231直线与平面垂直的判定练习题
高中数学 231 直线与平面垂直的判定课时作业 A必修2 试题
卜人入州八九几市潮王学校新田一中高中数学必修二课时作业：.1直线与平面垂直的断定根底达标1．直线m，n是异面直线，那么过直线n且与直线m垂直的平面()．A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或者无数个D．不存在解析假设异面直线m、n垂直，那么符合要求的平面有一个，否那么不存在．答案B2．给出以下说法：①假设平面α的两条斜线段PA，PB在α内的射影长相等，那么PA，PB的长度相等；②PO是平面α的斜线段，AO是PO在平面α内的射影，假设OQ⊥PO，那么必有OQ⊥AO；③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个；④平面α内有两条相交直线a，b都与另一个平面β平行，那么α∥β.其中不正确的选项是()．A．①②③④B．①②③C．①③④D．②③④答案B3．空间四边形ABCD的四边相等，那么它的两对角线AC、BD的关系是()．A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交解析取BD中点O，连接AO，CO，那么BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，又BD、AC异面，∴选C.答案C4．如下列图，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，那么图中直角三角形的个数有________．解析⇒⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.答案45．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，那么动点P的轨迹是________．解析BD1⊥平面B1AC，平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，所以P为B1C上任何一点，均有AP⊥BD1.答案B1C6．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为A1B1的中点，那么AE与平面ABC1D1所成角的余弦值为________．解析如图，取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连接AO.由正方体易知EO⊥平面ABC1D1，所以∠EAO为所求．在Rt△EOA中，EO＝EF＝A1D＝，AE＝＝，sin∠EAO＝＝.所以直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为.答案7．某个实心零部件的形状是如下列图的几何体，其下部是底面均是正方体，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCDA2B2C2D2.求证：直线B1D1⊥平面ACC2A2.证明∵四棱柱ABCDA2B2C2D2侧面是全等的矩形，∴AA2⊥AB，AA2⊥AD.又AB∩AD＝A.∴AA2⊥平面ABCD.连接BD，∵BD⊂平面ABCD，∴AA2⊥BD.因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD.根据棱台的定义知，BD与B1D1一共面．又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面ABCD∩平面BB1D1D＝BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1＝B1D1.所以BD∥B1D1，于是，由AA2⊥BD，AC⊥BD，BD∥B1D1，可得AA2⊥B1D1，AC⊥B1D1.又AA2∩AC＝A，所以直线B1D1⊥平面ACC2A2.才能提升8．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，那么BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()．A.B.C.D.解析如右图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，连接A1C1、B1D1，交于O点，连接OB，由A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1.又∵BB1⊥平面A1B1C1D1，OC1⊂平面A1B1C1D1，∴OC1⊥BB1.而BB1∩B1D1＝B1，∴OC1⊥平面BB1D1D.∴OB是BC1在平面BB1D1D内的射影．∴∠C1BO是BC1与平面BB1D1D所成的角．在正方形A1B1C1D1中，OC1＝A1C1＝＝.在矩形BB1C1C中，BC1＝＝＝.∴sin∠C1BO＝＝＝.答案D9．如下列图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，假设BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，那么a的取值范围是________．解析因为PA⊥平面AC，QD⊂平面AC，所以PA⊥QD.又因为PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，所以QD⊥平面PAQ，所以AQ⊥QD.①当0＜a＜2时，由四边形ABCD是矩形且AB＝1知，以AD为直径的圆与BC无交点，即对BC上任一点Q，都有∠AQD＜90°，此时BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD；②当a＝2时，以AD为直径的圆与BC相切于BC的中点Q，此时∠AQD＝90°，所以BC边上存在一点Q，使PQ⊥QD；③当a＞2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQ⊥QD.答案[2，＋∞]10．如下列图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.解连接A1B，CD1，那么A1B⊥AB1，A1D1⊥AB1，又A1D1∩A1B＝A1，∴AB1⊥面A1BCD1，又D1E⊂面A1BCD1，∴AB1⊥D1E.于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF.连接DE，那么DE是D1E在底面ABCD内的射影．∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF.∵ABCD是正方形，E是BC的中点，∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.。
20202021学年数学2课时作业231直线与平面垂直的判定含解析.docx
课时作业15直线与平面垂直的判定----基础巩固类------1、如果~条直线垂直于~个平面内的。
）三角形的两也;②梯形的两也；③园的两条直径;④正六边形的两条也，那么能保证该直线与平面垂直的是（A ）A.①③B.②C.②④D、①②④解析:①③能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线, ②④中的两条直线有可能是平行的、2、巳知平面a//”，。
是直线，则％1Q"是％_L”"的（C ）A、充分不必要条件B,必要不充分条件C.充要条件D,既不充分也不必要条件解析：根据题意，％1Q",又由平面。
//”，则有％1。
"，则％1Q"是％_L”“的充分条件，反之,若%1伊,又由千面Q H”，则有％1Q",则％_L 伊是％1Q"的必要条件，则％1Q"是％1。
"的充要条件' 故选C。
3、如图，在长方体ABCD-AiBiCiDi AAiDiD为正方形，E为棱CQ上任意〜点，则AQi与BiE的关条为（A ）A、ADiLBiEB.ADi II BiEC.AZh与8iE共面D,以上都不对解析：连接AiD,则由正方形的性质，知ADi±AiD,又BiAi平面AAiDiD,所以BiAi J_ADi，所以ADi J_ 平面AiBiED, 又BiEu平面Ai8iE£),所以ADi .\_BiE,故选A.4.巳知直线m,n是异面直线，则过直线〃且与直线所垂直的平面r B )A、有且只有~个B、至多~个C、有〜个或无教个D、不存在解析：若异面直线所、〃垂直，则符合要求的平面有~个，否则不存在.5、在三棱壮ABCAiBiCi中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点。
是侧面BB1GC的中心，则AD与平面881GC所成角的大小是(C )A、30° B. 45°C. 60°D. 90°解析：如图，取8C的中点E,连接AE, ED,AD,则AE1_ -f- 面BB1C1C,故/_ADE为直线AD与平面BBiCiC所成的角、设各棱长为。
最新数学：2.3《直线、平面垂直的判定及其性质》试题(新人教必修2).
其中正确嘚个数是() A ．３Ｃ．１Ｂ．２Ｄ．０且l ．满足l ，求证： l答案： b// 或 b第 2题 . 已知两个平面垂直，下列命题第 1题. 已知直线 a ， b 和平面 ，且 a b ， a ，则 b 与 嘚位置关系是 ① 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内嘚任意一条直线．② 一个平面内嘚已知直线必垂直于另一个平面嘚无数条直线．③ 一个平面内嘚任一条直线必垂直于另一个平面．④ 过一个平面内任意一点作交线嘚垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．答案：Ｂ．第 3题 . 已知平面答案：证明：设// ，求证l ，在平面 内作直线因为 ，所以 a过 a 作一个平面 与平面 相交于直线 b ， 由 // 又b，得 a// b ． ，所以第 4题 . 已知平面．因为 a ，所以 b质定理证直线 l 平面即直线 a 与平面 平行．SA 平面 ABCD ，过 A 且垂直于 SC 嘚平面分别交 SB ，SC ， SD 于E ， F ，G ． 求证： AE SB ，AG SD ．答案：证明： ∵ SA 平面 ABCD ，∴ SA BC ．答案：在平面内做两条相交直线分别垂直 于平面 ， 与平面 嘚交线，再利用面面垂直嘚性第 5题 . 如图， 位置关系． 已知平面，直线 a 满足，a，试判断直线 a 与平面 嘚答案：解：在内作垂直于 与 交线嘚直线 b ，因为所以 b因为 a ，所以 a// b ．又因为 a ，所以 a//第 6题. 如图所示， ABCD 为正方形，又 AB BC ，∴ BC 平面 SAB ．∵ AE 平面SAB ，∴ BC AE ，∵SC 平面AEFG ，∴SC AE ，AE 平面SBC ，∴AE SB ． 同理 AG SD ．第7题. 已知直线 l 平面 ，有以下几个判断： ①若m l ，则m// ；②若m ，则m// l ；③ 若 m// ，则 m l ； ④ 若 m// l ，则 m．上述判断中正确嘚是（ ）Ａ． ①②③ Ｂ． ②③④ Ｃ． ①③④ Ｄ． ①②④ 答案：Ｂ．第 8题. ， 是两个不同嘚平面， m ， n 是平面 及 之外嘚两条不同嘚直线，给出四 个论断：①m n ； ② ；③n ；④m ．以其中三个论断作为条件，余下嘚一个论断作为结论，写出你认为正确嘚一个命题 ．答案： ②③④ ①或①③④ ② ．第9题. 如图所示，四棱锥 P ABCD 嘚底面是正方形， AM EF ．求证： MF 是异面直线 AB 与 PC 嘚公垂线． 答案：证明： ∵PA 底面， ∴PA AB ． 已知 AB AD ，∴AB 面 PAD ． ∴ BA AE ． 又 AM// CD// EF ，且 AM EF ．∴ AEFM 是矩形， ∴ AM MF ．又∵AE PD ， AE CD ，∴AE 平面 PCD ． 又 MF// AE ，∴ MF 平面 PCD ． ∴MF PC ．∴ MF 是异面直线 AB 与 PC 嘚公垂线．第 10题. 设O 为平行四边形 ABCD 对角线嘚交点， P 为平面 AC 外一点且有 PA PC ，PA 底面 ABCD ，AE PD ，EF// CD ，EFACB DPB PD ，则 PO 与平面 ABCD 嘚关系是答案：垂直第 11题 . 如图， （１） （２） 直角 △ ABC 所在平面外一点 S ，且 SA SB SC ，点 D 为斜边 AC 嘚中点． SD 平面 ABC ； BC ，求证： BD 面 SAC ．在Rt △ ABC 中， 则 AD DC ∴△ ADS ≌△ BDS ， ∴ SD 又 AC BD D ，∴ SD 面 ABC ． （２） ∵ BA BC ，D 为 AC 嘚中点， ∴BD AC ．又由（１）知 SD 面 ABC ， ∴SD BD ． 于是 BD 垂直于平面 SAC 内嘚两条相交直线． ∴ BD 面 SAC ．第 12题. 在三棱锥 P ABC 中，侧面 PAC 与面 ABC 垂直， PA PB PC 3． （１） 求 证： AB BC ；（２） 设 AB BC 2 3，求 AC 与平面 PBC 所成角嘚大小． 答案：证明：如图（１）所示，取 AC 中点 D ，连结 BD ， PD ．∵PA PC ，∴PD AC ．又平面 PAC 平面 ABC ，∴ PD 面 ABC ．∵PA PB PC ，∴DA DB DC ． 可知 AC 为 △ ABC 嘚外接圆直径． ∴ AB BC ．D 为AC 嘚中点， ∴SD AC ．C求证： 若 AB BD ．BD ．图（１）∵△PBC ≌△PBA ，∴AF PB ， AF CF ． ∴PB 平面 AFC ．∴面 AFC 面 PBC ，交线为 CF ．∴直线 AC 在平面 PBC 内嘚射影为直线 CF ． ∴ ACF 为 AC 与平面 PBC 所成嘚角．在Rt △ ABC 中， AB BC 2 3 ，∴BD 6 ．第13题. 在正方形 ABCD 中， E ，F 分别是 AB 及BC 嘚中点， M 是EF 嘚中点，沿 DE ，DF 及EF 把△DAE ，△DFC ，△EBF 折起使 A ， B ， C 三点重合，重合后嘚点记作 P ，那么在四面体 P DEF 中必有（ ）Ａ． DP 面 PEF Ｂ． DM 面 PEFＣ． PM 面 DEF Ｄ． PF 面 DEF答案：Ａ．２）解：如图（２） ，作 CF PB 于F ，连结 AF ，DF ．在 Rt △PDC 中，D C 在 Rt △ PDB 中， 在 Rt △FDC 中， 2．∴ ACF 30 ．即 AC 与平面 PBC 所成角为6，PD 3 ．PB3tan326DCF DFDCDFB 图（２）答案：Ｃ．第 14题 . 直线 a 不垂直于平面 ，则 内与 a 垂直嘚直线有（ ）Ａ． 0条 Ｂ． 1条 Ｃ．无数条 Ｄ． 内所有直线．下面四个命题中，正确嘚是（第 15题 . 已知三条直线 m ， m////Ａ．Ｂ．lm m// nm// nＤ．nE 为对角线 AC 嘚中点，下列判断 第 17题 .// // Ａ． 或 ////Ｂ． n ， l ，三个平面 m且 m// Ｃ．n//答案：Ｄ．第 16题 . 在空间四边形 正确嘚是（ ）Ａ．平面 ABD 平面 Ｃ．平面 ABC ABCD 中，若 AB BC ， AD CD ， 平面 BDCADC Ｂ．平面 ABC Ｄ．平面 ABC 平面 平面ABDBED 答案：Ｄ．是四个不同平面，若Ｃ．这四个平面中可能任意两个 都不平行 Ｄ．这四个平面中至多有一对平面平行 答案：Ｂ．第 18题 . 设 a ， b 是异面直线，下列命题正确嘚是（Ａ．过不在a ，b 上嘚一点P 一定可以作一条直线和a ，b 都相交Ｂ．过不在a，b上嘚一点P一定可以作一个平面和a，b 垂直Ｃ．过a一定可以作一个平面与b 垂直Ｄ．过a一定可以作一个平面与b 平行答案：Ｄ．第19题. 已知a，b 是异面直线，，∴ AB又∵AB又a∴AB// c ．∴c)Ｃ．③与④Ｄ．②与④③④A ，设a ，b' 确定平面a ，a b'∵AB b，∴AB b'．答案：证明：过A作b' ，则b'// b．a ，bc ，∴a c ．同理b' c．第20题. 下面四个命题：①②其中正确嘚两个命题是(Ａ．①与② Ｂ．②与③答案：Ｂ．若直线a//平面，则内任何直线都与a 平行；若直线a平面，则内任何直线都与 a 垂直；若平面//平面，则内任何直线都与平行；若平面平面，则内任何直线都与垂直．c ，AB 是a ，b 嘚公垂线，求证：AB//c ．直线 b且平面第平面AC BD AC BDBD 第 21题 . 设平面CD 长为 13内，且 12，求 CD 长AC AB 在 Rt △CBD 中， CDBD AB4 ， ACAB ， DB AB ， AC 3 答案：Ｂ且 a 不与 l 垂直， b 不与lBD 分别在平面 和平面 Ｂ．可能平行，不可能垂直 Ｄ．不可能垂直，也不能垂直垂直，那么 a 与 b （ ） Ａ．可能垂直，不可能平行 Ｃ．可能垂直，也可能平行 BC ．∴△CBD 是直 角三角形2 12213已知：如图所示，平面在 Rt △ BAC 中，BCl ，在 l 上取线段 AB∴BDl ，直线 aAC 2 AB 2 32 42 5解：连结 BC ．ACCBAlDCCBA lD又正三棱柱侧面与底面垂直面 ABB 1A 1A 1D AB 1又A 1D 1 A 1CAB 1 A 1B 1ABDP第 24题 . 面 ABC A 1D AB 1BC 1 答案：ＣAB 1 BD 1D 1CD 面 ABB 1 A 1 ， C 1D 1BD 1分别为 A 1C 与BC 1在面 ABB 1A 上嘚射影P 在底面 ABC 内射影 O （在△ABC 内部，即过 P 作PO 底O 是 △ABC 嘚（） Ｄ．重心设三棱锥 P ABC 嘚顶点，交于 O ），且到三个侧面嘚距离相等，则 Ｂ．垂心 Ｃ．内心CD AB ， C 1D 1 A 1B 1C第 25题. 如图所示， AB 是圆 O 嘚直径， C 是异于 A ， B 两点嘚圆周上嘚任意一点， PA 垂直于 圆O 所在嘚平面，则 △PAB ，△PAC ， △ABC ， △PBC 中，直角三角形嘚个数是（ ）Ａ． 1Ｂ． 2 Ｃ． 3 Ｄ． 4答案：证明：取 AB 中点 D ， A 1B 1中点 D 1，连结 A 1D ， BD 1， CD ， C 1D 1 ，由正三棱柱性质知，C 1第 23题. 在正三棱柱 ABC A 1 B 1C 1中，若 AB 1 BC 1 ．求证： AB 1 A 1C∥ BD ，∴ A 1D// BD 1答案： Ｄ．若 若 若若 第 26题. 已知直线 a ， ① ② ③ ④ b 和平面 ，有以下四个命题：则 b// ；A ，则 a 与b 异面；则 a ； 则 b// ．)Ｃ． 2 Ｄ． 3a// a a// a b b， a// b a b //b b a其中真命题嘚个数是Ａ． 0 答案：Ｂ．Ｂ． 1。
高中数学 231 直线与平面垂直的判定同步练习 新人教A版必修2
高中数学 231 直线与平面垂直的判定同步练习新人教A版必修2一、选择题1．下列命题中，正确的有( )①如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．④垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．A．2个B．3个C．4个D．5个[答案] C[解析] ②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立．2．设直线l、m，平面α、β，下列条件能得出α∥β的是( )A．l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥βB．l⊂α，m⊂β，且l∥mC．l⊥α，m⊥β，且l∥mD．l∥α，m∥β，且l∥m[答案] C[解析] 排除法，A可举反例，如图(1)，B可举反例如图(2)，其中l与m都平行于a，D可举反例，如图(3)，故选C.3．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )A.63B.255C.15 5D.10 5[答案] D[解析] 取B1D1中点O，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∵A1B1＝B1C1＝2，∴C1O⊥B1D1，又C1O⊥BB1，C1O⊥平面BB1D1D，∴∠C1BO为直线C1B与平面BB1D1D所成的角，在Rt△BOC1中，C1O＝2，BC1＝BC2＋CC21＝5，∴sin∠OBC1＝105.4．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( )A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC ．直线BC ∥平面PAED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45° [答案] D[解析] 设AB 长为1，由PA ＝2AB 得PA ＝2， 又ABCDEF 是正六边形，所以AD 长也为2， 又PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥AD ， 所以△PAD 为直角三角形． ∵PA ＝AD ，∴∠PDA ＝45°，∴PD 与平面ABC 所成的角为45°，故选D.5．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠ACC 1＝60°，∠BCC 1＝45°，侧棱CC 1的长为1，则该三棱柱的高等于( )A.12B.22C.32D.33[答案] A[解析] 作C 1O ⊥底面ABC 于O ， 作OM ⊥CB 于M ，连C 1M . 作ON ⊥AC 于N ，连C 1N .易知ON ⊥AC ，OM ⊥BC ，又∠ACB ＝Rt∠，∴ONCM 为矩形，OC ＝MN ， 在Rt△CNC 1中，∠C 1CN ＝60°，CC 1＝1，∴CN ＝12，在Rt△C 1MC 中，∠C 1CM ＝45°，CC 1＝1，∴CM ＝22. ∴NM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝32，∴OC ＝32，在Rt△C 1OC 中，C 1O ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫322＝12， ∴三棱柱高为12.6． 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝22，则下列结论中错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等[答案] D[解析] 由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1得，B 1B ⊥平面ABCD ，∴AC ⊥B 1B ， 又∵AC ⊥BD ，∴AC ⊥面BDD 1B 1，BE ⊂面BDD 1B 1， ∴AC ⊥BE ，故A 正确．由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1得，B 1D 1∥BD ，B 1D 1⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴B 1D 1∥平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD ，∴B 正确． ∵A 到平面BDD 1B 1的距离d ＝22， ∴V A －BEF ＝13S △BEF ·d＝13·12S △BB 1D 1·d ＝112. ∴三棱锥A －BEF 的体积为定值，故C 正确．因E 、F 是线段B 1D 1上两个动点，且EF ＝22， 在E ，F 移动时，A 到EF 的距离与B 到EF 的距离不相等 ∴△AEF 的面积与△BEF 的面积不相等，故D 错．7．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] B[解析] 连结AB 1，易知AB 1∥EF ，连结B 1C 交BC 1于点G ，取AC 的中点H ，则GH ∥AB 1∥EF . 设AB ＝BC ＝AA 1＝a ，在△GHC 中，易知GH ＝12AB 1＝22a ，BG ＝22a ，HB ＝22a ，故两直线所成的角为∠HGB ＝60°.[点评] 除可用上述将EF 平移到GH 方法外还可以在平面BCC 1B 1内过F 作FD ∥BC 1交B 1C 1于D ，考虑在△EFD 内求解等．如果再补上一个三棱柱成正方体则结论就更明显了．8．在空间四边形ABCD 中，若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，则对角线AC 与BD 的位置关系为( ) A ．相交但不垂直 B ．垂直但不相交C ．不相交也不垂直D ．无法判断 [答案] B[解析] 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长交DC 于N ，连DO 并延长交BC 于M ，连CO 并延长交BD 于H ， ∵BC ⊥AO ，BC ⊥AD∴BC ⊥平面AOD ，∴BC ⊥DM ，同理 BN ⊥CD ，∴O 为△BDC 的垂心，∴CH ⊥BD 又AO ⊥BD ，∴BD ⊥平面AOC ， ∴BD ⊥AC . 二、填空题9．如图，AB 是圆O 的直径，C 是异于A 、B 的圆周上的任意一点，PA 垂直于圆O 所在的平面，AC ＝3，PA ＝4，AB ＝5，则直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为________．[答案]44141[解析] ∵PA ⊥平面ABC ∴PA ⊥BC ， 又BC ⊥AC ∴BC ⊥平面PAC ，∴∠BPC 为直线PB 与平面PAC 所成的角． 在Rt△PAB 中，PA ＝4，AB ＝5，∴PB ＝41， 在Rt△ABC 中，AC ＝3，AB ＝5，∴BC ＝4， ∴sin∠BPC ＝BC PB ＝44141.10．▱ABCD 的对角线交点为O ，点P 在▱ABCD 所在平面外，且PA ＝PC ，PD ＝PB ，则PO 与平面ABCD 的位置关系是________．[答案] 垂直[解析] ∵PA ＝PC ，O 是AC 的中点，∴PO ⊥AC .同理可得PO ⊥BD .∵AC ∩BD ＝O ， ∴PO ⊥平面ABCD .11．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝1，则点P 到对角线BD 的距离是________．[答案]135[解析] 因为AB ＝3，BC ＝4，所以BD ＝5，过A 作AE ⊥BD ，连接PE ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BD ，∵PA ∩AE ＝A ，∴BD ⊥平面PAE ，∴PE ⊥BD ， 在△ABD 中，AE ＝125，所以PE ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝135.12． 如图中的三个直角三角形是一个体积20cm 3的几何体的三视图，则h ＝______ cm.[答案] 4[解析] 该几何体是一个底面是直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥如图，V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×5×6×h ＝20，∴h ＝4 cm.三、解答题13． 在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，C 1E ＝3EC .求证：A 1C ⊥平面BED .[证明] 在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴A 1A ⊥BD ，正方形ABCD 中，BD ⊥AC .又A1A∩AC＝A，∴BD⊥平面A1AC，∴BD⊥A1C.设BD∩AC＝F，在平面A1ACC1中，EF与A1C必相交，设交点为G，由已知条件知，A1A＝4，AC＝22，FC＝2，CE＝1，∴A1AFC＝ACCE，∴Rt△A1AC∽Rt△FCE，∴∠AA1C＝∠CFE，∴∠CFE与∠FCG互余．从而A1C⊥EF.又EF∩BD＝F，∴A1C⊥平面BED.14．已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求证：AD⊥平面SBC. [证明] ∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.又AC∩SA＝A，∴BC⊥平面SAC.∵AD⊂平面SAC.∴BC⊥AD.又SC⊥AD，SC∩BC＝C，∴AD⊥平面SBC.15．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝3，∠ABC＝60°，求证：AB⊥A1C.[证明] 在△ABC 中，过A 作AD ⊥BC ，在Rt△ABD 中，AD ＝1×sin60°＝32， 在Rt△ACD 中，AD ＝3sin C ， ∴3sin C ＝32，∴sin C ＝12， ∵C 为△ABC 的内角，且B ＝60°， ∴C ＝30°，∴A ＝90°，即AB ⊥AC ， ∵AB ⊥AA 1，∴AB ⊥平面ACC 1A 1， 又A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1C .16． 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P －EFGH ，下半部分是长方体ABCD －EFGH .图2、图3分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图．(1)求该安全标识墩的体积； (2)证明：直线BD ⊥平面PEG .[解析] (1)该安全标识墩的体积为：V ＝V P －EFGH ＋V ABCD －EFGH ＝13×402×60＋402×20＝32000＋32000＝64000(cm 3)(2)如图，连结EG 、HF 及BD ，EG 与HF 相交于O ，连结PO .由正四棱锥的性质可知，PO ⊥平面EFGH ，∴PO ⊥HF ，又EG⊥HF，∴HF⊥平面PEG，又BD∥HF，∴BD⊥平面PEG.17．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2 2(1)证明PA∥平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD.[解析] (1)证明：设AC∩BD＝H，连结EH.在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点．又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA.又EH⊂平面BDE且PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE.(2)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD.。
直线与平面垂直性质定理练习题
直线与平面垂直的性质一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥αB ．若直线l 与平面α垂直，则l 与α内的任一直线垂直C ．若E 、F 分别为△ABC 中AB 、BC 边上的中点，则EF 与经过AC 边的所有平面平行D ．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直2．若M 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )① ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒M ∥n ； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒M ⊥n; ④ ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知直线PG ⊥平面α于G ，直线EF ⊂α，且PF ⊥EF 于F ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是( )A ．PE >PG >PFB ．PG >PF >PEC ．PE >PF >PGD ．PF >PE >PG4．PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系不正确的是( )A ．PA ⊥BCB ．BC ⊥平面PACC ．AC ⊥PBD ．PC ⊥BC5．下列命题：①垂直于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平面的两平面平行．其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．46．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且PA ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( )A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心二、填空题7．线段AB 在平面α的同侧，A 、B 到α的距离分别为3和5，则AB 的中点到α的距离为________．8．直线a 和b 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个不同平面内，使a ∥b 成立的条件是________．(只填序号)①a 和b 垂直于正方体的同一个面；②a 和b 在正方体两个相对的面内，且共面；③a 和b 平行于同一条棱；④a 和b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．9．如图所示，平面ABC ⊥平面ABD ，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，△ABD 是正三角形，O 为AB 中点，则图中直角三角形的个数为________．三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；11．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，求证：GG′⊥α．平面与平面垂直的性质1．平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内________于________的直线与另一个平面垂直．用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒________．2．两个重要结论：(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在________________________．图形表示为：符号表示为：α⊥β，A ∈α，A ∈a ，a ⊥β⇒________．(2)已知平面α⊥平面β，a ⊄α，a ⊥β，那么________(a 与α的位置关系)．一、选择题1．平面α⊥平面β，直线a ∥α，则( )A ．a ⊥βB ．a ∥βC ．a 与β相交D ．以上都有可能2．平面α∩平面β＝l ，平面γ⊥α，γ⊥β，则( )A ．l ∥γB ．l ⊂γC ．l 与γ斜交D ．l ⊥γ3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．无数条4．设α－l －β是直二面角，直线a ⊂α，直线b ⊂β，a ，b 与l 都不垂直，那么( )A ．a 与b 可能垂直，但不可能平行B ．a 与b 可能垂直，也可能平行C ．a 与b 不可能垂直，但可能平行D ．a 与b 不可能垂直，也不可能平行5．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是( )①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面A ．4B ．3C ．2D ．16．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6．过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶3二、填空题7．若α⊥β，α∩β＝l ，点P ∈α，PD /∈l ，则下列命题中正确的为________．(只填序号)①过P 垂直于l 的平面垂直于β；②过P 垂直于l 的直线垂直于β；③过P 垂直于α的直线平行于β；④过P 垂直于β的直线在α内．三、解答题8．如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥AB ．9．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．10．如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA 的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．。
直线与平面垂直性质定理练习题
• 题目：下列说法正确的是（） A. 一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫作这条直线的倾斜角 B. 直线的倾斜角 α 的取值范围是第一或第二象 限角 C. 和x轴平行的直线，它的倾斜角为 180° D. 每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
直线与平面垂直性 质定理练习题
单击此处添加副标题
汇报人：XX
目录
直线与平面垂直的性质定 理
练习题解析
直线与平面垂直性质定理 的练习题
01
直线与平面垂直的 性质定理
直线与平面垂直的定义
直线与平面垂直：直线与平面内的任意一条直线都垂直 判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直 性质定理：如果一条直线与平面垂直，则这条直线上的任意一点到平面的距离都相等 推论：如果一条直线与平面内的无数条直线都垂直，则这条直线与该平面垂直
证明线面垂直：利用性质定理可以证明一条直线与平面垂直，或者证明两条直线互相垂直。
解决实际问题：性质定理在解决实际问题中也有广泛应用，如建筑、机械、航空等领域。
解题思路：利用性质定理可以作为解题思路的起点，帮助解决各种与直线与平面垂直相关的 问题。
02
直线与平面垂直性 质定理的练习题
基础练习题
直线与平面垂直的性质定理是什么？
• A.$10$ B.$- 10$ C.$2$ D.$- 2$
03
练习题解析
基础练习题解析
• 题目：直线与平面垂直的性质定理是什么？ 答案：直线与平面垂直的性质定理是：如果一条直线与平面垂直，那么这条直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
高中数学必修2单元配套练习试题2.3.1直线与平面垂直的判定及参考答案解析
2.3.1直线与平面垂直的判定姓名:___________班级:______________________1.下列条件中,能使直线m⊥平面α的是( )A.m⊥b ,m⊥c ,b ⊂α,c ⊂αB.m⊥b ,b∥αC.m∩b＝A,b⊥αD.m∥b ,b⊥α2.下列说法中正确的个数是( )①若直线l 与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;②若直线l 与平面α内的两条直线垂直,则l⊥α③若直线l 与平面α内的两条相交直线垂直,则l⊥α;④若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直,则l⊥α.A.4B.2C.3D.13.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是( )A.垂直B.斜交C.平行D.不能确定4.如图,1111D C B A ABCD -为正方体,下面结论:①//BD 平面11D CB ;②BD AC ⊥1;③⊥1AC 平面11D CB .其中正确结论的个数是( )A.0B.1C.2D.35.如图(1),在正方形SG 1G 2G 3中,E,F 分别是边G 1G 2,G 2G 3的中点,沿SE,SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体如图(2),使G 1,G 2,G 3三点重合于G,下面结论成立的是( )A.SG⊥平面EFGB.SD⊥平面EFGC.GF⊥平面SEFD.DG⊥平面SEF6.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,2AB BC ==,11AA =,则1AC 与平面1111A B C D 所成角的正弦值为( )B.2313 7.已知P 为△ABC 所在平面外一点,且PA ,PB ,PC 两两垂直,则下列结论:①PA BC ⊥;②PB AC ⊥;③PC AB ⊥;④AB BC ⊥.其中正确的是( )A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④8.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,BB 1与平面ACD 1所成的角的余弦值为( )C.239.已知△ABC 所在平面外一点P 到△ABC 三顶点的距离都相等,则点P 在平面ABC 内的射影是△ABC 的________.10.在Rt△ABC 中,D 是斜边AB 的中点,AC ＝6,BC ＝8,EC⊥平面ABC,且EC ＝12,则ED ＝_______.11.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动,并且总是保持AP⊥BD 1,则动点P 的轨迹是________.12.如图所示,在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,侧棱AA 1⊥底面ABC,AB ＝AC ＝1,AA 1＝2,∠B 1A 1C 1＝90°,D 为BB 1的中点.求证:AD⊥平面A 1DC 1.13.如图,ABCD 为正方形,过A 作线段SA⊥平面ABCD,过A 作与SC 垂直的平面交SB,SC,SD 于E,K,H,求证:E 是点A 在直线SB 上的射影.14.如图,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD 为矩形,M 、N 分别是AB 、PC 的中点.(2)若∠PDA＝45°,求证:MN⊥平面PCD.参考答案1.D【解析】对于选项A:如果直线b,c 不相交,则m 不一定垂直于平面α;对于选项B:显然不正确;对于选项C:显然不正确,故选D.考点:线面垂直的判定.2.B【解析】对于①②,不能断定该直线与平面垂直,该直线与平面可能平行,也可能斜交,也可能在平面内,所以是错误的,③④是正确的,故选B.考点:线面垂直的判定.3.A【解析】梯形的两腰所在的直线相交,根据线面垂直的判定定理可知A 正确.考点:线面垂直的判定.4.D【解析】由正方体的性质得,BD ∥B 1D 1,结合线面平行的判定定理可得BD ∥平面CB 1D 1,所以①正确;由正方体的性质得 AC ⊥BD,因为AC 是AC 1在底面ABCD 内的射影,所以由三垂线定理可得AC 1⊥BD,所以②正确;由正方体的性质得 BD ∥B 1D 1,由②可得AC 1⊥BD,所以AC 1⊥B 1D 1,同理可得AC 1⊥CB 1,进而结合线面垂直的判定定理得到AC 1⊥平面CB 1D 1,所以③正确.考点:直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面垂直的判定.5.A【解析】由折叠前后不变的元素关系,知SG⊥GE ,SG⊥GF ,又GE∩GF＝G,所以SG⊥平面GEF,故选A.考点:线面垂直的判定.6.D【解析】连接11A C ,因为1111ABCD A B C D -是长方体,所以1AA ⊥平面1111A B C D ,所以11A C 是1AC 在平面1111A B C D 内的射影,所以11A C A ∠为1AC 与平面1111A B C D 所成的角.在11Rt AAC 中,11AA =,13AC ==,1190AAC ∠=︒,所以11111sin 3AA A C A AC ∠==. 考点:线面角的求法.7.A【解析】由PA ,PB ,PC 两两垂直可得PA ⊥平面PBC ,PB ⊥平面PAC ,PC ⊥平面PAB ,所以PA BC ⊥,PB AC ⊥,PC AB ⊥,①②③正确.④错误,假设AB BC ⊥,由PA ⊥平面PBC 得PA BC ⊥,又PA AB A =,所以BC ⊥平面PAB ,又PC ⊥平面PAB ,这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾.考点:线面垂直.8.D【解析】解法一:如图,设正方体的棱长为1,上,下底面的中心分别为1O ,O ,则11OO BB ,1O O 与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1所成的角,即∠O 1OD 1,cos∠O 1OD 1＝11O OOD =.解法二:画出图形,如图,BB 1与平面ACD 1所成的角等于DD 1与平面ACD 1所成的角,在三棱锥D －ACD 1中,由三条侧棱两两垂直且相等得点D 在底面ACD 1内的射影为等边三角形ACD 1的重心,即中心H,连接D 1H,DH,则∠DD 1H 为DD 1与平面ACD 1所成的角,设正方体的棱长为a,则cos∠DD 1H＝3a =考点:求线面角的余弦值9.外心【解析】P 到△ABC 三顶点的距离都相等,则点P 在平面ABC 内的射影到△ABC 三顶点的距离都相等,所以是外心.考点:线面垂直的应用.10.13【解析】如图,∵AC＝6,BC ＝8,∴AB＝10,∴CD＝5.在Rt△ECD 中,EC ＝12,13.考点:线面垂直的应用.11.B1C【解析】BD1⊥平面B1AC,平面B1AC∩平面BCC1B1＝B1C,所以P为B1C上任何一点时,均有AP⊥BD1.考点:线面垂直的应用.12.见解析【解析】证明:∵AA1⊥底面ABC,平面A1B1C1∥平面ABC, ∴AA1⊥平面A1B1C1,∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°,∴A1C1⊥A1B1,又A1B1∩AA1＝A1,∴A1C1⊥平面AA1B1B,又AD⊂平面AA1B1B,∴A1C1⊥AD.由已知计算得AD＝2,A1D＝2,又AA1＝2,∴AD2＋A1D2＝AA21,∴A1D⊥AD,∵A1C1∩A1D＝A1,∴AD⊥平面A1DC1.考点:线面垂直的判定.13.见解析【解析】证明:SA ABCDBC ABCD⊥⎫⎬⊂⎭平面平面⇒SA⊥BC,又∵AB⊥BC,SA∩AB＝A,∴BC⊥平面SAB.又AE⊂平面SAB,∴BC⊥AE,∵SC⊥平面AHKE,AE⊂平面AHKE,∴SC⊥AE.又BC∩SC＝C,∴AE⊥平面SBC,∵SB⊂平面SBC,∴AE⊥SB,即E为A在SB上的射影.考点:线面垂直的应用.14.见解析【解析】证明:(1)如图所示,取PD的中点E,连接AE、NE,∵N为PC的中点,E为PD的中点,∴NE∥CD且NE＝12CD,而AM∥CD且AM＝12AB＝12CD,∴NE∥AM且NE＝AM,∴四边形AMNE为平行四边形,∴MN∥AE.又PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,又∵ABCD为矩形,∴AD⊥CD,又AD∩PA＝A,∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥AE,又AE∥MN,∴MN⊥CD.(2)由(1)可知CD⊥AE,MN∥AE.又∠PDA＝45°,∴△PAD为等腰直角三角形,又E为PD的中点,∴AE⊥PD,∴AE⊥平面PCD. 又AE∥MN,∴MN⊥平面PCD.【考点】线面垂直的证明.。
直线与平面垂直性质定理练习题
2.3.3 直线与平面垂直的性质一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥αB ．若直线l 与平面α垂直，则l 与α内的任一直线垂直C ．若E 、F 分别为△ABC 中AB 、BC 边上的中点，则EF 与经过AC 边的所有平面平行D ．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直2．若M 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )① ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒M ∥n ；③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒M ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n⇒n ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知直线PG ⊥平面α于G ，直线EF ⊂α，且PF ⊥EF 于F ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是( )A ．PE >PG >PFB ．PG >PF >PEC ．PE >PF >PGD ．PF >PE >PG4．PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系不正确的是( )A ．PA ⊥BCB ．BC ⊥平面PAC C ．AC ⊥PBD ．PC ⊥BC 5．下列命题：①垂直于同一直线的两条直线平行； ②垂直于同一直线的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两条直线平行； ④垂直于同一平面的两平面平行． 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且PA ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( )A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心二、填空题7．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．8．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a ∥b成立的条件是________．(只填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．9．如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD 是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；11．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC 和△A′B′C′的重心，求证：GG′⊥α．2.3.4 平面与平面垂直的性质1．平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内________于________的直线与另一个平面垂直．用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒________．2．两个重要结论：(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在________________________．图形表示为：符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β⇒________．(2)已知平面α⊥平面β，a⊄α，a⊥β，那么________(a与α的位置关系)．一、选择题1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则( )A．a⊥βB．a∥βC．a与β相交 D．以上都有可能2．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则( )A．l∥γB．l⊂γC．l与γ斜交 D．l⊥γ3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( )A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条4．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么( )A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行5．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是( ) ①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面A ．4B ．3C ．2D ．16．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6．过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶3 二、填空题7．若α⊥β，α∩β＝l ，点P ∈α，PD /∈l ，则下列命题中正确的为________．(只填序号)①过P 垂直于l 的平面垂直于β； ②过P 垂直于l 的直线垂直于β； ③过P 垂直于α的直线平行于β； ④过P 垂直于β的直线在α内． 三、解答题8．如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥AB ．9．如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，四边形ABCD 是∠DAB ＝60°且边长为a 的菱形．侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．10．如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．。
人教A版高中数学必修二 2-3-1 直线与平面垂直的判定 检测 含答案 精品
2.3.1 直线与平面垂直的判定时间:30分钟，总分：70分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．下列命题中，正确的有( )①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面．⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．A．2个 B．3个 C．4个D．5个【答案】C【解析】②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立.2.一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是( )A．(0°，90°) B．[0°，90°] C．(0°，90°] D．[0°，180°]【答案】B【解析】由线面角的定义知B正确．3.如图，三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的( )A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心【答案】C【解析】∵PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB．又∵AB⊂平面PAB，∴AB⊥PC．又∵AB⊥PH，PH∩PC＝P，∴AB⊥平面PCH.又∵CH⊂平面PCH，∴AB⊥CH.同理BC⊥AH，AC⊥BH.∴H为△ABC的垂心．.4.给出下列三个命题：①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直．其中正确的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】①中三条直线不一定存在两条直线相交，因此直线不一定与平面垂直；②中直线与平面所成角必为直角，因此直线与平面垂直；③根据射影定义知正确．故选C．5.若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面 ( )A．有且只有一个 B．可能有一个，也可能不存在C．有无数多个 D．一定不存在【答案】B【解析】当a与b垂直时，过a且与b垂直的平面有且只有1个，当a与b不垂直时，过a 且与b垂直的平面不存在．故选B。
2020高中数学必修2同步练习：2.3.1 直线与平面垂直的判定 含解析
2.3.1 直线与平面垂直的判定课时过关·能力提升一、基础巩固1.下面条件中,能判定直线l⊥α的是()A.l与平面α内的两条直线垂直B.l与平面α内的无数条直线垂直C.l与平面α内的某一条直线垂直D.l与平面α内的任意一条直线垂直2.在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与AA1垂直的面的个数是()A.1B.2C.3D.6AC和平面A1C1与直线AA1垂直.3.已知直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则b与α所成的角等于()A.40°B.50°C.90°D.150°,知b与α所成的角也是50°.4.如图,如果MC⊥菱形ABCD所在的平面,那么MA与BD的位置关系是()A.平行B.垂直且相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直AC,因为ABCD是菱形,所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD,则BD⊥MC.因为AC∩MC=C,所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC,所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面,因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.5.已知线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍,则AB所在的直线与平面α所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.120°AB, ,AC⊥α,AB∩α=B,则BC是AB在平面α内的射影.因为BC=12所以∠ABC=60°,它是AB所在的直线与平面α所成的角6.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,则在这个空间图形中必有()A.AH⊥平面EFHB.AG⊥平面EFHC.HF⊥平面AEFD.HG⊥平面AEF,AD⊥DF,AB⊥BE,所以折起后AH⊥FH,AH⊥EH,FH∩EH=H,所以AH⊥平面EFH.7.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形且边长为3,BD1与底,则该四棱柱的侧棱长等于__________________.面所成角的正切值为23tan∠DBD1=DD1BD =23,因为BD=3√2,所以DD1=23BD=23×3√2=2√2.√28.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD 的形状一定是.PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.又PC⊥BD,且PC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,PC∩PA=P,所以BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC,所以BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形.9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.证明:B1C⊥AB.,连接BC1,则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C,所以B1C⊥AO.因为BC1∩AO=O,所以B1C⊥平面ABO.由于AB⊂平面ABO,故B1C⊥AB.10.有一根旗杆高12 m,在它的顶端处系两条长13 m的绳子,拉紧绳子,并把它们的下端固定在地面上与旗杆底端不共线的两点处,测得这两点和旗杆底端相距5 m,问能否由此断定旗杆与地面垂直,为什么?.如图,设地面为平面α,PO表示旗杆,PA,PB表示两条绳子,A,B,O三点不共线.∵PO=12 m,PA=13 m,OA=5 m,∴PO2+OA2=PA2,∠POA=90°,即OP⊥OA.同理可证OP⊥OB.∵OA∩OB=O,OA⊂α,OB⊂α,∴PO⊥α.故由此能断定旗杆与地面垂直.二、能力提升1.已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,则下列结论不正确的是()A.CD∥平面PAFB.DF⊥平面PAFC.CF∥平面PABD.CF⊥平面PADABCDEF是正六边形,可得CF∥AB,利用线面平行的判定定理可得CF∥平面PAB,C正确;同理可得CD∥平面PAF,A正确;在正六边形ABCDEF 中,易得DF⊥AF.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥DF,且PA∩AF=A.由线面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAF,B正确.由排除法可知选D.2.若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两条对角线AC,BD的位置关系是()A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交,取BD的中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO.因为AO∩CO=O,所以BD⊥平面AOC,BD⊥AC.又BD,AC异面,故选C.★3.如果P是等边三角形ABC所在平面外一点,且PA=PB=PC=23,△ABC的边长为1,那么PA与底面ABC所成的角是()A.30°B.45°C.60°D.90°,记O为点P在△ABC内的射影.易知O为△ABC的中心,且PO⊥平面ABC,则PA与底面ABC所成的角即为∠PAO,AO=√33AB=√33,PA=23,所以cos∠PAO=AOPA =√32,故∠PAO=30°.故选A.答案:A4.如图,PA ⊥平面ABC ,BC ⊥AC ,则图中直角三角形的个数为 . ⊥平面ABC⊂平面ABC }⇒PA ⊥BCAC ⊥BCPA⋂AC =A }⇒BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ,所以直角三角形有△PAB ,△PAC ,△ABC ,△PBC. 5.如图,已知△ABC 为等腰直角三角形,P 为空间一点,且AC=BC=5√2,PC ⊥AC ,PC ⊥BC , PC=5,AB 的中点为M ,连接PM ,CM ,则PM 与平面ABC 所成的角的大小为 .解析:由PC ⊥AC ,PC ⊥BC ,AC ∩BC=C ,知PC ⊥平面ACB ,所以∠PMC 为PM 与平面ABC 所成的角.因为△ABC 为等腰直角三角形,M 是AB 的中点, 所以AB =√(5√2)2+(5√2)2=10, CM =12AB =5.又PC=5,所以∠PMC=45°.°6.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误．．的是.(只填序号)①BD∥平面CB1D1;②AC1⊥BD;③AC1⊥平面CB1D1;④异面直线AD与CB1所成的角为60°.BD∥B1D1,BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,则BD∥平面CB1D1,所以①正确;由于BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD.所以②正确;可以证明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,又B1D1∩B1C=B1,所以AC1⊥平面CB1D1,所以③正确;由于AD∥BC,则∠BCB1=45°是异面直线AD与CB1所成的角,所以④错误.7.如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E 是BC的中点,连接AE,AC.求证:AE⊥PD.ABCD为菱形,∠ABC=60°,所以△ABC为正三角形.因为E为BC的中点,所以AE⊥BC.因为BC∥AD,所以AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,所以PA⊥AE.又PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,且PA∩AD=A,所以AE⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD,所以AE⊥PD.★8. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°, PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;(2)求证:AE⊥平面PCD.P-ABCD中,因为PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD.所以PB在平面PAD内的射影为PA,即∠APB为PB和平面PAD所成的角.在Rt△PAB中,AB=PA,故∠APB=45°.P-ABCD中,因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD, 所以CD⊥PA.因为CD⊥AC,PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC,所以AE⊥CD.由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.因为E是PC的中点,所以AE⊥PC.又PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD。
2021年高中数学 2.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质练习 新人教A版必修2
2021年高中数学 2.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质练习新人教A版必修2基础梳理1．直线与平面垂直的性质定理．练习1：正方体ABCDA1B1C1D1中，求证AC⊥平面BB1D1D.证明：由正方体的性质可知AC⊥BD，BB1⊥平面AC，所以BB1⊥AC，因为BD与BB1相交，所以AC⊥平面BB1D1D.2．平面与平面垂直的性质定理．练习2：直线与平面不垂直，那么该直线与平面内的所有直线都不垂直对吗？答案：错►思考应用1．垂直于同一平面的两平面平行吗？解析：不一定．可能平行，也可能相交，如相邻的墙面与地面都垂直，但两墙面相交．2．两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直吗？解析：不一定．只有垂直于两平面的交线才能垂直于另一个平面．自测自评1．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则有(D)A．b∥αB．b⊂αC．b⊥αD．b∥α或b⊂α2．两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面(D)A．垂直B．平行C．平行或相交D．平行或相交或直线在另一个平面内3．若直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m ②α⊥β⇒l∥m ③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β其中正确的命题的序号是(D)A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③4．如图，▱ADEF 的边AF 垂直于平面ABCD ，AF ＝2，CD ＝3，则CE ＝13．解析：∵AF∥ED，AF ⊥平面ABCD ，∴ED ⊥平面ABCD.∴ED⊥DC.在Rt △EDC 中，ED ＝2，CD ＝3，∴CE ＝22＋32＝13.基础达标1．△ABC 所在的平面为α，直线l⊥AB，l ⊥AC ，直线m ⊥BC ，m ⊥AC ，则直线l ，m 的位置关系是(C )A ．相交B ．异面C ．平行D ．不确定解析： ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥AB l ⊥AC ⇒l ⊥a ， ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥BC m ⊥AC ⇒m ⊥a. 由线面垂直的性质定理得m∥l，故选C.2．如图，PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，下列结论中不正确的是(C )A ．PB ⊥BC B ．PD ⊥CDC ．PO ⊥BD D ．PA ⊥BD3．已知平面α、β和直线m 、l ，则下列命题中正确的是(D )A ．若α⊥β，α∩β＝m ，l ⊥m ，则l⊥βB ．若α∩β＝m ，l ⊂α，l ⊥m ，则l ⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β解析：选项A缺少了条件：l⊂α；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少条件α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件．4．平面α⊥平面β，直线a∥α，则a与β的位置关系为__________．答案：a∥β或a⊂β或a与β相交5．圆O的半径为4，PO垂直圆O所在的平面，且PO＝3，那么点P到圆上各点的距离是________．答案：5巩固提升6．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3 cm，BD＝12 cm，求线段CD的长．解析：连接AD，在Rt△ABD中，BD＝12，AB＝4，∴AD＝122＋42＝410(cm)．∵AC⊥l，AC⊂面α，α⊥β，α∩β＝l，∴AC⊥Β.又AD⊂β，∴CA⊥AD.在Rt△ADC中，AC＝3，AD＝410，∴CD＝32＋（410）2＝169＝13(cm)．7．已知，△ABC所在平面外一点V，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC.求证：AC⊥BA.证明：过B 作BD⊥VA 于D ，∵平面VAB⊥平面VAC ，∴BD ⊥平面VAC ，∴BD ⊥AC ，又∵VB⊥平面ABC ，∴VB ⊥AC ，又∵BD∩VB＝B ，∴AC ⊥平面VBA ，∴AC ⊥BA.8．如下图(左)所示，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如下图(右)所示的三棱锥ABCF ，其中BC ＝22.(1)证明：DE∥平面BCF ；(2)证明：CF⊥平面ABF.(3)当AD ＝23时，求三棱锥FDEG 的体积V F －DEG . 解析：(1)在等边三角形ABC 中，AD ＝AE ，∴AD DB ＝AE EC，在折叠后的三棱锥ABCF 中也成立， ∴DE ∥BC.又∵DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴DE ∥平面BCF.(2)在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF ⊥BC ，即AF⊥CF，①且BF ＝CF ＝12.∵在三棱锥ABCF 中，BC ＝22， ∴BC 2＝BF 2＋CF 2.∴CF ⊥BF.② ∵BF ∩AF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF.(3)由(1)可知，GE ∥CF ，结合(2)可得GE⊥平面DFG.∴V FDEG ＝V EDFG ＝13×12×DG ×FG ×GE ＝13×12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×32×13＝3324.1．(1)直线与平面垂直的性质：①定义：若a⊥α，b ⊂α，则a⊥b；②性质定理：a⊥α，b ⊥α，则a∥b；③a⊥α，a ⊥β，则α∥β.(2)平面与平面垂直的性质：①性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，m ⊂β，m ⊥l ，则m⊥α.②如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．2．直线与平面垂直的性质、面面垂直的性质，结合其判定定理，其核心思想是转化思想，即实现了线面垂直、线线垂直、面面垂直的相互转化，而且沟通了平行和垂直的内在联系，实现了平行和垂直的相互转化．%d/39768 9B58 魘fr-!,Md< 25118 621E 戞P。
线面垂直与面面垂直垂直练习题
线面垂直与面面垂直垂直练习题第一篇：线面垂直与面面垂直垂直练习题2012级综合和高中练习题2.3线面垂直和面面垂直线面垂直专题练习一、定理填空：1.直线和平面垂直如果一条直线和，就说这条直线和这个平面垂直.2.线面垂直判定定理和性质定理线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理1：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么判定定理2：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么.线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行.性质定理1：垂直于同一条直线的两个平面互相平行。
二、精选习题：1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：①a//b⎫a⊥M⎫a⊥M⎫a//M⎫②③b∥M④⇒⇒b⊥M⇒a//b⎬⎬⎬⎬⇒b ⊥M.a⊥b⎭a⊥M⎭b⊥M⎭a⊥b⎭其中正确的命题是()A.①②B.①②③C.②③④D.①②④2.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有() 第3题图A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF3.设a、b是异面直线，下列命题正确的是()A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直C.过a一定可以作一个平面与b垂直D.过a一定可以作一个平面与b平行4.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,m α和m⊥γ,那么必有()A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ5.有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3 6.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题① 若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，其中真命题的序号是()．．．A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④7.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.求证:VC⊥AB;8.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC 的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.9.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．10.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.(1)求证：NP⊥平面ABCD.(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.11.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.解：已知a∥b，a⊥α.求证：b⊥α.12.已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC.13.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.14.如图，四面体A—BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值.15.如图11(1)，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)求证：D1C⊥AC1；（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由.16.如图12，在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心.求证：A1O⊥平面GBD.17.如图，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，线段AB与两异面直线a、b垂直且相交，线段AB的长为定值m，定长为n（n＞m）的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点.求证：（1）AB⊥MN；（2）MN的长是定值.18.如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3，AB=5，BC=4,AA1=4,点D是AB的中点.（1）求证：AC⊥BC1;（2）求证：AC1∥平面CDB1.面面垂直专题练习一、定理填空面面垂直的判定定理：面面垂直的性质定理：二、精选习题1、正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，AB与CD所成的角等于2、三棱锥P-ABC的三条侧棱相等，则点P在平面ABC上的射影是△ABC的____心.3、一条直线与两个平面所成角相等，那么这两个平面的位置关系为______________4、在正三棱锥中，相邻两面所成二面角的取值范围为___________________5、已知α-l-β是直二面角，A∈α,B∈β,A、B∉l，设直线AB与α成30角，AB=2，Bο到A在l上的射影N，则AB与β所成角为______________.6、在直二面角α-AB-β棱AB上取一点P，过P分别在α,β平面内作与棱成45°角的斜线PC、PD，则∠CPD的大小是_____________7、正四面体中相邻两侧面所成的二面角的余弦值为___________________.8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中.求证：平面ACD1 ⊥平面BB1D1DDA1DC1CAB10、如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：平面PAC⊥平面PBC．BAC11、如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．问△ABC是否为直角三角形，若是，请给出证明；若不是，请举出反例．ACB第二篇：线面,面面垂直线面，面面垂直⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。
直线、平面垂直的判定及其性质_练习题1(答案)
直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1、“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件2、如果一条直线l与平面α的一条垂线垂直，那么直线l与平面α的位置关系是（）A、l⊂αB、l⊥αC、l∥αD、l⊂α或l∥α3、若两直线a⊥b，且a⊥平面α，则b与α的位置关系是（）A、相交B、b∥αC、b⊂αD、b∥α，或b⊂α4、a∥α，则a平行于α内的( )A、一条确定的直线B、任意一条直线C、所有直线D、无数多条平行线5、如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的 ( )A、一条直线不相交B、两条直线不相交C、无数条直线不相交D、任意一条直线都不相交6、若直线l上有两点P、Q到平面α的距离相等，则直线l与平面α的位置关系是( )A、平行B、相交C、平行或相交D、平行、相交或在平面α内二、填空题7、过直线外一点作直线的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个.8、过平面外一点作该平面的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个.9、过一点可作________个平面与已知平面垂直.10、过平面α的一条斜线可作_________个平面与平面α垂直.11、过平面α的一条平行线可作_________个平面与平面α垂直.三、解答题12、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面13、过一点和已知平面垂直的直线只有一条14、有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）,C D，如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？15、已知直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l求证：AP在α内参考答案一、选择题1、B ；2、D ；3、D ；4、D ；5、D ；6、D二、填空题7、无数，一，一，无数8、一，无数，无数，一9、无数10、一个11、一个三、解答题12、已知：a∥b,a⊥α 求证：b⊥α证明：设m 是α内的任意一条直线αααα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥b m m b b a m a m a //13、已知：平面α和一点P 求证：过点P 与α垂直的直线只有一条证明：不论P 在平面α内或外，设直线PA α⊥，垂足为A（或P ） 若另一直线PB α⊥，设,PA PB 确定的平面为β，且a αβ=I ∴,PA a PB a ⊥⊥又∵,PA PB 在平面β内，与平面几何中的定理矛盾 所以过点P 与α垂直的直线只有一条βαa P B A14、解：在ABC∆和ABD∆中，∵8,6,10=====AB m BC BD m AC AD m Array∴222222+=+==6810AB BC AC222222+=+==AB BD AD6810∴90ABC ABD∠=∠=o即,⊥⊥AB BC AB BD又∵,,B C D不共线∴AB⊥平面BCD，即旗杆和地面垂直；15、证明：设AP与l确定的平面为β如果AP不在α内，则可设α与β相交于直线AM∵l⊥α，∴l⊥AM又AP⊥l，于是在平面β内过点A有两条直线垂直于l，这是不可能的所以AP一定在α。
人教A高中数学必修二课时分层训练：第二章 点直线平面之间的位置关系 23 231 含解析
第二章2．3直线、平面垂直的判定及其性质2．3．1直线与平面垂直的判定课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是()A．平行B．垂直C．在平面α内D．无法确定解析：选D当平面α内的两条直线相交时，直线l⊥平面α，即l与α相交，当面α内的两直线平行时，l⊂α或l∥α或l与α斜交．2．下列说法中正确的个数是()①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α；③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α.A．3 B．2C．1 D．0解析：选B对于①不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的，②③是正确的．3．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直解析：选C连接AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P A⊥平面ABC，P A＝8，则P到BC 的距离是()A. 5 B．2 5C．3 5 D．4 5解析：选D取BC中点为D，连接AD.∵AB＝AC＝5，BC＝6.∴AD⊥BC，AD＝4，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.AD∩BC＝D，∴BC⊥平面P AD，∴BC⊥PD，∴PD的长即为P到BC的距离，P A＝8，AD＝4，∴PD＝82＋42＝4 5.5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为()A.23 B.33C.23 D.63解析：选D如图，设正方体的棱长为1，上、下底面的中心分别为O1，O，则OO1∥BB1，O1O与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角，即∠O1OD1，cos∠O1OD1＝|O1O||OD1|＝132＝63.6．在三棱锥V－ABC中，当三条侧棱VA，VB，VC之间满足条件________时，有VC⊥AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)解析：只要VC⊥平面VAB，即有VC⊥AB；故只要VC⊥VA，VC⊥VB即可．答案：VC⊥VA，VC⊥VB(答案不唯一，只要能保证VC⊥AB即可)7．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有______________________；(2)与AP垂直的直线有______________________．解析：(1)∵PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC.∴PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.(2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，∴BC⊥平面P AC，∴BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC8.正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角为________．解析：连接A1C1，交B1D1于E，则A1C1⊥B1D1，即A1E⊥B1D1.又DD1⊥A1C1，即DD1⊥A1E，∴A1E⊥平面BB1D1D.连接BE，则∠A1BE是A1B与对角面BB1D1D所成的角．在Rt△A1BE中，∵A1E＝12A1B，∴∠A1BE＝30°，即A1B与对角面BB1D1D所成的角为30°.答案：30°9．如图所示，在直角△BMC中，∠BCM＝90°，∠MBC＝60°，BM＝5，MA＝3且MA⊥AC，AB＝4，求MC与平面ABC所成角的正弦值．解：因为BM＝5，MA＝3，AB＝4，所以AB2＋AM2＝BM2，所以MA⊥AB.又因为MA⊥AC，AB，AC⊂平面ABC，且AB∩AC＝A，所以MA⊥平面ABC，所以∠MCA即为MC与平面ABC所成的角．又因为∠MBC＝60°，所以MC＝53 2，所以sin∠MCA＝MAMC＝3532＝235.10．如图所示，在锥体P－ABCD中，ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，P A＝PD，E，F分别是BC，PC的中点．证明：AD⊥平面DEF.证明：取AD的中点G，连接PG，BG.∵P A＝PD，∴AD⊥PG.设菱形ABCD边长为1.在△ABG中，∵∠GAB＝60°，AG＝12，AB＝1，∴∠AGB＝90°，即AD⊥GB.又PG∩GB＝G，∴AD⊥平面PGB，从而AD⊥PB.∵E，F分别是BC，PC的中点，∴EF∥PB，从而AD⊥EF.又DE∥GB，AD⊥GB，∴AD⊥DE，∵DE∩EF＝E，∴AD⊥平面DEF.‖层级二‖………………|应试能力达标|1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1C B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB答案：B2．下面四个命题：①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个．其中正确的是()A．①④B．②③C．①②D．③④解析：选B过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故①不正确；过一点和一个平面垂直的平面有无数个，故④不正确；易知②③均正确．故选B.3．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是() A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m解析：选B根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确．4．如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：选D选项A正确，∵SD⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥SD，又由ABCD为正方形，∴AC⊥BD，又BD∩SD＝D，∴AC⊥平面SBD⇒AC⊥SB；选项B正确，∵AB∥CD，CD⊂平面SCD，AB⊄SCD，∴AB∥平面SCD；选项C正确，设AC∩BD＝O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等；选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，面DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．5．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________．解析：连接EB，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即直线EF与平面ABCD所成的角．在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝5，则tan ∠FEB＝55.答案：5 56．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________.解析：∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B1M∩B1C1＝B1，∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，即∠C1MN＝90°.答案：90°7．如图所示，将平面四边形ABCD沿对角线AC折成空间四边形，当平面四边形ABCD满足________时，空间四边形中的两条对角线互相垂直．(填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能情况)解析：在平面四边形中，设AC与BD交于E，假设AC⊥BD，则AC⊥DE，AC⊥BE.折叠后，AC与DE，AC与BE依然垂直，所以AC⊥平面BDE，所以AC⊥BD.若四边形ABCD为菱形或正方形，因为它们的对角线互相垂直，同上可证AC ⊥BD.答案：AC⊥BD(或四边形ABCD为菱形、正方形等)8．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.(1)求证：AB1⊥平面A1BC1；(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．解：(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，∴AB1⊥BA1.由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B，又∵AB1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1.又∵BA1∩A1C1＝A1，∴AB1⊥平面A1BC1.(2)连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1，∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角．在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边的中点，∴A1D＝12×B1C1＝22.在Rt △A 1DA 中，AD ＝A 1D 2＋A 1A 2＝62.∴sin ∠A 1DA ＝A 1A AD ＝63，即AD 与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值为63.。
231直线与平面垂直的判定练习题
直线与平面垂直的判定练习题1.如果一条直线l 与平面α的一条垂线垂直，那么直线l 与平面α的位置关系是 （ ） A.l ⊂α B.l ⊥α C.l ∥α D.l ⊂α或l ∥α2.若两直线a⊥b，且a⊥平面α，则b 与α的位置关系是 （ ）A.相交B.b∥αC.b ⊂αD.b∥α，或b ⊂α 3.a ∥α，则a 平行于α内的( )A.一条确定的直线B.任意一条直线C.所有直线D.无数多条平行线 4.若直线l 上有两点P.Q 到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.平行.相交或在平面α内 5.下面各命题中正确的是（ ）A.直线a ，b 异面，a ⊂α，b ⊂β，则α∥β；B.直线a ∥b ，a ⊂α，b ⊂β，则α∥β；C.直线a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β；D.直线a ⊂α，b ⊂β，α∥β，则a ，b 异面. 6．已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ 其中正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③7.在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，PA ⊥平面ABC ，PA ＝8，则P 到BC 的距离等于（ ） A ．5 B ．52 C ．35 D ．45 8.以下命题正确的有（ ）．①//a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭. ②//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭. ③,,l m l n l m n ααα⊥⊥⎫⇒⊥⎬⊂⊂⎭；④l ml m αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭是平面内的任意直线．A ． ①②B ． ①②③C ． ②③④D ． ①②④9.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面AC ，且四边形ABCD 是矩形，则该四棱锥的四个侧面 中是直角三角形的有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个10．在正方形S G 1G 2G 3中，E .F 分别是G 1G 2.G 2G 3的中点，现沿S E .S F .EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1.G 2.G 3重合为点G ，则有（ ）.A. SG ⊥面EFGB. EG ⊥面SEFC. GF ⊥面SEFD. SG ⊥面SEF 11. 已知直线l α⊥平面，有以下几个判断：①若m l ⊥，则m α//；②若m α⊥，则m l //；③若m α//，则m l ⊥；④若m l //，则m α⊥．上述判断中正确的是（2 ） Ａ．①②③Ｂ．②③④Ｃ．①③④Ｄ．①②④12.已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．下列命题中不正确的是( 1 ) A ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥nB ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αC ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β13.已知两条不同的直线m 、n ，两个不同的平面α、β，则下列命题中的真命题是( 1 )A ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥nB ．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥nC ．若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥nD ．若m ∥α，n ⊥β，α⊥β，则m ∥n14.设α、β、γ是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l 上两点到α的距离相等，则l ∥α；③若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β；④若α∥β，l ⊄β，且l ∥α，则l ∥β. 其中正确的命题是( 4 )A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④15．已知l 、m 是不同的两条直线，α、β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是(4 )A ．若l ⊥α，α⊥β，则l ∥βB ．若l ∥α，α⊥β，则l ∥βC ．若l ⊥m ，α∥β，m ⊂β，则l ⊥αD ．若l ⊥α，α∥β，m ⊂β，则l ⊥mABCDP16.用，，表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题： ① 若∥，∥，则∥； ② 若⊥，⊥，则⊥； ③ 若∥，∥，则∥； ④ 若⊥，⊥，则∥.其中真命题的序号是( ).A.① ②B.② ③C.① ④D.③ ④ 17.下列命题中错误的是( ).A.如果平面⊥平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C.如果平面⊥平面，平面⊥平面，，那么⊥平面D.如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 18.已知两条直线，，两个平面，，给出下面四个命题： ①∥，⊥⊥； ②∥，，∥； ③∥，∥∥； ④∥，∥，⊥⊥.其中正确命题的序号是19. 如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC BC ⊥，点D 是AB 的中点，求证：（1）1AC BC ⊥ （2）AC 1//平面CDB 1；20.如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．证明：AP ⊥BC ；21.如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的任意一点,过A 作AE PC ⊥于E ，求证：(1) BC ⊥平面PAC ； (2) AE ⊥平面PBC22.如图,四边形ABCD 是菱形,且PA ⊥平面ABCD,Q 为PA 的中点，求证： （1）PC//面QBD 、(2)BD ⊥平面PAC23. 如图所示，直角ABC ∆所在平面外一点S ，且SC SB SA ==．(1)求证：点S 与斜边AC 中点D 的连线SD ⊥面ABC ；(2)若直角边BC BA =，求证：BD ⊥面SAC ．24.如图所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB ，SC ，SD 于E ，F ，G ． 求证：AE SB AG SD ⊥⊥，．QS ABC FE D G25、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（１）C 1O//面11AB D ；（2 ）1AC ⊥面11AB D ． (14分)26如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，E 是SD 的中点． （Ⅰ）求证：//SB 平面EAC ；（Ⅱ）求证：AC BE ⊥．27.如图，已知四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，侧棱BB 1⊥底面ABCD ，E 是侧棱CC 1的中点。
高一数学人教A版必修2课后训练：231直线与平面垂直的判定含答案.doc
2・3.1直线与平面垂直的判定练习1. 下面条件中，能判定直线/丄幺的是（A. /与平面。
内的两条直线垂直C. /与平面u 内的某一条直线垂直2. 在正方体ABCD-A {B,CyD {的六个面中, A. 1 B. 23. 直线a 与平面a 所成的角为50。
，直线B. /与平面a 内的无数条直线垂直 D. /与平面a 内的任意一条直线垂直 与力禺垂直的而的个数是（）C. 3D. 6b//a,则b 与a 所成的角等于（）A. 40° B. 50° C. 90° D. 150° 4. 己知/,加，77是不同的直线，g B ，7是不同的平面，给岀下列说法：① 若m //1,且/丄a,则加丄G ；② 若 m///,且/〃a,则 m//a ；③ 若 yHa=n f 则/〃加〃并；④ 若 n//p,则 ni//1.其中表述正确的有 __________ .5. 已知丹垂直于平行四边形ABCD 所在的平面，若PC 丄BD,则平行四边形ABCD 一定是 __________ .6. _______________________________________________________ 如图，已知为等腰直角三角形，P 为空间一点，且AC=BC=5y/2f PC 丄/C, PC 丄BC, PC=5,力3的中点为M,则PM 与平面所成的角为 ___________________________________________________ .7.如图，ABCD ・4\B\C\D 、为正方体，下面结论错误的是 ____________• •①〃平面CB\D\；®AQ±BD；③ /C ］丄平面CB\D“④ 异面直线AD 与CB 、所成的角为60°.8.有一根旗杆高12 m,在它的顶端处系两条长13 m 的绳子，拉紧绳子，并把它们的 下端固定在地面上与旗杆底端不共线的两点处，测得这两点和旗杆底端相距5 m,问能否由 此断定旗杆与地而垂直，为什么？9・如图，已知四棱锥P/3CD,底面ABCD 为菱形，刃丄平面ABCD, ZABC=60。
直线与平面垂直的判定及性质练习题
直线与平面垂直的判定及性质一、选择题1．两异面直线在平面α内的射影（）A．相交直线B．平行直线C．一条直线—个点D．以上三种情况均有可能2．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（）A．有且只有—个B．可能存在也可能不存在C．有无数多个D．—定不存在3．在空间，下列哪些命题是正确的（）①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同—个平面的两条直线互相平行．A．仅②不正确B．仅①、④正确C．仅①正确D．四个命题都正确4．若平面α的斜线l在α上的射影为l′，直线b∥α，且b⊥l′，则b与l（）A．必相交B．必为异面直线C．垂直D．无法确定5．下列命题①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线；②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影；③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长．其中，正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个n4个6．在下列四个命题中，假命题为（）A．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直B．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边C．过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内D．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面7．已知P是四边形ABCD所在平面外一点且P在平面ABCD 内的射影在四边形ABCD内，若P到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（）A．圆内接四边形B．矩形C．圆外切四边形D．平行四边形8．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离等于（）A．B．C．3D．4二、填空题9．AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线A′A_________．10．如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l＝β∩γ，l⊥α，m α和m⊥γ，现给出以下四个结论：①α∥γ且l⊥m；②αγ且m∥β③αβ且l⊥m；④αγ且l⊥m；其中正确的为“________”．（写出序号即可）11．在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有____________个．12．如图，正方形ABCD，P是正方形平面外的一点，且PA⊥平面A BCD则在△PAB、△PBC、△PCD、△PAD、△PAC及△PBD 中，为直角三角形有_________个．13．给出以下四个命题（1）两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线；55255（2）两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线；（3）两条异面直线在同一平面内的射影—定是两条相交直线；（4）一个锐角在平面内的射影一定是锐角．其中假命题的共有_________个．14．若一个直角在平面α内的射影是一个角，则该角最大为___________．三、解答题15．已知直线a∥平面α,直线b⊥平面α，求证：a⊥b．16．如图，在长方体AC1中，已知AB＝BC＝a，BB1＝b（b＞a），连结BC1，过B l作B1⊥BC1交CC1于E，交BC1于Q，求证：AC⊥平面EB l D117．如图在△ABC中，已知∠ABC＝90°，SA⊥△ABC所在平面，又点A在SC和SB上的射影分别是P、Q．求证：PQ⊥SC．18．已知在如图中，∠BAC在平面α内，点P α，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，垂足分别是E、F、O，PE＝PF，求证：∠BAO＝∠CAO，19．已知：点P与直线a，试证；过点P与a垂直的直线共面．20．四面体ABCD的棱AB⊥CD的充要条件是AC2＋BD2＝AD2＋BC2．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
直线与平面垂直的判定练习题
1.如果一条直线I 与平面a 的一条垂线垂直，那么直线I 与平面a 的位置关系是 （
2.若两直线a 丄b ,且a 丄平面a ,则b 与a 的位置关系是
（
5. 下面各命题中正确的是（
A.直线 a , b 异面，a s , fc.P ,则a //P ；
B.直线 a // b ,
D. 直线圧a , fcP , a // P ,贝U a , b 异面.
6. 已知•两条直线m, n , •两个平面a ,P ，给出下面四个命题:
a 丄a 卜=
b 丄^ .② a//b.
b 丄a J ④^m U I 丄G •
m 是平面Ct 内的任意直线J
A .①②
B . ①②③
C . ②③④
D . ①②④
A. l Cot
B. C. I // a
D. A.相交 B. b // a C.b D. b // a ,或 b cot
3.a // a ,贝U a 平行于a 内的（ ）
A. 一条确定的直线
B.
任意一条直线 C.所有直线 D. 无数多条平行线 4. 若直线I 上有两点P.Q 到平面a 的距离相等，则直线I 与平面
a 的位置关系是（ A.平行 B. 相交 C. 平行或相交 D.
平行.相交或在平面 C.直线a 丄b , a 丄a , b 丄P ,则a 丄P ； ① m//n,m 』a= n 丄a ② a //P ,m ua , n u m// n ③ m// n,m//a= n//a
④a // P , m// n,m 』a= n 丄P 其中正确命题的序号是
A.
①③ B .②④
C .②③ .①④ PA=8,贝U P 到BC 的距离等于（ 2^5
8.以下命题正确的有（
). ③I 丄mJ 丄n ]= I * ； m u Ct ,n ua J
① a//b a 丄a J
面体，使G. G. G 重合为点G,则有（
a ,则m 丄I ；④若m// I ，则m 丄a .上述判断中正确的是（2
）
a 3是两个不同的平面.下列命题中不正确的是 （1 ） 14.设a 3 Y 是三个不重合的平面，I 是直线，给出下列命题 ①若a 丄3, 3丄Y 贝U a 丄Y ②若I 上两点到a 的距离相等，则I // a ③若I 丄a, I // 3,贝U a 丄3； ④若all B, I ? B,且I // a 贝U I // 3 其中正确的命题是（4 ）
A .①②
B .②③
C .②④
D .③④
15 .已知I 、m 是不同的两条直线，a 3是不重合的两个平面，贝U 下列命题中为真命题的是（4
）
C .若 I 丄m , all 3, m? 3,则 I 丄 a
D .若 I 丄 a, all 3 m? 3,则 I 丄m
9.如图，在四棱锥P- ABCD 中，PA 丄平面AC ,
且四边形ABCD 是矩形，则该四棱锥的四个侧面
中是直角三角形的有（ ). A. 1个 B. 2个
D. 4个
10.在正万形 SGGG 中，E. F 分别是GG. GG 的中点,
现沿SESF. EF 把这个正方形折成一个四
A. SG 丄面 EFG
B. EG 丄面 SEF
C. GF 丄面 SEF
D. SG 丄面 SEF
11.
已知直线丨丄平面a ,有以下几个判断: ①若m 丄丨，则m// a ；②若m 丄a ，则m// l ；③若 m// A. ①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②④ A 」 m // a aP 3— n , 则1 m // n
B .若 m // 1 n , m ± a, 则 n 丄
a
C .若 m 丄 a m 丄3, 则 all 3
D .若 m 丄 a m? 3 则 a 丄 3 13.已知两: 条不1 司白 勺直线 m 、 n , 两个不同的平面 A 」 m 丄 a, n 丄3, a 丄 3, 则m 丄n B .若 m // a, n // 3, all 3, 则 m // n
C .若 m 丄 a, n // 3, a 丄 -3, 则m 丄n
D .若 m // a, n 丄3, a 丄3, 则 m // n a 3,则下列命题中的真命题是（1 ） A .若I 丄a a 丄3则I // 3
B .若 I //a, a 丄 3,则 I 13
D
n 是两条不同的直线, 12.已m 0
16.用fl , 5, C 表示三条不同的直线, 卩表示平面，给出下列命
题:
③若a / ,6 /，则d / ； 其中真命题的序号是（ ).
④若 a ，则 a //b .
A.①②
B. ②③
C. ①④
D. ③④
17.下列命题中错误的是（ A.如果平面世丄平面0 , ）.
那么平面a 内一定存在直线平行于平面/i?
B. 如果平面比不垂直于平面0，那么平面比内一定不存在直线垂直于平面/
C. 如果平面比丄平面r ，平面0丄平面F ，龙n 阳，那么/丄平面y
D. 如果平面世丄平面P ，那么平面a 内所有直线都垂直于平面0
18.已知两条直线沟，”，两个平面隹，g ，给出下面四个命题： 痕
必，叫匸// H ;
川//M ,川丄GRU 丄P .
①川//M ,川丄必二＞»丄比；②比//0, ③川 // M ,川 // G n H // G ;④ £ // “，
其中正确命题的序号是
19.如图，在直三棱柱 AB& A i BiG 中, AC 丄 BC , 点D 是AB 的中点,
斗求证：（1） AC 丄BC i (2) AG// 平面 CDB;
20.如图，在三棱锥P - ABC 中，AB = AC ，D 为BC 的中点, 证明：AP 丄BC ; PO 丄平面ABC ，垂足O 落在线段AD
上.
B
①若a / , 6 ///，则a /// ；
21.如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于 A 、B 的任意一点，过A 作 AE 丄PC 于E ,
求证：(1) BC 丄平面PAC ; 22.如图，四边形ABCD 是菱形，且P 从平面ABCD,C 为PA 的中点，求证:
23.如图所示，直角 AABC 所在平面外一点 S ，且SA=SB = SC .
(1)求证：点S 与斜边AC 中点D 的连线SD 丄面ABC ；
⑵若直角边BA = BC ，求证：BD 丄面SAC .
24.如图所示，ABCD 为正方形，SA 丄平面ABCD ，过A 且垂直于
F ，
G .
求证：AE 丄SB, AG 丄SD .
PAC (2) AE 丄平面PBC
1
25、已知正方体 ABCD-ABC I D I , O 是底ABCD 对角线的交点.
求证：(1) C i O//面 ABD i ；
（2 ） AC 丄面 AB ,D 1 . （14 分）
26如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，SD 丄平面ABCD , E 是SD 的中点.
27..如
图， (I) 求证：AC 丄平面BDD 1B 1；
(II) 求证：AC// 平面 B 1DE 。
(I)求证: SB// 平面 EAC ； (n)求证: AC 丄 BE . 已知四棱柱 ABCD — A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，侧棱 BB 1±底面ABCD , E 是侧棱CC 1的中点。