根轨迹
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根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
1 K (s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0 (s p1 )( s p2 )....( s pn )
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
根轨迹的基本规律及绘制
i 1
m
(s zj ) 0
j1
K* = s j = z j(j = 1,2, ,m)
根轨迹终止于开环零点。
讨论：
1．当m=n时，即开环零点数与极点数相同步，根轨迹 旳起点与终点均为有限旳值。
2．当m<n时，即开环零点数不大于开环极点数时，除 有m条根轨迹终止于开环零点(称为有限零点)外，还有 n-m条根轨迹终止于无穷远点(称为无限零点)。
3．当m>n时，即开环零点数不小于开环极点数时，除 有n条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有 m-n条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。参数根轨迹
2024/10/9
结论：
根轨迹起始于开环极点(K*→0)，终止于 开环零点(K*→∞)；假如开环极点数n不小 于开环零点数m，则有n-m条根轨迹终止 于s平面旳无穷远处，假如开环零点数m不 小于开环极点数n，则有m-n条根轨迹起始 于s平面旳无穷远处。
s
as a
a
渐近线与实轴旳交点：
0
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
nm
渐近线与实轴正方向旳夹角：
a
2k1
n m
2024/10/9
k 0,1, 2, , n m1
例 已知系统旳开环传递函数如下，试画出该
系统根轨迹旳渐近线。
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
nm
G(s) H(s) Kr (s 2) s2 (s1)(s 4)
j 1
j 1
ji
所以 同理得：
m
n
pi (2k 1) ( zj pi ) pj pi
j 1
j 1
m
(s zj ) 0
j1
K* = s j = z j(j = 1,2, ,m)
根轨迹终止于开环零点。
讨论：
1．当m=n时，即开环零点数与极点数相同步，根轨迹 旳起点与终点均为有限旳值。
2．当m<n时，即开环零点数不大于开环极点数时，除 有m条根轨迹终止于开环零点(称为有限零点)外，还有 n-m条根轨迹终止于无穷远点(称为无限零点)。
3．当m>n时，即开环零点数不小于开环极点数时，除 有n条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有 m-n条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。参数根轨迹
2024/10/9
结论：
根轨迹起始于开环极点(K*→0)，终止于 开环零点(K*→∞)；假如开环极点数n不小 于开环零点数m，则有n-m条根轨迹终止 于s平面旳无穷远处，假如开环零点数m不 小于开环极点数n，则有m-n条根轨迹起始 于s平面旳无穷远处。
s
as a
a
渐近线与实轴旳交点：
0
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
nm
渐近线与实轴正方向旳夹角：
a
2k1
n m
2024/10/9
k 0,1, 2, , n m1
例 已知系统旳开环传递函数如下，试画出该
系统根轨迹旳渐近线。
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
nm
G(s) H(s) Kr (s 2) s2 (s1)(s 4)
j 1
j 1
ji
所以 同理得：
m
n
pi (2k 1) ( zj pi ) pj pi
j 1
j 1
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
根轨迹
第四章
根轨迹法
4-1 根轨迹与根轨迹方程 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 控制系统的根轨迹分析 4-4 零度根轨迹与非最小相位根轨迹
4-1 根轨迹与根轨迹方程
一、根轨迹的基本概念 所谓根轨迹就是指当系统中某个 参量由零到无穷大变化时， 参量由零到无穷大变化时，其闭环特 征根（极点） 征根（极点）在s平面上移动的轨迹
方法1:解 方法1:解方程法 1: 开环传递函数 ∗ K G( s) = s( s + 1)( s + 2)
1 1 1 1 = + + ∑ s− p s s+1 s+ 2 = 0 j =1 j
3
方法3:极值法 方法3:极值法 3:
dK ∗ =0 ds
K ∗ = − s 3 − 3s 2 − 2s dK ∗ = −3s 2 − 6s − 2 = 0 ds ds
m 1 1 =∑ ∑ d − p i =1 d − z j =1 j i n
重根法求解d 2 、重根法求解d
f ( s ) = A( s ) + K ∗ B( s ) = 0
A( s ) B′( s ) − A′( s ) B( s ) = 0
3、由极值点求解d 由极值点求解d dK ∗ = 0 坐标值由
4-2 绘制根轨迹的基本法则
设控制系统的开环传递函 数为 m
G(s)H ( s) = K
*
jω
∏ (s − z )
i =1 n i j =1 j
∏ (s − p
)
K =∞ 1 −1
K*(s − z1)L (s − zm) = (s − p1)(s − p2 )L (s − pn )
K =0 −6
• K = 35, ω =1.35
根轨迹法
4-1 根轨迹与根轨迹方程 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 控制系统的根轨迹分析 4-4 零度根轨迹与非最小相位根轨迹
4-1 根轨迹与根轨迹方程
一、根轨迹的基本概念 所谓根轨迹就是指当系统中某个 参量由零到无穷大变化时， 参量由零到无穷大变化时，其闭环特 征根（极点） 征根（极点）在s平面上移动的轨迹
方法1:解 方法1:解方程法 1: 开环传递函数 ∗ K G( s) = s( s + 1)( s + 2)
1 1 1 1 = + + ∑ s− p s s+1 s+ 2 = 0 j =1 j
3
方法3:极值法 方法3:极值法 3:
dK ∗ =0 ds
K ∗ = − s 3 − 3s 2 − 2s dK ∗ = −3s 2 − 6s − 2 = 0 ds ds
m 1 1 =∑ ∑ d − p i =1 d − z j =1 j i n
重根法求解d 2 、重根法求解d
f ( s ) = A( s ) + K ∗ B( s ) = 0
A( s ) B′( s ) − A′( s ) B( s ) = 0
3、由极值点求解d 由极值点求解d dK ∗ = 0 坐标值由
4-2 绘制根轨迹的基本法则
设控制系统的开环传递函 数为 m
G(s)H ( s) = K
*
jω
∏ (s − z )
i =1 n i j =1 j
∏ (s − p
)
K =∞ 1 −1
K*(s − z1)L (s − zm) = (s − p1)(s − p2 )L (s − pn )
K =0 −6
• K = 35, ω =1.35
第4章 根轨迹法
，即系统的开环极点。
时，由根轨迹方程知根轨迹的终点为
，即系统的开环零点。
但是，当
时，
条根轨迹趋向于开环零点（称为有限零点），还有
条根轨迹将趋于无穷远处（称为无限零点）。
如果出现
的情况，必有
条根轨迹的起点在无穷远处。
规则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支 数等于 ， 根轨迹对称于实轴并且连续变化。
由根轨迹的对称性和连续性，根轨迹只需作出上半部分，对称画出另一部分，且根轨迹连续变化。
规则3 根轨迹的渐近线 当开环极点数大于开环零点数时，有n-m条根轨迹 趋于无穷远处，无穷远处的渐近线与实轴的交点为 ， 渐近线与实轴正方向的夹角(倾角)为
例4-1单位负反馈系统的开环传递函数为
规则10 根之积 根据特征方程根和系数的关系，得
第1章 引 论
例：系统的开环传递函数为
开环极点为
渐近线于实轴的交点为
渐近线的倾角为
与虚轴的交点为
第1章 引 论
根轨迹的分会点：
第1章 引 论
第1章 引 论
第1章 引 论
例：系统的开环传递函数为
开环极点为
渐近线于实轴的交点为
4.6 MATLAB绘制系统的根轨迹 对于比较复杂的系统，人工绘制根轨迹十分复杂和困难，MATLAB绘制系统根轨迹是十分方便的。 通常将系统的开环传递函数写成如下形式
分别为分子和分母多项式。
采用MATLAB命令： pzmap(num,den)可以绘制系统的零、极点图； rlocus(num,den)可以绘制系统的根轨迹图； rlocfind(num,den)可以确定系统根轨迹上某些点的增益。
渐近线的倾角为
与虚轴的交点为
时，由根轨迹方程知根轨迹的终点为
，即系统的开环零点。
但是，当
时，
条根轨迹趋向于开环零点（称为有限零点），还有
条根轨迹将趋于无穷远处（称为无限零点）。
如果出现
的情况，必有
条根轨迹的起点在无穷远处。
规则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支 数等于 ， 根轨迹对称于实轴并且连续变化。
由根轨迹的对称性和连续性，根轨迹只需作出上半部分，对称画出另一部分，且根轨迹连续变化。
规则3 根轨迹的渐近线 当开环极点数大于开环零点数时，有n-m条根轨迹 趋于无穷远处，无穷远处的渐近线与实轴的交点为 ， 渐近线与实轴正方向的夹角(倾角)为
例4-1单位负反馈系统的开环传递函数为
规则10 根之积 根据特征方程根和系数的关系，得
第1章 引 论
例：系统的开环传递函数为
开环极点为
渐近线于实轴的交点为
渐近线的倾角为
与虚轴的交点为
第1章 引 论
根轨迹的分会点：
第1章 引 论
第1章 引 论
第1章 引 论
例：系统的开环传递函数为
开环极点为
渐近线于实轴的交点为
4.6 MATLAB绘制系统的根轨迹 对于比较复杂的系统，人工绘制根轨迹十分复杂和困难，MATLAB绘制系统根轨迹是十分方便的。 通常将系统的开环传递函数写成如下形式
分别为分子和分母多项式。
采用MATLAB命令： pzmap(num,den)可以绘制系统的零、极点图； rlocus(num,den)可以绘制系统的根轨迹图； rlocfind(num,den)可以确定系统根轨迹上某些点的增益。
渐近线的倾角为
与虚轴的交点为
根轨迹法基本概念
KG0 (s)
则闭环特征方程为:
1 K num 0 den
特征方程旳根随参数K旳变化而变化,即为闭环根轨迹.
项目1:已知系统旳开环传递函数模型为：
K Gk (s) s(s 1)(s 2) KG0(G)
利用下面旳ＭＡＴＬＡＢ命令可轻易地绘制出系统旳根轨迹 >>G=tf(1,[conv([1,1],[1,2]),0]);
引言
A.闭环系统旳稳定性和动态性能 取决于闭环极点特征方程旳根。
B.当待定参数变化时特征根随之变 化，这个根旳变化轨迹就形成根轨迹。
C.用来研究根轨迹旳变化规律以及 和闭环系统性能间旳关系旳措施，称为 控制系统根轨迹分析法。
§4.2 根轨迹旳概念
要求： 1)掌握根轨迹旳概念 2)掌握根轨迹幅值条件和相角条件
2)相角条件是决定根轨迹旳充要条件， s平面上一点若满足相角条件,即为根轨迹 上旳一点。
3)幅值方程用于拟定根轨迹上一点旳K值;
根轨迹点
幅值方程
四. 根轨迹与系统性能
1.稳定性 假如系统特征方程旳根都位于S平面 旳左半部，系统是稳定旳，不然是不稳定旳。若
根轨迹穿越虚轴进入右半S平面，根轨迹与虚轴交
另一种问题是，经过解方程求得旳闭环 极点，是在系统参数一定旳情况下求得旳。 但当系统中旳参数变化时，如开环增益K变化 时，又得重新解方程求根，因而很不以便。
为了处理以上问题，1948年，伊万斯提 出了控制系统分析设计旳根轨迹法。
这种措施是根据反馈控制系统旳开环、闭 环极点传递函数之间旳关系，根据一定旳准 则，直接由开环传递函数旳零、极点，求出 闭环极点。从而，比较轻易旳得到系统旳性能.
要点： 1)根轨迹旳概念 2)闭环系统旳特征根旳根轨迹与开环 传递函数旳关系
根轨迹的特点
根轨迹是指在复平面上描述线性系统的特征根（或者特征值）随时间变化而形成的轨迹。
根轨迹的特点如下：
根轨迹是一个连续曲线，由系统的特征根在复平面上连续移动形成。
通常情况下，根轨迹是闭合的，也就是形成一个或多个闭合的环。
每个特征根对应于根轨迹上的一个点。
根轨迹与系统的传递函数有关，不同的传递函数对应不同的根轨迹。
因此，通过观察根轨迹，我们可以了解系统的稳定性、阻尼比、超调量等性能指标。
在根轨迹上，特征根距离原点越远，表示系统对外部扰动和输入信号的影响越强。
因此，从根轨迹中可以看出系统对不同频率的输入信号的响应情况。
根轨迹的形状受到系统阻尼比的影响。
当阻尼比越小时，根轨迹的形状越接近圆形；当阻尼比较大时，根轨迹的形状会变得扁平。
根轨迹上的点代表系统的特征根，在复平面上的位置反映了特征根的实部和虚部。
实部表示系统的稳态响应，虚部表示系统的振荡特性。
总之，根轨迹提供了一种可视化的方法来分析和设计线性系统。
通过观察根轨迹的形状和位置，我们可以判断系统的稳定性和性能，并进行系统控制的设计和调整。
第八章 根轨迹法
nm =3
p3 -2
p2 -1
σα
0
p1
故三条根轨迹趋向无穷远处，其渐近线与实 -60° 轴交点的坐标为 (0) +(1) +(2) (0) σα = =1 3 (2k + 1)π 取 k = 0, α = 60° α = 渐近线与实轴正方向的夹角 3 k = 1, α = 180° k = 1, α = 60° 三条渐近线如图所示。
自动控制原理
利用以上原则求例 8-1 的根轨迹图： 已知开环极点为0，-2。首先应用幅角条件，即
(∠s + ∠(s + 2)) = ±180°(2k + 1)
用试探的方法可找出满足上述条件的 s 点。 由幅角条件分析可知，实轴上根轨迹位于（-2，0）区间，实 轴之外根轨迹为0，-2两点的中垂线。 用幅值条件可算出根轨迹上各点对应的 K* 值。 如对(-1+j) 点，有 K = s i s + 2 / 2 = ( 2i 2)/ 2 = 1 得 K* = 2
自动控制原理
五、根轨迹的渐近线
* 如果开环零点数 m 小于开环极点数 n，则K → ∞ 时，趋向无 穷远处的根轨迹共有 (n-m) 条，这些根轨迹趋向于无穷远处的方向 角可由渐近线决定。
渐近线与实轴交点坐标公式 该式的分子是开环极点之和减零点之 和，分母是开环极点数减零点数。
∑ p ∑z
σα =
i =1 i j =1
∏ (s z )
由根轨迹方程知，
m
∏ (s p )
j =1 i
i =1 n
i
=
1 K*
K * → ∞ 时，s – zi = 0
所以，根轨迹终止于开环零点。 又，若 n>m ，则 s →∞ 时，上式可写成 即有 (n-m) 条根轨迹趋向于无穷远处。
p3 -2
p2 -1
σα
0
p1
故三条根轨迹趋向无穷远处，其渐近线与实 -60° 轴交点的坐标为 (0) +(1) +(2) (0) σα = =1 3 (2k + 1)π 取 k = 0, α = 60° α = 渐近线与实轴正方向的夹角 3 k = 1, α = 180° k = 1, α = 60° 三条渐近线如图所示。
自动控制原理
利用以上原则求例 8-1 的根轨迹图： 已知开环极点为0，-2。首先应用幅角条件，即
(∠s + ∠(s + 2)) = ±180°(2k + 1)
用试探的方法可找出满足上述条件的 s 点。 由幅角条件分析可知，实轴上根轨迹位于（-2，0）区间，实 轴之外根轨迹为0，-2两点的中垂线。 用幅值条件可算出根轨迹上各点对应的 K* 值。 如对(-1+j) 点，有 K = s i s + 2 / 2 = ( 2i 2)/ 2 = 1 得 K* = 2
自动控制原理
五、根轨迹的渐近线
* 如果开环零点数 m 小于开环极点数 n，则K → ∞ 时，趋向无 穷远处的根轨迹共有 (n-m) 条，这些根轨迹趋向于无穷远处的方向 角可由渐近线决定。
渐近线与实轴交点坐标公式 该式的分子是开环极点之和减零点之 和，分母是开环极点数减零点数。
∑ p ∑z
σα =
i =1 i j =1
∏ (s z )
由根轨迹方程知，
m
∏ (s p )
j =1 i
i =1 n
i
=
1 K*
K * → ∞ 时，s – zi = 0
所以，根轨迹终止于开环零点。 又，若 n>m ，则 s →∞ 时，上式可写成 即有 (n-m) 条根轨迹趋向于无穷远处。
系统根轨迹分析
系统根轨迹分析
一、概述
1、根轨迹旳概念： • 系统中某参数变化时闭环极点旳集合为根轨迹。
• 例如：负反馈系统开环传递函数为，G(s)H (s) k(s 1) s(s 2)
• 闭环特征方程为 s2 (k 2)s k 0
•
特征根为
2k s1,2
(k 2)2 4k 2
• 当 k由0 变化时，特征根也随之变化：
绘制等价旳开环传递函数系统旳根轨迹，即为 原系统根轨迹。 2、一般环节：
首先求原系统闭环特征方程，其次构造等价旳 开环传递函数，最终绘制等价旳开环传递函数系统 旳根轨迹即为原系统根轨迹。
需要注意旳几点
• ⑴、得到旳等价开环传递函数其根轨迹可能为一 般根轨迹或零度根轨迹，需鉴定。
• ⑵、得到旳等价开环传递函数可能分子最高次数 比分母最高次数高，此时可根据分子、分母互换 后旳等价开环传递函数绘制根轨迹，其根轨迹相 同，开环零、极点互换，根轨迹方向不同。
8、平面上根轨迹旳出射角、入射角
出射角：
n
m
pa (2l 1)
[( pa ) ( p j )] [( pa ) (zi )]
j 1, j a
i 1
入射角：
n
m
zb (2l 1) [(zb ) ( p j )] [(zb ) (zi )]
j 1
i 1,i b
实质：
m
n
(s zi ) (s p j ) (2l 1)
4、幅相条件：
m
负反馈系统开环传递函数为：G(s)H (s)
k
(s
i 1
n
zi )
(s pj)
j 1
当 k由0 ，有 1 G(s)H (s) 0
一、概述
1、根轨迹旳概念： • 系统中某参数变化时闭环极点旳集合为根轨迹。
• 例如：负反馈系统开环传递函数为，G(s)H (s) k(s 1) s(s 2)
• 闭环特征方程为 s2 (k 2)s k 0
•
特征根为
2k s1,2
(k 2)2 4k 2
• 当 k由0 变化时，特征根也随之变化：
绘制等价旳开环传递函数系统旳根轨迹，即为 原系统根轨迹。 2、一般环节：
首先求原系统闭环特征方程，其次构造等价旳 开环传递函数，最终绘制等价旳开环传递函数系统 旳根轨迹即为原系统根轨迹。
需要注意旳几点
• ⑴、得到旳等价开环传递函数其根轨迹可能为一 般根轨迹或零度根轨迹，需鉴定。
• ⑵、得到旳等价开环传递函数可能分子最高次数 比分母最高次数高，此时可根据分子、分母互换 后旳等价开环传递函数绘制根轨迹，其根轨迹相 同，开环零、极点互换，根轨迹方向不同。
8、平面上根轨迹旳出射角、入射角
出射角：
n
m
pa (2l 1)
[( pa ) ( p j )] [( pa ) (zi )]
j 1, j a
i 1
入射角：
n
m
zb (2l 1) [(zb ) ( p j )] [(zb ) (zi )]
j 1
i 1,i b
实质：
m
n
(s zi ) (s p j ) (2l 1)
4、幅相条件：
m
负反馈系统开环传递函数为：G(s)H (s)
k
(s
i 1
n
zi )
(s pj)
j 1
当 k由0 ，有 1 G(s)H (s) 0
系统根轨迹判定原理
系统根轨迹判定原理
系统根轨迹的判定原理基于根轨迹方程和开环系统的参数。
根轨迹是系统开环传递函数某一参数从0到无穷大变化时，闭环极点即特征方程的根在s平面上变化的轨迹。
根轨迹的判定主要基于以下原理：
1. 相角条件与K无关，故为s是根轨迹上的点的充分必要条件；而幅值条件则是用来确定，根所对应的K。
2. 根轨迹的绘制规则：起于开环极点或无穷远处终于开环零点或无穷远处。
3. 根轨迹的分支数=max{极点数，零点数}，实轴上的根轨迹分支连续变化；根轨迹渐近线条数=零点数与极点数之差。
4. 渐近线与实轴交点为：（极点之和-零点之和）/（极点数-零点数）；根轨迹分会点：dK/ds=0(必要不充分条件，一般都符合)。
5. 起始角终止角：一般是共轭极点/零点时设定一个靠近该极点的点，利用相角条件，算出起始、终止角；分会角：+-（2k+1）/(离开或聚合的根轨迹分支数)。
6. 根轨迹与虚轴交点：带jw入G(s)，令实部为零，求得虚部即可。
因此，通过分析开环系统的参数变化和根轨迹方程，可以判定系统的稳定性和性能。
自动控制原理第四章根轨迹法
仿真与实验研究
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
根轨迹的知识点总结
根轨迹的知识点总结根轨迹的基本概念根轨迹理论的核心概念包括了无意识、防御机制、冲突、心理动力学和精神分析过程。
无意识是根轨迹理论的重要概念，指的是人类心灵中存在着一些无法察觉且不能轻易被察觉的思想、欲望和情感。
这些无意识的内容可能源自于童年时期的经历和后天的经历。
防御机制是人类心理保护自我免受无意识冲突的发生的方法，种类有很多，包括了压抑、退行、投射、转移等。
冲突是根轨迹治疗的核心，指的是患者心理内部的不同要求和愿望之间的矛盾，这些矛盾一旦不能得到合理的解决就会引起心理问题和精神压力。
心理动力学是指个体心理过程中的动力，包括了冲突、防御机制和深层心理过程，是根轨迹治疗理论的基础。
精神分析过程是根轨迹理论的治疗过程，包括了自由联想、潜意识材料解析、幻想解析和转移分析等。
根轨迹治疗的技术和方法根轨迹治疗的技术和方法主要包括了精神分析过程中的自由联想、潜意识材料解析、幻想解析和转移分析等。
在治疗过程中，治疗师主要通过与患者建立信任关系，让患者自由联想来探索其内心的无意识内容。
同时，治疗师会根据患者的自由联想和言语来对患者的潜意识材料进行解析，帮助患者理解自己的内心矛盾和冲突。
同时，治疗师还会对患者的幻想进行解析，帮助其从幻想中发现自己的内心真相。
最后，治疗师会对患者的转移情感进行分析，帮助患者解开内心的冲突和矛盾。
这些方法和技术帮助患者解决内心深层的矛盾和冲突，找到内心的平衡和和谐。
根轨迹治疗的应用领域根轨迹治疗主要适用于那些有内心矛盾和冲突，无法通过其他途径得到解决的患者。
其主要应用于心理疾病、人际关系问题、个人成长和发展问题等方面。
心理疾病包括了焦虑症、抑郁症、强迫症、创伤后应激障碍等心理疾病。
人际关系问题包括了婚姻问题、亲子关系问题、朋友关系问题等。
个人成长和发展问题包括了青少年问题、职业发展问题、自我认识问题等。
在这些领域中，根轨迹治疗可以帮助患者解决内心的矛盾和冲突，找到内心的平衡和和谐，从而使其生活更加健康和愉快。
根轨迹法
n
m n 长除 s pi z j s nm1 K j 1 渐近线与实轴的交点 i 1 nm
K*≦时，s≦，取前两项
改写为模和相角的形式
n m
s
nm
p z 两边开（n－m）次方
a＝
i 1 i
k 1)180 (2 j 1 p a z K e n＝m s n m 1＋
四个开环极点： 一个开环零点:
p1 0, p2 1 j, p3 1 j, p4 4
z 1
n-m=4-1=3
渐近线与实轴交点：
(0) (1 j ) (1 j ) (4) (1) 5 i 1 j 1 a＝ nm 4 1 3 渐近线与实轴正方向的夹角：
法则1 根轨迹的起点和终点： 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；若开环零点数 少于开环极点个数，则有 n-mn条根轨迹终止于无穷远处。 m 根轨迹方程
K
起点:K*=0
n
(s z ) (s p )
i 1 i j 1 n j
m
( s pi ) K (s z j ) 0
z
i 1 n j 1
m
i
p
j
4.3 绘制根轨迹的基本法则
1、根轨迹的起点和终点 2、根轨迹的分支数、连续性和对称性 3、实轴上的根轨迹 4、根轨迹的渐近线 5、根轨迹的分离点 6、根轨迹的起始角和终止角 7、根轨迹与虚轴的交点 8、闭环特征方程根之和与根之积
4.3.1绘制根轨迹的基本法则
s
1 nm
j (2 k 1) nm
பைடு நூலகம்
m n 长除 s pi z j s nm1 K j 1 渐近线与实轴的交点 i 1 nm
K*≦时，s≦，取前两项
改写为模和相角的形式
n m
s
nm
p z 两边开（n－m）次方
a＝
i 1 i
k 1)180 (2 j 1 p a z K e n＝m s n m 1＋
四个开环极点： 一个开环零点:
p1 0, p2 1 j, p3 1 j, p4 4
z 1
n-m=4-1=3
渐近线与实轴交点：
(0) (1 j ) (1 j ) (4) (1) 5 i 1 j 1 a＝ nm 4 1 3 渐近线与实轴正方向的夹角：
法则1 根轨迹的起点和终点： 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；若开环零点数 少于开环极点个数，则有 n-mn条根轨迹终止于无穷远处。 m 根轨迹方程
K
起点:K*=0
n
(s z ) (s p )
i 1 i j 1 n j
m
( s pi ) K (s z j ) 0
z
i 1 n j 1
m
i
p
j
4.3 绘制根轨迹的基本法则
1、根轨迹的起点和终点 2、根轨迹的分支数、连续性和对称性 3、实轴上的根轨迹 4、根轨迹的渐近线 5、根轨迹的分离点 6、根轨迹的起始角和终止角 7、根轨迹与虚轴的交点 8、闭环特征方程根之和与根之积
4.3.1绘制根轨迹的基本法则
s
1 nm
j (2 k 1) nm
பைடு நூலகம்
名词解释根轨迹
名词解释根轨迹
嘿，你知道啥是根轨迹不？根轨迹啊，就像是一个神秘的地图，指
引着系统的行为呢！比如说，就好像你要去一个陌生的地方探险，根
轨迹就是那张告诉你怎么走到目的地的地图。
根轨迹其实就是控制系统中，某个参数变化时，系统特征方程根的
变化轨迹。
哎呀呀，这听着有点复杂是不？别急，咱慢慢说。
想象一下，系统就像是一个大机器，这个参数就像是控制机器运行的一个旋钮。
你转动这个旋钮，机器的状态就会跟着改变，而根轨迹就是记录
这些改变的轨迹啦！
咱举个例子哈，比如一个简单的控制系统，就像一辆汽车。
这个参
数呢，可能就是汽车的油门。
你踩下油门，汽车的速度就会变化，这
速度的变化过程不就类似根轨迹嘛！它能让你清楚地看到，随着油门
的变化，汽车的状态是怎么一步步改变的。
根轨迹可不是随随便便就出来的哦，它有自己的绘制方法和规则呢！这就像是游戏有自己的玩法一样。
通过这些规则和方法，我们就能准
确地画出根轨迹，然后从里面看出系统的各种特性。
你说根轨迹重要不？那当然重要啦！它能让我们深入了解系统的稳
定性、动态性能等等。
就好比你了解一个人的性格一样，知道了根轨迹，我们就能更好地掌握系统的脾气啦！
所以啊，根轨迹可真是个神奇又有用的东西呢！它就像一把钥匙，
能打开我们了解控制系统的大门。
你现在是不是对根轨迹有点感觉啦？
我的观点就是，根轨迹对于理解和分析控制系统有着至关重要的作用，是我们研究控制系统不可或缺的一部分啊！。
根轨迹的基本概念
0.1
0.113
0.887
0.25
0.5
0.5
0.5 j0.5
0.5 j
0.5
0.5 j0.5
0.5 j
由于系统的闭环极点是连续变化的，将它们表示在s平面上就是该系统的根 轨迹，如图所示
图中箭头方向表示当开环增益K增大时闭环极点移动的方向，开环极点用
“ ”来表示，开环零点用“ ”来表示（该系统没有开环零点），粗实线即
设系统的开环传递函数为 m
K* (s zi )
G(s)H (s)
i 1 n
(s pj )
j 1
式中 K* ——根轨迹增益；
zi ——开环零点；
p j ——开环极点。
则系统的根轨迹方程（及闭环特征方程）为
1 G(s)H (s) 0
所以 G(s)H (s) 1 ，即根轨迹方程为
m
K* (s zi )
例如，系统的特征方程为 (0.5s 1)(Ts 1) 10(1 s) 0
即
Ts(0.5s 1) (11 9.5s) 0
方程的两边除以其中不含T的项，得
1 Ts(0.5s 1) 0 11 9.5s
该方程可进一步改写成
1 T *s(s 2) 0 s 11 9.5
其中，T *
i 1 n
1
(s pj )
j 1
显然，满足上式的复变量s为系统的闭环特征根，也就是根轨迹上的点。当 K*
从0到 变化时，n个特征根将随之变化出n条轨迹。这n条轨迹就是系统的根轨迹。
根轨迹方程可分解为相角方程和幅值方程，其中相角方程为
m
n
(s zi ) (s p j ) (2k 1)180 (k 0 ，1，2 )
根轨迹的基本概念
i 1 n
(s pj)
j 1
式中：kg称为根轨迹增益； zi，p j为开环零 、极点。
绘制根轨迹图的基本方法是根据系统的开环零点、极点以 及根轨迹增益kg来获得系统闭环极点的轨迹 。
闭环传递函数的极点就是闭环特征方程：1 Gk (s) 0 的根。
m
(s zi )
换句话说，满足：Gk (s) 1或：kg
说明： 根据幅值条件和相角条件画出的曲线分别称为等幅值根轨迹 和等相角根轨迹。 等幅值根轨迹与等相角根轨迹是正交的。 每一个交点表示了相应的根轨迹增益对应的闭环特征根。 绘制根轨迹时，一般先用相角条件绘制出等相角根轨迹图， 然后利用幅值条件计算出根轨迹上各点对应的值，并标在该点 的旁边。
根轨迹的两种类型： 180o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg>=0) 的点连成的曲线，称为180o等相角根轨迹，简称根轨迹。 0o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg<0)的点 连成的曲线，称为0o等相角根轨迹。
4.1.2 根轨迹的幅值和相角条件
根轨迹的幅值和相角条件:
系统的方块图如下：
R(s)
Y (s)
G(s)
-
H (s)
闭环传递函数为：(s) G(s)
1 G(s)H (s)
开环传递函数为：Gk (s) G(s)H (s)
将 Gk
(s)写成开环零、极点形式
m
得：
(s zi )
Gk (s) kg
这样，当根轨迹增益从kg=0到kg=±∞变化时，根据根轨迹 应满足的相应幅值和相角条件，完全可以确定s平面上的根轨 迹和根轨迹上各点对应的kg值。
4.1.3 利用试探法确定根轨迹上的点
利用试探法确定根轨迹上的点: 由于根轨迹上的点满足相角条件，所以可利用相角条件来判
第4章 根轨迹分析法
i 1
其余n m,
m
(s zi )
i 1 n
(s pj )
m
(1
m
i 1
pj
(1 s)
zi
n
s
) (s
p
j
)
1 Kg
j 1
j 1
j m 1
此时s ，即无穷远处
8/63
五.实轴上的根轨迹
在实轴上，右方的实数开环极点和实数开环零 点的总和为奇数时，此为根轨迹上点。
GK (s)
m
n
闭环系统特征方程 或根轨迹方程
4/63
GK (s) GK (s) e jGK (s) 1
幅值条件: GK (s) 1 相角条件: GK (s) 180o (2k 1) k 0,1, 2,
或:
m
(s zi )
充要条
K i1 gn
1
件
(s pi )
m
n
j 1
s zi s p j 180o (2k 1) k 0,1,2,
当 nm2
n
n
an1 ( pj ) (sj ) s j 为系统的闭环极点
j 1
j 1
随着根轨迹增益的变化，若一些闭环极点向右移动，则另一些
必向左移动
n
(sj )=(-1)n (a0 Kgb0) j 1
22/63
十条法则：
1.连续性 2.对称性 3.分支数 4.起点、终点 5.实轴上的根轨迹 6.渐近线 7.分离点、会合点 8.出射角、入射角 9.虚轴交点 10.闭环极点的和与积
D(s)N(s) N(s)D(s) 0,3s2 6s 2 0
ss21
0.423 1.577
根轨迹基本法则
根轨迹基本法则
根轨迹基本法则是指描述系统根轨迹的一些基本规律和性质。
以下是根轨迹基本法则的几个方面：
1. 根轨迹的数量：系统的根轨迹的数量等于系统开环传递函数的极点数目。
2. 根轨迹的起点和终点：系统的根轨迹始于开环传递函数的极点，终于开环传递函数的零点。
3. 根轨迹在实轴上的分布：系统的根轨迹在实轴上的分布与开环传递函数的极点有关。
具体规律为，对于系统的每个开环传递函数的极点，根轨迹在实轴上的分布有一个部分位于左侧，一个部分位于右侧，并且左侧的根轨迹数量减去右侧的根轨迹数量等于极点的数量。
4. 根轨迹的稳定性：系统的根轨迹稳定性与开环传递函数的极点有关。
如果系统的开环传递函数的极点都位于左半平面（实轴的左侧），则根轨迹是稳定的；如果系统的开环传递函数存在极点位于右半平面（实轴的右侧），则根轨迹是不稳定的。
5. 根轨迹的方向：根轨迹通常从一个极点开始，然后按照一定方向延伸。
具体方向取决于开环传递函数的极点和零点的相对位置。
总的来说，根轨迹基本法则描述了系统的根轨迹的数量、起点和终
点、在实轴上的分布、稳定性和方向等基本性质。
这些规律可以帮助我们分析和设计控制系统的稳定性和动态性能。
根轨迹
-2
-1
K= 1
-1 -2
K= 2.5 K
动态性能： ① 当 0<K<0.5 时，系统的闭环极点位于负实 轴上，二阶系统处于过阻尼状态，单位阶跃 响应为非周期过程。 ②当K=0.5时，二阶系统处于临界阻尼状态， 单位阶跃响应也为非周期过程。 ③当K>0.5时，系统具有一对共轭复数极点， 处于欠阻尼状态，单位阶跃响应为具有阻尼 的振荡过程。
三、根轨迹方程 1. 开、闭环传递函数的零、极点表达式 控制系统的结构图
R(s) C(s)
其闭环传递函数
G( s) ( s ) 1 G( s) H ( s)
G ( s) H ( s)
式中G(s)H(s)为系统的开环传递函数。
将开环传递函数用其分子、分母多项式方程 根的因式来表示，得 开环传递函数
3.91 根轨迹的基本概念 一、根轨迹的定义 根轨迹：是指系统开环传递函数中某个参数 (如开环增益K)从零变到无穷时，闭环特征 根在s平面上移动所画出的轨迹。 常规根轨迹 ：当变化的参数为开环增益时 所对应的根轨迹。 广义根轨迹 ：当变化的参数为开环传递函 数中其它参数时所对应的根轨迹。
R(s)
s an1 s
n n1
a1 s a0 0
, sn
并设它的n个根为 s1 , s2 ,
则根据代数方程的根与系数的关系可知，有
n si an1 i 1 n ( s ) a i 0 i 1
把系统的传递函数写成
( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) G0 ( s ) K ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
1 1 K Kd
一般情况下，两条根轨迹相遇又分开 时，它们的会合角和分离角分别是０º 、 180º 和90º 、-90º ，或者相反。这一规律具 有一般性。可以证明：
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k 0时 s1 0 0 k 1 2时 k 1/2时
k 1/2时
s2 2 闭 环 极 点 与 开 环 极 点 相同 s1, s2均为负实数 s1 s2 -1 s1,2 -1 j 2k - 1,实 部 相 同 位 于 垂 直 与 实 轴 的 直 线上
k 时 沿 上 述 直 线 趋 于 无 穷 远.
G(S)H(S)
K S(S 4)(S2 4S 20)
试绘制该系统的根轨迹的草图.
解 : (1)开 环 极 点 为P1 0, P2
(2)实 轴上 的根 轨迹[0,-4]
-4, P3
-2
j4, P4
p-22 -
j4
(3)渐 近线
-4
a
422 4
2
(2l 1)
a
4
l0
a
4
45
l 1
a
3 4
增 益; 对 于 单 位 反 馈 系 统,闭 环 系 统 根 轨 迹 的 增 益就 等 于 开 环 系统 根 轨 迹 的 增 益.
(2)闭 环 零 点 由 开 环 前 向 通路 传 递 函 数 的 零 点 和 反馈 通 路 传函的 极 点 所 组 成;对 于 单 位 反 馈 系 统,闭 环 零 点 就 是 开 环 零点
(2)渐近线 180 一条 (3)无分离点 (4)出射角,入射角
p4 -2.5
p2 180 - 56.5 19 59 - 108.5 - 90 - 37 79 z1 180 63.5 153 199 121 - 90 - 117 149.5
19 °
37 ° -2
56.5 ° -1
1 0.423
2 1.577(舍)
-2
-1
0
7.根 轨 迹 与 虚 轴 的 交 点
(1)把s j代 入1 G(s)H (s) 0得 1 G(j )H(j ) 0
令Re[1 G(j )H(j )] 0, Im[1 G(j )H(j )] 0 解 得及K c
(2)应 用Routh判 据 接 上 例,可 求 得 根 轨 迹 与 虚 轴 的交 点
3 3
180
a
(2l 1) nm
5 3
300
(l 0) (l 1) (l 2)
-4 -3
-2 -1
5.实 轴 上 的 根 轨 迹
实 轴 上 的 某 一 区 域,若 其 右 边 开 环 零 极 点 个数 之 和 为 奇 数
则该区域必是根轨迹
6.根 轨 迹 与 实 轴 的 交 点(分 离 点 与 会 Pi
)
m
ds ( i1
S
Zi
)
S
0
dk 0 ds
例.已 知 某 负 反 馈 系 统 开 环传 函 为G(S )H (S )
k
S(S 1)(S 2)
试 画 出 其 根 轨 迹.
解 : a 1
a 60, 180, 300
d ds
[s(s
1)(s
2)]s
s n a n-1s n-1 a1s a 0 0 设 根 为s1 , s 2 , , s n , 则 有
(s - s1 )(s - s 2 ) (s - sn ) 0 由 代 数 方 程 根 与 系 数 的 关 系, 有
n
si -an-1
i 1
n
(si ) a0
i 1
n
对于稳定系统
G(s)H(s)|
K | i 1 n
s
zi
|
|
i 1
s
pi
|
m
n
G(s)H(s) (s - z i ) - (s - pi )
i 1
i 1
§ 2 绘制根轨迹的基本规则
一.180根 轨 迹 的 绘 制 规 则
1. 根轨迹分支数
根 轨 迹 的 分 支 数 等 于 闭环 极 点 数 或 等 于 特 征 方程 的 阶 数
(3)闭 环 极 点 与 开 环 零 点,开 环 极 点 以 及 根 轨 迹 增益 均 有 关 根 轨迹 法 的 基 本 任 务:
如 何 由 已 知 的 开 环 零 极点 的 分 布 及 根 轨 迹 增 益, 通 过 图 解 的 方 法找 出 闭 环 极 点.
4.根 轨 迹 方 程
根 轨 迹 是 所 有 闭 环 极 点的 集 合.
第四章 根轨迹法
§ 1 反馈系统的根轨迹
1.根 轨 迹 的 概 念 开 环 系 统 某 一 参 数 从 零到 无 穷 变 化 时,闭 环 系 统 特 征 方 程
式 的 根 在S平 面 内 变 化 的 轨 迹 称 根轨 迹 。(root locus)
例. 设 有 一 单 位 反 馈 系 统 如图 所 示G(S ) 2k s(s 2)
- j 3 - 3 2 j2 k 0 - 3 2 k 0 - 3 2 0
由此解得
1 0 2,3 2 (rad/S) K C 6
8.根 轨 迹 的 出 射 角 与 入 射角 出 射 角: 根 轨 迹 离 开 开 环 复 数 极点 处 的 切 线 方 向
与实轴正方向的夹角
入 射 角: 根 轨 迹 进 入 开 环 复 数 零点 处 的 切 线 方 向 与实轴正方向的夹角
a
i 1
i 1
nm
渐 近 线 与 实 轴 的 交 角:
a
2l 1
nm
(l 0,1, , n m 1)
例.设控制系统的开环传函为
G(S)
K(S 1) S ( S 4)( S 2 2 S 2)
试根据目前所知的法则确定根轨迹的有关数据
解 :(1)根 轨 迹 起 始 于P1 0, P2 -4, P3 -1 j, P4 -1- j
m
n
Pl 180 (Pl Z j ) (Pl Pj )
j1
j1
jl
n
m
Zl 180 (Z l Pj ) (Z l Z j )
j1
j1
jl
p1 A
θp1
∠（p1-z1） z1
∠（p1-p3） p3
∠（p1-p2）
p2
( p1 z1 ) p1 ( p1 p2 ) ( p1 p3 ) 1800 i3600 p1 (1800 i3600 ) ( p1 z1 ) ( p1 p2 ) ( p1 p3 )
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) -1
G(s)H(s) K(s - z1 )(s - z 2 ) (s - zm ) (s p1 )(s p2 ) (s pn )
| G(s)H(s)| 1
幅值条件
G(s)H(s) 180 i360 (i 0,1,2, ) 相 角 条 件
m
|
p3
180 tg 1
4 2
(180 tg 1
4 2
)
90
90
p4 90
(6)根 轨 迹 与 虚 轴 的 交 点
S4 8S3 36S2 80S k 0
S4
1
36 k
S3
8
80 0
S2
26 k
S1
2680-8k 26
0
S0
k
0 2680-8k 26
26S2 260 0
k 260 得 S j 10
例.设系统开环传函为
G(S) K(S 1.5)(S 2 j)(S 2- j) S ( S 2.5)( S 0.5 j1.5)( S 0.5 j1.5)
试绘制系统的概略根轨迹
解:
(1)起始点 p1 0 p2 -0.5 - j1.5 p3 -0.5 j1.5 实轴上的根轨迹 [0,-1.5] [-2.5,-]
K
s1 -1 1 - 2k s2 -1 - 1 - 2k
-2
0
K
2.根 轨迹 与 系统 性能
稳 定性: 根 轨迹 若 越过 虚轴 进 入s右 半平 面,与 虚轴 交 点处 的
k 即为临界增益
稳 态性 能: 根 据坐 标 原点 的根 数,确 定系 统 的型 别,同 时可 以
确 定对 应 的静 态误 差 系数
(7) A点 的 增 益 K A (4 2.5) (4 2.5) 22 2.52 22 2.52 1.5 6.5 (4 6.25) 100
例2.
G(S)H(S)
S(S
K 3)(S2
2S
2)
解:
(1) a 1.25 a 45,135
(2)分 离 点
-2.3
(3) pi -71.6
动 态性 能: 过 阻尼 0 k 0.5
临界阻尼 k 0.5
欠阻尼
k 0.5
3.闭 环零 极 点 与开 环 零极点 之间 的 关 系
如 图所 示 系 统的 闭 环传函 为
(S)
G (S) 1G (S)H(S)
R(s)
G(s)
一般开环传函可以写成
H(s)
f
G(S)
KG
(S
i 1 q
Zi )
0
3 2 6 2 0
1 0.423
2 1.577(舍)
例.已 知 某 负 反 馈 系 统 开 环传 函 为G(S )H (S )
k
S(S 1)(S 2)
试 画 出 其 根 轨 迹.
解 : a 1
a 60, 180, 300
d ds
[s(s
1)(s
2)]s
0
3 2 6 2 0
θ1=108.5°
59 °
90°
p2 180 56.5 19 59 108.5 90 37 79
199 °
63.5 ° 117 °
153 °
90 °
121 °
z1 180 63.5 153 199 121 90 117 149.5