数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第四章

第四章 函数的连续性一、填空题1．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0 11sin 0 0sin 1)(x x x x k x x x x f ，若函数)(x f 在定义域内连续，则=k ；2．函数⎩⎨⎧≤>-=0sin 01)(x x x x x f 的间断点是 ；3．函数x x f =)(的连续区间是 ； 4．函数321)(2--=x x x f 的连续区间是 ；5．函数)3(9)(2--=x x x x f 的间断点是 ；6．函数)4)(1(2)(+++=x x x x f 的间断点是 ；7．函数)2)(1(1)(-+=x x x f 的连续区间是 ；8．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-00 )(x k x xe e xf x x 在0=x 点连续，则 =k ；9．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-<≤+-<≤-+=3x 1 31x 0101 1)(x x x x x f 的间断点是 ； 10．函数0b a 0)(0)(2≠+⎩⎨⎧<++≥+=x x x b a x b ax x f .则)(x f 处处连续的充要条件是 =b ；11．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-0 0 )(21x a x e x f x，则=→)(lim 0x f x ，若)(x f 无间断点，则=a ；12．如果⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠+-=11 11)(2x a x xx x f ，当=a 时，函数)(x f 连续二、选择填空1．设)(x f 和)(x ϕ在()+∞∞-,内有定义，)(x f 为连续函数，且0)(≠x f ，)(x ϕ有间断点，则( )A.[])(x f ϕ必有间断点。

B.[]2)(x ϕ必有间断点C.[])(x f ϕ必有间断点D.)()(x f x ϕ必有间断点 2．设函数bx ea xx f +=)(，在()∞∞-,内连续，且)(lim x f x -∞→0=，则常数b a ,满足( ) A.0,0<<b a B.0,0>>b a C.0,0>≤b a D.0,0<≥b a3．设xx e e x f 1111)(-+=，当,1)(;0-=≠x f x 当0=x ，则A 有可去间断点。

B 。

有跳跃间断点。

C 有无穷间断点D 连续 4．函数nn x xx f 211lim)(++=∞→A 不存在间断点。

B 存在间断点1-=xC 存在间断点0=xD 存在间断点1=x5．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎩⎨⎧=≠=0101sin )(;0 00 1)(x x xx x g x x x f ，则在点0=x 处有间断点的函数是 A )}(),(max{x g x f B )}(),(min{x g x f C )()(x g x f - D )()(x g x f + 6．下述命题正确的是A 设)(x f 与)(x g 均在0x 处不连续，则)(x f )(x g 在0x 处必不连续。

B 设)(x g 在0x 处连续，0)(0=x f ，则0lim x x →)(x f )(x g =0。

C 设在0x 的去心左邻域内)(x f <)(x g ，且-→0lim x x )(x f =a , -→0lim x x )(x g =b ,则必有a <bD 设-→0lim x x )(x f =a , -→0lim x x )(x g =b , a <b ，则必存在0x 的去心左邻域，使)(x f <)(x g 。

三、计算题1．指出函数的间断点及其类型：（1）()x1x x f +=； （2）()x Sinx x f =；（3）()[]x cos x f =； （4）()x Sgn x f =； （5）()()x cos Sgn x f =； （6）()⎩⎨⎧=为无理数为有理数 xx,- x ,x x f（7）()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<≤≤-<<∞-+=x 1 ,1-x 1sin 1-x 1,x 7- ,x ,7x ,7x 1x f 2．延拓下列函数，使在()∞+∞-上连续：（1）()2x 8x x f 3--=； （2）()2xCosx 1x f -=； （3）()x 1xCos x f = 3．举出定义在[0，1]上符合下述要求的函数：（1）在31 ,21和41三点不连续的函数； （2）只在31 ,21和41三点连续的函数；（3）只在()⋅⋅⋅=2,1n n1上间断的函数；（4）仅在x=0右连续，其它点均不连续的函数。

4．求极限：（1）()tgx x lim 4x -ππ→；（2）1x 1x x 21x lim 21x +--++→。

5．求下列极限：（1）()x 1ln x 15Cosx e lim 2x 0x -+++→；（2）)x x x x lim (x -+++∞→；（3）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--+++→x 1x 1x 1x 1x 1x 1lim 0x ； （4）1x xx x limx ++++∞→；（5）n2x n 1n 11lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→；（6）().Sinx 1lim ctgxx +→四、证明题1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：（1）()x1x f =； （2）()x x f = 2．设f 为连续函数，常数0C >，证明函数()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤-<-=.C x f ,C ,C x f ,x f ,C x f ,C x F 若连续若若3．证明：设f 为区间I 上的单调函数，且I x 0∈为f 的间断点，则x 0必是f 的第一类间断点。

4．设函数f 只有可去间断点，定义()()y f lim x g xy →=，证明g 为连续函数。

5．设f 为),(+∞-∞上单调函数，定义g （x ）=f （x+0），证明函数g 在),(+∞-∞上每点都右连续。

6．该()()0g 0f ≠，当0x ≠时，()()x g x f ≡，试证f 与g 这两个函数中至我有一个在x=0处连续。

7．设f ，g 在点x 0连续，证明：（1） 若()()00x g x f >，则存在x 0的某个邻域()δ,x U 0使()()()δ∈>,x U x ,x g x f 0： （2）若对0x x ≠，有()()00x g x f >，则()()00x g x f ≥。

8．研究复合函数g f 与f g 的连续性。

设（1）()()2x 1x g ,Sgnx x f +==；（2）()()()x x 1x g ,Sgnx x f 2-==。

9．若f 在[]+∞,a 上连续，且()x f lim x ∞→存在，证明：f 在[]+∞,a 上有界，试问f 在[]+∞,a 上必有最大值与最小值吗10．若对任给0>ε，f 在[]ε-ε+b ,a 上连续，是否可推出f 在（a ，b ）连续。

11．证明：若f 在[a ，b]上连续，且不存在任何x 使得f （x ）=0，则f 在[a ，b]上恒正或恒负。

12．证明：任一实系数奇次方程至少有一个根。

13．证明：（1）函数()x x f =在)[∞+,0上一致连续。

（2）()2x x f =在[a ，b]上一致连续，但在()+∞∞-,上不一致连续。

14．若函数f （x ）在区间I 上满足李普希茨条件，即存在常数L ，使得对I 上任意的两点x '与x ''，都有()()x x L x f x f ''-'⋅≤''-'证明：f 在I 上一致连续。

15．试用一致连续的定义证明，若函数f 在[a ，c]和[c ，b]上都一致连续，则f 在[a ，b]上也一致连续16．该函数f 在a 2x 0≤≤是连续且f （0）=f （2a ）。

证明：在区间[0，a]上存在某个x ，使f （x ）=f （x+a ）。

17．该f 为[a ，b]上的递增函数，其值域为[f （a ），f （b ）]，证明f 在[a ，b]上连续。

18．证明：若f 在[a ，b] 上连续，且b x x x a n 21<<⋅⋅⋅<<<则在[]n 1x ,x 上必存在ξ，使得()()()()nx f x f x f f n 21+⋅⋅⋅++=ξ19．设f （x ）=Sinx ，()⎩⎨⎧>ξ+≤π-=0.x ,x 0,x ,x x g 证明复合函数f （g （x ））在x =0不连续。

20．证明：若f （x ）是以2π为周期的连续函数，则存在ξ，使()()ξ=π+ξf f 。

21．证明：()x Cos x f =在)[∞+,0上一致连续。

22．设y y lim ,0x x lim n n n x =>=∞→∞→，证明：yyn n x x lim n =∞→。

23．证明（1） 若0a >，x 为任一实数，则0a x>。

（2）设x 1，x 2是任意两个实数，且21x x <，若1a 0<<，则21x x a a >。

24．设1a >，x 为任意实数，证明{}.r a f in a r xr x 为有理数>=五、考研复习题1．设函数f 在开区间（a ，b ）内连续，且f （a+0）与f （b-0）为有限值。

证明f 在（a ，b ）上有界。

2．证明：方程0x a x a x a 332211=λ-+λ-+λ-（其中0a ,a ,a 321>，且321λ<λ<λ）在()21,λλ与()32,λλ内各有一个根。

3．若f 在[a ，b]上连续，b d c a <<<，且()()d f c f k +=，证明：（1）存在一个()b ,a ∈ξ，使得()ξ=f 2k ；（2）存在一个()b ,a ∈ξ，使得()()()()ξ+=+f n m d nf c m f ，其中m ，n 为正整数。

4．设函数f 在[a ，b]上连续，证明下述结论：（1） 若对一切[a ，b]上的有理数r ，有f （x ）=0，则在[a ，b]上有()0x f ≡。

（2） 若对[a ，b]上任意两个有理数()2121r r r ,r <，有()()21r f r f <，则f 为[a ，b]上的严格递增函数。

5．证明：若f 在[a ，b]上连续，则函数()(){}ξ=≤ξ≤f min x m xa 和()(){}ξ=≤ξ≤f min x M xa 在 [a ，b]上连续。

6．设f 在[a ，b]连续，且[]()[]b ,a b ,a f ⊂，证明存在[]b ,a x ∈，使得f （x ）=x 。