模型参考自适应控制

第九章 模型参考自适应控制（Model Reference Adaptive Control ）简称MRAC

介绍另一类比较成功的自适应控制系统，已有较完整的设计理论和丰富的应用成果（驾驶仪、航天、电传动、核反应堆等等）。

§9 —１MRAC 的基本概念

系统包含一个参考模型，模型动态表征了对系统动态性能的理想要求，MRAC 力求使被控系统的动态响应与模型的响应相一致。与STR 不同之处是MRAC 没有明显的辨识部分，而是通过与参考模型的比较，察觉被控对象特性的变化，具有跟踪迅速的突出优点。

设参考模型的方程为

式(9-1-1)

式(9-1-2)

被控系统的方程为

式(9-1-3) 式(9-1-4)

两者动态响应的比较结果称为广义误差,定义输出广义误差为

e = y m – y s 式(9-1-5)；

X A X Br y CX m m m m m

∙

=+= X A B r y CX S S S S S

∙

=+=

状态广义误差为

ε = X m – X s 式(9-1-6)。 自适应控制的目标是使得某个与广义误差有关的自适应控制性能指标J 达到最小。J 可有不同的定义，例如单输出系统的

式

(9-1-7)

或多输出系统的

式(9-1-8)

MRAC 的设计方法目的是得出自适应控制率，即沟通广义误差与被控系统可调参数间关系的算式。有两类设计方法：一类是“局部参数最优化设计方法”，目标是使得性能指标J 达到最优化；另一类是使得自适应控制系统能够确保稳定工作，称之为“稳定性理论的设计方法。

§9 —2 局部参数最优化的设计方法

一、利用梯度法的局部参数最优化的设计方法

这里要用到非线性规划最优化算法中的一种最简单的方法——

J e d t

=

⎰20

()ττ

J e

e d T

t

=

⎰()()τττ

梯度法（Gradient Method ）。 1.

梯度法

考虑一元函数f(x)，当: ∂ f (x)/ ∂x = 0 ，且

∂ f 2 (x) / ∂x 2 > 0 时f(x) 存在极小值。问题是怎样调整x 使得f (x) 能达到极小值 ？

x 有两个调整方向：当∂ f (x)/ ∂x > 0时应减小x ；当∂ f (x)/ ∂x < 0时应增加x 。两者合并表示为：

式(9-2-1)

λ 为步长系数（λ > 0 ）。

把函数f(x) 在x 方向的偏导数称为梯度。上式含义为：按照梯度的负方向调整自变量x 。该结论可推广到多元函数求极值的情况。 2．具有一个时变参数——可调增益的MRAC 设计（MIT 方案）

1958年由麻省理工学院提出。

∆x f x x

=-λ

∂∂()

参考模型传函为

式中：q(s) = b 1s n-1+…+ b n ; p(s) = s n +a 1s n-1+…+ a n 广义误差为e = y m – y s

性能指标为： 式(9-1-7)。系统的可调增益为K c ，目标是设计出 随着e 而调整K c 的规律，以使J 达到最小。J 对K c 的梯度为

⎰∂∂=∂∂t

t c

c o

d K e

e K J τ2

由梯度法有：

⎰∂∂-∂∂-=∆t

t c

c c

d K e

e K J K 0

2τ

λλ

将上式两边对t 求导数，得到

c

c K e

e

K ∂∂-=∆∙

λ2 式(9-2-2)

广义误差对输入信号的传函为:

自适应回路开环情况下系统传函为

引入微分算子：D = d/dt 、 D 2 = d 2 / dt 2 …，由上式得到微分方程： P(D) ⋅e (t) = ( K m - K c ⋅K s ) q(D) ⋅ r ( t ) 两端对K c 求偏导数

r

D q K K e D P s c

)()(-=∂∂ 得到

)()

(D P D q r K K e s c -=∂∂ 式(9-2-3)

由模型的微分方程：p (D) y m (t) = K m q(D) r(t) 得到

代入式(9-2-3)，得出：

m m

S C y K K K e

-=∂∂ 代入式(9-2-2)，得出 W S e s r s y s y s r s K K K q s p s m s m C S ()()()()()()()

()

()==-=-

q D P D y rK m

m

()()=

m

C Bey K =∆∙

式(9-2-4)

其中：B = 2 λ K s / K m , 当K s 与K m 同号时B 为正值常系数，即自适应回路的积分时间常数。实现的方案如下图，自适应回路由乘法器与积分器组成。该方案能够使得J 为最小，但是不能确保自适应回路是稳定的。需要通过调整B 的大小，使得系统稳定且自适应跟踪速度也比较快。

MIT 方案

应用举例：二阶电传动调速系统的模型参考自适应控制

马润津等“可控硅电传动模型参考自适应控制“自动化学报1979。第4期

实验结构图