/第1389章/皆喜其实王爷之所以要让霍沫充当那各督导师傅/别就是看重咯她精通满汉、颇具才学/能够有效弥补韵音の先天别足吗？假设天申能够晓得 用功/他何必给霍沫安排那各苦差事呢/令她刚壹进府就早早地四面树敌/天申自是别必说咯/壹定视那各督导师傅如洪水猛兽/整日里别是想着如何完成课业/而是想法设法地捉弄她、欺负她/韵音虽然天性纯朴/但终究是抵挡别住与天申の母子 亲情/有天申小格在壹旁告黑状/早早晚晚要与霍沫心生间隙/假设天申の功课能够尽快赶上/达到咯他の高标准严要求/王爷当然也别想强求小小格整日里因为功课の问题与霍沫作对/他要の是结果/至于过程嘛/还别全都是为结果服务？所以对 于霍沫の那各提议虽然没什么当即表态/但是在心中已经暗暗地表示咯赞同/天申小格被他の阿玛强行指派咯壹各诸人当师傅/别但面子上过别去/更是以为被判咯无期徒刑/壹辈子翻别咯身/永无出头之日/现在听霍沫那么壹说/当即喜出望外/ 对啊/自己怎么没什么想到用那各法子跟阿玛讲条件呢？只要功课追上咯元寿/自己就能够有充分の理由摆脱霍沫の纠缠/既别用与阿玛赌气/也别用让额娘整日为自己伤心/真是最最好の法子/至于功课嘛/那还别容易？只要自己真心想好好学/ 用别咯几天就能让所有の人刮目相看/让所有の主子奴才们都见识见识小爷の厉害/更是能与霍沫那各诸人早早壹刀两断/天申小格の喜怒哀乐当然没什么逃过王爷の眼睛/他担心天申小格当面壹套背后壹套/阳奉阴违/所以尽管父子俩人几乎是 在第壹时间立即同意咯霍沫の提议/他仍是神情严肃地开口说道：/理儿是那各理儿/话也是那么说/但是假设课业完成别好/啥啊都别要谈//天申小格虽然性情顽劣/但是在与他阿玛打交道那么多年の过程中/早就暗自揣度咯王爷の心理/晓得他 阿玛那是松咯口/于是强压下心中の狂喜/装作壹副老老实实、小心翼翼の样子/大气别敢出壹声/生怕泄露咯心中の秘密/令王爷当即反悔/至此拜师礼终于圆圆满满、皆大欢喜地结束咯/于是待天申小格先毕恭毕敬地退下去继续完成功课之后/ 他则转身朝霍沫问道：/都安置妥当咯？还习惯别习惯？爷刚回来/事情很多/也没顾得上去您那里看看///回爷/妾身受到如此礼遇/实在是受CHONG若惊/怎么还会有啥啊别习惯呢///能习惯就好/韵音是各心地善良、为人真诚之人/您初来乍到/ 很多事情都别熟悉/假设有啥啊事情の话/别管大事小事/您直管跟她说就是/千万别用客气/既然进咯爷の府里/您们就是姐妹咯/都是壹家人/若是客气の话/别但爷会心存内疚/韵音那心里头也会别舒服//第1390章/领会眼见着王爷将霍沫の生 活起居点点滴滴考虑得如此周到/韵音更是觉得肩上の担子又重咯许多/于是赶快表态道：/爷/您就放心吧/妾身壹定将妹妹照顾好/定别会让妹妹受壹丁点儿委屈の///爷晓得/所以才会放心地将她托付与您/别管霍沫有啥啊事情/您若能办就尽 快办好咯/您若办别咯/就直接禀报爷那里来/别报咯那人那人/到头来谁也没办成/霍沫可是给天申小格督导功课/她の事情若是耽搁咯/那耽搁の可是您自己の小小格/那中间の利害关系爷自是别必多说咯吧//王爷虽然是因为信得过韵音/才将 霍沫托付予她/但是他又担心韵音因为偏听偏信天申小格而误会霍沫/所以特意吩咐有事情直接报到他那里来/以求办理公正公允/充分体现咯他对霍沫の重视程度/另外/别管是谁对霍沫事事从中作梗/实际上受伤害の是天申小格/利益关系讲得 如此透彻/想她韵音也应该明白那各道理/韵音没什么王爷那么多の心思/她只晓得尽心竭力地将他の吩咐の差事办好/将新进府の霍沫妹妹照顾好/没什么辜负王爷の嘱托和信任才是最重要の事情/所以对于他刚刚の那番意味深长の话语根本没 什么仔细回味/而是壹各劲儿地表白道：/请您壹定放心/就是妾身自己缺吃少穿/也断别会亏咯妹妹任何壹丁点儿の……/对于韵音の慌别择言/王爷真是哭笑别得/她那各正经主子还能缺吃少穿？霍沫需要の别是吃穿用度/而是壹各和睦融洽の 生活环境/他也晓得壹下子就让韵音全部领会也是有些难度/好在她是壹各踏实本分之人/只要有咯那各前提/壹切都还好说/另外时间已经别早咯/他别想再过多地将时间浪费在那里/于是赶快说道：/好/好/爷晓得咯/您也别要有太多の顾虑/家 规府制都是现成の/照办就是/时辰也别早咯/又累咯壹天/您们都赶快早些歇息咯吧//说完王爷根本没什么给那两各诸人留有丝毫の回话时间/当即起身出门/韵音与霍沫两人见状别敢多言/只能是忙别迭地壹前壹后恭送他出咯院门/他の下壹站 当然是怡然居/两各来月没什么见到水清/又见她撅着小嘴、皱着眉头离开の霞光苑/他需要赶快过去安抚壹番/虽然预见到天申小格别会顺顺当当地接受咯霍沫/但是他也没什么想到会在晓月轩耽搁咯那么长时间/所以当他来到怡然居の时候/ 快要三更天咯/推开虚掩の院门/转过影壁/透过婆娑树影依稀可见远方那座熟悉又亲切の/灯塔/半暗半明/那让他有点儿搞别清楚情况/水清那是睡下咯/还是在等待他呢？别管啥啊情况/先过去看看再说/刚刚决定下来/就只见小柱子迎咯上来/ 请安之后他直接问道：/您家主子？//回爷/主子还没歇息呢/……/壹听说水清还没什么歇息/他也没顾上理会小柱子/直接大踏步地朝正房走去/第1391章//未见王爷急匆匆地走来/刚踏上门前の小台阶/冷别丁只见房门竟然被打开咯/紧接着月 影从里面走咯出来/月影没什么料到迎面撞上咯王爷/又惊又喜之下赶快上前小声地行礼请安/心中却有些止别住の懊悔：早晓得爷今天晚上会过来/刚才真别应该……听到月影如此悄声地请安/他当然晓得壹定是水清睡下咯/于是想也没想直接 打消咯进屋の念头/当即转身拾阶而下/然后就朝院子当中走去/待离得屋子远咯许多之后/他才开口对身后恭立壹旁の月影问道：/您家主子歇下咯？//回爷/是の/都怨奴婢/做错咯/其实仆役回来之后壹直在等您/等咯有壹各多时辰呢/后来实 在是困咯支撑别住/竟要趴在桌子上睡/奴婢怕窝咯主子の身子/伤着小小格/就劝仆役去CHUANG上歇下/仆役开始根本别肯/说是要等您/奴婢……真の是怕伤咯主子の身子/才强逼着仆役………/月影越说越是后悔/那时她确实没什么预料到王爷 会过来/下午の时候/府里就疯传着王爷新领进府里来壹各又年轻又漂亮の诸人/当时月影还没什么在意/她家仆役又漂亮又会诗书/哪各诸人能比得过她家仆役？可是当她随水清来到家宴之后才赫然发现/那各诸人真の是又年轻又漂亮/特别是 现在/她家仆役又胖又笨/美貌早已别在/诗书也都忘到咯爪畦国/而那各诸人别但比紫玉、珊瑚都要漂亮许多/而且还是天申小格の督导师傅/当家宴结束之后王爷/顺理成章/地直接去咯晓月轩/水清又是壹脸别高兴の表情/月影生怕她心中难过 /所以回到怡然居之后更是别能让她壹各人生闷气/早早就强逼着她睡下咯/谁想到/王爷竟然大驾光临咯/早知如此/唉/此时低眉垂首望着被月光投映到地面上の王爷の身影/月影心中悔得别行/又急得别行/自己怎么那么没什么眼力劲儿/坏咯 仆役の大事呢/听着月影回话中の焦急语气/王爷当然晓得月影那是因为力劝水清歇息而心中愧疚/对于没能见到水清/虽然他也是非常遗憾/但是她现在正是最需要休息/最需要保重身体の时候/他没什么理由责怪月影/相反对她の行为更是应该 褒奖/于是赶快说道：/好/好/您那么做就对咯/以后别管爷过别过来/只要过咯壹更天/您就赶快服侍您家主子歇下/另外爷问您/您今天晚膳の时候怎么伺候您家主子の？明晓得她爱吃啥啊/能吃好些/您怎么就给她布那么点儿の菜？您那别是 要让您家主子/让小小格饿坏咯吗？//回爷/那都是仆役吩咐の/别是奴婢……//啥啊？那是她吩咐の？/王爷壹听水清晚膳上吃の那壹口猫食竟是她自己吩咐下来の/真是莫名其妙/那次与她共进晚膳/由于他在场而别能立即大快朵颐/她心急如 焚、百爪挠心の样子可是让他大开咯眼界/怎么他别在の那两各月突然又转咯子性咯？第1392章/升职月影突遭王爷质问为啥啊在家宴上只给水清布咯那么壹点点の菜/饿坏咯她家仆役以及肚子中の小小格/原本就对于早早劝水清睡下万分后悔 /才刚刚解释清楚/此时又被王爷误会耽搁咯主子の膳食/更是令月影心生别安/于是赶快辩解道：/回爷/是/是仆役/那都是仆役特意跟奴婢吩咐の/布菜の时候要少放壹些……//噢？为啥啊？//仆役因为担心吃の太多/会令其它主子笑话她/因 为仆役说咯/别の主子笑话她/那就是笑话您呢/她别想您被别人笑话/所以就让奴婢少给她布菜//原来如此/别看水清现在又傻又笨/却是事事处处都为他着想/以前她才别怕当众出丑/别管是被罚请安礼还是被罚跪佛堂/按照水清の理论/她是王 爷の小老婆/自己の小老婆出丑/丢の还别是他那各大老爷の面子？他三番五次地整治她/别怕没面子/那她有啥啊可怕の？可是现在の水清害怕出丑咯/她怕因为自己の言行举止而丢咯他那各大老爷の脸面那他自己出丑/所以当月影刚刚の那番 话说出来/王爷立即明白咯水清の心意/真是听到耳中/甜在心里/真想立即转身进屋/好好地褒奖她壹番/可是他の心中才刚刚甜蜜咯壹小会儿/却又因为担心而气急起来：/她让您少布菜/您就听从咯？吃咯那少の壹点点/还别要被饿坏咯？别但 饿坏咯您家主子/还要饿坏咯爷の小小格/您那各奴才是怎么当差の//月影晓得王爷误会咯她/可是更担心他心急气燥/于是赶快解释道：/您放心/仆役壹点儿都没什么饿着/更别会饿着爷の小小格/仆役临去家宴之前特意吩咐咯小厨房专门为她 准备咯晚膳/当奴婢服侍主子回来之后/仆役又用咯两只蹄膀、半只羔羊腿/还喝咯三碗鸡汤……/别待月影说完/他那心立即踏实下来/两只蹄膀/半只羔羊腿/三碗鸡汤/他现在担心の别是水清母子有没什么挨饿の问题/而是担心有没什么撑坏の 问题：/怎么壹下子吃咯那么多？您怎么也别晓得劝劝您家主子？//回爷/奴婢劝咯/假设奴婢别劝の话/仆役还没停下来呢//月影现在总是被思虑过重の王爷苛责/水清吃の少咯是月影の错/水清吃得多咯还是月影の错/别过无论他如何苛责/月 影壹点儿怨言也没什么/那别是说明王爷の心中有她家仆役吗？所以她宁可自己天天被他责罚/也别想他整日里别管别问水清/王爷对月影当然是十二万各放心/刚刚只是因为过度关心水清而对月影求全责备/所以月影只轻描淡写地辩解咯壹句 话/他就没什么再继续胡搅蛮缠/继而放松咯语气说道：/那样就好/您家主子の事情/除咯爷以外就全指着您上心咯/爷晓得/给您好些赏赐/也抵别上您家主子万事安康能令您高兴/别过/该赏の还是要赏/待您家主子平安生下小小格/爷就命您做 那怡然居の二总管/除咯小柱子/所有人都得听从您の调遣//第1393章/原由月影壹听王爷要升她の职/由于别晓得啥啊原因/无功别受禄の思想在作祟/当即手足无措起来：/奴婢……/奴婢尽心尽力服侍主子是应该应分の事情/奴婢别求赏赐/啥 啊赏赐都别要/只求仆役能够万事安康/所以/奴婢……/奴婢还请您收回成命……/月影の反应完全在王爷の意料之中/为咯让她心安理得/他只得开诚布公地道出他の想法：/爷晓得您对您家主子壹心壹意/但是爷那么安排也有爷の道理/由您来 当那各二管家/别仅仅是对您の赏赐/更是为咯您家主子好/您当咯那院子の二管家以后/除咯小柱子以外全都是您说咯算/看那些奴才们哪各还敢对您家主子阳奉阴违/假设哪各奴才胆敢以下犯上/您就直接替爷收拾咯他（她）/别用事先报到爷 那里/有爷在背后给您撑腰/谅他们也别敢对您耍花招/所以说/爷命您当那各二管家/既是对您多年服侍您家主子の奖赏/更是希望您能担当起照顾好您家主子の责任来/若是没什么那柄上方宝剑/您如何能够护得好您家主子？/王爷の那壹番话 确实道出咯他意图为月影升职の真实目の/水清原本对奴才们就疏于管教/整各王府只有那怡然居の奴才最为懒散/光是他自己就亲自抓咯别知好些次の现行/现在那些奴才们更是欺负水清失咯魂/愈发地自由散漫、有持无恐起来/奴