复变函数和断裂力学

式中
KII
2
r
%II
，
u
KII
2
r
2
u%II
%%12II1II2
%1I2I
sin
2
2
cos
2
cos
sin
2
cos
2
cos
3 2
cos
2
1
sin
2
sin
3 2
3 2
,
u%1II u%2II
1 2
2
2
3sin
2
3 cos
2
sin 3 2
cos 3 2
Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题
在某些情况下，应力、应变式中的第二项也对 材料的断裂起明显影响，考虑前两项时的应力 场和位移场为：
KI
2
r
%I
+
T 1 1
+
KII
2
r
%II
，
u1
iu2
KI
2
r
2
u%1I iu%2I
iKII
2
r
2
u%1II iu%2II
i
z
1 8
T
z
1
4
T
z
第二项对应着刚体转动 和均
应力强度因子作为判定裂纹尖端应力场强度的物理参 量引入。 ——线弹性断裂力学的主要任务之一就是确定含裂纹 构件的应力强度因子。
线弹性断裂力学
计算应力强度因子的方法 解析法：复应力函数法、积分变换法、权函数法、、、
数值法：有限元法、有限体积法、、、 应力强度因子手册 应力强度因子的量纲：
力
长度
当第三步，计算能量释放率,由实功原理：平面应变:
GI
1
2
0
1 2
y
v π
y0 r
d
GI
1
0
KI
2π
4(1
E
2
)
K
I
2π
d
12
E
K
2 I
K与G之间有简单的换算关系
平面应力
GI
1
0
KI
2π
4(1
E
2
)
KI
2π
d
12
E
K
2 I
GI
K
2 I
E
KI EGI
KI
EG I
12
线弹性断裂力学
Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题
即：
C1ei C1ei C2ei 0
C1ei C1ei C2ei 0 该方程组有非零解得条件是:
C1ei C1ei C2ei 0
（当 0 时，裂尖位移奇异，当 0时，
代表刚体位移）
C1ei C1ei C2ei 0
cos 4 1, 即 n , n 1, 2,3L
线弹性裂尖场特点
1
② K场内的位移与 r 2 成线性比例关系。
③ 三种情况下的K场有相似的形式，分别由应
力强度因子
K I、KII
和
K
决定着其场的强度。
III
SIF取决于外加载荷，而且与构件几何、裂
纹尺寸有关，但是与坐标 r, 无关。在K场
范围内，应力和应变均正比于SIF，所以SIF
是裂纹尖端附近应力、应变场强度的表征， 是描述裂尖场强度的参数。
裂纹不扩展，安全 裂纹扩展，不安全
关于G~K的关系式：
以I型裂纹为例，OA段的两边作用有吸引（拉） 力，此时OA段的上下边之间没有相对位移， 且有
y y0
KI 2πx
y y0
(a)
o
a
A
r
r
(b)
a
v π,r = -
第二步，设想在长度内，的作用应力缓慢地减小 到零，则相应裂纹扩展了长度，位移，
3 2
线弹性断裂力学
例子
二维有限大板含孔边裂纹的应力强度因子（几何对称、 受力对称、各向同性材料）
KI kI a
KII k II a
线弹性断裂力学
用柔度法确定临界应变能释放率 GC
柔度：变形与载荷的比值 c
F
总应变能—柔度： 应变能释放率：
V
1 2
F
1 cF 2 2
Gc
V a
1 F2 2
部都满足Laplace方程，它们构成共轭的调和 函数。 如果知道一个调和函数，则可以由柯西－黎曼 方程求出与之共轭的调和函数。
III型反平面剪切问题
可见Ⅲ型裂纹的线弹性裂纹尖端场具有 r12奇异 性，且与K Ⅲ因子成正比。
KⅢ 称为Ⅲ型裂纹的应力强度因子，它是由外 加载、裂纹尺寸以及构形的几何决定的。
裂纹尖端处，应力和应变为无穷大，这种不真实的性质是由于 所采用的本构关系所决定的，，即认为材料能承受无限大的应 力，且应变与应力呈线性关系。另外，在上述的分析中，裂纹 假设成理想的尖裂纹，即裂纹尖端曲率为无穷大。实际上，裂 纹尖端不可避免地会出现塑性区，并且裂纹尖端地曲率是有限 的，但是在塑性区很小的情况下，在围绕裂尖的一个环状区域 内K场是适用的。
K I ——I型裂纹的应力强度因子
K
——II型裂纹的应力强度因子
II
K II—I — III型裂纹的应力强度因子
裂纹尖端的应力奇异性:
当r 0时，即在裂纹端点，应力分量趋向于无穷大。
应力场具有 的r奇12 异性。原因：裂纹尖端是几何上 的不连续点。
线弹性断裂力学
应力不适宜作为判断含裂纹材料承载能力的力学参 量——裂尖场应力具有奇异性，只要存在载荷，应力 就趋于无穷大。依照传统强度理论，含裂纹结构必定 破坏。
KIII lim r 0
2 r 32 0
III型反平面剪切问题
在有些情况下，有必要考虑应力应变公式中的 第二项，此时应力和位移场变为：
III 31
K III
2 r
%3II1I
0 31
,
III 32
K III
2 r
%3II2I
,
u3
K III
2r
sin
x1
0 31
.
2
线弹性力学的平面问题和 反平面剪切问题
平面问题的复变函数表示 应力组合与位移组合
Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题
平面问题 u u (x1, x2，) 应变分量为：
1 2 (u ,
u ,
)
线弹性本构关系为：
1
E
(
)
1
2
3
4
平衡方程为：
, 0
变形协调方程为：
, , 0
Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题
如果应力分量由Airy应力函数 x1 x2 表示，
Ⅰ型情况下的应力场和位移场表示为：
KI
2
r
%I
，
u
KI
2
r
2
u%I
式中：
%%12II12 %1I2
cos
2
1 1
sin sin
2
2
sin sin
sin
2
cos
3
2
3
2
3
2
,
u%1I u%2I
cos
cos
2
sin
2
Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题
Ⅱ型情况下的应力和位移场表示为：
设上述方程的解有以下的形式：
z C1z , z C2z
C1,C2为待定复常数 0为实常数
C1 A1 B1i
C2 A2 B2i
代入裂纹上下表面（ ）的应力自由边界条 件，可得：
22 i12 C1 r e 1 i(1) C1r e 1 i(1)
C1 1 r e 1 i(1) C2 r e 1 i(1) 0
➢研究内容
1、断裂力学分类 线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、微观断裂力学
2、裂纹的分类
3、断裂发生破坏的几个阶段与断裂力学应用
主要应力分量 xz , yz；
位移
u 0 , v 0 , w wx, y
III 型反平面剪切问题
复变函数方法在求解裂纹尖端时是相当有效的。 根据复变函数理论，任何解析函数的实部和虚
III型裂纹尖端附近的应 力场
x
K II
2
r
sin
2
2
cos
2
cos
3
2
y
KII sin cos cos 3 2 r 2 2 2
z
K II
2
r
sin
2
1
sin
2
sin
3
2
zy
KIII cos 2 r 2
zy
KIII sin 2 r 2
其中，KIII S y a
第二讲:线弹性断裂力学·
弹性裂纹尖端场 的特征展开(Williams,1957)
概述
裂纹可分为三种类型： I型——张开型 II型——剪切型 III型——撕开型(反平面剪切型)
三种裂纹的形式中，I 型裂纹最为常见，在工 程设计和分析中最重要。但在数学分析上，III 型裂纹比较简单。
断裂力学简介
解的一般形式表示为 :
2
1
3
z C11z 2 C12 z C13z 2 L ,
1
3
z C21z 2 C22 z C23z 2 L .
类似于Ⅲ型问题，裂纹前端的应力应变场由第
1项主导，其系数为:
KⅠ和KII分别为I、II型应力强度因子
C11
1
2
KⅠ iKⅡ
Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题
是Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型问题的线性叠加。
KI
lim
r 0