人教版高中数学 第三章 概率 单元复习学案
2016人教A版高中数学必修三第三章概率word复习课学案
四川省岳池县第一中学高中数学必修三教案：第三章：概率复习课学习目标1 ．掌握概率的基天性质.2．学会古典概型和几何概型简单运用.学习过程一. 本章的知识构造二. 知识梳理1.概率的基天性质：(1)必定事件概率为 1，不行能事件概率为 0，所以 0≤P(A) ≤1；(2)当事件 A 与 B 互斥时，知足加法公式： P(A∪B)= P(A)+ P(B) ；(3) 若事件 A 与 B 为对峙事件，则A∪B为必定事件，所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1 ，于是有P(A)=1-P(B) ；（奇妙的运用这一性质能够简化解题）(4)互斥事件与对峙事件的差别与联系：我们能够说假如两个事件为对峙事件则它们必定互斥，而互斥事件则不必定是对峙事件。
2.古典概型(1)正确理解古典概型的两大特色：①试验中所有可能出现的基本领件只有有限个；②每个基本领件出现的可能性相等；(2)掌握古典概型的概率计算公式：A包括的基本领件个数P（A）=总的基本领件个数3.几何概型(1) 几何概率模型：假如每个事件发生的概率只与组成该事件地区的长度（面积或体积）成比率，则称这样的概率模型为几何概率模型；(2)几何概型的概率公式： P(A)=组成事件 A的地区长度（面积或体积）(3) 几何概型的特色：①试验中所有可试验的所有结果所组成的地区长度（面积或体积）能出现的结果（基本领件）有无穷多个；②每个基本领件出现的可能性相等．4.古典概型和几何概型的差别同样：二者基本领件的发生都是等可能的；不一样：古典概型要求基本领件有有限个，几何概型要求基本领件有无穷多个.※ 典型例题例 1 (1) 在 10 个同类产品中，有8 个正品， 2 个次品，从中随意抽取三个进行查验，据此列出此中的不行能事件，必定事件，随机事件．(2) 设有外形完整同样的两箱子，甲箱有99个白球，1个黑球，乙箱有1个白球，99个黑球，今随机抽出一箱，再从拿出的一箱中抽取一球，结果获得白球，问这球最有可能从哪一箱子拿出？依照的是什么思想？例 2 投掷两颗骰子，求：(1)点数之和为 4 的倍数的概率；(2)若向上点数分别为 X、 Y，且知足 Y=2X的概率；(3)起码有一个 3 点或 4 点的概率．例 3 (1) 如图，暗影部分是一个等腰 ABC，此中一边过圆心 O，现向圆内随机撒一粒豆子，问这粒子落在暗影部分的概率是多少？(2)在半径为 1 的圆上随机取两点，连成一条弦，则所得弦长超出圆内接等边三角形的边长的概率是多少？CA BO※ 着手试一试1. 柜子里装有 3 双不一样的鞋，随机地拿出 2 只，试求以下事件的概率（1）拿出的鞋子都是左脚的 .（2）拿出的鞋子都是同一只脚的 .2. 取一根长为 3 m 的绳索，拉直后在随意地点剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大？三、总结提高※学习小结经过小结与复习，梳理本章知识内容，加强知识间的内在联系，提高综合运用知识解决问题的能力．掌握随机现象中的必定事件、不行能事件、随机事件的观点；掌握古典概型、几何概型的特色及概率算法；掌握互斥事件、对峙事件的观点，会利用公式计算相关的问题的概率． 2．经过例题的解说、议论和进一步的训练，提高学生灵巧运用本章知识解决问题的能力。
高中数学 第三章 概率章末复习课学案 新人教B版必修3-新人教B版高一必修3数学学案
第三章 概率学习目标 1.理解频率与概率的关系，会用随机模拟的方法用频率估计概率.2.掌握随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率.3.能区分古典概型与几何概型，并能求相应概率．1．频率与概率频率是概率的____________，是随机的，随着试验的不同而____________；概率是多数次的试验中________的稳定值，是一个________，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率． 2．求较复杂概率的常用方法(1)将所求事件转化为彼此________的事件的和；(2)先求其________事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P (A )求解． 3．古典概型概率的计算关键要分清基本事件的总数n 与事件A 包含的基本事件的个数m ，再利用公式P (A )＝mn求解．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏． 4．几何概型事件概率的计算关键是求得事件A 所占________和____________的几何测度，然后代入公式求解．类型一 频率与概率例1 对一批U 盘进行抽检，结果如下表：抽出件数a 50 100 200 300 400 500 次品件数b 3 4 5 5 8 9 次品频率b a(1)计算表中次品的频率；(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？反思与感悟概率是个常数．但除了几何概型，概率并不易知，故可用频率来估计．跟踪训练1 某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？类型二互斥事件与对立事件例2 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？反思与感悟在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解．跟踪训练2 有4张面值相同的债券，其中有2张中奖债券．(1)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2次中至少有1张是中奖债券的概率；(2)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2次中至少有1张是中奖债券的概率．类型三古典概型与几何概型例3 某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．反思与感悟古典概型与几何概型的共同点是各基本事件的等可能性；不同点是前者总的基本事件有限，后者无限．跟踪训练3 如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边边长为2，向大正方形内投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为( )A.413B.313C.213D.113类型四列举法与数形结合例4 三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从A发球算起，经4次传球又回到A手中的概率是多少？反思与感悟事件个数没有很明显的规律，而且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树状图直观地将其表示出来，有利于条理地思考和表达．跟踪训练4 设M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，任取x，y∈M，x≠y.求x＋y是3的倍数的概率．1．下列事件中，随机事件的个数为( )①在某学校明年的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰．A．1 B．2 C．3 D．42．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．必然事件3．下列试验属于古典概型的有( )①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色；②在公交车站候车不超过10分钟的概率；③同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数；④从一桶水中取出100 mL，观察是否含有大肠杆菌．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是( )A.13B.14C.12D．无法确定5．任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是( )A.1225B.3899C.1300D.14501．两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．若事件A1，A2，A3，…，A n彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．2．关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题：(1)本试验是不是等可能的？(2)本试验的基本事件有多少个？(3)事件A是什么，它包含多少个基本事件？只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．3．几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．答案精析知识梳理1．近似值 变化 频率 常数 2．(1)互斥 (2)对立 4．区域 整个区域 题型探究 类型一例1 解 (1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018. (2)当抽取件数a 越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U 盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x 个U 盘，为保证其中有2 000个正品U 盘，则x (1－0.02)≥2 000，因为x 是正整数，所以x ≥2 041，即至少需进货2 041个U 盘．跟踪训练1 解 (1)由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9. (2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270.(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心． (4)不一定． 类型二例2 解 把3个选择题记为x 1，x 2，x 3,2个判断题记为p 1，p 2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x 1，p 1)，(x 1，p 2)，(x 2，p 1)，(x 2，p 2)，(x 3，p 1)，(x 3，p 2)，共6种； “甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p 1，x 1)，(p 1，x 2)，(p 1，x 3)，(p 2，x 1)，(p 2，x 2)，(p 2，x 3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 1)，(x 2，x 3)，(x 3，x 1)，(x 3，x 2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p 1，p 2)，(p 2，p 1)，共2种．因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20.(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为620＝310，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为620＝310，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为310＋310＝35 .(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220＝110，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－110＝9 10.跟踪训练2 解(1)把4张债券分别编号1,2,3,4，其中3,4是中奖债券，用(2,3)表示“第一次取出2号债券，第二次取出3号债券”，所有可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．用C表示“有放回地从债券中任取2次，取出的2张都不是中奖债券”，C表示“有放回地从债券中任取2次，取出的2张中至少有1张是中奖债券”，则C＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，所以P(C)＝1－P(C)＝1－416＝34.(2)无放回地从债券中任取2次，所有可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}．用D表示“无放回地从债券中任取2次，取出的2张都不是中奖债券”，D表示“无放回地从债券中任取2次，取出的2张至少有1张是中奖债券”，则D＝{(1,2)，(2,1)}，则P(D)＝1－P(D)＝1－212＝56.类型三例3 解(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为610＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种． 所以P (B )＝615＝25.跟踪训练3 D [设阴影小正方形边长为x ，则在直角三角形中 有22＋(x ＋2)2＝(13)2，解得x ＝1或x ＝－5(舍去)， ∴阴影部分面积为1，∴飞镖落在阴影部分的概率为113.]类型四例4 解 记三人为A 、B 、C ，则4次传球的所有可能可用树状图方式列出，如图：每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为16，而又回到A 手中的事件个数为6，根据古典概型概率公式得P ＝616＝38. 跟踪训练4 解 利用平面直角坐标系列举，如图所示．由此可知，基本事件总数n ＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45.而x ＋y 是3的倍数的情况有m ＝1＋2＋4＋4＋3＋1＝15(种)．故所求事件的概率m n ＝13.当堂训练1．C [①在某学校明年的田径运动会上，学生张涛有可能获得100米短跑冠军，也有可能未获得冠军，是随机事件；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯不一定被抽到，是随机事件；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不一定恰为1号签，是随机事件；④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰是不可能事件．故选C.]2．B [根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．]3．A [古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性．①符合两个特征；对于②和④，基本事件的个数有无限多个；对于③，出现“两正”“两反”与“一正一反”的可能性并不相等，故选A.]4．C [共有4个事件“甲、乙同住房间A ，甲、乙同住房间B ，甲住A 乙住B ，甲住B 乙住A ”，两人各住一个房间共有两种情况，所以甲、乙两人各住一间房的概率是12.] 5．C [三位正整数有100～999，共900个，而满足log 2N 为正整数的N 有27,28,29，共3个，故所求事件的概率为3900＝1300.]。
必修3第三章《概率》复习课教案
一、课题：《概率》复习课二、教学目的：1、随机事件的概率；随机现象的发生；频率与概率的区别。
2、利用古典概型与几何概型可以求一些随机事件的概率；随机模拟。
三、教学重点：应用概率解决实际问题。
四、教学难点：应用概率解决实际问题。
五、教学方法：归纳、总结、讨论、交流。
六、教学过程：（一）知识梳理：1.事件（1）必然条件：在条件S 下，_________会发生的事件，叫做相对于条件S 的必然事件，简称必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下，__________会发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件，简称不可能事件；（3）确定事件：__________事件与___________事件统称为相对于条件S 的确定事件，简称确定事件；（4）随机事件：在条件S 下，___________的事件叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件。
（5）_________事件与________事件统称为事件，一般用________表示。
2、概率与频率（1）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的_________，称事件A 出现的比例)(A f n 为事件A 出现的__________，显然频率的取值范围是____________。
（2）概率：在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率如果逐渐________在区间［0，1］中的某个______上，这个便称为事件A 的概率，用P （A ）表示，显示概率的取值范围是［0，1］，且不可能事件的概率为_________，必然事件的概率为___________。
3、正确理解频率与概率之间的关系（1）频率本身是随机的，在试验前___________确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同。
（2）概率是一个__________的数，是客观存在的，与每次试验无关。
（3）频率是概率的_____，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率。
高中数学 第三章 概率备考学案 新人教A版必修3 学案
备考学案三 概率一、随机事件的概率1．事件的分类：必然事件，不可能事件，随机事件．必然事件与不可能事件合称为确定事件．2．事件A 出现的频率：相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例An n f n=为事件A 出现的频率． 3．对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率n f A 稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率，简称为A 的概率． 4．频率与概率的联系与区别（1）联系：实验次数增加时，频率无限接近概率，一般可以用频率来估计概率；（2）区别：频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都可能不同，而概率是一个客观存在的确定数与每次试验无关．5．极大似然法：如果我们面临着从多个可选答案中挑选出正确答案的决策任务，那么“使得事件出现的可能性最大”可以作为决策的准则，即哪一个答案能够使事件发生的可能性最大，这个答案即为正解答案． 6．事件的关系与运算（1）包含关系：如果事件A 发生，则事件B 一定发生，称事件B 包含事件A ，记作B A ⊇；任何事件都包含不可能事件．（2）相等关系：如果事件A 包含事件B ，且事件B 包含事件A ，那么称事件A 和事件B 相等，记作A =B ． （3）把“事件A 发生或事件B 发生”看作一个事件C ，则事件C 为事件A 和事件B 的并事件（或和事件），记作()或AB A B ．（4）把“事件A 发生且事件B 发生”看作一个事件D ，则事件D 为事件A 和事件B 的交事件（或积事件），记作()或AB AB ．（5）若两事件A 和B 不能同时发生，那么称事件A 与事件B 互斥． （6）若AB 是不可能事件，A B 是必然事件，则称事件A 与事件B 为对立事件，即任何一次实验中发生的事件不是事件A ，就是事件B ，没有第三种可能． 7．概率的几个基本性质 （1）0≤P (A )≤1；（2）必然事件的概率为1，概率为1的事件不一定是必然事件；（3）不可能事件的概率为0，概率为0的事件不一定是不可能事件； （4）如果两事件A 与B 互斥，则()()()P A B P A P B ；（5）若两事件A 与B 对立，则()()1P A P B ．例1：若A ，B 为互斥事件，则（ ）． A. ()()1＜P A P B + B. ()()1＞P A P B + C. ()()1P A P B +=D. ()()1≤P A P B +例2：抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件B 为“落地时向上的点数是偶数”，事件C 为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D 为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是( )． A ．A 与B B ．B 与CC ．A 与DD ．C 与D例3：某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值．(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)例4：袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．二、古典概型1．古典概型：在试验中，所有可能出现的基本事件只有有限个且每个基本事件出现的可能性相等，我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．2．(1)互斥事件：若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥，即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．(2)对立事件：若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，即事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．3．(1)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A) +P(B)．该结论可以推广到n个事件的情形：如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1) +P(A2) +…+P(A n)．(2)若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＋P(B)＝1，也可以表示为P(A)＝1－P(B)．4．古典概型的概率公式：()AP A=所包含的基本事件的个数基本事件的总数．例1：小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y；(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个？试求点(x，y)落在直线x＋y＝7上的概率；(2)规定：若x＋y≥10，则小王赢；若x＋y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个游戏规则公平吗？请说明理由．例2：甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．例3：一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：轿车A 轿车B 轿车C舒适型100150z标准型300450600 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．三、几何概型1．几何概型：在试验中，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积等）成比例，则称这样的概率模型为几何概型．2．几何概型的概率公式：()()AP A=构成事件的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）．例1：如图，在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求＜AM AC的概率．变式训练：如例1图，在等腰直角三角形ABC中，在ACB∠内部任意作一条射线CM，与线段AB交于点M，求ACAM<的概率．例2：两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．例3：如图，设有一个正方形网格，其中每个小正三角形的边长都是a，现有一直径等于2a的硬币落在此网格上，求硬币落下后与网格有公共点的概率．例4：已知集合A＝{x|－1≤x≤0}，集合B＝{x|ax＋b·2x－1＜0,0≤a≤2,1≤b≤3}．(1)若a，b∈N，求A∩B≠∅的概率；(2)若a，b∈R，求A∩B＝∅的概率．本章整合参考答案：一、随机事件的概率例1：【答案】D例2：【答案】C【解析】A与B互斥且对立；B与C有可能同时发生，即出现6，从而不互斥；A与D不会同时发生，从而A与D互斥，又因为还可能出现2，故A与D不对立；C与D有可能同时发生，从而不互斥．例3：解：(1)由已知得，25＋y＋10＝55，x＋y＝35，所以x＝15，y＝20，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为：1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1、A2、A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率，得P(A1)＝15100＝320，P(A2)＝30100＝310，P(A3)＝25100＝14．因为A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3是互斥事件，所以P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝320＋310＋14＝710．故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710．例4：解：从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 显然是两两互斥的．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧P A ＝13，PB ∪C ＝512，P C ∪D ＝512，P A ∪B ∪C ∪D ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧P B ＋P C ＝512，P C＋P D ＝512，13＋PB ＋PC ＋PD ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧P B ＝14，PC ＝16，P D ＝14.二、古典概型例1：解：(1)因x ，y 都可取1,2,3,4,5,6，故以(x ，y )为坐标的点共有36个．记点(x ，y )落在直线x ＋y ＝7上为事件A ，事件A 包含的点有：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)6个，所以事件A 的概率P (A )＝636＝16．(2)记x ＋y ≥10为事件B ，x ＋y ≤4为事件C ，用数对(x ，y )表示x ，y 的取值．则事件B 包含(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共6个数对； 事件C 包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个数对．由(1)知基本事件总数为36个，所以P (B )＝636＝16，P (C )＝636＝16，所以小王、小李获胜的可能性相等，游戏规则是公平的．例2：解：(1)甲校两名男教师分别用A ，B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两名女教师分别用E ，F 表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )， (B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种．从中选出两名教师性别相同的结果有：(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种， 所以选出的2名教师性别相同的概率为P ＝49． (2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．从中选出两名教师来自同一学校的结果有：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )， (E ，F )，共6种．所以选出的2名教师来自同一学校的概率为P ＝615＝25． 例3：解：(1)依据条件可知，轿车A 、B 的抽样，A 类轿车抽样比为10100＋300．因此本月共生产轿车40010×50＝2 000(辆)．故z ＝2 000－(100＋300＋150＋450＋600)＝400(辆)． (2)设所抽取样本中有a 辆舒适型轿车，由题意得4001 000＝a5，则a ＝2．因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)， (B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个．事件E 包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个． 故P (E )＝710，即所求概率为710．(3)样本平均数x －＝18×(9.4＋8.6＋9.2＋9. 6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9．设D 表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包含的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，所以P (D )＝34，即所求概率为34．三、几何概型例1：解：在AB 上截取AC AC =' ，于是()22)(''===<=<AB AC ABACACAM P AC AM P ． 答：AC AM <的概率为22．变式训练：解：在ACB ∠内的射线是均匀分布的， 所以射线CM 作在任何位置都是等可能的， 在AB 上截取AC AC ='，则︒=∠5.67'ACC ， 故满足条件的概率为75.0905.67=． 例2：【解析】两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即32小时．设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，当且仅当－32≤x －y ≤32，因此转化成面积问题，利用几何概型求解．解：设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当－32≤x －y ≤32．两人到达约见地点所有时刻(x ，y )的各种可能结果可用图中的单位正方形内（包括边界）的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻（x ，y ）的各种可能结果可用图中的阴影部分（包括边界）来表示． 因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为981)31(122=-==单位正方形阴影S S P ．例3：解：如图，正三角形ABC 内有一正三角形111C B A ， 其中＝AB a ，1116＝＝＝aA DB E A F ，1o330＝＝＝tan A D AD BE a ， ∴1A B a a AD AB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=∴331332B A 11a a a AD AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=∴331332A 11， 当圆心落在三角形111C B A 之外时，硬币与网格有公共点，∴有公共点的概率111＝ABCA B C ABCSSP S82.04333143432222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a a ． 例4：解：(1)因为a ，b ∈N ，(a ，b )可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共9组．令函数f (x )＝ax ＋b ·2x－1，x ∈[－1,0]， 则f ′(x )＝a ＋b ln2·2x ．因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，所以f ′(x )＞0， 即f (x )在[－1,0]上是单调递增函数．f (x )在[－1,0]上的最小值为－a ＋b2－1.要使A ∩B ≠∅，只需－a ＋b2－1＜0，即2a －b ＋2＞0．所以(a ，b )只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共7组． 所以A ∩B ≠∅的概率为79．(2)因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，所以(a ，b )对应的区域为边长为2的正方形(如图)，面积为4．由(1)可知，要使A ∩B ＝∅；只需f (x )min ＝－a ＋b2－1≥0⇒2a －b ＋2≤0，所以满足A ∩B ＝∅的(a ，b )对应的区域是图中的阴影部分．所以S 阴影＝12×1×12＝14，所以A ∩B ＝∅的概率为P ＝144＝116．。
人教版高中数学必修三第三章 概率全章教案
第一课时 3.1.1 随机事件的概率教学要求：了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；正确理解事件A 出现的频率的意义；正确理解概率的概念，明确事件A 发生的频率f n (A)与事件A 发生的概率P （A ）的区别与联系；利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.教学重点：事件的分类；概率的定义以及概率和频率的区别与联系.教学难点：随机事件及其概率,概率与频率的区别和联系.教学过程：1. 讨论：①抛一枚硬币,它将正面朝上还是反面朝上? ②购买本期福利彩票是否能中奖？2. 提问：日常生活中，有些问题是很难给予准确无误的回答的,但当我们把某些事件放在一起时,会表现出令人惊奇的规律性.这其中蕴涵什么意思?二、讲授新课：1. 教学基本概念：① 实例：①明天会下雨 ②母鸡会下蛋 ③木材能导电② 必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件;③ 不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件; ④ 确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件; 随机事件：…… ⑤ 频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例f n (A)=nn A 为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率;⑥ 频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数n A 与试验总次数n 的比值nn A ，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率.2. 教学例题：① 出示例1：指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件？（1）如果,a b 都是实数，a b b a +=+；（2）没有水分，种子发芽；（3）从分别标有1，2，3，4，5，6的6张号签中任取一张，得到4号签.(教法：先依次填入表中的数据，在找出频率稳定在常数，即为击中靶心的概率)③ 练习：某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次环中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试计算此人中靶的频率，假设此人射击1次，试问中靶的频率约为多大？中10环的概率约为多大？3. 小结：随机事件、必然事件、不可能事件的概念；事件A 出现的频率的意义，概率的概念三、巩固练习：1. 练习：1. 教材 P105 1、22. 作业 2、3第二课时 3.1.2 概率的意义教学要求：正确理解概率的意义, 并能利用概率知识正确解释现实生活中的实际问题. 教学重点： 概率意义的理解和应用.教学难点：用概率知识解决现实生活中的具体问题.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：有人说，既然抛一枚硬币出现正面的概率是0.5，那么连续两次抛一枚质地均匀的硬币，一定是“一次正面朝上，一次反面朝上”，你认为这种想法正确吗？2. 提问：如果某种彩票的中奖概率是11000，那么买1000张这种彩票一定能中奖吗？二、讲授新课：1. 教学基本概念：①概率的正确理解：概率是描述随机事件发生的可能性大小的度量，事件A的概率P（A）越大，其发生的可能性就越大；概率P（A）越小，事件A发生的可能性就越小.②概率的实际应用(知道随机事件的概率的大小,有利我们做出正确的决策,还可以判断某些决策或规则的正确性与公平性.)③游戏的公平性:应使参与游戏的各方的机会为等可能的,即各方的概率相等,根据这一教学要求确定游戏规则才是公平的④决策中的概率思想:以使得样本出现的可能性最大为决策的准则⑤天气预报的概率解释:降水的概率是指降水的这个随机事件出现的可能,而不是指某些区域有降水或能不能降水.⑥遗传机理中的统计规律:2. 教学例题：①出示例1：有人说，既然抛一枚硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续抛一枚硬币两次，一定是一次正面朝上，一次反面朝上，你认为这种想法正确吗？②练习：如果某种彩票的中奖概率是11000，那么买1000张这种彩票一定能中奖吗？请用概率的意义解释.(分析：买1000张彩票，相当于1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1000次试验的结果也是随机的，也就是说，买1000张彩票有可能没有一张中奖。
高中数学 第三章 概率 3.1.3 概率的基本性质学案 新人教A版必修3-新人教A版高一必修3数学学
3.1.3 概率的基本性质1．了解事件间的包含关系和相等关系．2．理解互斥事件和对立事件的概念及关系．(重点、易错易混点)3．了解两个互斥事件的概率加法公式．(难点)[基础·初探]教材整理1 事件的关系与运算阅读教材P119～P120“探究”以上的部分，完成下列问题．定义表示法图示事件的关系包含关系一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)事件互斥若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥，即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生若A∩B＝∅，则A与B互斥事件对立若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件若A∩B＝∅，且A∪B＝U，则A与B对立事件的运算并事件若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)同时抛掷两枚硬币，向上面都是正面为事件M，向上面至少有一枚是正面为事件N，则有( )A．M⊆N B．M⊇NC．M＝N D．M＜N【解析】事件N包含两种结果：向上面都是正面或向上面是一正一反．则当M发生时，事件N一定发生，则有M⊆N.故选A.【答案】 A教材整理2 概率的性质阅读教材P120“探究”以下的部分，完成下列问题．1．概率的取值范围为[0,1]．2．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.3．概率加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．特例：若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)，P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.4．概率的加法公式的含义(1)使用条件：A，B互斥．(2)推广：若事件A1，A2，…，A n彼此互斥，则P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．(3)在求某些复杂的事件的概率时，可将其分解为一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)互斥事件一定对立．( )(2)对立事件一定互斥．( )(3)互斥事件不一定对立．( )(4)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率．( )(5)事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．( )(6)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B一定是对立事件．( )【答案】(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×(6)×2．P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A∪B)等于( )A．0.3 B．0.2C．0.1 D．不确定【解析】由于不能确定A与B互斥，则P(A∪B)的值不能确定．【答案】 D3．一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________．【解析】中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.【答案】0.65[小组合作型]互斥事件与对立事件的判定( ) A．至多两件次品B．至多一件次品C．至多两件正品D．至少两件正品(2)把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上答案都不对【精彩点拨】根据互斥事件及对立事件的定义判断．【尝试解答】(1)“至少有两件次品”的否定是“至多有一件次品”，故选B.(2)“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，但分得红牌的还可能是丙或丁，所以不是对立事件．故选C.【答案】(1)B (2)C判断互斥事件和对立事件时，主要用定义来判断.当两个事件不能同时发生时，这两个事件是互斥事件；当两个事件不能同时发生且必有一个发生时，这两个事件是对立事件.[再练一题]1．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；(4)“至少有一名男生”与“至少有一名女生”．【解】从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件．(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．事件的运算A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．(1)说明以上4个事件的关系；(2)求两两运算的结果．【精彩点拨】解答时抓住运算定义．【尝试解答】在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作A i ＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，也不对立；事件B与D不是对立事件，也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．(2)A∩B＝∅，A∩C＝A，A∩D＝∅.A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1或3或4}，A∪C＝C＝{出现点数1或3或5}，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1或2或4或6}．B∩C＝A3＝{出现点数3}，B∩D＝A4＝{出现点数4}．B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出现点数1或3或4或5}．B∪D＝A2∪A3∪A4∪A6＝{出现点数2或3或4或6}．C∩D＝∅，C∪D＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6＝{出现点数1,2,3,4,5,6}．事件间运算方法：1利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.2利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.[再练一题]2．掷一枚骰子，下列事件：A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数大于2}，E＝{点数是3的倍数}．求：(1)A∩B，BC；(2)A∪B，B＋C；(3)记H是事件H的对立事件，求D，A C，B∪C，D＋E.【解】(1)A∩B＝∅，BC＝{出现2点}．(2)A∪B＝{出现1,2,3,4,5或6点}，B＋C＝{出现1,2,4或6点}．(3)D＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}；A C＝BC＝{出现2点}；B∪C＝A∪C＝{出现1,2,3或5点}；D＋E＝{出现1,2,4或5点}．[探究共研型]互斥事件和对立事件的关系探究1【提示】在一次试验中，事件A和它的对立事件只能发生其中之一，并且必然发生其中之一，不可能两个都不发生．探究2 互斥事件和对立事件有何区别和联系？【提示】(1)对立事件一般是针对两个事件来说的，一般两个事件对立，则这两个事件是互斥事件；反之，若两个事件是互斥事件，则这两个事件未必是对立事件．(2)对立事件是特殊的互斥事件，若事件A，B是对立事件，则A与B互斥，而且A∪B 是必然事件．某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率．【精彩点拨】先设出事件，判断是否互斥或对立，然后再使用概率公式求解．【尝试解答】(1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．“射中10环或7环”的事件为A∪B.故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.所以射中10环或7环的概率为0.49.(2)不够7环从正面考虑有以下几种情况：射中6环，5环，4环，3环，2环，1环，0环，但由于这些概率都未知，故不能直接求解，可考虑从反面入手，不够7环的反面大于等于7环，即7环，8环，9环，10环，由于此两事件必有一个发生，另一个不发生，故是对立事件，可用对立事件的方法处理．设“不够7环”为事件E ，则事件E 为“射中7环或8环或9环或10环”，由(1)可知“射中7环”、“射中8环”等彼此是互斥事件，所以P (E )＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而P (E )＝1－P (E )＝1－0.97＝0.03.所以不够7环的概率是0.03.1．对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率等于这些事件概率的和．并且互斥事件的概率加法公式可以推广为：P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．其使用的前提条件仍然是A 1，A 2，…，A n 彼此互斥．故解决此类题目的关键在于分解事件及确立事件是否互斥．2．“正难则反”是解决问题的一种很好的方法，应注意掌握，如本例中的第(2)问，直接求解比较麻烦，则可考虑求其对立事件的概率，再转化为所求．[再练一题]3．甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，求： (1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．【解】 (1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P ＝1－12－13＝16. (2)法一：设事件A 为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P (A )＝16＋12＝23.法二：设事件A 为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P (A )＝1－13＝23.1．如果事件A ，B 互斥，记A －，B －分别为事件A ，B 的对立事件，那么( )A ．A ∪B 是必然事件B.A －∪B －是必然事件C.A －与B －一定互斥D.A －与B －一定不互斥【解析】 用集合的Venn 图解决此类问题较为直观，如图所示，A －∪B －是必然事件．【答案】 B2．从一批产品中取出三件产品，设A ＝{三件产品全不是次品}，B ＝{三件产品全是次品}，C ＝{三件产品至少有一件是次品}，则下列结论正确的是( )A ．A 与C 互斥B ．任何两个均互斥C ．B 与C 互斥D ．任何两个均不互斥【解析】 ∵从一批产品中取出三件产品包含4个基本事件．D 1＝{没有次品}，D 2＝{1件次品}，D 3＝{2件次品}，D 4＝{3件次品}，∴A ＝D 1，B ＝D 4，C ＝D 2∪D 3∪D 4，故A 与C 互斥，A 与B 互斥，B 与C 不互斥．【答案】 A3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )A ．60%B ．30%C ．10%D ．50%【解析】 甲不输棋包含甲获胜或甲、乙两人下成和棋，则甲、乙两人下成和棋的概率为90%－40%＝50%.【答案】 D4．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为45，那么所选3人中都是男生的概率为________. 【解析】 设A ＝{3人中至少有1名女生}，B ＝{3人都为男生}，则A ，B 为对立事件，所以P (B )＝1－P (A )＝15. 【答案】 155．盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A 表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B 表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P (A )＝310，P (B )＝12，求“3个球中既有红球又有白球”的概率． 【解】 记事件C 为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A “3个球中有1个红球，2个白球”和事件B “3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A 与事件B 是互斥的，所以P (C )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝310＋12＝45.。
最新人教版高中数学必修3第三章《第三章概率》示范教案
示范教案整体设计教学分析本章是对第三章知识和方法的归纳与总结，从总体上把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化，本章共有三部分内容，随机事件的概率是基础，在此基础上学习了古典概型和几何概型，要注意它们的区别和联系．三维目标1．归纳、总结本章知识，形成知识网络．2．让学生体验归纳在数学中的重要性，提高直觉思维能力． 3．通过合作学习交流，感受与他人合作的重要性． 重点难点教学重点：知识系统化、网络化，并初步形成一些基本技能． 教学难点：画知识网络图． 课时安排 1课时教学过程 导入新课思路1.大家都知道，农民伯伯在春天忙着耕地、播种、浇水、沲肥、治虫，非常辛苦，到了秋天，他们便忙着收获．到了收获的季节，他们既高兴又紧张，因为收获比前面的工作更重要，收获的多少决定着一年的收成．我们前面的学习就像播种，今天的章节复习就像收获，希望大家重视今天的小结学习．教师点出课题．思路2.为了系统掌握本章的知识，我们复习本章内容，教师直接点出课题． 推进新课 新知探究 提出问题1．事件与概率包括几部分？ 2．古典概型包括几部分？3．随机数的含义与应用包括几部分？ 4．本章涉及的主要数学思想是什么？ 5．画出本章的知识结构图． 讨论结果： 1．事件与概率随机事件是本章的主要研究对象，基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件． (1)概率的概念在大量重复进行的同一试验中，事件A 发生的频率mn 总是接近于某一常数，且在它的附近摆动，这个常数就是事件A 的概率P(A)，概率是从数量上反映一个事件．求某一随机事件的概率的基本方法是：进行大量重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率．(2)概率的意义与性质①概率是描述随机事件发生的可能性大小的度量，事件A 的概率越大，其发生的可能性就越大；概率越小，事件A 发生的可能性就越小．②由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在[0,1]之间，从而任何事件的概率都在[0,1]之间，即：0≤P(A)≤1.概率的加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)． (3)频率与概率的关系与区别频率是概率的近似值．随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身也是随机的，两次同样的试验，会得到不同的结果；而概率是一个确定的数，与每次试验无关．2．古典概型 (1)古典概型①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(有限性) ②每个基本事件出现的可能性相等．(等可能性)我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(2)古典概型的概率计算公式为：P(A)＝A 所包含的基本事件的个数基本事件的总数.在使用古典概型的概率公式时，应该注意： ①要判断该概率模型是不是古典概型；②要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数． 学习古典概型要通过实例理解古典概型的特点：实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性．要学会把一些实际问题化为古典概型，不要把重点放在“如何计数”上．3．随机数的含义与应用(1)对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一个点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．(2)几何概型的基本特点①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； ②每个基本事件出现的可能性相等．(3)几何概型的概率公式：P(A)＝μAμΩ.其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA 表示区域A 的几何度量．(4)随机数是在一定范围内随机产生的数，可以利用计算器或计算机产生随机数来做模拟试验，估计概率，学习时应尽可能利用计算器、计算机来处理数据，进行模拟活动，从而更好地体会概率的意义．4．本章涉及的主要思想是化归与转化思想(1)古典概型要求我们从不同的背景材料中抽象出两个问题：一是所有基本事件的个数即总结果数n ，二是事件A 所包含的结果数m ，最后化归为公式P(A)＝mn.(2)几何概型中，要首先求出试验的全部结果所构成的区域长度和构成事件的区域长度，最后化归为几何概型的概率公式求解．5．本章知识结构图如下所示：应用示例思路1例1下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答问题．(1)完成上面表格．(2)估计该油菜子发芽的概率约是多少．分析：(1)代入公式得频率；(2)估计频率的稳定值即为概率． 解：(1)由n An得各批种子发芽的频率：22＝1；45＝0.8；910＝0.9；6070＝0.857；116130＝0.892；269300＝0.896；1 3471 500＝0.898；1 7942 000＝0.897；2 6883 000＝0.896.所以从左到右依次填入：1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.896,0.898,0.897,0.896.(2)由于每批种子的发芽的频率稳定在0.897附近，所以估计该油菜子发芽的概率约为0.897.点评：概率知识成为近几年高考考查的新热点之一，多与现实生活结合考查，强化概率的应用性．高考中以直接考查互斥事件的概率与运算为主，随机事件的有关概率和频率在高考中鲜见单独考查，但是由于是基础，一些概念会经常应用，所以应引起重视.(1)求两枚骰子点数相同的概率；(2)求两枚骰子点数之和为5的倍数的概率． 分析：利用列举法计算全部结果．解：用(x ，y)表示同时抛出的两枚均匀骰子中一枚骰子向上的点数是x ，另一枚骰子向上的点数是y ，则全部结果有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)， (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)． 即同时抛出两枚均匀骰子共有36种结果．则同时抛出两枚均匀骰子的结果是有限个，属于古典概型． (1)设“两枚骰子的点数相同”为事件A ，事件A 有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)共6种，则P(A)＝636＝16.即两枚骰子点数相同的概率是16.(2)设“两枚骰子点数之和为5的倍数”为事件B ，事件B 有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)共7种， 则P(B)＝736.即两枚骰子点数之和为5的倍数的概率是736.点评：古典概型是本章的重要内容，更是高考考查的重要内容之一，选择、填空或解答题三种题型都有可能出现．试题的设计主要是考查公式P(A)＝mn 的应用及与其他知识的综合.思路2例 在以3为半径的圆内任取一点P 为中点作圆的弦，求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率．分析：满足弦长超过圆内接等边三角形边长的点P 在圆内接等边三角形边的内切圆内，转化为几何概型求解．解：设弦长超过圆内接等边三角形的边长为事件A.在以半径为3的圆内任取一点P 的结果有无限个，属于几何概型． 如图所示，△BCD 是圆内接等边三角形，再作△BCD 的内切圆，则满足“弦长超过圆内接等边三角形边长”的点P 在等边三角形△BCD 的内切圆内，可以计算得：等边三角形△BCD 的边长为3，等边三角形△BCD 的内切圆的半径为32，所以事件A 构成的区域面积是等边三角形△BCD 的内切圆的面积为π×(32)2＝34π，全部结果构成的区域面积是π×(3)2＝3π，所以P(A)＝34π3π＝14，即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是14.点评：几何概型是新增内容，在高考中鲜见考查随机模拟，主要涉及几何概型的概率求解问题，难度不会太大，题型可能较灵活，涉及面可能较广．几何概型的三种类型为长度型、面积型和体积型，在解题时要准确把握，要把实际问题作合理化转化；要注意古典概型和几何概型的区别(基本事件的个数的有限性与无限性)，正确选用几何概型解题. ＝12，事件A 的区域是 知能训练1．下列说法正确的是( )A ．任何事件的概率总是在(0,1)之间B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定解析：任何事件的概率总是在[0,1]之间，所以A 不正确；频率不是客观存在的，与试验次数有关，所以B 不正确；概率不是随机的，在试验前已经确定，所以D 不正确．很明显C 正确．答案：C2．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是( )A.1999B.11 000C.9991 000D.12解析：概率不受实验次数的限制，在实验前已经确定，抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面朝上的概率都是12.答案：D3．从一批产品中取出三件产品，设A ＝“三件产品全不是次品”，B ＝“三件产品全是次品”，C ＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( )A ．A 与C 互斥B ．B 与C 互斥C ．任何两个均互斥D ．任何两个均不互斥 解析：三件产品不全是次品包含三种情况：三件产品全不是次品或一件正品两件次品或两件正品一件次品，所以B 与C 互斥．答案：B4．有一种电子产品，它可以正常使用的概率为0.992，则它不能正常使用的概率是________．解析：正常使用和不能正常使用是对立事件，所以不能正常使用的概率是1－0.992＝0.008.答案：0.0085．小明和小刚各掷一枚骰子，出现点数之和为10的概率是________．解析：设(x ，y)表示小明抛掷骰子点数是x ，小刚抛掷骰子点数是y ，则该概率属于古典概型．所有的基本事件是：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)， (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)． 即有36种基本事件．则出现点数之和为10的基本事件有(4,6)，(5,5)，(6,4)共3种，所以出现点数之和为10的概率是336＝112.答案：1126．我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：则年降水量在[200,300]范围内的概率是________．解析：年降水量在[200,300]范围内包含在[200,250)和[250,300]，则年降水量在[200,300]范围内的概率是0.13＋0.12＝0.25.答案：0.257．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表， 求：(1)甲被选中的概率； (2)丁没被选中的概率．解：选出的两名代表有甲乙或甲丙或甲丁或乙丙或乙丁或丙丁共6种．(1)记甲被选中为事件A ，则P(A)＝36＝12.(2)记丁被选中为事件B ，则P(B )＝1－P(B)＝1－12＝12.8．如下图所示，阴影部分是一个等腰三角形ABC ，其中一边过圆心O ，现在向圆面上随机撒一粒豆子，求这粒豆子落到阴影部分的概率．解：向圆面上随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型． 设圆的半径为r ，全部结果构成的区域面积是圆面积πr 2，阴影部分的面积是等腰直角三角形ABC 的面积r 2，则这粒豆子落到阴影部分的概率是r 2πr 2＝1π，即这粒豆子落到阴影部分的概率是1π.拓展提升某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？分析：(1)利用抽到初二年级女生的概率解得x 的值；(2)先计算出初三年级学生数，根据抽样比确定在初三年级抽取的人数．解：(1)由题意得x2 000＝0.19，解得x ＝380.(2)抽样比是482 000＝3125，初三年级学生数是2 000－(373＋380＋377＋370)＝500. 则应在初三年级抽取500×3125＝12(名)． 课堂小结本节课复习了第三章的基本知识，并形成知识网络，对概率问题重点进行了复习巩固． 作业本章小节Ⅲ.巩固与提高1、3.设计感想 这章内容与其他数学知识联系较少，其解题方法独特，对同学们的思维能力、分析及解决问题能力要求较高．钻研课本，理解概念，弄清公式的“来龙去脉”，尤其是公式中字母的内涵．在此基础上，适当地做一些练习，并及时归纳解题方法，不断反思及加深自己对数学知识(概念、公式等)的理解．备课资料一名数学家＝10个师的由来第二次世界大战中，美国曾经宣称：一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力．你可知道这句话的由来吗？1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额．为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家运用概率论分析后发现，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律．一定数量的船(如100艘)编队规模越小，编次就越多(如每次20艘，就要5个编次)；编次越多，与敌人相遇的概率就越大．比如5位学生放学都回自己家里，老师要找一位同学的话，随便去哪家都行，但若这5位同学都在其中某一家的话，老师要找几家才能找到，一次找到的可能性只有20%.美国海军接受了数学家的建议，命令船队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口．结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%降低为1%，大大减少了损失，保证了物资的及时供应．。
高中数学 概率复习教案 新人教A版必修3
2.假设一直角三角形的两直角边长都是 0，1 间的随机数，试求事件斜边长小于
பைடு நூலகம்
3 的概率。 4
（1）利用几何概型计算； （2）利用随机模拟的方法估计。 3.袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各 1 个，从中任取 1 只，有放回地抽取 3 次．求： （Ⅰ）3 只全是红球的概率； （Ⅱ）3 只颜色全相同的概率； （Ⅲ）3 只颜色不全相同的概率．
概率复习
教学目标：1．随机事件的概率 2．随机现象的发生 3．频率与概率的关系与区别： 4．利用古 典概型与几何概型可以求一些随机事件的概率。5．随机模拟 教学重点：应用概率解决实际问题 教学难点：应用概率解决实际问题 教学用具：投影仪 教学方法：归纳、总结、讨论、交流 教学过程： 一、 本章知识结构 概率， 概率的 意义与性质
-1-
（2）利用随机模拟近似计算平面图形面积所蕴涵的统计思想是什么？ 三．题型练习 （一）用列举法求古典概型 知识回顾：古典概型的两个特征？解题步骤？常用的方法？（注意解题格式） 1. 掷两枚骰子，出现点数之和为 3 的概率是_____________ 2. 甲乙二人参加普法知识问答，共有 4 个不同的题目，其中选择题 2 个，判断题 2 个，甲、 乙二人依次各抽一题， (1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 3. 10 本不同的语文书，2 本不同的数学书，从中任意取出 2 本， 能取出数学书的概率有多大？ 4.在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合 A＝{0，1，2，3，4，5} 内取值的点中任取一个点，此点正好在直线 y x 上的概率为 ． （二）几何概型 知识回顾：几何概型的两个特征？（注意解题格式） 1. 在正方形内有一扇形（见阴影部分） ，点 P 随意等可能落在正方形内， 则这点落在扇形外且在正方形内的概率为 ． A
人教版高中数学必修3第三章 概率复习 同步教案
星火教育一对一辅导教案学生姓名 性别年级学科数学 授课教师上课时间 年 月 日第（ ）次课 共（ ）次课课时：2课时教学课题人教版 必修3 第三章 概率复习 同步教案教学目标知识目标：1．掌握概率的基本性质2．学会古典概型和几何概型简单运用 能力目标：学会应用概率知识解决生活实际问题情感态度价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践的乐趣 教学重点与难点 重点 古典概型、几何概型的相关知识点 难点 古典概型、几何概型的具体应用教学过程1.本章的知识建构如下：2.概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；（巧妙的运用这一性质可以简化解题）4）互斥事件与对立事件的区别与联系：我们可以说如果两个事件为对立事件则它们一定互斥，而互斥事件则不一定是对立事件随机事件频率概率，概率的意思义与性质应用概率解决实际问题古典概型 几何概型随机数与随机模拟3.古典概型（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； 2）每个基本事件出现的可能性相等； （2）掌握古典概型的概率计算公式：P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件个数A4.几何概型（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式： P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．5.古典概型和几何概型的区别 相同：两者基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.例题精讲【例1】由经验得知：在中华商场排队等候付款的人数及其概率如下表：排队人数 0 1 2 3 4 5人以上 概率0.100.160.300.300.100.04(1)求至少有1人排队的概率； (2)求至多2人排队的概率； (3)求至少2人排队的概率.方法技巧：（1）分别求出事件A 包含的个数，总可能发生事件数（2）若事件A 包含多个基本事件，则我们可求事件A 的对立事件 （3）掌握古典概型的概率计算公式：P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件个数A【变式1】 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师的性别相同的概率； (2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．【例2】某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站的等车时间少于3分钟的概率(假定车到来后每人都能上)．方法技巧：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；基础训练一、选择题1.气象台预报“本市明天降雨概率是70%”,以下理解正确是 （ ）A.本市明天将有70%的地区降雨；B.本市明天将有70%的时间降雨；C.明天出行不带雨具肯定淋雨；D.明天出行不带雨具淋雨的可能性很大.2.将一枚硬币抛两次,恰好出现一次正面的概率是( )A. 14B.13C.12D.233.从标有1,2,3,4,5,6,7,8,9的9张纸片中任取2张,那么这2 张纸片数字之积为偶数的概率为A. 12B.718C.1318D.1118( )4.在10张奖券中,有两张二等奖,现有10个人先后随机地从中各抽一张,那么第7个人中奖的概率是( )A.710B.15C.110D.125. 有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面,在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1,2,3,现任取3面,它们的颜色与号码均不相同的概率是（）A.13B.19C.114D.1276.抛掷一个骰子,它落地时向上的数可能情形是1,2,3,4,5,6,骰子落地时向上的数是3的倍数的概率是_________7.从一个装有2黄2绿的袋子里有放回的两次摸球,两次摸到的都是绿球的概率是_______.8. 在图的正方形中随机撒一把芝麻, 用随机模拟的方法来估计圆周率π的值.如果撒了1000个芝麻，落在圆内的芝麻总数是776颗,那么这次模拟中π的估计值是_________.(精确到0.001)【能力提高】1．下列现象是随机现象的个数为：（）①某路中单位时间内发生交通事故的次数；②冰水混合物的温度是0℃；③三角形的内角和为180°；④一个射击运动员每次射击的命中环数；⑤n边形的内角和为()2n-g180°。
人教课标版高中数学必修3《概率》复习课参考学案
必修3学案第三章《概率》复习课姓名☆学习目标：1.正确理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；理解事件的包含,并事件,交事件,相等事件,以及互斥事件,对立事件的概念；2.理解概率的概念，明确事件A发生的频率f n(A)与事件A发生的概率P(A)的区别与联系；理解并掌握概率的三个基本性质；3. 正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系．☆基础知识复习：1. 随机事件的概念（1）必然事件：在条件S下，发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；（2）不可能事件：在条件S下，发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；（3）确定事件：事件和事件统称为相对于条件S的确定事件；（4）随机事件：在条件S下的事件，叫相对于条件S的随机事件；2.事件的关系与运算①对于事件A与事件B, 如果事件A发生,事件B一定发生, 就称事件包含事件.②如果B⊇A且A⊇B, 那么称事件A与事件B相等.记作A B.③事件A ⋃B发生事件A发生事件B发生.称此事件为事件A与事件B 的并(和).④事件A ⋂B发生当且仅当.称此事件为事件A与事件B的交(积)事件.⑤如果A ⋂B为事件(A ⋂B=∅), 那么称事件A与事件B互斥.⑥如果A ⋂B为不可能事件, 且为必然事件, 那么称事件A与事件B互为独立事件.3. 频率与概率, 概率的基本性质10事件A发生的次数n A与试验总次数n的比值A n叫做事件A的，它具有n一定的稳定性,在某常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,摆动幅度越来越小.这个常数叫做随机事件的，在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的20. 必然事件的概率: ;不可能事件的概率: ; 随机事件的概率:30.当事件A与事件B互斥时, 当事件A与事件B互为对立时,4.古典概型和几何概型（1）古典概型的两个特征：10.试验中所有可能出现的基本事件；20.各基本事件的出现是，即它们发生的概率相同．（2）古典概型的概率公式, 设一试验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m个基本事件，则事件A的概率P(A)定义为：P A==()（3）几何概型的概念：10.将每个基本事件理解为从某特定的几何，该区域中每一点被取到的机会都一样；20.随机事件的发生理解为恰好取到上述区域内的．（4）几何概型的概率公式：在区域D中随机地取一点, 记事件A=＂该点落在其内部一个区域d内＂,则事件A发生的概率为：P A==.()5. 10 随机数具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验20. 通过随机模拟的方法可以近似地计算不规则图形的面积.☆案例学习：例1例2例3例4 (1)两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率．(2) 在直角坐标内,射线OT落在600角的终边上, 现任作一射线OA, 求射线OA落在xOT内的概率．例5在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm2 与81cm2之间的概率．参考答案例1例2例3例4(1)记“灯与两端距离都大于2m”为事件A ，则P(A)= 62=31 (2) 记“射线OA 落在xOT ∠内”为事件B, 则P(B)= 006013606=例5分析：正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在12cm 长的线段AB 上任取一点M ，求使得AM 的长度介于6cm 与9cm 之间的概率．解：（1）用计算机产生一组[0，1]内均匀随机数1a =RAND ．（2）经过伸缩变换，a =1a *12得到[0，12]内的均匀随机数．（3）统计试验总次数N 和[6，9]内随机数个数N 1（4）计算频率NN 1．记事件A={面积介于36cm 2 与81cm 2之间}={长度介于6cm 与9cm 之间}，则P （A ）的近似值为f n (A)=N N 1．。
高中数学 第3章 概率 3.1.3 概率的基本性质学案 新人教A版必修3
学习资料3.1。
3 概率的基本性质学习目标核心素养1.了解事件间的包含关系和相等关系．2．理解互斥事件和对应事件的概念及关系．（难点、易混点)3．会用互斥事件与对立事件的概率公式求概率．（重点）4．了解并事件与交事件的概念，会进行事件的运算.1．通过互斥事件与对立事件的学习，体会逻辑推理素养．2．借助概率的求法，提升数学运算素养。
1．事件的关系与运算(1）事件的关系：定义表示法图示包含关系一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生,则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B)B⊇A（或A⊆B）相等关系A⊆B且B⊆A A＝B事件互斥若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅事件对立若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且A∪B＝U (2）事件的运算:定义表示法图示并事件若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）A∪B（或A＋B）交事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件）A∩B(或AB）（1)概率的取值范围：［0，1］．（2）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。
(3）概率加法公式为:如果事件A与B为互斥事件，则P（A∪B)＝P(A）＋P(B）．（4）若A与B为对立事件,则P（A)＝1－P(B）．P(A∪B)＝1,P(A∩B）＝0。
思考:互斥事件与对立事件有什么区别和联系？[提示]判断对象区别联系A,B是互斥事件A∩B＝∅若A，B是对立事件，则A，B一定互斥A，B是对立事件A∩B＝∅,A∪B＝Ω1．同时掷两枚硬币，向上面都是正面为事件A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有（）A．A⊆B B．A⊇BC．A＝B D．A<BA[由事件的包含关系知A⊆B。
]2．掷一枚骰子，观察结果，A＝{向上的点数为1},B＝｛向上的点数为2｝，则()A．A⊆B B．A＝BC．A与B互斥D．A与B对立C[由于事件A与B不可能同时发生，故A、B互斥．］3．一批产品共有100件,其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件,现给出以下四个事件：事件A:“恰有一件次品”;事件B：“至少有两件次品”；事件C：“至少有一件次品";事件D：“至多有一件次品”．并给出以下结论：①A∪B＝C；②D∪B是必然事件;③A∪B＝B；④A∪D＝C。
高中数学第三章《概率》复习导学案(无答案)新人教版必修3
第三章概率小结与复习、本章知识网络结构:、重要知识回顾:1、概率的基本性质：(1)A、B互斥P(AUB)= __________________ ；(2)若A、B对立P(A)+P(B) _2、古典概型的概率公式P(A)= ____________________________ 。
3、几何概型：概率公式P(A)= ____________________________ 。
4、关于n选2的问题注意：(1)任抽2个；(2)逐一抽取不放回；(3)逐一抽取(放回) (它们的基本事件总数均不同)。
三、基础练习：1、从一批产品中取出3件产品，设A= “ 3件产品全不是次品” ，B= “ 3件产品全是品” 全是次品”，则下列()正确：A A与C互斥B 、B与C互斥C 、任两个均互斥D、任两个均不互斥2、抛掷一枚均匀的硬币3次，出现一枚正面，二枚反面的概率是___________________ 。
3、从分别写有1、2、3、4的4张卡片中：(1) 任取2张，则这2张卡片上的数字恰好相邻的概率为 ______________ ；(2) 逐一有放回地抽取2张，这2张卡片上的数字恰好相邻的概率为 _______________ ；(3) 逐一不放回地抽取2张，这2张卡片上的数字恰好相邻的概率为_______________ 。
34、△ ABC内取一点卩，则厶PAB与厶ABC的面积之比大于兰的概率为______ 。
45、某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为6、若a是区间［8,20］内的任意一个整数，则对任意一个a使得函数y x2 8x为___________________ 。
，C= “ 3件产品不a有零点的概率四、典型例题：(1)求至多2人排队等候付款的概率；(2)求至少1人排队等候付款的概率.例2、一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n,求n v m^ 2的概率.例3、从甲地到乙地有一班车在9: 30到10: 00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9: 45到10: 15出发的汽车到丙地去，求他能赶上车的概率。
最新人教A版必修三高中数学第三章3.1.1随机事件的概率导学案
3．11 随机事件的概率1．理解必然事件、不可能事件、确定事件、随机事件的概念，能对事件进行分类．2．掌握概率和频率的定义以及它们的区别与联系，会用频率估计概率．[]1．事件(1)确定事件：在条件S下，一定的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称为必然事件；在条件S下，一定的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称为不可能事件．事件和事件统称为相对于条件S的确定事件，简称为确定事件．(2)随机事件：在条件S下可能也可能的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称为随机事件．(3)事件：事件和事件统称为事件，一般用大写字母A，B，，…表示．(4)分类：事件错误!随机事件和确定事件都是相对的，如果改变条件，那么随机事件有可能变成确定事件，确定事件也有可能变成随机事件．【做一做1】下列事件是确定事件的是( )A．2014年世界杯足球赛期间不下雨B．没有水，种子发芽．对任意∈R，有＋1＞2D．抛掷一枚硬币，正面向上2．频率在相同的条件S下重复n次试验，观察事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n为事件A出现的，称事件A出现的比例f n(A)＝为事件A出现的A频率，其取值范围是．【做一做2】某射击运动员射击20次，恰有18次击中目标，则该运动员击中目标的频率是．3．概率(1)定义：一般说，随机事件A在每次试验中是否发生是不可预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间中某个常数上．这个常数称为事件A的概率，记为，其取值范围是[0,1]．通常情况下，用概率度量随机事件发生的可能性．(2)求法：由于事件A发生的频率随着试验次数的增加稳定于，因此可以用估计概率．(3)说明：任何事件发生的概率都是区间上的一个确定的数，用度量该事件发生的可能性．小概率(接近于0)事件不是不发生，而是发生，大概率(接近于1)事件不是一定发生，而是发生．对于一个随机事件而言，其频率是在[0,1]内变化的一个数，并且随着试验次数的增加，随机事件发生的频率逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是概率．因此可以说，频率是变化的，而概率是不变的，是客观存在的．【做一做3】不可能事件发生的概率是，必然事件发生的概率是，随机事件的概率的范围是．答案：1．(1)会发生不会发生必然不可能(2)发生不发生(3)确定随机【做一做1】 B 选项A，，D均是随机事件，选项B是不可能事件，所以也是确定事件．2．频数nAn[0,1]【做一做2】 09 设击中目标为事件A，则n＝20，n A＝18，则f20(A)＝18 20＝093．(1)[0,1] P(A) 大小(2)概率频率 (3)[0,1] 很少经常【做一做3】 0 1 (0,1)频率与概率的联系剖析：对于随机事件而言，不同的结果出现的可能性一般是不同的，既然事件发生的可能性有大小之分，我们如何进行定量的描述呢？根据经验，可以用事件发生的频率进行刻画，频率在一定程度上可以反映事件发生可能性的大小，但频率又不是一个完全确定的数，随着试验次数的不同，产生的频率也可能不同，所以频率无法从根本上刻画事件发生的可能性的大小．频率虽然不能很准确地反映出事件发生的可能性的大小，但从大量的重复试验中发现，随着试验次数的增多，频率就稳定于某一固定值．即频率具有稳定性，这时就把这一固定值称为概率．由此可见：(1)概率是频率的稳定值，随着试验次数的增加，频率会越越接近概率；(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定；(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验的次数无关．题型一对事件分类【例题1】在10个同类产品中，有8个正品，2个次品，从中任意抽出3个检验，据此列出其中的不可能事件、必然事件、随机事件．分析：从10个产品中任意抽出3个检验，共出现以下三种可能结果：“抽出3个正品”，“抽出2个正品，1个次品”，“抽出1个正品，2个次品”．[] 反思：在对事件分类时，应注意：(1)条件的不同以及条件的变化都可能影响事件发生的结果，要注意从问题的背景中体会条件的特点．(2)必然事件和不可能事件具有确定性，它在一定条件下能确定其是否发生，随机事件的随机性可作以下解释：在相同的条件下进行试验，观察试验结果发现每一次的试验结果不一定相同，且无法预测下一次的试验结果是什么．题型二利用频率估计概率【例题2】某射击运动员进行飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下：(1)求各次击中飞碟的频率．(保留三位小数)(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？分析：(1)频率＝频数试验次数；(2)利用(1)估计频率的趋近值即概率．反思：利用频率估计概率的步骤：(1)依次计算各个频率值；(2)观察各个频率值的稳定值即为概率的估计值，有时也可用各个频率的中位数作为概率的估计值．题型三易错辨析【例题3】把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1 000次，其中有498次正面朝上，502次反面朝上，求掷一次硬币正面朝上的概率．错解：由题意，根据公式fn (A)＝nAn＝4981 000＝0498，故掷一次硬币正面朝上的概率是0498错因分析：错解混淆了频率与概率的概念，0498仅是正面朝上的概率的估计值，不能把0498看成概率．答案：【例题1】解：不可能事件是“抽到3个次品”；必然事件是“至少抽到1个正品”；随机事件是“抽到3个正品”，“抽到2个正品，1个次品”，“抽到1个正品，2个次品”．【例题2】解：(1)计算nAn得各次击中飞碟的频率依次约为0810，0792，0800,0810,0793,0794,0807(2)由于这些频率非常地接近0800，且在它附近摆动，所以运动员击中飞碟的概率约为0800【例题3】正解：通过做大量的试验可以发现，正面朝上的频率在常数05附近摆动，故掷一次硬币，正面朝上的概率为051．下列事件中，是随机事件的为( )[||]A．向区间(0,1)内投点，点落在(0,1)区间B．向区间(0,1)内投点，点落在(1,2)区间．向区间(0,2)内投点，点落在(0,1)区间D．向区间(0,2)内投点，点落在(－1,0)区间2．下列事件：①对任意实数，有2＜0；②三角形的内角和是180°；③骑车到十字路口遇到红灯；④某人购买福利彩票中奖；其中是随机事件的为．3．从某自动包装机包装的白糖中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装白糖质量在4975～5015 g之间的概率约为．4．下表是某灯泡厂某车间生产的灯泡质量检查表：填写合格品频率表，估计这批灯泡合格品的概率是多少？(保留两位小数)[]答案：1．2．③④当∈R时，2≥0，则①是不可能事件；由三角形内角和定理知，②是必然事件；路口遇红灯和买彩票中奖都是随机的，则③④是随机事件．3．025 样本中白糖质量在4975～5015 g之间的有5袋，所以该自动包装机包装的袋装白糖质量在4975～5015 g之间的频率为520＝025，则概率约为0254．解：合格品频率依次为098,097,0985,0984，0981，0982估计灯泡合格品的概率是098。
高中数学 第三章 概率章末复习学案 新人教B版必修3
第三章 概率章末复习1．本章涉及的概念比较多，要真正理解它们的实质，搞清它们的区别与联系．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，要进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别．2．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定事件彼此是否互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．求较复杂的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P (A )(事件A 与A 互为对立事件)求解．3．对于古典概型概率的计算，关键要分清基本事件的总数n 与事件A 包含的基本事件的个数m ，再利用公式P (A )＝mn求出概率．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏．4．对于几何概型事件概率的计算，关键是求得事件A 所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式求解．5．学习本章的过程中，要重视教材的基础作用，重视过程的学习，重视基本数学思想和数学方法的形成和发展，注意培养分析问题和解决问题的能力.题型一 随机事件的概率 1．有关事件的概念(1)必然事件：我们把在条件S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S 的必然事件，简称必然事件．(2)不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件，简称不可能事件．(3)确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件，简称确定事件． (4)随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件．(5)事件的表示方法：确定事件和随机事件一般用大写字母A ，B ，C ，…表示． 2．对于概率的定义应注意以下几点(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验．(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A 的概率． (3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值． (4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小．(5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P (A )≤1. 例1 对一批U 盘进行抽检，结果如下表：抽出件数a 50 100 200 300 400 500 次品件数b 3 4 5 5 8 9 次品频率ba(1)(2)从这批U 盘中任抽一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U 盘，至少需进货多少个U 盘？解 (1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018. (2)当抽取件数a 越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U 盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘．跟踪演练1 某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？解(1)由题意，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次)．(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击中靶心．(4)不一定．题型二互斥事件与对立事件1．互斥事件与对立事件的概念的理解(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．(2)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，则两事件是互斥的，此时A∪B的概率就可用加法公式来求，即为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；如果事件A∩B≠∅，则可考虑利用古典概型的定义来解决，不能直接利用概率加法公式．(3)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，A∪B＝U，则两事件是对立的，此时A∪B 就是必然事件，可由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1来求解P(A)或P(B)．2．互斥事件概率的求法(1)若A1，A2，…，A n互斥：则P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．(2)利用这一公式求概率的步骤是：①要确定这一些事件彼此互斥；②这一些事件中有一个发生；③先求出这一些事件分别发生的概率，再求和．值得注意的是：①②两点是公式的使用条件，不符合这两点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的． 3．对立事件概率的求法P (Ω)＝P (A ∪A )＝P (A )＋P (A )＝1，由公式可得P (A )＝1－P (A )(这里A 是A 的对立事件，Ω为必然事件)．4．互斥事件的概率加法公式是解决概率问题的重要公式，它能把复杂的概率问题转化为较为简单的概率或转化为其对立事件的概率求解．例2 现有8名2012伦敦奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A 1被选中的概率；(2)求B 1和C 1不全被选中的概率．解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语的志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)}，即由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“A 1被选中”这一事件，则M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)}，即事件M 由6个基本事件组成．故P (M )＝618＝13.(2)用N 表示“B 1和C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1和C 1全被选中”这一事件．因为N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)}，即事件N 由3个基本事件组成，所以P (N )＝318＝16. 由对立事件的概率公式得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56.跟踪演练2 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解 把3个选择题记为x 1，x 2，x 3,2个判断题记为p 1，p 2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x 1，p 1)，(x 1，p 2)，(x 2，p 1)，(x 2，p 2)，(x 3，p 1)，(x 2，p 2)，共6种； “甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p 1，x 1)，(p 1，x 2)，(p 1，x 3)，(p 2，x 1)，(p 2，x 2)，(p 2，x 3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 1)，(x 2，x 3)，(x 3，x 1)，(x 3，x 2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p 1，p 2)，(p 2，p 1)，共2种． 因此，基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20(种)． (1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为620＝310，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为620＝310，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为310＋310＝35.(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220＝110，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－110＝910.题型三 古典概型与几何概型古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P (A )＝m n时，关键是正确理解基本事件与事件A 的关系，求出n ，m .几何概型同古典概型一样，是概率中最具有代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置．我们要理解并掌握几何概型试验的两个基本特征，即：每次试验中基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性，并能求简单的几何概型试验的概率． 例3 (2013·天津高考)某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z 用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．若S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(1)(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．解(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10 S 446345453 5其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为10＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．所以P(B)＝615＝25.跟踪演练3 如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为( )A.413B.213C.113D.313答案 C解析设阴影小正方形边长为x，则在直角三角形中有22＋(x＋2)2＝(13)2，解得x＝1或x＝－5(舍)，∴阴影部分面积为1，∴飞镖落在阴影部分的概率为1 13 .题型四分类讨论思想数形结合思想的实质就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的图形结合起来．包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面．在本节中把几何概型问题利用坐标系转化成图形问题(或符合条件的点集问题)去解决．例4 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．解 以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x －y |≤15.如图平面直角坐标系下，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示，由几何概型的概率公式得P (A )＝S A S ＝602－452602＝716.跟踪演练4 三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从A 发球算起，经4次传球又回到A 手中的概率是多少？解 记三人为A ，B ，C ，则4次传球的所有可能可用树状图方式列出：如右图． 每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为16，而又回到A 手中的事件个数为6，根据古典概型概率公式得P ＝616＝38.小结 事件个数没有很明显的规律，而且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，有利于条理地思考和表达．1．两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．若事件A1，A2，A3，…，A n彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．2．关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题：(1)本试验是否是等可能的？(2)本试验的基本事件有多少个？(3)事件A是什么，它包含多少个基本事件？只有回答好了这三方面的问题，解题才不会出错．3．几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．4．关于随机数与随机模拟试验问题随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法，用计算器或计算机模拟试验，首先要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的量，我们可以从以下几个方面考虑：(1)确定产生随机数组数，如长度型、角度型(一维)一组，面积型(二维)二组．(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围，由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章 概率
一：知识结构：
1.随机事件的概率及概率的意义
（1）必然事件： （2）不可能事件：（3）确定事件：（4）随机事件： （5）频数与频率：（6）频率与概率的区别与联系： 2. 概率的基本性质
（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件
（2）互斥事件 （3）对立事件 （4）概率的基本性质
3.古典概型及随机数的产生
（1）古典概型的特点：
（2）古典概型的概率公式： 4.几何概型及均匀随机数的产生
（1）几何概型的特点： （2）几何概型的概率公式： 二：典型例题：
（一）互斥事件与对立事件：
例1：由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如下表：
(1)至多有2人排队的概率是多少? (2)至少有2人排队的概率是多少?
（二）古典概型：
例2：某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
(Ⅰ)求分数在[)70,80内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为
[)80,60的学生中抽取一个容量为6的样本，
将该样本看成一个总体，从中任取2人， 求至多有1人在分数段[)80,70的概率.
例3：先后掷两个均匀正方体骰子(六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的点数分别为X,Y, 则log X 2Y=1的概率为多少?
（三）几何概型：
例4：设关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=
（1）若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任
取的一个数，求上述方程有实数根的概率；
（2）若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实数根的概率.
（四）均匀随机数的产生：
例5：将【0，1】内的均匀随机数转化为【-3，4】内的均匀随机数，需要实施的变换是 （ ）
1.*7Aa a = 1.*73B a a =+ 1.*73C a a =- 1.*4D a a =
三．达标练习：
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）． 1． 从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为（ ）
A ．51
B ．52
C ．103
D ．10
7
2．A 盒中有10只螺钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么
10
3
等于（ ） A ．恰有1只是坏的概率 B ．恰有2只是好的概率 C ．4个全是好的概率 D ．至多2只是坏的概率
3.在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于236cm 与281cm 之间的概率为（ ）
Ａ．14 Ｂ． 13 Ｃ．12 Ｄ．16
4. 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（ ）
A.
9991 B. 10001 C. 1000999 D. 2
1
5.从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ） A. A 与C 互斥 B. B 与C 互斥 C. 任何两个均互斥 D. 任何两个均不互斥
6.甲，乙两人随意入住两间空房，则甲乙两人各住一间房的概率是（ ）
A. 31
. B. 41 C. 2
1 D.无法确定
7.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是（ ） A.
21 B. 31
C. 4
1 D. 52
8. 有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（ ） A.
101 B. 103 C. 21 D. 107
9.现有五个球分别记为A ，C ，J ，K ，S ，随机放进三个盒子，每个盒子只能放 一个球，则K 或S 在盒中的概率是（ ）
A.
101 B. 53 C. 103 D. 10
9
10．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率( )
A.12
B.13
C.2
3
D.1 11．下列说法正确的有（ ）
①随机事件A 的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值； ②一次实验中不同的基本事件不可能同时发生；
③任意事件A 发生的概率()P A 总满足0()1P A <<；
④若事件A 的概率趋近于0，即()0P A →，则事件A 是不可能事件； A ．0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、填空题：．
12.在区间(0,2)中随机地取出一个数，则这个数小于1的概率是___ ____；等于1的概率是___ _____ .
13.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则至少有一枚正面朝上的概率是 .
14. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙两人下成和棋的概率为 。
三、解答题：
15.（本小题满分12分）把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，并记第一次
出现的点数为a ，第2次出现的点数为b ，试就方程组3
22ax by x y +=⎧⎨+=⎩解答下列问题：
（1）求方程组只有一个解的概率； （2）求方程组只有正数解的概率。