上海市松江区2020届高三一模数学试卷及详细解析(Word版)
2020届上海市松江区高三一模(12月)数学试题(解析版)
【详解】
r
rr
因为向量 a (1, 2) ， b (m, 3) ，所以 a 2b (1 2m,8) ，
又
r (a
r 2b)
∥
b
，所以
1
2m
(3)
8m
0
，即
2m
3
0
，
m3
解得：
2.
3 故答案为： 2
【点睛】 本题主要考查由向量共线求参数，熟记向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.
1 2
b
4
2
8
min
8
即M 2.
故选：B
【点睛】
本题主要考查求最值的问题，熟记绝对值不等式的性质，以及不等式的性质即可，属于常考题型.
4．已知集合 M {1, 2,3,,10} ，集合 A M ，定义 M ( A) 为 A 中元素的最小值，当 A 取遍 M 的所
有非空子集时，对应的 M ( A) 的和记为 S10 ，则 S10 （ ）
【点睛】
本题主要考查直线与直线位置关系的判定，熟记线面，线线位置关系即可，属于常考题型.
2．设 x, y R ，则“ x y 2 ”是“ x 、 y 中至少有一个数大于 1”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.
a2
an
)
1 3
，则
a1
的取值范围是________
2020年上海市松江区高考数学模拟试卷(4月份)(有答案解析)
2020年上海市松江区高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共21小题，共150.0分）1.若复数，则A. 1B.C. 5D.2.已知向量，若，则实数A. 1B.C.D.3.已知，，若，则实数a的取值范围是A. B. C. D.4.已知椭圆分别过点和点，则该椭圆的焦距为A. B. 2 C. D.5.已知实数，，且，则行列式的A. 最小值是2B. 最小值是C. 最大值是2D. 最大值是6.““是“直线：和直线：平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.在直三棱柱中，已知，，，则异面直线与所成的角为A. B. C. D.8.样本中共有五个个体，其值分别是a，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是A. 1B. 2C. 4D.9.下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是A. B.C. D.10.给出以下四个命题：其中正确命题的个数是过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；依次首尾相接的四条线段必共面；空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；垂直于同一直线的两条直线必平行．A. 0B. 1C. 2D. 311.已知，在，，，，这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为A. B. C. D.12.下列命题中是假命题的是A. 对任意的，函数都不是奇函数B. 对任意的，函数都有零点C. 存在、，使得D. 不存在，使得幂函数在上单调递减13.函数的大致图象为A.B.C.D.14.如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为，山顶C的仰角为，，则两山顶A、C之间的距离为A. B. C. D.15.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，，设数列的前n项和为，则A. 0B.C. 1D. 216.在中，已知，，的外接圆圆心为O，则A. 4B. 8C. 10D. 1617.已知函数，若函数的所有零点依次记为，，，，且，则A. B. C. D.18.设实系数一元二次方程在复数集C内的根为、，则由，可得类比上述方法：设实系数一元三次方程在复数集C内的根为，，，则的值为A. B. 0 C. 2 D. 419.已知函数关于点对称，若对任意的，恒成立，则实数k的取值范围为A. B. C. D.20.已知点在抛物线C：上，点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点，则直线PA与PB的斜率之积为A. B. 1 C. 2 D.21.若数列的每一项都是数列中的项，则称是的子数列．已知两个无穷数列、的各项均为正数，其中是各项和为的等比数列，且是的子数列，则满足条件的数列的个数为A. 0个B. 1个C. 2个D. 无穷多个-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：复数；；故选：B．先根据复数的除法对其化简，再代入模长计算公式即可．本题主要考查复数的有关概念，比较基础．2.答案：D解析：解：向量，，，，解得实数．故选：D．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：D解析：解：，，，．故选：D．根据即可得出，进而得出．本题考查了描述法的定义，分式不等式的解法，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．4.答案：C解析：解：有题意可得：，且，可得：，，，所以，所以焦距，故选：C．有题意将点的坐标代入椭圆的方程求出a，b再由a，b，c之间的关系求出c的值，再求焦距2c的值．本题考查椭圆的定义，a，b，c之间的关系，属于基础题5.答案：B解析：解：实数，，且，，当且仅当时，取等号，行列式的最小值是．故选：B．由实数，，且，得到，由此能求出行列式的最小值．本题考查行列式的最小值的求法，考查行列式展开法则和基本不等式的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：由，解得．经过验证，都满足条件．““是“直线：和直线：平行”的充分不必要条件．故选：A．由，解得k，即可判断出关系．本题考查了平行线与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：C解析：【分析】本题考查异面直线所成的角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，是基础题．由题意画出图形，连接，，可知为异面直线与所成的角．然后求解三角形得答案．【解答】解：连接，，可知为异面直线与所成的角．为直角三角形，且，，，，得．即异面直线与所成的角为．故选：C．8.答案：D解析：解：数据a，1，2，3，4的平均数是，解得；所以该组数据的方差是，标准差是．故选：D．根据平均数求出a的值，再计算方差和标准差．本题考查了平均数和方差、标准差的计算问题，是基础题．9.答案：C解析：解：A：在定义域内内不单调，不符合题意；B：在定义域R上先减后增，不符合题意；C：在定义域R上单调递增，且，为奇函数，符合题意；D：因为为偶函数，不符合题意．故选：C．结合函数的奇偶性及单调性的定义分别检验各选项即可判断．本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础试题．10.答案：B解析：解：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；由平面的判定的应用直接得出．正确；依次首尾相接的四条线段必共面；错误，可以异面，故错误；空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；也可以是互补，故错误；垂直于同一直线的两条直线必平行．可以是异面直线，故错误．故选：B．直接利用线面的平行和垂直的判定和性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：立体几何中的线面之间的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11.答案：B解析：解：因为，，，，，这7个数分别为：，，，，，，．4个奇数，3个偶数；从中任取两数共有：种；所取的两数之和为偶数的有：；所取的两数之和为偶数的概率为：．故选：B．先根据条件得到，，，，这7个数分别为：，，，，，，，4个奇数，3个偶数；进而求得其对应的概率．本题主要考察二项式系数的性质，以及概率的应用，属于基础题目．12.答案：A解析：解：对于选项A：当时，故函数为奇函数，故该命题为假命题．对于选项B：对任意的，函数的值域为R，所以无论a取任何大于0的数函数的图象都有交点，故该命题为真命题．对于选项C：当时，使得，故该命题为真命题．对于选项D：由于，所以函数在单调递增，故不存在，使得幂函数在上单调递减，所以故该命题为真命题．故选：A．直接利用函数的性质的应用，三角函数关系式的变换和赋值法的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的性质的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.答案：C解析：解：根据题意，，有，则有，即函数的定义域为，又由，即函数为奇函数，排除A；又由当时，，则，排除BD；故选：C．根据题意，分析可得为奇函数，可以排除A，进而分析时，函数图象的变化趋势，排除BD，即可得答案．本题考查函数的图象变换，注意分析函数的奇偶性、特殊值，属于基础题．14.答案：C解析：解：，，，，，，；中，由余弦定理得：，所以；所以，即两山顶A，C之间的距离为．故选：C．由直角三角形的边角关系求出BE、DE，利用余弦定理求出BD，再计算AC的值．本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．15.答案：C解析：解：依题意，由，可得：，两式相减，可得：，，，，，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，．，则，则．故选：C．本题由，可得，两式相减，进一步转化计算可得，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即可计算出数列的通项公式，然后计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法计算出前n项和，最后计算出极限的值．本题主要考查数列求通项公式，运用裂项相消法求和，以及数列极限的计算．考查了转化与化归思想，等差数列的基础知识，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．16.答案：B解析：解：如图，取AC中点D，AB中点E，并连接OD，OE，则：，；，；．故选：B．可画出图形，并将O和AC中点D连接，O和AB中点E连接，从而得到，，根据数量积的计算公式及条件即可得出，，从而便可得出的值．本题主要考查三角形外心的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量减法的几何意义．17.答案：D解析：解：令得，，即的对称轴方程为，．的最小正周期为，，在上有5条对称轴，第一条是，最后一条是：；，关于对称，，关于对称，，，，，将以上各式相加得：．故选：D．求出的对称轴，根据的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案．本题考查了正弦函数的图象与性质，函数对称性的应用，属于中档题．18.答案：A解析：解：，由对应系数相等知：，，．故选：A．由，利用对应系数相等知，，再由，能求出结果．本题考查代数式的值的求法，考查类比推理等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：D解析：解：由为奇函数，可得其图象关于对称，可得的图象关于对称，函数关于点对称，可得，对任意的，恒成立，即在恒成立，所以，令，由，可得，设，当时，取得最大值11，则k的取值范围是，故选：D．运用的图象关于对称，求得，由题意可得在恒成立，所以，令，运用指数函数的单调性求得t的范围，设，求得其最大值，可得k的范围．本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和指数函数的单调性、二次函数的最值求法，考查运算求解能力，属于中档题．20.答案：C解析：解：由点在抛物线C：上，可得，，抛物线方程为：，由已知得，设点，，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，联立方程，消去x得：，，，因为点A，B在抛物线C上，所以，，，，，故选：C．把点P的坐标代入抛物线方程求出p的值，得到抛物线方程，设直线AB 的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合点A，B 在抛物线上化简，即可得到．本题主要考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，以及斜率公式，是中档题．21.答案：C解析：解：设，公比，则．对任意的都成立，故m是正奇数，又S 存在，所以．时，，此时，即，成立．当时，，此时，不是数列中的项，故不成立．时，，此时，，成立．当时，，由，得，得，又因为，所以，2，此时或，分别代入，得到不合题意，由此满足条件的数列只有两个，即，或，故选：C．由是的子数列，可设，，公比，又因为可得k，m 得关系，再有等比数列的通项公式得通过m取值代入不定方程检验求解，找出符合条件的数列有2个．本题根据新定义子数列，结合等比数列的公式，寻找符合条件的数列，属于探索性试题，方法思路不易，是道有难度试题．第11页，共11页。
2020年上海市松江区高考数学模拟试卷(4月份(带答案)
2020 年上海市松江区高考数学模拟试卷（4 月份）题号一总分得分一、选择题（本大题共 21 小题，共 150.0 分）1. 若复数 z= ，则|z|=（ ）A. 1B.C. 52. 已知向量 =（1，m）， =（2，5）若 ⊥ ，则实数 m=（D. 5）A. 1B.C.D. -3. 已知 A={x|x≤1}}，B={x| ≤0}，若 A∪B={x|x≤2}，则实数 a 的取值范围是（ ）A. a≥2B. a≤2C. a≥1D. a≤14. 已知椭圆分别过点 A（2，0）和点，则该椭圆的焦距为（ ）A.B. 2C. 2D. 25. 已知实数 a＞0，b＞0，且 ab=2，则行列式的（ ）A. 最小值是 2B. 最小值是C. 最大值是 2D. 最大值是6. “k=1“是“直线 l1：kx+y+1=0 和直线 l2：x+ky+3=0 平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，已知 AB⊥BC，AB＝BC＝2，，则异面直线AC1 与 A1B1 所成的角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°8. 样本中共有五个个体，其值分别是 a，1，2，3，4，若样本的平均数是 2，则样本的标准差是（ ）A. 1B. 2C. 4D.9. 下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是（ ）A. y=-x-1B. y=C. y=x|x|D. y=2x+2-x10. 给出以下四个命题：其中正确命题的个数是（ ）①过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；②依次首尾相接的四条线段必共面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行．A. 0B. 1C. 2D. 311. 已知（ 1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，在 a0，a1，a2，…，a6 这 7 个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为（ ）第 1 页，共 10 页A.B.C.D.12. 下列命题中是假命题的是（ ）A. 对任意的 φ∈R，函数 f（x）=cos（2x+φ）都不是奇函数 B. 对任意的 a＞0，函数 f（x）=log2x-a 都有零点 C. 存在 α、β∈R，使得 sin（α+β）=sinα+sinβD. 不存在 k∈R，使得幂函数在（0，+∞）上单调递减13. 函数的大致图象为（ ）A.B.C.D.14. 如图，某景区欲在两山顶 A，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高 AB=1（km），CD=3（km），在水平面上 E 处测得山顶 A 的仰角为 30°，山顶 C 的仰角为 60°，∠BED=120°，则两山顶 A、C之间的距离为（ ）A. 2 （km）B. （km） C.（km）D. 3 （km）15. 已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，an+12=2Sn+n+1（n∈N*），设数列的前 n 项和为 Tn，则=（ ）A. 0B.C. 1D. 216. 在△ABC 中，已知 AB=3，AC=5，△ABC 的外接圆圆心为 O，则=（ ）A. 4B. 817. 已知函数C. 10D. 16，若函数 F（x）=f（x）-2 的所有零点依次记为 x1，x2，…，xn，且 x1＜x2＜…＜xn，则 x1+2x2+…+2xn-1+xn=（ ）第 2 页，共 10 页A. 2πB. πC. 4πD. π18. 设实系数一元二次方程 a2x2+a1x+a0=0（a2≠0）在复数集 C 内的根为 x1、x2，则由a2（x-x1）（x-x2）=a2x2-a2（x1+x2）x+a2x1x2=0，可得 x1+x2=-．类比上述方法：设实系数一元三次方程 x3+2x2+3x+4=0 在复数集 C 内的根为 x1，x2，x3，则 x12+x22+x32 的值为（ ）A. -2B. 0C. 2D. 419. 已知函数关于点（0，-12）对称，若对任意的 x∈[-1，1]，k•2x-f（2x）≥0 恒成立，则实数 k 的取值范围为（ ）A. k≤-11B. k≥-11C. k≤1D. k≥1120. 已知点 P（1，2）在抛物线 C：y2=2px（p＞0）上，点 P 关于原点 O 的对称点为点Q，过点 Q 作不经过点 O 的直线与抛物线 C 交于 A、B 两点，则直线 PA 与 PB 的斜率之积为（ ）A.B. 1C. 2D. -221. 若数列{bn}的每一项都是数列{an}中的项，则称{bn}是{an}的子数列．已知两个无穷数列{an}、{bn}的各项均为正数，其中是各项和为 的等比数列，且{bn}是{an}的子数列，则满足条件的数列{bn}的个数为（ ）A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 无穷多个2020 年上海市松江区高考数学模拟试卷（4 月份）【答案】1. B2. D8. D9. C15. C 16. B3. D 10. B 17. D答案和解析4. C 11. B 18. A5. B 12. A 19. D6. A 13. C 20. C7. C 14. C 21. C【解析】1. 解：∵复数 z= ==2+i；∴|z|==；故选：B． 先根据复数的除法对其化简，再代入模长计算公式即可． 本题主要考查复数的有关概念，比较基础．2. 解：∵向量 =（1，m）， =（2，5）， ⊥ ，∴ =2+5m=0，第 3 页，共 10 页解得实数 m=- ．故选：D． 利用向量垂直的性质直接求解． 本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力， 属于基础题．3. 解：∵，A∪B={x|x≤2}，∴B={x|a≤x≤2}， ∴a≤1． 故选：D． 根据 A∪B={x|x≤2}即可得出 B={x|a≤x≤2}，进而得出 a≤1． 本题考查了描述法的定义，分式不等式的解法，并集的定义及运算，考查了计算能力， 属于基础题．4. 解：有题意可得：a=2，且 + =1，可得：a2=4，b2=1，c2=a2-b2=4-1=3，所以 c= ，所以焦距 2c=2 ， 故选：C． 有题意将点的坐标代入椭圆的方程求出 a，b 再由 a，b，c 之间的关系求出 c 的值，再 求焦距 2c 的值． 本题考查椭圆的定义，a，b，c 之间的关系，属于基础题5. 解：∵实数 a＞0，b＞0，且 ab=2，∴=a+b≥ =2 ，当且仅当 a=b 时，取等号，∴行列式的最小值是 2 ．故选：B．由实数 a＞0，b＞0，且 ab=2，得到=a+b≥ ，由此能求出行列式的最小值． 本题考查行列式的最小值的求法，考查行列式展开法则和基本不等式的性质等基础知 识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．6. 解：由 k2-1=0，解得 k=±1．经过验证，k=±1 都满足条件． ∴“k=1“是“直线 l1：kx+y+1=0 和直线 l2：x+ky+3=0 平行”的充分不必要条件． 故选：A． 由 k2-1=0，解得 k，即可判断出关系． 本题考查了平行线与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题．7. 【分析】本题考查异面直线所成的角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，是基础题． 由题意画出图形，连接 AC1，BC1，可知∠BAC1 为异面直线 AC1 与 A1B1 所成的角．然后 求解三角形得答案． 【解答】 解：连接 AC1，BC1，可知∠BAC1 为异面直线 AC1 与 A1B1 所成 的角． ∵△ABC1 为直角三角形，且 AB⊥BC1，AB=2，第 4 页，共 10 页，∴，得∠BAC1=60°．即异面直线 AC1 与 A1B1 所成的角为 60°． 故选：C．8. 解：数据 a，1，2，3，4 的平均数是×（a+1+2+3+4）=2，解得 a=0； 所以该组数据的方差是s2= ×[（0-2）2+（1-2）2+（2-2）2+（3-2）2+（4-2）2]=2，标准差是 s= ． 故选：D． 根据平均数求出 a 的值，再计算方差和标准差． 本题考查了平均数和方差、标准差的计算问题，是基础题．9. 解：A：y=-x-1 在定义域内（0，+∞）∪（-∞，0）内不单调，不符合题意；B：y=在定义域 R 上先减后增，不符合题意；C：y=x|x|=在定义域 R 上单调递增，且 f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），为奇函数，符合题意； D：因为 y=2x+2-x 为偶函数，不符合题意． 故选：C． 结合函数的奇偶性及单调性的定义分别检验各选项即可判断． 本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础试题．10. 解：①过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；由平面的判定的应用直接得出．正确； ②依次首尾相接的四条线段必共面；错误，可以异面，故错误； ③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；也可以 是互补，故错误； ④垂直于同一直线的两条直线必平行．可以是异面直线，故错误． 故选：B． 直接利用线面的平行和垂直的判定和性质的应用求出结果． 本题考查的知识要点：立体几何中的线面之间的判定和性质的应用，主要考查学生的运 算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11. 解：因为（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，∴a0，a1，a2，…，a6 这 7 个数分别为： =1， =6， =15， =20， =15， =6， =1．4 个奇数，3 个偶数；从中任取两数共有： =21 种；所取的两数之和为偶数的有： + =9；∴所取的两数之和为偶数的概率为： = ．第 5 页，共 10 页故选：B． 先根据条件得到 a0，a1，a2，…，a6 这 7 个数分别为： =1， =6， =15， =20， =15，=6， =1，4 个奇数，3 个偶数；进而求得其对应的概率．本题主要考察二项式系数的性质，以及概率的应用，属于基础题目．12. 解：对于选项 A：当 φ=（k∈Z）时 f（x）=±sin2x，故函数为奇函数，故该命题为假命题． 对于选项 B：对任意的 a＞0，函数 f（x）=log2x 的值域为 R，所以无论 a 取任何大于 0 的数函数的图象都有交点，故该命题为真命题． 对于选项 C：当 α=β=0 时，使得 sin（α+β）=sinα+sinβ=0，故该命题为真命题． 对于选项 D：由于 α=k2-2k+3=（k-1）2+2≥2，所以函数 y=xα 在 x∈（0，+∞）单调递增，故不存在 k∈R，使得幂函数在（0，+∞）上单调递减，所以故该命题为真命题． 故选：A． 直接利用函数的性质的应用，三角函数关系式的变换和赋值法的应用求出结果． 本题考查的知识要点：函数的性质的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运 算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13. 解：根据题意，，有 ≠0，则有 x≠±1，即函数的定义域为{x|x≠±1}，又由 f（-x）=log2| |=-log2| |=-f（x），即函数为奇函数，排除 A；又由当 x→+∞时，| |→1，则 f（x）→0，排除 BD；故选：C． 根据题意，分析可得 f（x）为奇函数，可以排除 A，进而分析 x→+∞时，函数图象的变 化趋势，排除 BD，即可得答案． 本题考查函数的图象变换，注意分析函数的奇偶性、特殊值，属于基础题．14. 解：AB=1，CD=3，∠AEB=30°，∠CED=60°，∠AEC=120°，∴BE= = = ，DE= = = ；△ACE 中，由余弦定理得： BD2=BE2+DE2-2×BE×DE×cos∠BED=3+3-2× × ×（- ）=9， 所以 BD=3；所以 AC===，即两山顶 A，C 之间的距离为 km． 故选：C． 由直角三角形的边角关系求出 BE、DE，利用余弦定理求出 BD，再计算 AC 的值． 本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．15. 解：依题意，由 an+12=2Sn+n+1，可得：an2=2Sn-1+n，（n≥2）第 6 页，共 10 页两式相减，可得： an+12-an2=2Sn+n+1-2Sn-1-n=2an+1， ∴an+12=an2+2an+1=（an+1）2， ∵an+1＞0，an+1＞0， ∴an+1=an+1， ∴数列{an}是以 1 为首项，1 为公差的等差数列， ∴an=1+（n-1）•1=n，n∈N*．∴==- ，则 Tn= + +…+=1- + - +…+ -=1-=，∴则==1．故选：C． 本题由 an+12=2Sn+n+1，可得 an2=2Sn-1+n， （n≥2）两式相减，进一步转化计算可得 an+1=an+1， 则数列{an}是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，即可计算出数列{an}的通项公式，然后计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法计算出前 n 项和 Tn，最后计算出极限的值． 本题主要考查数列求通项公式，运用裂项相消法求和，以及数列极限的计算．考查了转 化与化归思想，等差数列的基础知识，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本 题属中档题．16. 解：如图，取 AC 中点 D，AB 中点 E，并连接 OD，OE，则： OD⊥AC，OE⊥AB；∴ • = =，• = =；∴ • = •（ - ）= • -= - =8．故选：B． 可画出图形，并将 O 和 AC 中点 D 连接，O 和 AB 中点 E 连接，从而得到 OD⊥AC，OE⊥AB，根据数量积的计算公式及条件即可得出 • ，，从而便可得出的值．本题主要考查三角形外心的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量减法的几何意义．17. 解：令 2x+ = +kπ 得 x= + ，k∈Z，即 f（x）的对称轴方程为 x= + ，k∈Z．∵f（x）的最小正周期为 T=π，x∈[0， ]，∴f（x）在 x∈[0， ]上有 5 条对称轴，第 7 页，共 10 页第一条是 ，最后一条是： ；x1，x2 关于 对称，x2，x3 关于 对称…∴x1+x2=2× ，x2+x3=2× ，x3+x4=2× ，…，x4+x5=2× ，将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn=2×（ + + + ）= ．故选：D． 求出 f（x）的对称轴，根据 f（x）的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案． 本题考查了正弦函数的图象与性质，函数对称性的应用，属于中档题．18. 解：∵x3+2x2+3x+4=（x-x1）（x-x2）（x-x3）=+（x1x2+x1x3+x2x3）x-x1x2x3=+a3（x1x2+x1x3+x2x3）•x-a3x1x2x3，由对应系数相等知： x1+x2+x3=-2，x1x2+x1x3+x2x3=3， ∴x12+x22+x32=（x1+x2+x3）2-2（x1x2+x1x3+x2x3）=4-6=-2． 故选：A．由 x3+2x2+3x+4=（x-x1）（x-x2）（x-x3）=+a3（x1x2+x1x3+x2x3）•x-a3x1x2x3，利用对应系数相等知 x1+x2+x3=-2，x1x2+x1x3+x2x3=3，再由 x12+x22+x32= （x1+x2+x3）2-2（x1x2+x1x3+x2x3），能求出结果． 本题考查代数式的值的求法，考查类比推理等基础知识，考查推理能力与计算能力，属 于中档题．19. 解：由 y=3x+ 为奇函数，可得其图象关于（0，0）对称，可得 f（x）的图象关于（0，a）对称，函数关于点（0，-12）对称，可得 a=-12，对任意的 x∈[-1，1]，k•2x-f（2x）≥0 恒成立，即 k•2x≥3•2x+ -12 在 x∈[-1，1]恒成立，所以 k≥ - +3，令 t= ，由 x∈[-1，1]，可得 t∈[ ，2]，设 h（t）=8t2-12t+3=8（t- ）2- ，当 t=2 时，h（t）取得最大值 11， 则 k 的取值范围是 k≥11， 故选：D．运用 f（x）的图象关于（0，a）对称，求得 a=-12，由题意可得 k•2x≥3•2x+ -12 在 x∈[-1，1]恒成立，所以 k≥ - +3，令 t= ，运用指数函数的单调性求得 t 的范围，设 h（t）=8t2-12t+3，求得其最大值，可得 k 的范围． 本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和指数函数的单调性、二次函数的 最值求法，考查运算求解能力，属于中档题．第 8 页，共 10 页20. 解：由点 P（1，2）在抛物线 C：y2=2px 上，可得 2p=4，∴p=2， ∴抛物线方程为：y2=4x， 由已知得 Q（-1，-2），设点 A（x1，y1），B（x2，y2）， 由题意直线 AB 斜率存在且不为 0， 设直线 AB 的方程为 y=k（x+1）-2 （k≠0），联立方程，消去 x 得：ky2-4y+4k-8=0，∴，，因为点 A，B 在抛物线 C 上，所以，，∴= = ，kPB= = ，∴kPA•kPB= • ===2，故选：C． 把点 P 的坐标代入抛物线方程求出 p 的值，得到抛物线方程，设直线 AB 的方程为 y=k （x+1）-2（k≠0），与抛物线方程联立，利用韦达定理结合点 A，B 在抛物线上化简 kPA•kPB， 即可得到 kPA•kPB=2． 本题主要考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，以及斜率公式，是中档题．21. 解：设（k≥1，k∈N+），公比 q= （m＞0），则 b1qn= . = （k，p∈N+） 对任意的 n∈N+都成立，故 m 是正奇数，又 S 存在，所以 m＞1．m=3 时，S= ，此时 b1= ，即，成立．当 m=5 时，S= ，此时 b1= ，∵ 不是数列{an}中的项，故不成立．m=7 时，S= ，此时 b1= ，bn= ，成立．当 m≥9 时，1- ≥ ，由= ，得（1- ）≥ ，得 k≤ ，又因为 k∈N+，所以 k=1，2，此时 b1=1 或 ，分别代入 S= = ，得到 q＜0 不合题意，由此满足条件的数列只有两个，即 bn= ，或 bn= ，故选：C．由{bn}是{ }的子数列，可设 b1= ，，公比 q= ，又因为 S= = 可得 k，m 得关系，再有等比数列的通项公式得 通过 m 取值代入不定方程检验求解，找出符合条件的数列有 2 个．第 9 页，共 10 页本题根据新定义子数列，结合等比数列的公式，寻找符合条件的数列，属于探索性试题， 方法思路不易，是道有难度试题．第 10 页，共 10 页。
2020年上海市松江区高考数学(4月份)模拟测试试卷 含解析
2020年高考数学卷（4月份）模拟试卷一、选择题（共21小题）1．若复数z＝，则|z|＝（）A．1B．C．5D．52．已知向量＝（1，m），＝（2，5）若⊥，则实数m＝（）A．1B．C．D．﹣3．已知A＝{x|x≤1}}，B＝{x|≤0}，若A∪B＝{x|x≤2}，则实数a的取值范围是（）A．a≥2B．a≤2C．a≥1D．a≤14．已知椭圆分别过点A（2，0）和点，则该椭圆的焦距为（）A．B．2C．2D．25．已知实数a＞0，b＞0，且ab＝2，则行列式的（）A．最小值是2B．最小值是C．最大值是2D．最大值是6．“k＝1“是“直线l1：kx+y+1＝0和直线l2：x+ky+3＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝BC＝2，，则异面直线AC1与A1B1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．样本中共有五个个体，其值分别是a，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是（）A．1B．2C．4D．9．下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是（）A．y＝﹣x﹣1B．y＝C．y＝x|x|D．y＝2x+2﹣x10．给出以下四个命题：其中正确命题的个数是（）①过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；②依次首尾相接的四条线段必共面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行．A．0B．1C．2D．311．已知（1+x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，在a0，a1，a2，…，a6这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为（）A．B．C．D．12．下列命题中是假命题的是（）A．对任意的φ∈R，函数f（x）＝cos（2x+φ）都不是奇函数B．对任意的a＞0，函数f（x）＝log2x﹣a都有零点C．存在α、β∈R，使得sin（α+β）＝sinα+sinβD．不存在k∈R，使得幂函数在（0，+∞）上单调递减13．函数的大致图象为（）A．B．C．D．14．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB＝1（km），CD＝3（km），在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠BED＝120°，则两山顶A、C之间的距离为（）A．2（km）B．（km）C．（km）D．3（km）15．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n+12＝2S n+n+1（n∈N*），设数列的前n项和为T n，则＝（）A．0B．C．1D．216．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝5，△ABC的外接圆圆心为O，则＝（）A．4B．8C．10D．1617．已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣2的所有零点依次记为x1，x2，…，x n，且x1＜x2＜…＜x n，则x1+2x2+…+2x n﹣1+x n＝（）A．2πB．πC．4πD．π18．设实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0＝0（a2≠0）在复数集C内的根为x1、x2，则由a2（x﹣x1）（x﹣x2）＝a2x2﹣a2（x1+x2）x+a2x1x2＝0，可得x1+x2＝﹣．类比上述方法：设实系数一元三次方程x3+2x2+3x+4＝0在复数集C内的根为x1，x2，x3，则x12+x22+x32的值为（）A．﹣2B．0C．2D．419．已知函数关于点（0，﹣12）对称，若对任意的x∈[﹣1，1]，k•2x﹣f （2x）≥0恒成立，则实数k的取值范围为（）A．k≤﹣11B．k≥﹣11C．k≤1D．k≥1120．已知点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点，则直线PA与PB的斜率之积为（）A．B．1C．2D．﹣221．若数列{b n}的每一项都是数列{a n}中的项，则称{b n}是{a n}的子数列．已知两个无穷数列{a n}、{b n}的各项均为正数，其中是各项和为的等比数列，且{b n}是{a n}的子数列，则满足条件的数列{b n}的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．无穷多个参考答案一.本试卷共21题，第1～15题每题6分，第16～21题每题10分，满分150分1．若复数z＝，则|z|＝（）A．1B．C．5D．5【分析】先根据复数的除法对其化简，再代入模长计算公式即可．解：∵复数z＝＝＝2+i；∴|z|＝＝；故选：B．2．已知向量＝（1，m），＝（2，5）若⊥，则实数m＝（）A．1B．C．D．﹣【分析】利用向量垂直的性质直接求解．解：∵向量＝（1，m），＝（2，5），⊥，∴＝2+5m＝0，解得实数m＝﹣．故选：D．3．已知A＝{x|x≤1}}，B＝{x|≤0}，若A∪B＝{x|x≤2}，则实数a的取值范围是（）A．a≥2B．a≤2C．a≥1D．a≤1【分析】根据A∪B＝{x|x≤2}即可得出B＝{x|a≤x≤2}，进而得出a≤1．解：∵，A∪B＝{x|x≤2}，∴B＝{x|a≤x≤2}，∴a≤1．故选：D．4．已知椭圆分别过点A（2，0）和点，则该椭圆的焦距为（）A．B．2C．2D．2【分析】有题意将点的坐标代入椭圆的方程求出a，b再由a，b，c之间的关系求出c的值，再求焦距2c的值．解：有题意可得：a＝2，且+＝1，可得：a2＝4，b2＝1，c2＝a2﹣b2＝4﹣1＝3，所以c＝，所以焦距2c＝2，故选：C．5．已知实数a＞0，b＞0，且ab＝2，则行列式的（）A．最小值是2B．最小值是C．最大值是2D．最大值是【分析】由实数a＞0，b＞0，且ab＝2，得到＝a+b≥，由此能求出行列式的最小值．解：∵实数a＞0，b＞0，且ab＝2，∴＝a+b≥＝2，当且仅当a＝b时，取等号，∴行列式的最小值是2．故选：B．6．“k＝1“是“直线l1：kx+y+1＝0和直线l2：x+ky+3＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由k2﹣1＝0，解得k，即可判断出关系．解：由k2﹣1＝0，解得k＝±1．经过验证，k＝±1都满足条件．∴“k＝1“是“直线l1：kx+y+1＝0和直线l2：x+ky+3＝0平行”的充分不必要条件．故选：A．7．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝BC＝2，，则异面直线AC1与A1B1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】由题意画出图形，连接AC1，BC1，可知∠BAC1为异面直线AC1与A1B1所成的角．然后求解三角形得答案．解：连接AC1，BC1，可知∠BAC1为异面直线AC1与A1B1所成的角．∵△ABC1为直角三角形，且AB⊥BC1，AB＝2，，∴，得∠BAC1＝60°．即异面直线AC1与A1B1所成的角为60°．故选：C．8．样本中共有五个个体，其值分别是a，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是（）A．1B．2C．4D．【分析】根据平均数求出a的值，再计算方差和标准差．解：数据a，1，2，3，4的平均数是×（a+1+2+3+4）＝2，解得a＝0；所以该组数据的方差是s2＝×[（0﹣2）2+（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2+（4﹣2）2]＝2，标准差是s＝．故选：D．9．下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是（）A．y＝﹣x﹣1B．y＝C．y＝x|x|D．y＝2x+2﹣x【分析】结合函数的奇偶性及单调性的定义分别检验各选项即可判断．解：A：y＝﹣x﹣1在定义域内（0，+∞）∪（﹣∞，0）内不单调，不符合题意；B：y＝在定义域R上先减后增，不符合题意；C：y＝x|x|＝在定义域R上单调递增，且f（﹣x）＝﹣x|﹣x|＝﹣x|x|＝﹣f （x），为奇函数，符合题意；D：因为y＝2x+2﹣x为偶函数，不符合题意．故选：C．10．给出以下四个命题：其中正确命题的个数是（）①过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；②依次首尾相接的四条线段必共面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行．A．0B．1C．2D．3【分析】直接利用线面的平行和垂直的判定和性质的应用求出结果．解：①过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；由平面的判定的应用直接得出．正确；②依次首尾相接的四条线段必共面；错误，可以异面，故错误；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；也可以是互补，故错误；④垂直于同一直线的两条直线必平行．可以是异面直线，故错误．故选：B．11．已知（1+x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，在a0，a1，a2，…，a6这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为（）A．B．C．D．【分析】先根据条件得到a0，a1，a2，…，a6这7个数分别为：＝1，＝6，＝15，＝20，＝15，＝6，＝1，4个奇数，3个偶数；进而求得其对应的概率．解：因为（1+x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，∴a0，a1，a2，…，a6这7个数分别为：＝1，＝6，＝15，＝20，＝15，＝6，＝1．4个奇数，3个偶数；从中任取两数共有：＝21种；所取的两数之和为偶数的有：+＝9；∴所取的两数之和为偶数的概率为：＝．故选：B．12．下列命题中是假命题的是（）A．对任意的φ∈R，函数f（x）＝cos（2x+φ）都不是奇函数B．对任意的a＞0，函数f（x）＝log2x﹣a都有零点C．存在α、β∈R，使得sin（α+β）＝sinα+sinβD．不存在k∈R，使得幂函数在（0，+∞）上单调递减【分析】直接利用函数的性质的应用，三角函数关系式的变换和赋值法的应用求出结果．解：对于选项A：当φ＝（k∈Z）时f（x）＝±sin2x，故函数为奇函数，故该命题为假命题．对于选项B：对任意的a＞0，函数f（x）＝log2x的值域为R，所以无论a取任何大于0的数函数的图象都有交点，故该命题为真命题．对于选项C：当α＝β＝0时，使得sin（α+β）＝sinα+sinβ＝0，故该命题为真命题．对于选项D：由于α＝k2﹣2k+3＝（k﹣1）2+2≥2，所以函数y＝xα在x∈（0，+∞）单调递增，故不存在k∈R，使得幂函数在（0，+∞）上单调递减，所以故该命题为真命题．故选：A．13．函数的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数，可以排除A，进而分析x→+∞时，函数图象的变化趋势，排除BD，即可得答案．解：根据题意，，有≠0，则有x≠±1，即函数的定义域为{x|x ≠±1}，又由f（﹣x）＝log2||＝﹣log2||＝﹣f（x），即函数为奇函数，排除A；又由当x→+∞时，||→1，则f（x）→0，排除BD；故选：C．14．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB ＝1（km），CD＝3（km），在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠BED＝120°，则两山顶A、C之间的距离为（）A．2（km）B．（km）C．（km）D．3（km）【分析】由直角三角形的边角关系求出BE、DE，利用余弦定理求出BD，再计算AC的值．解：AB＝1，CD＝3，∠AEB＝30°，∠CED＝60°，∠AEC＝120°，∴BE＝＝＝，DE＝＝＝；△ACE中，由余弦定理得：BD2＝BE2+DE2﹣2×BE×DE×cos∠BED＝3+3﹣2×××（﹣）＝9，所以BD＝3；所以AC＝＝＝，即两山顶A，C之间的距离为km．故选：C．15．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n+12＝2S n+n+1（n∈N*），设数列的前n项和为T n，则＝（）A．0B．C．1D．2【分析】本题由a n+12＝2S n+n+1，可得a n2＝2S n﹣1+n，（n≥2）两式相减，进一步转化计算可得a n+1＝a n+1，则数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，即可计算出数列{a n}的通项公式，然后计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法计算出前n 项和T n，最后计算出极限的值．解：依题意，由a n+12＝2S n+n+1，可得：a n2＝2S n﹣1+n，（n≥2）两式相减，可得：a n+12﹣a n2＝2S n+n+1﹣2S n﹣1﹣n＝2a n+1，∴a n+12＝a n2+2a n+1＝（a n+1）2，∵a n+1＞0，a n+1＞0，∴a n+1＝a n+1，∴数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴a n＝1+（n﹣1）•1＝n，n∈N*．∴＝＝﹣，则T n＝++…+＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝，∴则＝＝1．故选：C．16．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝5，△ABC的外接圆圆心为O，则＝（）A．4B．8C．10D．16【分析】可画出图形，并将O和AC中点D连接，O和AB中点E连接，从而得到OD ⊥AC，OE⊥AB，根据数量积的计算公式及条件即可得出•，，从而便可得出的值．解：如图，取AC中点D，AB中点E，并连接OD，OE，则：OD⊥AC，OE⊥AB；∴•＝＝，•＝＝；∴•＝•（﹣）＝•﹣＝﹣＝8．故选：B．17．已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣2的所有零点依次记为x1，x2，…，x n，且x1＜x2＜…＜x n，则x1+2x2+…+2x n﹣1+x n＝（）A．2πB．πC．4πD．π【分析】求出f（x）的对称轴，根据f（x）的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案．解：令2x+＝+kπ得x＝+，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x＝+，k∈Z．∵f（x）的最小正周期为T＝π，x∈[0，]，∴f（x）在x∈[0，]上有5条对称轴，第一条是，最后一条是：；x1，x2关于对称，x2，x3关于对称…∴x1+x2＝2×，x2+x3＝2×，x3+x4＝2×，…，x4+x5＝2×，将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n＝2×（+++）＝．故选：D．18．设实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0＝0（a2≠0）在复数集C内的根为x1、x2，则由a2（x﹣x1）（x﹣x2）＝a2x2﹣a2（x1+x2）x+a2x1x2＝0，可得x1+x2＝﹣．类比上述方法：设实系数一元三次方程x3+2x2+3x+4＝0在复数集C内的根为x1，x2，x3，则x12+x22+x32的值为（）A．﹣2B．0C．2D．4【分析】由x3+2x2+3x+4＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）＝+a3（x1x2+x1x3+x2x3）•x﹣a3x1x2x3，利用对应系数相等知x1+x2+x3＝﹣2，x1x2+x1x3+x2x3＝3，再由x12+x22+x32＝（x1+x2+x3）2﹣2（x1x2+x1x3+x2x3），能求出结果．解：∵x3+2x2+3x+4＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）＝+（x1x2+x1x3+x2x3）x﹣x1x2x3＝+a3（x1x2+x1x3+x2x3）•x﹣a3x1x2x3，由对应系数相等知：x1+x2+x3＝﹣2，x1x2+x1x3+x2x3＝3，∴x12+x22+x32＝（x1+x2+x3）2﹣2（x1x2+x1x3+x2x3）＝4﹣6＝﹣2．故选：A．19．已知函数关于点（0，﹣12）对称，若对任意的x∈[﹣1，1]，k•2x﹣f （2x）≥0恒成立，则实数k的取值范围为（）A．k≤﹣11B．k≥﹣11C．k≤1D．k≥11【分析】运用f（x）的图象关于（0，a）对称，求得a＝﹣12，由题意可得k•2x≥3•2x+﹣12在x∈[﹣1，1]恒成立，所以k≥﹣+3，令t＝，运用指数函数的单调性求得t的范围，设h（t）＝8t2﹣12t+3，求得其最大值，可得k的范围．解：由y＝3x+为奇函数，可得其图象关于（0，0）对称，可得f（x）的图象关于（0，a）对称，函数关于点（0，﹣12）对称，可得a＝﹣12，对任意的x∈[﹣1，1]，k•2x﹣f（2x）≥0恒成立，即k•2x≥3•2x+﹣12在x∈[﹣1，1]恒成立，所以k≥﹣+3，令t＝，由x∈[﹣1，1]，可得t∈[，2]，设h（t）＝8t2﹣12t+3＝8（t﹣）2﹣，当t＝2时，h（t）取得最大值11，则k的取值范围是k≥11，故选：D．20．已知点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点，则直线PA与PB的斜率之积为（）A．B．1C．2D．﹣2【分析】把点P的坐标代入抛物线方程求出p的值，得到抛物线方程，设直线AB的方程为y＝k（x+1）﹣2 （k≠0），与抛物线方程联立，利用韦达定理结合点A，B在抛物线上化简k PA•k PB，即可得到k PA•k PB＝2．解：由点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px上，可得2p＝4，∴p＝2，∴抛物线方程为：y2＝4x，由已知得Q（﹣1，﹣2），设点A（x1，y1），B（x2，y2），由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y＝k（x+1）﹣2 （k≠0），联立方程，消去x得：ky2﹣4y+4k﹣8＝0，∴，，因为点A，B在抛物线C上，所以，，∴＝＝，k PB＝＝，∴k PA•k PB＝•＝＝＝2，故选：C．21．若数列{b n}的每一项都是数列{a n}中的项，则称{b n}是{a n}的子数列．已知两个无穷数列{a n}、{b n}的各项均为正数，其中是各项和为的等比数列，且{b n}是{a n}的子数列，则满足条件的数列{b n}的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．无穷多个【分析】由{b n}是{}的子数列，可设b1＝，，公比q＝，又因为S＝＝可得k，m得关系，再有等比数列的通项公式得通过m取值代入不定方程检验求解，找出符合条件的数列有2个．解：设（k≥1，k∈N+），公比q＝（m＞0），则b1q n＝.＝（k，p∈N+）对任意的n∈N+都成立，故m是正奇数，又S存在，所以m＞1．m＝3时，S＝，此时b1＝，即，成立．当m＝5时，S＝，此时b1＝，∵不是数列{a n}中的项，故不成立．m＝7时，S＝，此时b1＝，b n＝，成立．当m≥9时，1﹣≥，由＝，得（1﹣）≥，得k≤，又因为k∈N+，所以k＝1，2，此时b1＝1或，分别代入S＝＝，得到q＜0不合题意，由此满足条件的数列只有两个，即b n＝，或b n＝，故选：C．。
上海市2020届高三数学各区(16区已全)一模考试汇编：解析几何(解析版)
2020年一模汇编——解析几何一、填空题【普陀1】若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 为___________.【答案】2【解析】抛物线的性质：p=1，所以m=2【黄浦3】抛物线28x y =的焦点到准线的距离为___________. 【答案】4【解析】由题抛物线的焦点为(0,2)，准线为直线2x =-，易得焦点到准线的距离为4【青浦3】直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是【答案】6π 【解析】设夹角为θ，则23213cos =⨯=θ，故夹角6πθ=【静安3】若直线1l 和直线2l 的倾斜角分别为32和152则1l 与2l 的夹角为_____.【答案】60【解析】1801523260-+=【静安4】若直线l 的一个法向量为(2,1)n =，则若直线l 的斜率k =_____. 【答案】2-【解析】(2,1)n =，则单位向量(1,2)d =-，221k ==-【宝山5】以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 .【答案】9)23(22=++y x【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 【松江5】已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足122PF PF =，则1=PF【答案】4【解析】由椭圆定义得：1226PF PF a +==，又122PF PF =，联立得：1=PF 4【虹口6】抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为_________. 【答案】1【解析】抛物线26x y =的焦点为)23,0(，焦点到直线3410x y +-=的距离33041215d ⨯+⨯-==【杨浦7】椭圆22194x y +=焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，若15PF =，则12cos F PF ∠= 【答案】35【解析】因为3a ==，2b ==，所以c ==，所以1(F，2F ，225651PF a =-=-=，所以22212513cos 2155F PF +-∠==⋅⋅【奉贤7】若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为则该双曲线的标准方程为____________.【答案】2219y x -=±【解析】根据双曲线的渐近线方程为3y x =±，可知3b a =或3ab=；由焦距为得出c =222c a b =+，求得,,a b c 的值【普陀8】设椭圆222:1(1)x y a aΓ+=＞，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP △是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA →→=，则Γ的长轴长等于_________.【答案】【解析】由题知(),0A a -、()0,P a ，设(),Q x x a +，有(),PQ x x =、(),QA a x x a =----， 所以()2x a x =⋅--，解得23x a =-，将(),Q x x a +代入2221x y a +=得22211210x ax a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，整理得Γ的长轴长2a = 【崇明8】若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是__________．【答案】116922=-y x 【解析】由题意得3=a ，5210=÷=c ，16222=-=a c b ，标准方程为116922=-y x【杨浦9】在直角坐标平面xOy 中，(2,0)A -，(0,1)B ，动点P 在圆22:+2C x y =上，则PA PB ⋅的取值范围为___________.【答案】(22+【解析】因为22+2x y =，设)P θθ，则(2,)PA θθ=--，(,1)PB θθ=-，22222cos 2sin PA PB θθθθ⋅=++，22)PA PB θθθϕ⋅=+=++，【崇明9】已知,a b R +∈，若直线230x y ++=与(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于___________.【答案】81 【解析】两直线互相垂直得1121-=-⋅-ba ，b a 21-=，代入得b b ab )21(-=， 0,0a b >>，最小值为81【宝山9】已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为___________.【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=【奉贤9】设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，6ON =，5ON OM =，过点M 作1MM x ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合，设11OT M M N N =+，则点T 的轨迹方程是______________.【答案】22536x y +=05x x ⎛≠≠ ⎝⎭且【解析】设(),T x y ，点()11,N x y ，则()11,0N x ，又1111,OM y M y ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭11,0M M ⎫=⎪⎭，()110,N N y =，于是1111,OT M M N N x y ⎫=+=⎪⎭，由此能求出曲线C的方程。
2020届松江区高三一模数学(附解析)
上海市松江区2020届高三一模数学试卷2019.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{|10}A x x =-≥，{0,1,2}B =，则A B =2. 若角α的终边过点(4,3)P -，则3sin()2πα+= 3. 设1i2i 1i z -=++，则||z = 4. 252()x x+的展开式中4x 的系数为5. 已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足12||2||PF PF =，则1||PF =6. 若关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩无解，则实数m =7. 已知向量(1,2)a =，(,3)b m =-，若向量(2)a b -∥b ，则实数m = 8. 已知函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，若函数()2x y f x =+的图像经过点(1,6)， 则函数12()log y f x x -=+的图像必经过点 9. 在无穷等比数列{}n a 中，若121lim()3n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=， 则1a 的取值范围是 10. 函数ax by cx d+=+的大致图像如图，若函数图像经过 (0,1)-和(4,3)-两点，且1x =-和2y =是其两条渐近线，则:::a b c d =11. 若实数,0a b >，满足abc a b c =++，221a b +=，则实数c 的最小值为 12. 记边长为1的正六边形的六个顶点分别为1A 、2A 、3A 、4A 、5A 、6A ，集合{|(,1,2,3,4,5,6,)}i j M a a A A i j i j ===≠，在M 中任取两个元素m 、n ，则0m n ⋅=的概率为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知l 是平面α的一条斜线，直线mα，则（ ）A. 存在唯一的一条直线m ，使得l m ⊥B. 存在无限多条直线m ，使得l m ⊥C. 存在唯一的一条直线m ，使得l ∥mD. 存在无限多条直线m ，使得l ∥m14. 设,x y ∈R ，则“2x y +>”是“x 、y 中至少有一个数大于1”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件15. 已知,b c ∈R ，若2||x bx c M ++≤对任意的[0,4]x ∈恒成立，则（ ） A. M 的最小值为1 B. M 的最小值为2 C. M 的最小值为4 D. M 的最小值为816. 已知集合{1,2,3,,10}M =⋅⋅⋅，集合A M ⊆，定义()M A 为A 中元素的最小值，当A 取遍M 的所有非空子集时，对应的()M A 的和记为10S ，则10S =（ ） A. 45 B. 1012 C. 2036 D. 9217三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，圆锥的底面半径2OA =，高6PO =，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点.（1）求圆锥的侧面积和体积；（2）求异面直线CD 与AB 所成角的大小. （结果用反三角函数表示）18. 已知函数2()23sin cos 2sin f x x x x =-. （1）求()f x 的最大值；（2）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()0f A =，b 、a 、c 成等差数列，且2AB AC ⋅=，求边a 的长.19. 汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间0t 、人的反应时间1t 、系统反应时间2t 、制动时间3t ，相应的距离分别为0d 、1d 、2d 、3d ，当车速为v （米/秒），且[0,33,3]v ∈时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k 随地面湿滑成都等路面情况而变化，[0.5,0.9]k ∈）.阶段 0、准备1、人的反应2、系统反应3、制动时间 0t 10.8t =秒20.2t =秒3t距离020d =米1d2d23120d v k=米 （1）请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式()d v ，并求0.9k =时， 若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间（精确到0.1秒）；（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时？20. 设抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，经过x 轴正半轴上点(,0)M m 的直线l 交Γ于不同的两点A 和B .（1）若||3FA =，求点A 的坐标；（2）若2m =，求证：原点O 总在以线段AB 为直径的圆的内部；（3）若||||FA FM =，且直线1l ∥l ，1l 与Γ有且只有一个公共点E ，问：△OAE 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出M 点的坐标，若不存在，请说明理由.21. 已知数列{}n a 满足：① n a ∈N （*n ∈N ）；② 当2k n =（*k ∈N ）时，2n na =； ③ 当2k n ≠（*k ∈N ）时，1n n a a +<，记数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）求1a ，3a ，9a 的值；（2）若2020n S =，求n 的最小值；（3）求证：242n n S S n =-+的充要条件是211n a +=（*n ∈N ）.参考答案一. 填空题1. {1,2}2. 45- 3. 1 4. 40 5. 4 6. 2- 7. 32-8. (4,3) 9. 112(0,)(,)333 10. 2:1:1:1-11. -851二. 选择题13. B 14. A 15. B 16. C三. 解答题17.（1）侧面积，体积8π；（2）arccos 14或 18.（1）()2sin(2)16f x x π=+-，最大值为1；（2）3A π=，2a =.19.（1）22020v d v k=++，2011 3.118d v t v v ==++≥≈秒； （2）2208020v d v k=++<，0.5k =时，20v <米/秒，合72千米/小时. 20.（1）(2,±；（2）40OA OB ⋅=-<，证明略；（3）最小值2，(3,0)M . 21.（1）10a =，30a =或1，90a =或1；（2）115；（3）略. 20． 解：（1）由抛物线方程知，焦点是(1,0)F ，准线方程为1x =-，设A （x 1，y 1），由|FA |=3及抛物线定义知，x 1=2，代入24y x =得y =±所以A点的坐标(2,A 或(2,A - ………………………4分 （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 设直线AB 的方程是：x ＝my +2，联立224x my y x =+⎧⎨=⎩，消去x 得：y 2﹣4my ﹣8＝0，由韦达定理得121248y y m y y +=⎧⎨=-⎩， (6)分11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y ⋅=⋅=+22212121212()4804416y y y y y y y y =⋅+=+=-<， 故AOB ∠恒为钝角，故原点O 总在以线段AB 为直径的圆的内部． ………………………10分 （3）设A （x 1，y 1），则x 1y 1≠0，因为|FA |＝|FM |，则|m ﹣1|＝x 1+1，由m ＞0得m ＝x 1+2，故M （x 1+2，0）．故直线AB 的斜率K AB ＝12y -． 因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为12y y x b =-+，代入抛物线方程 得211880b y y y y +-=，由题意21164320b y y ∆=+=，得12b y =-．……………12分 设E （x E ，y E ），则14E y y =-，21141E x y x ==11111111014111222141OAEy x S x y x y x y ∆==+≥- ………………………14分当且仅当11114y x x y =，即22114y x =时等号成立， 由221121144y x y x ⎧=⎨=⎩ 得21144x x =，解得11x =或10x =（舍），………………15分所以M 点的坐标为(3,0)M ，min ()2OAE S ∆= ………………………16分 21． 解：（1）因21a =，12a a <，且1a 是自然数，10a ∴=； ………………2分42a =，340a a ≤<，且34,a a 都是自然数；∴30a =或31a =；………………3分 168a =，9101608a a a ≤<<<=，且*()i a N i N ∈∈，∴90a =或91a =．……4分（2）122()k k a k N -*=∈，当122k k n -<≤(,)n k N *∈时， 1111212223202k k k k k a a a a ----+++≤<<<<=，由于n a N ∈，所以121k m a m -+=-或m ，11,2,3,,2 1.k m -=- ………………………6分∴()64max (01)(12)(1234)(128)(1216)S =+++++++++++++++23458916173233(1232)171422222⨯⨯⨯⨯⨯++++=+++++= ()128max 646571427942S ⨯=+= 71420202794<<，64128n ∴<< ………………………8分 又20207141306-=，123501275130612350511326++++=<<+++++=所以min 6451115n =+= ………………………10分（3）必要性：若242 n nS S n=-+则：122422n n n S S +=-+ ①122214(21)2n n n S S +++=-++ ②①-②得：1121222141()n n n a a a n N ++*++++=-∈ ③ ………………………11分由于1121220,1n n a a ++++=⎧⎨=⎩或1121221,2n n a a ++++=⎧⎨=⎩或11212202n n a a ++++=⎧⎨=⎩，且210,n a +=或1 只有当112121221,1,2n n n a a a +++++===同时成立时，等式③才成立211()n a n N *+∴=∈ ………………………13分充分性：若211()n a n N *+=∈，由于1212223212n n n n n a a a a ++++=<<<<=所以2(,,2)n n k a k n N k N k **+=∈∈≤，即211n a +=，222n a +=，233n a +=，…，12121n n a +-=-，又122n n a +=所以对任意的n N *∈，都有2211n n a a -=+…（I ） ………………………14分另一方面，由2n k a k +=，1222n k a k ++=(,,2)n n N k N k **∈∈≤所以对任意的n N *∈，都有22n n a a =…（II ） ………………………15分21221321242()()n n n n S a a a a a a a a a -∴=+++=+++++++2422232()24()n n a a a n a a a a n =+++-=++++-由于120,1a a ==2124()242n n n S a a a n S n ∴=+++-+=-+ 证毕. ………18分（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
2020届松江区高三一模数学Word版(附解析)(2021年整理)
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上海市松江区2020届高三一模数学试卷2019。
12一。
填空题（本大题共12题，1—6每题4分，7-12每题5分,共54分) 1。
已知集合{|10}A x x =-≥，{0,1,2}B =,则A B = 2. 若角α的终边过点(4,3)P -，则3sin()2πα+= 3. 设1i2i 1i z -=++，则||z = 4。
252()x x+的展开式中4x 的系数为5。
已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足12||2||PF PF =，则1||PF =6. 若关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解,则实数m =7。
已知向量(1,2)a =，(,3)b m =-,若向量(2)a b -∥b ,则实数m =8。
已知函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，若函数()2x y f x =+的图像经过点(1,6)， 则函数12()log y f x x -=+的图像必经过点 9。
在无穷等比数列{}n a 中，若121lim()3n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=，则1a 的取值范围是 10。
函数ax by cx d+=+的大致图像如图，若函数图像经过 (0,1)-和(4,3)-两点，且1x =-和2y =是其两条渐近线，则:::a b c d =11。
2020年上海市松江区高考数学模拟试卷(4月份)(有答案解析)
2020年上海市松江区高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共21小题，共150.0分）1.若复数，则A. 1B.C. 5D.2.已知向量，若，则实数A. 1B.C.D.3.已知，，若，则实数a的取值范围是A. B. C. D.4.已知椭圆分别过点和点，则该椭圆的焦距为A. B. 2 C. D.5.已知实数，，且，则行列式的A. 最小值是2B. 最小值是C. 最大值是2D. 最大值是6.““是“直线：和直线：平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.在直三棱柱中，已知，，，则异面直线与所成的角为A. B. C. D.8.样本中共有五个个体，其值分别是a，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是A. 1B. 2C. 4D.9.下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是A. B.C. D.10.给出以下四个命题：其中正确命题的个数是过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；依次首尾相接的四条线段必共面；空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；垂直于同一直线的两条直线必平行．A. 0B. 1C. 2D. 311.已知，在，，，，这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为A. B. C. D.12.下列命题中是假命题的是A. 对任意的，函数都不是奇函数B. 对任意的，函数都有零点C. 存在、，使得D. 不存在，使得幂函数在上单调递减13.函数的大致图象为A.B.C.D.14.如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为，山顶C的仰角为，，则两山顶A、C之间的距离为A. B. C. D.15.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，，设数列的前n项和为，则A. 0B.C. 1D. 216.在中，已知，，的外接圆圆心为O，则A. 4B. 8C. 10D. 1617.已知函数，若函数的所有零点依次记为，，，，且，则A. B. C. D.18.设实系数一元二次方程在复数集C内的根为、，则由，可得类比上述方法：设实系数一元三次方程在复数集C内的根为，，，则的值为A. B. 0 C. 2 D. 419.已知函数关于点对称，若对任意的，恒成立，则实数k的取值范围为A. B. C. D.20.已知点在抛物线C：上，点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点，则直线PA与PB的斜率之积为A. B. 1 C. 2 D.21.若数列的每一项都是数列中的项，则称是的子数列．已知两个无穷数列、的各项均为正数，其中是各项和为的等比数列，且是的子数列，则满足条件的数列的个数为A. 0个B. 1个C. 2个D. 无穷多个-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：复数；；故选：B．先根据复数的除法对其化简，再代入模长计算公式即可．本题主要考查复数的有关概念，比较基础．2.答案：D解析：解：向量，，，，解得实数．故选：D．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：D解析：解：，，，．故选：D．根据即可得出，进而得出．本题考查了描述法的定义，分式不等式的解法，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．4.答案：C解析：解：有题意可得：，且，可得：，，，所以，所以焦距，故选：C．有题意将点的坐标代入椭圆的方程求出a，b再由a，b，c之间的关系求出c的值，再求焦距2c的值．本题考查椭圆的定义，a，b，c之间的关系，属于基础题5.答案：B解析：解：实数，，且，，当且仅当时，取等号，行列式的最小值是．故选：B．由实数，，且，得到，由此能求出行列式的最小值．本题考查行列式的最小值的求法，考查行列式展开法则和基本不等式的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：由，解得．经过验证，都满足条件．““是“直线：和直线：平行”的充分不必要条件．故选：A．由，解得k，即可判断出关系．本题考查了平行线与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：C解析：【分析】本题考查异面直线所成的角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，是基础题．由题意画出图形，连接，，可知为异面直线与所成的角．然后求解三角形得答案．【解答】解：连接，，可知为异面直线与所成的角．为直角三角形，且，，，，得．即异面直线与所成的角为．故选：C．8.答案：D解析：解：数据a，1，2，3，4的平均数是，解得；所以该组数据的方差是，标准差是．故选：D．根据平均数求出a的值，再计算方差和标准差．本题考查了平均数和方差、标准差的计算问题，是基础题．9.答案：C解析：解：A：在定义域内内不单调，不符合题意；B：在定义域R上先减后增，不符合题意；C：在定义域R上单调递增，且，为奇函数，符合题意；D：因为为偶函数，不符合题意．故选：C．结合函数的奇偶性及单调性的定义分别检验各选项即可判断．本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础试题．10.答案：B解析：解：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；由平面的判定的应用直接得出．正确；依次首尾相接的四条线段必共面；错误，可以异面，故错误；空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；也可以是互补，故错误；垂直于同一直线的两条直线必平行．可以是异面直线，故错误．故选：B．直接利用线面的平行和垂直的判定和性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：立体几何中的线面之间的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11.答案：B解析：解：因为，，，，，这7个数分别为：，，，，，，．4个奇数，3个偶数；从中任取两数共有：种；所取的两数之和为偶数的有：；所取的两数之和为偶数的概率为：．故选：B．先根据条件得到，，，，这7个数分别为：，，，，，，，4个奇数，3个偶数；进而求得其对应的概率．本题主要考察二项式系数的性质，以及概率的应用，属于基础题目．12.答案：A解析：解：对于选项A：当时，故函数为奇函数，故该命题为假命题．对于选项B：对任意的，函数的值域为R，所以无论a取任何大于0的数函数的图象都有交点，故该命题为真命题．对于选项C：当时，使得，故该命题为真命题．对于选项D：由于，所以函数在单调递增，故不存在，使得幂函数在上单调递减，所以故该命题为真命题．故选：A．直接利用函数的性质的应用，三角函数关系式的变换和赋值法的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的性质的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.答案：C解析：解：根据题意，，有，则有，即函数的定义域为，又由，即函数为奇函数，排除A；又由当时，，则，排除BD；故选：C．根据题意，分析可得为奇函数，可以排除A，进而分析时，函数图象的变化趋势，排除BD，即可得答案．本题考查函数的图象变换，注意分析函数的奇偶性、特殊值，属于基础题．14.答案：C解析：解：，，，，，，；中，由余弦定理得：，所以；所以，即两山顶A，C之间的距离为．故选：C．由直角三角形的边角关系求出BE、DE，利用余弦定理求出BD，再计算AC的值．本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．15.答案：C解析：解：依题意，由，可得：，两式相减，可得：，，，，，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，．，则，则．故选：C．本题由，可得，两式相减，进一步转化计算可得，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即可计算出数列的通项公式，然后计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法计算出前n项和，最后计算出极限的值．本题主要考查数列求通项公式，运用裂项相消法求和，以及数列极限的计算．考查了转化与化归思想，等差数列的基础知识，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．16.答案：B解析：解：如图，取AC中点D，AB中点E，并连接OD，OE，则：，；，；．故选：B．可画出图形，并将O和AC中点D连接，O和AB中点E连接，从而得到，，根据数量积的计算公式及条件即可得出，，从而便可得出的值．本题主要考查三角形外心的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量减法的几何意义．17.答案：D解析：解：令得，，即的对称轴方程为，．的最小正周期为，，在上有5条对称轴，第一条是，最后一条是：；，关于对称，，关于对称，，，，，将以上各式相加得：．故选：D．求出的对称轴，根据的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案．本题考查了正弦函数的图象与性质，函数对称性的应用，属于中档题．18.答案：A解析：解：，由对应系数相等知：，，．故选：A．由，利用对应系数相等知，，再由，能求出结果．本题考查代数式的值的求法，考查类比推理等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：D解析：解：由为奇函数，可得其图象关于对称，可得的图象关于对称，函数关于点对称，可得，对任意的，恒成立，即在恒成立，所以，令，由，可得，设，当时，取得最大值11，则k的取值范围是，故选：D．运用的图象关于对称，求得，由题意可得在恒成立，所以，令，运用指数函数的单调性求得t的范围，设，求得其最大值，可得k的范围．本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和指数函数的单调性、二次函数的最值求法，考查运算求解能力，属于中档题．20.答案：C解析：解：由点在抛物线C：上，可得，，抛物线方程为：，由已知得，设点，，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，联立方程，消去x得：，，，因为点A，B在抛物线C上，所以，，，，，故选：C．把点P的坐标代入抛物线方程求出p的值，得到抛物线方程，设直线AB 的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合点A，B 在抛物线上化简，即可得到．本题主要考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，以及斜率公式，是中档题．21.答案：C解析：解：设，公比，则．对任意的都成立，故m是正奇数，又S 存在，所以．时，，此时，即，成立．当时，，此时，不是数列中的项，故不成立．时，，此时，，成立．当时，，由，得，得，又因为，所以，2，此时或，分别代入，得到不合题意，由此满足条件的数列只有两个，即，或，故选：C．由是的子数列，可设，，公比，又因为可得k，m 得关系，再有等比数列的通项公式得通过m取值代入不定方程检验求解，找出符合条件的数列有2个．本题根据新定义子数列，结合等比数列的公式，寻找符合条件的数列，属于探索性试题，方法思路不易，是道有难度试题．第11页，共11页。
2020年上海松江区高三一模数学试卷
2020年上海松江区高三一模数学试卷一、填空题（本大题共12小题，1~6题每题4分，7~12题每题5分，共54分）1.已知集合，，则 ．2.若角的终边过点，则 ．3.设，则 ．4.的展开式中的系数为 ．5.已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上的点满足，则．6.若关于，的二元一次方程组无解，则实数 ．7.已知向量，，若向量，则实数 ．8.已知函数存在反函数，若函数的图象经过点 ，则函数的图象必经过点 ．9.在无穷等比数列中，若，则的取值范围是 ．10.函数的大致图象如图，若函数图象经过和两点，且和是其两条渐近线，则 ．11.若实数，，满足，，则实数的最小值为 ．12.记边长为的正六边形的六个顶点分别为、、、、、，集合，在中任取两个元素、，则的概率为 ．二、选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知是平面的一条斜线，直线，则（ ）．A.存在唯一的一条直线，使得B.存在无限多条直线，使得C.存在唯一的一条直线，使得D.存在无限多条直线，使得14.设，，则“”是“、中至少有一个数大于”的（ ）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.已知，，若对任意的恒成立，则（ ）．A.的最小值为B.的最小值为C.的最小值为D.的最小值为16.已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则（ ）．A.B.C.D.三、解答题（本大题共5小题，共76分）（1）（2）17.如图，圆锥的底面半径，高，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点．求圆锥的侧面积和体积．求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角函数表示）（1）（2）18.已知函数．求的最大值．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，、、成等差数列，且，求边的长．19.汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法（如下图所示）将报警时间划分为段，分别为准备时间、人的反应时间、系统（1）（2）反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、，当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数随地面湿滑成度等路面情况而变化，）．请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间（精确到秒）．若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时？（1）（2）（3）20.设抛物线的焦点为，经过轴正半轴上点的直线交于不同的两点和．若，求点的坐标．若，求证：原点总在以线段为直径的圆的内部．若，且直线，与有且只有一个公共点，问：的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出点的坐标，若不存在，请说明理由．（1）（2）（3）21.已知数列满足：①；②当时，；③当时，，记数列的前项和为．求，，的值．若，求的最小值．求证：的充要条件是．【答案】1.解析:∵集合，，∴．2.解析:∵角的终边过点，∴，，，故．3.解析:，．4.解析:二项展开式的通项，令，得，所以展开式中的系数为．5.解析:椭圆，左、右焦点为，，为椭圆上的点，则，∵，即，．∴．解析:关于，的二元一次方程组无解，则①与②两直线平行，．当时，①，②，①与②有交点，所以不符合题意．．当时，方程无解，则①与②平行，∵①：，②：，则∴．故答案为：．解析:∵，，，6.①②7.由，则，，即，解得，，故实数．8.解析:∵函数图象经过点，∴，则，函数经过，由为函数的反函数，则过点，∵，当时，，∴函数 的图象经过点．9.解析:∵无穷等比数列中，∴且且，∴．∵且，∴且．故答案为：．10.解析:已知函数的大致图象经过和．且和是其两条渐近线．所以有，即．解得，即．11.解析:,∵，∴，∵，∴，，∴，此时．故答案为：．12.解析:如下图所示，集合中的向量包含三类：六条边有个向量（如），过中心有个向量（如），剩余个向量（如），即集合中有个元素．其中每条边上的向量（如）都和两个向量（如和）垂直，然后每条过中心的向量（如）都和两个向量（如和）垂直，即概率．解析:已知是平面的一种斜线则过与平面的交点有且只有一条直线与垂直．在平面内有无数条直线与平行．所以在无限多条直线，使得．故选．解析:假设，均不大于，即且，则，这与已知条件矛盾，即当时，中至少有一个大于，即充分性成立，若，，满足，中至少有一个数大于，但不成立，即必要性不成立，故““是“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件，故正确．故选．解析:如图，等价转化为“已知，，若，求的最小值”．化动为静，结合图像，容易得到时．最小，为，∴．故选．B 13.A 14.B 15.C16.（1）（2）解析:当，此时，这种情况共有种（相当于的子集，加上后形成的新集合），当，，此时，这种情况共有种（相当于的子集，加上后形成的新集合），，依此类推，∴当取遍的所有非空子集时，．选．解析:已知圆锥底面半径为，高，所以底面周长为，，所以圆锥的侧面积．体积．以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立如图直角坐标系，所以，，，，（1）侧面积．．（2）直线与直线所成角的大小为．17.（1）（2）因为点是母线的中点，所以的坐标为，故，，，所以直线与直线所成角的大小为．解析:函数，∵，∴，函数最大值为．∵，，，由为内角，则，即，∵，∴，即，∵，，成等差数列，则，由余弦定理，，（1）．（2）．18.（1）（2）（1）（2）即，，得，故．解析:根据题意，，当时，秒，当且仅当，即时等号成立．依题意，若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于米，则路况最糟糕时也需满足，即时，，即，解得米/秒，合千米/小时．解析:由抛物线方程知，焦点是，准线方程为，设，由及抛物线定义知，，代入得，所以点的坐标或．设，，（1）秒．（2）米/秒，合千米/小时．19.（1）或．（2）证明见解析．（3）点的坐标为，．20.（3）（1）设直线的方程是：，联立，消去得：，由韦达定理得，，故恒为钝角，故原点总在以线段为直径的圆的内部．设，则，因为，则，由得，故．故直线的斜率．因为直线和直线平行，设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意，得．设，则，，，当且仅当，即时等号成立，由得，解得或（舍），所以点的坐标为，．解析:因，，且是自然数，∴；，，且，都是自然数；∴或；，，且，（1）；或；或．（2）．（3）证明见解析．21.（2）（3）∴或．，当时，，由于，所以或，，，，，．∴，．∵，∴，又，，所以．必要性：若，则，①，②①②得：，③由于，或或，且或，只有当，，同时成立时，等式③才成立，∴，充分性：若，由于，所以，即，，，，，又，所以对任意的，都有，（Ⅰ）另一方面，由，，所以对任意的，都有，（Ⅱ）∴，由于，，∴，证毕．。
上海市松江区2020届高三下学期高考模拟(4月)数学试题 Word版含解析
2020年上海市松江区高考数学模拟试卷（4月份）一、本试卷共21题，第1～15题每题6分，第16～21题每题10分，满分150分1.若复数z =52i -，则|z |=（ ） A. 1 5 C. 5 5【答案】B【解析】【分析】利用复数的模的运算性质，化简为对复数2i -求模可得结果【详解】|z |=5||2i -=5|2i|-5 故选：B. 【点睛】此题考查的是求复数的模，属于基础题 2.已知向量(1,),a m =(2,5)b =若a b ⊥，则实数m =( ) A. 1 B. 52 C. 25 D. 25- 【答案】D【解析】【分析】根据向量(1,),a m =(2,5),b =a b ⊥，利用数量积公式由0a b ⋅=求解.【详解】向量(1,),a m =(2,5),b =a b ⊥，250a b m ∴⋅=+=，解得实数25m =-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.已知{|1},A x x =≤2|0x B x x a -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，若{|2}A B x x ⋃=≤，则实数a 的取值范围是( )A. 2a ≥B. 2a ≤C. 1a ≥D. 1a ≤【答案】D【解析】【分析】 根据{|1},A x x =≤{|2}A B x x ⋃=≤，2|0,x B x x a -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭得到{|2}B x a x =<≤求解. 【详解】{|1},A x x =≤2|0,x B x x a -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭{|2}A B x x ⋃=≤， {|2}B x a x ∴=<≤，1a ∴≤.故选：D.【点睛】本题主要考查集合的基本运算的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4.已知椭圆2222=1(0)x y a b a b +>>分别过点(2,0)A 和点31,2B ⎛ ⎝⎭，则该椭圆的焦距为( )3B. 2C. 23D. 25【答案】C【解析】 【分析】根据椭圆过点(2,0)A 和点31,2B ⎛⎝⎭，得到2a =，221314a b +=联立求解. 【详解】因为椭圆过点(2,0)A 和点3B ⎛ ⎝⎭所以2a =，且221314a b+=， 可得：24,a =21,b =222413c a b =-=-=，所以3c =223c =故选：C. 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5.已知实数0,a >0b >，且2ab =，则行列式11a b -的( )A. 最小值是2B. 最小值是2C. 最大值是2D. 最大值是22【答案】B【解析】【分析】 根据11a b a b =+-，再由2ab =，利用基本不等式求解.【详解】实数0,a >0b >，且2ab =，22211a ba b ab ∴=+≥=-当且仅当a b =时，取等号，∴行列式11a b -的最小值是2.故选：B.【点睛】本题主要考查行列式的运算及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6.“1k =”是“直线1:10l kx y ++=和直线2:30l x ky ++=平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】 根据直线1:10l kx y ++=和直线2:30l x ky ++=平行，则210k -=，再用集合法判断.【详解】由直线1:10l kx y ++=和直线2:30l x ky ++=平行则210k -=，解得1k =±.经过验证，1k =±都满足条件. ∴“1k =”是“直线1:10l kx y ++=和直线2:30l x ky ++=平行”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查逻辑条件，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，122CC =，则异面直线1AC 与11A B 所成的角为（ ）A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】C【解析】【分析】由条件可看出11AB A B ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角，可证得三角形1BAC 中，1AB BC ⊥，解得1tan BAC ∠，从而得出异面直线1AC 与11A B 所成的角．【详解】连接1AC ，1BC ，如图：又11AB A B ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角.因为AB BC ⊥，且三棱柱为直三棱柱，∴1AB CC ⊥，∴AB ⊥面11BCC B ，∴1AB BC ⊥，又2AB BC ==，122CC =()22122223BC =+=∴1tan 3BAC ∠160BAC ∠=︒.故选C【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．8.样本中共有五个个体，其值分别是a ，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是( )A. 1B. 2C. 4 2 【答案】D【解析】【分析】根据样本的平均数是2，求得a ，再代入标准差公式求解.【详解】因为数据a ，1，2，3，4的平均数是：所以1(1234)25a ⨯++++=，解得0a =；所以该组数据的方差是： 2222221(02)(12)(22)(32)(42)25s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-=⎣⎦， 标准差是2s =故选：D.【点睛】本题主要考查样本估计总体中的平均数和方差，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9.下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是( )A. 1y x -=-B. ,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩C. ||y x x =D.22x x y -=+【答案】C【解析】【分析】A ：利用幂函数的性质判断；B ：利用一次函数的性质判断；C ：利用二次函数的性质判断；D ：利用奇偶性定义判断.【详解】A ：1y x -=-在定义域内(0,)(,0)+∞⋃-∞内不单调，不符合题意；B ：,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩在定义域R 上先减后增，不符合题意； C ：22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩在定义域R 上单调递增，且()||||()f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，符合题意；D ：因为()()2222x x x x f x f x ---=+==+，所以函数为偶函数，不符合题意. 故选：C.【点睛】本题主要考查函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.10.给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行.其中正确命题的个数是（ ）A . 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】用空间四边形对①进行判断；根据公理2对②进行判断；根据空间角的定义对③进行判断；根据空间直线位置关系对④进行判断.【详解】①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确.③中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么 这两个角相等或互补，故③错误.④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误.故选：B【点睛】本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能力，考查数形结合思想，化归与转化思想.11.已知6260126(1)x a a x a x a x +=+++⋯+，在0,a 1,a 2,a ,⋅⋅⋅6a 这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为( )A. 12B. 37C. 47D. 821【答案】B【解析】【分析】根据6260126(1)x a a x a x a x +=+++⋯+，将0,a 1,a 2,a ,⋅⋅⋅6a 计算出来，分清几个奇数，几个偶数， 得到从中任取两数的种数；所取的两数之和为偶数的种数，代入古典概型的概率公式求解.【详解】因为6260126(1)x a a x a x a x +=+++⋯+，0,a 1,a 2,a ,⋅⋅⋅6a 这7个数分别为：061,C =166,C =2615,C =3620,C =4615,C =566,C =661,C =. 4个奇数，3个偶数；从中任取两数共有：2721C =种；所取的两数之和为偶数的有：22439C C +=；∴所取的两数之和为偶数的概率为：93217=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查二项式系数和古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.12.下列命题中是假命题的是( )A. 对任意的ϕ∈R ，函数()cos(2)f x x ϕ=+都不是奇函数B. 对任意的0a >，函数2()log f x x a =-都有零点C. 存在α、R β∈，使得sin()sin sin αβαβ+=+D. 不存在k ∈R ，使得幂函数223()kk f x x -+=在(0,)+∞上单调递减 【答案】A【解析】【分析】A ：取()2k k Z πϕπ=+∈判断. B ：根据函数2()log f x x =的值域为R 判断.C ：取0αβ==判断.D ：根据2223(1)20k k k α=-+=-+>判断. 【详解】A ：当()2k k Z πϕπ=+∈时，()sin 2f x x =±，故函数为奇函数，故该命题为假命题. B ：对任意的0a >，函数2()log f x x =的值域为R ，所以无论a 取任何大于0的数函数的图象都有交点，故该命题为真命题.C ：当0αβ==时，使得sin()sin sin 0αβαβ+=+=，故该命题真命题. D ：由于2223(1)22k k k α=-+=-+≥，所以函数y x α=在(0,)x ∈+∞单调递增，故不存在k ∈R ，使得幂函数223()kk f x x -+=在(0,)+∞上单调递减，故该命题为真命题.故选：A. 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.13.函数21()log 1x f x x+=-的大致图象为( ) A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数的定义域，再利用奇偶性排除部分选项，再根据x →+∞时，121111x x x +=--→--，则()0f x →确定. 【详解】根据题意，21()log 1x f x x +=-，有101x x+≠-， 则有1x ≠±，即函数的定义域为{|1}x x ≠±，又由2211()log log ()11x x f x f x x x-+-==-=-+-， 即函数为奇函数，排除A ；又由当x →+∞时，121111x x x +=--→--，则()0f x →，排除B ，D ； 故选：C.【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于中档题.14.如图，某景区欲在两山顶A ，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高1()AB km =，3()CD km =，在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30°，山顶C 的仰角为60°，120BED ∠=︒，则两山顶A 、C 之间的距离为( )A. 2()km 10()km 13()km D. 33(km)【答案】C【解析】【分析】根据题意可得1,AB =3CD =，30,AEB ∠=︒60,CED ∠=︒120BED ∠=︒，利用正切函数的定义求得BE ，DE ；在BED 中，利用余弦定理求得BD ，然后利用勾股定理求解.【详解】1,AB =3CD =， 30,AEB ∠=︒60,CED ∠=︒120BED ∠=︒， 3,tan 3033AB BE ∴===︒3tan 603CD DE ===︒； 在BED 中，由余弦定理得：2222cos BD BE DE BE DE BED =+-⨯⨯⨯∠1332332⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭9=， 所以3BD =；所以222()9(31)13AC BD CD AB =+-=+-=即两山顶A ，C 13km . 故选：C.【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,a =2121n n a S n +=++()*n ∈N ，设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则lim n n T →∞=( ) A. 0B. 12C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】利用数列的通项与前n 项和的关系，由2121n n a S n +=++求得,n a n =再由11111(1)1+==-++n n a a n n n n ，用裂项相消法求和. 【详解】依题意，由2121n n a S n +=++，可得：212,n n a S n -=+(2)n ≥，两式相减，可得：221121221n n n n n a a S n S n a +--=++--=+，()2221211n n n n a a a a +∴=++=+，10,n a +>10n a +>，11n n a a +∴=+，∴数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，1(1)1,n a n n ∴=+-⋅=*n ∈N .11111(1)1n n a a n n n n +∴==-++， 则12231111n n n T a a a a a a +=+++ (1111112231)n n =-+-+⋯+-+1111nn n =-=++， ∴则lim lim11n n n nT n →∞→∞==+.故选：C.【点睛】本题主要考查数列的通项与前n 项和的关系，等差数列的定义以及裂项相消法数列求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.在△ABC 中，已知AB =3，AC =5，△ABC 的外接圆圆心为O ，则AO BC ⋅=（ ） A. 4 B. 8C. 10D. 16【答案】B 【解析】 【分析】画出图形，并将O 和AC 中点D ，O 和AB 中点E 连接，从而得到OD AC ⊥，OE AB ⊥，根据数量积的计算公式以及条件即可得出252AO AC ⋅=，92AO AB ⋅=，从而()AO BC AO AC AB ⋅=⋅-，从而可得到AO BC ⋅的值.【详解】如图，取AC 中点D ，AB 中点E ，并连接OD ，OE ， 则OD AC ⊥，OE AB ⊥，∴212522AO AC AC ⋅==， 21922AO AB AB ⋅==，()259822AO BC AO AC AB AO AC AO AB ∴⋅=⋅-=⋅-⋅=-=. 故选：B【点睛】本题主要考查了数量积的定义、向量的运算法则以及三角形的外心，属于基础题. 17.已知函数()3sin 2,6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若函数()()2F x f x =-的所有零点依次记为1,x 2,x ,⋅⋅⋅n x ，且12n x x x <<⋅⋅⋅<，则12122n n x x x x -++⋅⋅⋅++=( ) A. 2π B.113π C. 4π D.223π 【答案】D 【解析】 【分析】根据()f x 的对称轴方程为k ,62x ππ=+k ∈Z .得到()f x 在130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有5条对称轴，将原式变形()()()1211223122n n n n x x x x x x x x x x --++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅++，利用零点关于对称轴对称求解. 【详解】令262x k πππ+=+得,62k x ππ=+k ∈Z ，即()f x 的对称轴方程为k ,62x ππ=+k ∈Z . ()f x 的最小正周期为,T π=130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ()f x ∴在130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有5条对称轴，第一条是6π，最后一条是：136π； 1,x 2x 关于6π对称，2,x 3x 关于46π对称…4,x 5x 关于106π对称 122,6x x π∴+=⨯2342,6x x π+=⨯3472,6x x π+=⨯,⋅⋅⋅451026x x π+=⨯， 将以上各式相加得：1231471022222266663n n x x x x x πππππ-⎛⎫+++⋯++=⨯+++=⎪ ⎭⎝. 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.18.设实系数一元二次方程()2210200a x a x a a ++=≠在复数集C 内的根为1x 、2x ，则由()()()221222122120a x x x x a x a x x x a x x --=-++=，可得1122,a x x a +=-0122a x x a =.类比上述方法：设实系数一元三次方程322340x x x +++=在复数集C 内的根为1,x 2,x 3x ，则222123x x x ++的值为( )A. ﹣2B. 0C. 2D. 4【答案】A 【解析】 【分析】 用类比推理得到32234x x x +++()()()123x x x x x x =---()()32123121323123x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，再用待定系数法得到123x x x ++，121323x x x x x x ++，再根据222123x x x ++()()21231213232x x x x x x x x x =++-++求解.【详解】32234x x x +++()()()123x x x x x x =---()()32123121323123x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，由对应系数相等得：1232,x x x ++=-1213233x x x x x x ++=，222123x x x ∴++()()21231213232x x x x x x x x x =++-++462=-=-.故选：A.【点睛】本题主要考查合情推理以及待定系数法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题. 19.已知函数8()3f x x a x=++关于点(0,12)-对称，若对任意的[1,1],x ∈-()220x x k f ⋅-≥恒成立，则实数k 的取值范围为( )A. 11k ≤-B. 11k ≥-C. 1k ≤D. 11k ≥【答案】D 【解析】 【分析】 根据83y x x =+为奇函数，其图象关于(0,0)对称，再由8()3f x x a x=++关于点(0,12)-对称，可得a ，再将对任意的[1,1]x ∈-，()220xxk f ⋅-≥恒成立，转化为()2812322x x k ≥-+，在[1,1]x ∈-恒成立，令12x t =，求2233()8123842h t t t t ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭的最大值即可.【详解】由83y x x=+为奇函数，可得其图象关于(0,0)对称， 可得()f x 的图象关于(0,)a 对称，函数8()3f x x a x=++关于点(0,12)-对称，可得12a =-， 对任意的[1,1]x ∈-，()220xxk f ⋅-≥恒成立，即x 8232122xxk ⋅≥⋅+-，在[1,1]x ∈-恒成立， 所以()2812322xx k ≥-+，在[1,1]x ∈-恒成立， 令12x t =，由[1,1]x ∈-，可得1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 设2233()8123842h t t t t ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭， 当2t =时，()h t 取得最大值11， 则k 的取值范围是11k ≥， 故选：D.【点睛】本题主要考查函数的对称性和不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20.已知点(1,2)P 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，点P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，则直线PA 与PB 的斜率之积为( ) A.12B. 1C. 2D. ﹣2【答案】C 【解析】 【分析】根据点(1,2)P 在抛物线2:2C y px =上，得到抛物线方程：24y x =，根据(1,2)Q --，设直线AB 的方程为(1)2(0)y k x k =+-⋅≠，与抛物线方程联立消去x 得：24480ky y k -+-=，然后由124422PA PB k k y y ⋅=⋅++，将韦达定理代入求解. 【详解】由点(1,2)P 在抛物线2:2C y px =上， 可得24p =，2p ∴=，∴抛物线方程为：24y x =，由已知得(1,2)Q --，设点()11,,A x y ()22,B x y ， 由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为(1)2(0)y k x k =+-⋅≠，联立方程2(1)24y k x y x =+-⎧⎨=⎩，消去x 得：24480ky y k -+-=，124,y y k∴+=1284y y k =-，因为点A ，B 在抛物线C 上，所以2114,y x =2224y x =，112111224,1214PA y y k y x y --∴===-+-2222412PBy k x y -==-+， 124422PA PB k k y y ∴⋅=⋅++ ()1212161628424424y y y y k k===+++-+⨯+， 故选：C.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21.若数列{}n b 的每一项都是数列{}n a 中的项，则称{}n b 是{}n a 的子数列.已知两个无穷数列{}n a 、{}n b 的各项均为正数，其中321n a n =+，{}n b 是各项和为12的等比数列，且{}n b 是{}n a 的子数列，则满足条件的数列{}n b 的个数为( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 无穷多个【答案】C【解析】 【分析】根据数列{}n b 的每一项都是数列{}n a 中的项，其中321n a n =+，设1321b k =+（1,k ≥k +∈N ），公比1(0)q m m=>，则13132121n nb q k m p =⋅=++（,k p N +∈）对任意的n +∈N 都成立，得到m 是正奇数，又S 存在，则1m ，然后根据1112b S q ==-，结合1321b k =+对m 进行讨论分析. 【详解】设1321b k =+（1,k ≥k +∈N ），公比1(0)q m m=>， 则13132121nn b q k m p =⋅=++（,k p N +∈） 对任意的n +∈N 都成立，故m 是正奇数，又S 存在，所以1m .3m =时，12S =，此时139b =，即133n n b +=，成立. 当5m =时，12S =，此时125b =，25不是数列{}n a 中的项，故不成立. 7m =时，12S =，此时13,7b =37n n b =，成立. 当9m ≥时，1819m -≥，由131211121b k q m+==--，得311412129k m ⎛⎫=-≥ ⎪+⎝⎭，得238k ≤， 又因为k +∈N ，所以1k =，2，此时11b =或35，分别代入1112b S q ==-，得到0q <不合题意， 由此满足条件的数列只有两个，即133n n b +=，或37n n b =， 故选：C.【点睛】本题主要考查数列的新定义及无穷等比数列各项和的应用，还考查了特殊与的思想和推理论证的能力，属于中档题.。
2020学年上海市松江区高考一模数学
2020年上海市松江区高考一模数学一.填空题(本大题满分56分)本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1.设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∩N=_____.解析：∵集合M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}{x|0＜x≤1}，∴M∩N={1}.答案：{1}.2.已知a，b∈R，i是虚数单位.若a+i=2-bi，则(a+bi)2=_____.解析：由已知等式结合复数相等的条件求得a，b的值，则复数a+bi可求，然后利用复数代数形式的乘法运算得答案.答案：3-4i.3.已知函数f(x)=a x-1的图象经过(1，1)点，则f-1(3)=_____.解析：根据反函数的与原函数的关系，原函数的定义域是反函数的值域可得答案.答案：2.4.不等式x|x-1|＞0的解集为_____.解析：∵x|x-1|＞0，∴x＞0，|x-1|＞0，故x-1＞0或x-1＜0，解得：x＞1或0＜x＜1，故不等式的解集是(0，1)∪(1，+∞)，答案：(0，1)∪(1，+∞).5.已知向量a=(sinx，cosx)，b=(sinx，sinx)，则函数f(x)=a·b的最小正周期为_____. 解析：由平面向量的坐标运算可得f(x)，再由辅助角公式化积，利用周期公式求得周期. 答案：π.6.里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道.在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为_____.解析：先求出基本事件总数n=88A，再求出2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为m=2727A A，由此能求出2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率.答案：14.7.按如图所示的程序框图运算：若输入x=17，则输出的x值是_____.解析：模拟程序的运行，可得 x=17，k=0执行循环体，x=35，k=1不满足条件x ＞115，执行循环体，x=71，k=2 不满足条件x ＞115，执行循环体，x=143，k=3 满足条件x ＞115，退出循环，输出x 的值为143. 答案：143.8.设(1+x)n=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n，若2313a a =，则n=_____. 解析：利用二项式定理展开可得：(1+x)n=1+12233nnnx x x+++…= a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ，比较系数即可得出.答案：11.9.已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是_____cm 2.解析：由已知求出圆锥的母线长，代入圆锥的侧面积公式，可得答案..10.设P(x ，y)是曲线C上的点，F 1(-4，0)，F 2(4，0)，则|PF 1|+|PF 2|的最大值=_____.解析：先将曲线方程化简，再根据图形的对称性可知|PF 1|+|PF 2|的最大值为10. 答案：10.11.已知函数f(x)=3283x x x ≤≤-⎪⎩，＞，若F(x)=f(x)-kx 在其定义域内有3个零点，则实数k ∈_____.解析：问题转化为f(x)和y=kx 有3个交点，画出函数f(x)和y=kx 的图象，求出临界值，从而求出k 的范围即可.答案：(0，3).12.已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=3，若|a n+1-a n |=2n (n ∈N *)，且{a 2n-1}是递增数列、{a 2n }是递减数列，则212limn n na a -→∞=_____.解析：依题意，可求得a 3-a 2=22，a 4-a 3=-23，…，a 2n -a 2n-1=-22n-1，累加求和，可得a 2n =2131233n-⋅，a 2n-1=a 2n+22n-1=2131236n+⋅；从而可求得212lim n n na a -→∞的值.答案：-12.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.已知a ，b ∈R ，则“ab ＞0“是“b aa b+＞2”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件解析：根据充分必要条件的定义判断即可. 答案：B.14.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在截面A 1DB 上，则线段AP 的最小值等于( )A.13B.12C.解析：由已知可得AC 1⊥平面A 1DB ，可得P 为AC 1与截面A 1DB 的垂足时线段AP 最小，然后利用等积法求解. 答案：C.15.若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭满足：a 11，a 12，a 21，a 22∈{0，1}，且11122122a a a a =0，则这样的互不相等的矩阵共有( )A.2个B.6个C.8个D.10个解析：根据题意，分类讨论，考虑全为0；全为1；三个0，一个1；两个0，两个1，即可得出结论. 答案：D.16.解不等式(12)x -x+ 12＞0时，可构造函数f(x)=(12)x-x ，由f(x)在x ∈R 是减函数，及f(x)＞f(1)，可得x ＜1.用类似的方法可求得不等式arcsinx 2+arcsinx+x 6+x 3＞0的解集为( ) A.(0，1] B.(-1，1) C.(-1，1] D.(-1，0)解析：由题意，构造函数g(x)=arcsinx+x 3，在x ∈[-1，1]上是增函数，且是奇函数，不等式arcsinx 2+arcsinx+x 6+x 3＞0可化为g(x 2)＞g(-x)，∴-1≤-x ＜x 2≤1， ∴0＜x ≤1. 答案：A.三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.如图，在正四棱锥P-ABCD 中，PA=AB=a ，E 是棱PC 的中点.(1)求证：PC ⊥BD ；(2)求直线BE 与PA 所成角的余弦值.解析：(1)推导出△PBC ，△PDC 都是等边三角形，从而BE ⊥PC ，DE ⊥PC ，由此能证明PC ⊥BD.(2)连接AC ，交BD 于点O ，连OE ，则AP ∥OE ，∠BOE 即为BE 与PA 所成的角，由此能求出直线BE 与PA 所成角的余弦值.答案：(1)∵四边形ABCD 为正方形，且PA=AB=a ，∴△PBC ，△PDC 都是等边三角形， ∵E 是棱PC 的中点，∴BE ⊥PC ，DE ⊥PC ，又 BE ∩DE=E ， ∴PC ⊥平面BDE 又BD ⊂平面BDE ， ∴PC ⊥BD(2)连接AC ，交BD 于点O ，连OE.四边形ABCD 为正方形，∴O 是AC 的中点 又E 是PC 的中点∴OE 为△ACP 的中位线，∴AP ∥OE ∴∠BEO 即为BE 与PA 所成的角在Rt △BOE 中，BE=2a ，EO=12PA=12a ，∴cos ∠BEO=OE BE=3.∴直线BE 与PA .18.已知函数F(x)=2121x x a ⋅-+，(a 为实数).(1)根据a 的不同取值，讨论函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)若对任意的x ≥1，都有1≤f(x)≤3，求a 的取值范围.解析：(1)根据题意，先求出函数的定义域，易得其定义域关于原点对称，求出F(-x)的解析式，进而分2种情况讨论：①若y=f(x)是偶函数，②若y=f(x)是奇函数，分别求出每种情况下a 的值，综合即可得答案；(2)根据题意，由f(x)的范围，分2种情况进行讨论：f(x)≥1以及f(x)≤3，分析求出每种情况下函数的恒成立的条件，可得a 的值，进而综合2种情况，可得答案.答案：(1)函数F(x)=2121x x a ⋅-+定义域为R ，且F(-x)=2121x x a --⋅-+=212xxa -+，①若y=f(x)是偶函数，则对任意的x 都有f(x)=f(-x)，即2121xxa⋅-+=212xxa-+，即2x(a+1)=a+1，解可得a=-1；②若y=f(x)是奇函数，则对任意的x 都有f(x)=-f(-x)，即2121xxa⋅-+=-212xxa-+，即2x(a-1)=1-a，解可得a=1；故当a=-1时，y=f(x)是偶函数，当a=1时，y=f(x)是奇函数，当a≠±1时，y=f(x)既非偶函数也非奇函数，(2)由f(x)≥1可得：2x+1≤a·2x-1，即22x≤a-1∵当x≥1时，函数y1=22x单调递减，其最大值为1，则必有a≥2，同理，由f(x)≤3 可得：a·2x-1≤3·2x+3，即a-3≤42x，∵当x≥1时，y2=42x单调递减，且无限趋近于0，故a≤3，综合可得：2≤a≤3.19.上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”.兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记O点为塔基、P 点为塔尖、点P在地面上的射影为点H.在塔身OP射影所在直线上选点A，使仰角k∠HAP=45°，过O点与OA成120°的地面上选B点，使仰角∠HPB=45°(点A、B、O都在同一水平面上)，此时测得∠OAB=27°，A与B之间距离为33.6米.试求：(1)塔高(即线段PH的长，精确到0.1米)；(2)塔身的倾斜度(即PO与PH的夹角，精确到0.1°).解析：(1)由题意可知：△PAH，△PBH均为等腰直角三角形，AH=BH=x，∠HAB=27°，AB=33.6，即可求得x=16.82cos cos 27ABHAB =∠︒=18.86； (2)∠OBH=180°-120°-2×27°=6°，BH=18.86，由正弦定理可知：sin sin OH BH OBH BOH =∠∠，OH=18.86sin 6sin120⨯︒︒=2.28，则倾斜角∠OPH=arctan OHPH =arctan 2.2818.86=6.89°. 答案：(1)设塔高PH=x ，由题意知，∠HAP=45°，∠HBP=45°， ∴△PAH ，△PBH 均为等腰直角三角形， ∴AH=BH=x在△AHB 中，AH=BH=x ，∠HAB=27°，AB=33.6，∴x=16.82cos cos 27ABHAB =∠︒=18.86 (2)在△BOH 中，∠BOH=120°，∴∠OBH=180°-120°-2×27°=6°，BH=18.9，由sin sin OH BHOBH BOH =∠∠， 得OH=18.86sin 6sin120⨯︒︒=2.28，∴∠OPH=arctan OHPH=arctan 2.2818.86≈6.9°，∴塔高18.9米，塔的倾斜度为6.9°.20.已知双曲线C ：2222x y a b-=1经过点(2，3)，两条渐近线的夹角为60°，直线l 交双曲线于A 、B 两点.(1)求双曲线C 的方程；(2)若l 过原点，P 为双曲线上异于A ，B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率k PA ，k PB 均存在，求证：k PA ·k PB 为定值；(3)若l 过双曲线的右焦点F 1，是否存在x 轴上的点M(m ，0)，使得直线l 绕点F 1无论怎样转动，都有MA MB ⋅=0成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由.解析：(1)利用双曲线C ：2222x y a b-=1经过点(2，3)，两条渐近线的夹角为60°，建立方程，即可求双曲线C 的方程；(2)设M(x 0，y 0)，由双曲线的对称性，可得N 的坐标，设P(x ，y)，结合题意，又由M 、P在双曲线上，可得y 02=3x 02-3，y 2=3x 2-3，将其坐标代入k PM ·k PN 中，计算可得答案.(3)先假设存在定点M ，使MA ⊥MB 恒成立，设出M 点坐标，根据数量级为0，求得结论.答案：(1)解：由题意得22491a bb a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得a=1，∴双曲线C 的方程为223y x -=1；(2)证明：设A(x 0，y 0)，由双曲线的对称性，可得B(-x 0，-y 0). 设P(x ，y)，则k PA ·k PB =22020y y x x --，∵y 02=3x 02-3，y 2=3x 2-3，∴kPA ·kPB=22020y y x x --=3(3)解：由(1)得点F 1为(2，0)当直线l 的斜率存在时，设直线方程y=k(x-2)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)将方程y=k(x-2)与双曲线方程联立消去y 得：(k 2-3)x 2-4k 2x+4k 2+3=0，∴x 1+x 2=2243k k -，x 1x 2=22433k k +-假设双曲线C 上存在定点M ，使MA ⊥MB 恒成立，设为M(m ，n) 则MA MB⋅=(x 1-m)(x 2-m)+[k(x 1-2)-n][k(x 2-2)-n]=(k 2+1)x 1x 2-(2k 2+kn+m)(x 1+x 2)+m 2+4k 2+4kn+n 2=()()2222224512313mn m k nk m n k +----+--=0，故得：(m 2+n 2-4m-5)k 2-12nk-3(m 2+n 2-1)=0对任意的k 2＞3恒成立，∴222245012010m n m n m n ⎧+--=⎪=⎨⎪+-=⎩，解得m=-1，n=0 ∴当点M 为(-1，0)时，MA ⊥MB 恒成立；当直线l 的斜率不存在时，由A(2，3)，B(2，-3)知点M(-1，0)使得MA ⊥MB 也成立.又因为点(-1，0)是双曲线C的左顶点，所以双曲线C上存在定点M(-1，0)，使MA⊥MB恒成立.21.如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H型数列”.(1)若数列{a n}为“H型数列”，且a1=1m-3，a2=1m，a3=4，求实数m的取值范围；(2)是否存在首项为1的等差数列{a n}为“H型数列”，且其前n项和S n满足S n＜n2+n(n∈N*)？若存在，请求出{a n}的通项公式；若不存在，请说明理由.(3)已知等比数列{a n}的每一项均为正整数，且{a n}为“H型数列”，b n=23a n，c n=()512nnan-+⋅，当数列{b n}不是“H型数列”时，试判断数列{c n}是否为“H型数列”，并说明理由.解析：(1)由题意得，a2-a1=3＞2，a3-a2=4-1m＞2，即2-1m=21mm-＞0，解得m范围即可得出.(2)假设存在等差数列{a n}为“H型数列”，设公差为d，则d＞2，由a1=1，可得：S n=n+()12 n n-d，由题意可得：n+()12n n-d＜n2+n对n∈N*都成立，即d＜21nn-都成立.解出即可判断出结论.(3)设等比数列{a n}的公比为q，则a n=a1q n-1，且每一项均为正整数，且a n+1-a n=a n(q-1)＞2＞0，可得a n+1-a n=a n(q-1)＞a n-a n-1，即在数列{a n-a n-1}(n≥2)中，“a2-a1”为最小项.同理在数列{b n-b n-1}(n≥2)中，“b2-b1”为最小项.由{a n}为“H型数列”，可知只需a2-a1＞2，即 a1(q-1)＞2，又因为{b n}不是“H型数列”，且“b2-b1”为最小项，可得b2-b1≤2，即 a1(q-1)≤3，由数列{a n}的每一项均为正整数，可得 a1(q-1)=3，a1=1，q=4或a1=3，q=2，通过分类讨论即可判断出结论.答案：(1)由题意得，a2-a1=3＞2，a3-a2=4-1m＞2，即2-1m=21mm-＞0，解得m＞12或m＜0.∴实数m的取值范围时(-∞，0)∪(12，+∞).(2)假设存在等差数列{a n}为“H型数列”，设公差为d，则d＞2，由a1=1，可得：S n=n+()12 n n-d，由题意可得：n+()12n n-d＜n2+n对n∈N*都成立，即d＜21nn-都成立.∵21nn-=2+21n-＞2，且2lim1nnn→∞-=2，∴d≤2，与d＞2矛盾，因此不存在等差数列{a n}为“H型数列”.(3)设等比数列{a n}的公比为q，则a n=a1q n-1，且每一项均为正整数，且a n+1-a n=a n(q-1)＞2＞0，∴a1＞0，q＞1.∵a n+1-a n=a n(q-1)＞a n-a n-1，即在数列{a n-a n-1}(n≥2)中，“a2-a1”为最小项.同理在数列{b n -b n-1}(n ≥2)中，“b 2-b 1”为最小项.由{a n }为“H 型数列”，可知只需a 2-a 1＞2，即 a 1(q-1)＞2，又因为{b n }不是“H 型数列”，且“b 2-b 1”为最小项，∴b 2-b 1≤2，即 a 1(q-1)≤3，由数列{a n }的每一项均为正整数，可得 a 1(q-1)=3，∴a 1=1，q=4或a 1=3，q=2，①当a 1=1，q=4时，a n =4n-1，则c n =()13542121n n n n n -+-=⋅++，令d n =c n+1-c n (n ∈N *)，则d n =432221n n n n ++-++=2n+3·()()12nn n ++，令e n =d n+1-d n (n ∈N *)，则e n =2n+4·()()123n n n +++-2n+3·()()12n n n ++=322n n ++·()()2213n n n n ++++＞0， ∴{d n }为递增数列，即 d n ＞d n-1＞d n-2＞…＞d 1，即 c n+1-c n ＞c n -c n-1＞c n-1-c n-2＞…＞c 2-c 1， ∵c 2-c 1=323-8=83＞2，所以，对任意的n ∈N *都有c n+1-c n ＞2，即数列{c n }为“H 型数列”.②当a 1=3，q=2时，a n =3·2n-1，则c n =()153?2481?21n n n n --=++，显然，{c n }为递减数列，c 2-c 1＜0≤2， 故数列{c n }不是“H 型数列”； 综上：当a n =4n-1时，数列{c n }为“H 型数列”，当a n =3·2n-1时，数列{c n }不是“H 型数列”.。
上海市松江区2020-2021学年第一学期一模考试 高三年级 数学 试卷及参考答案
（2）若直线 l 经过点T (0, 4) ，且 OMN 的面积为 2 2 ，求直线 l 的方程；
（3）若直线 l 的方程为 y = kx + t(k 0) ， 点 M 关于 x 轴的对称点为 M ，直线 MN 、 M N 分别与 x 轴
相交于 P 、 Q 两点，求证： OP OQ 为定值．
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松江区 2020 学年度第一学期期末质量监控试卷
高三数学
（满分 150 分，完卷时间 120 分钟）
2020．12
考生注意：
1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非
选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号。
▲．
8．在 (x2 + 2 )6 的二项展开式中，常数项等于 ▲ ． x
9．在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，且 3b + 2c 2a = 0 ，则角 A = ▲ ． cos B 1
10．从以下七个函数:
y
=
x
,
y
=
1 x
,
y
=
x2
,
y
=
2x
,
y
=
log2
x
,
y
=
sin
x
,
y
=
cos
x 中选取两个函数记为
f (x) 和 g(x) ，构成函数 F(x) = f (x) + g(x) ，若 F(x) 的图像如图所示，则 F(x) = ▲ ．
11．已知向量 a = b = c = 1，若 a b = 1 ，且 c = xa + yb ，则 x + y 的最大值为 ▲ ． 2
上海市2020届高三数学一模考试汇编：三角比与三角函数(解析版)
2020年一模汇编——三角比、三角函数一、填空题【松江2】若角的终边过点4,3P ，则3sin2.【答案】45【解析】由角的终边过点4,3P可得到4cos5，又因为33334sinsincos cossin sincos 22225【奉贤2】在ABC ∆中，若60A =︒，2AB =，AC =ABC ∆的面积是___________. 【答案】3【解析】60,2,B AB AC =︒==∴根据余弦定理得：2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅即21242BC BC =+-,解得4BC =则ABC ∆的面积1sin 2S AB BC B =⋅⋅=【虹口4】若sin 2cos 02cos 1x xx =，则锐角x =__________.【答案】4π 【解析】012cos 2sin cos 22sin 2=--=-x x x x【奉贤4】设3,sin 2a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，1cos ,3b α⎛⎫= ⎪⎝⎭，且a b ∥，则cos2α=_____________.【答案】0【解析】31||,sin cos 0,sin 2123a b ααα∴⨯-⋅=∴=α为锐角，cos20α∴=【黄浦5】设θ为第二象限的角，3sin 5θ=，则tan2θ的值为__________. 【答案】247-【解析】由θ为第二象限的角，3sin 5θ=可得3tan 4θ=-，所以22tan 24tan 21tan 7θθθ==-- 【青浦5】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是34(,)55-，则sin2α=【答案】2425-【解析】由题意得54sin ,53cos =-=αα，所以2524cos sin 22sin -=⋅=ααα【徐汇6】 已知函数()arcsin(21)f x x =+，则1()6f π-=【答案】14-【解析】考察反函数性质，令()()arcsin 216f x x π=+=，则1212x +=，解得14x =-。
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上海市松江区2020届高三一模数学试卷及详细解析
2019. 12
一、填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)
1. 已知集合A ={0|1x x -≥}，B ={0,1,2}，则A B I =______
2. 若角α的终边过点P (4,-3)，则3sin()2πα+=______
3. 设1i 1i
z -=+,则||z =______ 4. 252()x x
+的展开式中4x 的系数为______ 5. 已知椭圆22
194
x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足122||||PF PF =，则1||PF =______
6. 若关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=++=⎧⎨⎩
无解，则实数m =______ 7. 已知向量()1,2a =r ，(),3b m =-r ，若向量(2a b -r r )//b r ，则实数m =
8. 已知函数()y f x =存在反函数1()y f x -=,若函数()2x y f x =+的图像经过点(1,6)，则函数12()log y f x x -=+的图像必经过点______
9. 在无穷等比数列{n a }中，若121lim()3
n x a a a →∞+++=L 则1a 的取值范围是_ 10. 函数ax b y cx d +=
+的大致图像如图，若函数图像经过(0,1-) 和(4,3-)两点，且1x =-和2y =是其两条渐近
线，则:::a b c d =______
11. 若实数,0a b >，满足abc a b c =++，221a b +=，则实数c 的最小值为______
12. 记边长为1的正六边形的六个顶点分别为1A 、2A 、3A 、4A 、5A 、6A ,集合
M ={|,1,2,3,4,5,6,)(i j a a A A i j i j ==≠r r }，在M 中任取两个元素m u r 、n r ，则0
m n ⋅=u r r 的概率为______
二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)
13. 已知l 是平面α的一条斜线，直线m αØ，则( )
A. 存在唯一的一条直线m ，使得l ⊥m
B. 存在无限多条直线m ，使得l ⊥m
C. 存在唯一的一条直线m ，使得l //m
D. 存在无限多条直线m ，使得l //m
14. 设,x y ∈R ，则“2x y +>”是“x 、y 中至少有一个数大于1”的( )
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
15. 已知,b c ∈R ，若2x bx c M ++≤对任意的x ∈[0,4]恒成立，则( )
A. M 的最小值为1
B. M 的最小值为2
C. M 的最小值为4
D. M 的最小值为8
16. 已知集合M ={1,2,3,L ,10}，集合A M ⊆，定义()M A 为A 中元素的最小值，当A 取遍M 的所有非空子集时，对应的()M A 的和记为10S ，则10S =( )
A. 45
B. 1012
C. 2036
D. 9217
三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)
17. 如图，圆锥的底面半径OA =2，高PO =6，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线P A 的中点.
(1) 求圆锥的侧面积和体积：
(2) 求异面直线CD 与AB 所成角的大小.
(结果用反三角函数表示)
18. 已知函数2()cos 2sin f x x x x =-.
(1) 求()f x 的最大值：
(2) 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()0f A =，b 、a 、
c 成等差数列，且2AB AC ⋅=u u u r u u u r ,求边a 的长.
19. 汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用,其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间),当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法(如下图所示)将报警时间划分为4段，分别为准备时间0t 、人的反应时间1t 系统反应时间2t 、制动时间3t ，相应的距离分别为0d 、1d 、2d 、3d ，当车速为v (米/秒)，且v ∈[0,33.3]时，通过大数据统计分析得到下表(其中系数k 随地面湿滑成都等路面情况而变化，k ∈[0.5,0.9]).
阶段
0、准备 1、人的反应 2、系统反应 3、制动 时间
0t 10.8t =秒 20.2t =秒 3t 距离 0d =20米 1d 2d 23120d v k
=米 (1) 请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式d (v )，并求0.9k =时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间(精确到0.1秒)；
(2) 若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下?合多少千米/小时?
20. 设抛物线Γ：24y x =的焦点为F ，经过x 轴正半轴上点M (m ,0)的直线l 交Γ于不同的两点A 和B .
(1) 若|F A |=3，求点A 的坐标：
(2) 若m =2，求证：原点O 总在以线段AB 为直径的圆的内部；
(3) 若FA FM =u u u r u u u u r ，且直线1l //l ，1l 与Γ有且只有一个公共点E ，问：△OAE 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出M 点的坐标，若不存在，请说明理由.
21. 已知数列{n a }满足：①n a ∈N （n ∈N *）；②当（k ∈N *）时，2n n a =； ③当2k n ≠（k ∈N *）时，1n n a a +<记数列{n a }的前n 项和为n S .
(1)求1a ，，3a ，9a 的值；
(2)若n S =2020，求n 的最小值；
(3)求证：242n n S S n =-+的充要条件是211n a +=（n ∈N *）.
上海市松江区2020届高三一模数学试卷及详细解析。