第七章微分方程

第七章 微分方程

教学目的：

1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。

4． 会用降阶法解下列微分方程：

()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。

8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 教学重点：

1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法

2、可降阶的高阶微分方程()

()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 3、二阶常系数齐次线性微分方程； 4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程； 教学难点：

1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；

2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；

3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

4、欧拉方程

§12. 1 微分方程的基本概念

函数是客观事物的部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.

例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.

解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程)

x dx dy 2=. (1)

此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件:

x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)

⎰=xdx

y 2, 即y =x 2

+C , (3)

其中C 是任意常数.

把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得 2=12

+C ,

由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1.

例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2

. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?

解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式

4.02

2-=dt s d . (4)

此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件:

t =0时, s =0, 20

==dt ds v . 简记为s |t =0=0, s ¢|t =0=20. (5)

把(4)式两端积分一次, 得

1

4.0C t dt ds v +-==; (6)

再积分一次, 得

s =-0.2t 2

+C 1t +C 2, (7) 这里C 1, C 2都是任意常数. 把条件v |t =0=20代入(6)得 20=C 1;

把条件s |t =0=0代入(7)得0=C 2. 把C 1, C 2的值代入(6)及(7)式得

v =-0.4t +20, (8) s =-0.2t 2+20t . (9)

在(8)式中令v =0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间

50

4.020==t (s ).

再把t =50代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程 s =-0.2´502

+20´50=500(m ).

解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米, s ¢¢=-0.4, 并且s |t =0=0, s ¢|t =0=20. 把等式s ¢¢=-0.4两端积分一次, 得

s ¢=-0.4t +C 1, 即v =-0.4t +C 1(C 1是任意常数), 再积分一次, 得

s =-0.2t 2

+C 1t +C 2 (C 1, C 2都C 1是任意常数). 由v |t =0=20得20=C 1, 于是v =-0.4t +20; 由s |t =0=0得0=C 2, 于是s =-0.2t 2

+20t .

令v =0, 得t =50(s). 于是列车在制动阶段行驶的路程 s =-0.2´502

+20´50=500(m ). 几个概念:

微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程. 偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.

微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. x 3

y ¢¢¢+x 2

y ¢¢-4xy ¢=3x 2

, y (4) -4y ¢¢¢+10y ¢¢-12y ¢+5y =sin2x , y

(n ) +1=0,

一般n 阶微分方程:

F (x , y , y ¢, × × × , y

(n )

)=0.

y (n )

=f (x , y , y ¢, × × × , y (n -1)

) .

微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y =j (x )在区间I 上有n 阶连续导数, 如果在区间I 上,

F [x , j (x ), j ¢(x ), × × ×, j

(n )

(x )]=0,

那么函数y =j (x )就叫做微分方程F (x , y , y ¢, × × ×, y (n )

)=0在区间I 上的解.

通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.

初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如 x =x 0 时, y =y 0 , y ¢= y ¢0

.

一般写成

0y y x x ==,

0y y x x '='=.

特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题. 如求微分方程y ¢=f (x , y )满足初始条件

0y y x x ==的解的问题, 记为

⎩⎨⎧=='=00)

,(y y

y x f y x x .

积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线. 例3 验证: 函数

x =C 1cos kt +C 2 sin kt 是微分方程

022

2=+x k dt x d

的解.

解 求所给函数的导数: