第二章拉伸、压缩与剪切

1.用截面法求横截面上的内力
轴力(normal force)的正负号
只有轴力 一个内力 分量
平衡方程： FN – F 0 FN F
拉伸时的轴力规定为正， 压缩时的轴力规定为负。
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§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力与应力 例2.1 已知F1=2.62KN,F2=1.3KN,求1-1,2-2截面上的内力.
a
pa sin a 2 sin 2a
a max
2
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§2-4 材料拉伸时的力学性能
1、概念 材料的力学性能也称为机械性能，是指材料在外力的作用下 表现出来的变形、破坏等方面的特性。由实验测定。
2、实验条件 在室温下，以缓慢平稳的加载方式进行试验。国家标准对试样的 形状、加工精度、加载速度、试验环境等作了同一规定。
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§2-4 材料拉伸时的力学性能
3、实验过程
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§2-4 材料拉伸时的力学性能
4、低碳钢拉伸时的力学性能
F-△l曲线
F-△l曲线与试样尺寸有关， 消除试样尺寸的影响，得到 σ-ζ曲线
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§2-4 材料拉伸时的力学性能
四个阶段： 弹性阶段Oa 屈服阶段 强化阶段 局部变形阶段
σp:比例极限a σe :弹性极限b 上屈服极限( σs)和下屈服极限：屈服阶段的最高应力与最低应力 σb ：强度极限（材料所能承受的最大应力） e
求得： FN 3.35W F1 1.74W
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§2-7 失效、安全因数和强度计算
例2.5 由于撑杆AB的最大轴力为：
FN max
A
60106 Pa
4
(1052
952 ) 106 m2
94.2KN
W FN max 94.2KN 28.1KN 3.35 3.35
同理，钢索1允许的最大拉力是：
学性能是相同的，各纵向纤维的 受力一样，所以横截面上各点的 正应力σ相等。
FN
dA A
A
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§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力与应力
例2-2 图5-6a）为一双压手铆机的示意图。作用于活塞杆上的力分 别简化为F1=2.62kN，F2=1.3kN，F3=1.32kN，计算简图如图5-6b） 所示。AB段为直径d=10mm的实心杆，BC段是外径D=10mm,内径 d1=5mm的空心杆。求活塞杆各段横截面上的正应力。
将产生0.2%塑性应变时的应力
作为屈服指标（名义屈服极限），
并用σ0.2表示。
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§2-4 材料拉伸时的力学性能
6、铸铁拉伸时的力学性能
没有明显的直线部分，在较小 的拉应力下就被拉断，没有屈 服和缩颈现象，拉断前的应变 很小，伸长率也很小。在较低 应力下，可认为近似满足胡克 定律，取割线的斜率作为E。
例2.5某工地自制悬臂起重机如图如示。撑杆AB为空心钢管，外径 105mm，内径95mm。钢索1、2互相平行，且设钢索可用为相当于 直线25mm的圆杆计算。材料的[σ]=60MPa。试求起重机许可载荷
解：以滑轮A为研究对象， 分析如图所示。
F x 0, F1 F2 W cos 60 FN cos15 0 F y 0, FN sin15 W cos 30 0
FN1 2.62KN FN 2 1.32KN
根据轴力图可以显示各段轴力的大小以及各段的变形是拉伸或压缩
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§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力与应力
2.应力
轴力的大小并不能用来判断杆件是否有足够的强度，如：
F
F
F
F
细杆先被拉断，说明拉杆的强度不仅与轴力的大小有关，还 与拉杆的的横截面有关，所以必须用横截面上的应力来度量 杆件的受力程度。
F1 FN1 0 FN1 F1 2.62KN(压力)
F1 F2 FN2 0 FN2 F1 F2 1.32KN(压力)
FN2 F3 0 FN2 F3 1.32KN(压力)
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§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力与应力
轴力图:用平行于杆件轴线的坐标表示横截面的位置， 用垂直于杆件轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，从 而绘出表示轴力沿杆轴变化规律的图线。
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§2-8 轴向拉伸或压缩时的变形
一、拉伸或压缩直杆变形计算公式
l l1 l
l
l
E
l FNl EA
FN F
AA
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§2-8 轴向拉伸或压缩时的变形
二、变形与位移 变形：杆件受外力作用后发生的形状和尺寸的改变。 位移：杆件受外力作用而发生变形后，在杆件上的 一些点、线、面在空间位置上的改变。产生位移的 原因是杆件发生了变形。
根据圣维南原理，对弹性体某 一局部区域的外力系，若用静力等 效的力系来代替；则力的作用点附 近区域的应力分布将有显著改变， 而对略远处其影响可忽略不计。
理论分析与实验证明，影响 区的轴向范围约为杆件一个横 向尺寸的大小。
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§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力与应力
4.应力集中（stress concentration）
例2.7图为一简单托架。BC杆为圆钢，横截面直径d=20mm，BD杆 为8号槽钢。若[σ]=160MPa,E=200GPa,试校核该托架的强度，并求 B点的位移。设F＝60KN。
解：取节点B为研究对象如所示。
根据平衡方程如求得：
FN1
3 4
F
解：分段求正应力
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§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力与应力
例2-3直径为 d 长为 l 的圆截面直杆,铅垂放置,上端固定,如图所示。 若材料单位体积质量为,试求因自重引起杆的轴力和最大正应力。
轴力
轴力图 最大轴力 最大应力
轴力方程
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§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力与应力
3.圣维南原理（Saint-Venant principle）
拉（压）杆中两个任意截面之间的相对位移，就 等于这两个截面之间的那段杆的伸长量。因此， 要计算两个截面之间的相对位移，就只要计算这 两个截面之间的那段杆间的伸长量。
Na pa uBA BB' lAB EA EA
N(a b) p(a b) uCA CC' lAC EA EA
uC B
卸载定律与冷Байду номын сангаас硬化
将试件拉到超过屈服极限的d点后，再卸载， 在卸载过程中，应力与应变按直线规律变化。
卸载后，再次加载，将沿卸载时的直线变 化，即第二次加载时，其比例极限得到提 高，但塑性变形和伸长率却有所降低。
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§2-4 材料拉伸时的力学性能
5、其它塑性材料拉伸时的力学性能
没有明显屈服极限的塑性材料，
lBC
Nb EA
pb EA
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§2-8 轴向拉伸或压缩时的变形
二、泊松比
' b b1 b
bb
' u 泊松比μ与弹性模量类似，是材料固有的弹性常数。
' u
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§2-8 轴向拉伸或压缩时的变形
例2.6图中M12螺栓内径d1=10.1mm，拧紧后在计算长度l=80mm内 产生的伸长为△l=0.03mm。钢E=210GPa。试计算螺栓内的应力和 螺栓的预紧力。
解：拧紧后螺栓的应变为：
l 0.03mm 0.000375
l 80mm
由胡克定律求出螺栓横截面上的拉应力 E 210109 Pa 0.000375 78.8MPa
F A (10.1103 mm)2 (78.8106 Pa) 6.31KN
4
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§2-8 轴向拉伸或压缩时的变形
例2.4:气动夹具如图所示。气缸内径D=140mm，缸内气压p=0.6MPa， 活塞杆材料为20钢，[σ]＝80MPa。试设计活塞的直径d。
解：活塞杆的轴力为
根据强度条件，活塞杆横截 面积应满足以下要求：
由此得出：d 0.0122m
最后将活塞杆的直径圆整为0.12m
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§2-7 失效、安全因数和强度计算
截面尺寸改变得越急剧， 理论应力集中系数 角越尖，孔越小，应力
集中的程度就越严重。
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§2-3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
横截面： 斜截面：
Aa
A cos a
Fa F
pa
Fa Aa
A
Fa cos a
Fa A
cos a
cos a
a pa cos a cos2 a amax
2
§2-1 轴向拉伸与压缩的概念与实例
1.轴向拉伸与压缩的工程实例
3
§2-1 轴向拉伸与压缩的概念与实例
2.拉伸压缩动画示范
4
§2-1 轴向拉伸与压缩的概念与实例
3.拉伸与压缩的受力特点
作用于杆件上的外力合力的作用线与杆件的轴 线重合，杆件变形是沿轴线方向伸长或缩短的。
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§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力与应 力
F1max
A1
(60106 Pa)
4
(252
106 m2 )
29.5KN
W F1max 29.5KN 17KN 1.74 1.74
比较以上结果，可知起重机的许可吊重为17KN。
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§2-7 失效、安全因数和强度计算
四、确定安全因数时应考虑的因数
1、材料的素质：如均匀程度、塑性脆性等。 2、载荷情况：如对载荷的估算是否准确、是静载荷还是动载荷。 3、实际构件简化过程和计算方法精确程度。 4、零件在设备中的重要性、工作条件、损坏后造成的后果等。 5、对减轻设备自重和提高设备机动性的要求。 目前一般机械制造中，在静载荷的情况下，对塑性材料可取1.2~2.5 脆性材料由于均匀性较差，且断裂突然，一般可取2~3.5，甚至取3~9
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§2-4 材料拉伸时的力学性能
伸长率与断面收缩率
l1 l 100%
l为试件原长，l1为试件拉断时的长度。 伸长率是衡量材料塑性的指标，工程上称：
l
δ＞5%的材料称为塑性；
δ＜5%的材料称为脆性。
A A1 100% A为试件原截面积，A1为试件拉断时的截面积。
A
断面收缩率也是衡量材料塑性的指标
铸铁拉断时的最大应力即为其 强度极限。强度极限是衡量强 度的唯一指标。
铸铁经球化后成为球墨铸铁， 力学性能有显著变化。
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§2-5 材料压缩时的力学性能
1、试件 金属的压缩试件一般制成很短的圆柱，以免压弯。h:d≈1.5－3 混凝土、石料等则制成立方形的试块。
2、试验结果
低碳钢压缩时的E和σs与拉伸时 大致相同，屈服阶段之后越压越 扁，横截面不断增大，得不到压 缩时的强度极限。
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§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力与应力
与轴力FN对应的是正应力，根据连续性假设，横截面上到 处都存在内力。设微分面积dA上的内力元素σdA，则：
FN
dA
A
平面假设：变形前的横截面（为 平面）,变形后仍为平面,只是两 截面的距离发生了改变。
由平面假设推断，拉杆的所有纵 向纤维的伸长是相等的。由于材 料是均匀的，所以纵向纤维的力
第二章 拉伸、压缩与剪切
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第二章 拉伸、压缩与剪切
§2-1 轴向拉伸与压缩的概念与实例 §2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力与应力 §2-3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 §2-4 材料拉伸时的力学性能 §2-5 材料压缩时的力学性能 §2-7 失效、安全因数和强度计算 §2-8 轴向拉伸或压缩时的变形 §2-9 轴向拉伸或压缩的应变能 §2-10 拉伸、压缩超静定问题 §2-11 温度应力与装配应力 §2-12 应力集中的概念 §2-12 剪切与挤压的实用计算
铸铁压缩时，仍在较小在变形下
突然破裂，破坏断面的法线与轴
线大致成45°角。表明沿斜截面
相对错动而破坏。抗压强度约比
抗拉强度高4－5倍。
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§2-7 失效、安全因数和强度计算
一、失效 构件因强度、刚度、稳定性等原因不能正常工作。 强度条件引起的失效： 脆性材料制成的构件在拉应力下，当变形很小时就突然断裂； 塑性材料制成的构件在拉断之前已经出现塑性变形，由于不 能保持原有的形状和尺寸，它已经不能正常工作。断裂与出现 塑性变形统称为失效。
刚度不足引起的失效： 机床主轴变形过大，即使末出现塑性变形，由于不能保证加工 精度，这也是失效。
稳定性引起的失效： 受压细长杆被压弯引起失效。
其它原因引起的失效：如压溃、腐蚀等。
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§2-7 失效、安全因数和强度计算
二、安全因数
脆性材料断裂时的应力是强度极限；塑性材料屈服时的应力是 屈服极限，这两者都是构件失效时的极限应力。为保证构件的 强度，构件中的实际应力（工作应力）应低于极限应力。
许用应力[σ]
塑性材料：
s
ns
ns , nb 为大于1的数，称为安全因数。
脆性材料： b
nb
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§2-7 失效、安全因数和强度计算
三、强度计算 以许用应力作为最高应力，即要求工作应力低于许用应力：
FN
A
根据这个式子可以进行强度计算、截面设计和确定许用截荷。
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§2-7 失效、安全因数和强度计算