数学高中倾斜角与斜率

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高一数学必修2第三章知识点：直线的倾斜角与斜率

高一数学必修2第三章知识点：直线的倾斜角与斜率
在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。

小编准备了高一数学必修2第三章知识点，具体请看以下内容。

3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定=0.
2、倾斜角的取值范围：0180.当直线l与x轴垂直时,= 90.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tan
⑴当直线l与x轴平行或重合时,=0,k=tan0
⑵当直线l与x轴垂直时,=90,k不存在.
由此可知,一条直线l的倾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
斜率公式:k=y2-y1/x2-x1
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等;反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提
下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数;反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直。

人教版高中数学(2019)选择性必修一第二章2.1.1倾斜角与斜率PPT

Q （x2，y1）
αPP21（（xx21，y12））
O
x
PP12（（xx1，2，yy1）2）
Q （x2，y1）
α
O
x
如何用两点的坐标表示直线的斜率
设P1(x1, y1), P2 (x2, y2 )是直线l上的两个不同点
k tan | PP2 |
| PP1 |
| PP2 | y2 y1 | PP1 | x2 x1
1.(1)若三点 A(－2,3)，B(3，－2)，C 12，m 共线，则 m 的值为 ___1___．
2 (2)直线 l 过点 P(－1,2)且与以 A(－2，－3)，B(3,0)为端点的
线段相交，则直线 l 的斜率取值范围是________________．
－∞，－12∪[5，＋∞)
学以致用：
2.点 M(x，y)在函数 y＝－2x＋8 的图象上，当 x∈[2,5]时，求 yx＋＋11的取值范围．
③因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有
斜率。
（）
④因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平
行于y轴的直线的倾斜角不存在
（）
⑤直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 ( )
小结：
直线的倾斜角
定义
三要素
范围 0an k y2 y1
x2 x1
k , k ,
学以致用：
y
o
（1）
y
x
o
（2）
y
x o
（3）
y
x
o
x
（4）
2、直线的斜率
前进
升高量
升高
坡度= 前进量
定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正
切叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：

2.1.1 倾斜角与斜率 (教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册

P P
P₂
α
0
0
X
yA
P₁
P
P₂
α
α
O
x
二、探究本质得出新知
探究二：直线的斜率
1.直线的斜率：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k=tana.
2.斜率与倾斜角的对应关系
图示
y 1
0
x
y1
0
x
yl
0O x
y
a
0
x
倾斜角 (范围) 斜率 (范围)
α=0° k=0
1.知识方面：
(1)掌握了倾斜角的概念及范围、斜率的概念. (2)能够利用两点的斜率公式求斜率. 2.思想方面：提升了数学运算素养和观察归纳的能力.
六、作业布置检测目标
教材P57习题2. 1第2,3,4题
三、举例应用掌握定义
例1 . (1)已知直线l的倾斜角为θ—25°,则角θ的取值范围为( D )
A.25°≤0<155°
B.—25°≤0<155°
C.0°≤0<180°
D.25°≤θ<205°
(2)若直线l 经过第二、三、四象限，则直线l的倾斜角的范围是( C )
A.0°≤α<90° C.90°<α<180°
5.已知A(m,—m+3),B(2,m—1),C
(一1,4),直线AC
的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值 . 【解析】由题意直线AC 的斜率存在，即m≠—1.
所以
,
事
整理得： —m—1=(m—5)(m+1),
即(m+1)(m—4)=0, 所以m=4.

高中数学必修2直线与圆常考题型：倾斜角与斜率

倾斜角与斜率【知识梳理】1.倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．如图所示，直线l 的倾斜角是∠APx ，直线l ′的倾斜角是∠BPx .2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.3．倾斜角与直线形状的关系的正切值叫做这条直线的斜率．即k ＝tan_α.5．斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.当x 1＝x 2时，直线P 1P 2没有斜率．6．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．【常考题型】题型一、直线的倾斜角【例1】 (1)若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成30°角，则直线l 的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°(2)下列说法中，正确的是( )A ．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB ．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC ．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0D ．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α[解析] (1)如图，直线l 有两种情况，故l 的倾斜角为60°或120°.(2)对于A ，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B ，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C ，当直线平行于x 轴时，α＝0°，sin α＝0，故C 不正确，故选D.[答案](1)D(2)D【类题通法】求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.【对点训练】1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是()A．[0°，90°)B．[90°，180°)C．(90°，180°) D．(0°，180°)解析：选C直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是(90°，180°)．2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°解析：选D当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角是α＋45°.当135°≤α＜180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l1的倾斜角为α－135°，故应选D.题型二、直线的斜率【例2】(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________；(2)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________；(3)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________．[解析](1)直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，又k ＝－3－y 2－4，由－3－y 2－4＝－1，得y ＝－5. (2)由斜率公式k ＝4－m m ＋2＝1，得m ＝1. (3)当m ＝3时，直线AB 平行于y 轴，斜率不存在．当m ≠3时，k ＝－2－1m －3＝－3m －3＝1，解得m ＝0. [答案] (1)－5 (2)1 (3)0【类题通法】利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“x 1≠x 2”，即直线不与x 轴垂直，因为当直线与x 轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点P 1，P 2的先后顺序无关，也就是说公式中的x 1与x 2，y 1与y 2可以同时交换位置．【对点训练】3．若直线过点 (1,2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选A 设直线的倾斜角为α，直线斜率k ＝(2＋3)－24－1＝33， ∴tan α＝33. 又∵0°≤α＜180°，∴α＝30°.题型三、直线的斜率的应用【例3】已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求y x的最大值和最小值． [解] 如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得y x的最大值为2，最小值为23.【类题通法】根据题目中代数式的特征，看是否可以写成y 2－y 1x 2－x 1的形式，若能，则联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用图形的直观性来分析解决问题．【对点训练】4．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围．解：y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率． ∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2,5]，∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)．∵k NA ＝53，k NB ＝－16， ∴－16≤y ＋1x ＋1≤53. ∴y ＋1x ＋1的取值范围为[－16，53]．【练习反馈】1．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是( )A ．任一直线都有倾斜角，都存在斜率B ．倾斜角为135°的直线的斜率为1C ．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k ＝tan αD ．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)解析：选D 任一直线都有倾斜角，但当倾斜角为90°时，斜率不存在．所以A 、C 错误；倾斜角为135°的直线的斜率为－1，所以B 错误；只有D 正确．2．已知经过两点(5，m )和(m,8)的直线的斜率等于1，则m 的值是( )A ．5B ．8 C.132 D ．7解析：选C 由斜率公式可得8－m m －5＝1，解之得m ＝132. 3．直线l 经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角为________．解析：k l ＝1－0－1－0＝－1，因此倾斜角为135°.答案：135°4．已知三点A (a,2)，B (3,7)，C (－2，－9a )在同一条直线上，实数a 的值为________．解析：∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，即53－a ＝9a ＋75，∴a ＝2或29. 答案：2或295．已知A (m ，－m ＋3)，B (2，m －1)，C (－1,4)，直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，求m 的值．解：由题意直线AC 的斜率存在，即m ≠－1.∴k AC ＝(－m ＋3)－4m ＋1，k BC ＝(m －1)－42－(－1). ∴(－m ＋3)－4m ＋1＝3·(m －1)－42－(－1). 整理得：－m －1＝(m －5)(m ＋1)，即(m ＋1)(m －4)＝0，∴m ＝4或m ＝－1(舍去)．∴m ＝4.。

高二数学倾斜角与斜率知识点

高二数学倾斜角与斜率知识点数学是一门抽象而精确的科学，其中许多概念和知识点都与我们日常生活息息相关。

在高二数学学习中，倾斜角与斜率是重要的概念之一。

本文将详细介绍倾斜角与斜率的概念及其应用。

一、倾斜角的定义与性质倾斜角，也称为斜率角，是指直线相对于水平线或者坡面的倾斜程度。

在直角坐标系中，可以通过斜率来计算倾斜角。

具体来说，若直线的斜率为k，则其倾斜角θ满足tanθ=k。

倾斜角具有以下性质：1. 垂直线的倾斜角为90度或π/2弧度；水平线的倾斜角为0度或0弧度。

2. 同一条直线上的两个不同点的连线的倾斜角相等。

3. 平行的直线具有相同的倾斜角。

4. 相互垂直的两条直线的倾斜角之积为-1。

二、斜率的计算与性质斜率描述了直线上各点间的变化率，可以理解为直线的倾斜程度。

在直角坐标系中，设直线通过两个点P(x₁, y₁)和Q(x₂, y₂)，则直线的斜率k满足k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)。

斜率具有以下性质：1. 垂直线的斜率不存在；水平线的斜率为0。

2. 同一条直线上的所有点的斜率相等。

3. 平行的直线具有相同的斜率。

4. 若直线的斜率为k，则与水平线的倾斜角θ满足tanθ=k。

三、倾斜角与斜率的应用倾斜角和斜率在实际问题中具有广泛的应用，特别是在几何图形和物理学中。

1. 图形的倾斜角：通过计算两点的坐标可以确定直线的斜率，从而求得直线相对于水平线的倾斜角。

这对于理解图形的形状和方向非常重要。

2. 道路的坡度：道路的坡度实际上就是道路的倾斜角。

通过计算两个位置的高度差和水平距离，可以求得坡度，从而了解道路的陡峭程度，对工程设计和施工有着重要意义。

3. 物体的运动：对于物体在直角坐标系中的运动，可以通过斜率来描述速度的变化。

倾斜角和斜率帮助我们理解物体在不同位置上的速度和方向。

总结：倾斜角与斜率是高二数学中的重要概念，其应用广泛。

倾斜角可以通过斜率来计算，用于描述直线相对于水平线的倾斜程度。

斜率则是描述直线各点间变化率的指标。

高中数学选择性必修一课件：2.1.1倾斜角与斜率

斜率转换倾斜角公式

斜率转换倾斜角公式
斜率与倾斜角之间的关系是高中数学中的一个基本概念。

斜率表示直线在坐标系中的倾斜程度，而倾斜角则是这条直线与x轴正方向之间的夹角。

了解这两者之间的关系，能够帮助我们更好地理解直线的性质。

斜率m与倾斜角α之间的关系公式为：m=tanα。

这意味着，直线的斜率等于其倾斜角的正切值。

当斜率为正时，表示直线从左下方向右上方倾斜；当斜率为负时，则表示直线从左上方向右下方倾斜。

当斜率为0时，说明直线与x轴平行；当斜率不存在或为无穷大时，说明直线与y轴平行。

为了更好地掌握这一概念，我们可以结合具体的例子来进行说明。

假设有一直线的斜率为2，我们可以根据公式计算出其倾斜角α的正切值为2，进而求得α的角度值。

反之，如果我们知道某直线的倾斜角为45度，那么可以直接利用公式得到其斜率为1。

斜率与倾斜角的概念在实际生活中也有广泛的应用。

例如，在建筑工程中，工程师需要计算建筑物的倾斜角度确保其稳定性；在物理中，斜率可以用来表示速度、加速度等物理量随时间的变化率。

总之，斜率与倾斜角之间的关系是数学中的基础知识，掌握它们之间的转换公式对于理解和应用直线的性质至关
重要。

希望同学们能够通过深入学习和实践，牢固掌握这一概念，为未来的学习和工作打下坚实的基础。

【高中数学必修二】3.1.1倾斜角与斜率

7 x . 3
小结
1、直线倾斜角的定义及倾斜角的范围
2、直线斜率的定义
3、直线的斜率公式

tan tan( 180 )

在RtP2QP 中 1
P2Q
tan
y y 2 1 tan P 1Q x1 x2 y2 y1 y2 y1 k tan x1 x2 x2 x1
o
x2
x1
x
0
1.当直线平行于x轴，或与x轴重合时， 0 上述公式还适用吗？为什么？
二、直线的斜率:
设直线AC的倾斜程度为k
k AC CB AB
y
l
tan
o

x
1、定义:
我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率. 用小写字母 k 表示，即：k tan
是否每条直线都有斜率?
1.如果倾斜角是零度角?
2.如果倾斜角是锐角? 3.如果倾斜角是直角? 4.如果倾斜角是钝角?
3.1.1 直线的倾斜角与斜率
1.坐标系中怎样确定一条直线的位置？ 2.一点能否确定一条直线的位置吗？ 3.过一点的无数条直线有什么区别呢？
y
l
P 1 ( x1 , y1 )
P2 ( x2 , y2 )
倾斜程度不同
x
o
直线的倾斜角:
1、定义:
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。
y
l
o

x
规定:1.当直线与x轴平行或重合时， 0
0
90 2.当直线与x轴垂直时，
0Leabharlann 按倾斜角分类，直线可分几类？

高中数学必修二 3.1.1 倾斜角与斜率

题型一
题型二
题型三
精选例题
题型四

【变式训练 1】已知过两点 A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为
135°,则 y=
.
解析:直线 AB 的斜率 k=tan 135°=-1,
又
k=
-3-�� 2-4
,
由
-3-�� 2-4
=
−1,
得y=-5.
答案:-5
题型一
题型二
精选例题
题型三题型四
知识梳理
12
【做一做1】如图,直线l的倾斜角为( )
A.45° B.135° C.0° D.不存在答案:B
知识梳理
12
2.斜率(倾斜角为α)
定义
α≠90° α=90°
一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率
斜率不存在
记法 k=tan α
范围R
公经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为
解:(1)直线的斜率
k=
3-0 -2+3
=
3 = tan 60°,
此直线的斜率为 3, 倾斜角为60°.
(2)直线的斜率
k=
-2+2 5-1
=
0,
此直线的斜率为0,倾斜角为
0°.
(3)直线的斜率
k=
9-4 -2-3
=
−1
=
tan
135°,此直线的斜率为-1,倾
斜角为 135°.
(4)因为两点的横坐标都为 3,故直线斜率不存在,倾斜角为 90°.
式 k= ��2-��1
�� 2 -�� 1

高中数学课件倾斜角与斜率

类型一直线的倾斜角尝试完成下列题目，体会倾斜角与斜率之间的联系，并掌握求直线倾斜角与斜率的方法及关注点. 1.斜率为 3 的直线的倾斜角是(
3
) C.60° D.30°
A.120°
B.150°
2.已知等边三角形ABC，若直线AB平行于y轴，则∠C的平分线所在的直线的倾斜角为_______，另两边AC，BC所在的直线的倾斜角为_______. 【解题指南】1．根据tan α 3 及0°≤α＜180°求解．
(2)斜率k与P1,P2的顺序无关.
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得.
(4)当y1=y2时,斜率k=0,直线的倾斜角α=0°,直线与x轴平行
或重合.
2.斜率与直线的倾斜程度的对应关系 (1)当直线的斜率为正时,直线从左下方向右上方倾斜(呈上升趋势). (2)当直线的斜率为负时,直线从左上方向右下方倾斜(呈下降趋势). (3)当直线的斜率为0时,直线与x轴平行或重合(呈水平状态).
2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上). (1)过点(0,0)和(1,1)的直线的斜率为 . .
(2)若直线l经过第二、四象限,则l的倾斜角α 的范围是 (3)斜率为2的直线过点(2,1)和(-2,m),则m= .
【解析】(1)根据斜率公式， 1 0 1 k ．
2 1 (2) k 2 5 1＜0，所以α是钝角. 0 (3)
(3)因为两点横坐标相同，所以直线斜率不存在且直线垂直于 x轴，所以α是直角.
2m 1 m m 1
(4) k 3 3m (2 3m 3) 3(m 1) 3＞0(m 1)，此时α是锐角．
1 0
答案：1 (2)直线l经过第二、四象限，故直线l的倾斜角为钝角，所以倾斜角α的范围是90°＜α＜180°．答案： 90°＜α＜180° (3)由斜率公式得 m 1 2，解得m=-7．

高中数学必修二-直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角与斜率知识集结知识元直线的倾斜角知识讲解一、直线的倾斜角1.定义：平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角.2.规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．3.（1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角．（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度．（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．（4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．例题精讲直线的倾斜角例1.已知直线的倾斜角为，并且0°≤＜120°，直线的斜率k的范围是（）A．B．C．k≥0或D．k≥0或例2.已知点M（2m+3，m），N（m－2，1），当m∈________时，直线MN的倾斜角为锐角；当m∈________时，直线MN的倾斜角为直角；当m∈________时，直线MN的倾斜角为钝角．例3.若直线l的向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为()A．30°B．60°C．30°或150D．60°或120°例4.直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的范围是()A．0°≤α<90°B．90°≤α<180°C．90°<α<180°D．直线的斜率知识讲解一、直线的斜率1.定义：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．2.注意：(1)当直线与x轴平行或重合时，=0°，k=tan0°=0；(2)直线与x轴垂直时，=90°，k不存在.由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.二、斜率公式已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式.三、应用斜率公式求斜率时，首先应注意这两点的横坐标是否相等，若相等，则这两点的连线必与x轴垂直，即直线的倾斜角为90°，故其斜率不存在，也就不能运用斜率公式求斜率．事实上，此时若将两点坐标代入斜率公式，则其分母为零无意义，即斜率不存在；其次，在运用斜率公式时，分子的被减数与分母的被减数必须对应着同一点的纵坐标和横坐标．例题精讲直线的斜率例1.以下两点确定的直线的斜率不存在的是（）A．（4，2）与（―4，1）B．（0，3）与（3，0）C．（3，―1）与（2，―1）D．（―2，2）与（―2，5）例2.已知三点A（2，―3），B（4，3），在同一条直线上，则k=________．例3.'如果三条直线mx+y+3=0，x―y―2=0，2x―y+2=0不能成为一个三角形三边所在的直线，求m的值．'例4.'直线mx+y+2=0与线段AB有公共点，其中A（－2，3），B（3，2），求实数m的取值范围．'备选题库知识讲解本题库作为知识点“直线的倾斜角和斜率”的题目补充.例题精讲备选题库已知三点A（1，-3），B（8，），C（9，1），求证：A、B、C三点共线．'例2.'直线l经过点（1，1），若抛物线y2=x上存在两点关于直线l对称，求直线l斜率的取值范围．'例3.'求下列在直线l的方程（1）过点A（0，2），它的倾斜角为正弦值是；（2）过点A（2，1），它的倾斜角是直线l1：3x+4y+5=0的倾斜角的一半；（3）过点A（2，1）和直线x-2y-3=0与2x-3y-2=0的交点．'例4.'已知M（1，-1），N（2，2），P（3，0）．（1）求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ．（2）若点Q在x轴上，且∠NQP=∠NPQ，求直线MQ的倾斜角．'当堂练习单选题练习1.已知直线l的倾斜角为60°，直线l2经过点A（1，），B（-2，-2），则直线l1，l2的位置关系是（）A．平行或重合B．平行C．垂直D．重合已知直线经过点A（2，0），B（1，），则连直线的倾斜角是（）A．B．C．D．练习3.已知直线l的方程为3x-y-2=0，则直线l的斜率是（）A．3B．-3C．D．练习4.在平面直角坐标系中，过点（2，1）且倾斜角为的直线不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限练习5.已知直线l：x+2y-1=0的倾斜角为θ，则cosθ=（）A．-B．C．±D．-练习6.直线3x+2y+m=0与直线2x+3y-1=0的位置关系是（）A．相交B．平行C．重合D．由m决定填空题练习1.已知点A（-1，2），B（2，3），若直线l：kx-y-k+1=0与线段AB相交，则实数k的取值范围是_____________．练习2.直线的斜率为k，若-1<k<，则直线的倾斜角的范围是_________．练习3.过点P（-4，0）的直线l与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，_．则直线l的斜率是__练习4.已知平面内两点A（-4，1），B（-3，-1），过定点M（-2，2）的直线与线段AB恒有公共____．点，则直线斜率的取值范围是___练习5.过点引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取得最大值时，直线l的倾斜角为______．解答题练习1.'直线l经过点（1，1），若抛物线y2=x上存在两点关于直线l对称，求直线l斜率的取值范围．'练习2.'求下列在直线l的方程（1）过点A（0，2），它的倾斜角为正弦值是；（2）过点A（2，1），它的倾斜角是直线l1：3x+4y+5=0的倾斜角的一半；（3）过点A（2，1）和直线x-2y-3=0与2x-3y-2=0的交点．'练习3.'已知M（1，-1），N（2，2），P（3，0）．（1）求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ．（2）若点Q在x轴上，且∠NQP=∠NPQ，求直线MQ的倾斜角．'。

高中数学倾斜角斜率优秀课件

D.4个
9
解析直线的倾斜角α的范围是{α|0°≤α＜180°}，所以②和④错误；平行于x轴的直线的倾斜角都为0°，所以③错误. 答案 A
10
规律方法求直线倾斜角的方法及关注点 (1)定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角. (2)关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论.
12
考查方向
题型二有关直线斜率的运算
方向1 斜率的定义
【例2－1】假设直线的倾斜角为60°，那么直线的斜率为( )
A. 3
B.－ 3
解析 k＝tan 60°＝ 3.
3 C. 3
D.－
3 3
答案 A
13
方向2 运用斜率公式求直线的斜率【例2－2】两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点.
8
题型一对直线的倾斜角、斜率的理解
【例1】给出以下命题：
①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为180°；③倾斜角
为0°的直线只有一条，即x轴；④按照倾斜角的概念，直线的倾斜角的集合
{α|0°≤α≤180°}与直线集合建立了一一映射关系.
其中正确命题有( )
A.1个
B.2个
C.3个
(1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围. 解如下图，由题意，知
kPA＝－4－ 3－01＝－1，kPB＝23－－01＝1.
14
(1)要使直线l与线段AB有公共点，那么直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1. (2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°， PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.

8高中数学：直线倾斜角与斜率的深度解析

高中数学：直线倾斜角与斜率的深度解析一、引言直线的倾斜角和斜率是高中数学中的重要概念，它们描述了直线在平面上的方向和陡峭程度。

理解和掌握这两个概念对于解决与直线相关的问题至关重要。

本文将详细解析直线的倾斜角和斜率的概念、性质以及应用，帮助学生更好地掌握这一知识点。

二、基本概念1.倾斜角：一条直线与x轴正方向之间所成的角α（0°≤α<180°）叫做直线的倾斜角。

当直线与x轴平行或重合时，规定其倾斜角为0°。

2.斜率：一直线（非水平线和竖直线）的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，记作k，即k = tanα。

当直线与x轴垂直时，斜率不存在。

三、性质与定理1.倾斜角与斜率的关系：直线的倾斜角与其斜率之间存在一一对应的关系。

当倾斜角增大时，斜率也相应增大；反之，当倾斜角减小时，斜率也减小。

特别地，当直线垂直于x轴时，斜率不存在，此时倾斜角为90°。

2.平行线与斜率：如果两条直线平行，那么它们的斜率相等。

这是判断两条直线是否平行的一个重要依据。

3.垂直线与斜率：如果两条直线垂直，那么它们的斜率之积为-1。

这是判断两条直线是否垂直的一个重要条件。

四、应用举例1.求直线的方程：已知直线上两点的坐标，可以求出直线的斜率，进而得到直线的方程。

这是求解直线方程的一种常用方法。

2.判断直线的位置关系：通过比较两条直线的斜率，可以判断它们之间的位置关系，如平行、相交或重合等。

这对于解决几何问题具有重要意义。

3.解决实际问题：在物理、化学等学科中，直线的倾斜角和斜率也有广泛的应用。

例如，在物理学中，可以利用斜率来表示速度、加速度等物理量；在化学中，可以利用斜率来表示反应速率等。

掌握这些应用有助于加深对相关知识的理解和记忆。

五、常见误区与注意事项1.误区一：误认为所有直线都有斜率。

实际上，当直线垂直于x轴时，斜率不存在。

此时应该使用倾斜角来描述直线的方向。

2.误区二：在计算斜率时忽略了单位。

2.1.1倾斜角与斜率人教A版(2019版)高中数学选择性必修一(共15张PPT)

思考：确定一条直线的几何要素是什么?对于平面直角生标系中的一条直线，如何利用坐标系确定它的位置?
2
学习新知两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线，设A,B 为直线上的两点，则AB 就是这条直线的方向向量，所以，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线，
直线的倾斜角
E、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等 F、直线斜率的范围是R G、过原点的直线，斜率越大，越靠近y轴。
8
学习新知
探究；经过两点 p(x,y₁),p₂(x₂,y₂),
且x₁≠x₂ 的直线的斜率 k
(1)
(2)
(3)
(4)
1. 当直线PP2 的方向向上时：
图(2)在Rt△PPQ 中，k=tan a=tan(180°-θ)=-tanθ
问题1: 在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形?画图表示。
总结：有四种情况，如图。可用直线l 与x轴所成的角来描
述。我们规定，直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角。特别地，当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°。
直，α=900
10
达标练习
(1)若直线ax+by+c=0 A.ab>0,bc>0
C.ab<0,bc>0
在第一，二，三象限，则()
B.ab>0,bc<0
D
D.ab<0,bc<0
(2)在图中的直线，l₂,l₃的斜率k₁,k₂,k₂的大小关系为
11
U
典型例题
例1如下图，已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1), 求直线 AB,BC,CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是纯角.

高中数学第二章直线的倾斜角与斜率

a＝6， a＝14， b＝－3，或b＝－7， 2 2 r ＝52， r ＝244. ∴所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52 或(x－ 14)2＋(y＋7)2＝244.
圆与圆的位置关系
在两圆的位置关系中一般有两个主要问题．
一个是判断两圆的位置关系，其关键就是抓住两圆的圆心和半径，根据圆心距和半径的
(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直” 和 “平分” ．设 P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，若 P 关于 l 的对称点 Q 的坐标为(x，y)，则 l 是 PQ 的垂直平分线，即①PQ⊥l；②PQ 的中点在 l 上．解方程组 y－y0 ·（－A）＝－1， B x－x0 可得 Q 点的坐 x＋x0 y＋y0 A· ＋B· ＋C＝0， 2 2 标． (4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线对称．
例 5 7 已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4，5)关于l的对称点坐标； (2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
(3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程．
【分析】 (1)为求点关于直线的对称点问题； (2)为直线关于直线对称问题； (3)为直线关于点对称问题．
【解】 (1)设点 P 关于直线 l 的对称点 P′(x′， y′)，则 PP′的中点 M 在直线 l 上，且直线 PP′ 垂直于直线 l， y′＋5＝3×x′＋4＋3， 2 2 x′＝－2，即解得 y′＝7， y′－5 ×3＝－1， x′－4
截距式，通过直线过定点和与坐标轴所围成
的三角形面积列方程．
x y 【解】设所求的直线方程为＋＝1. a b 2 1 ∵直线过点 P(2，1)，∴ ＋＝1，即 a＋2b＝ a b ab .① 1 又由已知，可得 |ab|＝4，即|ab|＝8.② 2

高中数学选择性必修一课件：倾斜角与斜率

题型三直线的倾斜角与斜率的关系
例 3 (1)已知过点 A(2m，3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为 45°，求实数 m 的值；
(2)若过点 A(2m，3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为 90°，求实数 m 的值； (3)若过点 A(2m，3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为钝角，求实数 m 的取值范围．
【解析】 ∵A，B，C 三点共线， ∴kAB＝kAC. ∴3－4（－－23）＝m2 －5（－－2 3）. ∴m＝12.
∴k∈(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)．
∴45°≤α≤120°.
讲评 (1)本题极易错误地得出 k∈[－ 3，1]，数形结合则可以避免这种错
误．当 0°≤α<90°时，k∈[0，＋∞)；当 90°<α<180°时，k∈(－∞，0)．
(2)当 α＝90°时，直线的斜率不存在．
自助餐
三点共线问题
例已知三点 A(1，－1)，B(4，－2)，C(－2，0)．求证：A，B，C 三点共线．
①A(2，3)，B(4，5)； ②C(－2，3)，D(2，－1)； ③P(－3，1)，Q(－3，10)．
【解析】 ①存在，直线 AB 的斜率 kAB＝54－－32＝1，
则直线 AB 的倾斜角 α 满足 tan α＝1，又 0°≤α<180°，
所以倾斜角 α＝45°. ②存在，直线 CD 的斜率 kCD＝2－－（1－－32）＝－1，
(2)数形结合是一种常用的方法．
思考题 4 经过点 P(0，－1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(2，1)，B(2，－
3)的线段总有公共点，求直线 l 的倾斜角 α 与斜率 k 的取值范围．【解析】如图，连接 PA，PB，kPA＝1－（ 2－－01）＝1，则直线

高中数学选择性必修一(人教版)《2.1.1倾斜角与斜率》课件

(一)教材梳理填空 1．斜率的定义一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母 k 表示，即 k＝ tan α. 2．斜率公式过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 y2－y1 k＝_x_2_－__x_1 _.
3．斜率与倾斜角的对应关系
二、应用性——强调学以致用 2．利用斜率公式证明不等式：ba＋＋mm>ab(0<a<b 且 m>0)．
[析题建模] 分析所给式子结构特点 ―联―想→ 斜率坐标公式 ―构―造―法―分―析→ 不等式表达的几何意义 ―→ 得证
证明：∵0<a<b，∴点 P(b，a)在第一象限且位于直线 y＝x 的下方．又 m>0，∴－m<0，∴点 M(－m，－m)在第三象限且必在直线 y＝x 上．∴直线 MP 的倾斜角大于 OP(O 为坐标原点)的倾斜角，即 kMP>kOP，又 kMP＝ba＋＋mm，kOP＝ab，∴ab＋＋mm>ab.
为锐角，则 m 的取值范围是
()
A．(－∞，1)
B．(－1，＋∞)
C．(－1,1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：∵直线 l 的倾斜角为锐角， ∴斜率 k＝m12－－21>0，∴－1<m<1. 答案：C
2．[求参数值]已知三点 A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，则实数 a 的值为________．
[方法技巧] 求直线斜率的两种类型
一种是已知倾斜角求直线的斜率，注意倾斜角为 90°的情况；另一种是已知两点的坐标求直线的斜率，注意斜率不存在的情况．
[对点练清] 1．设 A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线 AC 的斜率

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当直线和X轴平行或重合时，我们规定直线
的倾斜角为0。0
观察
l3 y l2 l1
P
o
x
练习巩固倾斜角的概念：
例1.下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )
x x
y
a
o
A
y
a
o
C
x
y
oa
B
y
ao
D
x
直线的倾斜角范围
规定：当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°
y
l
p
o
x
是锐角
y
ly
p
p
o
x
练习
判断题： 1：任一条直线都有倾斜角，也都有斜率。（） 2：直线的倾斜角越大，它的斜率越大。（）
3：平行于X轴的直线的倾斜角是0 或。（）
4：两直线的倾斜率相等，它的斜率也相等。（）小结：
斜率与坐标的关系
设过点 P1(x1，y1），P（2 x2，y的2）直线为l，其倾斜角为，斜率为k。求斜率与点坐标的关系。
o
x
是直角是钝角
l
y
p
l
o
x
由此我们得到直线倾斜角α的范围为：
[0 o ,180 o )
描述直线倾斜程度的量——直线的斜率
2、直线的斜率
定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正
切叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan , 00 1800
倾斜角是90 °的直线没有斜率。
第八章：直线和圆的方程
8.2.1 直线的倾斜角与斜率
复习题问：
在同一平面内，两条直线的位置关系相交平行重合
观察：
l3 Y l2
l1
AO
X
直线的倾斜角：
在平面直角坐标系中，对于一条与X轴相交的直线，如果把X轴绕着交点按逆时针方向
旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么a就叫做直线的倾斜角。
应用举例：
例1：根据下列各直线满足的条件，分别求出直线的斜率。
倾斜角为 45。0 直线过点 A(2与，2)点 B。(3，1）分析：例2：求通过A(2，和3) B(两2，点1的）直线的斜率和
倾斜角。
练习题：
1：判断满足下列条件的直线的斜率是否存在，若存在，求出结果。
直线的倾斜角为45。0 直线过点 A(1,，2) 与B(点3，2。) 直线平行于X轴。 ④点 M (4， 2），N（4，3在）直线上。
我们得到经过两点P1（x1，y1）P2（x2，y2）的直线斜率公式
k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
P2 P1
P1 P2
小结： ⒈斜率公式与两点的顺序无关。
⒉若y1=y2，x1≠ x2时，直线与x轴平行则k=0，若y1≠y2，x1=x2直线与 x轴垂直则k不存在。 ⒊在同一直线上的任何两点所确定的斜率都相等。
P(0，0）, Q(1，3）
m( 3，2）, n( 2， 3）
3：已知直线斜率的绝对值等于1，求此直线的倾斜角。
00 300 450 600 900 1200 1350 1500
tan
0
3 3
1 3
不存在
3
3 3
1
小结：
1、直线的倾斜角定义及其范围：0 180
2、直线的斜率定义： k tan a (a 90)
3、斜率公式：k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
作业：
1：已知直线的倾斜角，求直线的斜率。
00
600
900 ④
3
4
2：求经过下列每两个点的直线斜率和倾斜角。