上海市松江区2020届高三一模数学试卷及详细解析(Word版)

上海市松江区2020届高三一模数学试卷及详细解析

2019. 12

一、填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)

1. 已知集合A ={0|1x x -≥}，B ={0,1,2}，则A B I =______

2. 若角α的终边过点P (4,-3)，则3sin()2πα+=______

3. 设1i 1i

z -=+,则||z =______ 4. 252()x x

+的展开式中4x 的系数为______ 5. 已知椭圆22

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x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足122||||PF PF =，则1||PF =______

6. 若关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=++=⎧⎨⎩

无解，则实数m =______ 7. 已知向量()1,2a =r ，(),3b m =-r ，若向量(2a b -r r )//b r ，则实数m =

8. 已知函数()y f x =存在反函数1()y f x -=,若函数()2x y f x =+的图像经过点(1,6)，则函数12()log y f x x -=+的图像必经过点______

9. 在无穷等比数列{n a }中，若121lim()3

n x a a a →∞+++=L 则1a 的取值范围是_ 10. 函数ax b y cx d +=

+的大致图像如图，若函数图像经过(0,1-) 和(4,3-)两点，且1x =-和2y =是其两条渐近

线，则:::a b c d =______

11. 若实数,0a b >，满足abc a b c =++，221a b +=，则实数c 的最小值为______

12. 记边长为1的正六边形的六个顶点分别为1A 、2A 、3A 、4A 、5A 、6A ,集合

M ={|,1,2,3,4,5,6,)(i j a a A A i j i j ==≠r r }，在M 中任取两个元素m u r 、n r ，则0

m n ⋅=u r r 的概率为______

二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)

13. 已知l 是平面α的一条斜线，直线m αØ，则( )

A. 存在唯一的一条直线m ，使得l ⊥m

B. 存在无限多条直线m ，使得l ⊥m

C. 存在唯一的一条直线m ，使得l //m

D. 存在无限多条直线m ，使得l //m

14. 设,x y ∈R ，则“2x y +>”是“x 、y 中至少有一个数大于1”的( )

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 既非充分又非必要条件

15. 已知,b c ∈R ，若2x bx c M ++≤对任意的x ∈[0,4]恒成立，则( )

A. M 的最小值为1

B. M 的最小值为2

C. M 的最小值为4

D. M 的最小值为8

16. 已知集合M ={1,2,3,L ,10}，集合A M ⊆，定义()M A 为A 中元素的最小值，当A 取遍M 的所有非空子集时，对应的()M A 的和记为10S ，则10S =( )

A. 45

B. 1012

C. 2036

D. 9217

三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)

17. 如图，圆锥的底面半径OA =2，高PO =6，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线P A 的中点.

(1) 求圆锥的侧面积和体积：

(2) 求异面直线CD 与AB 所成角的大小.

(结果用反三角函数表示)

18. 已知函数2()cos 2sin f x x x x =-.

(1) 求()f x 的最大值：

(2) 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()0f A =，b 、a 、

c 成等差数列，且2AB AC ⋅=u u u r u u u r ,求边a 的长.

19. 汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用,其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间),当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法(如下图所示)将报警时间划分为4段，分别为准备时间0t 、人的反应时间1t 系统反应时间2t 、制动时间3t ，相应的距离分别为0d 、1d 、2d 、3d ，当车速为v (米/秒)，且v ∈[0,33.3]时，通过大数据统计分析得到下表(其中系数k 随地面湿滑成都等路面情况而变化，k ∈[0.5,0.9]).

阶段

0、准备 1、人的反应 2、系统反应 3、制动 时间

0t 10.8t =秒 20.2t =秒 3t 距离 0d =20米 1d 2d 23120d v k

=米 (1) 请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式d (v )，并求0.9k =时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间(精确到0.1秒)；

(2) 若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下?合多少千米/小时?

20. 设抛物线Γ：24y x =的焦点为F ，经过x 轴正半轴上点M (m ,0)的直线l 交Γ于不同的两点A 和B .

(1) 若|F A |=3，求点A 的坐标：

(2) 若m =2，求证：原点O 总在以线段AB 为直径的圆的内部；

(3) 若FA FM =u u u r u u u u r ，且直线1l //l ，1l 与Γ有且只有一个公共点E ，问：△OAE 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出M 点的坐标，若不存在，请说明理由.