数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第四章
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第四章 函数的连续性
一、填空题
1．设⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧>+=<=0 11sin 0 0
sin 1
)(x x x x k x x x x f ，若函数)(x f 在定义域内连续，则
=k ；
2．函数⎩⎨
⎧≤>-=0
sin 0
1)(x x x x x f 的间断点是 ；
3．函数x x f =)(的连续区间是 ； 4．函数3
21
)(2--=
x x x f 的连续区间是 ；
5．函数)
3(9
)(2--=x x x x f 的间断点是 ；
6．函数)
4)(1(2
)(+++=
x x x x f 的间断点是 ；
7．函数)
2)(1(1
)(-+=
x x x f 的连续区间是 ；
8．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-0
0 )(x k x x
e e x
f x x 在0=x 点连续，则 =k ；
9．函数⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤+-<≤+-<≤-+=3x 1 31x 0
101 1)(x x x x x f 的间断点是 ； 10．函数0b a 0
)(0
)(2
≠+⎩⎨
⎧<++≥+=x x x b a x b ax x f .则)(x f 处处连续的充要条件是 =b ；
11．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-0 0 )(2
1x a x e x f x
，则=→)(lim 0
x f x ，若)(x f 无间断点，则=a ；
12．如果⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠+-=1
1 11)(2x a x x
x x f ，当=a 时，函数)(x f 连续
二、选择填空
1．设)(x f 和)(x ϕ在()+∞∞-,内有定义，)(x f 为连续函数，且0)(≠x f ，)(x ϕ有间断点，则( )
A.[])(x f ϕ必有间断点。
B.[]2
)(x ϕ必有间断点
C.[])(x f ϕ必有间断点
D.
)
()
(x f x ϕ必有间断点 2．设函数bx e
a x
x f +=
)(，在()∞∞-,内连续，且)(lim x f x -∞→0=，则常数b a ,满足( ) A.0,0<>b a C.0,0>≤b a D.0,0<≥b a
3．设x
x e e x f 11
11)(-+=，当,1)(;0-=≠x f x 当0=x ，则
A 有可去间断点。
B 。有跳跃间断点。
C 有无穷间断点
D 连续 4．函数n
n x x
x f 211lim
)(++=∞→
A 不存在间断点。
B 存在间断点1-=x
C 存在间断点0=x
D 存在间断点1=x
5．设⎪⎩⎪⎨⎧
=≠=⎩⎨⎧=≠=0
10
1sin )(;0 00 1)(x x x
x x g x x x f ，则在点0=x 处有间断点的函数是 A )}(),(max{x g x f B )}(),(min{x g x f C )()(x g x f - D )()(x g x f + 6．下述命题正确的是
A 设)(x f 与)(x g 均在0x 处不连续，则)(x f )(x g 在0x 处必不连续。
B 设)(x g 在0x 处连续，0)(0=x f ，则0
lim x x →)(x f )(x g =0。
C 设在0x 的去心左邻域内)(x f <)(x g ，且-→0
lim x x )(x f =a , -→0
lim x x )(x g =b ,则必有a D 设-→0 lim x x )(x f =a , -→0 lim x x )(x g =b , a 三、计算题 1．指出函数的间断点及其类型： （1）()x 1 x x f + =； （2）()x Sinx x f =； （3）()[] x cos x f =； （4）()x Sgn x f =； （5）()()x cos Sgn x f =； （6）()⎩⎨ ⎧=为无理数为有理数 x x,- x ,x x f （7）()()⎪⎪⎩ ⎪ ⎪⎨⎧+∞<<≤≤-<<∞-+= x 1 ,1-x 1sin 1-x 1, x 7- ,x ,7x ,7x 1 x f 2．延拓下列函数，使在()∞+∞-上连续： （1）()2x 8x x f 3--=； （2）()2 x Cosx 1x f -=； （3）()x 1 xCos x f = 3．举出定义在[0，1]上符合下述要求的函数： （1）在 31 ,21和41 三点不连续的函数； （2）只在31 ,21和41 三点连续的函数； （3）只在()⋅⋅⋅=2,1n n 1 上间断的函数； （4）仅在x=0右连续，其它点均不连续的函数。 4．求极限： （1）()tgx x lim 4 x -ππ→ ； （2）1 x 1 x x 21x lim 21x +--++→。 5．求下列极限： （1）() x 1ln x 15Cosx e lim 2x 0x -+++→； （2）)x x x x lim (x -+++∞ →； （3）