高中数学导数的计算PPT课件
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高中数学选修2-2第1章第2节导数的计算课件
f′(x)＝__a_x_ln__a_(_a_>_0)
f′(x)＝__e_x_______ 1
f′(x)＝___x_ln__a____(a>0 且 a≠1) 1
f′(x)＝__x________
数学 选修2-2
1．指数函数与对数函数的导数公式的记忆
对于公式(logax)′＝
1 xln
a
，(ax)′＝axln
ห้องสมุดไป่ตู้
∴ lim Δx→0
2x＋Δx＋xx－＋2Δx＝2x－x22.
数学 选修2-2
[问题3] F(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？ [提示3] F(x)的导数等于f(x)，g(x)导数和．
[问题 4] [提示 4]
试说明 y＝cos3x－π4如何复合的． 令 u＝g(x)＝3x－π4，y＝f(u)＝cos u，
导数几何意义的应用
已知曲线方程y＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切 的直线方程．
[思路点拨] 解决切线问题的关键是求切点的坐标，要注 意区分是曲线在某点处的切线还是过某点的切线．
设出切点 → 函数求导 → 写出切线方程 → 条件代入 → 解出切点 → 得出答案
数学 选修2-2
设 P(x0，y0)为切点，则切线斜率
数学 选修2-2
已知 f(x)＝x2，g(x)＝2x. [问题 1] f(x)，g(x)的导数分别是什么？ [提示 1] f′(x)＝2x，g′(x)＝－x22.
数学 选修2-2
[问题2] 试求F(x)＝f(x)＋g(x)的导数．
[提示 2] ΔΔxy＝x＋Δx2＋xΔ＋2xΔx－x2＋2x
＝2x＋Δx＋xx－＋2Δx，
数学 选修2-2
第一章
f′(x)＝__e_x_______ 1
f′(x)＝___x_ln__a____(a>0 且 a≠1) 1
f′(x)＝__x________
数学 选修2-2
1．指数函数与对数函数的导数公式的记忆
对于公式(logax)′＝
1 xln
a
，(ax)′＝axln
ห้องสมุดไป่ตู้
∴ lim Δx→0
2x＋Δx＋xx－＋2Δx＝2x－x22.
数学 选修2-2
[问题3] F(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？ [提示3] F(x)的导数等于f(x)，g(x)导数和．
[问题 4] [提示 4]
试说明 y＝cos3x－π4如何复合的． 令 u＝g(x)＝3x－π4，y＝f(u)＝cos u，
导数几何意义的应用
已知曲线方程y＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切 的直线方程．
[思路点拨] 解决切线问题的关键是求切点的坐标，要注 意区分是曲线在某点处的切线还是过某点的切线．
设出切点 → 函数求导 → 写出切线方程 → 条件代入 → 解出切点 → 得出答案
数学 选修2-2
设 P(x0，y0)为切点，则切线斜率
数学 选修2-2
已知 f(x)＝x2，g(x)＝2x. [问题 1] f(x)，g(x)的导数分别是什么？ [提示 1] f′(x)＝2x，g′(x)＝－x22.
数学 选修2-2
[问题2] 试求F(x)＝f(x)＋g(x)的导数．
[提示 2] ΔΔxy＝x＋Δx2＋xΔ＋2xΔx－x2＋2x
＝2x＋Δx＋xx－＋2Δx，
数学 选修2-2
第一章
北师大版高中数学选择性必修第二册2.4 导数的四则运算法则【课件】
得x＝0或2(x＝0舍去)，
所以切线方程为x＋y－4＝0.
方法归纳
关于函数导数的应用及其解决方法
应用
方法
求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉
及切线问题的综合应用．
先求出函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方程；
若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件
求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．
＝0＋cf ′(x)＝cf ′(x)，即 [cf(x)]′＝cf ′(x)．
(2)由上述结论及法则1可得[af(x)＋bg(x)]′＝af ′(x)＋bg ′(x)，其中a，b为常
数．
(3) 函 数 的 积 的 导 数 可 以 推 广 到 有 限 个 函 数 的 乘 积 的 导 数 ， 即
[u(x)v(x)×…×w(x)]′ ＝ u ′(x)v(x)×…×w(x) ＋ u(x)v ′(x)×…×w(x) ＋ … ＋
(g(x)≠0)
语言叙述
两个函数的和(差)的导数，等于这两
个函数的导数的和(差)．
两个函数的积的导数，等于第一个函
数的导数乘以第二个函数，加上第一
个函数乘以第二个函数的导数．
两个函数的商的导数，等于分子的导
数乘以分母，减去分子乘以分母的导
数，再除以分母的平方．
状元随笔 法则1：函数的和(差)的导数
u(x)v(x)×…×w ′(x).
法则3：函数的商的导数
f x
(1)注意[
g x
f ′(x)
]′≠
.
g ′(x)
f x
(2)(特殊化)当f(x)＝1，g(x)≠0时，
g x
1
导数运算ppt课件
fa＋Δx－fa＋fa－fa－Δx Δx
＝ lim Δx→0
fa＋ΔΔxx－fa＋－lΔimx→0
fa－Δx－fa －Δx
＝A＋A＝2A.
答案：2A
设 f(x)为可导函数，且满足lim x→0
f1－f2x1－2x＝－1，则过曲
线 y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2
B．－1
C．1
f(x0)，则当Δx≠0时，商
fx0＋Δx－fx0 Δx
Δy ＝__Δ_x___.称为函数y
＝f(x)从x0到x1的平均变化率．
2．(1)平均速度 设物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)，在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内，物体运动的平均速度是 v0＝ft0＋ΔΔtt－ft0＝_ΔΔ_st_. (2)瞬时速度 设物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)，当 Δt 趋近于 0 时，函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内的平均变化率ΔΔst ＝ ft0＋ΔΔtt－ft0趋近于常数，我们把这个常数称为 t0 时刻的瞬时 速度．
2．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导 数”的区别与联系
(1)函数在一点处的导数 f ′(x0)是一个常数，不是变量． (2)函数的导数，是针对某一区间内任意点 x 而言的．函 数 f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的 每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f ′(x0)．根据 函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是 函数 f(x)的导函数 f ′(x)．
解析：f ′(x)＝3ax2＋2bx－3， 由题意±1 是方程 f ′(x)＝0 的根， ∴－23ba＝0，－1a＝－1，故 a＝1，b＝0. 曲线方程为 y＝x3－3x，点 A(0,16)不在曲线上． 设切点为 M(x0，y0)，则 y0＝x03－3x0. ∵f ′(x0)＝3(x20－1)， ∴切线方程为 y－y0＝3(x20－1)(x－x0)．
人教版高中数学选择性必修2《导数的四则运算法则》PPT课件
特别地 , 若f ( x ) = e x , 则f' ( x ) = e x ;
1
6. 若f ( x ) = loga x, 则f' ( x ) =
(a > 0 , 且a 1);
xlna
1
特别地 , 若f ( x ) = lnx, 则f' ( x ) = .
x
探究一：两个函数的和（差）的导数
() = , () = ,如何计算[() + ()]’与[() − ()]’它们与
两个函数积的导数
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
[f(x)g(x)]′＝_______________________________
两个函数商的导数
fx
gx ′＝
f′xgx－fxg′x
[gx]2
____________________ (g(x)≠0)
探究二：两个函数的积（商）的导数
() = , () = ,如何计算[() + ()]’与[() − ()]’它们与
’()和’()有什么关系？
[() + ()]’ ≠ ’()’()
() ’ ’()
() ≠ ’()
探究新知
导数的运算法则2:
即：
15x y 24 0．
小结反思
小结
导数的四则运算法则
设两个函数分别为 f(x)和 g(x)，则：
两个函数和的导数
f′(x)＋g′(x)
[f(x)＋g(x)]′＝_________________
两个函数差的导数
f′(x)－g′(x)
[f(x)－g(x)]′＝_________________
b 1
1
6. 若f ( x ) = loga x, 则f' ( x ) =
(a > 0 , 且a 1);
xlna
1
特别地 , 若f ( x ) = lnx, 则f' ( x ) = .
x
探究一：两个函数的和（差）的导数
() = , () = ,如何计算[() + ()]’与[() − ()]’它们与
两个函数积的导数
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
[f(x)g(x)]′＝_______________________________
两个函数商的导数
fx
gx ′＝
f′xgx－fxg′x
[gx]2
____________________ (g(x)≠0)
探究二：两个函数的积（商）的导数
() = , () = ,如何计算[() + ()]’与[() − ()]’它们与
’()和’()有什么关系？
[() + ()]’ ≠ ’()’()
() ’ ’()
() ≠ ’()
探究新知
导数的运算法则2:
即：
15x y 24 0．
小结反思
小结
导数的四则运算法则
设两个函数分别为 f(x)和 g(x)，则：
两个函数和的导数
f′(x)＋g′(x)
[f(x)＋g(x)]′＝_________________
两个函数差的导数
f′(x)－g′(x)
[f(x)－g(x)]′＝_________________
b 1
高中数学-函数的导数及运算法则精品ppt课件
2 2
1 1 a ( 同理,另一条公切线段P’Q’的中点也是 2 , 2 ).
所以公切线段PQ和P’Q’互相平分.
练习1、若直线y =3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.
3 2 练习2、设三次曲线 y x x 3 x 在原点处的切 2
3
a=4
线为l1,平行于l1的另一条切线为l2. 求l1、l2的方程;
基本初等函数的导数
导数运算法则
[ f ( x ) g( x )] f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )
f ( x) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) [ ] g( x ) [ g( x )]2
(a x ) a x ln a (a 0)
2
1 x y 0 4
1 1 ( , ) 2 4
例.如图，设直线l1与曲线y x 相切于点P，直线 l2过点P且垂直于l1。若l2交x轴于Q点，又作PK垂直于 x轴于点K，求KQ的长。
设：P ( x0 , x0 )
1 则：k1 , k 2 2 x 0 2 x0
y
l1
P
O
K
Q
x
l2
x (e ) e x
1 (log a x ) (a 0, a 1) x ln a
1 (ln x ) x
练习一
1.在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线方程。
y 13 x 14
2.求曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程.
x y 1 0
3.求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.
y 2 x 1, y 10 x 25
1 1 a ( 同理,另一条公切线段P’Q’的中点也是 2 , 2 ).
所以公切线段PQ和P’Q’互相平分.
练习1、若直线y =3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.
3 2 练习2、设三次曲线 y x x 3 x 在原点处的切 2
3
a=4
线为l1,平行于l1的另一条切线为l2. 求l1、l2的方程;
基本初等函数的导数
导数运算法则
[ f ( x ) g( x )] f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )
f ( x) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) [ ] g( x ) [ g( x )]2
(a x ) a x ln a (a 0)
2
1 x y 0 4
1 1 ( , ) 2 4
例.如图，设直线l1与曲线y x 相切于点P，直线 l2过点P且垂直于l1。若l2交x轴于Q点，又作PK垂直于 x轴于点K，求KQ的长。
设：P ( x0 , x0 )
1 则：k1 , k 2 2 x 0 2 x0
y
l1
P
O
K
Q
x
l2
x (e ) e x
1 (log a x ) (a 0, a 1) x ln a
1 (ln x ) x
练习一
1.在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线方程。
y 13 x 14
2.求曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程.
x y 1 0
3.求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.
y 2 x 1, y 10 x 25
导数的运算_课件
解： (1)405
(2) (3)1 (4)1
练习3 解： y'=-sinx
练习4 解：
和(或差)的导数
设
，g(x)=x，计算[f(x)+g(x)]'与[f(x)-g(x)]，它
们与f(x)和g'(x)有什么关系？再取几组函数试试，上述关
系仍然成立吗？由此你能想到什么?
若f(x)，g(x)在x处可导，则 [f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)
例题
某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）关于时间t（单
若
表示路程关于时间的函数，则
可以解释为某物体做变速速度，它在时刻
x的瞬时速度为2x。
常见函数的导数 函数y=f(x)=x3的导数
因为
所以
常见函数的导数
函数y=f(x)= 的导
数 观察导函数，你能否把它和原函数进行对应
？
表示函数
的图象（图
5.24）上点（x,y）处切线的斜率
为
，这说明随着x的变化，切线
公式1：
常见函数的导数 函数y=f(x)=x的导数：
因为
所以
常见函数的导数Biblioteka 函数y=f(x)=x的导数：
若 y=x（如图）表示路程关于 时间的函数，则y′=1可以解释 为某物体做瞬时速度为1的匀 速直线运动。
常见函数的导数 函数y=f(x)=x2的导数：
因为
所以
常见函数的导数 函数y=f(x)=x2的导数
否相等？f(x)与g(x)商的导数是否等于它们导数的商呢？
通过计算可知 ，因此[f(x)g(x)]'≠f'(x)g'(x) .同，样f的'(x)g'(x)=2x·1=2x， ，
高中数学选择性必修二(人教版)《5.2.1 基本初等函数的导数》课件
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)
f(x)＝ln x
导函数 f′(x)＝_α_x_α_－_1_ f′(x)＝_c_o_s_x__ f′(x)＝－__s_i_n_x_ f′(x)＝a_x_l_n_a_
f′(x)＝_e_x
1 f′(x)＝x_l_n__a
1 f′(x)＝_x_
[微提醒] 对公式 y＝xα 的理解 (1)y＝xα 中，x 为自变量，α 为常数； (2)它的导数等于指数 α 与自变量的(α－ y＝x 3 在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x＝2 所围成的三角形的
面积为
()
A.53
B.89
25
4
C.12
D.12
解析：可求得
y′＝23x
－1 3
，
即 y′|x＝1＝23，切线方程为 2x－3y＋1＝0，
与 x 轴的交点坐标为－12，0，
与 x＝2 的交点坐标为2，53，
化钠晶体为立方体形状，当立方体的棱长 x 变化时，其体积关于 x 的变化率是立方体表面积的多少？ 解：立方体的体积 V(x)＝x3，表面积 S(x)＝6x2. 因为 V′(x)＝(x3)′＝3x2， 所以其体积关于 x 的变化率为 3x2，是立方体表面积的12.
三、创新性——强调创新意识和创新思维
(4)y＝sinπ2＋x.
(2)y′＝4xln 4.
(3)y′＝xln1 3.
(4)∵y＝sinπ2＋x＝cos x， ∴y′＝－sin x.
[方法技巧] 求函数的导数的常见类型及解题技巧
(1)对于分式中分子、分母为齐次结构的函数，可考虑通过裂项为和 差形式．
(2)对于根式型函数，可考虑进行有理化变形． (3)对于多个整式乘积形式的函数，可考虑展开，化为和差形式． (4)对于三角函数，可考虑恒等变形，使函数的种类减少，次数降低， 结构尽量简单，从而便于求导．
f(x)＝ln x
导函数 f′(x)＝_α_x_α_－_1_ f′(x)＝_c_o_s_x__ f′(x)＝－__s_i_n_x_ f′(x)＝a_x_l_n_a_
f′(x)＝_e_x
1 f′(x)＝x_l_n__a
1 f′(x)＝_x_
[微提醒] 对公式 y＝xα 的理解 (1)y＝xα 中，x 为自变量，α 为常数； (2)它的导数等于指数 α 与自变量的(α－ y＝x 3 在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x＝2 所围成的三角形的
面积为
()
A.53
B.89
25
4
C.12
D.12
解析：可求得
y′＝23x
－1 3
，
即 y′|x＝1＝23，切线方程为 2x－3y＋1＝0，
与 x 轴的交点坐标为－12，0，
与 x＝2 的交点坐标为2，53，
化钠晶体为立方体形状，当立方体的棱长 x 变化时，其体积关于 x 的变化率是立方体表面积的多少？ 解：立方体的体积 V(x)＝x3，表面积 S(x)＝6x2. 因为 V′(x)＝(x3)′＝3x2， 所以其体积关于 x 的变化率为 3x2，是立方体表面积的12.
三、创新性——强调创新意识和创新思维
(4)y＝sinπ2＋x.
(2)y′＝4xln 4.
(3)y′＝xln1 3.
(4)∵y＝sinπ2＋x＝cos x， ∴y′＝－sin x.
[方法技巧] 求函数的导数的常见类型及解题技巧
(1)对于分式中分子、分母为齐次结构的函数，可考虑通过裂项为和 差形式．
(2)对于根式型函数，可考虑进行有理化变形． (3)对于多个整式乘积形式的函数，可考虑展开，化为和差形式． (4)对于三角函数，可考虑恒等变形，使函数的种类减少，次数降低， 结构尽量简单，从而便于求导．
高中数学选择性必修二 课件 5 2 1基本初等函数的导数 5 2 2导数的四则运算法则课件(共张)
[跟进训练] 3．如图中有一个图象是函数 f (x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R， 且 a≠0)的导函数的图象，则 f (－1)＝( )
(1)
(2)
(3)
A．13 B．－13 C．73 D．－13或53
B [f ′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋(a＋1)][x＋(a－1)]，图(1)与图(2) 中，导函数的图象的对称轴都是 y 轴，此时 a＝0，与题设不符合， 故图(3)中的图象是函数 f (x)的导函数的图象．由图(3)知 f ′(0)＝0，由 根与系数的关系得－ a＋a＋ 11a－－1a＝－01，＞0， 解得 a＝－1.故 f (x)＝13x3 －x2＋1，所以 f (－1)＝－13.]
3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二 是注意函数符号的变化.
1．给出下列命题：
①y＝ln 2，则 y′＝12；
②y＝x12，则 y′|x＝3＝－227；
③y＝2x，则 y′＝2xln 2； ④y＝log2x，则 y′＝xln1 2.
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3
合作 探究 释疑 难
利用导数公式求函数的导数
【例 1】 求下列函数的导数．
(1)y＝cos
π6；(2)y＝x15；(3)y＝
x2 ； x
(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cosπ2－x.
[解] (1)∵y＝cos π6＝ 23，∴y′＝0. (2)∵y＝x15＝x－5，∴y′＝－5x－6. (3)∵y＝ x2x＝x12＝x32，∴y′＝32x12.
【例 2】 求下列函数的导数： (1)y＝x3＋sin x；(2)y＝3x2＋xcos x；(3)y＝xx＋ －11. [解] (1)y′＝(x3＋sin x)′＝(x3)′＋(sin x)′＝3x2＋cos x. (2)y′＝(3x2＋xcos x)′＝(3x2)′＋(xcos x)′ ＝3×2x＋x′cos x＋x(cos x)′ ＝6x＋cos x－xsin x. (3)y′＝xx＋ －11′＝x＋1′x－1x－－1x2＋1x－1′＝－x－212.
新教材高中数学第5章导数的运算：基本初等函数的导数pptx课件新人教A版选择性必修第二册
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率
公式进行求解．
[跟进训练]
2．(1)求曲线y＝ 在点B(1，1)处的切线方程；
[解]
设所求切线的斜率为k．
因为y′＝(
1 −1
1
2
)′＝ ，k＝ ，
2
2
所以曲线y＝
＋1＝0．
1
在点B(1，1)处的切线方程为y－1＝ (x－1)，即x－2y
3．从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由
公式q＝cos t表示．求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)．
[解]
由q＝cos t得q′＝－sin t，
所以q′(5)＝－sin 5，q′(7)＝－sin 7，
即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin 5安，－sin 7安．
27
③若y＝2x，则y′＝x2x-1；
1
④若y＝log2x，则y′＝
．
ln 5
A．4
B．3
C．2
D．1
√
1
2
3
4
D
f
[由y＝ln 2得y′＝0，故①错误；对于f
1
(x)＝ 2 ，f
2
′(3)＝－ ，故②正确；对于y＝2x，则y′＝2x
27
1
y＝log2x，则y′＝
，故④错误．]
ln 2
1
的切线，且l经过点(2，3)．
(1)判断(2，3)是否是曲线y＝f (x)上的点；
(2)求l的方程．
[思路引导]
利用导数的几何意义求解，但要注意(2，3)点不在曲线
上，应另设切点求解．
[解] (1)因为 f (2)＝22＝4≠3，所以点(2，3)不是曲线y＝f (x)上的点．
新教材高中数学第五章导数的四则运算法则简单复合函数的导数ppt课件新人教A版选择性必修第二册
4.(2020·广州高二检测)设函数f(x)的导数为f′(x),且满足f(x)=f′(1)x32x,则f(1)=________. 【解析】根据题意,f(x)=f′(1)x3-2x,则f′(x)=3f′(1)x2-2xln 2,当x=1时, 有f′(1)=3f′(1)-2ln 2,解得f′(1)=ln 2,则f(x)=ln 2×x3-2x,故f(1)= ln 2-2. 答案:ln 2-2
c 9,
【内化·悟】 运用导数解有关切线问题应特别注意什么? 提示:(Байду номын сангаас)导数的双重性;(2)切点坐标的双重性.
【类题·通】 关于求导法则的综合应用
(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的 条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键, 务必做到准确. 易错警示:分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上则要设出切点.
x
2.函数f(x)=ex+xsin x-7x在x=0处的导数等于 ( )
A.-6
B.6
C.-4
D.-5
【解析】选A.f′(x)=(ex)′+(xsin x)′-(7x)′=ex+sin x+xcos x-7,
所以f′(0)=e0-7=-6.
3.在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内.已知 曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为________. 【解析】设P(x0,y0)(x0<0),由题意知y′｜x=x0 3 x-012 0=2, 即 x0=2 4,得x0=-2,所以y0=15,故点P的坐标为(-2,15). 答案:(-2,15)
《高中数学导数讲解》课件
积分
导数是积分的基础，通过 求导可以推导出原函数的 表达式。
微分方程
导数在解决微分方程问题 中起到关键作用，如物理 中的动力学问题。
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பைடு நூலகம்
高中数学导数讲解
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的实际应用 • 导数的扩展知识
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，用于描述函数在某一点附近的变化率。对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处 的导数定义为$f'(x_0) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$，其中$Delta y = f(x_0 + Delta x) - f(x_0)$ 。导数表示函数在点$x_0$处的切线斜率。
01
02
03
起源
导数最初由牛顿和莱布尼 茨在17世纪分别独立发现 ，为微积分学奠定了基础 。
早期发展
18世纪，欧拉、拉格朗日 等数学家进一步发展了导 数理论，将其应用于函数 研究。
现代应用
随着数学的发展，导数在 物理、工程、经济等领域 得到广泛应用，成为解决 实际问题的重要工具。
导数的其他性质
导数的几何意义
详细描述
在物理中，导数具有实际意义。例如，物体运动的瞬时速度 可以由速度函数的导数表示，物质扩散的瞬时速度可以由扩 散函数的导数表示。导数可以描述物体或物质在极短时间内 速度或加速度的变化。
02
导数的计算
切线斜率与导数
切线斜率
导数描述了函数在某一点的切线斜率 ，即函数在该点的变化率。
高中数学新教材选择性必修第二册《5.2导数的运算》全部课件
思考2 试求y＝Q(x)，y＝H(x)的导数.并观察Q′(x)，H′(x)与f′(x)，
g′(x)的关系. 答案 ∵Δy＝(x＋Δx)＋x＋1Δx－x＋1x＝Δx＋x－ x＋ΔΔxx， ∴ΔΔyx＝1－xx＋1 Δx. ∴Q′(x)＝Δlixm→0ΔΔyx＝Δlixm→01－xx＋1 Δx＝1－x12. 同理，H′(x)＝1＋x12. Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和.H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差.
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝12，
∴切点坐标为12，41，
∴所求的最短距离
d＝12－142－2＝7
8
2 .
跟踪训练3 已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O 是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧 AOB上求一 点P，使△ABP的面积最大. 解 由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点， ∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大， 设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝y′＝2x0， ∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0 ＝1. 故可得P(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0. 故P(1,1)点即为所求弧 AOB 上的点，使△ABP的面积最大.
x f(x)＝ x
导函数 f′(x)＝_0__ f′(x)＝_1__ f′(x)＝__2_x_ f′(x)＝_－__x1_2 _
1 f′(x)＝_2__x__
知识点二 基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax
解析 设切点坐标为(x0，y0)，
高中数学(人教版)第5章导数和微积分求导法则课件
cos 2 x sin2 x 1 2 sec x. 2 2 cos x cos x
导数的四则运算
同理可得
1 2 ( cot x ) csc x. 2 sin x
1 cos x sin x (iii) (sec x ) 2 2 cos x cos x cos x
f ( x0 ) 1 . ( y0 ) (6)
证 设 Δx x x0 , Δy y y0 , 则 Δx ( y0＋ Δy ) ( y0 ), Δy f ( x0Δx ) f ( x0 ) .
由假设, f 1 在点 x0 的某邻域内连续,
0
(4)
导数的四则运算
1 证 设 g( x ) ，则 f ( x ) u( x )g( x ). 对 g( x ), 有 v( x ) 1 1 v ( x0 Δ x ) v ( x0 ) g ( x0 Δ x ) g ( x 0 ) Δx Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 1 . Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 由于 v ( x ) 在点 x0 可导, v( x0 ) 0, 因此
1
反函数 的导数
π2) 上 (ii) y arctan x 是 x tan y 在 ( π 2，
的反函数，故
1 1 1 (arctan x ) 2 2 sec x 1 tan y (tan y )
1 2, 1 x x ( ,).
同理有
1 (arccot x ) , x ( , ). 2 1 x
sec x tan x.
同理可得
(csc x ) csc x cot x .
导数的四则运算
同理可得
1 2 ( cot x ) csc x. 2 sin x
1 cos x sin x (iii) (sec x ) 2 2 cos x cos x cos x
f ( x0 ) 1 . ( y0 ) (6)
证 设 Δx x x0 , Δy y y0 , 则 Δx ( y0＋ Δy ) ( y0 ), Δy f ( x0Δx ) f ( x0 ) .
由假设, f 1 在点 x0 的某邻域内连续,
0
(4)
导数的四则运算
1 证 设 g( x ) ，则 f ( x ) u( x )g( x ). 对 g( x ), 有 v( x ) 1 1 v ( x0 Δ x ) v ( x0 ) g ( x0 Δ x ) g ( x 0 ) Δx Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 1 . Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 由于 v ( x ) 在点 x0 可导, v( x0 ) 0, 因此
1
反函数 的导数
π2) 上 (ii) y arctan x 是 x tan y 在 ( π 2，
的反函数，故
1 1 1 (arctan x ) 2 2 sec x 1 tan y (tan y )
1 2, 1 x x ( ,).
同理有
1 (arccot x ) , x ( , ). 2 1 x
sec x tan x.
同理可得
(csc x ) csc x cot x .
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(4)y′＝(xsin
x)′－co2s
x′＝sin
x＋xcos
x－2csoisn2xx.
(5)∵y＝
x5＋
x7＋ x
x9＝x2＋x3＋x4，
∴y′＝(x2＋x3＋x4)′＝2x＋3x2＋4x3.
(6)先使用三角公式进行化简，得
y＝x－sin2xcos2x＝x－12sin x，
∴y′＝x－12sin x′＝x′－12(sin x)′
2.求下列函数的导数．
(1)y＝x·tan x；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(3)y＝xx2＋＋33；(4)y＝xsin x－co2s x；
(5)y＝
x5＋
x7＋ x
x9；
(6)y＝x－sin2xcos2x.
解析： (1)y′＝(x·tan x)′＝xcsoisn xx′
＝xsin
y′＝－sin x
• 3.导数的四则运算法则 • 设f(x)、g(x)是可导的.
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
和(差)
gfxx′＝gxf′xg－2xfxg′x (g(x)≠0)
求下列函数的导函数： (1)y＝x12；(2)y＝x14；(3)y＝5 x3； (4)y＝2sin2xcos2x；(5)y＝log12x；(6)y＝3x.
x′cos
x－xsin cos2x
xcos
x′
＝sin
x＋xcos xcos cos2x
x＋xsin2x
＝sin
xc(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′ ＝3x2＋12x＋11. (3)y′＝x＋3′x2＋3x2＋－3x＋2 3x2＋3′ ＝－xx22－＋63x＋2 3.
• [题后感悟] (1)应用基本初等函数的导数公式和导数的四 则运算法则可迅速解决一些简单的求导问题．要透彻理解函 数求导法则的结构特点，准确记忆公式，还要注意挖掘知识 的内在联系及其规律．
• (2)在求较复杂函数的导数时，首先利用代数或三角恒等变 形对已知函数解析式进行化简变形．如，把乘积的形式展开 ，分式形式变为和或差的形式，根式化为分数指数幂，然后 再求导，这样可减少计算量．
(3)方法一：f′(x)＝xx＋－11′ ＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212.
方法二：∵f(x)＝xx－ ＋11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1， ∴f′(x)＝1－x＋2 1′＝－x＋2 1′ ＝－0－2x＋x＋112′＝x＋212. (4)f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′ ＝2x·ex＋x2·ex ＝ex·(2x＋x2)．
是否有更简便的求导数的方法呢？
带着问题看课本： 1，基本初等函数的导数公式是什么？ 2，导数的运算法则是什么？ 3，如何利用公式和法则进行简单的计算
。
• 2.基本初等函数的导数公式
y′＝0 y′＝ y′＝μxμ－1 y′＝axln_a y′＝ex
y′＝xln1 a y′＝1x y′＝cos x
＝1－12cos x.
• (2011·山东高考)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交 点的纵坐标是( )
1.求下列函数的导数： (1)y＝x x；(2)y＝log31x；(3)y＝2－x； (4)y＝log2x2－log2x；(5)y＝－2sin2x(1－2cos24x)．
解析： (1)y′＝(x x)′＝(x32)′＝32x32－1＝32 x. (2)y＝－log3x， y′＝(－log3x)′＝－xln1 3. (3)∵2－x＝12x， ∴y′＝12x′＝－12xln 2.
1 1.
xln 2
(6)y′＝(3x)′＝3xln 3.
• [总结] (1)应用导数的定义求导，是求导数的基本方法， 但运算较繁琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程 ，降低运算难度，是常用的求导方法．
• (2)利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选 择求导公式，有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样 能够简化运算过程．
[解题过程] (1) y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11. (2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－x45. (3)y′＝(5 x3)′＝(x35)′＝35x35－1 ＝35x－25＝553x2.
(4)∵y＝2sin2xcos2x＝sin x，
∴y′＝cos x.
(5)y′＝(log12x)′＝
• 导数的计算
• 1.掌握基本初等函数的导数公式． • 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则． • 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
• 1.导数公式表的记忆．(重点) • 2.应用四则运算法则求导．(重点) • 3.利用导数研究函数性质．(难点)
高铁是目前一个非常受欢迎的交通工具，既低碳又快 捷．设一高铁走过的路程 s(单位：m)关于时间 t(单位：s)的 函数 s＝f(t)＝2t2，求它的瞬时速度，即求 f(t)的导数．根据 导数的定义，就是求当 Δt→0 时，ΔΔst所趋近的那个定值，运 算比较复杂，而且，有的函数如 y＝sin x，y＝ln x 等很难运 用定义求导数．
注意导数公式和导数法则的应用，先化简再求导数．
[解题过程] (1)f′(x)＝13ax3＋bx2＋c′ ＝13ax3′＋(bx2)′＋c′＝ax2＋2bx. (2)f′(x)＝(xln x＋2x)′ ＝(xln x)′＋(2x)′ ＝x′ln x＋x(ln x)′＋2xln 2 ＝ln x＋1＋2xln 2.
(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x. ∴y′＝(log2x)′＝xln1 2. (5)∵y＝－2sin2x(1－2cos24x) ＝2sin2xcos2x＝sin x， ∴y′＝(sin x)′＝cos x.
求下列函数的导数． (1)f(x)＝13ax3＋bx2＋c； (2)f(x)＝xln x＋2x； (3)f(x)＝xx＋－11； (4)f(x)＝x2·ex.