奥数题(长正方体)讲课教案
五年级下册数学 奥数经典培训讲义——长方体和正方体 基础部分 全国通用
长方体和正方体姓名：一、长方体和正方体的认识1、长方体的特征：长方体是由6个长方形围成的立体图形。
○1观察长方体，长方体有几个面？每个面都是什么形状？比一比相对面是不是完全相同？○2两个面相交的边叫做棱。
数一数，长方体有几条棱？这些棱可以分成几组？每组中的几条棱是不是相等？○3三条棱相交的点叫做顶点。
长方体有几个顶点？2、长方体通常画成下图那样：相交于通一丁点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。
3、正方体的特征：正方体是有6个完全相同的正方形围成的立体图形。
你也能从面、棱、顶点角度，说说可见，正方体是一种特殊的长方体。
如图1图1 图另外，还有一种特殊的长方体，如图2。
它的长厘米，宽厘米，高厘米，它的左面和面完全相同，都是正方形。
其余四个面。
都是长厘米，宽厘米的形。
4、长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4正方体的棱长总和=棱长×12练一练：1、请你画一个长方体和一个正方体。
长方体：正方体：2、一个长方体长4厘米，宽3厘米，高2厘米，它的前面是（）形，长是（）厘米，宽是（）厘米；它的右面是（）形，长是（），宽是（）；长方体的下面、左面、前面分别和（）面、（）面、（）面完全相同。
3、小学数学课本的长是21厘米，宽14.5厘米，高0.8厘米，则它的底面是（），面积是（）。
4、用一根48厘米的铁丝围成一个正方体，其棱长是（）厘米。
5、李师傅用两根一样长的铁丝分别围成一个长方体和一个正方体，已知长方体的长10厘米，宽6厘米，高5厘米。
那么正方体的棱长是（）厘米。
6、一个长方体是由3个棱长4厘米的正方体拼成的，这个长方体的长是（），宽是（），高是（）。
他最多有（）面完全相同，面积为（）。
7、用一根长为60厘米的铁丝扎成一个正方体框架，长7厘米，宽5厘米，高是（）厘米。
8、用5个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体所有棱长总和是112厘米，求长方体的底面积是（），原来一个正方体的棱长总和是（）厘米。
人教版五年级下册奥数专讲：长方体与正方体的表面积教案
重点：长方体与正方体表面积计算公式的理解和应用。
难点：空间想象力不足导致对表面积概念的理解困难，以及在实际问题中运用表面积公式时的策略选择。
解决办法及突破策略：
1.通过直观教具和三维模型展示，增强学生的空间感知，帮助他们建立起长方体和正方体的直观形象。
2.设计阶梯式问题，从简单到复杂，逐步引导学生理解和掌握表面积计算公式，并在每个阶段提供反馈和纠正。
过程：
选择几个典型的案例，如包装设计、房屋装修中等涉及表面积计算的问题。
详细介绍每个案例的背景、特点以及如何应用表面积知识解决实际问题。
引导学生思考这些案例对实际生活的影响，并探讨如何优化解决方案。
4.学生小组讨论（10分钟）
目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。
过程：
将学生分成若干小组，每组选择一个与长方体和正方体表面积相关的实际问题进行讨论。
教学方法：
1.讲授法：通过生动的语言和形象的比喻，对长方体与正方体的表面积计算公式进行深入讲解，确保学生对概念的理解准确无误。
2.讨论法：组织学生进行小组讨论，鼓励他们提出问题、分享思路，解决在表面积计算过程中遇到的难题，促进知识的内化。
3.实验法：设计动手操作活动，如让学生制作长方体和正方体模型，通过折叠、剪裁等实验活动，直观感受表面积的形成和计算。
小组内讨论问题的现状、挑战以及可能的解决方案。
每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。
5.课堂展示与点评（15分钟）
目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对长方体和正方体表面积的认识和理解。
过程：
各组代表依次上台展示讨论成果，包括问题的现状、挑战及解决方案。
其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。
小学五年级奥数教案 第14讲 长方体和正方体(二)
第14讲长方体和正方体（二）一、知识要点在长方体、正方体问题中，我们还会常常遇到这样一些情况：把一个物体变形为另一种形状的物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；把一个物体浸入水中，物体在水中会占领一部分的体积。
解答上述问题，必须掌握这样几点：1.将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变；2.两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；3.物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。
二、精讲精练【例题1】有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。
从里面量，甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24厘米，深25厘米。
将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多少厘米？练习1：1.有两个水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，它长6分米、宽和高都是4分米。
现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高。
问水面高多少？2.有一个长方体水箱，从里面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米，箱中水面高10厘米。
放进一个棱长20厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面。
这时水面高多少厘米？【例题2】将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。
练习2：1.有三个正方体铁块，它们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。
现将三块铁熔成一个大正方体，求这个大正方体的体积。
2.将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体，已知这个长方体的长是13厘米，宽7厘米，求它的高。
【例题3】有一个长方体容器，从里面量长5分米、宽4分米、高6分米，里面注有水，水深3分米。
如果把一块边长2分米的正方体铁块浸入水中，水面上升多少分米？练习3：1.有一个小金鱼缸，长4分米、宽3分米、水深2分米。
把一块假山石浸入水中后，水面上升0.8分米。
五年级《长方体与正方体的表面积》奥数教案
（五年级）备课教员：第七讲长方体与正方体的表面积一、教学目标：知识目标通过观察、操作，认识长方体和正方体的表面积的意义，建立表面积的概念。
能力目标1.结合具体情境，掌握长方体和正方体表面积的计算方法，会计算长方体和正方体的表面积。
2.在实际应用中，培养数学应用意识，感受数学与生活的紧密联系，提高应用数学知识解决生活问题的能力。
情感目标进一步感受立体图形的学习价值，增强学习数学的兴趣。
二、教学重点：理解并掌握长方体和正方体的表面积的计算方法。
三、教学难点：根据给出的长方体的长、宽、高，想象出每个面的长和宽各是多少并求它的表面积。
四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)【设计意图：通过生活中实际的例子，感受表面积在生活中的应用，激发学习数学的兴趣。
】师：同学们，卡尔今天遇到了一个难题，你们想知道什么难题吗？生：……师：过几天就是阿博士的生日了，卡尔自己动手给博士准备了一份礼物，礼物做完了，可是要包装礼物的时候，卡尔遇到了难题，卡尔不知道要用多大的彩纸来包礼物。
卡尔尝试了几次都不行。
聪明的小朋友们，你们愿意帮助卡尔吗？生：……师：我们一起来看这个礼物，（PPT展示）礼盒长20厘米，宽10厘米，高8 厘米。
你们知道至少需要多少彩纸才能将这个礼物包装好吗？生：……师：我们知道，包装礼盒，就是给长方体的表面包上一层彩纸，同学们动脑想想，要知道长方体的什么就能知道需要多少彩纸？生：6个面的面积。
师：是的，我们将这6个面的面积和叫做长方体的表面积。
该怎么求它的表面积呢？生：求出每个面的面积，再将6个面的面积加起来，它们的和就是长方体的表面积，就是至少需要准备的彩纸。
师：非常棒，大家找到了解决的办法。
课后我会告诉卡尔的。
大家刚刚说的就是求表面积的方法，那么这节课我们就一起来学习求长方体与正方体的表面积。
【探究新知，引入新课：学生已经掌握了长方体与正方体的基本特征，有12条棱，6个面，正方体的每条棱一样长，每个面都是正方形，长方体相对的面面积相等。
【五升六】小学数学奥数第2讲：长方体与正方体的体积-教案
120×160×2 38400÷（20×20）=38400（立方厘米） =96（厘米）答：铁块高96厘米。
（PPT出示)（先学生自行解答，老师巡视；后一起分析解答）师：同学们，今天老师给你们带来了一个数学谜题，我们一起来猜猜看，第一猜到的奖励2个大拇指哦。
海峡两岸盼统一（打一数学名词）（PPT出示)（二）例题二：（10分钟）把一根长2米的长方体木料,平均截成3段,表面积增加了12平方米,原来长方体木料的体积是多少立方米？（PPT出示)师：同学们，在题中你知道了哪些信息？生：……师：是的，在题中告诉我们将长方体木料给切成3段后，表面积增加了12平方米，大家可以画出切之前和切之后的图。
师：同学们，对比两幅图，你有什么发现呢？生：……师：是的，发现增加了4个相同的面，而且这4个面是高×宽的面；那么再知道这个条件后我们能不能算出一个高×宽的面的面积呢？如果能，我们又该怎么算呢？生：……师：是的，能算出一个高×宽的面，因为4个高×宽的面是增加了12平方米，所以一个高×宽的面就是12÷4=3平方米，对吗？生：……师：同学们，你们发现了吗，当算出高×宽这个面的面积后，这根木料的体积其实也出来了，有谁发现了吗？发现了的请告诉老师。
生: ……师：是的，刚刚的几位同学都很棒，用刚刚算出的面积4平方米乘以长就是这根木料的体积。
同学们，你们学会了吗？生：会。
师：光说不练假把式，我们一起来写出解题过程。
12÷4=3（平方米）3×2=6（立方米）答：原来长方体的木料的体积是6立方米。
（PPT出示)（教师配用PPT一步步讲解演示，引导学生整理思路，从而能自行解答题目）练习二：（5分钟）将一个长3米的长方体木料平均截成3段，表面积一共增加了0.36平方分米，这根木料的体积是多少立方分米？（PPT出示)分析：本题和例题类似，画图后会发现增加了4个底面，因为都是底面所以面积相等，因此可以算出一个底面积，知道底面积后再乘以长就是原来的体积。
五年级奥数第9讲：长方体与正方体的体积-教案
（五年级）备课教员：***第九讲长方体与正方体的体积一、教学目标：知识目标1. 知道长方体、正方体体积公式的推导过程。
2. 学会解决实际生活中有关长方体和正方体体积的计算问题。
能力目标1. 经历长方体、正方体体积计算公式的探究过程。
2. 通过实验操作、讨论归纳等活动发展学生的空间观念。
情感目标在活动中使学生感受数学与实际生活的密切联系，体验学数学、用数学的乐趣，从而激发学生的学习兴趣。
二、教学重点：正确、熟练地运用长方体和正方体的体积公式。
三、教学难点：理解体积公式，正确计算长方体与正方体的体积。
四、教学准备：PPT、1立方厘米的小正方体木块若干五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)【设计意图：通过学生自己动手操作，理解体积的概念，了解长方体与正方体的体积计算公式。
】师：同学们，大家已经认识了体积和体积单位。
现在请大家看屏幕上的这个长方体，（出示PPT）它是用1立方厘米的小正方体木块摆成的，你们能数出它的体积吗？生：……师：是的，我们换一种方法试试看。
大家看，一行有几个木块？生：……师：有几行呢？生：……师：大家用每行的个数乘行数，得出是多少？生：……师：那么一共有几层呢？大家再用刚刚求出的积乘层数，看看得出的是多少？生：……师：是的，与我们刚刚数出来的答案是一样的。
现在四个人为一组，大家手上都有正方体小木块，自己动手摆出一个长5厘米，宽3厘米，高4厘米的长方体，然后告诉老师它的体积是多少。
生：……师：你是怎么求出它的体积的？生1：数出了的。
生2：用长乘宽乘高。
师：是的，这就是我们刚才用每行的个数×行数×层数求出的结果。
那么同学们再来做一做这个练习，求出它们的体积。
（PPT出示题目）生：……师：大家仔细观察一下刚刚小正方体的数量与长、宽、高有什么关系？生：……师：每行的个数就是长，行数就是宽，层数就是高。
长方体的体积=长×宽×高。
（PPT上出示图示）或者我们用a表示长，b表示宽，h表示高，V表示长方体的体积，那么也可以表示为V=a×b×h（或V=abh）。
五年级奥数讲义第13讲--长方体和正方体(一)
五年级奥数讲义第13讲--长方体和正方体(一)work Information Technology Company.2020YEAR第13讲长方体和正方体（一）一、知识要点在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。
解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：1.必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。
二、精讲精练【例题1】一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米表面积是多少平方厘米（单位：厘米）【思路导航】（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是10×4×2=80（立方厘米），右边的长方体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米），整个零件的体积是80×2=160（立方厘米）；（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。
因此，此零件的表面积就是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米）。
想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？练习1：1.一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？2.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。
3.有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？【例题2】有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗（单位：厘米）【思路导航】（1）先求出长方体的体积，8×5×6=240（立方厘米），由于挖去了一个孔，所以体积减少了2×2×2=8（立方厘米），这个零件的体积是240－8=232（立方厘米）；（2）长方体完整的表面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米），但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（2×2）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5个（2×2）平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236＋2×2×4=252（平方厘米）。
六年级《长方体与正方体的表面积》奥数教案
六年级备课教员：第1讲长方体与正方体的表面积一、教学目标： 1. 通过学习理解长方体和正方体表面积的意义，掌握表面积的计算公式。
2.在理解长、正方体意义的基础上再加深对于表面积及相关类型题目的认识，拓展自己的思维。
3.提高学习中的抽象概括能力、推理能力和思维的灵活性。
空间观念得以发展。
二、教学重点：明白表面积的意义并能够准确的计算出表面积。
三、教学难点：结合实际求表面积。
四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)师：同学们，看老师手上的东西是什么？生：……师：是的，它是一个魔方，现在老师要用彩色卡纸把它的每个面都贴上，如果同学们中有谁能用最快的速度告诉老师一共要多大的卡纸才能把魔方贴完，那么老师就将这个魔方送给那位同学。
开动你们的大脑吧，魔方就属于你！生：……师：对的，要想知道一共要用多大的卡纸，我们就要知道正方体6个面的面积，那我们一起算算吧，咦？小正方形的边长呢？生：……师：对，边长我们要通过测量才能知道。
生：……师：刚刚老师有看到一位同学把他的手举起来了，让他把答案告诉我们吧！如果大家都认可，老师就将魔方送给他。
生：……师：好，非常棒，这个魔方就属于你。
相信通过刚才的贴魔方，大家已经猜到了我们今天要讲的就是《长方体和正方体的表面积》，没有拿到魔方的同学也不要气馁，在接下来的课堂里，只要你表现得好，老师依然给你奖励。
板书：长方体和正方体的表面积（PPT出示)（备注：魔方根据老师拿的实物为准，根据自己班级的实际情况选择合适的物品作为奖励，或者不要奖励）二、探索发现授课（40分）（一）例题一：（10分）芭啦啦综合教育学校要重新粉刷了，教室的长是8米，宽是6米，高是4米，门窗和黑板的面积是22平方米，这间教室要粉刷的面积是多少平方米? （PPT出示)师：同学们，什么叫要粉刷的面积，难道不是所有的面都要粉刷吗？我们一起仔细观察我们的教室，再大声地告诉老师吧！生：……师：不错，我们教室的地面是铺瓷砖的，所以就不用粉刷，也就是我们要粉刷的面只有上面、前面、后面、右面和左面，让我们一起开口念，并写出来。
最新奥数题(长正方体)教学文案
1、用一根长8分米的铁丝做成一个高是8厘米的长方体框架，要使长方体的体积最大，这个体积是立方厘米。
2、一个长方体，不同的三个面的面积分别是35平方厘米、21平方厘米和15平方厘米，且长、宽、高都是质数，则这个长方体的体积是立方厘米。
3、有一个小金鱼缸，长4分米、宽3分米，水深2分米，把一小块假山石浸入水中后，水面上升了0.8分米，这块假山石的体积是立方分米。
4、将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁柱熔成一个长方体，若这个长方体的长是13厘米，宽7厘米，则它的高是厘米。
5、一个长方体盛水容器的底面是一个边长60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米、底面边长15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深0.5米，如果把铁柱取出，容器里的水深将是厘米。
6、有一块长方形的铁皮，长60厘米，宽40厘米。
在这块铁皮的四角剪去边长5厘米的小正方形，然后制成一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的体积。
7、把一个正方体木块锯成3个大小一样的小长方体后，表面积增加了36平方厘米。
原来正方体的体积是多少？8、把一个长方体截去一个高为8厘米的长方形后，剩下的部分是一个正方体。
正方体的表面积比原来长方体的表面积减少320平方厘米。
求原来长方体的体积。
9、有一个棱长为9厘米的正方体，在每两个对面的中央钻一个边长为2厘米的正方形孔，且穿透，所得立体的体积是多少？10、有甲、乙、丙三个正方体水池，它们内边长分别是5米、3米、1米，把两堆碎石分别沉没在乙、丙两个水池的水里，它们的水面分别升高了4厘米和2厘米。
如果将这两堆碎石都沉没在甲水池的水里，甲水池的水面升高了多少厘米？11、一个长方体游泳池，长50米，宽25米，打开全部进水管，每分钟可注入5立方米的水，如果要使水深达到1.5米，需注水多少小时？12、一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，变成一个正方体。
若表面积减少了120平方厘米，则原长方体的体积是立方厘米。
五年级奥数 长方体与正方体的表面积 教学设计
五年级奥数长方体与正方体的表面积教学设计五年级奥数《长方体与正方体的表面积》教学设计一、教学目标1. 知识与技能：学生将学习如何计算长方体和正方体的表面积，理解表面积的概念，并能够解决与表面积相关的问题。
2. 过程与方法：通过观察、操作和思考，培养学生的空间观念和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们的合作精神和探索精神。
二、教学内容1. 长方体和正方体的表面积概念。
2. 长方体和正方体的表面积计算方法。
三、教学难点与重点难点：理解表面积的概念，掌握长方体和正方体的表面积计算方法。
重点：长方体和正方体的表面积计算方法。
四、教具和多媒体资源1. 教具：长方体和正方体模型。
2. 多媒体资源：PPT演示文稿。
五、教学方法1. 激活学生的前知：回顾长方体和正方体的基础知识。
2. 教学策略：讲解、示范、小组讨论、实验。
3. 学生活动：观察、操作、思考、讨论。
六、教学过程1. 导入：故事导入，介绍一个情境，需要计算一个长方体和一个正方体的表面积，从而引入表面积的概念。
2. 讲授新课：介绍长方体和正方体的表面积概念，然后详细讲解计算方法。
通过实例进行演示，加深学生的理解。
3. 巩固练习：给出几个问题，让学生自己计算长方体和正方体的表面积，然后进行小组讨论，确认答案。
4. 归纳小结：总结本节课学习的内容，强调表面积的概念和计算方法。
七、评价与反馈1. 设计评价策略：通过观察学生的练习和小组讨论，了解他们对表面积概念和计算方法的掌握情况。
2. 为学生提供反馈：点评学生在小组讨论中的表现，对他们在学习中遇到的问题进行解答，提供相应的指导。
八、作业布置1. 计算一个长方体的表面积（给出尺寸）。
2. 计算一个正方体的表面积（给出尺寸）。
3. 思考题：如何计算一个不规则物体的表面积？。
正方体长方体奥数讲义
长方体和正方体长方体和正方体这部分知识，是学生首次比较系统全面地接触到的立体图形・它是学生空间观念的形成、建立和发展的基础。
首先要构建一个完整的知识体系，对长方体、正方体的特征.,表面积和体积的意义及公式的推导有一个全面细致的掌握。
长方体的特征：8个顶点，6个面，12条棱，相对的两个面完全相同，相对的四条棱的长度都相等，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫长方体的长、宽、高，分别用字母a、b、h表示。
正方体的特征：8个顶点，6个面是完全相同的正方形，12条棱的长度都相等，正方体是特殊的长方体，棱长用字母a表示。
长方体的表面积：S＝（a×b＋a×h＋b×h）×2正方体的表面积：S＝a×a×6＝6a²长方体的体积：V＝a×b×h＝Sh（S表示长方体的底面积）正方体的体积：V＝a×a×a＝a³其次在掌握长方体特征、表面积、体积意义及计算方法的基础上，重点是培养学生的空间想象能力，通过对长方体和正方体的切割、拼摆等动态变化，并且和生活实际相结合，化“整”为“零”，使问题简单化，以利于问题的解决，同时也可以站在整体的立场上，直接综观全局研究问题，以利于培养学生的整体思想。
例1一个长方体正好可以切割成3个完全一样的正方体，且没有剩余，三个正方体的表面积比原来增加了32平方厘米，求原来长方体的表面积。
分析：如下图所示：这个长方体切割成三个正方体，需切割两次，每切割一次增加2个切面，一共增加了4个切面，每个切面的面积就是32÷4＝8（平方厘米），组成原长方体的6个面实际上就是14个面积为8平方厘米的正方形。
解：32÷4×14＝8×14＝112（平方厘米）例2：把一个长方体的高减少2厘米后，就成了一个正方体，且表面积比原来减少了40平方厘米，求原长方体的体积是多少？分析：如上图所示，由于高减少2厘米后，就成了一个正方体，可得这个长方体的底面是一个正方形。
六年级奥数-第六讲立体几何教案
、长方体和正方体如右图，长方体共有六个面 （每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱. ① 在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等. （叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形. ）② 长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：S 长方体 2（ab be ca ）; 长方体的体积：V 长方体abc .③ 正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形. 如果它的棱长为a ,那么：S 正方体 6a 1 2 , V 正方体a 3 4 .、圆柱与圆锥立体图形表面积体积 h圆柱二二込S 圆柱 侧面积 2个底面积 2 n h 2 n 2V 柱n hA十\圆锥S 圆锥 侧面积 底面积 —n 2 n 2360注：1是母线，即从顶点到底面圆上的线段长1 2 V 圆锥体_ nh 3例题精讲【例1】下图是一个棱长为 2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为-厘米的正2 方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为1厘米，4那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【解析】 我们仍然从3个方向考虑•平行于上下表面的各面面积之和：2 2 2 8（平方厘米）；左右方向、前后方向：2 2 4 16（平 1 1方厘米），1 1 4 4（平方厘米），1 141（平方厘米），1141（平方厘米），这个立体图形的表面积为： 444 1 18 164 1 - 29-（平方厘米）•4 4 第六讲立体几何部分C2 2【例2】一个正方体木块，棱长是 1米，沿着水平方向将它锯成 2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？【解析】 锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数2增加的面数.原正方体表面积：1 1 6 6（平方米），一共锯了（2 1） （3 1） （4 1） 6次，6 112 618（平方米）.【例3】 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少?【解析】当小积木互相重合的面最多时表面积最小 •设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面 积不会增加，该几何体表面积为 54.【例4】（2008年“希望杯”五年级第 2试）如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个 正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是 _________________ 平方厘米.【解析】（法1）四个正方体的表面积之和为： （12 22 32 52） 6 39 6 234 （平方厘米），重叠部分的面积为：12 3 （22 2 12） （32 22 12） （32 22 12 ） 3 9 1 4 1 4 40 （平方厘米），所以，所得到的多面体的表面积为：234 40 194（平方厘米）.（法2）三视图法.从前后面观察到的面积为 52 32 22 38平方厘米,从左右两个面观察到的面 2 2 2积为5 3 34平方厘米，从上下能观察到的面积为 525平方厘米.表面积为 38 34 252 194（平方厘米）.【例5】 把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形3 3 3的正方体时，表面积最小，现在要去掉.，求这个立体图形的表面积.【解析】 从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示•因此，这个立体图形的表面积为：2个上面2个左面 2个前面•上表面的面积为： 9平方厘米，左表面的面积为： 8平方厘米， 前表面的面积为：10平方厘米.因此，这个立体图形的总表面积为： （9 8 10） 2 54（平方 厘米）.【例6】 棱长是m 厘米（m 为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体.至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为 13:12，此时m 的最小值是多少？【解析】切割成棱长是1厘米的小正方体共有 m 3个，由于其中至少有一面是红色的小正方体与没有红色 面的个数之比为13:12，而13 12 25 ,所以小正方体的总数是 25的倍数，即m 3是25的倍数， 那么m 是5的倍数.当m 5时，要使得至少有一面的小正方体有 65个，可以将原正方体的正面、 上面和下面涂色，此时至少一面涂红色的小正方体有5 5 5 4 2 65个，表面没有红色的小正方体有125 65 60个，个数比恰好是13:12，符合题意.因此，m 的最小值是5.【例7】 有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中 34个为白色的，30个为黑色的.现将它们拼成一个4 4 4的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？【解析】要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使 得黑色小正方体尽量不露出来.在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有（4 2） 8（个），用黑色的；在面上但不在边上的小正方体有（4 2） 6 24 （个），其中30 8 22个用黑色.这样，在表面的4 4 6 96个1 1的正方形中，有 22个是黑色，96 22 74（个）是白色，所 以在大正方体的表面上白色部分最多可以是 74平方厘米.【例8】 三个完全一样的长方体， 棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面.涂色后把三个长方体都切成棱长为 1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？【解析】 每个长方体的棱长和是 288 3 96厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是96 4 24厘米.因 为，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，所以，每个长方体的长、 宽、高分别是 9 厘米、 8 厘米、 7 厘米．要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时，应让切割后只有n □ n □ 二 LU t □前后面一个面涂色的小正方体最少．所以，涂一面的长方体应涂一个8 7 面，有8 7 56 个；涂两面的长方体，若两面不相邻，应涂两个8 7 面，有8 7 2 112个；若两面相邻，应涂一个8 7 面和一个9 7 面，此时有7 8 9 2 105 个，所以涂两面的最少有105 个；涂三面的长方体，若三面不两两相邻，应涂两个8 7面、一个9 7面，有7 8 8 9 4 147 个；若三面两两相邻，有7 1 8 1 7 1 9 1 8 1 9 1 146 个，所以涂三面的最少有146 个．那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有56 105 146 307 个．例9】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100 块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？解析】设小正方体的棱长为1，考虑两种不同的情况，一种是长方体的长、宽、高中有一个是 1 的情况，另一种是长方体的长、宽、高都大于 1 的情况．当长方体的长、宽、高中有一个是 1 时，分割后只有一层小正方体，其中有两个面涂上红色的小正方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些．因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100 块，设100 ab ，那么分成的小正方体个数为a 2b 2 1 ab 2 a b 4 2 a b 104 ，为了使小正方体的个数尽量少，应使a b 最小，而两数之积一定，差越小积越小，所以当a b 10 时它们的和最小，此时共有10 2 10 2 144 个小正方体．当长方体的长、宽、高都大于1时，有两个面涂上红色的小正方体是去掉8 个顶点所在的小正方体后12 条棱上剩余的小正方体，因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100 块，所以长方体的长、宽、高之和是100 4 2 3 31．由于三个数的和一定，差越大积越小，为了使小正方体的个数尽量少，应该令31 2 2 27 ，此时共有2 2 27 108个小正方体．因为108 144，所以至少要把这个大长方体分割成108 个小正方体．例10】把正方体的六个表面都划分成9 个相等的正方形．用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染 4个红色方格（见上中图）.因为染有4个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成 4个红 色方格•最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染 2个红色方格（见右上图）•所以，红色 方格最多有5 2 4 2 2 2 22 （个）.（另解）事实上上述的解法并不严密， 如果最初的假设并没有两个相对的有 5个红色方格的面， 是否其他的四个面上可以出现更多的红色方格呢？”这种解法回避了这个问题，如果我们从约 束染色方格数的本质原因入手，可严格说明 22是红色方格数的最大值.对于同一个平面上的格网，如果按照国际象棋棋盘的方式染色，那么至少有一半的格子可以染 成红色.但是现在需要染色的是一个正方体的表面，因此在分析问题时应该兼顾棱、角等面与 面相交的地方：⑴如图，每个角上三个方向的 3个方格必须染成不同的三种颜色，所以 8个角上最多只能有 8 个方格染成红色.⑵如图，阴影部分是首尾相接由 9个方格组成的环，这 9个方格中只能有4个方格能染成同一 种颜色（如果有5个方格染同一种颜色， 必然出现相邻，可以用抽屉原理反证之： 先去掉一个白 格，剩下的然后两两相邻的分成四个抽屉，必然有一个抽屉中有两个红色方格 ），像这样的环， 在正方体表面最多能找到不重叠的两道（关于正方体中心对称的两道） ，涉及的18个方格中最 多能有8个可染成红色. ⑶剩下6 3 3 8 3 9 2 12个方格，分布在6条棱上，这12个格子中只能有6个能染成红 色.综上所述，能被染成红色的方格最多能有 8 8 6 22个格子能染成红色，第一种解法中已经 给出22个红方格的染色方法，所以 22个格子染成红色是最多的情况【例111 一个长、宽、高分别为 21厘米、15厘米、12厘米的长方形•现从它的上面尽可能大的切下一 个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽 可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？ 【解析】 本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于21:15:12 7:5:4，为了方便起见•我们先考【解析】个面最多有5个方格可染成红色（见左下图）.因为染有5个红色方格的面不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成5个红色方格. 红—红□ 红 □红 □□ 红□ 红 □ 红□□□ 红□ □ □ □ □ 竺□虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.因为7 5 4，容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米，第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求•第三次切时，切下棱长为2厘米的正方体符合要求.那么对于原长方体来说，三次切下的正方体的棱长分别是12厘米、9厘米和6厘米，所以剩下的体积应是：21 15 1 2 1 2393631107 （立方厘米）.【例12】有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻（有公共面）的积木颜色不同，标A的为黑色，图中共有黑色积木多少块？【解析】分层来看，如下图（切面平行于纸面）共有黑色积木17块【例13】（05年武汉明心杯数学挑战赛）如图所示，一个5 5 5的立方体，在一个方向上开有1 1 5的孔，在另一个方向上开有2 1 5的孔，在第三个方向上开有3 1 5的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？【解析】求体积：开了3 1 5的孔，挖去3 1 5 15，开了1 1 5的孔，挖去115 1 4 ;开了2 1 5的孔，挖去 2 1 5 （2 2）6,剩余部分的体积是： 5 5 5 （15 4 6） 100 .（另解）将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图：得到总体积为：22 4 12 100.求表面积：表面积可以看成外部和内部两部分.外部的表面积为 5 5 6 12 138，内部的面积可以分为刖后、左右、上下三个方向，面积分别为 2 2 5 1 5 1 2 1 3 20、2 1 53 5 1 3 1 32、2 15 15 112 14，所以总的表面积为66138 20 32 14 204.（另解）运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数: 前后方向：32上下方向：30 左右方向：40【总结】“切片法”：全面打洞（例如本题，五层一样），挖块成线（例如本题，在前一层的基础上，一条 线一条线地挖），这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！ 【例14】（2009年迎春杯高年级组复赛）右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三 角形且边长为⑴的 2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，（11）是正方形•那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽（11）为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的 倍.【解析】 本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图:其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面 体，右图以⑸⑹⑺⑻⑼⑽1为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是1,四个侧 面是⑺⑻⑼⑽，两个斜面是⑸⑹.对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图 形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分. 由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体 来套.4个角后得到（如下左图，切去 ABDA 1、CBDC 1、 相当于由一个正方体切去 2个角后得到（如下右图，切假设左图中的立方体的棱长为 a ，右图中的立方体的棱长为b ，则以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的 立体图形的体积为：a 3 ^a 2 a 1 4】a 3 ,233总表面积为21、2 2 11 12 1 2 22 21 12 1 1 r 2 2 11 1 21 12 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2、1 12 1 1J32 30 40 204 .对于左图来说，相当于由一个正方体切去 D i AC i D 、B 1AC 1B ）;而对于右图来说, 去 BACB 1、DACD 1）.以⑸⑹⑺⑻⑼⑽（11）为平面展开图的立体图形的体积为 b 3 -b 2 b - 2 -b 3.2 3 3由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形1的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线 恰好是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角形⑺分成4个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的 2倍，即b 2a .那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻⑼⑽（11）为平面展开图的立体图 形的体积的比为： 1a 3 :-b 3 1a 3 :2 2a 3 1:16，也就是说以⑸⑹⑺⑻⑼⑽1为平面展开图3 3 3 3的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的 16倍.【例15】如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体.问这个物体的表面积是多少平方米？（ n 取3.14）【例16】一个圆柱体的体积是 50.24立方厘米，底面半径是2厘米.将它的底面平均分成若干个扇形后, 再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ （ n 3.14）【解析】 从图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前后两个侧面面积与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积. （法1）这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径. 可知，圆柱体的高为 50.24 3.14 22 4（厘米），所以增加的表面积为 2 4 2 16 （平方厘米）；（法2）根据长方体的体积公式推导.增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长方体的长的 乘积就是长方体的体积.由于长方体的体积与圆柱体的体积相等， 为50.24立方厘米，而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半，为3.14 2 6.28厘米，所以侧面长方形的面积为 50.24 6.28 8平方厘米，所以增加的表面积为8 2 16平方厘米【例17】（2008年”希望杯”五年级第 2试）一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水据可推知瓶子的容积是 _________ 立方厘米.（n 取3.14）（单位：厘米）【解析】从上面看到图形是右上图，所以上下底面积和为 22 3.14 1.52 3.14 （0.5 1 1.5） 118.84 （立方米），所以该物体的表面积是 14.13 （立方米），侧面积为 14.13 18.84 32.97（立方（如图），由图中的数【解析】由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出，瓶中 的水构成高为6厘米的圆柱，空气部分构成高为 10 8 2厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分4 o之和，所以瓶子的容积为：n （―） （6 2） 3.14 32 100.48（立方厘米）.2【例18】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为 5厘米，深20厘米，水深15厘米•今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中.求这时容器的水深是多少厘米？【解析】 若圆柱体能完全浸入水中，则水深与容器底面面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中它比圆柱体的高度要大，可见圆柱体可以完全浸入水中. 于是所求的水深便是17.72厘米.【例19】 有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是 10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水•甲杯 中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了 2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢.问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？【解析】 两个圆柱直径的比是1:2，所以底面面积的比是 1:4 •铁块在两个杯中排开的水的体积相同， 所以乙杯中水升高的高度应当是甲杯中下降的高度的丄，即2 - 0.5（厘米）.4 4【例20】如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的-，乙容器中水的高度是锥高的 -,33比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？【解析】 设圆锥容器的底面半径为 r ，高为h ，则甲、乙容器中水面半径均为-r ，则有V 容器31 (2r )2 2 8 2 121/2、2 2 19 2V 乙水— h n h , V 甲水 n r h n (— r ) h — n h , 3 3 3 81 3 3 3 3 8119 2V 甲水 81 n h 19 即甲容器中的水多， 甲容器中的水是乙容器中水的匹倍V乙水8_ n 2h 8 881（2008年仁华考题）如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为 一直径为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的面积是为一个长方体，体积保持不变，而厚度为0.04厘米，所以薄膜展开后的面积为8400 n 0.04 659400平方厘米 65.94平方米.体积之和，因而水深为:5215 221717.72 (厘米).20厘米，中间有平方米.【例21】 【解22,薄膜展开后2另解：也可以先求出展开后薄膜的长度，再求其面积.【例22】如图，ABCD 是矩形，BC 6cm , AB 10cm ，对角线AC 、BD 相交O . E 、F 分别是AD 与BC 的中点，图中的阴影部分以 EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多 少立方厘米？ （ n 取3）【解析】 扫出的图形如右上图所示，白色部分实际上是一个圆柱减去两个圆锥后所形成的图形.两个圆锥的体积之和为 2 - n 32 530 n 90（立方厘米）；3 圆柱的体积为 n 32 10270（立方厘米），所以白色部分扫出的体积为 270 90 180（立方厘米）.【例23】（人大附中分班考试题目）如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞•已知正方体边长为 10厘米，侧面上的洞口是边长为 4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为 4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积.【解析】 ⑴先求表面积.表面积可分为外侧表面积和内侧表面积.外侧为6个边长10厘米的正方形挖去 4个边长4厘米的正方形及 2个直径4厘米的圆，所以， 外侧表面积为：10 10 64 4 4 n 22 2536 8哄平方厘米）;内侧表面积则为右上图所示的立体图形的表面积，需要注意的是这个图形的上下两个圆形底面 和前后左右4个正方形面不能计算在内，所以内侧表面积为：4 3 16 2 4 4 n 22 2 n 2 3 2 192 32 8 n 24 n 224 16 祕平方厘米）， 所以，总表面积为： 224 16n 536 8n 760 8n 785.12（平方厘米）.⑵再求体积.计算体积时将挖空部分的立体图形取出， 如右上图，只要求出这个几何体的体积，用原立方体的体积减去这个体积即可. 挖出的几何体体积为：4 4 3 4 4 4 4 n 2 3 2 192 64 24 n 256 24 n （立方厘所求几何体体积为：10 10 10 256 24 n 668.64 （立方厘米）.由于展开前后薄膜的侧面的面积不变， 展开前为为一个长方形，宽为 0.04厘米，所以长为 84 n 6594 100 659400平方厘米 65.94平方米.220 ~20.04 6594厘米，所以展开后薄膜的面积为8— 84 n （平方厘米），展开后的.其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分.请问 剩下的部分共有多少个小正方体?【解析】 对于这一类从立体图形中间挖掉一部分后再求体积 （或小正方体数目）的题目一般可以采用“切片法”来做，所谓“切片法”，就是把整个立体图形切成一片一片的（或一层一层的） ，然后分别计算每一片或每一层的体积或小正方体数目，最后再把它们相加.采用切片法，俯视第一层到第五层的图形依次如下，其中黑色部分表示挖除掉的部分.1、（《小学生数学报》邀请赛）从一个棱长为 高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少? 10厘米的正方形木块中挖去一个长 （写出符合要求的全部答案） 10厘米、宽2厘米、【解析】 按图1所示沿一条棱挖，为 592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为 632平方厘米；按图3所示在某面上斜着挖，为 648平方厘米; 按图4所示挖通两个对面，为 672平方厘米.图12、（ 2008年香港保良局第 12届小学数学世界邀请赛）如图，原来的大正方体是由 图4 125个小正方体所构成从图中可以看出，第 个，所以总共还剩下 1、2、3、4、5层剩下的小正方体分别有22 11 11 6 22 72 （个）小正方体. 22 个、11 个、11 个、6 个、22 3、有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字 （不同的立方体可以写相同的数字 ）先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体相邻（见左下图）•依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少？【解析】 第一层如下图，第二层、第三层依次比上面一层每格都多 1（见下图）.上面的9个数之和是27,由对称性知，上面、前面、右面的所有数之和都是 27 •同理，下面的9个数之和是 45 ,下面、左面、后面的所有数之和都是 45 •所以六个面上所有数之和是(27 45) 3216 .4、一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形 (不包括瓶颈)，如图•已知它的容积为 26.4 n 立方厘米•当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为 6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为 2厘米•问：瓶内酒精的体由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的6 2 3倍•所以酒精的体积为26.4 n — 62.172立方厘米，而 62.172立方厘米3 162.172毫升 0.062172升.【解析】 将这卷纸展开后，它的侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等于面积除以宽•这里的 宽就是纸的厚度，而面积就是一个圆环的面积. 因此，纸的长度：纸卷侧面积 3.14 102 3.14 32纸的厚度004所以，这卷纸展开后大约 71.4米.6、如右图，一个正方体形状的木块，棱长 I 米，沿水平方向将它锯成 3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体 60块.那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米【解析】 我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积.现在一共切了 (3 1) (4 1) (5 1) 9刀，而原正方体一个面的面积 1 I 1(平方米)，所以表面积增加 了 9 2 1 18(平方米).原来正方体的表面积为 6 1 6(平方米)，所以现在的这些小长方体54 3 4 3 2 3216 5 4 54 3 4327 6 5 65 4 54 3【解析】 空 100 97143.5（厘米）0.04第一层第二层 第三层5、图为一卷紧绕成的牛皮纸， 纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴.已知纸的厚度为0.4的表积之和为618=24（平方米）.7、一个透明的封闭盛水容器， 由一个圆柱体和一个圆锥体组成， 圆柱体的底面直径和高都是 12厘米.其内有一些水，正放时水面离容器顶 11厘米，倒放时水面离顶部 5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？ （ n 3）【解析】圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形•高缩短 4厘米，表面积就减少50.24平方厘米•阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是50.24平方厘米，所以底面周长是50.24 4 12.56（厘米），侧面积是：12.56 12.56 157.7536（平方厘米），两个底面积是： 23.1412.56 3.14 22 25.12 （平方厘米）.所以表面积为：157.7536 25.12 182.8736（平方厘米）.由于两次放置瓶中空气部分的体积不变，有:25 n6 11 x 2 1 2 n 6 - n 6 x ，解得 x 9,3所以容器的容积为:1V n 6 12 n 6 9 540 n 1620（立方厘米）.38、如图，有一个边长为 20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为 2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？【解析】 大立方体的表面积是 20 20 6 2400平方厘米.在角上挖掉一个小正方体后，外面少了 3个面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后， 外面少了 2个面，但里面多出4个面; 在面上挖掉一个小正方体后，外面少了 1个面，但里面多出 5个面•所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了 6个面，可以计算出每个面的面积： （2454 2400） 6 9平方厘米，说明小正方体的棱长是 3厘米.9、一个圆柱体底面周长和高相等•如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米•求这个圆柱体的表面积是多少？【解析】。
学而思奥数5年级秋季班：第1讲《长方体与正方体》讲义
计算下列图形的体积（单位：厘米）
4 4 4
6 3
4
【解析】 简单的体积计算，直接套用公式： ⑴ 4 4 4 64 （立方厘米） ； ⑵ 6 4 3 72 （立方厘米） ．
例6
下图表示一个不规则的零件， 它是由一个长方体和一个正 方体拼成的，长方体的长宽高分别为 7 厘米、5 厘米和 2 厘 求这个零件的表面积和体积． 米； 正方体的棱长为 2 厘米．
五年级秋季 基础
1
【解析】 ⑴ (3 2 3 1 2 1) 2 22 平方厘米； ⑵ (2 1 3 1) 3 2 16 平方分米； ⑶ (3 2 3 1) 2 18 平方米．
例3
一段横截面是正方形的长方体木料长1米， 截成 5 段后表面 积增加 32 平方分米． ⑴这段木料的横截面的面积是________平方分米． ⑵这段木料的正方形横截面的边长是________分米． ⑶这段木料原来的表面积是________平方分米． 【解析】 ⑴截成 5 段需要锯四次，每两段间增加了 2 个侧面积，因 此共增加了 8 个侧面积，所以横截面面积为 32 8=4 （平 方分米） ； ⑵ 2 2=4 ，所以正方形截面的边长为 2 分米； ⑶宽和高为 2 分米,长10 分米．套用公式可算得表面积 （ 10 2 10 2 2 2） 2=88 （平方分米） ．
例8
一个长方体水箱长、宽、高分别是 8 、 4 、15 分米，原来 水深 8 分米．若放入一个棱长为 4 分米的正方体铁块，那 么现在水箱中的水深多少分米？ 【解析】 正方体铁块的体积 4 4 4 64 （立方分米） ，再求水面上 （8 4） 2 （分米） ． 升的高度 64 所以水深是 8 2 10 （分米） ．
数学长方体正方体教案5篇
数学长方体正方体教案5篇通过实物认识长、正方体，通过学生的观察、对比、小组讨论，了解长、正方体的特点，在操作中认识长、宽、高和正方体的棱长。
这里给大家分享一些关于数学长方体正方体教案，方便大家学习。
数学长方体正方体教案篇1教学目标：1、探究、推导长方体和正方体体积的计算公式2、理解掌握并运用长方体和正方体体积公式解决实际问题3、在探究学习中培养学生动脑思考，动手操作，归纳总结的能力教学重点：理解掌握长方体和正方体体积的计算公式教学难点：长方体和正方体体积公式的推导教具准备：学生准备小正方体(多个)PPT教学过程：一、复习1、填空(1)()叫做物体的体积。
(2)常用的体积单位有()()()2、下面各图是用棱长1厘米的小正方体拼成的，它们的体积各是多少。
学生回答后，教师总结：物体体积的大小取决于这个物体里所含单位体积的多少。
二、导入，确定学习目标1、出示一个长方体实物，请学生猜猜它的体积大约是多少?那么怎么能准确地知道这个物体的体积是多少呢?这节课我们就来学习“长方体的体积”(板书课题)2、出示学习目标：(1)探究总结长方体和正方体的体积的计算方法(2)运用长方体和正方体体积的计算公式解决实际问题三、探究长方体体积的计算公式1、回顾“以旧学新”的几何问题研究方法以前我们在研究推导平面图形面积计算公式时，都用过哪些方法：数方格、割补法。
看看这两种方法，哪种适合研究长方体体积。
简单讨论后，确定用“数方块”的方法。
2、教师PPT演示切割物体数方块，让学生明白：这种方法虽然可以，但是操作起来麻烦，有些物体是不容易切割，不能切割，而且，物体的长、宽、高必须是整厘米的。
3、质疑思考：那么我们能不能通过量出长方体长、宽、高的长度，用计算的方法呢?长方体的长、宽、高和长方体的体积之间有着怎样的联系呢?下面，我们就动手操作，小组合作来研究这个问题。
4、出示小组研究提示(1)用体积为1立方厘米的小正方体摆成不同的长方体(至少摆两种)(2)把不同的长方体的相关数据填入下表(29页表格)(3)观察上表，你发现了什么?你能总结出长方体体积的计算方法吗?5、各小组学生合作学习后，让各小组汇报数据，汇总到一起填入表格，观察表格，总结长方体体积公式：长方体体积=长×宽×高用字母表示：V=abh6、即使练习：(例1)出示例1，指名口答，指导用字母公式计算的书写格式。
最新小学五年级奥数教案--第13讲-长方体和正方体(一)
第13讲长方体和正方体（一）一、知识要点在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。
解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：1.必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。
二、精讲精练【例题1】一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？（单位：厘米）练习1：1.一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如下左图），剩下部分的表面积和体积各是多少？2.有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如上右图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？【例题2】有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米）练习2：1.有一个形状如下图的零件，求它的体积和表面积。
（单位：厘米）。
第1题第2题第3题2.有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？3.如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如图），那么得到的物体的体积和表面积各是多少？【例题3】一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。
原正方体的表面积是多少平方厘米？1.把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2倍。
如果拼成的长方体的长是24厘米，那么它的体积是多少立方厘米？2.一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？【例题4】把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。
已知每块砖的体积是288立方厘米，求大长方体的表面积。
五年级奥数 正方体与长方体 教案(可以直接下载做教案使用)
正方体与长方体对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．)②长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc=长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．课堂精讲 ━1如图，在一个棱长为10的正方体上截取一个长为7、宽为3、高为1的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？随堂精练：1、下图中共有多少个面？多少条棱？2、如图，从一个长8厘米、宽7厘米、高6厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下部分的表面积之和是多少平方厘米？c b a HG F EDC BA 知识结构3、如图，有一个边长是5的正方体，如果它的左上方截去一个边分别是5、3、2的长方体，那么它的表面积减少了多少?课堂精讲━2从一个棱长为10厘米的正方体木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)随堂精练：1、下图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，剩下图形的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）2、下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为0.5厘米的正方体小洞，第三个正方体小洞的挖法和前两个相同为0.25厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？3、如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？。
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★卷
一、填空题
1、有一个长方体盒子，长8厘米，宽和高都是5厘米，这个长方体的体积是。
2、修建一个正方体的蓄水池，棱长是9米，需挖土立方米。
3、用一根长8分米的铁丝做成一个高是8厘米的长方体框架，要使长方体的体
积最大，这个体积是立方厘米。
4、有沙16立方米，要垫在长8米、宽2.5米的沙坑里，可以垫的厚度是。
５、挖一个长120米、宽32米、深4米的大水塘，用每小时挖土60立方米挖土机来挖，需小时可认挖完。
6、长方体不同的三个面的面积分别是10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米，
这个长方形的体积是立方厘米。
7、一个长方体，不同的三个面的面积分别是35平方厘米、21平方厘米和15平
方厘米，且长、宽、高都是质数，则这个长方体的体积是立方厘米。
8、有一个小金鱼缸，长4分米、宽3分米，水深2分米，把一小块假山石浸入
水中后，水面上升了0.8分米，这块假山石的体积是立方分米。
9、将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁柱熔成一个长
方体，若这个长方体的长是13厘米，宽7厘米，则它的高是厘米。
10、一个长方体盛水容器的底面是一个边长60厘米的正方形，容器里直立着一
个高1米、底面边长15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深0.5米，如果把铁柱取出，容器里的水深将是厘米。
二、解答题
1、有一块长方形的铁皮，长60厘米，宽40厘米。
在这块铁皮的四角剪去边长
5厘米的小正方形，然后制成一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的体积。
2、把一个正方体木块锯成3个大小一样的小长方体后，表面积增加了36平方厘
米。
原来正方体的体积是多少？
3、把一个长方体截去一个高为8厘米的长方形后，剩下的部分是一个正方体。
正方体的表面积比原来长方体的表面积减少320平方厘米。
求原来长方体的体积。
4、有一个棱长为9厘米的正方体，在每两个对面的中央钻一个边长为2厘米的正方形孔，且穿透，所得立体的体积是多少？
5、如图所示的长方体，底面和右面的面积之和是125平方分米。
如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积可能是多少立方分米？
6、有甲、乙、丙三个正方体水池，它们内边长分别是5米、3米、1米，把两堆碎石分别沉没在乙、丙两个水池的水里，它们的水面分别升高了4厘米和2厘米。
如果将这两堆碎石都沉没在甲水池的水里，甲水池的水面升高了多少厘米？
7、一个长方体游泳池，长50米，宽25米，打开全部进水管，每分钟可注入5立方米的水，如果要使水深达到1.5米，需注水多少小时？
★★卷
一、填空题
1、一个长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长、宽、高分别是6分米、4分米、2分米，正方体的体积是 。
2、把一个长方体的长平均分成4段后锯开，每锯一次损耗3
1厘米，每段长6厘米。
若表面积增加了24平方厘米，则原来长方体的体积是 立方厘米。
3、一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，
变成一个正方体。
若表面积减少了120平方厘米，则原长方体的体积是 立方厘米。
4、一个长方体纸盒，展开其侧面后连同底面可拼得一个边长为32分米的正方形。
这个纸盒的最大体积是 。
5、3个长方体鱼缸，它们的三个棱长都是4分米、5分米、6分米，且以不同的
棱长组合鱼缸的底，每个鱼缸都装上2分米高的水，但它们含水的体积不同。
如果把其中一个鱼缸中的水倒入另一个鱼缸中，且要求使水面最高，那么水高是 分米，这时鱼缸中水的体积是 升。
6、把一个长方体的长平分成4段，每段长6厘米。
按段垂直于边长锯开后，表
面积将增加48平方厘米。
原长方形的体积是 。
7、一个长方体底面是正方形，截去一个底面是正方形而高是2分米的长方体后，
剩下的长方体表面积比原长方体的表面积减少了16平方分米，截去的长方体的体积是 。
8、有一个长方体，它的前面和上面的面积之和是110平方厘米，且长、宽和高
都是质数，那么这个长方体的体积是 。
二、解答题
1、一个游泳池长50米，宽25米，平均水深2米，它有5个进水管，每个管里
每小时进水50吨。
当5个水管同时进水时，需多少小时可放满池水的2
1？（1立方米的水重1吨）
2、把一个长方体截去一个高为8厘米的长方体后，剩下的部分是一个正方体。
正方体的表面积比原来长方体的表面积减少320平方厘米，求原来的长方体体积。
3、一个长、宽、高分别是21厘米、15厘米、12厘米的长方体，现从它的上面
尽可能地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能地切下一个正方体，剩下的体积是多少平方厘米？
（第八届北京市“迎春杯”小学数学竞赛题）
4、一个长方体，如果长减少2厘米，宽和高不变，它的体积减少48立方厘米；
如果宽增加3厘米，长和高不变，它的体积增加99立方厘米；如果高增加4厘米，长和宽都不变，它的体积增加352立方厘米。
原长方体的表面积是多少平方厘米？
★★★卷
一、填空题
1、一个长方体和一个正方体的棱长之各相等，已知长方体的长、宽、高分别是6分米、4分米、2分米，正方体的体积是 。
2、把一个长方体的长平均分成4段锯开，每锯一次损耗3
1厘米，每段长6厘米。
若表面积增加了24平方厘米，则原长方体的体积是 。
3、学校要建两个活动室（地基的形状和尺寸如图所示，单位：米），为了打地基，
需要挖1米宽、0.75米深的沟，则一共要挖 方土。
4、一个长方体底面是正方形，截去一个底面是正方形而高是2分米的长方体后，
剩下表面积比长方体表面积减少了8平方分米。
截去的长方体体积是 。
5、有一个长方体的油桶，量得它的底面是边长4.5分米的正方形，桶高6.5分
米，桶里的油离桶口5厘米，桶里的油有 升。
（油桶壁厚度忽略不计）
6、有一个长方体，长是宽的2倍，宽是高的3倍；长的21与高的3
1 之和比宽多1厘米，这个长方体的体积是 立方厘米。
（北京市第十一届“迎春杯”刊赛）
二、解答题
1、把1个棱长是3厘米的正方体分割成若干个小的正方体，这些小正方体的棱长必须是整厘米数。
如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可分割多少个小正方体？
（北京市第九届“迎春杯”小学数学决赛题）
2、某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织带（如图所示），在三个方向上加固，所用尼龙编织带分别为365厘米、405厘米、485厘米。
若每个尼龙带加固时接头重叠都是5厘米，问这个长方体包装的体积是多少立方米？
（第六届“华罗庚杯赛”口试题）
112米
长
3、一根长方体木料，体积是0.078立方米，已知这根木料长1.3米，宽为3分
米，高该是多少分米？孙健同学把高错算成3分米，这样，这根木料的体积要比0.078立方米多多少？
（第四届《小学生数学报》数学竞赛度题）
4、现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米
的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米？。