成都二诊理科数学
四川省成都市届高三第二次诊断性检测 数学理
高中毕业班第二次诊断性检测 数学〔理工类〕本试卷分选择题和非选择题两局部。
第I 卷〔选择题〕1至2页，第二卷〔非选择题〕3至 4页，共4页，总分值150分，考试时间120分钟。
第I 卷〔选择题，共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的．1．集合A={x|y=24x x -}．B={x||x|≤2)，那么A B=(A)[一2.2] (B)[一2，4] (C)[0,2] (D)[0，4]2．函数f 〔x 〕=2x +x-2的零点所在区间是(A)〔一∞, -1〕 (B)〔一l ，0〕 (C)(0.1) (D)(1，2)3．复数z=31i i+-(其中i 为虚数单位〕的虚部为 (A) -1 (B)一1 (C) 2i (D)24．某几何体的正视图和侧视图均如右图所示，那么该几何体的俯视图不可能为5．将函数f(x)=cos 〔x+6π〕图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得 到函数g(x)的图象，那么函数g(x)的一个减区间是(A)[一6π，3π] (B)[一3π，53π] (C)[一6π，116π] (D)[一12π，512π] 6．某校高三(1)班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[loo ，128]内，将该班所有同学的考试分数分为七组：[100，104〕，[104，108〕，[108,112), [112,116), [116,120), [120,124),[124，128]．绘制出频率分布直方图如下图，已知分数低于112分的有18人，那么分数不低于120分的人数为(A)10 (B)12(C)20 (D)407．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元〔红包中金额相同视为相同的红包〕，那么甲乙两人都抢到红包的情况有(A)36种(B)24种(C)18种(D)9种8．在三棱锥P-ABC中，PA上底面ABC，AB上BC，E，F分别是线段PB,PC上的动点．那么以下说法错误的选项是(A)当AE⊥PB时，△AEF一定为直角三角形(B)当AF⊥PC时，△AEF一定为直角三角形(C)当EF∥平面ABC时，△AEF一定为直角三角形(D)当PC⊥平面AEF时，△AEF 一定为直角三角形9．函数f(x)=3,031,0x xx x⎧≥⎨+<⎩，那么不等式f(f(x))<4f(x)+1的解集是(A)(一3,0) (B)〔一13，1〕(C)(0,2) (D)〔一13，log32)10.抛物线y=x2的焦点为F，经过y轴正半轴上一点N作直线l与抛物线交于A，B两点，且OA OB⋅=2〔O为坐标原点〕，点F关于直线OA的对称点为C，那么四边形OCAB面积的最小值为(A)3 (B) 3(C)23(D) 3 2第二卷〔非选择题，共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．11．双曲线2225x ya-=l的一个焦点坐标为(3，0)，那么该双曲线的离心率为。
成都市高考数学二诊试卷（理科）含答案解析
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15～65的人群中随机调查50人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如表：
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），A，B是圆（x+c）2+y2=4c2与C位于x轴上方的两个交点，且F1A∥F2B，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．若对∀m，n∈R，有g（m+n）=g（m）+g（n）﹣3，求 的最大值与最小值之和是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
A．﹣16 B．﹣6 C． D．6
7．定义运算a*b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则 的值为（ ）
A． B． C．4 D．6
8．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：
①EP⊥AC；
②EP∥BD；
③EP∥面SBD；
④EP⊥面SAC，
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范围．
22．直角坐标系中曲线C的参数方程为 （θ为参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）经过点M（0，1）作直线l交曲线C于A，B两点（A在B上方），且满足|BM|=2|AM|，求直线l的方程．
四川省成都市2023-2024学年高三下学期二诊模拟考试理科数学试题(A)含答案
成都2023-2024年度下期高2024届二诊模拟考试数学试题（理）（A 卷）（答案在最后）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.已知复数11i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的虚部是（）A.12-B.1i2- C.12D.1i 2【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算，结合虚部的定义即可求解.【详解】11i 1i 2z -==+，所以z 的虚部是12-.故选：A2.若集合{}121,2,|A B y y x ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭，则a A ∈是a B ∈的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出值域，得到[)0,B ∞=+，故A 是B 的真子集，得到答案.【详解】由幂函数的性质可知[)0,B ∞=+，则A 是B 的真子集，则a A ∈是a B ∈的充分不必要条件.故选：A3.如图是根据某校高三8位同学的数学月考成绩（单位：分）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生数学月考成绩的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生数学月考成绩的个位数字，则下列结论正确的是（）A.这8位同学数学月考成绩的极差是14B.这8位同学数学月考成绩的中位数是122C.这8位同学数学月考成绩的众数是118D.这8位同学数学月考成绩的平均数是124【答案】B 【解析】【分析】根据一组数据的极差，中位数，众数和平均数定义即可判断或求得.【详解】学生数学成绩从小到大为117,117,118,121,123,125,131,132，对于选项A ，极差是13211715-=，故A 错误；对于选项B ，中位数是1211231222+=，故B 正确；对于选项C ，众数是117，故C 错误；对于选项D ，平均数是1(1172118121123125131132)1238x =⨯++++++=，故D 错误.故选:B.4.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，则这个几何体的体积是（）A.3π2B.5π3C.7π3D.9π2【答案】A 【解析】【分析】由三视图得到几何体的直观图，再求出其体积即可.【详解】由三视图可得几何体的直观图如下所示，几何体由一个圆柱和八分之三个球组成，且圆柱的高为1，底面半径为1，球的半径为1，故这个几何体的体积23433π11π1π382V =⨯⨯+⨯⨯=.故选：A5.已知数列{}n a 为等差数列，且23691010a a a a a ++++=，则48a a +的值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的性质即可得解.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，又23691010a a a a a ++++=，所以6510a =，则62a =，所以48624a a a +==.故选：B.6.若,a b 是正实数，且111324a b a b+=++，则a b +的最小值为（）A.45B.23C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】观察等式分母可知()()()3245a b a b a b +++=+，利用基本不等式中“1”的妙用可得结果.【详解】因为()()()()()1111155324324555324a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤⎡⎤+=+=+++=++++ ⎪⎣⎦⎣⎦++⎝⎭124312434222532453245a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛++++⎛⎫=++≥+⋅= ⎪ ++++⎝⎭⎝，当且仅当31,55a b ==时取等号，所以a b +的最小值为45.故选：A7.当π02x <≤时，关于x 的不等式()()2sin cos23sin 0a x x x x +--≤有解，则a 的最小值是（）A.2B.3C.4D.【答案】A 【解析】【分析】根据sin x x <，将问题转化为2sin cos230a x x +-≥在π02x <≤上有解，利用二倍角公式以及基本不等式即可求解最值求解.【详解】当π02x <≤时，记sin ,cos 10y x x y x '=-=-≤，故函数sin y x x =-在π02x <≤上单调递减，故sin sin 000x x -<-=，故sin x x <，所以2sin cos230a x x +-≥在π02x <≤上有解，由于π02x <≤，所以sin 0x >，所以22sin 3cos222sin a x x x ≥-=+，所以min1sin sin a x x ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭.由1sin 2sin x x+≥，当且仅当π2x =时取等号，所以a 的最小值是2.故选：A8.在2023年成都“世界大学生运动会”期间，组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者分配到,,A B C 三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到A 场馆，则不同分配方案的种数是（）A.48B.36C.24D.12【答案】C 【解析】【分析】分甲单独一人执勤一个场馆和甲和另一个人一起执勤一个场馆两种情况求解即可.【详解】分两种情况：第一种情况，甲单独一人执勤一个场馆，共有12223212C C A =种；第二种情况，甲和另一个人一起执勤一个场馆，共有11232212C C A =种，则共有24种.故选：C9.已知抛物线24y x =，弦AB 过其焦点，分别过弦的端点,A B 的两条切线交于点C ，点C 到直线AB 距离的最小值是（）A.14B.12C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，设出过点过A 处的切线方程与抛物线联立，由Δ0=，得出其斜率，化简点过A 处的切线方程，同理得出点过B 处的切线方程,根据题意得出点C 的坐标，结合点到直线的距离公式可得出答案.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，设过A 处的切线方程是()11y y k x x -=-，联立()11y y k x x -=-，24y x =得2114440y y y x k k-+-=，由题意Δ0=，即221112116164240,20,y y y k k k k y ⎛⎫-+=-== ⎪⎝⎭，则在A 处的切线方程为1122y y x x =+，同理，B 处的切线方程为2222y y x x =+，设交点C 的坐标为00(,)x y ，点00(,)C x y 在两条切线上，所以101022y y x x =+，202022y y x x =+，则直线AB 的方程是0022yy x x =+.又AB 过其焦点(1,0)，易知交点C 的轨迹是=1x -，所以()01,C y -，AB ：022yy x =-，所以交点C 到直线AB的距离是2d ==所以当00y =时距离最小值为2.故选：D10.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，F 为四边形11DCC D 对角线的交点，下列说法：①//EF 平面11BCC B ；②若//EF 平面11ADD A ，则//BC AD ；③若四边形ABCD 矩形，且11EF D C ⊥，则四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱.其中正确说法的个数是（）A.0 B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】根据面面平行的判定定理和性质定理，线面平行的判定定理及性质定理，线面垂直的判定定理及性质定理逐一判断可得结果.【详解】对于①，若//EF 平面11BCC B ，过F 作1//FH CC 交11C D 于其中点H ，连接EH ，FH ⊄平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，所以//FH 平面11BCC B ，又//EF 平面11BCC B ，且FH EF F ⋂=,,EF FH ⊂平面EFH ，所以平面//EFH 平面11BCC B ，又EH ⊂平面EFH ，所以//EH 平面11BCC B ，又EH ⊂平面1111D C B A ，且平面11BCC B 平面111111A B C D B C =，所以//EH 11C B .当11A D 与11C B 不平行时，//EH 11C B 不成立.①是假命题.对于②，同①，//EH 11C B ，则//BC AD .②是真命题.对于③，四边形ABCD 矩形，所以//AD BC .AD ⊄平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，//AD 平面11BCC B ，又11//DD CC ，同理1//DD 平面11BCC B ,且1AD DD D = ,所以平面11AA D D //平面11BCC B ，所以四棱柱1111ABCD A B C D -可看作四边形11AA D D 为上底面，四边形11BCC B 为下底面的四棱柱，过F 作1CC 的平行线交11C D 于点H ，则H 为11C D 的中点，连接EH ，由条件有11EH D C ⊥，又11EF D C ⊥，且EH EF E =I ,则11D C ⊥平面EFH ，则11FH D C ⊥，1//FH DD ，所以111DD D C ⊥，又1111D A D C ⊥，且1111DD D A D = ，所以11D C ⊥平面11ADD A ，则四棱柱1111ADD A BCC B -为直四棱柱.但当上底面11ADD A 变化时，不能确保111DD A D ⊥，即1DD ⊥平面1111D C B A 不一定成立，故③是假命题.故选：B.11.已知函数2()22cos x x f x x x -=+++，若a f =，1e (e )b f =-，1π(π)c f =，则（）A.c b a <<B.a c b <<C.c<a<bD.b<c<a【答案】B 【解析】【分析】先利用函数奇偶性的定义与导数判断()f x 的奇偶性与单调性，再构造函数ln ()xg x x=，利用导数判断得111πe 22πe <<，从而得解.【详解】因为2()22cos x x f x x x -=+++的定义域为R ，又()()()22()22cos 22cos x x x x f x x x x x f x ---=++-+-=+++=，所以()f x 是偶函数，又()(22)ln 2(2sin )x x f x x x -'=-+-，令()2sin h x x x =-，则()2cos 0h x x ='->恒成立，所以()()00h x h >=，即2sin 0x x ->，又22x x y -=-在()0,∞+上单调递增，所以0022220x x y -=->-=，所以()0f x '>在()0,∞+上恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递增，构造函数ln ()x g x x =，则21ln ()xg x x-'=，令()0g x '>，得0e x <<，令()0g x '<，得e x >，所以()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减，所以(4)(π)(e)g g g <<，又ln 2ln 424=，所以ln 2ln 4ln πln e 24πe=<<，所以111πe 22πe <<，所以111πe e (π)(e )(e )f f f f <<=-，所以a c b <<.故选：B.12.若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过右焦点2F 的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，已知l 的斜率为k ，,b k a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，且222AF F B =，160F AB ∠= ，则直线AB 的斜率是（）A. B.C.33D.2【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线定义由余弦定理可求得双曲线离心率3e =，联立2222:194x y C t t -=和直线2:03l x my m ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭方程并利用韦达定理结合222AF F B =可解得m =，可得结果.【详解】设2F B x =，则22,3F A x AB x ==，如下图所示：由双曲线定义，得1122,2AF a x F B a x =+=+；在1AF B △中，由余弦定理，得2221112cos 60BF AF AB AF AB =+- ，即()()()()2222223322a x a x x x a x +=++-+，解得3ax =.在12AF F △中，由余弦定理，得2221212122cos 60F F AF AF AF AF =+- ，即()()()2224222222c a x x x a x =++-+，解得双曲线离心率3e =.令()30a t t =>，则,2c b t ==，所以2222:194x y C t t -=，设直线2:03l x my m ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，联立双曲线和直线l 整理可得()22249160m y t --+=，则212122216,4949t y y y y m m +==--；由222AF F B =，得122y y =-，解得m =，所以AB k =故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用余弦定理求得离心率之后，联立直线和双曲线的方程利用韦达定理由线段比例关系求得其斜率.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知向量a =（1，-2），b =（2，m ），若a ⊥b，则m =______．【答案】1【解析】【分析】根据a b ⊥即可得出0a b ⋅= ，进行数量积的坐标运算即可求出m ．【详解】∵a b ⊥；∴220a b m ⋅=-=r r ，∴1m =，故答案为1．【点睛】本题主要考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题.14.已知实数,x y 满足约束条件04340y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，则32z x y =+的最大值是_________.【答案】3【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，根据线性规划的几何意义，即可求得答案.【详解】作出0 4340 yx yx y≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩满足的可行域如图中阴影部分所示，对于434x y+≤，令01y,x=∴=，则可行域中的点A坐标为(1,0)，作出直线32y x=-并平移，当直线过点(1,0)A时，32z x y=+取到最大值，max31203z=⨯+⨯=，所以32z x y=+的最大值是3，故答案为：315.已知等比数列{}n a的前n项和为n S，若1273nnS x⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，则12na a a取最大值时，n的值为__________．【答案】3【解析】【分析】根据等比数列前n项和及等比中项求出通项公式可得结果.【详解】因为1273nnS x⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，则211221111227,3339a S x a S S x x x⎛⎫==+=-=-=-⎪⎝⎭，323321123327a S S x x x⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由数列{}n a为等比数列，所以0x≠，则2213a a a=，即2212279327x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得27=-x，所以127273nnS⎛⎫=-+⎪⎝⎭，当1n=时，1112727183a S==-⨯+=，当2n ≥时，111111272718333n n n n n n a S S ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，此时当1n =时也符合；所以11183n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，1118,3a q ==，所以23426,2,3a a a ===，当4n ≥时，1n a <，所以12n a a a 取最大值时，n 的值是3.故答案为：3.16.当1x ≥时，恒有221ln e 1e x x x x mx mx+≤----成立，则m 的取值范围是__________.【答案】(],e 2-∞-【解析】【分析】根据函数有意义可得e xm x <在[)1,+∞上恒成立.，进而可得e m <：由221ln e 1e x x x x mx mx+≤----可得()()()()22ln 11ln e e x x x x mx mx +++≤-+-，构造函数可得2e 1x x m x --≤，进而可得e 2m ≤-，从而可得答案.【详解】由题意，得210e x x mx+>-.又210x +>恒成立，所以e 0xmx ->在[)1,+∞上恒成立，即e xm x<在[)1,+∞上恒成立.令()()e 1xg x x x =≥，则()()2e 1x x g x x-'=，当1x ≥时，()0g x '≥，所以()g x 在[)1,+∞上单调递增，所以()min ()1e g x g ==，所以e m <①.由221ln e 1e x x x x mx mx+≤----，得()()()()22ln 1ln e e 1x x x mx mx x +--≤--+，即()()()()22ln 11ln e e xxx x mx mx +++≤-+-.构造函数()ln h x x x =+，则()()21e xh x h mx+≤-因为()ln h x x x =+在()0,∞+上是增函数，所以21e xx mx +≤-，所以2e 1x x m x--≤.令()()2e 11x x f x x x --=≥，则()()()21e 1x x x f x x--'-=.构造函数()'()e 1()e 1xxm x x m x =-+⇒=-,(),0x ∈-∞时'()0m x <，()m x 递减：()0,x ∈+∞时'()0m x >，()m x 递增，所以()(0)0m x m ≥=，即e 1x x ≥+恒成立，所以()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()min ()1e 2f x f ==-，所以e 2m ≤-②.由①②知e 2m ≤-.故答案为：(],e 2-∞-.【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.为了去库存，某商场举行如下促销活动：有两个摸奖箱，A 箱内有1个红球、1个黑球、8个白球，B 箱内有4个红球、4个黑球、2个白球，每次摸奖后放回．消费额满300元有一次A 箱内摸奖机会，消费额满600元有一次B 箱内摸奖机会.每次机会均为从箱子中摸出1个球，中奖规则如下：红球奖50元代金券、黑球奖30元代金券、白球奖10元代金券．（1）某三位顾客各有一次B 箱内摸奖机会，求中奖10元代金券人数ξ的分布列；（2）某顾客消费额为600元，请问：这位顾客如何抽奖所得的代金券期望值较大？【答案】（1）分布列见解析（2）这位顾客选B 箱摸奖1次所得奖金的期望值较大【解析】【分析】（1）由题意可知，三人中中奖人数ξ服从二项分布13,5B ⎛⎫⎪⎝⎭，接下来求出对应的概率，进而列出分布列；（2）由题意可知，可以在A 箱摸奖2次，或者在B 箱内摸奖1次，求出A 箱与B 箱所得奖金的期望值，然后比较大小，进而得出结论.【小问1详解】三位顾客每人一次B 箱内摸奖中10元代金券的概率都为15，中奖10元代金券的人数ξ服从二项分布13,5B ⎛⎫⎪⎝⎭，()030314640C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21314481C 55125P ξ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()22314122C 55125P ξ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭，()333113C 5125P ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭故ξ的分布列为ξ0123P6412548125121251125【小问2详解】可以A 箱摸奖1次所得奖金的期望值为11850301016101010⨯+⨯+⨯=，B 箱摸奖1次所得奖金的期望值为44250301034101010⨯+⨯+⨯=，A 箱摸奖2次所得奖金的期望值为21632⨯=，B 箱摸奖1次所得奖金的期望值为34，所以这位顾客选B 箱摸奖1次所得奖金的期望值较大．18.已知sin (R)cos x m m x =⎧⎪∈⎨=⎪⎩，设()f x λ=.（1）求函数()f x 的对称中心；（2）若ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，()3f A =，且ABC外接圆的半径为3，D 是BC 边的中点，求线段AD 长度的最大值.【答案】（1）π(π,0),Z 6k k -∈（2）2.【解析】【分析】（1）由方程组消元即得()f x 得表达式，运用辅助角公式将其化成正弦型函数，即可求得其对称中心；（2）利用（1）中结论和()3f A =求得角A ，由正弦定理和条件求得边a 长，利用余弦定理和线段中点的向量表达式求得||AD的表达式，最后借助于基本不等式即可求得.【小问1详解】由sin cos x m x =⎧⎪⎨=⎪⎩得π()sin )336f x x x x =+=+.令ππ,Z 6x k k +=∈，解得ππ,Z 6x k k =-∈，所以函数()f x 的对称中心为π(π,0),Z 6k k -∈.【小问2详解】如图，由（1）知23π23())363f A A =+=，()0,πA ∈，∴π3A =，又ABC 外接圆的半径为33，由正弦定理得：213a A =⨯=，∴由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，得221bc b c =+-.又因2AD AB AC =+，则22242cos AD AB AC AB AC A =++⋅ ，即得：222224||2()1AD c b bc c b =++=+- 由222212b c bc b c +=+-≤，解得：222c b +≤，（当且仅当1b c ==时等号成立），故24||3AD ≤ ，即max ||2AD = ，此时，1b c ==.19.如图，棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上靠近1C 的三等分点.（1）求证：1AC 与平面BDE 不垂直；（2）在线段BE 上是否存在一点F 使得平面11B D F ⊥平面BDE ？若存在，请计算BFBE的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）1217【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出1(0,3,2),(3,3,3)DE A C ==--，由它们的数量积不为0即可得证；（2）设BF BE λ=，则[](33,3,2),0,1F λλλ-∈，求出两个平面的法向量（其中一个含参），由平面11B D F ⊥平面BDE 即可得法向量数量积为0，由此即可列方程求解.【小问1详解】以D 为坐标原点建立如图的空间直角坐标系，()()111(3,3,0),(0,0,0),(0,3,2),(3,3,3),(0,0,3),3,0,3,0,3,0B D E B D A C .1(0,3,2),(3,3,3)DE A C ==--，因为1(3,3,3)(0,3,2)30A C DE ⋅=--⋅=≠，所以1AC 与平面BDE 不垂直..【小问2详解】存在点F ，且1217BF BE =.设BF BE λ=，则[](33,3,2),0,1F λλλ-∈.(3,3,0),(0,3,2)DB DE ==，设平面BDE 的法向量为1111(,,)n x y z =，则111111330320n DB x y n DE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令12y =-，得1(2,2,3)n =-.()()1113,3,0,3,0,23B D B F λλ=--=--，设平面11B D F 的法向量为()2222,,n x y z =，则()2112221223303230n B D x y n B F x z λλ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，23z λ=，得2(23,23,3)n λλλ=--+.若平面11B D F ⊥平面BDE ，则120n n ⋅=，即464690λλλ-+-+=，解得1217λ=，[]0,1λ∈.所以在线段BE 上存在一点F 使得平面11B D F 与平面BDE 垂直，且1217BF BE =.20.已知点F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点，过原点的直线交椭圆E 于,A B 两点，△ABF 面，1OF =.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知过点0(4,)P y 的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，是否存在定点P ，使得直线,FM FN 的斜率之和为定值？若存在，求出定点P 的坐标及该定值.若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在，(4,0)P ，0.【解析】【分析】（1）当△ABF 面积的最大时直线与椭圆的交点恰为上下两个顶点，此时可知bc =，根据1c =和222a b c =+即可求解；（2）设出直线l 的方程和直线与椭圆的交点坐标，将直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用韦达定理把FM FN k k +化为含有0y 的式子即可求解.【小问1详解】设(),A A A x y ,(),B B B x y ，∵12ABF AOF BOF A B S S S OF y y bc =+=-≤ (当且仅当,A B 是y 轴与椭圆的交点时取等号)，∴bc =.又∵1c OF ==，∴23b =，2224a b c =+=∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=；【小问2详解】设直线l 的方程为,y kx m =+1122(,),(,),M x y N x y 由0(4,)P y 在直线l 上，得04m y k =-，将直线l 和椭圆方程E 联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得222()4384120k x kmx m +++-=，由()22Δ44812360k m =-+>，得2243k m +>，由根与系数的关系，得122212284341243km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，故直线,FM FN 的斜率之和为()()()12121212121212122211111kx x m k x x my y kx m kx m x x x x x x x x +-+-+++=+=-----++022220062464489364249y k mk m km k y y k ---==++-+--要使上式为定值，则00,y =故(4,0)P ，且0.FM FN k k +=21.已知函数2()f x x ax =-,0.x >（1）是否存在实数a 使得()0f x ≥在区间[],21a a +上恒成立，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由；（2）求函数2()()ln h x f x a x =-在区间(1,e )a 上的零点个数（e 为自然对数的底数）.【答案】（1）存在，a >0；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由已知可得0a >，再利用二次函数单调性即可求解.（2）由已知可得0a >，利用导数求出函数()h x 在(0,)+∞上的最小值，再分段讨论并结合零点存在性定理求解即得.【小问1详解】函数2()f x x ax =-，0x >，由()0f x ≥在区间[],21a a +上恒成立，得0a >，函数()f x 在[],21a a +上单调递增，于是()00f a =≥，因此0a >，所以对任意的0a >都能满足()0f x ≥在区间[],21a a +上恒成立.【小问2详解】由区间(1,e )a ，得e 1a >，则0a >，函数22()ln h x x ax a x =--，0x >，求导得2(2)()()2a x a x a h x x a x x+-'=--=，当0x a <<时，()0h x '<，当x a >时，()0h x '>，则函数()h x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，2min ()()ln h x h a a a ==-，设函数()e (0)a g a a a =->，求导处()e 10a g a '=->，()g a 在(0,)+∞上是增函数，于是()(0)10g a g >=>，即e a a >，①当2ln 0a a ->，即01a <<时，函数()h x 在(1,e )a 上无零点；②当2ln 0a a -=，即1a =时，函数()h x 在(1,)a e 上无零点；③当2ln 0a a -<，即1a >时，1e a a <<，显然(1)10h a =-<，()0h a <，23(e )e e a a a h a a =--，令23()e e ,1x x m x x x x =-->，求导得22()2e e e 3x x x m x x x =---'，令22,1()2e e e 3x x x x x x x ϕ=-->-，求导得2()4e 2e e 6x x x x x x ϕ'=---，令2()4e 2e e 6,1x x x F x x x x =--->，求导得则22()8e 3e e 63e e 1e (2e 3(e 2)0())x x x x x x x x F x x x '=---=-+-+->，则函数()F x 在(1,)+∞上单调递增，2()(1)4e 3e 60F x F >=-->，函数()ϕx 在(1,)+∞上单调递增，2()(1)2e 2e 30x ϕϕ>=-->，于是函数()m x 在(1,)+∞上单调递增，2()(1)e e 10m x m >=-->，因此23(e e e 0(1))a a a h a a a =-->>，即函数()h x 在(1,e )a 上有一个零点，所以当01a <≤时，函数()h x 无零点；当1a >时，函数()h x 有一个零点【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过定点()1,0，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B .（1）若π3α=，求线段AB 中点M 的直角坐标；（2）若(1,0)P ，求PA PB ⋅的最小值.【答案】（1）523(,33（2）4【解析】【分析】（1）根据极坐标与参数方程间的转化得曲线C 的普通方程，再将其与直线的参数方程联立，再利用韦达定理即可得到答案；（2）将直线参数方程代入曲线C 的普通方程，利用韦达定理即可得到其最值.【小问1详解】2sin 4cos ρθθ=两边同乘ρ得()2sin 4cos ρθρθ=，根据sin ,cos y x ρθρθ==得曲线C 的普通方程为24y x =，当π3α=时，直线l的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入24y x =，得238160t t --=设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，则1283t t +=，所以M 对应的参数为12423t t +=，代入参数方程，得点M的直角坐标5(,33.【小问2详解】将直线l 的参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入24y x =，得22sin 4cos 40t t αα--=，∴1224||4sin PA PB t t α⋅=⋅=≥，当且仅当π2α=时取等号，∴PA PB ⋅的最小值为4.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()1f x x =+.（1）求不等式()()217f x f x x +-<+的解集；（2）若对于正实数a ，b ，c ，满足1111a b c ++=，证明:()()9f x a f x b c -+++≥.【答案】（1）{}23x x -<<（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得()()31,1211,1031,0x x f x f x x x x x --<-⎧⎪+-=-+-≤≤⎨⎪+>⎩，分类讨论解不等式即可；（2）由绝对值不等式可得()()f x a f x b c a b c -+++≥++，由基本不等式可得9a b c ++≥，进而分析证明，注意等号成立的条件.【小问1详解】因为()()31,121121,1031,0x x f x f x x x x x x x --<-⎧⎪+-=++=-+-≤≤⎨⎪+>⎩，当1x <-时，可得317x x --<+，解得2<<1x --；当10x -≤≤时，可得17x x -+<+，解得10x -≤≤；当0x >时，可得317x x +<+，解得03x <<；综上所述：不等式()()217f x f x x +-<+的解集是{}23x x -<<.【小问2详解】由绝对值不等式的性质，可得()()()()1111f x a f x b c x a x b c x a x b c a b c -+++=+-++++≥+--+++=++，当且仅当()()110x a x b c +-+++≤取等号.由于正实数a ，b ，c ，满足1111a b c ++=，则()111a a c b c b a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭39b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当3a b c ===时取等号，此时()()()()11270x a x b c x x +-+++=-+≤，即72x -≤≤，所以()()9f x a f x b c -+++≥，当且仅当3a b c ===且72x -≤≤取等号.。
2023_2024学年四川省成都市高三下册二诊模拟数学理科(三)试题(附答案)
2023_2024学年四川省成都市高三下册二诊模拟数学理科（三）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共12小题。
一、本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x |x 2＋2x －3≤0}，B ＝{x |y ＝ln(x ＋2)}，则A ∩B ＝( )A.(－2，－1]B.(－2，3]C.(－2，1]D.[－2，1]2.若复数(b ∈R )的实部与虚部相等，则b 的值为( )1－b i2＋i A.－6B.－3C.3D.63.“m <0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.已知sin α＝，α∈，则cos的值为( )1010A.eq B.eq C.eqD.eq5.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a tan B ＝，b sin A ＝4，则a 的值为( )203A.6B.5C.4D.36.已知函数f (x )＝cos－cos ωx (0<ω<3)的图象过点P，若要得到一个偶函数的图象，3则需将函数f (x )的图象( )A.向左平移个单位长度2π3B.向右平移个单位长度2π3C.向左平移个单位长度π3D.向右平移个单位长度π37.已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，||＝2，＝＋，若M 是线1323段AB 的中点，则·的值为( )A.eqB.2C.2D.338.如图为某几何体的三视图(图中网格纸上每个小正方形边长为1)，则该几何体的体积等于( )A.π＋12B.π＋4C.eq π＋12D.eq π＋19.点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的表面积为( )A.7πB.14πC.eq πD.eq10.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＋f (x )＝0，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则下列不等式正确的是( )A.f(log 27)<f (－5)<f (6)B.f(log 27)<f (6)<f (－5)C.f(－5)<f (log 27)<f (6)D.f(－5)<f (6)<f (log 27)11.已知点A 是抛物线x 2＝4y 的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足|PA |＝m |PB |，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )A.eq B.eq C.eq ＋1D.eq －112.已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”.若f (x )＝2x －2－1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( )A.eq B.eq C.eqD.eq第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。
2023_2024学年四川省成都市高三二诊数学(理)模拟测试卷(附答案)
2023_2024学年四川省成都市高三二诊数学（理）模拟测试卷一、单选题1．已知集合，则（ ）{}()20|{|2ln 2}3A x x x B x y x =+-≤==+，A B = A ．B ．C ．D ．(2,1]--(2,3]-(2,1]-[2,1]-【正确答案】C【分析】先化简集合然后用交集的定义即可求解,,A B 【详解】因为，{}{}23|1|230A x x x x x =+-≤-≤≤=，()}ln 2|2{}{|B x y x x x ===+>-所以(2,1]A B =- 故选：C2．若复数的实部与虚部相等，则的值为（ ）()1iR 2i b b -∈+b A ．B ．6-3-C ．D ．36【正确答案】B【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据题意得到方程，解得即可.【详解】解：，()()()()()21i 2i 221i1i 2i 2i i 2i 2i 2i 55b b b b b b ----+---+===++-故由题设，解得；221b b -=--3b =-故选：B3．“”是“函数存在零点”的0m <2()log (1)f x m x x =+≥A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【正确答案】A 【详解】显然由于，所以当m<0时，函数f( x)= m+log 2x （x≥1）存在零点;反21,log 0x x ≥≥之不成立，因为当m=0时，函数f(x)也存在零点，其零点为1，故应选A ．4．已知，则的值为sin α=0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 26a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ABCD【正确答案】A【详解】分析：根据同角三角函数关系由，于是可得sinα=cos α=，然后再根据两角和的余弦公式求解即可．sin2,cos 2αα详解：∵，sin α=0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴cos α==∴，3sin22sin cos 25ααα===．224cos 212sin 125αα=-=-⨯=∴1413cos 22sin 262525πααα⎛⎫+=-=-⨯=⎪⎝⎭故选A ．点睛：本题属于给值求值的问题，考查同角三角函数关系、倍角公式、两角和的余弦公式的运用，考查学生的计算能力和公式变形能力．5．的内角所对的边分别为，且，则的值为（ ）ABC ,,A B C ,,a b c 20tan ,sin 43a B b A ==a A ．6B ．5C ．4D ．3【正确答案】B【分析】根据正弦定理可得，再结合同角商数关系，平方关系，最后求得.sin 4a B =a 【详解】由得，又，所以，从而，,sin 4sin sin a b b A A B ==sin 4a B =20tan 3a B =3cos 5B =4sin 5B =所以.5a =故选：B6．已知函数的图象过点，若要得到一个偶函π())cos (03)2f x x x ωωω=--<<π(,0)3P 数的图象，则需将函数的图象()f x A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度2π32π3C ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度π3π3【正确答案】B【详解】函数．由已知，所π()cos 2sin()6f x x x x ωωω-=-πππ()2sin(0336f ω=⨯-=以，解得．因为，所以，，所以πππ()36k k ω-=∈Z 13()2k k Z ω=+∈03ω<<0k =12ω=．令，得（），所以函数的1π()2sin(26f x x =-1πππ()262x k k -=+∈Z 4π2π3x k =+Z k ∈()f x 图象的对称轴为（）．时，对称轴方程为；时，对称轴4π2π3x k =+Z k ∈0k =4π3x =1k =-方程为．要得到一个偶函数的图象，可将该函数的图象向左平移个单位长度，或2π3x =-4π3向右平移个单位长度，故选B ．2π3点睛：本题主要考查了三角函数式的化简以及三角函数图象的变换，属于基础题；变换过程中三点提醒：（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由的图象得到的图象时，需平移的单位数应为，而不是．sin y A x ω=()sin y A ωx φ=+ϕω||ϕ7．已知，是圆上的两个动点，，，若是线段A B 224+=O: x y ||2AB = 1233OC OA OB =+M 的中点，则的值为（ ）.AB OC OM ⋅A B ．C ．2D ．3【正确答案】D【分析】判断出是等边三角形，以为基底表示出，由此求得的值.OAB ∆,OA OB OM OC OM ⋅ 【详解】圆圆心为，半径为，而，所以是等边三角形.由于是线段O ()0,02||2AB =OAB ∆M 的中点，所以.所以AB 1122OM OA OB =+ OC OM ⋅ 12331122OA O O O B A B ⎛⎫=+⋅⎛⎫+ ⎪⎝ ⎪⎭⎝⎭ .22111623OA OA OB OB =+⋅⋅+ 21422cos 603323=+⨯⨯⨯+= 故选：D本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.8．如图为某几何体的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为），则该几何体的体积1等于A ．B ．C ．D ．12π+5123π+4π+543π+【正确答案】A【详解】分析：由题意首先确定该三视图对应的几何体，然后结合几何体的空间结构求解该组合体的体积即可.详解：由三视图可知该几何体是一个组合体，从下到上依次为：长宽高分别为的长方体；半径为的半球；底面半径为，高为的圆锥；2,2,31R =1R =1h =据此可得该几何体的体积为：.3214122311112233V πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+本题选择A 选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．9．点，，，均在同一球面上，且，，两两垂直，且，，A B C D AB AC AD 1AB =2AC =，则该球的表面积为3AD =A ．B ．C ．D 7π14π72π【正确答案】B【分析】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，A BCD -对角线的长为球的直径，然后解答即可．【详解】解：三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，A BCD -它也外接于球，对角线的长为球的直径，d =外接球的表面积是2414ππ=故选：B ．10．已知定义在R 上的奇函数满足，且当时，()f x ()()20f x f x +=+[0,1]x ∈，则下列不等式正确的是()21=log ()f x x +A ．B ．()()2log 756()f f f -<<()()2log 7()65f f f -<<C ．D ．()()25log (76)f f f <<-()()256o )l g 7(f f f -<<【正确答案】C【分析】先通过已知条件推出函数的最小正周期，然后利用函数的性质计算或估4T =()f x 计、、的值或范围即可比较大小.()2log 7f ()6f (5)f -【详解】由，得，所以，的周期.()()++2=0f x f x ()()=+2f x f x -()+4()f x f x =()f x 4T =又，且有，()()f x f x -=-()()20=0=f f -所以，.()()2551log 2==1()==f f f -----()()620f f ==又，所以，即，22log 73<<20log 721<-<270log 14<<因为时，，[0,1]x ∈()2()[]log 10,1f x x +∈=所以()222log 7log 727()(log )4f f f =--=-222277log (log 1)log (log )42=-+=-又，所以，所以，271log 22<<2270log (log 12<<2271log (log 02-<-<所以.2(5)(log 7)(6)f f f -<<故选：C.本题主要考查根据已知条件推导抽象函数的周期性并利用函数的奇偶性、周期性等性质，再结合函数在指定区间的解析式比较函数值的大小问题，试题综合性强11．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上A 24x y =B P 且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的||||PA m PB =m P ,A B 离心率为（ ）A B C D 11【正确答案】C【分析】首先利用两点间距离表示，再结合基本不等式求最值，并且求得点的坐标，根2m P 据双曲线上的点和焦点坐标，即可求得双曲线的离心率.【详解】设，，，则(,),0P x y y ≥()0,1A -()0,1B()()222222222222(1)4(1)4(1)4112(1)(1)141PA x y y y y y y m PB y y x y y y ++++++=====+≤=+++-+-，当且仅当时取等号，此时, ，1y =()2,1P ±22c =所以.1c e a ===故选：C12．已知，，若存在，，使得，{|()0}M f αα=={|()0}N g ββ==M α∈N β∈||n αβ-<则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“度零点函数”，()f x ()g x n 2()21x f x -=-2()e xg x x a =-1则实数的取值范围为a A ．B ．C ．D ．214(,]e e214(,]e e 242[,e e3242[,e e【正确答案】B【详解】易知函数在上单调递增，且，所以函数只有一个零点()f x R 22(2)210f -=-=()f x 2，故.由题意知，即，由题意，函数在内存在零点，由{2}M =|2|1β-<13β<<()g x (1,3)，得，所以，记，则2()e 0x g x x a =-=2e x a x =2e xx a =2()((1,3))e x x h x x =∈，所以当时，，函数单调递增；222e e (2)()((1,3))(e )e x x x xx x x x h x x --==∈'(1,2)x ∈()0h x '>()h x 当时，，函数单调递减.所以.而，(2,3)x ∈()0h x '<()h x 24()(2)e h x h ≤=1(1)e h =，所以，所以的取值范围为.故选B.391(3)e e h =>214()(2)e e h x h <≤=a 214(,]e e 点睛：本题通过新定义满足“度零点函数”考查函数在给定区间内的零点问题，属于难题，遇1到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，将函数零点问题转化为，即求函2exx a =数的值域问题，通过导数得单调性，得值域.二、填空题13．已知向量满足，则的夹角等于,a b ()cos2018,sin2018,2a a b =+=,a b __________.【正确答案】π3【分析】将两边平方可得，然后利用夹角公式即可求得答案a +1a b ⋅= 【详解】由条件知1,2,a b a b ===+= 则所以，222||27,a b a b a b +=++⋅= 1a b ⋅= 故1cos ,,2a b a b a b ⋅==因为所以0,π,a b ≤≤,3a b π=故π314．若的展开式中的系数为,则常数项为________.()()512x a x ++3x 20【正确答案】14-根据二项展开式的通项公式,写出的系数列方程求出的值,即可求得答案.3x a 【详解】的展开式中的系数为:()()512x a x ++3x 2233552220C a C ⋅+⋅⋅=∴408020a +=解得:14a =-∴()()()55112124x a x x x ⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭=的二项式展开通项公式为:()512x +()5152rrr T C x -+=的常数项为:.∴()51124x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()550544211x C --=-故答案为:.14-本题主要考查了展开式中的常数项,解题关键是掌握二项式通项公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.15．点M 是双曲线渐近线上一点，若以M 为圆心的圆与圆C ：x 2+y 2-4x +3=0相切，2214y x -=则圆M 的半径的最小值等于________.1【分析】先得到渐近线方程，再根据圆M 的半径最小，得到圆M 与圆C 外切，且直线MC 与直线2x -y =0垂直.此时圆M 的半径的最小值r min =|MC |min -R ，从而可解.【详解】不妨设点M 是渐近线2x -y =0上一点.∵圆C ：x 2+y 2-4x +3=0的标准方程为，()2221x y -+=∴圆心C （2，0），半径R =1.若圆M 的半径最小，则圆M 与圆C 外切，且直线MC 与直线2x -y =0垂直.因此圆M 的半径的最小值r min =|MC |min -R .由于，故.min ||MC =min 1r -116．如图所示，在圆内接四边形中，，，，，则四边形ABCD 6AB =3BC =4CD =5AD =的面积为_____________．ABCD【正确答案】【分析】利用余弦定理可求，解得，结合范围0＜C ＜π，利用同角三22477BD =3cos 7C =-角函数基本关系式可求sin C ，利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】如图所示，连接，因为为圆内接四边形，BD ABCD所以180°，则，利用余弦定理得，A C +=cos cos A C =-22265cos 265BD A +-=⨯⨯，解得，所以．22234cos 234BD C -+=⨯⨯22477BD =3cos 7C =-由，得22sin cos 1C C +=sin C因为，所以，180A C +=︒sin sin A C ==．11563422ABD BCD ABCD S S S =+=⨯⨯⨯⨯= 四边形故答案为.本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．三、解答题17．已知等比数列的前项和为， ，， 是，{}n a n n S 12a =()*0n a n N >∈66S a +44S a +的等差中项.55S a +（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，数列的前项和为，求.1212log n n b a -=12n n b b+⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T n T 【正确答案】(1) .212n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭(2).221n nT n =--【分析】（1）由是，的等差中项，推出，再根据数列是等比66S a +44S a +55S a +644a a ={}n a 数列，即可求得公比，从而可得数列的通项公式；（2）根据（1）可得数列的通项{}n a {}n b 公式，进而可得数列的通项公式，再根据裂项相消法求和，即可求得.12n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 【详解】（1）∵是，的等差中项，66S a +44S a +55S a +∴()6644552S a S a S a+=+++∴，66445566S a S a S a S a +--=+--化简得，，644a a =设等比数列的公比为，则，{}n a q 26414a q a ==∵，∴，∴，()*0n a n N>∈0q >12q =∴.1211222n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）得.2n-31211221log log ()232n n b a n -===-设.()()1221123212321n n n C b b n n n n +===-----∴121111111112111133523212121n n n T C C C n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.：本题主要考查求等比数列的通项公式以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（3）；（4）1k=()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18．某高中学校对全体学生进行体育达标测试，每人测试A ，B 两个项目，每个项目满分均为60分.从全体学生中随机抽取了100人，分别统计他们A ，B 两个项目的测试成绩，得到A 项目测试成绩的频率分布直方图和B 项目测试成绩的频数分布表如下：B 项目测试成绩频数分布表分数区间频数[0,10)2[10,20)3[20,30)5[30,40)15[40,50)40[50,60]35将学生的成绩划分为三个等级，如下表：分数[0,30)[30,50)[50,60]等级一般良好优秀(1)在抽取的100人中，求A 项目等级为优秀的人数；(2)已知A 项目等级为优秀的学生中女生有14人，A 项目等级为一般或良好的学生中女生有34人，试完成下列2×2列联表，并分析是否有95%以上的把握认为“A 项目等级为优秀”与性别有关？优秀一般或良好总计男生女生总计(3)将样本的概率作为总体的概率，并假设A 项目和B 项目测试成绩互不影响，现从该校学生中随机抽取1人进行调查，试估计其A 项目等级比B 项目等级高的概率.参考数据：P (K 2≥k 0)0.100.0500.0250.0100.001k 02.7063.8415.0246.63510.828参考公式K 2＝，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -++++【正确答案】（1）40；（2）详见解析；（3）0.3.（1）根据A 项目测试成绩频率分布直方图，计算出A 项目等级为优秀的频率，由此计算出A 项目等级为优秀的人数.（2）填写好列联表，计算出的值，由此判断有95%以上的把握认为“A 项目等级为优22⨯2K 秀”与性别有关.（3）根据相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】(1)由A 项目测试成绩频率分布直方图，得A 项目等级为优秀的频率为0.04×10＝0.4，所以A 项目等级为优秀的人数为0.4×100＝40.(2)由(1)知A 项目等级为优秀的学生中，女生数为14人，男生数为26人.A 项目等级为一般或良好的学生中，女生数为34人，男生数为26人.作出如下2×2列联表：优秀一般或良好总计男生262652女生143448总计4060100则K 2＝≈4.514.1002634261440604852⨯⨯-⨯⨯⨯⨯由于4.514＞3.841，所以有95%以上的把握认为“A 项目等级为优秀”与性别有关.(3)设“A 项目等级比B 项目等级高”为事件C .记“A 项目等级为良好”为事件A 1，“A 项目等级为优秀”为事件A 2，“B 项目等级为一般”为事件B 0，“B 项目等级为良好”为事件B 1.于是P (A 1)＝(0.02＋0.02)×10＝0.4，P (A 2)＝0.4.由频率估计概率得P (B 0)＝＝0.1，P (B 1)＝＝0.55.235100++1540100+因为事件Ai 与Bj 相互独立，其中i ＝1,2，j ＝0,1，所以P (C )＝P (A 1B 0＋A 2B 0＋A 2B 1)＝0.4×0.1＋0.4×0.1＋0.4×0.55＝0.3.所以随机抽取一名学生，其A 项目等级比B 项目等级高的概率为0.3.本小题主要考查根据频率分布直方图计算频数，考查列联表独立性检验，考查相互独立22⨯事件概率乘法公式，考查数据分析与处理能力，属于中档题.19．在斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）中，侧面底面，底面111ABC A B C -11AA C C ⊥ABC 是边长为2的正三角形，，.ABC 11A A A C =11⊥A A AC（1）求证：；111A C B C ⊥（2）求二面角的正弦值.111B A C C --【正确答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）取的中点，连接，，通过证明，，证得11A C D 1B D CD 11⊥CD A C 111B D A C ^平面，由此证得.11A C ⊥1B CD 111A C B C⊥（2）解法一：利用几何法作出二面角的平面角，解三角形求得二面角的正切值，再求得其正弦值.解法二：建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦11A B C 11A C C 值，再求得其正弦值.【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，，11A C D 1B D CD ∵，111==C C A A A C ∴，11⊥CD A C ∵底面是边长为2的正三角形，ABC ∴，，2AB BC ==11112A B B C ==∴，又，111B D A C ^1⋂=B D CD D ∴平面，且平面，11A C ⊥1B CD 1B C 1B CD ∴.111A C B C ⊥（2）解法一：如上图，过点作于点，连接.D 1DE A C ⊥E 1B E ∵侧面底面，11AA C C ⊥ABC ∴侧面平面，又，侧面平面，11AA C C ⊥111A B C 111B D A C ^11AA C C 11111A B C A C =∴侧面，又平面，1B D ⊥11AA C C 1A C 11AA C C ∴，又且，11B D A C ⊥1DE A C ⊥1⋂=B D DE D ∴平面，∴，1A C ⊥1B DE11⊥B E AC ∴为所求二面角的平面角，1∠B ED ∵，∴，1111112A B B C A C ===1B D =又∴，112==EDCC 11tan ∠===B DB ED ED∴二面角.111B A C C --法二：如图，取的中点，以为坐标原点，射线，，分别为，，轴的AC O O OB OC1OA x y z 正方向建立空间直角坐标系，则，(0,0,0)O ，，，，B 1(0,0,1)A 11,1)-B 1(0,2,1)-C (0,-1,0)C ∴，，111,0)A B =-1(0,1,1)AC =-- 设为平面的法向量，(,,)m xy z =11A B C ∴，11100m A B y m A C y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩令，得，y= m 又为平面的一个法向量，n =11A C C 设二面角的大小为，显然为锐角，111B A C C --θθcos cos ,m θ=〈则∴二面角.sin θ==111B A C C --本小题主要考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．已知抛物线和圆的公共弦过抛物线的焦点，且弦长为22(0)x py p =>222(0)x y r r +=>F 4.(1)求抛物线和圆的方程；(2)过点的直线与抛物线相交于两点，抛物线在点处的切线与轴的交点为，求F ,A B A x M 面积的最小值.ABM △【正确答案】(1)225x y +=【分析】（1）由题意可知，求得的值，得到抛物线的方程，进而求得圆的方程. p （2）设直线的方程为：，联立方程组，求的及，利用导数求得切l =+1y kx 1212,x x x x +||AB 线方程，得到，利用点到直线的距离公式，求的距离，表示出面积的表达式，利用导数，M 研究函数的单调性和最值，即可得到结论.【详解】（1）由题意可知，为公共弦长，且,，则EP =4EP (0,)2pF (,2p P p 所以，则，故抛物线的方程为.=2=4EP p =2p 24x y =又，所以， 所以圆的方程为.22222p p OF r ⎛⎫+== ⎪⎝⎭25r =225x y +=（2）,设直线的方程为：，并设，(0,1)F l =+1y kx ()()1122,,,A x y B x y 联立，消可得，.2=4=+1x y y kx ⎧⎨⎩y 2440x kx --=所以,12124,4x x k x x +==-.()241k =+由于，则，所以在点的切线的斜率为，切线为，214y x =2x y '=A 12x ()1112x y y x x -=-令，可得，， 所以点到直线的距离=0y 1,02x M ⎛⎫ ⎪⎝⎭M ABd故，(21141222ABM S AB d k =⋅=⨯++ 又，代入上式并整理可得：21111144y x k x x --==，令，可得为偶函数，()22114116ABM x S x +=()()224x f x x+=()f x 当时，，0x >()()2234168x f x x x xx +==++，令，可得()()()222224341638x x f x x x x +-=+'-=()=0f x 'x =当，，单调递减，当，，单调递增，x ⎛∈ ⎝()0f x '<()f x x ∞⎫∈+⎪⎭()0f x '>()f x 所以，因此当的最小值为x =()f x 1x =ABM S .116=本题主要考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，利用题设条件确定圆锥曲线方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，利用函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21．已知函数，且.()()()ln ,g x ax a x f x xg x =--=()0g x ≥(1)求实数的值；a (2)证明：存在，且时，.0x ()00f x '=00101x x <<<<，()()0f x f x ≤【正确答案】(1)1(2)证明见解析【分析】（1）要使，即，对求导，得到的单调性和最值，即可()0g x ≥()min 0g x ≥()g x ()g x 求出实数a 的值；（2）对求导，则，设，再对求导，利用导数()f x ()22ln f x x x'=--()22ln h x x x=--()h x 性质推导出是在的唯一极大值点，即可证明.0x x =()f x ()0,1【详解】（1）显然的定义域为，且.()g x ()0,∞+()1,0g x a x x '=->因为，且，故只需.()0g x ≥()10g =()10g '=又，则，∴.()11g a '=-10a -=1a =若，则.显然当时，，此时在上单调递减；1a =()11g x x '=-01x <<()0g x '<()g x ()0,1当，，此时在（1，+∞）上单调递增.1x >()0g x '>()g x 所以是的唯一极小值点，1x =()g x 故.综上，所求的值为1.()()10g x g ≥=a （2）由（1）知.()()2ln ,22ln f x x x x x f x x x=-'--=-设，则()22ln h x x x=--()12h x x'=-当时，；10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x '<当时，，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0h x '>所以在上单调递减，()h x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭在上单调递增.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()()21e 0,0,10,2h h h -⎛⎫><= ⎪⎝⎭又所以在有唯一零点，在上有唯一零点1，()h x 10,2⎛⎤ ⎝⎦0x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭且当时，；当时；()00,x x ∈()0h x >()0,1x x ∈()0h x <因为，所以是的唯一极大值点.()()f x h x '=0x x =()f x 即是在的最大值点，所以成立.0x x =()f x ()0,1()()0f x f x ≤22．在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点，xOy 1:0l x =()(22:111C x y -+-=轴的正半轴为极轴建立极坐标系.x (1)求的极坐标方程；1,l C (2)若直线的极坐标方程为，设与的公共点分别为，求的面积.2l()πR 4θρ=∈12,l l C ,A B OAB 【正确答案】(1)答案见解析；(2)1+【分析】（1）由公式法求出的极坐标方程；1,l C（2）、代入)=0求得、ρ2，由此能求π2θ=π4θ=(22cos 21sin ρρθρθ--1ρ出△OAB 的面积．【详解】（1）∵，cos ,sin x y ρθρθ==∴的极坐标方程为，即，1lcos 0ρθ=()πR 2θρ=∈的极坐标方程为.C (22cos 21sin 30ρρθρθ--++=（2）将代入，π2θ=(22cos 21sin 30ρρθρθ--++=得，解得(22130ρρ-+++=11ρ=+将代入，π4θ=(22cos 21sin 30ρρθρθ--++=得，解得(22130ρρ-+++=21ρ=故△OAB 的面积为.(21π1sin 124⨯⨯=23．已知.()11f x x ax =+--（1）当时，求不等式的解集；=1a ()1f x >（2）若时不等式成立，求的取值范围.()0,1x ∈()f x x>a 【正确答案】（1）；（2）．1>2x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭(]0,2【分析】（1）方法一：将代入函数解析式，求得，利用零点分段法将=1a ()11f x x x =+--解析式化为，分类讨论即可求得不等式的解集；()2,1,=2,1<<1,2, 1.x f x x x x -≤--≥⎧⎪⎨⎪⎩（2）方法一：根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可()0,1x ∈()f x x>以化为时，分情况讨论即可求得结果.()0,1x ∈11ax -<【详解】（1）［方法一］：【通性通法】零点分段法当时，，即，所以不等式等价于=1a ()11f x x x =+--()2,1=2,1<<12,1x f x x x x -≤--≥⎧⎪⎨⎪⎩()1f x >或或，解得：．12>1x ≤--⎧⎨⎩1<<12>1x x -⎧⎨⎩12>1x ≥⎧⎨⎩12x >故不等式的解集为．()1f x >1>2x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭［方法二］：【最优解】数形结合法如图，当时，不等式即为．=1a ()1f x >|1||1|1x x +-->由绝对值的几何意义可知，表示x 轴上的点到对应的点的距离减去到1对应|1||1|x x +--1-点的距离．结合数轴可知，当时，，当时，1=2x |1||1|1x x +--=12x >．故不等式的解集为．|1||1|1x x +-->()1f x >1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）［方法一］：【通性通法】分类讨论当时，成立等价于当时，成立．()0,1x ∈11x ax x +-->()0,1x ∈11ax -<若，则当时，；0a ≤()0,1x ∈111ax ax -=-≥若，由得，，解得：，所以，故．0a >11ax -<111ax -<-<20x a <<21a ≥02a <≤综上，的取值范围为．a (]0,2［方法二］：平方法当时，不等式成立，等价于时，成立，即(0,1)x ∈|1||1|x ax x +-->(0,1)x ∈11ax -<成立，整理得．2211ax -<(2)0ax ax -<当时，不等式不成立；=0a 当时，，不等式解集为空集；0a <(2)0ax ax ->当时，原不等式等价于，解得．0a >220a x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭20x a <<由，解得．故a 的取值范围为．>021a a ≥⎧⎪⎨⎪⎩02a <≤(0,2]［方法三］：【最优解】分离参数法当时，不等式成立，等价于时，成立，(0,1)x ∈|1||1|x ax x +-->(0,1)x ∈|1|1ax -<即，解得：，而，所以．故a 的取值范围为．111ax -<-<20a x <<22x >02a <≤(0,2]【整体点评】（1）方法一：利用零点分段法是解决含有两个以及以上绝对值不等式的常用解法，是通性通法；方法二：利用绝对值的几何意义解决特殊类型的绝对值不等式，直观简洁，是该题的最优解．（2）方法一：分类讨论解出绝对值不等式，利用是不等式解集的子集求出，是通性通()0,1法；方法二：本题将绝对值不等式平方，转化为解含参的不等式，利用是不等式解集的子集()0,1求出，虽可解出，但是增加了题目的难度；方法三：利用分离参数，将不等式问题转化为恒成立最值问题，思想简单常见，是该题的最优解．。
四川省成都市2023届高三二诊复习理科数学试题(三)含答案
成都高2023届二诊复习卷（三）（答案在最后）数学试题（理科）一、单选题1．已知集合{}{}3|11,,log 1A y y x x B xx ==--∈=R ∣ ，则R A B = ð（）A ．{}1x x -∣B ．{3}x x <∣C ．{}13x x -∣D ．{13}xx -<∣ 2．若复数z 满足||2,3z z z z -=⋅=，则2z 的实部为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．已知函数()y f x =的图像在点()()33P f ,处的切线方程是27y x =-+，则()()33f f '-=（）A ．2-B ．2C ．3-D ．34．命题p ：“2R,240x ax ax ∃∈+-≥”为假命题，则a 的取值范围是（）A ．40a -<£B ．40a -≤<C ．30a -≤≤D ．40a -≤≤5．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长1与太阳天顶距()0180θθ︒≤≤︒的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=．对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为,αβ，且1tan()3αβ-=，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的（）A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,0O ，点()0,8A ，点M 满足5MA MO =，又点M 在曲线224y x x =-++上，则MO=（）A ．5B ．22C ．25D ．107．若2021log 2022a =，2022log 2023b =，20222021c =，20232022d =，则a ，b ，c ，d 中最大的是（）A ．a B ．b C ．c D ．d8．十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式357sin 3!5!7!=-+-++ x x x x x ()()211121!n n x n ---+- ，(其中x R ∈，*n ∈N ，n !=1×2×3×…×n ，0!=1)，现用上述公式求()()11111112!4!6!22!n n --+-++-+- 的值，下列选项中与该值最接近的是（）A ．sin30 B ．sin33C ．sin36D ．sin399．621x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，42x y 的系数为（）A ．60B ．60-C ．120D ．120-10．如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，将△AED ，△EBF ，△FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使A ，B ，C 三点重合于点A ′，若四面体A ′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（）A ．2B ．62C ．112D ．5211．若双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的一条渐近线被圆()2224x y ++=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．233B ．2C ．3D ．212．已知2π3是函数()()()sin 20πf x x ϕϕ=+<<的一个零点，则下列选项不正确的为（）A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭只有一个极值点C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D ．直线y x =是曲线()y f x =的切线二、填空题13．已知在A B C 中，角,,A B C 所对边分别为a b c ，，，满足2cos 2b A a c +=，且b =，则2a c -的取值范围为______.14．已知边长为2的菱形A B C D 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足22,3BE EC AE BD =⋅=- ，则AF EF ⋅ 的最小值为______.15．如图，多面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，DE ⊥平面ABCD ，CF ∥DE ，且AB=DE=2，CF=1，G 为棱BC 的中点，H 为棱DE 上的动点，有下列结论：①当H 为DE 的中点时，GH ∥平面ABE ；②存在点H ，使得GH ⊥AE ；③三棱锥B −GHF 的体积为定值；④三棱锥E −BCF 的外接球的表面积为14π．其中正确的结论序号为________．（填写所有正确结论的序号）16．在数列{}n a 中给定1a ，且函数()()311sin 213n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一的零点，函数()()()8sin πcos πg x x x x =+-且()()()12918g a g a g a ++⋅⋅⋅+=.则5a =______.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前三项的和为－9，前三项的积为－15.（1）求等差数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 为递增数列，求数列{}n a 的前n 项和Sn .18．三棱台111ABC A B C -的底面是正三角形，1AA ⊥平面A B C ，4AB =，112A B =，1AA =E 是AB 的中点，平面11A C E 交平面A B C 于直线l ．(1)求证：AC l ∥；(2)求直线1B C 与平面11A C E 所成角的正弦值．19．2020年以来，新冠疫情对商品线下零售影响很大．某商家决定借助线上平台开展销售活动．现有甲、乙两个平台供选择，且当每件商品的售价为(300500)≤≤a a 元时，从该商品在两个平台所有销售数据中各随机抽取100天的日销售量统计如下，商品日销售量（单位：件）678910甲平台的天数1426262410乙平台的天数1025352010假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日销售量的频率相等，且每天的销售量互不影响，(1)求“甲平台日销售量不低于8件”的概率，并计算“从甲平台所有销售数据．．．．．．中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”的概率；(2)已知甲平台的收费方案为：每天佣金60元，且每销售一件商品，平台收费30元；乙平台的收费方案为：每天不收取佣金，但采用分段收费，即每天销售商品不超过8件的部分，每件收费40元，超过8件的部分，每件收费35元．某商家决定在两个平台中选择一个长期合作，从日销售收入（单价×日销售量-平台费用）的期望值较大的角度，你认为该商家应如何决策？说明理由．20．如图所示，已知椭圆22:163x y C +=与直线:163x y l +=．点P 在直线l 上，由点P 引椭圆C 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，O 是坐标原点．(1)若点P 为直线l 与y 轴的交点，求PAB 的面积S ；(2)若OD AB ⊥，D 为垂足，求证：存在定点Q ，使得DQ 为定值.21．已知函数2()e ,2xmx f x m =-∈R .(1)讨论()f x 极值点的个数；(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明:()()122e f x f x m +<-.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为22114t x ty ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩0t >，t 为参数）．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线:10l x y --=与x 轴的交点为F ，且曲线C 与直线l 交于A 、B 两点，求||||FA FB ⋅的值．23．已知()|1||3|f x x x =-+-．(1)求()3f x ≤的解集；(2)已知2(2)1()a x f x -+≥在[3,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案：1．D【分析】由题意可得{|1}A y y =≥-，{|3}B x x =≥，R {|3}B x x =<ð，再根据交集的定义求解即可.【详解】解：因为{}|11,{|1}A y y x x y y ==--∈=≥-R ，{}3log 1{|3}B x x x x =≥=≥∣，所以{|3}B x x =<R ð，所以(){|1}{|3}{|13}A B x x x x x x ⋂=≥-⋂<=-≤<R ð.故选：D.2．C【分析】设复数i,(,R)z x y x y =+∈，则i z x y =-,故根据||2,3z z z z -=⋅=可求得222,1x y ==，结合复数的乘方运算，可求得答案.【详解】设复数i,(,R)z x y x y =+∈，则i z x y =-，则由||2,3z z z z -=⋅=可得|2i|2y =且223x y +=，解得222,1x y ==，故2222(i)2i x y x y x z y =+=-+，其实部为22211x y -=-=.故选：C.3．D【分析】利用导数的几何意义求出()3f 和()3f '，即可求得.【详解】函数()f x 的图像在点()()33P f ,处的切线的斜率就是在该点处的导数，即()3f '就是切线27y x =-+的斜率，所以()32f '=-.又()32371f =-⨯+=，所以()()()33123f f -=--='.故选：D 4．A【分析】存在命题为假命题，则其否定是全称命题且为真命题，写出命题的否定，由不等式的性质可得结论．【详解】命题2:R,240p x ax ax ∃∈+-≥为假命题，即命题2:R,240p x ax ax ⌝∀∈+-<为真命题.首先，0a =时，4<0-恒成立，符合题意；其次0a ≠时，则a <0且2(2)160a a ∆=+<，即40a -<<，综上可知，－4<0a ≤故选：A 5．B【分析】根据给定条件，可得tan 1β=，再利用和角的正切公式计算作答.【详解】依题意，tan 1β=，则11tan()tan 3tan tan[()]211tan()tan 13αββααββαββ+-+=-+===--⋅-，所以第一次的“晷影长”是“表高”的2倍.故选：B 6．B【分析】先判断出点M 两个圆的公共点，求出()2,2M ，进而求出M O .【详解】设(),M x y .因为点()0,0O ，点()0,8A，且MA MO ，=，整理化简得：()22220x y ++=.而点M 在曲线y上，方程y 平方后，整理为一个圆()2215x y-+=，所以曲线y ()2215x y -+=在x 轴上方部分.则两个圆的公共弦为两圆的方程相减，整理得：260x y +-=.所以(),Mx y 满足260y x y ⎧⎪=⎨+-=⎪⎩22y x =⎧⎨=⎩.即()2,2M .所以MO ==故选：B 7．C【分析】先将a ，b ，c ，d 变换为：202111log 12021a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，202211log 12022b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，20221120212021c ==+，20231120222022d ==+，得到c d >，构造函数()()2022log 1g x x x =-+，()()2021log 1x x x ϕ=-+，()0,1x ∈，结合导数和作差法得到d b >，c a >，从而得出a ，b ，c ，d 中最大值.【详解】因为20212021202120221log 2022log 20211log 120212021a ⎛⎫⎛⎫==⨯=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20222022202220231log 2023log 20221log 120222022b ⎛⎫⎛⎫==⨯=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20221120212021c ==+，20231120222022d ==+，所以c d >；20222022111111log 1log 12022202220222022d b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，设()()2022log 1g x x x =-+，()0,1x ∈，则()()111ln 2022g x x '=-+，当01x <<时，()0g x '>，所以()g x 在()0,1上单调递增，则()102022g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即202211log 1020222022⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，所以0d b ->，即d b >；20212021111111log 1log 12021202120212021c a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，设()()2021log 1x x x ϕ=-+，()0,1x ∈，则()()111ln 2021x x ϕ'=-+，当01x <<时，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()0,1上单调递增，则()102021ϕϕ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即202111log 1020212021⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，所以0c a ->，即c a >；综上：c d b >>，c a >，即a ，b ，c ，d 中最大的是c .故选：C.8．B【分析】求出(sin )'x 后代入1x =得cos1=sin 12π⎛⎫- ⎪⎝⎭可得答案，即18090π︒⎛⎫- ⎪⎝⎭ 与33 最接近.【详解】()()246221'(sin )cos 112!4!6!22!n n x x x x x x n --==-+-++-+- 所以cos1=111111(1)2!4!6!(22)!n n --+-++-+- =sin 12π⎛⎫- ⎪⎝⎭=sin 18090π⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，由于18090π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 与33最接近，故选：B 9．A【分析】设621x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的通项为6162C ()rr r T x y -+=-，设62()r x y --的通项为()6162C kk r k kk r S xy ---+-=-,即得解.【详解】解：设621x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的通项为6162C ()rr r T x y -+=-，设62()r x y --的通项为()661662C 2C kk k r k k r k kk r r S x x y y -----+--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令2,64,2,0.k r k k r =--=∴==所以42x y的系数为02266C (2)C 60-=.故选：A 10．B【分析】把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径．【详解】易知四面体A EFD '的三条侧棱,,A E A F A D '''两两垂直，且1,1,2A E A F A D '''===，把四面体A EFD '补成从顶点A ′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A EFD '的外接球，球的半径为,2R =故选：B.【点睛】本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查空间想象能力．11．D【解析】由双曲线的方程可得一条渐近线方程，根据圆的方程得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a,b 的关系，即可求解.【详解】不妨设双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的一条渐近线为0bx ay -=，圆()2224x y ++=的圆心为()2,0-，半径2r =，则圆心到渐近线的距离为2b d c==所以弦长2=，化简得：2243b c =，即()22243c a c -=，解得2c a =所以2ce a==.故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，圆的标准方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题型.12．ABD【分析】先利用函数的零点解出ϕ，再根据整体代换思想结合正弦函数的图象和性质判断ABC ，利用导数的几何意义判断D.【详解】由题意得2π4πsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以4ππ3k ϕ+=，Z k ∈，即4π3k πϕ=-+，Z k ∈，又0πϕ<<，所以2k =时，2π3ϕ=，故()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，选项A ：当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2π2π3π2,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象可得()y f x =在50,12π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，正确；选项B ：当11,1212x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2ππ5π2,322x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象可得()y f x =只有1个极值点，由2π3π232x +=，解得512x π=，即512x π=为函数的唯一极值点，正确；选项C ，当7π6x =时，2π23π3x +=，07π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故直线7π6x =不是对称轴，错误；选项D ，由2π2cos 213y x '⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭得2π1cos 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以2π2π22π33x k +=+或22π22π33x k π+=-+，Z k ∈，解得πx k =或ππ3x k =+，Z k ∈，所以函数()y f x =在点⎛ ⎝⎭处的切线斜率为2π2cos 013k ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，切线方程为()02y x -=--即2y x =-，正确；故选：ABD 13．(-【分析】根据已知利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式可得π3B =，从而可表示出2a c -的表达式，利用辅助角公式化简结合三角函数的性质，即可求得答案.【详解】由题意在ABC 中，满足2cos 2b A a c +=，即2sin cos sin 2sin 2sin()B A A C A B +==+,即sin 2sin cos A A B =，而(0,π),sin 0A A ∈∴≠，故1cos 2B =，又π(0,π),3B B ∈∴=,则sin 4sin sin b A a AB ==，同理4sin c C =，故)22πsin 4sin s 8s 8in 4in(3a c A C A A -=-=--π6sin 6A A A =-=-，又2ππππ(0,),(,)3662A A ∈∴-∈-,故π1sin ,162A ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则(2a c -∈-，故答案为：(-14．7336-【分析】由22,3BE EC AE BD =⋅=- ，根据向量的线性运算以及数量积的运算律，可求得∠DAB ＝π3；以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，利用坐标表示出AF EF ⋅，得到关于t 的二次函数，求得二次函数最小值即为所求．【详解】由题意知：2=3BE BC，设=DAB θ∠，所以()()22222333AE BD AB BE AD AB AB AD AB BC BC AB ⋅=+⋅-=⋅-+-⋅=-故()22214cos 444cos cos 3332θθθ-+⨯-⨯=-⇒=由于()0，πθ∈，所以π=3θ，以AC 与BD 交点为原点，AC 为x 轴，BD 为y 轴建立如图所示的直角坐标系，所以A （﹣3，0），C （3，0），D （0，1），B （0，﹣1），E （231,33-），设F （0，t ），则AF ＝（3，t ），EF ＝23133，t ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2117323636AF EF t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当t ＝16-时，AF EF ⋅ 取最小值7336-，故答案为：7336-15．①③④【分析】根据线面平行的判定定理，以及线线垂直的判定，结合棱锥体积的计算公式，以及棱锥外接球半径的求解，对每一项进行逐一求解和分析即可.【详解】对①：当H 为DE 的中点时，取EA 中点为M ，连接,MH MB ，如下所示：因为,H M 分别为,ED EA 的中点，故可得MH //AD ，12MH AD =，根据已知条件可知：BG //1,2AD BG AD =，故MH //,BG MH BG =，故四边形HMBG 为平行四边形，则HG //MB ，又MB ⊂面,ABE HG ⊄面ABE ，故HG //面ABE ，故①正确；对②：因为ED ⊥面,,ABCD DA DC ⊂面ABCD ，故,DE DA DE DC ⊥⊥，又四边形ABCD 为矩形，故DA DC ⊥，则,,DE DA DC 两两垂直，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：则()()()2,0,0,0,0,2,1,2,0A E G ，设()0,0,H m ，[]0,2m ∈，若GH ⊥AE ，则()()1,2,2,0,20GH AE m ⋅=--⋅-= ，即220m +=，解得1m =-，不满足题意，故②错误；对③：B GFH H BGF V V --=，因为,,B F G 均为定点，故BGF S 为定值，又DE //,CF CF ⊂面,BGF DE ⊄面BGF ，故DE //面BGF ，又点H 在DE 上运动，故点H 到面BGF 的距离是定值，故三棱锥B GFH -的体积为定值，则③正确；对④：取△EFC 的外心为1O ，过1O 作平面EFC 的垂线1O N ，则三棱锥B EFC -的外接球的球心O 一定在1O N 上因为1OO ⊥面EFC ，FC ⊥面,ABCD CB ⊂面ABCD ，则CF CB ⊥，又CB CD ⊥，,,CF CD C CF CD ⋂=⊂面EFCD ，故CB ⊥面EFCD ,又BC ⊥面EFC ，则1OO //CB ，故1,OO BC 在同一个平面，则过O 作OP BC ⊥，连接,OB OC 如图所示.在△EFC 中，容易知5,2,1EF EC FC ===，则由余弦定理可得5cos 25EFC ∠=-25sin EFC ∠=，则由正弦定理可得1102sin 2EC O C OP EFC ===∠；设三棱锥E FCB -的外接球半径为R ，则OC OB R ==，在△OBP 中，OB R =，102OP =，又22211522222BP PC OO OC O C R =-=-=-=-故由勾股定理可知：222OB OP BP =+，即22255544222R R R =++---解得：272R =，则该棱锥外接球的表面积2414S R ππ==，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】本题考查线面平行的证明，线线垂直的判定，以及三棱锥体积的计算和外接球半径的求解，属综合困难题.16．14【分析】利用导数的定义和对称性可得12n n a a +-=，利用辅助角公式对()g x 化简，构造新函数，利用导数判断新函数的单调性并结合夹逼原理即可求解.【详解】因为()21cos 2n n f x x a x a +'=-++有唯一的零点，()f x '为偶函数，所以()00f '=，即12n n a a +-=，*N n ∈，所以数列{}n a 为公差为2的等差数列，又因为()228sinπcosπ82ππg x x x x x x x ⎫=+-=⎪⎪⎭11188π2444x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()8h t t t =，则()h t 为奇函数，因为()80h t t '=>，所以()h t 在R 上单调递增，由题意得()()()1292220g a g a g a -+-+⋅⋅⋅+-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，因为数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其中129a a a <<⋅⋅⋅<，则129111444a a a -<-<⋅⋅⋅<-，假设1911044a a ⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎝⎭⎝⎭，1919191111110444444a a h a h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫->--⇒->--⇒-+-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为1928371651111111112444444444a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+-=-+-=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以1291110444h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，假设1911044a a ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，同理可得1291110444h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，19195111104424a a a a a ⎛⎫⎛⎫-+-=⇒+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：1417．（1）an ＝－2n ＋1或an ＝2n －7；（2）Sn ＝226,3618,4n n n n n n ⎧-+≤⎨-+≥⎩.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列{}n a 前三项的和为9-，前三项的积为15-，利用等差数列的通项公式列出方程组，求公差和首项，由此能求出等差数列{}n a 的通项公式．（2）由（1）得an ＝2n －7，知|an |＝72,327,4n n n n -≤⎧⎨-≥⎩，分类讨论，结合等差数列的求和公式能求出数列{||}n a 的前n 项和为n S ．【详解】（1）设公差为d ，则依题意得a 2＝－3，则a 1＝－3－d ，a 3＝－3＋d ，所以(－3－d )(－3)(－3＋d )＝－15，得d 2＝4，d ＝±2，所以an ＝－2n ＋1或an ＝2n －7.（2）由题意得an ＝2n －7，所以|an |＝72,327,4n n n n -≤⎧⎨-≥⎩，①n ≤3时，Sn ＝－(a 1＋a 2＋…＋an )＝()5722n n +-⨯＝6n －n 2；②n ≥4时，Sn ＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋…＋an ＝－2(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1＋a 2＋…＋an )＝18－6n ＋n 2.综上，数列{|an |}的前n 项和Sn ＝226,3618,4n n n n n n ⎧-+≤⎨-+≥⎩.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．易错点是求等差数列通项公式时容易丢解．18．(1)证明见解析【分析】（1）由三棱台的性质得到AC //11AC ，再利用线面平行的判定定理和性质定理进行证明；（2）在平面ABC 内作Ax AC ⊥，建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用线面角的向量公式进行求解.【详解】（1）在三棱台111ABC A B C -中，AC //11AC ，又AC ⊄平面11AC E ，11AC ⊂平面11AC E ，则AC //平面11AC E ，又AC ⊂平面ABC ，平面ABC 平面11A C E l =，所以AC //l .（2）因为1AA ⊥平面ABC ，在平面ABC 内作Ax AC ⊥，以A 为原点，1,AC AA 分别为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则2,0)B ，E ，(0,4,0)C ，1A ，1B ，(10,C ，111(3,1,3),(0,2,0)A E A C =-= ，1(3,3,3)B C =-，设平面11AC E 的一个法向量为(,,)n x y z =，则11133020A E n y A C n y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1x =，则(1,0,1)n = ，设直线1B C 与平面11AC E 所成角为θ，则111||10sin |cos ,|||||B C n B C n B C n θ⋅=<>==所以直线1B C 与平面11AC E 1019．(1)35；81125(2)答案见解析.【分析】（1）根据古典概型求解即可得事件A 的概率，再结合二项分布的概率公式求解即可得事件B 的概率；（2）设甲平台的日销售收入为X ，乙平台的日销售收入为Y ，进而分别求其分布列，进而根据分布列求期望，比较期望大小即可得答案.【详解】（1）解：令事件A =“甲平台日销售量不低于8件”，则2624103()1005P A ++==，令事件B =“从甲平台所有销售数据．．．．．．中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”，则()23233332381C C 555125P B ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）解：设甲平台的日销售收入为X ，则X 的所有可能取值为6240,7270,8300,9330,10360.a a a a a -----所以，X 的分布列为X6240a -7270a -8300a -9330a -10360a -P1410026100261002410010100所以，14262624()(6240)(7270)(8300)(9330)100100100100E X a a a a =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯10(10360)7.9297100a a +-⨯=-，设乙平台的日销售收入为Y ，则Y 的所有可能取值为6240,7280,8320,9355,10390.a a a a a -----所以，Y 的分布列为：Y6240a -7280a -8320a -9355a -10390a -P1010025100351002010010100所以，210253520()(6240)(7280)(8320)(9355)100100100100E Y a a a a =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯10(10390)100a +-⨯7.95316a =-.所以，()()0.0519,E Y E X a -=-令0.05190a -≥得380a ≥，令0.05190a -<得380a <所以，当300380a ≤<时，选择甲平台；当380a =时，甲乙平台均可；当380500a <≤时，选择乙平台.20．(1)4；(2)证明见解析.【分析】（1）可得点()0,3P ，设切线方程为3y kx =+，将切线方程与椭圆方程联立，由判别式为零可求得k 的值，可知PA PB ⊥，求出两切点的坐标，可得出PA 、PB ，利用三角形的面积公式可求得结果；（2）设()11,A x y 、()22,B x y ，可得出切线PA 、PB 的方程，设点(),P m n ，求出直线AB 的方程，可得出直线AB 过定点T ，由OD AB ⊥结合直角三角形的几何性质可得出结论.【详解】（1）解：由题意知()0,3P ，过点P 与椭圆相切的直线斜率存在，设切线方程为3y kx =+，联立22326y kx x y =+⎧⎨+=⎩，可得()222112120k x kx +++=，（*）由()()22214448214810k k k ∆=-+=-=，可得1k =±，即切线方程为3y x =±+，所以，PA PB ⊥，将1k =代入方程（*）可得2440x x ++=，可得2x =-，此时1y =，不妨设点()2,1A -，同理可得点()2,1B ，PA PB ===因此，142S PA PB =⋅=.（2）证明：先证明出椭圆22163x y +=在其上一点()0,Mx y 处的切线方程为0163x x y y +=，因为点()00,M x y 在椭圆22163x y +=上，则220026x y +=，联立0022163163x x y y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 可得()222200002103633x y x x x y +-+-=，整理得220020x x x x -+=，即()200x x -=，解得0x x =，因此，椭圆22163x y +=在其上一点()0,Mx y 处的切线方程为0163x x y y +=.设()11,A x y 、()22,B x y ，则切线PA 的方程为11163x x y y +=，切线PB 的方程为22163x x y y+=.设(),P m n ，则1122163163mx ny mx ny ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程260mx ny +-=，所以，直线AB 的方程为260mx ny +-=，因为点(),P m n 在直线163x y+=上，则26m n +=，则26n m =-，所以，直线AB 的方程可表示为()660mx m y +--=，即()()610m x y y -+-=，由010x y y -=⎧⎨-=⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，故直线AB 过定点()1,1T ，因为OD AB ⊥，所以，点D 在以OT 为直径的圆上，当点Q 为线段OT 的中点时，122DQ OT ==，此时点Q 的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.故存在点11,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得DQ .【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）分类讨论导函数e ()x f x x m x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭的实数根即可求解极值点，（2）构造函数()()(2),(0,1)F x g x g x x =--∈和2e ()(3)e e,(0,1)xxxG x x x x-=-+-∈，通过判断函数的单调性，求解最值，当导数正负不好确定的时候，需要构造新的函数，不断的通过求导判断单调性.【详解】（1）2()e 2xmx f x =-,则()e x f x mx '=-,0x = 显然不是()f x '的零点,e (),x f x x m x '⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭令e ()=x g x x ,则2e (1)()-'=x x g x x ,()g x ∴在(,0)-∞单调递减,在（0,1）单调递减,在(1,)+∞单调递增.当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0g x >，且()(1)e g x g ==极小值(,0)m ∴∈-∞时,e =xm x 只有一个实数根，所以此时()f x 有1个极值点,[)0,e m ∈时,e =xm x没有实数根，故()f x 有0个极值点,当e m =时，e=xm x，有一个实数根1x =，但1x =不是极值点，故此时()f x 没有极值点，(e,)m ∈+∞时,e =xm x有两个不相等的实数根，故()f x 有2个极值点.（2）由（1）知,(e,)m ∈+∞,且()()121201,,()x x g x g x m g x <<<==在（0,1）单调递减,在(1,)+∞单调递增,先证:122x x +>,即证:212x x >-，1201x x <<< 121x ∴->即证:()()212g x g x >-.即证:()()112g x g x >-.令()()(2),(0,1)F x g x g x x =--∈,即证:(0,1),()0x F x ∀∈>,2'22e e ()(1)()(2)x x F x x x x -=---令2(1,2)t x =-∈则x t <令2e ()h =λλλ,则4)(e (2)h '⋅⋅-=λλλλλ,则()h λ在(0,2)λ∈单调递减()()(2)h x h t h x ∴>=-,()0F x '∴<,即()F x 在(0,1)x ∈单调递减,()(1)0F x F ∴>=,证毕.再证:()()122e f x f x m +<-,1201x x <<< ,且122x x +>1122x x x ∴<-<.()f x 在()10,x 单调递增,在()12,x x 单调递减,在()2,x +∞单调递增,()()122f x f x ∴->.即证:()()1122e f x f x m +-<-,又11e x m x = ,即证:()()()11121111e 23e e 2e x x xf x f x m x x -+-+=-+-<.令2e ()(3)e e ,(0,1)xx x G x x x x-=-+-∈,()23222222e 21e e (1)()(2)e e e x x x x x x x x x x G x x x x '--+-+--∴=---=.令()23222()e 21e x p x x x x x =-+-+-,()2322()e 2212e x p x x x x x '∴=-+++-,令()()q x p x '=()2322()2e 22322e x x q x x x ∴=-+--'-,令()()r x q x '=()232()2e 41027x x x x r x ∴=-'+--令32()41027,(0,1)m x x x x x =+--∈,2()12202m x x x '∴=+-,11(0,1),()x m x ∴∃∈在()110,x 单调递减,在()11,1x 单调递增.(0)7,(1)5m m =-= ,12(0,1)x ∴∃∈,当()120,x x ∈时,()()0,r x q x >''单调递增;当()12,1x x ∈时,()()0,r x q x <''单调递减.()()2042e 0,10q q '<'=-= ,13(0,1),()x p x '∴∃∈在()130,x 单调递减,在()13,1x 单调递增.(0)10,(1)0p p ''=>= ,14(0,1),()x p x ∴∃∈在()140,x 单调递增,在()14,1x 单调递减.(0)1,(1)0p p == ,()0p x ∴>,()0G x '∴>,()G x ∴在(0,)x x ∈单调递增,()(1)2e G x G ∴<=,所以原命题得证.【点睛】本题考查了导数的综合运用，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.22．(1)212y x=(2)24【分析】（1）根据曲线C的参数方程为22114t x t y t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩0t >，t 为参数），由y =两边平方求解；（2）易知直线的参数方程为()2122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩'''为参数，代入212y x =，利用参数的几何意义求解.【详解】（1）解：因为曲线C的参数方程为22114t x t y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩0t >，t 为参数），所以由y t =-两边平方得：2221121124t y x t ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，而2211104t x t =+-≥=，当且仅当2214t t =，即t =时，等号成立，所以曲线C 的直角坐标方程212y x =；（2）易知直线:10l x y --=与x 轴的交点为()1,0F ,直线的参数方程为()2122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩'''为参数，代入212y x =得2240t ''--=，设A ，B 两点对应的参数分别为12,t t ''，则1224t t ''⋅=-，所以12||||24FA FB t t ''⋅==.23．(1)17[,]22；(2)[1,)+∞.【分析】（1）把函数()f x 化成分段函数，再分段解不等式作答.（2）根据给定条件，分离参数并构造函数，求出函数最大值作答.【详解】（1）依题意，24,1()2,1324,3x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，不等式()3f x ≤化为：1243x x ≤⎧⎨-+≤⎩或1323x <<⎧⎨≤⎩或3243x x ≥⎧⎨-≤⎩，解得112x ≤≤或13x <<或732x ≤≤，即有1722x ≤≤，所以()3f x ≤的解集为17[,]22.（2）依题意，[3,)x ∀∈+∞，22225(2)1()(2)124(2)x a x f x a x x a x --+≥⇔-+≥-⇔≥-，21x -≥，1012x <≤-，于是2222252(2)1121(1)11(2)(2)(2)22x x x x x x x ---==-+=--+≤-----，当且仅当3x =时取等号，则1a ≥，所以实数a 的取值范围是[1,)+∞.。
2023年四川省成都市青羊区石室中学高考数学二诊试卷(理科)+答案解析(附后)
2023年四川省成都市青羊区石室中学高考数学二诊试卷（理科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知z的共轭复数是，且为虚数单位，则复数z的虚部为( )A. B. C. D.3. 如图是我国跨境电商在年的交易规模与增速图，由图可以知道下列结论正确的是( )A. 这7年我国跨境电商交易规模的平均数为万亿元B. 这7年我国跨境电商交易规模的增速越来越大C. 这7年我国跨境电商交易规模的极差为万亿元D. 图中我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为4. 设实数x，y满足约束条件则的最小值为( )A. B. C. D.5. 的展开式中，常数项为( )A. B. C. D.6. 我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”.刘徽从圆内接正六边形逐次分割，一直分割到圆内接正3072边形，用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法，由圆内接正n边形与圆内接正2n边形分别计算出的圆周率的比值为( )A. B. C. D.7. 从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A. 24B. 27C. 30D. 368. 已知双曲线的右焦点为，点P，Q在双曲线上，且关于原点O对称.若，且的面积为4，则双曲线的离心率为( )A. B. 2 C. D. 39. 已知函数满足，，当时，，则( )A. B. C. D.10. 已知抛物线C：与直线相交于A，B两点，F为抛物线C 的焦点，若，则AB的中点的横坐标为( )A. B. 3 C. 5 D. 611. 设，则下列关系正确的是( )A. B. C. D.12. 已知正方体的棱长为2，M为的中点，N为正方形ABCD 所在平面上一动点，为正方形所在平面上一动点，且平面ABCD，则下列命题正确的个数为( )①若MN与平面ABCD所成的角为，则动点N的轨迹为圆；②若三棱柱的侧面积为定值，则动点N的轨迹为椭圆；③若与AB所成的角为，则动点N的轨迹为双曲线；④若点N到直线与直线DC的距离相等，则动点N的轨迹为抛物线.A. 4B. 3C. 2D. 113.平面向量，满足，，且，则x的值为______ .14. 已知直线，，圆C与，都相切，则圆C的一个方程为______ 写出满足题意的任意一个即可15. 已知三棱锥的体积为，各顶点均在以PC为直径的球面上，，，，则该球的表面积为______ .16. 已知函数，，，且在上单调，则的最大值为______ .17. 针对我国老龄化问题日益突出，人社部将推出延迟退休方案.某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示.支持保留不支持50岁以下80004000200050岁以上含50岁100020003000在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了30人，求n的值；在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取10人看成一个总体，从这10人中任意选取3人，求50岁以下人数的分布列和期望.18.已知数列的前n项和为，，求数列的通项公式；令，从①，②，③三个条件中任选一个，求数列的前n项和19. 如图1，在中，，，，D，E分别是边AB，AC的中点，现将沿着DE折起，使点A到达点P的位置，连接PB，PC，得到四棱锥，如图2所示，设平面平面求证：平面PBD；若点B到平面PDE的距离为，求平面PEC与平面PBD夹角的正弦值.20. 已知椭圆经过点，其右焦点为求椭圆C的标准方程；椭圆C的右顶点为A，若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为，求面积的最大值.21. 已知函数讨论的零点个数；若有两个零点，，求证：22. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：与曲线为参数以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.求曲线C的普通方程；在极坐标系中，射线与直线l和曲线C分别交于点A，B，若，求的值.23. 已知存在，使得成立，，求的取值范围；求的最小值.答案和解析1.【答案】C【解析】解：因为，，所以故选：由已知先求出集合A，B，然后结合并集的运算即可求解．本题主要考查了并集及其运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：设，，，，解得：，复数z的虚部为：故选：设，代入，可得，解方程组即可解决问题．本题主要考查了复数相等，考查了方程思想，属于基础题．3.【答案】D【解析】对于A，由图可知：这7年我国跨境电商交易规模的平均数为：万亿元，故选项A错误；对于B，由图可知：交易规模的增速并不是越来越大，故选项B错误；对于C，由图可知：这7年我国跨境电商交易规模的极差为，故选项C错误，对于D，由图可知：6个增速的中位数为和的平均数，即，故选项D正确，故选：根据图逐项进行分析即可求解．本题主要考查了统计图的应用，考查了平均数、中位数和极差的计算，是基础题．4.【答案】B【解析】解：作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域阴影部分，由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时z最小．此时z的最小值为，故选：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法，属于中档题．5.【答案】A【解析】解：的展开式的通项公式，当时，，当时，，所以中常数项分别为，，合并同类项为故选：根据式子结构特点，只需分析的展开式中含x的项和常数项的系数即可求解．本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：对于正n边形，其圆心角为，面积为，对于正2n边形，其圆心角为，面积为，由此可得，故选：由题意，对于正n边形，其圆心角为，利用三角形的面积公式可求其面积，对于正2n边形，其圆心角为，可求其面积为，从而即可化简求解．本题考查了正n边形，正2n边形的圆心角的求解，考查了三角形的面积公式的应用，考查了计算能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．根据题意，可分两类，有0时，和无0时，根据分类计数原理可得．【解答】解：第一类，从0，2，4中选一个数字，选为0，则0只能排在十位，故有，第二类，从0，2，4中选一个数字，不选0，先排个位，再排其它，故有，故有个，故选：8.【答案】C【解析】解：设双曲线的左焦点为，则根据题意及对称性可得：，且的面积为4，设，，则，，又，，又，，双曲线的离心率为，故选：设双曲线的左焦点为，则根据题意及对称性可得：，且的面积为4，又，从而建立方程，即可求解．本题考查双曲线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．9.【答案】D【解析】解：因为满足，所以为奇函数．因为，所以，所以，所以的周期，又因为当时，，所以故选：由已知结合函数的奇偶性及周期性即可求解．本题主要考查了函数的奇偶性及周期性在函数求值中的应用，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：根据题意，设AB的中点为G，抛物线C：的准线为l：，焦点为，直线恒过定点如图过A、B分别作于M，于N，由，则，点B为AP的中点、连接OB，则，又由，则，点B的横坐标为1，B为P、A的中点，则A的横坐标为4，故AB的中点G的横坐标为；故选：据题意，设AB的中点为G，根据直线方程可知直线恒过定点，据此过A、B分别作于M，于N，根据，推断出，点B为AP的中点、连接OB，进而分析可得，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，又由B为P、A的中点，可得A的横坐标，进而由中点坐标公式分析可得答案．本题考查抛物线的标准方程及其性质，注意抛物线的几何性质、定义的应用，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：令，，因为，当时，，所以在上单调递增，则当时，，即，取，所以，令，，因为，所以在上单调递减，则当时，，即，取，所以，故，即；记，因为，当时，，所以在上单调递增，所以当时，，即，取，所以，即；所以故选：将三个值中的共同量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小．本题主要考查了导数与单调性在函数值大小比较中的应用，解题的关键是根据已知不等式合理的构造函数，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：对于①，因为MN与平面ABCD所成的角为，所以，所以点N的轨迹为圆，所以①对；对于②，因为三棱柱的侧面积为定值时，即为定值该定值大于，点N的轨迹为椭圆，所以②对；对于③，因为、，所以，于是满足条件的运动成圆锥面，其与平面ABCD的交线为双曲线，所以③对；对于④，因为点N到直线与NB相等，所以点N的轨迹为点N到点B与直线DC的距离相等的轨迹，即抛物线，所以④对．故选：①根据圆的定义判断；②根据椭圆的定义判断；③根据圆锥曲线定义判断；④根据抛物线定义判断．本题以命题真假判断为载体，考查了正方体中直线与平面的位置关系，考查了点的运动轨迹问题，属于中档题．13.【答案】【解析】解：平面向量，满足，，则，，又，，则则，故答案为：由平面向量数量积的运算，结合向量的模的运算及平面向量的坐标运算求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了向量的模的运算，属基础题．14.【答案】，答案不唯一【解析】解：直线，关于直线对称，当圆心在直线上时，设圆心为，由圆与相切可得，，圆C的方程形如；当圆心在直线上时，设圆心为，由圆与相切可得，，圆C的方程形如故答案为：，答案不唯一直线，关于直线对称，据此可写出圆的方程．本题考查圆的方程的求法，属基础题．15.【答案】【解析】解：由，，，，，，又，，设r为外接圆半径，，解得，，则，，即P到平面ABC的距离为2，外接球球心的中点到平面ABC的距离为1，外接球半径，，该球的表面积为故答案为：利用余弦定理求出，设r为外接圆半径，利用正弦定理求出r，再根据三棱锥的体积，求出P到平面ABC的距离，即可得到球心O到平面ABC的距离，再由勾股定理求出外接球的半径，即可得解．本题考查三棱锥的外接球问题，余弦定理的应用，三棱锥的体积的求解，球的表面积公式，属中档题．16.【答案】5【解析】解：函数，，，①；又，是图象的对称轴，，②；由①②得，，，取，且，；的最小正周期为；又在上单调，，即，解得；综上，的最大值为故答案为：本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是中档题．根据和，求出，，；根据在上单调，得出，从而求出的最大值．17.【答案】解：参与调查的总人数为，其中从持“不支持”态度的人数中抽取了30人，所以由题可知在持“不支持”态度的人中，50岁以下与50岁以上人数之比为2：3，所以抽取的抽取10人中，50岁以下与50岁以上人数分别为4人，6人，所以可取0，1，2，3，，，，，所以分布列为：0123P所以【解析】由题可得参与调查的总人数结合抽样比即得；由题可知可取0，1，2，3，分别用古典概型计算求概率，然后可得分布列及期望．本题考查离散型随机变量的分布列与期望，是中档题．18.【答案】解：，当时，，两式相减得，又，，，，，数列是首项为2，公比为2的等比数列，；由得，则，若选①：，，，，；若选②：，…；若选③：，当n为偶数时，……；当n为奇数时，，综上所述，【解析】由题意得当时，，两式相减变形得，即可得出答案；若选①：错位相减法可求；若选②：，可求；若选③：，分n为奇数和偶数两种情况，即可求本题考查求数列的通项公式、错位相减法、裂项相消法，分组求和法，考查转化思想和分类讨论思想，考查运算能力和逻辑推理能力，属于中档题．19.【答案】解：证明：，，，E分别是边AB，AC的中点，，，，又BD，平面PBD，，平面PBD，，平面PBC，平面PBC，平面PBC，又平面PDE，平面平面，，平面PBD；如图，过点B作，垂足为F，面面PBD，又面面，平面PDE，点B到平面PDE的距离即为，在中，，，又，是边长为2的等边三角形，取BD的中点O，连接OP，则，，由知，平面PBD，又平面PBD，，又，平面BCED，以DB，DE所在直线分别为x轴、y轴，过点D与OP平行的直线为z轴，建系如图，则，，，，，，，设平面PEC的法向量为，则，取，又是平面PBD的一个法向量，，平面PEC与平面PBD夹角的正弦值也为【解析】根据线面垂直的判定定理，线面平行的判定定理，即可证明；建系，根据向量法，向量夹角公式，即可求解．本题考查线面平行的判定定理与性质定理，线面垂直的判定定理，向量法求解面面角问题，属中档题．20.【答案】解：依题可得解得所以椭圆C的方程为；易知直线AP与AQ的斜率同号，所以直线PQ不垂直于x轴，故可设PQ：，，，由可得，，所以，即，而，即，化简可得，，，化简得，所以或，所以直线PQ：或，因为直线PQ不经过点A，所以直线PQ经过定点，所以直线PQ的方程为，易知，设定点，因为，且，所以，所以，设，所以，当且仅当，即时取等号，即面积的最大值为【解析】根据椭圆过的点和右焦点，列方程组求出a，b，c，则椭圆方程可求；设PQ：，，，与椭圆方程联立，消去y，利用韦达定理计算，可得k，m的关系，利用k，m的关系表示出，利用二次函数的性质求出最值．本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于难题．21.【答案】解：，因为，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，当，即时，的零点个数为0，当，即时，的零点个数为1，当，即时，注意到，因为，所以，因此，，使得，所以此时的零点个数为2，综上，当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2；证明：由可知，当时，函数有两个零点，且，令，则，当时，，所以在区间上单调递增，所以，所以，因为，所以，又由可知，在区间上单调递增，所以，故【解析】由题意当时，单调递减；当时，单调递增，得，分，，三种情况，讨论得到的零点个数；由可知，当时，函数有两个零点，且，令，求导后利用单调性即可得证．本题考查了导数的综合应用，属于中档题．22.【答案】解：①，②所以②式除以①式可得③，将③式代入①式可得，整理可得曲线C的普通方程为，；直线l的极坐标方程为，易得，曲线C的极坐标方程为，易得，由已知，得，，，，两边平方并整理得，又，即，所以，则【解析】直接利用转换关系，将参数方程转换为普通方程；直线l的极坐标方程为，易得，曲线C的极坐标方程为，易得，代入，即可求解．本题考查了参数方程和普通方程的互化，属于中档题．23.【答案】解：，，由绝对值不等式的性质可得，已知存在，使得，则有，的取值范是；由知，，，不妨设，当时，，当时，有，整理得，当时，t取最小值为，综上所述，的最小值为【解析】由绝对值的不等式求得的最大值为，问题转化为，即可求解；由知，分和借助于配方法求的最小值．本题考查函数的最值及其几何意义，考查绝对值不等式的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中档题．。
四川省成都市玉林中学2023届高三二诊模拟理科数学试题(三)
成都玉林中学高三数学二诊模拟理科试题（三）本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集}33{<−∈=+x Nx U ，集合}2,1{=S ，集合}4,3{=T ，则∁)(T S U 等于A.}5{B.}2,1{C.}4,3{D.}4,3,2,1{2.已知i 是虚数单位，则“42−=a ”是“i a 2−=”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.太阳能是一种可再生能源，光伏是太阳能光伏发电系统的简称，主要有分布式与集中式两种方式．下面的图表展示了近年来中国光伏市场的发展情况，则下列结论中不正确的是A ．2013～2020年，年光伏发电量与年份成正相关B ．2013～2020年，年光伏新增装机规模同比(与上年相比)增幅逐年递减C ．2013～2020年，年新增装机规模中，分布式的平均值小于集中式的平均值D ．2013～2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关 4.已知角α的终边与单位圆的交点为),21(y P −，则ααtan sin ⋅等于 A.33−B.33± C.23−D.23±5.已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，l AD ⊥，交l 于D . 若︒=∠=60,4DAF AF ，则抛物线C 的通径（过焦点垂直于对称轴的弦长）为A.8B. 4C.2D.16.若不等式022>−+ax x 在]5,1[上有解，则a 的取值范围是A.]1,523(−B.)523,(−−∞ C.),523(+∞− D.),1(+∞7.已知圆柱的上、下底面的中心分别为21,O O ，过直线21O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A.π212B.π28C.π10D.π12 8.已知)(sin )2cos 1(21)(2R x x x x f ∈+=，则下列结论不正确的是 A.)(x f 的最小正周期2π=T B.)(x f 是偶函数C.)(x f 的最大值为41D.)(x f 的最小值为819.P 为双曲线122=−y x 左支上任意一点，EF 为圆4)2(:22=+−y x C 的任意一条直径，则PF PE ⋅的最小值为A.3B.4C.5D.910.设点P 是函数)1()0(2)(f x f e x f x'+'−=图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是A.)43,0[π B.),43()2,0[πππ C.)43,2(ππ D.),43[)2,0[πππ 11.已知函数)(x f 的定义域为R ，)2(+x f 为奇函数，)12(+x f 为偶函数，则A.0)2(=−fB.0)1(=−fC.0)1(=fD.0)3(=f12.已知双曲线)0,0(1:2222>>=−b a by a x C 的右支上一点M 关于原点的对称点为点N ，F 为双曲线的右焦点，若以M 、N 为直径的圆恰过点F .设θ=∠FMN ，且]125,3[ππθ∈，则双曲线C 的离心率的最大值为A.2B.3C.12+D.13+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.棱长为2的正方体1111D C B A ABCD −中，N M ,分别为棱AB BB ,1的中点，则三棱锥N D A M 11−的体积为________．14.若过点)1,1(P 且互相垂直的两条直线21,l l 分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为________．15.为巩固防疫成果，现有7人排队接种加强针新冠疫苗，若要求甲在乙的前面，乙在丙的前面，且丙、丁相邻，则有________种不同的排队方法．（用数字作答） 16.若函数)2,0()sin(2)(πϕωϕω<>+=x x f 的最小正周期为π，且其图象向左平移6π个单位长度后所得图象对应的函数)(x g 为偶函数，则f (x )的图象的对称中心为 ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．数列}{n a 的前n 项和为n S ，且132−=n n a S ．（1）求}{n a 的通项公式；（2）若)1)(1(31++=+n n n n a a b ，}{n b 的前n 项和为)(n f ，求)()(+∈N n n f 的值域．18．如图，在四棱锥ABCD P −中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD ∆是正三角形，⊥CD 平面PAD ，O G F E ,,,分别是AD BC PD PC ,,,的中点．（1）求证：⊥PO 平面ABCD ；（2）在线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成的角为6π，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，请说明理由．19．已知函数)(ln )(2R a x ax x f ∈+−=． （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若存在),1(+∞∈x ，a x f −>)(，求a 的取值范围．20．椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为22，椭圆的短轴顶点到焦点的距离为6.（1）求该椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于B A ,两点，且OB OA OB OA −=+，求证：直线l 与某个定圆E 相切，并求出定圆E 的方程．21．目前，国际上常用身体质量指数（Index Mass Body ，缩写为BMI ）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康,其计算公式是）（单位：身高）体重（单位：22m kg BMI =．临床医学给出中国成人的BMI 数值标准为：4.18≤BMT 为偏瘦；9.235.18≤≤BMI 为正常；9.2724≤≤BMI 为偏胖；28>BMI 为肥胖．某公司为了解员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中,抽取了8名员工(编号8~1)的身高)(cm x 和体重)(kg y 数据,并计算得到他们的BMI 值(精确到1.0)如下表：（1）现从这8名员工中选取2人进行复检，记抽取到BMI 值为“正常”员工的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）某调查机构分析发现公司员工的身高)(cm x 和体重)(kg y 之间有较强的线性相关关系,在编号为6的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析,并计算得出该组数据的线性回归方程为a x yˆ5.0ˆ+=，且根据回归方程预估一名身高为cm 180的员工体重为kg 71.计算得到的其他数据如下∑===ni i i y x x 188920,170．①求aˆ的值及表格中8名员工体重的平均值y ； ②在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为kg 63，身高数据无误.请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为cm 180的员工的体重． （附:对于一组数据122(,),(,),(,)n n x y x y x y ，其回归直线a x b yˆˆˆ+=的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：x b y axn x yx n yx bn i i ni ii ˆˆˆ,ˆ2121−=−−=∑∑==）22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为1)2()2(22=−+−y x ，直线2C 的方程为x y 3=；以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C 和直线2C 的极坐标方程； （2）若直线2C 与曲线1C 交于B A ,两点，求OBOA 11+．模拟三参考答案：1.A ；先解得}5,4,3,2,1{=U2.B ；i a a 242±=⇔−=3.B ；对于A ，由图知，2013～2020年，随着年份的增加，光伏发电量增加，年光伏发电量与年份成正相关，故A 正确；对于B ，由图知，2013～2020年，年光伏新增装机规模同比(与上年相比)增幅不是逐年递减，前几年先递增，再递减，故B 不正确；对于C ，由图知，每一年的新增装机规模中，集中式都比分布式的大，所以分布式的平均值小于集中式的平均值，故C 正确；对于D ，由图知，2013～2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重随年份逐年增加，所以每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关，故D 正确． 4.C ；设O 为坐标原点，由2314122±=⇒=+=y y OP 方法一 当23=y 时，3tan ,23sin −==αα；当23−=y 时，,23sin −=α3tan =α，均有23tan sin −=⋅αα方法二 由三角函数定义知，y =−=ααsin ,21cos ，所以23cos sin tan sin 2−==⋅αααα5.B 根据抛物线的定义可得4==AF AD ，又︒=∠60DAF ， 所以AF AF p AD 2160cos =︒=−，所以24=−p ，解得2=p ，通径42=p 6.C ；对于方程022=−+ax x ，082>+=∆a ，故它必有二不等实根又∵两根之积为负，∴必有一正根一负根，设2)(2−+=ax x x f ，于是不等式022>−+ax x 在]5,1[上有解的充要条件是0)5(>f ，即0235>+a ；7.D 设圆柱的轴截面的边长为x ，则由82=x ，得22=x ，∴S圆柱表＝S2底＋S侧＝πππ122222)2(22=⨯⨯+⨯⨯.8.D;x x x x x f 2sin 41)2cos 1(41)2cos 1)(2cos 1(41)(22=−=−+=)4cos 1(81x −=9.C ；如图，圆C 的圆心为)0,2(C ，半径2=r ，)()(CF PC CE PC PF PE +⋅+=⋅)()(CE PC CE PC −⋅+=4−=−=（或利用极化恒等式），则当点P 位于双曲线左支的顶点时，4−最小，最小值为54)21(2=−+；10.B ；∵)1()0(2)(f x f e x f x '+'−=，)0(2)(f e x f x'−='∴，)0(2)0(f f '−='∴1)0(='f ，)1(2)(f x e x f x '+−=∴，112)(−>−='∴x e x f ，1tan −>α11.A ；由)2(+x f 为奇函数，知0)2(=f ；)(x f y =的图像关于点)0,2(对称；由)12(+x f 为偶函数，所以)12()12(+=+−x f x f ，即)1()1(+=+−t f t f 等价于e )()1()1(xf y x f x f =⇔+=+−的图像关于1=x 对称；所以)(x f 的周期为4；0)2()2(==−f f ；令x x f 2sin)(π=，可否定其余选项；12.D ；设双曲线的左焦点为1F ，由已知得点N 在双曲线的左支上，连接11,NF MF (图略)， 根据双曲线的定义，a NF NF 21=−，由已知得四边形1MFNF 为矩形，得c MN F F 21==， 所以θθcos 2,sin 2c MF c NF ==，所以a c c 2cos 2sin 2=−θθ，则离心率)4sin(21cos sin 1πθθθ−=−==a c e ，又]6,12[4πππθ∈−，易得当124ππθ=−时即3πθ=时，e 取得最大值为1312sin 21+=π； 13.1；由正方体棱长为2，又11111==−−MN A D N D A M V V14. 01=−+y x ；设),(y x M ，则)2,0(),0,2(y B x A ，连接PM (图略)，∵21l l ⊥，∴OM PM =(O 为坐标原点)，即2222)1()1(y x y x +=−+−，化简即得15.240；丙、丁捆绑作为一个人，7个人7个位置变成6个位置，从中选3个安置甲、乙、丙(丁)，其他3个任意排列，方法数为240332236=A A C .16.)()0,212(Z k k ∈+−ππ；2=ω，所以)2sin(2)(ϕ+=x x f ，图象向左平移6π个单位长度后所得图象对应的函数为)32sin(2)(ϕπ++=x x g ，又函数)(x g 为偶函数，所以ππϕπk +=+23，Z k ∈，解得Z k k ∈+=,6ππϕ，又2πϕ<，所以6πϕ=，所以)62sin(2)(π+=x x f ，由ππk x =+62得212ππk x +−=（Z k ∈）17.(1) 因为132−=n n a S ，所以1322111−==a a S ，即11=a ……1分当2≥n 时，13211−=−−n n a S ，则1133222−−−==−n n n n n a a a S S ， 整理得31=−n na a （2≥n ）， ……3分 则数列}{n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，故11331−−=⨯=n n n a .1=n 也满足 所以13−=n n a ……5分（2）由(1)得)131131(23)13)(13(311+−+=++=−−n n n n n n b ……7分所以)]131131()131131()131131[(23)(12110+−++++−+++−+=−n n n f132343)13121(23+−=+−⨯=n n ；……9分 显然43)(<n f ……10分； 又因为)(n f 单调递增（+∈N n ），所以=≥)1()(f n f 83，所以)(n f 的值域是)41,83[. ……12分18.(1)因为PAD ∆是正三角形，O 是AD 的中点，所以AD PO ⊥. ……1分又因为⊥CD 平面PAD ，⊂PO 平面PAD ，所以CD PO ⊥. ……3分 又D CD AD = ，⊂CD AD ,平面ABCD ，所以⊥PO 平面ABCD ……5分(2)如图，连接OG ，以O 点为坐标原点，分别以OP OG OA ,,所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则)0,0,0(O ，)0,0,2(A ，)0,4,2(B ，)0,4,2(−C ，)0,0,2(−D ，)0,4,0(G ，)32,0,0(P ，)3,2,1(−E ，)3,2,1(−F)0,2,0(−=EF ，)3,2,1(−=EG ……6分设平面EFG 的法向量为),,(z y x m =则⎪⎩⎪⎨⎧=−+=⋅=−=⋅03202z y x m EG y m EF 令1=z 得)1,0,3(=m …8分 假设在线段PA 上存在点M ，满足题设，则有直线GM 的方向向量与平面EFG 法向量m 所成的锐角为3π，设PA PM λ=，]1,0[∈λ，PA GP PM GP GM λ+=+= 所以)3232,4,2(λλ−−=GM ，…10分即76423,cos 3cos2+−=><=λλπm GM整理得02322=+−λλ，0<∆，方程无解，所以线段PA 上不存在这样的点M .……12分19.(1)函数)(x f 的定义域为),0(+∞，xax x ax x f 22112)(−=+−='……1分当0≤a 时，0)(>'x f ，则)(x f 在),0(+∞上单调递增，……3分当0>a 时﹐由0)(='x f ，得ax 21=， 由0)(>'x f ，得)21,0(ax ∈，由0)(<'x f ，得),21(+∞∈a x ， 于是有)(x f 在)21,0(a 上单调递增，在),21(+∞a上单调递减．……5分 (2)由a x f −>)(，得),1(0ln )1(2+∞∈<−−x x x a ，而01,0ln 2>−<−x x 当0≤a 时，0ln )1(2<−−x x a ，满足题意；……7分当21≥a 时，令)1(ln )1()(2>−−=x x x a x g ，012)(2>−='xax x g ，)(x g 在),1(+∞上单调递增，则0)1()(=>g x g ，不符合题意， ……9分当210<<a 时，由，得0)(>'x g ),21(+∞∈a x ，由0)(<'x g ，得)21,1(ax ∈， 于是有)(x g 在)21,1(a上单调递减，在),21(+∞a 上单调递增，……10分 0)1()21()(min =<=g ag x g ，则当210<<a 时，),1(+∞∈∃x ，0)(<x g ，……11分综上，a 的取值范围为)21,(−∞ ……12分 【也可参变分离后三次求导，利用洛必达法则】20.(1)∵椭圆的短轴顶点到焦点的距离为6，622==+∴a c b 由322=⇒=c e ∴椭圆C 的标准方程为13622=+y x . ……4分(2)=0=⋅OB OA ，①当直线l 的斜率不存在时，设t x l =:，代入椭圆方程得，262t y −±=，不妨令)26,(2t t A −，)26,(2t t B −−，由0=⋅OB OA 得，202322±=⇒=+−t t t ，此时2:±=x l ，与圆222=+y x 相切；……6分②当直线l 的斜率存在时，设m kx y l +=:，),(),,(2211y x B y x A ，联立⎩⎨⎧+==+mkx y y x 6222得，0624)21(222=−+++m kmx x k则0)62)(21(4162222>−+−=∆m k m k ，化简得3622+<k m ，①由根与系数的关系得，221214k kmx x +−=+，22212162k m x x +−=，……8分则2222212122121216)())((kk m m x x km x x k m kx m kx y y +−=+++=++= ……9分 由0=⋅OB OA 即02121=+y y x x 可得22021621622222222+=⇒=+−++−k m kk m k m 满足①式， 212=+∴k m 即原点到直线l 的距离为2， ……11分∴直线l 与圆222=+y x 相切．综上所述，直线l 与圆222=+y x 相切．……12分21（1）8名员工BMI 数值为“正常”的人有5人，记抽取到正常的人数为X ，则2,1,0=X ，则283)0(282305===C C C X P ；2815)1(281315===C C C X P ；2810)2(280325===C C C X P ……3分 此处分布列略，45)(=X E ……5分 （2）①由a x yˆ5.0ˆ+=预估身高cm 180的体重为kg 71，则195.018071ˆ−=⨯−=a 故66191705.0ˆˆ=−⨯=+=a x by ……7分 ②由①的更正前的数据,66,170==y x 由==5.0ˆb28128188xxy x yx i ii ii −−∑∑==得∑∑==−=⨯⨯−=−=−8181221680)66170888920(2)8(28i i i i iy x y x x x更正后的数据170=='x x ，6788866=+⨯='y ……9分 888181⨯+=''∑∑==xy x y x ii i ii i =818281⨯+∑=i i i y x ，17088)1(88⨯+=+='⋅'y x y x y x44.01680965.08)17088()8182(ˆ81228121281=−+=−⨯+−⨯+='−'''−''=∑∑∑∑====i i i ii ni i i ii xx y x y x x n x y x n y x b故8.717044.067ˆˆ−=⨯−='−'=x b y a，更正后该组数据的线性回归方程为 8.744.0ˆ−=x y……11分 当180=x 时，4.718.718044.0ˆ=−⨯=y ，所以重新预估一名身高为cm 180的一个的体重约为kg 4.71 ……12分22 (1)将曲线1C 的方程为1)2()2(22=−+−y x 展开整理得074422=+−−+y x y x 利用θρcos =x ，θρsin =y 化为07sin 4cos 42=+−−θρθρρ……3分由于直线2C 过原点，且倾斜角为3π，故其极坐标方程为)(3R ∈=ρπθ．……5分【或者：3πθ=，34πθ=，0≥ρ】 (2)由⎪⎩⎪⎨⎧==+−−307sin 4cos 42πθθρθρρ得07)232(2=++−ρρ， 设B A ,对应的极径分别为21,ρρ，则23221+=+ρρ，721=ρρ，……8分 ∴72321111212121+=+=+=+ρρρρρρOB OA ；……10分。
四川省成都市石室中学2022-2023学年高三下学期二诊模拟考试理科数学试题
一、单选题二、多选题1. 函数是定义在R 上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（ ）A ．－32B ．32C ．16D ．82.已知函数仅有一个极值点，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．3. 已知函数，则函数的零点为（ ）A．B ．，0C．D ．04. 国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为（ ）A ．65B ．125C ．780D ．15605. 春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（ ）A ．10天B ．15天C ．19天D ．2天6. 在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）A．B．C．D．7. 已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，则下列结论中错误的是（ ）A．的标准方程为B．的离心率等于C．与双曲线的渐近线不相同D ．直线与有且仅有一个公共点8.已知，则（ ）A．B．C．D．9. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．A．B．C．D．四川省成都市石室中学2022-2023学年高三下学期二诊模拟考试理科数学试题四川省成都市石室中学2022-2023学年高三下学期二诊模拟考试理科数学试题三、填空题四、解答题10. 我国古代《九章算术》里记载了一个“羡除”的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪，如图是一个“羡除”模型，该“羡除”是以为顶点的五面体，四边形为正方形，平面，则（）A．该几何体的表面积为B．该几何体的体积为C．该几何体的外接球的表面积为D ．与平面所成角的正弦值为11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A．函数是偶函数，且在上不单调B ．函数是奇函数，且在上不单调递增C ．函数在上单调递增D ．对任意，都有，且12. 下列说法正确的有（ ）A ．若随机变量，，则B ．残差和越小，模型的拟合效果越好C．根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过5%D ．数据4，7，5，6，10，2，12，8的第60百分位数为613.设，，记，，分别为a ，b 的算术平均数、几何平均数、调和平均数，古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过时A ，G ，H 的大小关系，则A ，G ，H 中最大的为______，最小的为______．14. 如图，已知正四面体EFGH 和正四棱锥的所有棱长都相等，现将正四面体EFGH 的侧面EGH 与正四棱锥的侧面PAB 重合（P ，E 重合；A ，H 重合；B ，G 重合）后拼接成一个新的几何体，对于新几何体，下列说法正确的有______①②PF 与BC 异面③新几何体为三棱柱④新几何体的6个顶点不可能在同一个球面上15. 已知的三个顶点为,,,求的外接圆方程__________________.16.如图，已知三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，为其两对角线的交点，，，，分别为，的中点，顶点在底面的射影为底面中心．（1）求证：平面，且平面；（2）求三棱锥的体积．17. 如图，点是锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得，逆时针旋转得，…，逆时针旋转得．（1）若的坐标为，求点的横坐标；（2）若点的横坐标为，求的值．18. 已知函数，，且关于的不等式的解集为，设.（1）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；（2）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.19. 如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面为的中点，在棱上，且.(1)求三棱锥的体积;(2)求证:平面;(3)若为中点，在棱上，且，求证:平面.20. 某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负.现A，B双方参加比赛，A方在每一场获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立.（1）当时，求A方恰在比赛四场后赢得比赛的概率；（2）若B方在每一场获胜的概率为q，设比赛场数为.（i）试求的分布列及数学期望；（用P，q表示）（ⅱ）求的最大值，并给出能够减少比赛场数的建议.21. 已知函数.(1)求函数在区间上的最值；(2)讨论方程实根个数.。
2023年四川省成都市武侯区玉林中学高考数学二诊试卷(理科)+答案解析(附后)
2023年四川省成都市武侯区玉林中学高考数学二诊试卷（理科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 若复数z满足，则复数z的共轭复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知等比数列的前n项和为，且，，则( )A. B. 5 C. D.4. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图.若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为，；方差分别为，则下面正确的是( )A. B.C. D.5.如图，正方体中，M是的中点，则( )A. 直线MB与直线相交，直线平面B. .直线MB与直线平行，直线平面C. 直线MB与直线AC异面，直线平面D.直线MB与直线垂直，直线平面6. 已知平面向量和，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 记不等式组的解集为D，现有下面四个命题：：，；：，；：，；：，其中真命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于点A，B，与抛物线的准线交于点M，且点A位于第一象限，F恰好为AM的中点，，则( )A. B. C. D.9. 双碳，即碳达峰与碳中和的简称年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量单位：，放电时间单位：与放电电流单位：之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为( )A. 28hB.C. 29hD.10. 在菱形ABCD中，，，AC与BD的交点为G，点M，N分别在线段AD，CD上，且，，将沿MN折叠到，使，则三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D.11. 在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离单位：与制动距离单位：之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度单位：根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述，与v的函数关系的是( )A. ，B. ，C.， D. ，12. 已知，，，其中e为自然对数的底数，则( )A. B. C. D.13.二项式的展开式中的系数为______ .14. 如图，在矩形ABCD中，，AC与BD的交点为M，N为边AB上任意点包含端点，则的最大值为______ .15. 有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球，1个红球，乙袋中有2个红球，一个白球.这6个球手感上不可区别.今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，此球是红球的概率为______ .若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率为______ .16. 设双曲线的左、右焦点分别为，，B为双曲线E上在第一象限内的点，线段与双曲线E相交于另一点A，AB的中点为M，且，若，则双曲线E的离心率为______ .17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求A；若的面积为，点D在线段AC上，且，求BD的最小值.18. 如图，，分别是圆台上、下底面的圆心，AB是下底面圆的直径，，点P是下底面内以为直径的圆上的一个动点点P不在上求证：平面平面；若，，求二面角的余弦值．19. 某电影制片厂从2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长单位：分钟如图所示.从2011年至2020年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率；从2011年至2020年中任选两年，设X为选出的两年中动画影片时长大于纪录影片时长的年数，求X的分布列和数学期望；将2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为，，，试比较，，的大小只需写出结论20. 已知椭圆的右焦点为F，离心率为，且点在㮋圆上.求椭圆C的标准方程；过右焦点F且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为Q，经过坐标原点O和点Q的直线m与椭圆C交于M，N两点，求四边形AMBN的面积的取值范围.21. 已知函数当时，求在点处的切线方程；当时，，求实数m的取值范围.22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为其中t为参数，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，其中为参数.求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程，并画出曲线C的简图无需写出作图过程；直线与曲线C相交于A，B两点，且，求的值.答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合，或，，所以，所以B正确；A不正确；或，所以C、D不正确；故选：求解集合B，然后求解交集与并集，即可判断元素与集合的关系，得到正确的选项．本题考查二次不等式的解法，交集以及并集的元素，运算与集合的关系，是基础题．2.【答案】C【解析】解：因为，所以所以，对应的点为，位于第三象限．故选：根据复数的运算求出z，再根据共轭复数的概念及复数的几何意义即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：等比数列的前n项和为，且，，则，，，，即，解得，故，所以故选：根据已知条件，结合等比数列的性质，求出m，即可求出，再将代入，即可求解．本题主要考查等比数列的前n项和公式，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由频率分布直方图得：甲地区：的频率为，的频率为，甲地区用户满意度评分的中位数，乙地区：的频率为，的频率为，乙地区用户满意度评分的中位数，，由直方图可以看出，乙地区用户满意度评分的集中程度比甲地区的高，故选：根据直方图求出甲、乙地区用户满意度评分的中位数，并通过两地区用户满意度评分的集中程度即可得到哪个方差小．本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了中位数和方差的计算，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：对于选项A，连接，BD，如图，在正方体中，，面MBD，所以平面MBD，又面MBD，，所以直线MB与直线不相交，故选项A错误；对于选项B，连接，，如图，在正方体中，，面MBD，所以面MBD，又面MBD，，所以直线MB与直线不平行，故选项B错误；对于选项C，连接，，，在正方体中，，，，所以面，又，所以BM与平面不垂直，故选项C错误；对于D选项，连接，，，，，在正方体中，，，，所以面，面，所以，设，连接，如图，，，，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为面，所以面，故选项D正确，故选：可利用正方体的性质以及线面垂直，线面平行的判定及性质逐一选项判断即可．本题考查了空间中直线与平面平行，直线与平面垂直的判定，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：“”，化为：“”是“”的充要条件．故选：“”，展开化简即可判断出结论．本题考查了数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：不等式组的解集为D，作出平面区域：由图可知，在阴影区域ABC中，对于：，，正确；：，，错误；：，，代入不成立，错误；：，，正确．故选：依题意，作出线性规划图，对、、、四个选项逐一判断分析即可．本题考查命题的真假判断与应用，作出平面区域是关键，考查分析与作图能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：抛物线C：的焦点为，过点F的直线与抛物线交于点A，B，与抛物线的准线交于点M，且点A位于第一象限，F恰好为AM的中点，所以M的纵坐标为：，则A的纵坐标：，A的横坐标为：，M的横坐标为：，FA的斜率为：，AF的方程为：，代入抛物线方程可得：，可得，，可得，可得故选：利用已知条件求解A的坐标，得到M的坐标，然后求解B的坐标，即可求解的值．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．9.【答案】B【解析】解：根据题意可得，则当时，，所以，即当放电电流时，放电时间为，故选：根据题意求出蓄电池的容量C，再把时代入，结合指数与对数的运算性质即可求出结果．本题主要考查了函数的实际应用，考查了指数与对数的运算性质，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：在菱形ABCD中，，，AC与BD的交点为G，则，设，又点M，N分别在线段AD，CD上，且，，则，，将沿MN折叠到，使，设在平面ABC内的射影为F，则点F在BG直线上，又，，，由可得点F与点G重合，即在平面ABC内的射影为G，又为直角三角形，且，则，，则，设的外接圆的圆心为，半径为r，则，即，即，，设三棱锥的外接球的球心为O，半径为R，则平面ABC，设H为的外心，则四边形为矩形，设，则，则，，即三棱锥的外接球的表面积为，故选：由已知可得在平面ABC内的射影为G，由正弦定理可得的外接圆的半径为，设三棱锥的外接球的球心为O，半径为R，H为的外心，且，则，然后结合球的表面积公式求解即可．本题考查了正弦定理及勾股定理，重点考查了球的表面积公式，属中档题．11.【答案】B【解析】解：设，，由图象知，过点，，，，，，，，，，，，，，作出散点图，如图由图1可得，与v呈现线性关系，可选择用，过点，，，，，，，，，，，，，，作出散点图，如图由图2可得，与v呈现非线性关系，比较之下，可选择用故选：设，，根据图象得到函数图象上的点，作出散点图，即可得到答案．本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查散点图的应用，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：令，，令，则，当时，，则在上单调递增，又，所以当时，，又，所以在上恒成立，又，所以，即令，则，当时，，所以在上单调递减，所以当时，，即，令，则，在上单调递减，所以当时，，即，所以在上恒成立，令，则，所以，综上所述，故选：构造函数，，利用导数判断其单调性即可判断a，c的大小；，可构造函数判断与的大小，构造函数判断与的大小，从而可判断b，c的大小．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了构造函数的数学思想，属于中档题．13.【答案】90【解析】解：展开式的通项公式为，，1，，5，令，解得，所以的系数为，故答案为：求出展开式的通项公式，然后令x的指数为4，由此即可求解．本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：以AB，AD所在直线为坐标轴，建立坐标系，如图，，AC与BD的交点为M，N为边AB上任意点包含端点，，，，，，，，则，则的最大值为：故答案为：利用向量的坐标运算，转化求解即可．本题考查平面向量的数量积的求法与应用，是基础题．15.【答案】【解析】解：设从甲袋放入乙袋的是白球，从甲袋放入乙袋的是红球，从乙袋中任取一球是红球，所以，所以故答案为：；设从甲袋放入乙袋的是白球，从甲袋放入乙袋的是红球，从乙袋中任取一球是红球，利用和求解．本题主要考查了全概率公式，考查了条件概率公式，属于基础题．16.【答案】【解析】解：由，，则在直角三角形中，，由且M为AB的中点，则，连接，设，，则，，由双曲线的定义可得：，，由上两式联立解得：，在直角三角形中，，即，即，故，故答案为：由且M为AB的中点，则，设，，根据双曲线的定义可求出x，y的值，然后在直角三角形中由勾股定理可得出答案．本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，方程思想，属中档题．17.【答案】解：因为，由正弦定理得所以，整理得，因为，所以，即，由A为三角形内角得；因为，所以，因为D在线段AC上，且，所以，所以，当且仅当且，即，时取等号，所以BD的最小值为【解析】由已知结合正弦定理，和差角公式进行化简可求，进而可求A；结合三角形面积公式先求出bc，然后结合向量数量积的性质及基本不等式即可求解．本题主要考查了正弦定理，和差角公式，三角形的面积公式的应用，还考查了向量数量积的性质及基本不等式的应用，属于中档题．18.【答案】证明：由题意可得平面PAB，，为直径，，，平面，又平面，平面平面；解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，，，，可得，，，，，，，设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，由，取，得；由，取，得由图可知二面角为钝角，二面角的余弦值为【解析】由线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得证；以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合向量夹角公式即可求解．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19.【答案】解：从2011年至2020年，共10年，其中动画影片时长大于纪录影片时长的年份有：2011年，2015年，2017年，2018年，2019年，2020年，共6年，故所求概率的所有可能取值为0，1，2，则，，，所以随机变量X的分布列为：X012P数学期望结合图象可知科教影片时长的波动最大，方差最大，将动画影片、记录影片时长从小到大排列，动画影片：150，180，200，240，260，290，320，350，380，430，记录影片：100，130，150，190，210，240，270，300，330，380，记录影片的每个数都比动画影片小50，波动一样，故方差相同，故【解析】利用古典概型概率公式计算即可得解；的所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，可得分布列和数学期望；由图象结合方差的意义即可比较大小．本题主要考查古典概型的概率公式、离散型随机变量的分布列，期望和方差，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：因为，可得，设椭圆的方程为：，将点代入椭圆的方程：，解得，所以椭圆的方程为：；由可得右焦点，由题意设直线l的方程为，设，，联立，整理可得：，显然成立，，，，可得AB的中点，可得弦长，可得直线OQ的方程为，设，，联立，整理可得，可得，设，，所以M到直线l的距离，N到直线l的距离，因为M，N在直线l的两侧，所以，所以，因为所以四边形的面积的范围【解析】由离心率的值可得a，b的关系，再将点的坐标，代入椭圆的方程，可得a，b的值，可得椭圆的方程；设直线l的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，可得弦长的代数式，可得AB的中点Q的坐标，可得直线OQ的方程，与椭圆联立，可得M，N的坐标，可得M，N到直线l的距离，由M，N在直线的两侧，可得M，N到直线l的距离之和的代数式，可得四边形的面积的表达式，由自变量的范围，可得四边形的面积的范围．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，四边形的面积的求法，属于中档题．21.【答案】解：函数的导数为，可得在点处的切线的斜率为，又切点为，则切线的方程为，即为；当时，，即为，由，，可得恒成立．设，由，，可得，由，，可得，所以函数在递减，可得，则，即恒成立，所以，即m 的取值范围是【解析】求得的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程；由参数分离可得恒成立，考虑与1的大小，运用导数和单调性，结合不等式恒成立思想，可得所求取值范围．本题考查函数的导数的运用：求切线的方程和单调性，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：直线l 的参数方程为，其中t 为参数，转换为普通方程为；曲线C 的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为故曲线C 的简图为：直线，与曲线C 相交于A ，B 两点，所以，解得，同理，所以，故，整理得：，由于，所以【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用极径的关系式和三角函数关系式的变换及正弦型函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径关系式，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．。
2024年四川省成都市青羊区中考数学二诊试卷及答案解析
2024年四川省成都市青羊区中考数学二诊试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1．（4分）﹣2024的相反数是（）A．2024B．C．﹣2024D．2．（4分）下列运算正确的是（）A．3x2+2x2＝6x4B．（﹣2x2）3＝﹣6x6C．（x+2）2＝x2﹣4x+4D．﹣6x2y3÷2x2y2＝﹣3y3．（4分）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水中时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，水面和杯底互相平行，∠1+∠2＝130°，∠3＝100°，则∠1的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．40°4．（4分）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．5．（4分）关于反比例函数，下列说法正确的是（）A．图象分布在第一、二象限B．在各自的象限内，y随x的增大而增大C．函数图象关于y轴对称D．函数图象与直线y＝2x有两个交点6．（4分）某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了40名学生，调查结果列表如下：锻炼时间/h5678人数913126则这40名学生在校一周体育锻炼时间的中位数为（）A．5h B．6h C．7h D．8h7．（4分）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗，设清酒有x斗，那么可列方程为（）A．3x+10（5﹣x）＝30B．C．D．10x+3（5﹣x）＝308．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，则以下结论：①ac＜0；②对称轴为x＝1；③2a+c＝0；④a+b+c＞0．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)9．（4分）因式分解3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝．10．（4分）2023年12月22日成都市政府新闻办召开解读《成都大运会绿色低碳办赛报告》新闻通气会，记者在会上获悉，成都大运会通过新能源汽车使用、无纸化办公、办公租赁、减少塑料制品等措施产生碳减排3.2万吨，3.2万用科学记数法表示为．11．（4分）若点A（m，﹣3）与点B（﹣4，n）关于原点对称，则m+2n＝．12．（4分）如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，该图案绕中心至少旋转度后能与原图案重合．13．（4分）如图，在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交AB，BC于M，N两点；②以点M和点N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线BP 交AD于点E，过E作EF⊥BE交BC延长线于F．若AB＝4，BC＝5，则CF＝．三、解答题(本大题共5个小题。
2024年四川省成都市锦江区中考数学二诊试卷(含解析)
2024年四川省成都市锦江区中考数学二诊试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（4分）某植物种子发芽的最适宜温度是，如果低于最适宜发芽温度记作，那么高于最适宜发芽温度应该记作 A ．B ．C ．D ．2．（4分）如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体从正面看到的图形是 A ．B ．C ．D ．3．（4分）2024年2月，中国载人月球探测任务新飞行器名称已经确定，新一代载人飞船命名为“梦舟”，月面着陆器命名为“揽月”，中国探月工程正向新的目标迈进．已知地球与月球之间的平均距离大约是384000千米，数据384000用科学记数法表示为 A ．B ．C ．D ．4．（4分）下列运算正确的是 A ．B ．C ．D ．5．（4分）《义务教育课程标准年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：2，4，3，2，5，2，3．则这组数据的众数和中位数分别是 A ．2，2B ．2，2.5C ．2，3D ．3，36．（4分）如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点，在近岸取点，，26C ︒1C ︒1C ︒-0.5C ︒()0.5C ︒0.5C ︒-26.5C ︒26.5C︒-()()50.38410⨯60.38410⨯53.8410⨯63.8410⨯()224527a a a +=326(3)9x x -=623422a a a ÷=222()a b a ab b -=-+(2022()A D B使得，，在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取点，并测得，．如果，则河宽为 A ．B ．C ．D ．7．（4分）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两（注：明代当时1斤两，故有“半斤八两”这个成语）．设有人，银子有两，可列方程组是 A ．B ．C ．D ．8．（4分）如图，抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论正确的是 A ．B ．C ．关于的方程没有实数根D ．若点在该抛物线上，则A D B DE AB C 15BD m =40BC m =30DE m =AD ()30m 35m 40m 45m16=x y ()7498x y x y =-⎧⎨=+⎩7498x y x y =+⎧⎨=-⎩4789y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩4789y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2(0)y ax bx c a =++≠x (4,0)1x =()abc >420a b c -+>x 22ax bx c ++=(,)P m n 2am bm c a b c++++…二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．（4分）分解因式： ．10．（4分）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．11．（4分）如图，在菱形中，，分别是，上的点，且，连接，．若，，则的大小为 ．12．（4分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，若点的坐标为，则关于的不等式的解集为 ．13．（4分）如图，在中，按以下步骤操作：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；③分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；④作射线，交直线于点，连接．若，，则 ．三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．（12分）（1；（2）解不等式组：．24x y y -=x 22470x x a ++-=a ABCD E F AB BC BE BF =DE DF 140ADC ∠=︒50CDF ∠=︒EDF ∠1y k x =2k y x=A B A (1,2)-x 21k k x x >ABC ∆B C 12BC M N C AC BC E F E F 12EF O CO MN P BP 110BAC ∠=︒7ABP ∠=︒PBC ∠=201tan 60()(3π-︒+---523(1)131722x x x x +>-⎧⎪⎨-≤-⎪⎩15．（8分）“岁岁春草生，踏青二三月”，又到了阳光明媚，适合春季研学的季节．某校数学实践小组就春季研学地点进行了调研：“：非遗博览园；：武侯祠；：杜甫草堂；：大熊猫繁育基地；：金沙遗址博物馆”．实践小组随机抽取了部分同学进行“春季研学最想去的地点”（每人必选且只选一个地点）调查，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）数学实践小组在这次活动中，调查的学生共有 人，在扇形统计图中，地点所对应的圆心角是 度；（2）补全“春季研学最想去的地点统计图”中的条形统计图；（3）若要选出两名研学小组组长，有两名男同学和两名女同学报名，为保证公平决定采取抽签方式抽取两名组长，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率．16．（8分）如图，为了测量山坡的护坡石坝坝顶与坝脚之间的距离，把一根长为6米的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米处距离地面的高度为0.6米，又测得石坝与地面的倾斜角为．求石坝坝顶与坝脚之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，17．（10分）如图，在中，以边为直径作，交于点，交的延长线于点，连接交于点，且．（1）求证：；（2）如图1，若，求的值；A B C D E D C B AC α72︒C B 0.1m sin 720.95︒≈cos720.31︒≈tan 72 3.08)︒≈ABC ∆AB O BC D CA E DE AB F DE DC =BD DC =23EF FD =EA AC（3）如图2，若，求阴影部分的面积．18．（10分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；（2）连接，，点为反比例函数图象第一象限上一点，连接，，若，求点的坐标；（3）已知为轴上一点，作直线关于点中心对称的直线，交反比例函数的图象于点，，若，求的值．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19．（4分）若，则的值为 ．20．（4分）如图，将沿方向平移得到，随机在与组成的图形中取点，取到重叠部分（图中阴影部分）的概率为．若，则平移的距离为 ．21．（4分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．直线经过格点，，直3EF FD ==23y x =+k y x=(1,)A a B B AO BO P AP BP 2ABP ABO S S ∆∆=P (,0)T t x AB T CD E F EF =t 10m n +=11(2)()n m m n m n++÷+ABC ∆BC DEF ∆ABC ∆DEF ∆176BF =ABC ∆108⨯l A B线经过格点，，直线经过格点，．点，分别在直线，上，连接交直线于点，则的值为 ．22．（4分）如图，为了提醒司机安全驾驶，要在隧道中安装电子显示屏．已知隧道截面为抛物线型，水平路面宽米，抛物线顶点到距离为12米．根据计划，安装矩形显示屏的高为1米，为了确保行车安全，显示屏底部距离地面至少8米，若距离左右墙壁各留至少1米的维修空间，则该矩形显示屏的宽的最大长度为 米．23．（4分）如图，在等边中，，点是边上一点，且，过点作于点，连接，则 ；点是的中点，连接，过点作交于点，则 ．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）24．（8分）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支．（1）求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？m C D n E F O Q l n OQ m P OP PQ16AB =C AB MNPQ MQ MNPQ QP ABC ∆9BC =D BC 6BD =D DE AB ⊥E AD AD =F AD CF F FG CF ⊥DE G FG =π60%（2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？25．（10分）如图，二次函数的图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，二次函数图象的顶点为．（1）若，求顶点的坐标及线段的长；（2）当时，二次函数的最小值为，求的值；（3）连接，，，若，求点的坐标．26．（12分）已知两个矩形，若其中一个矩形的四个顶点分别在另一个矩形的四条边上（顶点不重合），我们称这个矩形为另一个矩形的“衍生矩形”．【模型探究】（1）如图1，矩形是矩形的“衍生矩形”，不连接其它线段，图中有哪几组全等三角形，请写出并任选一组证明；【迁移应用】（2）如图2，在矩形中，，．点在线段上，且，点是边上的动点，连接，以为边作矩形，点在边上，点落在矩形内．连接，，当面积为时，求的长；【拓展延伸】（3）如图3，在矩形中，，．点是的中点，点是边上的动点，连接，以为边作矩形，点在边上，点始终落在矩形内（不含边界）．连接，点是的中点，连接，求长的取值范围（用含，的式子表示）．20%2221(0)y x mx m m =--->x A B A B y C D 2m =D AB 14x ……6-m AC BC DC ACB BCD ∠=∠C EFGH ABCD ABCD 7AB =8AD =M AD 5AM =N AB MN MN MNPQ P BC Q ABCD CQ DQ CDQ ∆72AN ABCD 2AB a =2()AD b a b =<N AB M AD MN MN MNPQ P BC Q ABCD MP O MP CO CO a b2024年四川省成都市锦江区中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（4分）某植物种子发芽的最适宜温度是，如果低于最适宜发芽温度记作，那么高于最适宜发芽温度应该记作 A ．B ．C ．D ．【解答】解：低于最适宜发芽温度记作，那么高于最适宜发芽温度应该记作，故选：．2．（4分）如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体从正面看到的图形是 A ．B ．C ．D ．【解答】解：从正面看，共有三列，左边一列是三个小正方形，中间和右边一列分别是一个小正方形．故选：．3．（4分）2024年2月，中国载人月球探测任务新飞行器名称已经确定，新一代载人飞船命名为“梦舟”，月面着陆器命名为“揽月”，中国探月工程正向新的目标迈进．已知地球与月球之间的平均距离大约是384000千米，数据384000用科学记数法表示为 A ．B ．C ．D ．【解答】解：．故选：．4．（4分）下列运算正确的是 A ．B．26C ︒1C ︒1C ︒-0.5C ︒()0.5C ︒0.5C ︒-26.5C ︒26.5C︒-1C ︒1C ︒-0.5C ︒0.5C ︒+A ()B ()50.38410⨯60.38410⨯53.8410⨯63.8410⨯5384000 3.8410=⨯C ()224527a a a +=326(3)9x x -=C ．D ．【解答】解：，故错误，不符合题意；，故正确，符合题意；，故错误，不符合题意；，故错误，不符合题意；故选：．5．（4分）《义务教育课程标准年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：2，4，3，2，5，2，3．则这组数据的众数和中位数分别是 A ．2，2B ．2，2.5C ．2，3D ．3，3【解答】解：这组数据2，2，2，3，3，4，5中2出现3次，次数最多，所以这组数据的众数为2，中位数为3．故选：．6．（4分）如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点，在近岸取点，，使得，，在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取点，并测得，．如果，则河宽为 A ．B ．C ．D ．【解答】解：，，，，，即：，623422a a a ÷=222()a b a ab b -=-+222527a a a +=A 326(3)9x x -=B 624422a a a ÷=C 222()2a b a ab b -=-+D B (2022()C AD B A D B DE AB C 15BD m =40BC m =30DE m =AD ()30m 35m 40m 45mAB DE ⊥ BC AB ⊥//DE BC ∴ADE ABC ∴∆∆∽∴AD DE AB BC=301540AD AD =+解得：．故选：．7．（4分）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两（注：明代当时1斤两，故有“半斤八两”这个成语）．设有人，银子有两，可列方程组是 A ．B ．C ．D ．【解答】解：如果每人分七两，则剩余四两，；如果每人分九两，则还差八两，．根据题意可列出方程组．故选：．8．（4分）如图，抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论正确的是 A ．B．45AD m =D 16=x y ()7498x y x y =-⎧⎨=+⎩7498x y x y =+⎧⎨=-⎩4789y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩4789y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 74x y ∴=- 98x y ∴=+∴7498x y x y =-⎧⎨=+⎩A 2(0)y ax bx c a =++≠x (4,0)1x =()abc >420a b c -+>C ．关于的方程没有实数根D ．若点在该抛物线上，则【解答】解：抛物线开口向下，，对称轴在轴的右侧，、异号，，抛物线与轴交于正半轴，，，故错误；抛物线与轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴的另一个交点坐标为，，故错误；由图象可知抛物线与直线有两个交点，关于的方程有两个不相等的实数根，故错误；当时，该函数取得最大值，此时，当点在该抛物线上，此时，，即，故正确；故选．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．（4分）分解因式： ．【解答】解：，x 22ax bx c ++=(,)P m n 2am bm c a b c++++… 0a ∴< y a ∴b 0b ∴> y 0c ∴>0abc ∴<A 2(0)y ax bx c a =++≠x (4,0)1x =∴x (2,0)-420a b c ∴-+=B 2(0)y ax bx c a =++≠2y =∴x 22ax bx c ++=C 1x =y a b c =++(,)A m n 2n am bm c =++2am bm c a b c ∴++++…2am bm a b ++…D D 24x y y -=(2)(2)y x x +-24x y y-2(4)y x =-(2)(2)y x x =+-故答案为：．10．（4分）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 2 ．【解答】解：根据题意得△，解得，即的值为2．故答案为：2．11．（4分）如图，在菱形中，，分别是，上的点，且，连接，．若，，则的大小为 ．【解答】解：四边形是菱形，，，，，，即，在和中，，；，，故答案为：．12．（4分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，若点的坐标为，则关于的不等式的解集为 或 ．(2)(2)y x x +-x 22470x x a ++-=a 224(47)0a =--=2a =a ABCD E F AB BC BE BF =DE DF 140ADC ∠=︒50CDF ∠=︒EDF ∠40︒ ABCD A C ∴∠=∠AB CB =AD DC =BE BF = AB BE CB BF ∴-=-AE CF =ADE ∆CDF ∆AD CD A C AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE CDF SAS ∴∆≅∆50ADE CDF ∴∠=∠=︒140505040EDF ∴∠=︒-︒-︒=︒40︒1y k x =2k y x =A B A (1,2)-x 21k k x x>1x <-01x <<【解答】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为，，关于的不等式的解集为或．故答案为：或．13．（4分）如图，在中，按以下步骤操作：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；③分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；④作射线，交直线于点，连接．若，，则 ．【解答】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，为的平分线，，，．，即，，．故答案为：．三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．（12分）（1；1y k x =2k y x =A B A (1,2)-(1,2)B ∴-∴x 21k k x x>1x <-01x <<1x <-01x <<ABC ∆B C 12BC M N C AC BC E F E F 12EF O CO MN P BP 110BAC ∠=︒7ABP ∠=︒PBC ∠=21︒MN BC CP ACB ∠PB PC ∴=ACP BCP ∠=∠PBC BCP ACP ∴∠=∠=∠180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒ 180BAC ABP PBC BCP ACP ∠+∠+∠+∠+∠=︒11073180PBC ∴︒+︒+∠=︒21PBC ∴∠=︒21︒201tan 60()(3π-︒+---（2）解不等式组：．【解答】解：（1）原式；（2）由得：，由得：，则不等式组的解集为．15．（8分）“岁岁春草生，踏青二三月”，又到了阳光明媚，适合春季研学的季节．某校数学实践小组就春季研学地点进行了调研：“：非遗博览园；：武侯祠；：杜甫草堂；：大熊猫繁育基地；：金沙遗址博物馆”．实践小组随机抽取了部分同学进行“春季研学最想去的地点”（每人必选且只选一个地点）调查，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）数学实践小组在这次活动中，调查的学生共有 200 人，在扇形统计图中，地点所对应的圆心角是 度；（2）补全“春季研学最想去的地点统计图”中的条形统计图；（3）若要选出两名研学小组组长，有两名男同学和两名女同学报名，为保证公平决定采取抽签方式抽取两名组长，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率．【解答】解：（1）调查的总人数为（人，在扇形统计图中，地点所对应的圆心角为；故答案为：200，36；523(1)131722x x x x +>-⎧⎪⎨-≤-⎪⎩91=+-8=523(1)x x +>-52x >-131722x x --...4x (542)x -<…A B C D E D 6030%200÷=)D 2036036200︒⨯=︒（2）组人数为（人，组人数为（人，条形统计图补充为：（3）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中一名男同学和一名女同学的结果数为8种，所以恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率．16．（8分）如图，为了测量山坡的护坡石坝坝顶与坝脚之间的距离，把一根长为6米的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米处距离地面的高度为0.6米，又测得石坝与地面的倾斜角为．求石坝坝顶与坝脚之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，【解答】解：过点作，垂足为，，，，，，C 20015%30⨯=)A ∴2006030204050----=)82123==C B AC α72︒C B 0.1m sin 720.95︒≈cos720.31︒≈tan 72 3.08)︒≈C CF AB ⊥F 90CFB ∴∠=︒DE AB ⊥ 90AED ∴∠=︒90AED AFC ∴∠=∠=︒DAE CAF ∠=∠，，，解得：，在中，，（米，石坝坝顶与坝脚之间的距离约为3.8米．17．（10分）如图，在中，以边为直径作，交于点，交的延长线于点，连接交于点，且．（1）求证：；（2）如图1，若，求的值；（3）如图2，若，求阴影部分的面积．【解答】（1）证明：如图1，连接，，，，，，是的直径，，，．（2）解：如图1，连接，ADE ACF ∴∆∆∽∴AD DE AC CF =∴10.66CF= 3.6CF =Rt CBF ∆72CBF ∠=︒3.6 3.8sin 720.95CF BC ∴=≈≈︒)∴C B ABC ∆AB O BC D CA E DE AB F DE DC =BD DC =23EF FD =EA AC3EF FD ==AD DE DC = C E ∴∠=∠B E ∠=∠ B C ∴∠=∠AB AC ∴=AB O 90ADB ∴∠=︒AD BC ∴⊥BD DC ∴=OD，，，，，，，，，，的值为．（3）解：如图2，连接，，则，是的直径，且，，，由（2）得，，，垂直平分，，是等边三角形，，，，，阴影部分的面积是BD DC = BO OA =//OD AC ∴12OD AC =//AE OD AEF ODF ∴∆∆∽∴23EA EF OD FD ==32OD EA ∴=∴3122EA AC =∴13EA AC =∴EA AC 13OD AD OD OA =AB O 3EF FD ==AB DE ∴⊥90OFD ∴∠=︒AEF ODF ∆∆∽∴1AF EF OF FD==1122OF AF OA OD ∴===DE ∴OA AD OA OD ∴==AOD ∴∆60AOD ∴∠=︒180120BOD AOD ∴∠=︒-∠=︒3FD ==== OB OD ∴==1342BOD BOD S S S π∆∴=-=-⨯=-阴影扇形∴4π-18．（10分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；（2）连接，，点为反比例函数图象第一象限上一点，连接，，若，求点的坐标；（3）已知为轴上一点，作直线关于点中心对称的直线，交反比例函数的图象于点，，若，求的值．【解答】解：（1）把点代入中得，，点，把点代入得，，反比例函数的表达式为，23y x =+k y x=(1,)A a B B AO BO P AP BP 2ABP ABO S S ∆∆=P (,0)T t x AB T CD E F EF =t (1,)A a 23y x =+235a =+=∴(1,5)A (1,5)A k y x=5k =∴5y x =由，得或，，；（2）延长，交反比例函数的图象于点，则，，，点与点重合，，，，，，，作，交轴于，设直线为，把，代入得，，解得，直线为，由一次函数可知，，将直线向上平移6个单位得到，235y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩15x y =⎧⎨=⎩522x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩5(2B ∴-2)-BO k y x =C OB OC =2ABC ABO S S ∆∆∴=2ABP ABO S S ∆∆= P ∴C 5(2B - 2)-5(2C ∴2)5(2P ∴2)//CD AB y D CD 2y x b =+5(2C 2)25b =+3b =-∴CD 23y x =-23y x =+(0,3)E 6DE ∴=23y x =+29y x =+由解得或，，，综上，点的坐标为，或，；（3）设直线为，则，，，，由消去得，，整理得，，是方程的两个根，，，，，295y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩1210x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩51x y =-⎧⎨=-⎩1(2P ∴10)P 5(22)1(210)CD 2y x b =+1(E x 22)x b +2(F x 22)x b +25y x b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩y 52x b x +=2250x bx +-=1x ∴2x 2250x bx +-=122b x x ∴+=-1252x x =-EF ∴===== EF =∴=，直线为，令，则，由可知直线与轴的交点为，，，，的值为一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19．（4分）若，则的值为 10 ．【解答】解：；故答案为：10．20．（4分）如图，将沿方向平移得到，随机在与组成的图形中取点，取到重叠部分（图中阴影部分）的概率为．若，则平移的距离为 2 ．【解答】解：由平移可得，，，，，，∴210164b +=b ∴=±∴CD 2y x =±0y =x =23y x =+23y x =+x 3(2-0)3(4T ∴-0)t ∴34-34-10m n +=11(2)()n m m n m n ++÷+11(2)()n m m n m n++÷+222n m mn n m mn mn+++=÷2()m n mn mn m n+=⋅+m n=+10=ABC ∆BC DEF ∆ABC ∆DEF ∆176BF =ABC ∆//DE AB BE CF =ABC GEC ∴∆∆∽∴21()4GEC ABC S EC S BC ∆∆==∴12CE BC =设，，，，，解得，，故平移的距离为2．21．（4分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．直线经过格点，，直线经过格点，，直线经过格点，．点，分别在直线，上，连接交直线于点，则的值为 ．【解答】解：取格点、、，连接交直线于点，连接、，，，，，，，，连接、、、，则四边形和四边形都是平行四边形，，，，∴CE x =2BC x =2BE CF x x x ∴==-=6BF = 26x x ⨯+=2x =2BE CF ∴==ABC ∆108⨯l A B m C D n E F O Q l n OQ m P OP PQ 54H L K AE m I CH DL //CH DL CHI DLI ∴∆∆∽∴12HI CH LI DL ==13HI ∴=23LI =110333AI ∴=+=28233IE =+=AC KD EC FD AKDC CDFE ////AK CD EF ∴////l m n ∴∴1053843OP AI PQ IE===故答案为：．22．（4分）如图，为了提醒司机安全驾驶，要在隧道中安装电子显示屏．已知隧道截面为抛物线型，水平路面宽米，抛物线顶点到距离为12米．根据计划，安装矩形显示屏的高为1米，为了确保行车安全，显示屏底部距离地面至少8米，若距离左右墙壁各留至少1米的维修空间，则该矩形显示屏的宽的最大长度为 6 米．【解答】解：由题意，如图，建立平面直角坐标系．由顶点为，可设抛物线的解析式为．又，．5416AB =C AB MNPQ MQ MNPQ QP C (0,12)∴212y mx =+(8,0)B 06412m ∴=+．抛物线为．显示屏底部距离地面至少8米，令．．或．．又显示屏两侧留1米，（米，此时是最大值．故答案为：6．23．（4分）如图，在等边中，，点是边上一点，且，过点作于点，连接，则 是的中点，连接，过点作交于点，则 ．【解答】解：，，，，，，，在中，由勾股定理得：．点是的中点，，过点作于，过点作于，过点作于，延长交于，316m ∴=-∴231216y x =-+ ∴819y =+=2391216x ∴=-+4x ∴=4x =-(4,9)D ∴2(41)6PQ MN ∴==⨯-=)ABC ∆9BC =D BC 6BD =D DE AB ⊥E AD AD =F AD CF F FG CF ⊥DE G FG =6BD = 60B ∠=︒90BED ∠=︒3BE ∴=ED =9AB BC AC === 936AE ∴=-=Rt AED ∆AD === F AD 12FD AD ∴==A AL BC ⊥L F FH BC ⊥H G GK BC ⊥K FG BC P是等边三角形，，，，，，，，，，即，，，，，，，，，，，，设，则，，，，，，，即，解得：ABC ∆ 9BC =1922BL CL BC ∴===AL =93622DL BD BL ∴=-=-=FH BC ⊥ AL BC ⊥//FH AL ∴DFH DAL ∴∆∆∽∴DH FH DF DL AL AD ==1322DH =34DH ∴=FH =315344CH CD DH ∴=+=+=CF ∴==90CFP CHP ∠=∠=︒ PCF FCH ∠=∠CPF CFH ∴∆∆∽∴FP CP CF FH CF CH ====FP ∴=395CP =3915815420PH CP CH ∴=-=-=3924355DP CP CD =-=-=GK x =22DG GK x ==DK =245PK DP DK ∴=-=//GK FH PGK PFH ∴∆∆∽∴GK PK FH PH=GK PH PK FH ∴⋅=⋅8124()205x =-x =，，，．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）24．（8分）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支．（1）求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？（2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？【解答】解：（1）设前期电话询问时自动铅笔的单价是元，则自钢笔的单价是元，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，（元．答：前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元；（2）设学校购买了支钢笔作为奖品，则购买了支自动铅笔，根据题意得：，解得：，GK ∴=24955PK ==PG ∴===FG FP PG ∴=-==π60%20%x (160%)x +30040010(160%)x x-=+5x =5x =(160%)(160%)58x ∴+=+⨯=)y (200)y -5(120%)(200)80.851250y y ⨯+-+⨯ (1252)y …又为正整数，的最大值为62．答：学校最多购买了62支钢笔作为奖品．25．（10分）如图，二次函数的图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，二次函数图象的顶点为．（1）若，求顶点的坐标及线段的长；（2）当时，二次函数的最小值为，求的值；（3）连接，，，若，求点的坐标．【解答】解：（1）当时，抛物线的表达式为：，则抛物线的顶点坐标为：；令，则或5，即；（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，当时，，同理可得：时，，当时，；当时，函数在时取得最小值，即，解得：（舍去）；当时，y y ∴2221(0)y x mx m m =--->x A B A B y C D 2m =D AB 14x ……6-m AC BC DC ACB BCD ∠=∠C 2m =245y x x =--D (2,9)-2450y x x =--=1x =-6AB =x m =1x =22214y x mx m m =---=-4x =1510y m =-x m =221y m m =---4m …4x =15106m -=-2.1m =1m …函数在时取得最小值，即，解得：（舍去）；当时，函数在时取得最小值，即，解得：；综上，（3）由抛物线的表达式知，点、、、的坐标分别为、、、，则直线的表达式为：，的表达式为：，过点作交的延长线于点，则直线的表达式为：，联立和的表达式得：，解得：，则点，由中点坐标公式得点的坐标为：，将点的坐标代入得表达式得：，解得：（舍去）或，则点．1x =46m -=-1.5m =14m <<x m =2621m m -=---1m =-1m =-A B C D (1,0)-(21,0)m +(0,21)m --2(,21)m m m ---BC 21y x m =--CD 21y mx m =---A AH BC ⊥CD H AH 1y x =-+AH BC 211x m x --=-+x m =(,1)N m m --H (21,22)m m +--H DC 22(21)21m m m m --=-+--1m =-12(0,2)C -26．（12分）已知两个矩形，若其中一个矩形的四个顶点分别在另一个矩形的四条边上（顶点不重合），我们称这个矩形为另一个矩形的“衍生矩形”．【模型探究】（1）如图1，矩形是矩形的“衍生矩形”，不连接其它线段，图中有哪几组全等三角形，请写出并任选一组证明；【迁移应用】（2）如图2，在矩形中，，．点在线段上，且，点是边上的动点，连接，以为边作矩形，点在边上，点落在矩形内．连接，，当面积为时，求的长；【拓展延伸】（3）如图3，在矩形中，，．点是的中点，点是边上的动点，连接，以为边作矩形，点在边上，点始终落在矩形内（不含边界）．连接，点是的中点，连接，求长的取值范围（用含，的式子表示）．【解答】解：（1）图中全等三角形有：，．选进行证明，证明：如图1，四边形、是矩形，，，，，EFGH ABCD ABCD 7AB =8AD =M AD 5AM =N AB MN MN MNPQ P BC Q ABCD CQ DQ CDQ ∆72AN ABCD 2AB a =2()AD b a b =<N AB M AD MN MN MNPQ P BC Q ABCD MP O MP CO CO a b AEF CGH ∆≅∆BFG DHE ∆≅∆AEF CGH ∆≅∆ ABCD EFGH 90A B C EFG FGH ∴∠=∠=∠=∠=∠=︒EF GH =90AEF AFE AFE BFG BFG BGF BGF CGH ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒AEF CGH ∴∠=∠；选进行证明，证明：四边形、是矩形，，，，，；（2）如图2，过点作于，于，则，四边形、是矩形，，，，，，，，，，，，，四边形是矩形，()AEF CGH AAS ∴∆≅∆BFG DHE ∆≅∆ ABCD EFGH 90A B D EFG FEH ∴∠=∠=∠=∠=∠=︒EH FG =90AEF AFE AFE BFG BFG BGF AEF DEH ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒BGF DEH ∴∠=∠()BFG DHE AAS ∴∆≅∆Q QK CD ⊥K QL BC ⊥L 90QKC QLC QLP ∠=∠=∠=︒ ABCD MNPQ 90A B BCD MNP NPQ ∴∠=∠=∠=∠=∠=︒8BC AD ==7CD AB ==MN PQ =90AMN ANM ANM BNP BNP BPN BPN LPQ ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒AMN LPQ ∴∠=∠()AMN LPQ AAS ∴∆≅∆5AM LP ∴==AN QL =17722CDQ S QK ∆=⨯⋅= 1QK ∴=90QKC BCD QLC ∠=∠=∠=︒ ∴CKQL，，，，，，即，或5；（3）当点落在边上时，此时，最小，如图3，连接，过点作于，四边形是矩形，经过点，且，，，当点落在矩形的内部，且时，此时最大，如图4，则1CL QK ∴==8512BP BC LP CL ∴=--=--=A B ∠=∠ AMN BNP ∠=∠AMN BNP ∴∆∆∽∴AN AM BP BN =527AN AN=-2AN ∴=Q CD OC NQ O OT BC ⊥T MNPQ NQ ∴O 111222MO NO MP NQ AD b =====CT b ∴=OT a =OC ∴=Q ABCD AM AN a ==OC OC ==CO ∴OC <…。
2023年四川省成都市高考数学二诊试卷(理科)+答案解析(附后)
2023年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）1. 设全集，集合，则( )A. B. C. D.2. 函数的最小正周期为( )A. B. C. D.3. 执行如图所示的程序框图，输出的n的值为( )A. 40B. 41C. 119D. 1224. 若实数x，y满足约束条件，则的最大值为( )A. 0B.C.D. 25. 设，分别是双曲线的左、右焦点为双曲线C右支上一点，若，，则双曲线C的离心率为( )A. B. 2 C. D.6. 甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比赛采取三局两胜制当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束，则甲获胜的概率为( )A. 5B.C.D.7. 已知命题p：空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行；命题q：空间中三个平面，，，若，，，则则下列命题为真命题的是( )A. B. C. D.8. 已知过抛物线C：的焦点F，且倾斜角为的直线l交抛物线C于A，B两点，则( )A. 32B.C.D. 89. 若奇函数满足，且当时，，则( )A. B. C. 0 D.10. 正三棱锥中，，顶点P到底面ABC的距离为2，其各顶点都在同一面上，则该球的半径为( )A. B. C. D. 311. 已知，，，则( )A. B. C. D.12. 在中，已知，，，当取得最小值时，的面积为( )A. B. C. D.13. 复数为虚数单位，则的值为______ .14. 已知，则______ .15. 若直线：与：相交于点P，过点P作圆C：的切线，切点为M，则的最大值为______ .16. 若函数存在极大值点，且，则实数a的取值范围为______ .17. 某中学为了丰富学生的课余生活，欲利用每周一下午的自主活动时间，面向本校高二学生开设“厨艺探秘”“盆景栽培”“家庭摄影”“名画鉴赏”四门选修课，由学生自主申报，每人只能报一门，也可以不报.该校高二有两种班型-文科班和理科班各有2个班，据调查这4个班中有100人报名参加了此次选修课，报名情况统计如下：厨艺探秘盆景栽培家庭摄影名画鉴赏文科1班115146文科2班127114理科1班3193理科2班5162若把“厨艺探秘”“盆景栽培”统称为“劳育课程”，把“家庭摄影”“名画鉴赏”统称为“美育课程”.请根据所给数据，完成下面的列联表：课程报名班型合计“劳育课程”“美育课程”文科班理科班合计根据列联表中所填数据，判断是否有的把握认为课程的选择与班型有关.附：18.已知等比数列的公比为3，且，，成等差数列.求数列的通项公式；求数列的前n项和19. 如图，三棱柱中，与均是边长为2的正三角形，且证明：平面平面；求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线在第一象限与椭圆C相交于点P，且求椭圆C的方程；设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围.21. 已知函数，其中，求函数的单调区间；当时，函数恰有两个零点，求a的取值范围. 22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；已知点P的直角坐标为，直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值.23. 已知函数画出的图象；求不等式的解集.答案和解析1.【答案】C【解析】解：对于AB，，，，A错误，B错误；对于CD，或，，，C正确，D错误．故选：根据补集定义、元素和集合的关系直接判断各选项即可．本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：，所以该函数的最小正周期为，故选：根据诱导公式，结合辅助角公式、正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可．本题主要考查了函数周期的求解，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：模拟执行程序的运行过程知，，，；，；，，结束循环，输出的n值为故选：模拟执行程序的运行过程，即可求出程序运行后输出的n值．本题考查了程序的运行问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法，是基础题．4.【答案】C【解析】解：实数x，y满足约束条件所表示的区域如图阴影所示：由，解得点，的几何意义为：可行域内的点与原点连线的斜率，由图象可知，当原点与点连接时，取得最大值，即故选：根据约束条件画出线性规划区域，根据的几何意义即可求解．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合，是解决本题的关键．5.【答案】A【解析】解：利用双曲线的定义及标准方程，得到，，又，，因为，所以，故，即故选：利用双曲线的定义及标准方程，得到，，结合勾股定理表示出a 和c的关系即可．本题主要考查了双曲线的定义和性质，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：这场比赛甲获胜对应的事件A有两种可能，事件：比赛两局结束且甲获胜；事件：比赛三局结束且甲获胜．；，所以故选：计算比赛两局结束和比赛三局结束，分别求出概率即可．本题考查了相互独立事件概率的求法问题，也考查了运算求解能力，是基础题．7.【答案】D【解析】解：空间中两条直线没有公共点，这两条直线可能异面，而不平行，命题p是假命题；如图，，，，，，在内任取一点O，作，，则，，又，，，，，命题q是真命题，为假命题，为真命题，为真命题．故选：容易判断命题p是假命题；可画出图形，可根据面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理由，且得出，从而判断命题q是真命题，然后得出是真命题，从而可得出正确的选项．本题考查了异面直线的定义，面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，线面垂直的定义，复合命题的真假判断，考查了推理能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由抛物线C：，得，焦点坐标为则过抛物线C：的焦点F且倾斜角为的直线方程为直线方程代入抛物线方程，消去y，得设，则，所以故选：求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程．直线方程代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键，属中档题．9.【答案】B【解析】解：由题意，对于奇函数，有，由，所以，所以，则函数的周期是4，所以故选：根据函数奇偶性的性质进行条件转化注意运用赋值法，即可得到的最小正周期是4，运用周期性即可得到结论．本题主要考查了函数的奇偶性及周期性在函数求值中的应用，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：设顶点P在底面ABC内的射影点为E，连接AE延长交BC于点D，则D为BC的中点，设球心为O，球的半径为R，当O在PE上时，由于，则，则，解得舍，因为此时，不符，当O在PE延长线上时，可得，解得，故选：设顶点P在底面ABC内的射影点为E，连接AE延长交BC于点D，则D为BC的中点，设球心为O，球的半径为R，根据正三棱锥的结构特点，可建立关于R的方程，解出即可．本题考查三棱锥的外接球，考查空间想象能力以及运算求解能力，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：，，且，，设，，时，，在上单调递增，时，，即，，即，，故选：可得出，根据对数的换底公式即可得出；可设，根据导数符号即可判断出在上单调递增，从而得出时，，从而得出时，，这样即可得出，从而得出a，b，c 的大小关系．本题考查了对数的换底公式，对数函数的单调性，不等式的性质，构造函数比较大小的方法，根据导数符号判断函数的单调性的方法，考查了计算能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：在中，已知，，不妨设，则，，，又，则，则，设，则，又，则，则，又，当时，取得最小值，则，则，则，则，故选：由正弦定理及余弦定理，结合平面向量的数量积运算及三角形的面积公式求解即可．本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了平面向量的数量积运算及三角形的面积公式，属中档题．13.【答案】【解析】解：因为，所以故答案为：先化简z，再根据模长公式求解即可．本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．14.【答案】【解析】解：因为，所以故答案为：由已知利用二倍角的余弦公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．本题主要考查了二倍角的余弦公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由直线：，可得直线恒过定点，由直线：，可得直线恒过定点，又易得直线与直线互相垂直，故点P轨迹是以AB为直径的圆，从而可得P的轨迹方程为，圆心为，半径为，由圆C：，可得圆心，半径为1，由题意，又，故答案为：求得两直线的定点坐标A，B，由两直线垂直可得点P轨迹是以AB为直径的圆，利用，可求的最大值．本题考查求点的轨迹方程，考查求线段长的最大值，属中档题．16.【答案】【解析】解：由，所以，由函数存在极大值点，所以，即，所以，令，则，令，即；令，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，且，，当时，，所以由，得，由，可得，即，令，所以，所以函数在上单调递减，所以，所以即实数a的取值范围为故答案为：由函数存在极大值点，可得，又，令，结合导数分析其单调性，进而得到，由，可得，令，结合导数分析其单调性，进而得到，进而求解．本题主要考查了利用导数研究函数的极值，属于中档题．17.【答案】解：由题意，列联表如下：课程合计报名班型“劳育课程”“美育课程”文科班353570理科班102030合计4555100假设：“劳育课程”“美育课程”的选择与文理科无关．，根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即没有的把握认为“劳育课程”“美育课程”的选择与文理科有关．【解析】根据题目提供的数据，补全列联表即可；算出的值与进行比较即可得出结论．本题主要考查了独立性检验的实际应用，属于基础题．18.【答案】解：等比数列的公比为3，且，，成等差数列，，，解得，数列的前n项和…，…，相减可得…，化为【解析】由等比数列的公比为3，且，，成等差数列，可得，利用等比数列的通项公式解得，即可得出，利用错位相减法即可得出本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】证明：取的中点O，连接AO，与均是边长为2的正三角形，，，为二面角的平面角．，，又，，AO ，平面，平面，又平面，平面平面解：由知，，，，以O 为坐标原点，的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，解得，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，解得，所以，，所求锐二面角的余弦值为【解析】由线线垂直证线面垂直，进而利用面面垂直的判定证明平面平面以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．本题主要考查了平面与平面垂直的判定定理，考查了利用空间向量求二面角，属于中档题．20.【答案】解：由题意，双曲线的焦点为，，双曲线与椭圆C有相同焦点且在第一象限交点为P，又，，，，，椭圆C的方程为；设，，则，四边形OAED为平行四边形，，，点A，B，E均在椭圆C上，，，，，，，由消去y，得，显然，，，，，因为，所以，即，所以，即【解析】结合双曲线方程可得，，结合双曲线和椭圆的定义即可得到，进而求解；设，，则，结合平行四边形OAED，可得，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理可得，进而得到，从而求解．本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21.【答案】解：，因为，，所以当时，恒成立，在上单调递增，当时，若时，，单调递减，若时，，单调递增，综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增．函数恰有两个零点，等价于方程有两个不等的实数根，因为，，，令，则，令，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，因为，所以方程有唯一解，所以方程有两个不等的实数解等价于方程有两个不相等的实数解，等价于方程有两个不相等的实数解，设，则，因为，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，因为，；，，所以只需，即，设，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，因为，所以当时，恒成立，所以a的取值范围为【解析】求导得，分两种情况：当时，当时，分析的符号，的单调性，即可得出答案．函数恰有两个零点，等价于恰有两个零点，令，则，令，求导分析单调性，极值，可得方程有唯一解，则方程有两个不等的实数解等价于方程有两个不相等的实数解，等价于方程有两个不相等的实数解，设，分析零点个数，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．22.【答案】解：曲线C的参数方程为为参数，曲线C的普通方程为直线l的极坐标方程为，，，，直线l的直角坐标方程为；由知，点P在直线l上，直线l的参数方程为为参数，代入得，，设，是上述方程的两根，，，，【解析】对于曲线C消参数t即可得出普通方程；对于直线l利用和差公式展开，代入，即可求解；利用参数方程的几何意义即可求解．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】解：，其图象为：函数的图象向左平移2个单位长度后得到函数的图象，的图象与的图象如图所示．当时，由解得，，由图象可知不等式的解集为【解析】根据分界点，分段去掉绝对值符号即可；根据，的图象关系可得解集．本题考查绝对值不等式的解法，属于中档题．。
成都二诊理科解析版
成都市2012届高中毕业班第二次诊断性检测数学（理工农医类）本试卷分选择题和非选择题两部分。
第I 卷(选择题)1至2页，第II 卷(非选择题)3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5. 考试结束后，只将答题卡交回。
第I 卷(选择题，共60分）参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A ，B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， 343V R π=那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()()()1,0,1,2,,n k k kn n P k C p k k n -=-=一、选择题:（本大题共12小题,每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.(1) 若复数为虚数单位)是实数，则b= (A)O (B)-1 (C)1 (D)-2【参考答案】选C【解题思路】本题考查复数的概念。
(1)()bi i b i b -=-为实数是实数，故b-1=0,得b=1.(2) 若，则= (A) (B) (C) D)【参考答案】选C【解题思路】本题考查三角函数中的同角关系，容易知道3tan 4α=-，从而4cos 5α=-。
(3) 已知集合，，且，则集合B 不可能是(A)(B)(C)(D)【参考答案】选B【解题思路】本题考查集合概念及交、并运算。
四川省成都市玉林中学2023届高三二诊模拟理科数学试题(三)
一、单选题1. 已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为6，则下列说法错误的是（ ）A．B ．双曲线的渐近线方程为：C ．双曲线的离心率为D ．双曲线上的点到焦点距离的最小值为22. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的一万倍.（）A ．20B ．21C ．22D ．233. 某盒子里有若干个蓝色球、紫色球和黑色球，已知从盒中一次性取出3个球都是蓝色球的概率是，取出3个球都是紫色球的概率是，取出3个球都是黑色球的概率是，若从盒中任意取出3个球，则这3个球的颜色不全相同的概率是（ ）A．B．C．D．4. 设P 为椭圆上一点，分别是C 的左，右焦点．若，则（ ）A．B．C．D．5. 已知f （.x ）为定义在R 上的奇函数。
当x >0时，，设方程f （x ）-m =0有四个互不相等的实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[-1，0）（0，1]B ．（-1，1）C ．（-4，0）（0，4）D ．（-1，0）（0，1）6. 函数的大致图象为（ ）A．B．C．D．7. 复数z 满足，若z 在复平面内对应的点为，则（ ）A．B．C．D．8. 设为定义在上的奇函数，且满足，，则（ ）A．B．C ．0D ．19.通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即.记，则（ ）A．B．C．D．四川省成都市玉林中学2023届高三二诊模拟理科数学试题（三）二、多选题10. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为上的动点，则周长的最小值为（）A．B．C．D．11.如图，在正四棱柱中，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（）A．B．C ．2D．12. 已知，则|z |＝（ ）A ．2B ．2C．D．13. 已知复数满足，复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14. 已知两等差数列的前项和分别为且，则（ ）A．B．C．D．15. 已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系（为保鲜时间，为储存温度），若该食品在冰箱中的保鲜时间是144小时，在常温的保鲜时间是48小时，则该食品在高温的保鲜时间是（ ）A ．16小时B ．18小时C ．20小时D ．24小时16. 已知非钝角中，，，是边上的动点.若平面，，且周长的最小值为，则三棱锥外接球的体积为（ ）A．B．C．D．17. 已知P ，Q 是双曲线上关于原点对称的两点，过点P 作轴于点M ，MQ 交双曲线于点N ，设直线PQ 的斜率为k ，则下列说法正确的是（ ）A ．k 的取值范围是且B ．直线MN的斜率为C ．直线PN的斜率为D ．直线PN 与直线QN的斜率之和的最小值为三、填空题18.已知函数的所有零点从小到大依次记为，则（ ）A．B．C．D．19. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，，若满足要求的△ABC 有且只有1个，则b 的取值可以是（ ）A ．1B．C ．2D ．320. 已知直线与圆交于、两点，且为锐角（其中为坐标原点），则实数的取值可以是（ ）A．B．C．D．21.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（ ）A．若，且，则为直角三角形B．若，，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则C ．若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形D ．若，则为钝角三角形22. 已知函数，若，则下列结论正确的是A．B．C．D ．当时，23. 已知二项式的展开式中所有项的系数的和为64，则（ ）A．B ．展开式中的系数为C ．展开式中奇数项的二项式系数的和为32D．展开式中二项式系数最大的项为24. 2020年突如其来的新冠肺炎疫情对房地产市场造成明显的冲击，如图为某市2020年国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，某同学根据折线图对这7天的认购量（单位：套）与成交量（单位：套）作出如下判断，则判断正确的是（）A ．日成交量的中位数是16B ．日成交量超过平均成交量的只有1天C ．10月7日认购量量的增长率大于10月7日成交量的增长率D ．日认购量的方差大于日成交量的方差25. 已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为____________．四、解答题五、解答题26. 若，则=_________.27. 已知，且，则________.28. 已知，且，则的最小值为_____．29.设数列的前n 项和为，，，则___________.30. 已知二项式的展开式中的系数为，则该二项展开式中的常数项为___________.31. 已知非零向量两向量夹角为锐角，，，求的取值范围_______.32.设等比数列的前项和为，若，，则_____．33. （1）已知角终边上一点，求的值；（2）化简求值：34. 已知函数，，.（1）将函数化简成，（，，），的形式；（2）求函数的值域.35. 已知函数．(1)二次函数，在“①曲线，有1个交点；②”中选择一个作为条件，另一个作为结论，进行证明；(2)若关于x 的不等式在上能成立，求实数m 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．36. （1）求曲线和曲线围成图形的面积；（2）化简求值：．37. 已知F 是抛物线C ：（）的焦点，过点F 作斜率为k 的直线交C 于M ，N两点，且.(1)求C 的标准方程；(2)若P 为C 上一点（与点M 位于y 轴的同侧），直线与直线的斜率之和为0，的面积为4，求直线的方程.38. 已知函数.（1）化简函数的表达式，并求函数的最小正周期；（2）若点是图象的对称中心，且，求点的坐标.39. 2020年，我国已经实现全面脱贫的历史性战略任务.但巩固脱贫成果还有很多工作要继续，利用互联网电商进行产品的销售就是一种有效的方式.某村盛产脐橙，为了更好销售，现从脐橙树上随机摘下100个脐橙进行测重，其质量分布在区间（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示.(1)按分层抽样的方法从质量落在，的脐橙中随机抽取5个，再从这5个脐橙中随机抽2个，求这2个脐橙质量至少有一个小于300克的概率；(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的脐橙种植地上大约还有100000个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案：A.所有脐橙均以7元/千克收购；B.低于350克的脐橙以2元/个收购，其余的以3元/个收购.请你通过计算为该村选择收益较好的方案.（参考数据：）40.已知向量，，函数，．（Ⅰ）求函数的图像的对称中心坐标；（Ⅱ）将函数图像向下平移个单位，再向左平移个单位得函数的图像，试写出的解析式并作出它在上的图像．41. 某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为）作为样本（样本容量）进行统计，按照、、、、的分组作出频率分布直方图，已知得分在、的频数分别为、.（1）求样本容量和频率分布直方图中的、的值；（2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数.42. 有一种画椭圆的工具如图1所示.定点是滑槽的中点，短杆绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，.当栓子在滑槽内做往复运动时，带动绕转动一周(不动时，也不动)，处的笔尖画出的曲线记为.以为原点，所在的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系.六、解答题（1）求曲线的方程；（2）在平面直角坐标系中，过点的动直线与曲线交于､两点，是否存在异于点的定点，使得平分？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由.43. 2016年，某省环保部门制定了《省工业企业环境保护标准化建设基本要求及考核评分标准》，为了解本省各家企业对环保的重视情况，从中抽取了40家企业进行考核评分，考核评分均在内，按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图（满分为100分）．(1)已知该省对本省每家企业每年的环保奖励（单位：万元）与考核评分的关系式为（负值为企业上缴的罚金）．试估计该省在2016年对这40家企业投放环保奖励的平均值；(2)在这40家企业中，从考核评分在80分以上（含80分）的企业中随机2家企业座谈环保经验，求抽取的2家企业全部为考核评分在内的企业的概率．44. 中国共产党十六届五中全会提出要按照“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的要求，扎实推进社会主义新农村建设，2018年4月习近平近日作出重要指示强调，要结合实施农村人居环境整治三年行动计划和乡村振兴战略，建设好生态宜居的美丽乡村.为推进新农村建设某自然村计划在村边一块废弃的五边形荒地上设置一个绿化区，如图所示，边界以及对角线均为绿化区小路（不考虑宽度），，,.（1）求四边形的面积；（2）求绿化区所有小路长度之和的最大值.45.已知数列满足，.(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)写出的具体展开式，并求其值.七、解答题46. 设函数．(1)当时，若函数在其定义域内单调递增．求b 的取值范围；(2)若有两个零点，，且，求证：．47.已知等差数列的前项和为，，．(1)求的通项公式；(2)判断与的大小关系并证明你的结论．48. 如图，在三棱锥中，，D为线段的中点，E 为线段上一点.（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）当平面时，求直线与平面所成的角.49. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且．（1）求证：；（2）若，求的取值范围．50.已知数列的前n 项和为，满足：(1)求证：数列为等差数列；(2)若，令，数列的前n 项和为，若不等式对任意恒成立，求实数m 的取值范围．51.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X ）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）52. 某经销商采购了一批水果，根据某些评价指标进行打分，现从中随机抽取20筐（每筐1kg ），得分数据如下：17，23，27，31，36，40，45，50，51，51，58，63，65，68，71，78，79，80，85，95．根据以往的大数据认定：得分在区间，，，内的分别对应四级、三级、二级、一级．(1)试求这20筐水果得分的平均数．(2)用样本估计总体，经销商参考以下两种销售方案进行销售：方案1：将得分的平均数换算为等级，按换算后的等级出售；方案2：分等级出售．不同等级水果的售价如下表所示：八、解答题等级一级二级三级四级售价（万元/吨）2 1.8 1.5 1.2请从经销商的角度，根据售价分析采用哪种销售方案较好，并说明理由．53. 2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润＝销售额－成本）(1)求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式.(2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.54. 某商场举行“庆元宵，猜谜语”的促销活动，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子中装有若干个标号为1，2，3的空心小球，球内装有难度不同的谜语．每次随机抽取2个小球，答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语，答错则终止游戏．已知标号为1，2，3的小球个数比为1：2：1，且取到异号球的概率为．(1)求盒中2号球的个数；(2)若甲抽到1号球和3号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如表所示，请帮甲决策猜谜语的顺序（猜对谜语的概率相互独立）球号1号球3号球答对概率0.80.5奖金10050055.甲、乙两名运动员进行投篮比赛，已知甲投中的概率为，乙投中的概率为，甲、乙投中与否互不影响，甲、乙各投篮一次，求下列事件的概率(1)两人都投中；(2)甲、乙两人有且只有1人投中.56. 为了“锤炼党性修养，筑牢党性根基”，党员教师小A 每天自觉登录“学习强国APP ”，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有30局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2、3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2、3、4名的得1分；后28局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小A 每天在第1局四人赛中获得3分、2分、1分的概率分别为，，，在第2局四人赛中获得2分、1分的概率分别为，.(1)设小A每天获得的得分为，求的分布列、数学期望和方差；(2)若小A 每天赛完30局，设小A 在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为，每局是否赢得比赛相互独立，请问在每天的30局四人赛中，小A 赢得多少局的比赛概率最大？57. 如图1，圆的内接四边形ABCD 中，，，直径．将圆沿AC 折起，并连接OB 、OD 、BD ，使得△BOD 为正三角形，如图2．(1)证明：图2中的平面BCD；(2)在图2中，求二面角的余弦值．58. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，，，若______，求角B的值与的面积.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）59. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．(1)求角C；(2)若点D在AB边上，且满足，当的面积最大时，求CD的长．60. 已知椭圆的上顶点为，是椭圆上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆右焦点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，在直线上是否存在一点，使得为等边三角形？若存在，求出等边三角形的面积；若不存在，请说明理由.61. 为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某中学数学教师对新入学的180名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于12小时的有76人，统计成绩后，得到如下的列联表：学生本学期检测数学标准分数大于等于120分学生本学期检测数学标准分数不足120分合计周自主做数学题时间不少于12小时6076周自主做数学题时间不足12小时64合计18 0（1）请完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”.（2）（i）若将频率视为概率，从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人，求这些人中周自主做数学题时间不少于12小时的人数的期望.（ii）通过调查问卷发现，从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人，这12人周自主做数学题时间的情况分三类，类：周自主做数学题时间大于等于16小时的有4人；类：周自主做数学题时间大于等于12小时小于16小时的有5人；类：周自主做数学题时间不足12小时的有3人.若从这随机抽出的12人中再随机抽取3人进一步了解情况，记为抽取的这3名同学中类人数和类人数差的绝对值，求的数学期望.附：参考公式和数据：，.附表：2.7063.841 6.6357.87910.8280.1000.0500.0100.0050.00162. 某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）、一户居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100户居民每户的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．。
四川省成都市2022届高三第二次诊断性检测理科数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题1. 已知点是双曲线右支上一点，､分别是双曲线的左､右焦点，为的内心，､､的面积分别为､､，若，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B．C．D ．42. 已知等差数列，，则其前项的和A．B．C．D．3. 在底面半径为1的圆柱中，过旋转轴作圆柱的轴截面ABCD ，其中母线AB =2，E 是弧BC 的中点，F 是AB 的中点，则（ ）A ．AE =CF ，AC 与EF 是共面直线B．，AC 与EF 是共面直线C ．AE =CF ，AC 与EF 是异面直线D ．，AC 与EF 是异面直线4.如图中，①②③④中不属于函数，，中一个的是（）A ．①B ．②C ．③D ．④5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）A．B．C．D．6. 已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为（ ）A．B．C．D．7. 在复数范围内（为虚数单位），下列假命题的个数是（ ）①；②若，则；③若，则；④若，则.A ．1B ．2C ．3D ．48. 已知椭圆C ：的左焦点为F ，P 为C上一动点，定点，则的最大值为（ ）A．B．C．D．9. 一批产品中有3个正品，2个次品.现从中任意取出2件产品，记事件：“2个产品中至少有一个正品”，事件：“2个产品中至少有一个次品”，事件：“2个产品中有正品也有次品”，则下列结论正确的是（ ）A ．事件与事件为互斥事件B ．事件与事件是相互独立事件C．D．10. 如图，已知抛物线的焦点为 ，抛物线的准线与 轴交于点 ，过点 的直线 （直线 的倾斜角为锐角）与抛物四川省成都市2022届高三第二次诊断性检测理科数学试题(高频考点版)四川省成都市2022届高三第二次诊断性检测理科数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题线 相交于 两点（A 在 轴的上方，在 轴的下方），过点 A 作抛物线的准线的垂线，垂足为 ，直线 与抛物线 的准线相交于点 ，则（）A ．当直线 的斜率为1时，B ．若，则直线的斜率为2C ．存在直线 使得D ．若，则直线 的倾斜角为11. 某商场为了促进销售，对于进入商场的人员，可以进入商场掷骰子进行奖励，规定每位进入商场的人员可以随机投掷一颗质地均匀的正方体的骰子，每面上分别写着1，2，3，4，5，6，随机投掷该骰子三次，三次投掷向上点数分别为，，，若满足，，，分别为一等奖，二等奖，三等奖，只有这三等奖，则（ ）A．中一等奖的概率为B．中二等奖的概率为C．中三等奖的概率为D．没有中奖的概率为12. 已知直线和圆，则（ ）A ．直线l恒过定点B ．存在k 使得直线l 与直线垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若，直线l 被圆O 截得的弦长为413.已知点为抛物线的焦点，直线为的准线，则点到直线的距离为__________．14.展开式中的系数为______.15.已知集合，且，则______.16. 在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求的值；（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围．17. 在某网络平台组织的禁毒知识挑战赛中，挑战赛规则如下：每局回答3道题，若回答正确的次数不低于2次，该局得3分，否则得1分，每次回答的结果相互独立．已知甲、乙两人参加挑战赛，两人答对每道题的概率均为．(1)若甲参加了3局禁毒知识挑战赛，设甲得分为随机变量，求的分布列与期望；(2)若甲参加了局禁毒知识挑战赛，乙参加了局禁毒知识挑战赛，记甲在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于的概率为，乙在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于的概率为，证明：．18. 如图1，平面图形是一个直角梯形，其中，，，，是上一点，且．将沿着折起使得平面平面，连接、，过点作，垂足为，如图2．(1)证明；(2)若是上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．19. 在①；②，；③，.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整后的题目.问题:已知为等差数列的前项和，若__________.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20. 已知是等差数列，公差为，首项，前n项和为.令,的前项和.数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若，，求的取值范围.21. 某校组织“百年党史”知识比赛，每组有两名同学进行比赛，有2道抢答题目．已知甲、乙两位同学进行同一组比赛，每人抢到每道题的机会相等．抢到题目且回答正确者得100分，没回答者得0分；抢到题目且回答错误者得0分，没抢到者得50分，2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲答对每道题目的概率为．乙答对每道题目的概率为，且两人各道题目是否回答正确相互独立．(1)求乙同学得100分的概率；(2)记X为甲同学的累计得分，求X的分布列和数学期望．。