山东省泰安市高二数学上学期期末统考试题 文
山东省泰安市二十中学高二数学理上学期期末试题含解析
山东省泰安市二十中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是（）A．5，﹣15 B．5，﹣4 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣16参考答案：A【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】对函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5求导，利用导数研究函数在区间[0，3]上的单调性，根据函数的变化规律确定函数在区间[0，3]上最大值与最小值位置，求值即可【解答】解：由题意y'=6x2﹣6x﹣12令y'＞0，解得x＞2或x＜﹣1故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在（0，2）减，在（2，3）上增又y（0）=5，y（2）=﹣15，y（3）=﹣4故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是5，﹣15故选A2. 圆x2+y2-4x-2y-5=0的圆心坐标是：（）A.(-2,-1);B.(2,1);C.(2,-1);D.(1,-2).参考答案：B略3. 下列程序执行后输出的结果是（）A．–1 B． 0 C． 1 D． 2参考答案：B4. 点P（4，2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x+2）2+（y﹣1）2=1 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 C．（x﹣2）2+（y+1）2=1 D．（x+2）2+（y+1）2=1参考答案：B【考点】轨迹方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】设圆上任意一点为A，确定A与AP中点坐标之间的关系，再代入圆的方程，即可得到结论．【解答】解：设圆上任意一点为A（x1，y1），AP中点为（x，y），则x1=2x﹣4，y1=2y﹣2代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y﹣2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．故选：B．【点评】本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，确定坐标之间的关系是关键．5. 复数的共轭复数是（）A. B. C. D.参考答案：D分析】先对复数进行化简，然后再求解其共轭复数.【详解】,所以共轭复数为.故选D.【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，共轭复数的求解一般是先化简复数，然后根据实部相同，虚部相反的原则求解.6. 已知（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜1或a＞24 B．a=7或a=24 C．﹣7＜a＜24 D．﹣24＜a＜7参考答案：C【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】计算题；转化思想．【分析】将两点坐标分别代入直线方程中，只要异号即可．【解答】解：因为（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，所以有（3×3﹣2×1+a）[3×（﹣4）﹣2×6+a]＜0，解得﹣7＜a＜24故选C．【点评】本题考查线性规划知识的应用．一条直线把整个坐标平面分成了三部分，让其大于0的点，让其大于0的点以及让其小于0的点．7. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.8，连续两天为优良的概率是0.68，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.544 B．0.68 C．0.8 D．0.85参考答案：D【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率是p，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率是p，则0.8p=0.68，解得p=0.85．故选：D．8. 若随机变量，且，则的值是（）A. B.C. D.参考答案：C 试题分析：根据随机变量符合二项分布，根据期望值求出n的值，写出对应的自变量的概率的计算公式，代入自变量等于1时的值．解：∵随机变量X服从，∵E（X）=3，∴0.6n=3，∴n=5∴P（X=1）=C51（0.6）1（0.4）4=3×0.44故选C．9. 曲线在点（0,1）处的切线方程为（A）（B）（C）（D）参考答案：D10. 在中，角所对的边长分别为，若，，则（）A. B.C. D. 与的大小关系不能确定参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知椭圆，过左焦点F1倾斜角为的直线交椭圆于两点。
2023-2024学年山东省泰安市高二(上)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年山东省泰安市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x +3y +2=0的倾斜角为( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.在等比数列{a n }中，若a 5a 7a 9a 11=36，则a 2a 14=( )A. 6B. 9C. ±6D. ±93.点P(2,3)关于直线x +y +2=0的对称点的坐标为( )A. (−3,−2)B. (−2,−3)C. (−5,−4)D. (−4,−5)4.已知直线l 的方向向量为u =(1,−2,2)，则向量a =(−1,1,2)在直线l 上的投影向量坐标为( )A. (13,−23,23)B. (−13,13,23)C. (−19,19,29)D. (19,−29,29)5.已知两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且S nT n =3n +15n−2，则a 7b 6的值为( )A. 35B. 4053C. 1114D. 236.已知圆C ：x 2+y 2=4，直线l ：y =kx +m ，若当k 的值发生变化时，直线l 被圆C 所截得的弦长的最小值为23，则实数m 的取值为( )A. ±2B. ±3C. ±1D. ±327.已知A ，F 分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点和左焦点，B ，C 是椭圆上关于原点对称的点，若直线CF 交线段AB 于M,AM =12MB ，则椭圆的离心率为( )A.23B. 12C.154D. 2658.已知直线l ：y =−x2+m 与曲线C ：y =12|4−x 2|恰有三个不同交点，则实数m 的取值范围是( )A. (− 2,0)∪(0,2) B. [1,2)C. (0,2)D. (1,2)二、多选题：本题共4小题，共20分。
2017-2018学年山东省泰安市高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年山东省泰安市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知a＞b，则下列结论正确的是（）A．B．a+c＞b+c C．ac＞bc D．a2＞b22．（5分）一个命题与它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中（）A．假命题与真命题的个数相同B．真命题的个数是奇数C．真命题的个数是偶数D．假命题的个数是奇数3．（5分）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线为y＝±3x的是（）A．B．C．D．4．（5分）函数y＝3x2﹣2lnx的单调增区间为（）A．（﹣∞，）∪（0，）B．（﹣）∪（，+∞）C．（0，）D．（，+∞）5．（5分）已知数列{a n}是等比数列，a2＝2，，则公比q等于（）A．﹣2B．C．2D．6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝（）A．B．C．2D．37．（5分）抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2﹣＝1的渐近线的距离是（）A．B．C．1D．8．（5分）已知m是两个正数2，8的等比中项，则圆锥曲线x+＝1的离心率是（）A．或B．C．D．或9．（5分）已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝（）A．B．C．10D．1210．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m 11．（5分）设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣2）＝0，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）B．（﹣2，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，0）D．（0，2）∪（2，+∞）12．（5分）已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF2|＞|PF1|，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，若|PF1|＝|F1F2|，则的最小值为（）A．B．C．8D．6二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）命题p：∃x0∈R，，则命题p的否定为．14．（5分）在曲线f（x）＝x3﹣2x2+1上点（1，f（1））处的切线方程为．15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a2＝﹣1，a1﹣a3＝﹣3，则a4＝．16．（5分）若两个正实数x，y满足＝1，则x+2y的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设命题p：实数x满足x≤2，或x＞6，命题q：实数x满足x2﹣3ax+2a2＜0（其中a＞0）（Ⅰ）若a＝2，且￢p∧q为真命题，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且．（Ⅰ）若，求b的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求△ABC的周长．19．（12分）已知等差数列{a n}中，公差d≠0，S6＝27，且a3，a5，a8成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列的前n项和为T n，则．20．（12分）某运输公司有7辆可载6t的A型卡车与4辆可载10t的B型卡车，有9名驾驶员，建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A型车8次，B型车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A型车160元，B型车252元，每天派出A型车和B型车各多少辆，公司所花的成本费最低？21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣mx（1）讨论f（x）的单调性；（2）当f（x）有最大值，且最大值大于m﹣2时，求m的取值范围．22．（12分）设椭圆的左焦点为F1，右顶点为A，离心率为，已知点A是抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，点F1到抛物线准线的距离是．（Ⅰ）求椭圆C的方程和抛物线E的方程；（Ⅱ）若B是抛物线E上的一点且在第一象限，满足|AB|＝4，直线l交椭圆于M，N两点，且OB∥MN，当△BMN的面积取得最大值时，求直线l的方程．2017-2018学年山东省泰安市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：对于A：a＝﹣1或b＝﹣2时，根式无意义；对于B：在一个不等式两边同时加上一个实数，不等式仍成立，故B正确；对于C：c＝0时不成立；对于D：a＝﹣1，b＝﹣2时不成立．故选：B．2．【解答】解：根据四种命题及其关系理论：原命题⇔逆否命题，逆命题⇔否命题；如果原命题是真命题，逆命题是假命题，则真命题共有两个；如果原命题是真命题，逆命题也是真命题，则真命题共有四个；如果原命题是假命题，逆命题也是假命题，则真命题共有0个；故一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数一定是偶数，故选：C．3．【解答】解：选项A双曲线的焦点坐标在x轴，不正确；选项B双曲线的焦点坐标在x轴不正确；选项C：双曲线的焦点坐标在y轴，渐近线方程为：y＝±3x，满足题意；正确；选项D双曲线的渐近线方程为：y＝x，不满足题意，不正确；故选：C．4．【解答】解：函数y＝3x2﹣2lnx的定义域为（0，+∞），求函数y＝3x2﹣2lnx的导数，得f′（x）＝6x﹣＝，由f′（x）＞0，解得x＞．故函数y＝3x2﹣2lnx的单调增区间为（，+∞），故选：D．5．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，a2＝2，，∴q3＝，解得q＝．故选：D．6．【解答】解：∵a＝，c＝2，cos A＝，∴由余弦定理可得：cos A＝＝＝，整理可得：3b2﹣8b﹣3＝0，∴解得：b＝3或﹣（舍去）．故选：D．7．【解答】解：∵抛物线方程为y2＝4x∴2p＝4，可得＝1，抛物线的焦点F（1，0）又∵双曲线的方程为∴a2＝1且b2＝3，可得a＝1且b＝，双曲线的渐近线方程为y＝±，即y＝±x，化成一般式得：．因此，抛物线y2＝4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d＝＝故选：B．8．【解答】解：∵m是两个正数2，8的等比中项，∴m2＝2×8＝16，即m＝4或m＝﹣4，当m＝4时，圆锥曲线x+＝1为椭圆，∴a＝2，b＝1，c＝，∴e＝＝，当m＝﹣4时，圆锥曲线x﹣＝1为双曲线，∴a＝1，b＝2，c＝，∴e＝＝，故选：D．9．【解答】解：∵{a n}是公差为1的等差数列，S8＝4S4，∴8a1+×1＝4×（4a1+），解得a1＝．则a10＝+9×1＝．故选：B．10．【解答】解：如图，∠DAB＝15°，∵tan15°＝tan（45°﹣30°）＝＝2﹣．在Rt△ADB中，又AD＝60，∴DB＝AD•tan15°＝60×（2﹣）＝120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC＝60°，AD＝60，∴DC＝AD•tan60°＝60．∴BC＝DC﹣DB＝60﹣（120﹣60）＝120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．故选：B．11．【解答】解：设g（x）＝，则g（x）的导数为：g′（x）＝，∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＞0成立，即当x＞0时，g′（x）＞0，∴当x＞0时，函数g（x）为增函数，又∵g（﹣x）＝＝＝g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数，∴x＜0时，函数g（x）是减函数，又∵g（﹣2）＝＝0＝g（2），∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x＞2，x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（﹣2），解得：x＞﹣2，∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣2，0）∪（2，+∞）．故选：A．12．【解答】解：由题意可知：|PF1|＝|F1F2|＝2c，设椭圆的方程为+＝1（a1＞b1＞0），双曲线的方程为﹣＝1（a2＞0，b2＞0），又∵|F1P|+|F2P|＝2a1，|PF2|﹣|F1P|＝2a2，∴|F2P|+2c＝2a1，|F2P|﹣2c＝2a2，两式相减，可得：a1﹣a2＝2c，则+＝+＝＝＝（++18）≥•（2+18）＝8．当且仅当＝，即有e2＝3时等号成立，则的最小值为8，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∃x0∈R，，则命题p的否定为：∀x∈R，x2﹣x+1≥0．故答案为：∀x∈R，x2﹣x+1≥0．14．【解答】解：∵f（x）＝x3﹣2x2+1，∴f′（x）＝3x2﹣4，∴f′（1）＝﹣1，∵f（1）＝0∴曲线f（x）＝x3﹣2x2+1上在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣1（x﹣1），即x+y﹣1＝0．故答案为：x+y﹣1＝0．15．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2＝﹣1，a1﹣a3＝﹣3，∴a1（1+q）＝﹣1，a1（1﹣q2）＝﹣3，解得a1＝1，q＝﹣2．则a4＝（﹣2）3＝﹣8．故答案为：﹣8．16．【解答】解：∵两个正实数x，y满足＝1，∴x+2y＝（x+2y）（）＝4+≥4+2＝8，当且仅当时取等号即x＝4，y＝2，故x+2y的最小值是8．故答案为：8．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（Ⅰ）当a＝2命题q：2＜x＜4，∵命题p：x≤2或x＞6∴￢p：2＜x≤6，又￢p∧q为真命题，∴x满足，∴2＜x＜4，∴实数x的取值范围{x|2＜x＜4}；（Ⅱ）由题意得：命题q：a＜x＜2a；∵q是￢p的充分不必要条件，∴，∴2≤a≤3，∴实数a的取值范围{a|2≤a≤3}．18．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由题意知，由正弦定理得：，∴．（Ⅱ）∵，∴，∴由余弦定理得：，∴，∴，∴△ABC的周长为．19．【解答】解：（Ⅰ）由题意得整理得∴∴a n＝2+（n﹣1）d＝n+1（Ⅱ）∵∴＝＝20．【解答】解：设每天派出A型车x辆，B型车y辆，成本为z，所以x和y需满足：可行域如图目标函数为z＝160x+252y．把z＝160x+252y变形为得到斜率为，在y轴上的截距为随z变化的一组平行直线．在可行域的整点中，点M（5，2）使得z取得最小值．所以每天派出A型车5辆，B型车2辆成本最小，最低成本1304元．21．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，若m≤0，则f'（x）＞0∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，若m＞0令f'（x）＞0，则，令f'（x）＜0，则，∴f（x）在上单调递增．在上单调递减．综上，当m≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．当m＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减．（2）由（1）知当m≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当m＞0时，f（x）在处取得最大值．最大值为，又等价于lnm+m﹣1＜0，令g（m）＝lnm+m﹣1，则g（m）在（0，+∞）上单调递增．g（1）＝0．∴当0＜m＜1时，g（m）＜0；当m＞1时，g（m）＞0．∴m的取值范围是（0，1）．22．【解答】解：（Ⅰ）由题意可列方程组：，解得，所以b2＝a2﹣c2＝2．从而椭圆C的方程为，抛物线E的方程为y2＝8x．（Ⅱ）可设B（x0，y0），抛物线E的准线方程为x＝﹣2，由抛物线的定义得：|AB|＝x0﹣（﹣2）＝x0+2＝4，解得x0＝2，所以，因为点B在第一象限，所以y0＝4．从而B（2，4）．由于OB∥MN，所以K MN＝K OB＝2，l的方程可设为：y＝2x+m，即：2x﹣y+m＝0M（x1，y1），N（x2，y2），消去y整理得9y2+8mx+2m2﹣4＝0，△＝（8m）2﹣36（2m2﹣4）＞0，则m2＜18，解得：﹣3＜m＜3，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝．所以|MN|＝＝＝，点B（2，4）到直线l的距离d＝＝．所以S△BMN＝|MN|d＝××＝＝，当m2＝9时，即：m＝±3时，△BMN的面积取得最大值．此时l的方程为2x﹣y+3＝0或2x﹣y﹣3＝0．。
2021-2022学年山东省泰安市高二上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年山东省泰安市高二上学期期末数学试题一、单选题110y --=的倾斜角为（ ） A ．30 B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒【答案】B【分析】将直线方程变为斜截式,根据斜率与倾斜角关系可直接求解.【详解】10y --=变形为1y =-所以k = 设倾斜角为α则tan k α= 因为0180α<< 所以60α=︒ 故选:B【点睛】本题考查了直线方程中倾斜角与斜率的关系,属于基础题.2．已知椭圆2214924x y +=的焦点分别为1F ，2F ，椭圆上一点P 与焦点1F 的距离等于6，则12PF F △的面积为（ ） A ．24 B ．36 C ．48 D ．60【答案】A【分析】由题意可得出a 与c 、16PF =、12F F 的值，在根据椭圆定义得2PF 的值，即可得到12PF F △是直角三角形，即可求出12PF F △的面积.【详解】由题意知16PF =，2127,4924255,10a c c F F ==-=⇒==.根据椭圆定义可知2128PF a PF =-=，∴12PF F △是直角三角形，121211==68=2422PF F PF PF ⋅⨯⨯△S .故选：A.3．在各项均为正数的等比数列}{n a 中，若179a a =，则)(2264a a a -=（ ）A ．6B ．12C ．56D ．78【答案】D【分析】由等比数列的性质直接求得.【详解】在等比数列}{n a 中，由等比数列的性质可得：由24179a a a ==，解得：43a =；由2617+=+可得：26179a a a a ==， 所以)(222649378a a a -=-=. 故选：D4．已知直线)(1:120l x a y a +++-=与2:280l ax y ++=平行，则a 的值为（ ） A ．1 B ．﹣2C ．23-D ．1或﹣2【答案】A【分析】根据题意可得()()210820a a a a ⎧-+=⎪⎨--≠⎪⎩，解之即可得解.【详解】解：因为直线)(1:120l x a y a +++-=与2:280l ax y ++=平行， 所以()()210820a a a a ⎧-+=⎪⎨--≠⎪⎩，解得1a =.故选：A.5．如图，在三棱锥S -ABC 中，E ，F 分别为SA ，BC 的中点，点G 在EF 上，且满足2EGGF=，若SA a =，SB b =，SC c =，则SG =（ ）A ．111326a b c -+B ．111633a b c ++C ．111633a b c -+D ．111326a b c ++【答案】B【分析】利用空间向量基本定理结合已知条件求解 【详解】因为2EG GF =，所以23EG EF =，因为E ，F 分别为SA ，BC 的中点， 所以1223SG SE EG SA EF =+=+ 12()23SA SF SE =+- 122233SA SF SE =+- 12121()23232SA SB SC SA =+⨯+-⨯ 111633SA SB SC =++, 故选：B6．若双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的焦距为(1,2)-，则此双曲线的方程为（ ） A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．221416x y -=D ．221164x y -=【答案】B【解析】根据题意得到2c =2ba-=-，解得答案.【详解】双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c =c =且渐近线经过点(1,2)-，故2b a -=-，故1,2a b ==，双曲线方程为：2214y x -=.故选：B .【点睛】本题考查了双曲线方程，意在考查学生对于双曲线基本知识的掌握情况. 7．中国古代有一道数学题：“今有七人差等均钱，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，问戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱，所分得的钱数构成等差数列，甲、乙两人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，则戊、己两人各分得多少文钱？则下列说法正确的是（ ） A ．戊分得34文，己分得31文 B ．戊分得31文，己分得34文 C ．戊分得28文，己分得25文 D ．戊分得25文，己分得28文【答案】C【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为3a d -，2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，3a d +，再根据题意列方程组可解得结果.【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为3a d -，2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，3a d +，则32772375a d a d a d a d a d -+-=⎧⎨+++++=⎩，解得313a d =⎧⎨=-⎩，所以戊分得28a d +=（文），己分得225a d +=（文）， 故选：C.8．已知曲线:C y =)(:420l mx y m m R +--=∈总有公共点，则m的取值范围是（ ）A ．212,55⎡⎤⎢⎥⎦⎣B ．2,25⎡⎤⎢⎥⎦⎣C ．22,5⎡⎤--⎢⎥⎦⎣D ．122,55⎡⎤--⎢⎥⎦⎣【答案】D【分析】对曲线C 化简可知曲线C 表示以点(1,0)C 为圆心，2为半径的圆的下半部分，对直线l 方程化简可得直线l 过定点(4,2)P ，画出图形，由图可知，PA l PD k k k ≤≤，然后求出直线,PA PD 的斜率即可【详解】由y =22(1)4x y -+=，因为0y =，所以曲线C 表示以点(1,0)C 为圆心，2为半径的圆的下半部分， 由420mx y m +--=，得(4)(2)0m x y -+-=，所以4020x y -=⎧⎨-=⎩，得42x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点(4,2)P ，如图所示设曲线C 与x 轴的两个交点分别为(1,0),(3,0)A B -， 直线l 过定点(4,2)P ，M 为曲线C 上一动点， 根据图可知，若曲线C 与直线l 总有公共点，则 PA l PD k k k ≤≤，得204(1)PD m k -≤-≤--，设直线PD 为2(4)y k x -=-，则2=，解得0k =，或125k =， 所以125PD k =， 所以21255m ≤-≤，所以12255m -≤≤-， 故选：D二、多选题9．已知向量(1,1,),(2,1,2)a m b m =-=--，则下列结论中正确的是（ ） A ．若||2a =，则2m =B ．若a b ⊥，则1m =- C ．不存在实数λ，使得λa b D ．若1a b ⋅=-，则(1,2,2)a b +=--- 【答案】AC【分析】根据向量的模的计算公式，可判定A 选项正确；根据向量垂直的条件，列出方程，可判定B 选项错误；根据共线向量的条件，列出方程组，可判定C 选项正确；根据向量的数量积的运算公式，列出方程，可判定D 选项错误.【详解】对于A 中，由||2a =2221(1)2m +-+，解得2m =A 选项正确；对于B 中，由a b ⊥，可得2120m m --++=，解得1m =，故B 选项错误；对于C 中，若存在实数λ，使得λa b ，则121(1)2m m λλλ=-⎧⎪-=-⎨⎪=⎩，显然λ无解，即不存在实数λ，使得λa b ，故C 选项正确；对于D 中，若1a b ⋅=-，则2121m m --++=-，解得0m =，于是(1,2,2)a b +=--，故D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题主要考查了空间向量的垂直与共线的表示及应用，以及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的垂直与共线的条件，以及数量积的运算公式，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10．已知抛物线2:4C x y =，其焦点为F ，准线为l ，PQ 是过焦点F 的一条弦，点)(2,2A ，则下列说法正确的是（ ） A ．焦点F 到准线l 的距离为2 B ．焦点)(1,0F ，准线方程:1l x =- C ．PA PF +的最小值是3D ．以弦PQ 为直径的圆与准线l 相切 【答案】ACD【分析】对A ：由抛物线方程及焦点F 到准线l 的距离为p 即可求解； 对B ：由抛物线方程即可求解；对C ：利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，从而即可求解；对D ：利用抛物线的定义，及圆心到直线的距离等于圆的半径则直线与圆相切，从而即可求解.【详解】解：对B ：由抛物线2:4C x y =，可得()0,1F ，准线 :1l y =-，故选项B 错误；对A ：由抛物线2:4C x y =，可得24p =，即2p =，所以焦点F 到准线l 的距离为2p =，故选项A 正确；对C ：过点P 作PP l '⊥，垂足为P '，由抛物线的定义可得PF PP ='，所以PA PF PA PP +=+'≥3d =（d 为点)(2,2A 到准线l 的距离），当且仅当A 、P 、P '三点共线时等号成立，所以PA PF +的最小值是3，故选项C 正确；对D ：过点P 、Q 分别作PP l '⊥，QQ l '⊥，垂足分别为P '、Q '，设弦PQ 的中点为M ，则弦PQ 为直径的圆的圆心为M ，过点M 作MM l '⊥，垂足为M '，则MM '为直角梯形PP Q Q ''的中位线，()12MM PP QQ '''=+， 又根据抛物线的定义有PP PF '=，QQ QF '=，所以()1122MM PF QF PQ '=+=， 所以以弦PQ 为直径的圆与准线l 相切，故选项D 正确； 故选：ACD.11．已知}{n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ，}{n b 是公比为q 的等比数列，其前n 项和为n T ．若数列}{n n a b +的前n 项和)(21821n n G n n n N *=-+-∈，则下列结论正确的是（ ） A ．4d q +=B ．}{n a 的前n 项和的最小值为9SC ．}{n a 的各项中绝对值最小的项是9aD ．)(22223n n n n n T T T T T +=+【答案】ABD【分析】A.根据等差数列等比数列的求和公式求解； B.求出}{n a 的通项公式，分析项的正负情况求解； C.由通项公式可得绝对值最小的项是9a 和10a ； D.由=21n n T -代入计算可求证. 【详解】()()12111111=212211nnn n n b q n n b b d d G S T na d na n q qq q --⎛⎫=+=+++-+-⋅ ⎪---⎝⎭)(21821n n n n N *=-+-∈故=1,22dd =，2q ，4d q +=，故A 对；1182da -=-，可得117a =-，()1721219n a n n =-+-=-，9100,0a a <>，故9S 最小，B 项对；910=1a a =，}{n a 的各项中绝对值最小的项是9a 和10a ，故C 错；由前面分析知，1=11b q--，1=1b ，故12=n n b -，=21n n T - ()()()()()2222222242221+2121+212+122222n n n n n n n n n n T T +=--=--=--⋅+)(()()234223=212+2222222n n n n n n n n n T T T +--=--⋅+，故D 对 故选：ABD12．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥，则下列结论正确的是（ ）A ．平面PEF ⊥平面ABFDB ．直线DP 与平面ABFD 13C ．点B 到平面PDF 3D ．异面直线PE 与AB 所成角为6π 【答案】ACD【分析】利用面面垂直的判定定理可判断A 选项；以点F 为坐标原点，FE 、FB 所在直线分别为x 、y 轴，过点F 且与平面ABFD 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出点P 的坐标，利用空间向量法可判断BCD 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为四边形ABCD 为正方形，则//AD BC 且AD BC =，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，则//AE BF 且AE BF =，且有AE AB ⊥，故四边形ABFE 为矩形，则BF EF ⊥， 因为BF PF ⊥，EFPF F =，则BF ⊥平面PEF ，因为BF ⊂平面ABFD ，故平面PEF ⊥平面ABFD ，A 对；对于BCD 选项，因为BF ⊥平面PEF ，以点F 为坐标原点，FE 、FB 所在直线分别为x 、y 轴，过点F 且与平面ABFD 垂直的直线为z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则()2,1,0A 、()0,1,0B 、()2,1,0D -、()2,0,0E 、()0,0,0F ， 设点(),0,P a c ，其中0c >，()2,1,DP a c =-，(),0,FP a c =，由题意可知PF PD ⊥，则()220DP FP a a c ⋅=-+=，①因为221FP a c =+=，②所以，2222201a a c a c ⎧-+=⎨+=⎩，解得123a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩132P ⎛ ⎝⎭， 则332DP ⎛=- ⎝⎭，易知平面ABFD 的一个法向量为()0,0,1n =， 所以，332cos ,21DP n DP n DP n ⋅<>===⨯⋅故直线DP 与平面ABFD 3B 错； 设平面PDF 的法向量为(),,m x y z =，132FP ⎛= ⎝⎭，()2,1,0FD =-， 由130220m FP x m FD x y ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=-=⎩，取3x =()3,23,1m =-，()0,1,0FB =，所以，点B 到平面PDF 的距离是2334FB m d m⋅===C 对； 33,0,2PE ⎛= ⎝⎭，()2,0,0AB =-，3cos ,32PE AB PE AB PE AB ⋅-<>===⨯⋅， 因此，异面直线PE 与AB 所成角为6π，D 对. 故选：ACD. 三、填空题13．圆221:20C x y x +-=与圆222:40C x y y +-=的公共弦长为______．45【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，即该直线截其中一圆求弦长即可【详解】圆221:20C x y x +-=与圆222:40C x y y +-=两式相减得，公共弦所在直线方程为：20x y -=圆221:20C x y x +-=，圆心为()1:1,0,1C r =1C到公共弦的距离为：d =公共弦长为14．过点)(2,5P 且与直线1x y +=垂直的直线方程为______． 【答案】30x y -+=【分析】先设出与直线1x y +=垂直的直线方程，再把)(2,5P 代入进行求解.【详解】设与直线1x y +=垂直的直线为0x y c -+=，将)(2,5P 代入得：250c -+=，解得：3c =，故所求直线方程为30x y -+=. 故答案为：30x y -+=15．已知数列}{n a 满足11a =，)(122,n n a a n n N *-=+≥∈，则数列11n n a a +⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T =______．【答案】21nn + 【分析】先求出21n a n =-，利用裂项相消法求和.【详解】因为数列}{n a 满足11a =，)(122,n n a a n n N *-=+≥∈，所以数列}{n a 为公差d =2的等差数列，所以)(1121n a a n d n =+-=-， 所以()()()111111221212121n n a a n n n n +==--+-+所以111111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21nn =+.故答案为：21nn +. 四、双空题16．已知双曲线)(2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，右焦点2F 到一，则其离心率的值是______；若点P 是双曲线C 上一点，满足1212PF PF =，128PF PF +=，则双曲线C 的方程为______．【答案】 321.5 22145x y -=【分析】求得焦点到渐近线的距离可得d b ==，计算即可求得离心率，由双曲线的定义可求得()()22112222144PF PF PFPF PF PF a -=+=-，计算即可得出结果.【详解】双曲线的渐近线方程为by x a=±，即0ay bx ±=，焦点到渐近线的距离d 为bcd b c =====，又222+=a b c ，2222225944a a a a c ⎫+=+==⎪⎪⎝⎭， 22294c e a ∴==，1()e ∈+∞,，∴32e =.双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值为2a ，即122PF PF a -=，∴()()2111222224841216PF PF PFPF PF PF -=-⨯-=+=，即22(2)416a a ==，解得：24a =，由22294c e a ==，解得：29c ∴=,25b =.∴双曲线C 的方程为22145x y -=. 故答案为：32；22145x y -=. 五、解答题17．已知空间内不重合的四点A ，B ，C ，D 的坐标分别为)(1,,1A k k t t -+-，)(1,0,2B ，)(1,1,2C -，)(1,1,2D -，且//AB CD ．(1)求k ，t 的值；(2)求点B 到直线CD 的距离． 【答案】(1)7k =，7t =-【分析】（1）由AB CD ∥，可得存在唯一实数λ，使得AB CD λ=，列出方程组，解之即可得解；（2）设直线BC 与CD 所成的角为θ，求出sin θ，再根据点B 到直线CD 的距离为sin BC θ即可得解．(1)解： )(2,,3AB k k t t =----，)(2,0,4CD =-，因为AB CD ∥，所以存在唯一实数λ，使得AB CD λ=， 所以)()(2,,32,0,4k k t t λλ----=-，所以22034k k t t λλ-=⎧⎪--=⎨⎪-=-⎩，解得5277k t λ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，所以7k =，7t =-； (2)解：)(2,1,0BC =-， 则2cos ,55BC CD BC CD BC CD⋅===-，设直线BC 与CD 所成的角为θ，则sin θ== 所以点B 到直线CD 的距离为sin BC θ==18．已知圆C 经过点)(0,3A ，)(2,5B ，且圆心C 在直线270x y +-=上． (1)求圆C 的标准方程；(2)过点)(4,6P 向圆C 引两条切线PD ，PE ，切点分别为D ，E ，求切线PD ，PE 的方程，并求弦DE 的长．【答案】(1))()(22234x y -+-= (2)4x =或512520x y -+=，DE =【分析】（1）设圆心)(,C a b ，根据圆心在直线上及圆过两点建立方程求解即可； （2）分切线的斜率存在与不存在分类讨论，利用圆心到切线的距离等于半径求解，再根据圆的切线的几何性质求弦长即可. (1)设圆心)(,C a b ，因为圆心C 在直线270x y +-=上，所以270a b +-= ①因为A ，B 是圆上的两点，所以CA CB =，所以=50a b +-= ②联立①②，解得2a =，3b =．所以圆C 的半径2r AC ==，所以圆C 的标准方程为)()(22234x y -+-=． (2)若过点P 的切线斜率不存在，则切线方程为4x =．若过点P 的切线斜率存在，设为k ，则切线方程为)(64y k x -=-， 即460kx y k --+=．2=，解得512k =，所以切线方程为512520x y -+=． 综上，过点P 的圆C 的切线方程为4x =或512520x y -+=． 设PC 与DE 交于点F ，因为PC ，CD PD ⊥，PC 垂直平分DE ，所以2PC CF CD =，所以2CD CF PC==所以DE == 19．已知数列}{n a ，}{n b ，其中，}{n a 是各项均为正数的等比数列，满足12318a a +=，24159a a a =，且32log 1n n b a =-．(1)求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； (2)设n n n c a b =，求数列}{n c 的前n 项和n S ．【答案】(1)3nn a =，21n b n =-(2))(1133n n S n +=-+【分析】（1）利用公式法，基本量代换求出数列}{n a ，}{n b 的通项公式； （2）利用错位相减法求和. (1)设等比数列}{n a 的公比为q ，因为22415399a a a a ==，所以433a a =，所以433a q a ==．所以1213618a a a +==，所以13a =， 所以113n n n a a q -==．所以332log 12log 3121nn n b a n =-=-=-，所以3nn a =，21n b n =-．(2))(213n n n n c a b n ==-，所以)()(231133353233213n nn S n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，)()(23413133353233213n n Sn n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，所以)()(23412323333213n n n S n +-=++++⋅⋅⋅+--)()()()(21121123133213133313213n n n n n n -+-+⨯-=+---=----)(16223n n +=---.所以)(1133n n S n +=-+．20．已知抛物线)(2:20C y px p =>上的点M 到焦点F 的距离为5，点M 到x 轴的距离为6p ．(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 的准线l 与x 轴交于点Q ，过点Q 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，设直线F A ，FB 的斜率分别为1k ，2k ．求12k k +的值． 【答案】(1)28y x = (2)0【分析】（1）由焦半径公式求C 的方程；（2）设直线AB 方程，与抛物线方程联立，由韦达定理表示出12x x +，12x x ，代入12k k +中化简求值即可. (1)设点)(00,M x y ，则06y p =，所以)(2062ppx =，解得03x =．因为03522p pMF x =+=+=，所以4p =．所以抛物线C 的方程为28y x =． (2)由题知，)(2,0F ，)(2,0Q -，直线AB 的斜率必存在，且不为零．设)(11,A x y ，)(22,B x y ，直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为2y kx k =+，由228y kx k y x=+⎧⎨=⎩，得)(22224840k x k x k +-+=． 所以212284k x x k -+=，124x x =，且)()(2242Δ48166410k k k =--=->，即21k <．所以)()()()()()()()(1212211212121212222222222222k x k x x x x x y yk k k x x x x x x +++-++-+=+=+=------ )(12121228024x x kx x x x -==-++所以12k k +的值为0．21．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是平行四边形，1AB =，2AD =，45ABC ∠=︒，四边形ACEF 是矩形，且平面ACEF ⊥平面ABCD ，1AF =，点M 是线段EF 上的动点．(1)证明：DE BM ⊥；(2)设平面MBC 与平面ECD 的夹角为θ，求θ的最小值． 【答案】(1)证明见解析；(2)4π. 【分析】（1）要证DE BM ⊥，只需证DE ⊥平面BEF ， 只需证DE BE ⊥（由勾股定理可证），DE EF ⊥， 只需证AC ⊥平面CDE ，只需证EC AC ⊥（由平面ACEF ⊥平面ABCD 可证），AC CD ⊥（由AB AC ⊥可证）， 即可证明结论.（2）以A 为原点，,,AB AC AF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系． 写出点B 与点C 的坐标．由于EF y ∥轴，可设)(]0,,10,1M λλ⎡∈⎣，可得出BM 与BC 的坐标． 设)(,,m x y z =为平面BMC 的法向量，求出法向量m .cos cos ,m AC θ=是关于λ的一个式子， 求出cos θ的取值范围， 即可求出θ的最小值． (1)在ABC 中，1AB =，BC =45ABC ∠=︒，所以2222cos 12211AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=+-⨯=， 所以1AC =．所以ABC 是等腰直角三角形，即AB AC ⊥． 因为AB CD ∥， 所以AC CD ⊥又因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ABCD 平面ACEF AC =，EC AC ⊥， 所以EC ⊥平面ABCD 又AC ⊂平面ABCD ， 所以AC EC ⊥又因为EC CD C =，EC ，CD ⊂平面CDE 所以AC ⊥平面CDE 又DE ⊂平面CDE ，所以DE AC ⊥，所以DE EF ⊥在ABD △中，1AB =，AD 135BAD ∠=︒所以22222cos 125BD AD AB AD AB AD AB BAD =+-⋅-⋅∠=++=所以5BD =．又因为2DE =，3EB =， 所以222BD DE EB =+，所以DE BE ⊥ 又EF EB E ⋂=，EF ，EB ⊂平面BEF 所以DE ⊥平面BEF 又BM ⊂平面BEF ， 所以DE BM ⊥． (2)以A 为原点，,,AB AC AF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系．则)(1,0,0B ，)(0,1,0C ．因为EF y ∥轴，可设)(]0,,10,1M λλ⎡∈⎣，，可求得)(1,,1BM λ=-，)(1,1,0BC =-． 设)(,,m x y z =为平面BMC 的法向量则00m BM x y z m BC x y λ⎧⋅=-++=⎨⋅=-+=⎩令1x =，解得11y z λ=⎧⎨=-⎩，所以)(1,1,1m λ=-．又因为)(0,1,0AC =是平面CDE 的法向量． 所以)(2cos cos ,21m AC m AC m ACθλ⋅===⋅+-因为]0,1λ⎡∈⎣32cos θ≤≤．所以当2cos 2θ=时，θ取到最小值4π．22．已知椭圆)(2222:10y x C a b a b +=>>经过点5,23⎛⎫ ⎪⎪ ⎭⎝，且离心率为223．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点A ，B 是椭圆C 的上，下顶点，点P 是直线6y =上的动点，直线P A 与椭圆C 的另一交点为E ，直线PB 与椭圆C 的另一交点为F ．证明：直线EF 过定点． 【答案】(1)2219y x +=；(2)证明见解析.【分析】（1）根据题意，列出,a b 的方程组，通过解方程组，即可求出答案.（2）法一：设)(,6P t ，)(11,E x y ，)(22,F x y ；当0t ≠时，根据点,A P 的坐标写出直线P A 的方程，与椭圆方程联立，可求出点E 的坐标；同理可求出点F 的坐标，然后即可求出直线EF 的方程，从而证明直线EF 过定点.法二：首先根据0=t 时直线EF 的方程为0x =，可判断出直线EF 过的定点M 必在y 轴上，设为)(0,M m ；然后同方法一，求出点E ，F 的坐标，根据ME MF ∥，即可求出m 的值. (1)由题意，知22222451922a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得3a =，1b =．所以椭圆C 的标准方程为2219y x +=．(2)法一：设)(,6P t ，)(11,E x y ，)(22,F x y ，当0t ≠时，直线P A 的方程为33y x t =+，由223399y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得)(22120t x tx ++=．解得1221t x t =-+，所以212331t y t -=+．所以222233,11t t E t t ⎛⎫-- ⎪ ++⎭⎝． 同理可得2226273,99t t F t t ⎛⎫- ⎪ ++⎭⎝．所以直线EF 的斜率为)()()()()()(22222222222222733327313399391624612991EFt t t t t t t t t k t t t t t t t t t ----+--+-++===++++++， 所以直线EF 的方程为222233932141t t t y x t t t ⎛--⎫-=+⎪ ++⎭⎝，整理得293342t y x t -=+， 所以直线EF 过定点30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝．当0=t 时，点E ，F 在y 轴上，EF 的方程为0x =，显然过点30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝．综上，直线EF 过定点30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝．法二：当点P 在y 轴上时，E ，F 分别与B ，A 重合，直线EF 的方程为0x =， 若直线EF 过定点M ，则M 必在y 轴上，可设)(0,M m ． 当点P 不在y 轴上时，设)()(,60P t t ≠，)(11,E x y ，)(22,F x y ，则直线P A 的方程为33y x t =+，由223399y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得)(22120t x tx ++=，解得1221t x t =-+，所以212331t y t -=+，所以222233,11t t E t t ⎛⎫-- ⎪ ++⎭⎝， 同理可得2226273,99t t F t t ⎛⎫- ⎪ ++⎭⎝，所以)(222332,11m t m t ME t t ⎛⎫--- ⎪=-⎪ ++⎭⎝，)(22232796,99m t m t MF t t ⎛⎫-++- =⎪⎪ ++⎭⎝． 因为E ，F ，M 三点共线，所以ME MF ∥，所以)()(222222327933261919m t m m t m t tt t t t +-+---⨯=⨯++++，整理得)()(22330m t -+=，因为230t +>，所以230m -=，解得32m =，即30,2M ⎛⎫⎪ ⎭⎝． 所以直线EF 过定点30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝．。
2015-山东泰安高二上学期期末试题-数学文科
2015-山东泰安高二上学期期末试题-数学文科D已知命题p ：方程221212x y a -=-表示焦点在x 轴上的双曲线． 命题q ：,x R ∃∈，使220xax a +-=. 若p 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．17.（本小题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c，且sin cosB b A =(I)求角B 的大小；(Ⅱ)若2,3,b c a ==求=2B ，求△ABC 的面积S ．18.（本小题满分12分）在数列{n a }中，111,(c ,n N*),n n a a a c +==+∈为常数125,,a a a 构成公比不等于1的等比数列。
记11(n N*)n n n ba a +=∈(1)数列{n a }的通项公式； (Ⅱ)设{nb }的前n 项和为R n 。
是否存在正整数k ，使得R k ≥1成立？若存在，找出一个正整数k ；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分） 已知椭圆22221(b 0)x y a a b +=>>的长轴长是短轴长的1），O 为坐标原点。
(I)求椭圆的方程；(Ⅱ)设点M(0，2)，直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，若S△ABC l 的方程。
20.（本小题满分13分）某厂2014年初用36万元购进一生产设备，并立即投入生产，该生产设备第一年维修保养费用4万元，从第二年开始，每年所需维修保养费用比上一年增加2万元，该生产设备使用后，每年的年收入为23万元，该生产设备使用戈年后的总盈利额为y 万元．问：(I)从第几年开始，该厂开始盈利（总盈利额为正值）；(Ⅱ)到哪一年，年平均盈利额能达到最大值？此时工厂共获利多少万元？（前x年的总盈利额=前x年的总收入一前x年的总维修保养费用一购买设备的费用）21.（本小题满分14分）已知动圆过定点(2,0),且与直线x=-2相切.(1)求动圆的圆心轨迹C的方程;(2)是否存在直线l,使l过点(0,2),并与轨迹C 交于P、Q两点,且满足·=0?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.B162521.解:(1)如图所示,设M为动圆圆心,F(2,0),过点M作直线x=-2的垂线,垂足为N,连MF,由题意知:|MF|=|MN|,即动点M到定点F与到定直线x=-2的距离相等,由抛物线的定义知,点M的轨迹为抛物线,其中F(2,0)为焦点,x=-2为准线,所以动圆圆心轨迹C的方程为y2=8x.(2)设存在满足条件的直线l,由题可设直线l的方程为x=k(y-2)(k≠0),由得y2-8ky+16k=0,Δ=(-8k)2-4×16k>0,解得k<0或k>1.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=8k,y1y2=16k,由·=0,得x1x2+y1y2=0,即k2(y1-2)(y2-2)+y1y2=0.整理得:(k2+1)y1y2-2k2(y1+y2)+4k2=0, 得16k(k2+1)-2k2·8k+4k2=0,即16k+4k2=0,解得k=-4或k=0(舍去),所以直线l存在,其方程为x+4y-8=0.。
2022-2023学年山东省泰安市宁阳县高二上学期期末考试(线上)数学试题(含解析)
宁阳县2022-2023学年高二上学期期末考试（线上）数 学 试 题 2023.1.9一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.椭圆＋＝1的焦点坐标是( )x 225y 2169A ．(±5,0)B ．(0，±5)C ．(0，±12)D ．(±12,0)2.已知平面α∥平面β，n ＝(1，－1,1)是平面α的一个法向量，则下列向量是平面β的法向量的是( )A ．(1,1,1)B ．(－1,1，－1)C ．(－1，－1，－1)D ．(1,1，－1)3.焦点坐标为（1，0）的抛物线的标准方程是（ ）A. y 2=-4xB. y 2=4xC. x 2=-4yD. x 2=4y4.等差数列{a n }中，已知a 2＝2，a 5＝8，则a 9＝( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．245.如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面对角线A 1C 1的中点，若＝＋x ＋y ，则( )BE → AA 1→ AB → AD →A ．x ＝－，y ＝B ．x ＝，y ＝－12121212C ．x ＝－，y ＝－D ．x ＝，y ＝121212126.在等比数列{a n }中，a 4，a 10是方程x 2－11x ＋9＝0的两根，则a 7＝( ) A ．3B ．－3C ．±3D ．无法确定7.已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（）22:2440C x y x y ++++=A.-1B.8.已知空间四面体D ABC 的每条棱长都等于1，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则·等于( )FE → CD →A ．B ．－C ．D ．－14143434二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9.下列说法中，正确的有( )A ．直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )必过定点(3,2)B ．直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为2C ．直线x －y ＋1＝0的倾斜角为30° 3D ．点(5，－3)到直线x ＋2＝0的距离为710.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝n 2－4n11. 已知抛物线焦点与双曲线的一个焦点重合，点在抛2(0)y mx m =>2213y x -=0(2,)P y 物线上，则下列说法错误的是（） A. 双曲线的离心率为2B.8m =C. 双曲线的渐近线为 D. 点P 到抛物线焦点的距离为63y x =±12.已知数列{a n }是等比数列，则下列结论中正确的是( )A.数列{a }是等比数列 2n B.若a 4＝3，a 12＝27，则a 8＝±9 C.若a 1＜a 2＜a 3，则数列{a n }是递增数列 D.若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －1＋r ，则r ＝－1 三、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分） 13.一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为.14.若双曲线的一条渐近线方程为.则.2221(0)x C y m m-=>：20x y -=m =15.已知等差数列，的前n 项和分别为，若，则=. {}n a {}n b ,n n S T 2(2)31n n S n T n +=-55a b 16.已知P (1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，x 24y 22则此弦所在的直线方程为________．四、解答题（本题共4小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分15分)已知圆心为M的圆经过A(0,4)，B(2,0)，C(3,1)三个点．(1)求△ABC的面积；(2)求圆M的方程．18.(本小题满分15分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．(1)求证：B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面EGF∥平面ABD．19.(本小题满分18分)已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1．(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，2求实数k的值．20.(本小题满分18分)已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；a n(2)记b n＝的前n项和为T n，求T n.3n宁阳县2022-2023学年高二上学期期末考试（线上）数学试题参考答案2023.1.9一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．椭圆＋＝1的焦点坐标是( )x 225y 2169A ．(±5,0)B ．(0，±5)C ．(0，±12)D ．(±12,0)【答案】C【解析】由标准方程知，椭圆的焦点在y 轴上，且c 2＝169－25＝144，∴c ＝±12，故焦点为(0，±12)．2．已知平面α∥平面β，n ＝(1，－1,1)是平面α的一个法向量，则下列向量是平面β的法向量的是( )A ．(1,1,1)B ．(－1,1，－1)C ．(－1，－1，－1)D ．(1,1，－1)【答案】B 【解析】因为α∥β，所以两个平面的法向量应共线，只有B 选项符合． 3. 焦点坐标为（1，0）的抛物线的标准方程是（ ） A. y 2=-4x B. y 2=4x C. x 2=-4y D. x 2=4y【答案】B【解析】由题意可设抛物线方程为y 2=2px （p ＞0）， 由焦点坐标为（1，0），得，即p=2． P12∴抛物的标准方程是y 2=4x ．故选B ．4．等差数列{a n }中，已知a 2＝2，a 5＝8，则a 9＝( )A ．8B ．12C ．16D ．24【答案】C【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由a 2＝2，a 5＝8，得Error!解得a 1＝0，d ＝2，所以a 9＝a 1＋8d ＝16．故选C ．5.如图所示，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面对角线A 1C 1的中点，若＝＋x ＋y ，则( )A ．x ＝－，y ＝B ．x ＝，y ＝－12121212C ．x ＝－，y ＝－D ．x ＝，y ＝12121212【答案】A【解析】＝＋＋＝－＋＋(＋)＝－＋＋＋＝－＋＋，∴x ＝－，y ＝．121212121212126．在等比数列{a n }中，a 4，a 10是方程x 2－11x ＋9＝0的两根，则a 7＝( )A ．3B ．－3C ．±3D ．无法确定【答案】C【解析】∵a 4，a 10是方程x 2－11x ＋9＝0的两根，∴a 4a 10＝9，由等比数列的性质可知a 4a 10＝a ＝9，∴a 7＝±3．故选C ． 277. 已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（） 22:2440C x y x y ++++=A.1B. 【答案】A【解析】变形为，故圆心为，22:2440C x y x y ++++=()()22121x y +++=()1,2--半径为1=.1-8.已知空间四面体DABC 的每条棱长都等于1，点E ，F分别是AB ，AD 的中点，则·等于( ) A ． B ．－ C ． D ．－14143434【答案】B 【解析】如图：∵点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴＝，12∵空间四面体DABC 的每条棱长都等于1， ∴每个面都是等边三角形，∴·＝·＝·＝－·＝－·||·||·cos ＝－×1×1×＝－，故选B ．121212π3121214二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列说法中，正确的有( )A ．直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )必过定点(3,2)B ．直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为2C ．直线x －y ＋1＝0的倾斜角为30°3D ．点(5，－3)到直线x ＋2＝0的距离为7【答案】ACD 【解析】对于A ，化简得直线y ＝a (x －3)＋2，故直线必过定点(3,2)，故A 正确；对于B ，直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为－2，故B 错误； 对于C ，直线x －y ＋1＝0的斜率为，故倾斜角θ满足tan θ＝，0°≤33333θ<180°，则θ＝30°，故C 正确；对于D ，因为直线x ＝－2垂直于x 轴，故点(5，－3)到直线x ＝－2的距离为5－(－2)＝7，故D 正确．故选ACD ．10.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝n 2－4n【答案】AD【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 4＝0，a 5＝5，所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：Error!，解方程组得：a 1＝－3，d ＝2，所以a n ＝－3＋(n －1)×2＝2n －5，S n ＝n 2－4n . 故选AD ．11. 已知抛物线焦点与双曲线的一个焦点重合，点在2(0)y mx m =>2213y x -=0(2,)P y 抛物线上，则下列说法错误的是（） A. 双曲线的离心率为2B.8m =C. 双曲线的渐近线为 D. 点P 到抛物线焦点的距离为6 3y x =±【答案】CD【解析】焦点坐标为，离心率，A 正确；2213y x -=()2,0±2c e a ==的焦点坐标为，故，解得：，B 正确； 2(0)y mx m =>,04m⎛⎫⎪⎝⎭24m=8m =双曲线渐近线方程为，C 错误；y =点在抛物线上，故点P 点抛物线焦点的距离为，故D 错误.故选：CD0(2,)P y 224+=12.已知数列{a n }是等比数列，则下列结论中正确的是( )A ．数列{a }是等比数列 2n B ．若a 4＝3，a 12＝27，则a 8＝±9 C ．若a 1＜a 2＜a 3，则数列{a n }是递增数列 D ．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －1＋r ，则r ＝－1【答案】AC【解析】设等比数列{a n }公比为q (q ≠0)，则＝＝q 2，即数列{a }是等比数列，即A 正确； a 2n ＋1a2n (a n ＋1a n )2 2n 因为等比数列{a n }中a 4，a 8，a 12同号，而a 4＞0，所以a 8>0，即B 错误； 若a 1＜a 2＜a 3，则a 1＜a 1q ＜a 1q 2，∴Error!或Error!，即数列{a n }是递增数列，C 正确；若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －1＋r ，则a 1＝S 1＝31－1＋r ＝1＋r ，a 2＝S 2－S 1＝2，a 3＝S 3－S 2＝6，所以q ＝＝3＝，∴2＝3(1＋r )，r ＝－，即D 错误．故选AC ．a 3a 2a 2a 113三、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分） 13.一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为.【答案】18 【解析】因为等比数列的首项为2，公比为3，所以a n ＝2·3n －1，所以a 3＝2·33－1＝18．14.若双曲线的一条渐近线方程为.则.2221(0)x C y m m-=>：20x y -=m =【答案】2【解析】双曲线的渐近线方程为，因为，所以2221(0)x C y m m -=>：y x m =±0m >，所以. 112m =2m =15.已知等差数列，的前n 项和分别为，若，则=. {}n a {}n b ,n n S T 2(2)31n n S n T n +=-55a b【答案】1113【解析】由等差数列的性质和等差数列的前项和公式可得：n 因为()()55955191919199922(92)221129239126132a a a a Sb b b T b aa b b ⨯+======++=-++⨯16.已知P (1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平x 24y 22分，则此弦所在的直线方程为________．【答案】x ＋2y －3＝0 【解析】法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y －1＝k (x －1)，弦的两端点为A ，B ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由Error!消去y 得(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0， ∴x 1＋x 2＝，4k (k －1)2k 2＋1又∵x 1＋x 2＝2，∴＝2，解得k ＝－． 4k (k －1)2k 2＋112故此弦所在的直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋2y －3＝0．12法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ． 设弦的两端点为A ，B ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＋＝1①， x 214y 212＋＝1②， x 24y 22①－②得＋＝0，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴＋y 1－y 2＝0，∴k ＝＝－．x 1－x 22y 1－y 2x 1－x212∴此弦所在的直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋2y －3＝0．12四、解答题（本题共4小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分15分)已知圆心为M 的圆经过A (0,4)，B (2,0)，C (3,1)三个点． (1)求△ABC 的面积； (2)求圆M 的方程．【解析】(1)由A (0,4)，B (2,0)得直线AB 的方程为＋＝1，即2x ＋y －4＝0．x 2y4点C 到直线AB 的距离d ＝＝，|2×3＋1－4|4＋1355A (0,4)，B (2,0)，则|AB |＝＝2， 4＋165则△ABC 的面积S ＝|AB |·d ＝×2×＝3，12125355即△ABC 的面积为3．(2)根据题意，A (0,4)，B (2,0)，C (3,1)，得k AC ＝＝－1，k BC ＝＝1，则k AC ·k BC ＝－1，4－10－31－03－2故直线AC 与BC 垂直，则△ABC 为直角三角形， 故圆M 的圆心M 为边AB 的中点，即M (1,2)， 半径r ＝|AB |＝×2＝，121255故圆M 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5． 18.(本小题满分15分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．(1)求证：B 1D ⊥平面ABD ； (2)求证：平面EGF ∥平面ABD ．【解析】如图，以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Bxyz ，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)． (1)设BA ＝a ，则A (a,0,0)．所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)． 所以·＝0，·＝0＋4－4＝0．所以B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD ．又BA ∩BD ＝B ，所以B 1D ⊥平面ABD ．(2)由题意及(1)，知E (0,0,3)，G ，F (0,1,4)， (a 2，1，4)所以＝，＝(0,1,1)． (a 2，1，1)所以·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0．所以B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF ．又EG ∩EF ＝E ，所以B 1D ⊥平面EGF ．由(1)，知B 1D ⊥平面ABD ，故平面EGF ∥平面ABD ．19.(本小题满分18分)已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1．(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．【解析】(1)联立方程Error!消去y 并整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0． ∵直线与双曲线有两个不同的交点，则Error!解得－＜k ＜，且k ≠±1．22∴若l 与C 有两个不同交点，实数k 的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．22(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，对于(1)中的方程(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝－， 2k 1－k 221－k 2∴|AB |＝|x 1－x 2|＝·＝． 1＋k 21＋k 2(－2k 1－k 2)＋81－k 2(1＋k 2)(8－4k 2)(1－k 2)2又∵点O (0,0)到直线y ＝kx －1的距离d ＝， 11＋k 2∴S △AOB ＝·|AB |·d ＝＝， 12128－4k 2(1－k 2)22即2k 4－3k 2＝0，解得k ＝0或k ＝±． 62∴实数k 的值为±或0．6220.(本小题满分18分)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)记b n ＝的前n 项和为T n ，求T n . a n 3n [解](1)设正项等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0．∵S 3＝12，即a 1＋a 2＋a 3＝12，∴3a 2＝12，∴a 2＝4．又2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，∴a ＝2a 1·(a 3＋1)，即42＝2(4－d )·(4＋d ＋1)，2解得d ＝3或d ＝－4(舍去)，∴a 1＝a 2－d ＝1，故a n ＝3n －2．(2)b n ＝＝＝(3n －2)×， a n 3n 3n －23n 13n ∴T n ＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n －2)×. ① 1313213313n ①×得T n ＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n －5)×＋(3n －2)×.② 131313213313413n 13n ＋1①－②得，T n ＝＋3×＋3×＋3×＋…＋3×－(3n －2)× 231313213313413n 13n ＋1＝＋3×－(3n －2)×13132(1－13n －1)1－1313n ＋1＝－×－(3n －2)×， 561213n －113n ＋15 41413n－23n－2213n546n＋5413n∴T n＝－×－×＝－×.。
2023-2024学年山东省泰安市高二上学期期末数学试题(含解析)
2023-2024学年山东省泰安市高二上学期期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线1:1l y kx =+与直线2:3l y x =平行，则实数k 的值为（）A.13-B.13C.3D.3【正确答案】D【分析】利用两直线平行斜率相等，求出实数k 的值.【详解】因为直线1:1l y kx =+与直线2:3l y x =平行，所以两直线斜率相等，即3k =.故选：D.2.已知等差数列{}n a 的首项13a =，公差2d =，则5a =（）A.7B.9C.11D.13【正确答案】C【分析】根据等差数列的通项公式可算出答案.【详解】因为等差数列{}n a 的首项13a =，公差2d =，所以5143811a a d =+=+=故选：C本题考查的是等差数列的通项公式，较简单.3.已知椭圆2212516x y +=上的点P 到椭圆一个焦点的距离为7，则P 到另一焦点的距离为（）A.2B.3C.5D.7【正确答案】B【分析】根据椭圆的定义列方程，求得P 到另一个焦点的距离.【详解】根据椭圆定义可知，P 到两个焦点的距离之和为22510a =´=，所以P 到另一个焦点的距离为1073-=.故选：B.本小题主要考查椭圆的定义，属于基础题.4.已知空间向量()2,1,2a =- ，()4,2,b x =- 满足a b ⊥，则实数x 的值是（）A.5-B.4- C.4 D.5【正确答案】D【分析】由已知条件得出0a b ⋅=，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数x 的值.【详解】由已知条件得出()241222100a b x x ⋅=⨯--⨯+=-=，解得5x =.故选：D.5.已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A.1 B.2C.3D.4【正确答案】B【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3，设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时||CP ==根据弦长公式得最小值为2==.故选：B.本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.6.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺…”其大意为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，5天共织了5尺布…”．那么该女子第一天织布的尺数为（）A.431B.531C.631D.1031【正确答案】B【分析】设第一天织布的尺数为x ，则由题意有()234122225x ++++=，据此可得答案.【详解】设第一天织布的尺数为x ，则()234122225x ++++=52153152131x x x -⇒⋅==⇒=-.故选：B7.设A 、B 是y 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA PB =，若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程为（）A.50x y +-= B.210x y --=C.270x y +-= D.30x y +-=【正确答案】A【分析】根据直线PA 的方程，确定出PA 的倾斜角，利用PA PB =且A 、B 在y 轴上，可得PB 的倾斜角，求出P 的坐标，然后求出直线PB 的方程．【详解】解：由于直线PA 的方程为10x y -+=，故其倾斜角为45︒，又||||PA PB =，且A 、B 是y 轴上两点，故直线PB 的倾斜角为135︒，又当2x =时，3y =，即(2,3)P ，∴直线PB 的方程为3(2)y x -=--，即50x y +-=．故选：A ．8.,,PA PB PC 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60︒，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（） A.63B.33C.2D.12【正确答案】B【分析】作图，找到直线PC 在平面PAB 上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角；也可将,,PA PB PC 三条射线截取出来放在正方体中进行分析.【详解】解法一：如图，设直线PC 在平面PAB 的射影为PD，作CG PD ⊥于点G ，CH PA ⊥于点H ，连接HG ，易得CG PA ⊥，又,,CH CG C CH CG ⋂=⊂平面CHG ，则PA ⊥平面CHG ，又HG ⊂平面CHG ，则PA HG ⊥，有cos cos cos PH CPA PC PG PH PH CPD APD PC PG PC ⎧∠=⎪⎪⎨⎪∠⨯∠==⎪⎩故cos cos cos CPA CPD APD ∠=∠⨯∠．已知60,30APC APD ∠=︒∠=︒，故cos cos60cos cos cos303CPA CPD APD ∠︒=∠︒∠==为所求．解法二：如图所示，把,,PA PB PC 放在正方体中，,,PA PB PC 的夹角均为60︒．建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)P C A B ，所以(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)PC PA PB =-==-，设平面PAB 的法向量(,,)n x y z = ，则0n PA y z n PB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令1x =，则1,1y z ==-，所以(1,1,1)n =-，所以6cos ,3||||23PC n PC n PC n ⋅-〈〉===⋅⨯．设直线PC 与平面PAB 所成角为θ，所以6sin |cos ,|3PC n θ=〈〉=，所以23cos 1sin 3θθ=-=故选B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.直线()24R y ax a a =-+∈必过定点()2,4B.直线310x y --=在y 轴上的截距为1C.过点()2,3-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为210x y ++=D.直线310x +=的倾斜角为120°【正确答案】AC【分析】对于A ，整理直线方程，合并出参数的系数，令其等于零，建立方程，可得答案；对于B ，将0x =代入直线方程，结合截距的定义，可得答案；对于C ，根据直线之间的垂直关系，设未知直线方程，代入点，可得答案；对于D ，根据直线的一般式方程，明确直线的斜率，可得答案.【详解】对于A ，由直线方程24y ax a =-+，整理可得()24y a x =-+，当2x =时，4y =，故A 正确；对于B ，将0x =代入直线方程310x y --=，可得10y --=，解得1y =-，故B 错误；对于C ，由直线方程230x y -+=，则其垂线的方程可设为20x y C ++=，将点()2,3-代入上式，可得()2230C ⨯-++=，解得1=C ，则方程为210x y ++=，故C 正确；对于D，由直线方程10x ++=，可得其斜率为33-，设其倾斜角为θ，则3tan 3θ=-，解得150θ= ，故D 错误.故选：AC.10.已知椭圆22:142x y C +=内一点11,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且M是线段AB 的中点，椭圆的左，右焦点分别为1F ，2F ，则下列结论正确的是（）A.椭圆C 的焦点坐标为()2,0，()2,0-B.椭圆C 的长轴长为4C.直线1MF 与直线2MF 的斜率之积为14- D.2153AB =【正确答案】BCD【分析】根据椭圆的几何性质、点差法、以及弦长公式求得正确答案.【详解】依题意，椭圆22:142x y C +=，所以2,a b c ===，所以焦点坐标为)()12,F F ，A 选项错误.长轴长24a =，B 选项正确.12111224MF MF k k ⋅==-，C 选项正确.设()()1122,,,A x y B x y ，则222211221,14242x y x y +=+=，两式相减并化简得12121212121212121212,,1412y y y y y y y y x x x x x x x x +----=⋅⋅=-=-+---，即直线AB 的斜率为1-，直线AB 的方程为()131,22y x y x -=--=-+，由2232142y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 并化简得261210x x -+=，所以121212,6x x x x +=⋅=，所以3AB ==.故选：BCD11.已知数列{}n a 的前n 项和()2*123N 43n S n n n =++∈，则下列结论正确的是（）A.数列{}n a 是递增数列 B.数列{}n a 不是等差数列C.2a ，4a ，6a 成等差数列D.63S S -，96S S -，129S S -成等差数列【正确答案】BCD【分析】由n a 与n S 的关系推导出数列{}n a 的通项公式，判断选项A ，B ，分别计算出2a ，4a ，6a 和63S S -，96S S -，129S S -，结合等差数列的定义判断选项C ，D.【详解】()2*12S 3N 43n n n n =++∈ ，2n ∴≥时，()()22112121531134343212n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=+⎢⎥⎣⎦，1n =时，114712a S ==，即47,11215,2212n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩，*N n ∈.2117471212a a =<= ，因此数列{}n a 不是单调递增数列，故A 错误；又1n =时，不满足15212n a n =+，∴数列{}n a 不是等差数列，故B 正确；21712a =，42912a =，64112a =，因此2a ，4a ，6a 成等差数列，故C 正确；()63456153545632124S S a a a -=++=⨯+++⨯=，()96789155378932124S S a a a -=++=⨯+++⨯=，()129101112157110111232124S S a a a -=++=⨯+++⨯=．6396129,,S S S S S S ∴---成等差数列，故D 正确.故选：BCD.12.平行六面体ABCD A B C D -''''中，各棱长均为2，设A AB A AD DAB θ''∠=∠=∠=，则下列结论中正确的有（）A.当2πθ=时，AC '=B.AC '和BD 总垂直C.θ的取值范围为2(0,3πD.θ=60°时，三棱锥C C B D -'''的外接球的体积是【正确答案】ABC【分析】对于A ，求正方体对角线即可判断；对于B ，利用空间向量数量积运算即可判断；对于C ，由正三棱锥A A BD '-的高与斜高的关系即可计算判断；对于D ，求出正四面体C CB D -'''外接球体积判断作答.【详解】平行六面体ABCD A B C D -''''中，各棱长均为2，设A AB A AD DAB θ''∠=∠=∠=，对于A ，2πθ=时，该平行六面体为正方体，其体对角线长AC '=，A 正确；对于B ，AC AB AA AD '=++' ，BD AD AB =-，因此，22()()AC BD AB AA AD AD AB AD AB AA AD AA AB '⋅++--⋅'''=-⋅⋅=+ 22224cos 4cos 0θθ=-+=-，B 正确；对于C ，连接,,BD A B A D ''，如图，依题意，A A BD '-为正三棱锥，取BD 中点E ，令O 为正A BD ' 的中心，连,,AE AO EO ，有AO ⊥平面A BD '，正三棱锥A A BD '-的斜高cos2cos 22AE AB θθ==，2sin 4sin 22BD AB θθ==，则33sin 632OE BD θ==，显然，AE OE >，即232cos sin232θθ>，则tan 32θ<锐角(0,)23θπ∈，从而得2(0,)3πθ∈，C 正确；对于D ，当60θ= 时，三棱锥C C B D -'''为正四面体，三棱锥A A BD '-也是正四面体，它们全等，由C 选项知，2222322(3)()33AO AE OE =-=-=A A BD '-的外接球球心在线段AO 上，设球半径为r ，则有222()r AO r OB =-+，整理得222(2)AO r AO OE ⋅=+，解得62r =，于是得三棱锥C C B D -'''外接球的体积346632V ππ=⨯=，D 不正确.故选：ABC关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.准线方程为2x =的抛物线的标准方程是_______．【正确答案】28y x=-【详解】抛物线的准线方程为2x =，说明抛物线开口向左，且224p =⨯=，所以抛物线的标准方程是28y x =-．14.已知双曲线C 的对称轴为坐标轴，中心是坐标原点，渐近线方程为43y x =±，请写出双曲线C 的一个离心率______．【正确答案】53（答案不唯一）【分析】分类讨论双曲线C 的焦点在x 轴、y 轴两种情况，结合双曲线的渐近线方程及离心率公式计算可得.【详解】当双曲线C 的焦点在x 轴时，其渐近线为by x a =±，则43b a =，所以离心率53c e a ====，当双曲线C 的焦点在y 轴时，其渐近线为a y x b =±，则43a b =，即34b a =，所以离心率54c e a ====，综上，可得双曲线的离心率为53或54.故53（答案不唯一）.15.如图甲是第七届国际数学教育大会（简称7ICME -）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===== ，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记12,,,n OA OA OA ⋅ 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为n a =_____．【分析】由图可知1122378...1OA A A A A A A =====，由勾股定理可得2211n n a a -=+,利用等差数列的通项公式求解即可.【详解】根据图形1122378...1OA A A A A A A =====，因为122378...OA A OA A OA A ∆∆∆、都是直角三角形，2211n n a a -∴=+,2n a ∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，()2111n a n n ∴=+-⨯=，n a ∴=.本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.16.已知过点()4,1P 的直线与椭圆22:142x y C +=相交于不同的两点A 和B ，在线段AB 上存在点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，则OQ 的最小值为______．【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，(),Q x y ，由,,,A P B Q 四点共线，用向量共线关系表示,A B 两点坐标，又点,A B 在椭圆上，把坐标代入椭圆方程，得出Q 点在一条定直线上，再求最短距离即可.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，(),Q x y ，由AP QB AQ PB ⋅=⋅，记AP PB AQ QB =，又,,,A P B Q 四点共线，设PA AQ λ= ，则由已知0λ>，且1λ≠，PB BQ λ=-.由PA AQ λ=，得()()11114,1,x y x x y y λ--=--，解得114111x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，同理PB BQ λ=- ，得()()22224,1,x y x x y y λ--=---，解得224111x x y y λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，因为点A 在椭圆上，所以224111142x y λλλλ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，即()()()22241142x y λλλ+++=+，①同理点B 在椭圆上，所以224111142x y λλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=，即()()()22241142x y λλλ--+=-，②①-②得164442x yλλλ+=，因为0λ>所以220x y +-=，故点Q 在定直线220x y +-=上，OQ 的最小值为点O 到直线220x y +-=的距离255d ==.故答案为.5解析几何中线段定比分点问题方法点睛：1.在平面直角坐标系中，已知()11,A x y ，()22,B x y ，(),P x y ，且AP PB λ=，0λ≠,且1λ≠-，那么我们就说P 分有向线段AB 的比为λ，则有:121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，这就是定比分点坐标公式.当P 为内分点时，0λ>；当P 为外分点时，0λ<(1λ≠-).2.这个公式在解决解析几何中向量共线或者点共线问题有着很强大的作用，运用好往往可以几步就解决一个大题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，直线2y x =-与抛物线22y x =相交于A ，B两点．（1）求线段AB 的长；（2）证明：OA OB ⊥．【正确答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）联立直线的方程和抛物线的方程，结合根与系数关系求得AB .（2）根据根与系数关系、向量数量积等知识证得结论成立.【小问1详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，由222y x y x=-⎧⎨=⎩，得2640x x -+=．126x x +=，124x x =，所以AB ==．【小问2详解】由（1）知：126x x +=，124x x =，所以()121212122240OA OB x x y y x x x x ⋅=+=-++=，所以OA OB ⊥ ，所以OA OB ⊥．18.如图，在三棱锥O ABC -中，OA ，OB ，OC 两两垂直，3OA OC ==，2OB =．（1）求点B 到直线AC 的距离；（2）求直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值．【正确答案】（1）342（2）17【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点与直线距离的空间向量法计算可得.（2）利用直线与平面夹角的空间向量法计算可得【小问1详解】解：以O 为坐标原点，OB ，OC ，OA方向分别为x ，y ，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,3A ，()2,0,0B ，()0,3,0C ，所以()2,0,3AB =- ，()0,3,3AC =-，()2,0,0OB = ．取()2,0,3a AB ==- ，220,,22AC u AC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，则213a = ，322a u ⋅= ，所以点B 到直线AC ()229341322a a u-⋅=-=．【小问2详解】解：设(),,n x y z = 是平面ABC 的一个法向量，则00AB n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以230330x z y z -=⎧⎨-=⎩，取2z =，解得32x y =⎧⎨=⎩，所以()3,2,2n = ．设直线OB 与平面ABC 所成角为θ，则317sin cos ,17217OB n OB n OB nθ⋅===⨯⋅ ，所以直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值为31717．19.在数列{}n a 的首项为11a =，且满足132nn n a a ++=⋅．（1）求证：{}2nn a -是等比数列．（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【正确答案】（1）证明见解析；（2）1122,23,n n n n S n ++⎧-=⎨-⎩为偶数为奇数.【分析】（1）由132nn n a a +=-+⋅，化简得到11212n n nn a a ++-=--，结合等比数列的定义，即可求解；（2）由（1）求得(1)2nnn a =-+，分当n 为偶数和当n 为奇数，两种情况讨论，结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】（1）由题意，数列{}n a 满足132nn n a a ++=⋅，即132nn n a a +=-+⋅，则111232221222n n n n n n nn n nn n n a a a a a a +++--+⋅--===----，又由11a =，可得1121a -=-，所以数列{}2nn a -表示首项为1-，公比为1-的等比数列.（2）由（1）知121(1)(1)nn n n a --=-⨯-=-，所以(1)2n n n a =-+，所以12=222(1)1(1)nnn S ++++-+++- ，当n 为偶数时，可得12(12)=02212nn n S +-+=--；当n 为奇数时，可得12(12)=12312nn n S +--=--，综上可得，1122,23,n n n n S n ++⎧-=⎨-⎩为偶数为奇数.20.已知两个定点()1,0M -，()1,0N ，动点P满足MP =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）若点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程．【正确答案】（1）22610x y x +-+=（2）1y x =-或1y x =-+【分析】（1）设点(),P x y，后由MP =结合两点间距离公式可得轨迹方程；（2）由点N 到直线PM 的距离为1，可得30PMN ∠=︒，则可得直线PM 方程为()313y x =+或()313y x =-+，将直线方程与轨迹方程联立可得点P 坐标，后可得直线PN 方程.【小问1详解】设点P 的坐标为(),x y，因为MP =，=整理得22610x y x +-+=，所以点P 的轨迹方程为22610x y x +-+=．【小问2详解】因为点N 到直线PM 的距离为1，2MN =，所以30PMN ∠=︒，直线PM 的斜率为33或33-，所以直线PM 的方程为()313y x =+或()313y x =-+.联立轨迹方程与()13y x =±+，可得()222610410313x y x x x y x ⎧+-+=⎪⇒-+=⎨=+⎪⎩，解得2x =或2x =-．得直线PM 的方程为()313y x =+时，P的坐标为(2++或(21-.直线PM 的方程为()313y x =-+时，P 的坐标为(21+--或(2．当P的坐标为(2+时，直线PN的方程为：11y x ==-，即1y x =-.P的坐标为(21-+时，直线PN的方程为：11y x ==--，即1y x =-+.P的坐标为(21+--时，直线PN的方程为：11y x ==--，即1y x =-+.P的坐标为(2-时，直线PN的方程为：11y x ==-，即1y x =-.综上可得直线PN 的方程为1y x =-或1y x =-+21.歇山顶，即歇山式屋顶，为古代汉族建筑屋顶样式之一，宋朝称九脊殿、曹殿或厦两头造，清朝改称歇山顶，又名九脊顶，其屋顶（上半部分）类似于五面体形状．如图所示的五面体EF ABCD -的底面ABCD 为一个矩形，28AB EF ==，6AD =，//EF AB ，棱5EA ED FB FC ====，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．（1）求证：平面EFNM ⊥平面ABCD ；（2）求平面BFC 与平面EFCD 夹角的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）2114【分析】（1）证明EM AD ⊥以及MN AD ⊥，根据面面垂直的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面BFC 与平面EFCD 法向量，根据向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】因为EA ED =，M 为AD 的中点，所以EM AD ⊥．在矩形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，所以MNAD ⊥．又EM MN M ⋂=，EM ，MN ⊂平面EFNM ，所以AD ⊥平面EFNM ．又AD ⊂平面ABCD ，所以平面EFNM ⊥平面ABCD ．【小问2详解】在平面EFNM 中，过F 作FH MN ⊥，H 为垂足．因为平面EFNM ⊥平面ABCD ，平面EFNM ⋂平面ABCD MN =，FH ⊂平面EFNM ，所以FH ⊥平面ABCD ．过H 作BC 的平行线，交AB 于点S ，则3HS =，2HN =，3HF =，以H 为坐标原点，以HS ，HN ，HF方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,2,0B ，()3,2,0C -，()3,6,0D --，(0,0,23F ，所以(3,2,3BF =-- ，()6,0,0BC =- ，(3,2,23CF =- ，()0,8,0CD =-．设平面EFCD 的一个法向量为(),,m x y z = ，则00CF m CD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以3223080x y z y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，取3z =，解得2x y =-⎧⎨=⎩，所以(3m =- ，同理可得平面BFC 的一个法向量为()3,1n =．设平面BFC 与平面EFCD 夹角为θ．则21cos cos ,14m n m n m nθ⋅=<>==⋅ ，所以平面BFC 与平面EFCD 夹角的余弦值为2114．22.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右顶点分别为A ，B ，过点()6,0D 且不与x 轴重合的动直线交双曲线C 于P ，Q 两点，当直线PQ 与x 轴垂直时，4PD BD ==．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）设直线AP ，AQ 和直线x t =分别交于点M ，N ，若MD ND ⊥恒成立，求t 的值．【正确答案】（1）22142x y -=（2）14t =或103t =【分析】(1)由4PD BD ==可得a 的值，再将点()6,4P 代入即可求解；(2)设直线PQ 的方程为6x my =+，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出直线AP 的方程，求出点,M N 的坐标，利用MD ND ⊥即可求出结果.【小问1详解】由题知，当PQ 与x 轴垂直时，4PD BD ==，所以642a OD BD =-=-=，()6,4P ，所以2236414b -=，解得22b =，所以双曲线C 的方程为22142x y -=．【小问2详解】设直线PQ 的方程为6x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由226142x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()22212320m my y -++=，所以122122m y y m +=--，122322y y m =-．直线AP 的方程为()1122y y x x =++，与x t =联立，解得()112,2t y M t x +⎛⎫⎪+⎝⎭．同理可得()222,2t y N t x +⎛⎫⎪+⎝⎭．所以()1126,2t y DM t x +⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+ ，()2226,2t y DN t x +=-+⎛⎫⎪⎝⎭，因为MD ND ⊥恒成立，所以0DM DN ⋅=恒成立，又()()()()2212126222y y DM DN t t x x ⋅=-++++ ()()()()2212126288y y t t my my =-++++()()()21222112262864m y y m y y y y t t ++=++-+()()221624t t =--+所以()()22462t t -=+，解得14t =或103t =．。
山东省泰安市2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
山东省泰安市2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.下列有关不等式的推理（1）a b b a >⇔< （2）a b a c b c >⇒+>+ （3）,0a b c ac bc ><⇒< （4）22a b a b >⇒> 其中，正确推理的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质，对选项进行一一判断，即可得到答案. 【详解】对（1），满足不等式的传递性，故（1）正确； 对（2），满足不等式的可加性，故（2）正确；对（3），不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向要改变，故（3）正确； 对（4），只有当两个数都是正数的时候，才能成立，故（4）错误. 故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，考查对概念的理解，属于基础题. 2.“()()120x x -+=”是“1x =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 分析】解一元二次方程，再利用集合间的关系进行判断，即可得到答案. 【详解】∵()()120x x -+=，∴“1x =或2x =”， ∴“1x =或2x =”推不出“1x =”，而后面可以推前面， ∴“()()120x x -+=”是“1x =”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查简易逻辑的知识，求解时注意将问题转化为集合之间的关系. 3.已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（ ） A. 4 B. 2C. 1D. 8【答案】C 【解析】点A 到抛物线的准线：14x =-的距离为：014d x =+，利用抛物线的定义可得：001544x x +=， 求解关于实数0x 的方程可得：01x =. 本题选择C 选项.4.若1231,,,,4a a a 成等比数列，1233,,,,5b b b 成等差数列，则22a b 的值为（ ）A. 12-B.12C. 2±D. 12±【答案】B 【解析】 【分析】根据等比中项和等差中项的性质，可分别求得2a 、2b 的值，进而得到答案.【详解】∵222142a a =⨯⇒=±，∵221a a q =⨯，∴20a >，∴22a =，∵222354b b =+⇒=，∴2212a b =. 故选：B.【点睛】本题考查等比中项和等差中项的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意判断20a >.5.如图，底面是平行四边形的棱柱''''ABCD A B C D -，'O 是上底面的中心，设,,AB a AD b AA c '===，则AO '=（ ）A.111222a b c ++ B.1122a b c ++ C. 12a b c ++ D.12a b c ++ 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量加法和减法的几何意义、数乘向量，以,,a b c 为基底，利用空间向量基本定理，将AO '表示出来.【详解】∵''1111()2222AO AC C O a b c AC a b c a b a b c ''=+=++-=++-+=++. 故选：B【点睛】本题考查空间向量加法和减法的几何意义、数乘向量，考查运算求解能力，求解时注意基底的选择.6.等比数列{}n a 中，38a =，61a =，则数列2{log }n a 的前n 项和的最大值为（ ） A. 15 B. 10C.1218D. 2121log 8【答案】A 【解析】 【分析】由38a =，61a =，可得215181a q a q ⎧=⎨=⎩求出首项与公比的值，可得等比数列{}n a 的通项，从而可得2log 6n a n =-，可判断第七项以后的每一项都是负数，可得{}n b 前6项或前5项和最大，从而可得结果.【详解】设首项为1a ，公比为q ，则21151328112a a q q a q =⎧⎧=⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩，612n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 6n a n ∴=-，60b =，即第七项以后的每一项都是负数， 所以{}n b 前6项或前5项和最大， 最大值为165650661522b b S S ++==⨯=⨯=，故选A. 【点睛】本题主要考查等比数列通项公式基本量的运算以及等差数列的性质，属于中档题.求等差数列前n 项和的最大值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2An Bn =+，当2B n A =-时有最大值（若2Bn A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大）；②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值. 7.已知0,0a b >>，且1a b +=，则49aba b+的最大值为（ ）A.124B.125 C.126D.127【答案】B 【解析】 【分析】将等式49aba b+化成149()()a b b a ++，再利用基本不等式求最大值.【详解】∵11149494925()()13ab a b a ba b b a b a ==≤=+++++， 等号成立当且仅当32,55a b ==.故选：B.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，求解时注意“1”的代换. 8.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB =，则1AB 与1C B 所成角的大小为（ ）A. 90°B. 75°C. 60°D. 45°【答案】A 【解析】 【分析】将正三棱柱组成一个底面为菱形的直四棱柱，连结1AD ，11B D ，则1D AB ∠异面直线1AB 与1C B 所成的角，再利用勾股定理进行求解.【详解】如图所示，将正三棱柱组成一个底面为菱形的直四棱柱，连结1AD ，11B D ， ∴1D AB ∠异面直线1AB 与1C B 所成的角， ∵12AB BB =，∴设11BB =，2AB =，则116B D =，13AD =，∵22211111AD A B B D +=，∴190D AB ∠=.故选：A.【点睛】本题考查1AB 与1C B 所成角的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意补形法的应用.9.数列{}n a 满足11221n n n n a a ++=-，且11a =，若15n a <，则n 的最小值为 ( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】 依题意，得11221n n n n a a ++-=，可判断出数列{2n a n }为公差是1的等差数列，进一步可求得21a 1=2，即其首项为2，从而可得a n =12nn +，继而可得答案． 【详解】∵11221n n n n a a ++=-，即11221n nn n a a ++-=，∴数列{2n a n }为公差是1的等差数列， 又a 1=1，∴21a 1=2，即其首项为2， ∴2n a n =2+（n ﹣1）×1=n+1，∴a n =12nn +． ∴a 1=1，a 2=34，a 3=12，a 4=516＞15，a 5=632=316＜315=15，∴若15n a ＜，则n 的最小值为5，故选C ．【点睛】本题考查数列递推式，判断出数列{2na n }为公差是1的等差数列，并求得a n =12nn +是关键，考查分析应用能力．属于中档题．10.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为2c ，过点2,0a P c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为,M N .若椭圆离心率的取值范围为12⎡⎢⎣⎦，则MPN ∠的取值范围为（ ）A. ,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】由题意得2MPN MPO ∠=∠，利用直角三角形中正弦函数的定义可得sin MPO ∠ca=，利用离心率的取值范围，求得,64MPO ππ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦∠，即可得答案. 【详解】在直角三角形OMP 中，∵21s ,22in OM a c MPO a OP a c⎡⎢∠=⎣==⎦∈，∴,64MPO ππ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦∠， ∵2MPN MPO ∠=∠，∴,32MPN ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦. 故选：D.【点睛】本题考查圆的切线、椭圆的准线方程，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 11.已知函数()()4,2x f x x g x a x =+=+，若11,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2[1,3]x ∀∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. 2a ≥ B. 2a ≤ C. 4a ≤- D. 4a ≥-【答案】C 【解析】 【分析】由题意得：()()12min max f x g x ≥，利用函数的单调性分别求得()1min 4f x =，()2max 8g x a =+，代入不等式即可求得答案.【详解】由题意得：()()12min max f x g x ≥，∵'24()10f x x =-≤对1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦恒成立，∴()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减， ∴()1min 4f x =；∵()2xg x a =+在[1,3]单调递增，∴()2max 8g x a =+，∴484a a ≥+⇒≤-. 故选：C.【点睛】本题考查简易逻辑中“任意”问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将问题转化为函数的最值问题.12.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 且平行于其一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，直线l 与双曲线交于点B ，且2BF AB ＝，则双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 2C. 3D. 2【答案】C 【解析】 【分析】利用几何法先分析出A B 、的坐标，B 代入方程即可．【详解】由图像，利用几何关系解得A ,22c bc a ⎛⎫⎪⎝⎭，因为2BF AB =，利用向量的坐标解得2B ,33c bc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点B 在双曲线上，故222222331e 3e 3c bc a a b⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=⇒=⇒= 故答案为C.【点睛】利用几何中的线量关系，建立a,b,c 的关系式，求离心率，不要盲目的列方程式算． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知命题p ：“000,10xx R e x ∃∈--≤”，则p ⌝为_________.【答案】,10xx R e x ∀∈-->。
2019-2020学年山东省泰安市高二上学期期末考试 数学+语文+英语试题及参考答案
语文参考答案一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读I(本题共5小题，19分)1. C2. C3. A4. 本文在论证上主要采用驳论论证法，开篇点出错误论点，接着给出自己的正面观点。
然后作者围绕“每个自然人”无论中外和“天然且基本的方式”等方面论证差序化的普遍性、必要性和先天性，对错误论点进行批驳。
最后得出结论。
5. (1)在全球化时代，人与人之间的关系远比“差序格局”想象的要复杂、丰富得多。
(2)“差序格局”不仅对中国传统社会人与人之间关系的生长、建构和维系理解得不准确，而且对人与人之间关系及其结构的变迁和发展趋势缺乏现实感、敏锐性、弹性和适用性。
(3)差序化的普遍、必要和先天性，注定了这种格局并不会完全退出历史的舞台(意思对即可)(二)现代文阅读Ⅱ(本题共4小题，16分)6. B7. C8. 一个美丽的年轻女子在守候着她的归人(容颜、等待)；她等了一年复一年，时间在等待中悄然逝去(季节里)；她也曾欣喜期待，以为她的归人即将到来(莲花开)、却终于还是寂寞失落，因为她的归人终究没有归来(莲花落)。
9. 这首诗使用了一连串具有传统意味和江南风情的意象，诸如“江南”“莲花”“飞絮”“跫音”等；营造出情意绵绵而又迷离怅惘的意境氛围；全新塑造了古典诗词中幽居深闺的思妇形象和漂泊异乡的游子形象。
二、古代诗文阅读(35分)(一)文言文阅读(本题共5小题，20分)10. B 11. A 12. C13. (1)长安一带地域狭窄，上林苑中有很多空地，已经废弃荒芜，希望让百姓们进去耕种打粮，不要收走禾秆，留下作为禽兽的饲料。
(2)再说秦始皇正因为听不到自己的过错而失去天下，李斯分担过错，又哪里值得效法呢？14. 一是告诫自己不能因为把萧何关押起来而错上加错，真成了桀纣那样的暴君二是告诫萧何要知道自己的过错，不能因为为百姓争取利益而让国君进退失据，失信于天下；三是要告诫百姓，萧何还在我刘邦的掌控之中，生杀予夺，全决于我。
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高 二 年 级 考 试
数 学 试 题（文科）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若a ∈R ，则“a =2”是“（a -l ）（a -2）=0”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
2．准线方程为x=2的抛物线的标准方程是
A ．y 2=-4x
B ．y 2=-8x
C ．y 2=-x
D ．y 2
=-8x 3．等差数列{n a }的前n 项和为S n 。
且S 3=6，a 3=0，则公差d 等于
A ．2
B ．1
C ．-1
D ．-2
4．已知,,a b c R ∈∈尺，则下列命题正确的是
A ．22a b ac bc >⇒>
B ．a b a b c c
>⇒> C. 110a b ab a b >⎫⇒>⎬<⎭ D. 110a b ab a b
>⎫⇒>⎬>⎭ 5．△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2+b 2=2c 2，则cosC 的最小值为 A. 12
B. 2
C. 2
D. 12
- 6．设等比数列{n a }的公比q=2，前n 项和为S n ,则
42S a = A.2 B.4 C. 152 D. 172
7.函数的单调递减区间为
A.(-1,1)
B.[1,+∞]
C.(0,+ ∞)
D.(0,1] 8.在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则2{x |0}ax bx c ++<≠∅”的逆命
题、否命题、逆否命题中真命魉的个数
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
9．若实数x 、y 满足10,0,0,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
则z=3x+2y 的最大值是
A ．13
B ．9
C ．1
D ．3
10．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，过抛物线y 2=16x 的焦点F 且与x 轴垂
直的直线交双曲线C 于A 、B 两点，若|AB|=43，则C 的实轴长为（ ）
A ．4
B ．8
C ．2
D ．22
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置．
11．不等式-2x 2
+x+3<0的解集为 ▲ ．
12．在等差数列{n a }中，12,a =3a +5a =10，则7a = ▲ ． 13.设双曲线C 经过点(2，2)，且与2
214
y x -=具有相同渐进线，则双曲线C 的方程为 ▲ ．
14．函数31(x)443
f x x =
-+在[0，3]上的最大值是 ▲ ．
15.如图,在山顶铁塔上B 处测得一点铁A 的俯角为α，在
塔底C 处测得A 处的俯角为β，若铁塔高为m 米，则山高CD 为
▲ 。
三、解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题纸的相应位置．
16.（本小题满分12分） 已知命题p ：方程22
1212x y a
-=-表示焦点在x 轴上的双曲线． 命题q ：,x R ∃∈，使2
20x ax a +-=.
若p 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．
17.（本小题满分12分）
设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c
，且sin cosB b A =
(I)求角B 的大小；
(Ⅱ)若2,3,b c a ==求=2B ，求△ABC 的面积S ．
18.（本小题满分12分）
在数列{n a }中，111,(c ,n N*),n n a a a c +==+∈为常数125,,a a a 构成公比不等于1的等比数列。
记1
1(n N*)n n n b a a +=∈ (1)数列{n a }的通项公式；
(Ⅱ)设{n b }的前n 项和为R n 。
是否存在正整数k ，使得R k ≥1成立？若存在，找出一个正整数k ；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分12分） 已知椭圆22
221(b 0)x y a a b
+=>>
，1），O 为坐标原点。
(I)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设点M(0，2)，直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，若S △ABC
，直线l 的方程。
20.（本小题满分13分）
某厂2014年初用36万元购进一生产设备，并立即投入生产，该生产设备第一年维修保养费用4万元，从第二年开始，每年所需维修保养费用比上一年增加2万元，该生产设备使用后，每年的年收入为23万元，该生产设备使用戈年后的总盈利额为y 万元．
问：(I)从第几年开始，该厂开始盈利（总盈利额为正值）；
(Ⅱ)到哪一年，年平均盈利额能达到最大值？此时工厂共获利多少万元？
（前x 年的总盈利额=前x 年的总收入一前x 年的总维修保养费用一购买设备的费用）
21.（本小题满分14分）
已知函数x
(x)e f =-()ax a 为常数的图象与y 轴交于点A ，曲线y=f(x)在点A 处的切线斜率为-1。
（1）求a 的值及函数f(x)的极值；
（2）若关于x 的不等式mf(x)+2mx ≤（1-m ）(e -x -1)在(0,+∞)上恒成立，求实数m 的取值范围。