八年级数学思维训练题二解析
2023希望杯八年级数学思维训练题(含答案)
2023希望数学——8年级培训80题1.计算111 ________．2.的值是________．3.．4.( )A.B.12C.21E.25. 化简，得（ ）．A. B.C.D.6. 若x 2 – 13x + 1 = 0，则44x x ________．4322(2)2(2)n n n 8121n 12n 87477. 设，则代数式的值为（ ）．A. –6B.24C.D.8. 用[x ]表示不超过x 的最大整数，用x – [x ]表示x 的小数部分．已知a 是t 的小数部分，b 是 – t 的小数部分，则________．9. 已知x + y + z = 13，xy + yz + zx =102， xyz = 333，那么222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y z y z x z x y ________．10. 已知实数a ，b ，c 满足613675a b c ，99260a b c ，则3232b ca b=_______．11. 若2(23)|23|0x y x y z ，则y z x =________．12. 如果221,4x y x y ，则33x y _________．1a 2212a a 1012t112b a13. 实数x ，y 满足，，x y ，则的值为________．14. 已知1113a b c d，1115b a c d ，1117c a b d ，1119d a b c ，则3579a b c d=________．15. 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足a +b =c ，b +c =d ，c +d =a ，那么a +b +c +d的最大值是________．16. 已知12m x x ，222n y y 则m – n 的最小值为_______．17. 记12()12nf n n n n n（其中n 为大于1的整数），则f (n )的最小值是_________．18. 在实数范围内定义一种运算☆，其规则为a ☆b ＝12a b，则x ☆(x +1)=0的解为x =________．24x24y x yy x19. 设1232016,,,,a a a a 是不为零的实数，那么20152016121220152016||||||||a a a a a a a a 的值有_______种情况． 20. 方程34xx x x有________个实数根．21. 满足 2211x x x 的整数x 有________个．22. 对于实数a ，[a ]表示不大于a 的最大整数．则关于x 的方程51830337x x的整数解是x=________．23. 方程33225x y x y xy 的正整数解（x ，y ）的个数是________．24. 求方程x 3＋x 2y ＋xy 2＋y 3＝8（x 2＋xy ＋y 2＋1）的全部整数解x 、y ．25. 不定方程的整数解(x ，y )共有________组．26.2 ，得x =________．27. 不等式1248163264x x x x x xx的解集是_________．28.满足不等式32 的最大质数x =_________．29. 在实数范围内定义运算 ：(1)x y y x ，若不等式()()1a x x a 对任意实数x 都成立，则正整数a =_________．30. 已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了一次项系数的符号，误求得两根为 – 1和4，那么23b ca=_________．2222x y xy x y31.△ABC的三边长a、b、c均为实数且满足b+c=8，bc=a2 –12a+52，则△ABC的周长等于_________．32.关于x的四次方程x4 – 18x3 + kx2 + 200x – 1984 = 0的四个根中有两个根乘积为–32，则k的值是________．33.直角坐标系中有两个点A（– 1，– 1），B（2，3），若M为x轴上一点，且使MB – M A最大，则M的横坐标是________．34.如图，在平面直角坐标系中，一次函数443y x的图象分别交x轴、y轴于点A、B，把直线AB绕点O逆时针旋转90°，交y轴于点A'，交直线AB 于点C，则△A'BC的面积为_________．35. 一次函数11y k x b 的图像经过（1，6）和（– 3，– 2）两点，它与x 轴、与轴的交点分别为B 、A ，一次函数22y k x b 的图像经过点（2，–2），在y 轴上的截距为 – 3，它与x 轴、与y 轴的交点分别为D 、C ．若直线AB 、CD 交于E ，则△BCE 和△ADE 的面积比是_________．36. 已知，并且，那么直线一定通过第（ ）象限． A.一、二B.二、三C.三、四D.一、四37. 从– 2，– 1，1，2，3中取出两个作为一次函数y = kx + b 中的k 和b ，得到的一次函数不经过第二象限的概率是_________．38. 对于每个x ，函数y 是12332,2,122y x y x y x 这三个函数中的最小值．则函数y 的最大值是________．39. 点(2,)P a 在反比例函数ky x的图象上，它关于原点的对称点在一次函数23y x 的图象上，则k 的值为_______．0 abc p bac a c b c b a p px y40. 由方程111x y 确定的曲线所围成图形的面积是________．41. 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且AB =1，OB ，矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c 过点A 、E 、D ． 在x 轴的上方有点P 、点Q ，使以点O 、B 、P 、Q 为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，求出点P 坐标．42. 对任意的实数x ，函数f （x ）有性质f （x ）＋f （x – 1）= x 2．如果f （19）= 94，那么f （94）除以1000的余数是________．43.密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．李老师设计了四种正多边形瓷砖图案，在这四种瓷砖中，用一种瓷砖可以密铺平面的是（）．A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(4)44.一个凸n边形，它的每个内角的度数都是整数，且任意两个内角的度数都不相同，则n的最大值是_______．45.已知等腰三角形的三边长分别是2x–2，3x–6，4x–10，则x的值是________．46.正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD+PE的最小值为________．47.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，∠MON的两边分别是射线y=x(x≥0)与x轴正半轴．点A(6，5)，B(10，2)是∠MON内的两个定点，点P、Q分别是∠MON 两边上的动点，则四边形ABPQ周长的最小值是________．48.在平面直角坐标系内，已知4个定点A(– 3，0)，B(1，– 1)，C(0，3)，的最小值为________．D(– 1，3)及一个动点P，则PA PB PC PD49.已知点P的坐标为（0，1），O为原点，Q为第一象限内一点，若∠QPO = 150°，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为（____，____）．50.如图，正方形OPQR内接于△ABC，已知△AOR、△BOP、△CRQ的面积分别是S1=1，S2=3，S3=1，那么正方形OPQR的边长是________．51.在△ABC中，若AC ，BC ，AB 则△ABC的面积为_______．52.如图，D是△ABC三条中线的交点，若AD=3，BD=4，CD=5，△ABC的面积是________．53.如图，等腰△ABC中，∠ACB = 90°，M，N为斜边AB上两点，且∠MCN =45°，已知AM = 3BN = 5，则MN =________．54.如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，将Rt△OAB绕O点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，则AB扫过的面积为________．（结果保留π）55. 如图，Rt △ABC 中，90ACB ，30CAB ，BC =1，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°，得到△A'BC'，旋转过程中，线段DE 扫过的面积为_________．（结果保留π）56. 在Rt △ABC 中，∠C = 90°，CD ⊥AB 于D ，∠A 的平分线交CD 于E ，交BC于F ，过E 作EG ∥AB 交BC 于G ，若CE = 5，则BG =________．57. 如图，P 是△ABC 内的一点，连结AP 、BP 、CP 并延长，分别与BC 、AC 、AB 交于D 、E 、F ，已知AP = 6，BP = 9，PD = 6，PE = 3，CF = 20．那么△ABC 的面积是________．58. 如图，等边△AFG 被线段BC ，DE 分割成周长相等的三部分：等边△ACB 、梯形BCED 、梯形DEGF ，其面积分别为S 1，S 2，S 3，若263S ，则13S S =________．59. 如下图，在正方形的两个顶点之间依次连接了五条相互垂直的线段，长度分别为2，2，2，1，3，则阴影部分的面积为________．60. 已知正方形ABCD 的边长为1，P 1，P 2，P 3，P 4是正方形内部的4个点，使得△ABP 1，△BCP 2，△CDP 3和△DAP 4都是正三角形，则四边形P 1P 2P 3P 4的面积等于________．61. 在等腰梯形ABCD 中，上底AB = 500，下底CD = 650，两腰AD = BC = 333，∠A 和∠D 的平分线交于P 点，∠B 和∠C 的平分线交于Q ．则PQ 的长为________．62.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，OM⊥DE于点M，N为OM的中点．若S△F AN=10，则正六边形ABCDEF的面积为________．63.三边长均为整数且周长不超过30的直角三角形有_________个．（平移或旋转后可以重合的三角形视为同一个）64.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同的整数最小是________．65.从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出________个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除．66.已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数是________．67.一个三位数被11整除后的商等于这个三位数各位数字的平方和，那么这个三位数可能是_________．（求出所有结果）68.若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是一定是某个整数n的倍数．那么n的最大值是________．69.一个不透明的袋子中装有红、黄、蓝三种颜色的玻璃球若干个，这些玻璃球除颜色外其余都相同．其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为25，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为________．70.一项“过关游戏”规定：在第n关，要抛一颗骰子n次，如果这n次抛掷骰子上底面所出现的点数之和大于2n，就算过关．则连过前3关的概率是_________．71.为了防止信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种密码加密系统，其加密、解密原理为：发送方由明文x → 密文y（加密），接收方由密文y → 明文x（解密）．现在密匙为y=kx3，若明文“4”通过加密后得到的密文是“2”，则密文“1256”，解密后得到的明文是________．72.将1~20这20个正整数分成A、B两组，使得A组所有数的和等于N，而B组所有数的乘积也等于N，则N的所有可能取值有________．73.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，边长为1的小正方形MNPQ从如图的位置开始沿A→B→C→D→A的方向，在矩形内翻滚，翻滚1次后点P来到P1的位置，那么翻滚________次后，小正方形第一次回到初始位置，这个过程中点P经过的路径长为________．（结果保留π）74.如图所示，两个全等菱形的边长均为1厘米，一只蚂蚁由点A开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2016厘米后停下，则这只蚂蚁停在_________点．75.观察如下一列数对：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，……则第2023个数对是( )．A. (6，58)B. (6，59)C. (7，58)D. (58，7)E. (59，6)76. B 船在A 船的北偏西45°处，两船相距km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是________km ．77. 已知实数a > 0，且2和 –1至少有一个不满足关于x 的不等式250ax x a，则a 的最小值是________．78. 设a 1，a 2，a 3，…，a 13是13个两两不同的正整数，a 1+a 2+a 3+…+a 13=488．设a 是其中任意3个数相加之和的最小值，则a 最大可以是________．79. a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，i 是1~9中的不同数字，则a b c d e fg h i的最小值是________．80. 一玩具工厂用于生产一批小熊、小猫的全部劳动力为273个工时，原料为243个单位．生产一个小熊要使用9个工时、12个单位原料，利润为144元；生产一个小猫要使用6个工时、3个单位原料，利润为81元．在劳动力和原料的限制下，要使生产小熊和小猫的总利润最高，应该生产小熊________个、小猫________个．2023希望数学——8年级培训80题答案1.计算111 ________．答案：– 22.的值是________．答案：23.．答案：2022 4.( )A.B.12C.21E.2 答案：D5. 化简，得（ ）．A. B.C.D.答案：C6. 若x 2 – 13x + 1 = 0，则44x x ________．答案：278874322(2)2(2)n n n 8121n 12 n 87477. 设，则代数式的值为（ ）．A. –6B.24C.D.答案：A8. 用[x ]表示不超过x 的最大整数，用x – [x ]表示x 的小数部分．已知a 是t 的小数部分，b 是 – t 的小数部分，则________． 答案：9. 已知x + y+ z = 13，xy + yz + zx =102，xyz = 333，那么222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y z y z x z x y ________． 答案：3365210. 已知实数a ，b ，c 满足613675a b c ，99260a b c ，则3232b ca b=_______．答案：111. 若2(23)|23|0x y x y z ，则y z x =________．答案：2512. 如果221,4x y x y ，则33x y _________．答案：11213. 实数x ，y 满足，，x y ，则的值为________． 答案：11a 2212a a 1012t112b a1224x 24y x yy x14. 已知1113a b c d，1115b a c d ，1117c a b d ，1119d a b c ，则3579a b c d=________． 答案：315. 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足a +b =c ，b +c =d ，c +d =a ，那么a +b +c +d的最大值是________． 答案：– 516. 已知12m x x ，222n y y 则m – n 的最小值为_______．答案：4 17. 记12()12nf n n n n n（其中n 为大于1的整数），则f (n )的最小值是_________．答案：5618. 在实数范围内定义一种运算☆，其规则为a ☆b ＝12a b，则x ☆(x +1)=0的解为x =________． 答案：119. 设1232016,,,,a a a a 是不为零的实数，那么20152016121220152016||||||||a a a a a a a a 的值有_______种情况． 答案：2017 20. 方程34xx x x有________个实数根． 答案：121. 满足 2211x x x 的整数x 有________个．答案：322. 对于实数a ，[a ]表示不大于a 的最大整数．则关于x 的方程51830337x x的整数解是x=________． 答案：– 1523. 方程33225x y x y xy 的正整数解（x ，y ）的个数是________．答案：124. 求方程x 3＋x 2y ＋xy 2＋y 3＝8（x 2＋xy ＋y 2＋1）的全部整数解x 、y ．答案：8228x x y y 或25. 不定方程的整数解(x ，y )共有________组．答案：626.2 ，得x =________．答案：±36 27. 不等式1248163264x x x x x x x的解集是_________． 答案：x ＜6428.满足不等式32 的最大质数x =_________．答案：3972222x y xy x y29. 在实数范围内定义运算 ：(1)x y y x ，若不等式()()1a x x a 对任意实数x 都成立，则正整数a =_________． 答案：130. 已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了一次项系数的符号，误求得两根为 – 1和4，那么23b ca=_________． 答案：– 631. △ABC 的三边长a 、b 、c 均为实数且满足b +c =8，bc =a 2 –12a +52，则△ABC的周长等于_________． 答案：1432. 关于x 的四次方程x 4 – 18x 3 + kx 2 + 200x – 1984 = 0的四个根中有两个根乘积为 –32，则k 的值是________． 答案：8633. 直角坐标系中有两个点A （– 1，– 1），B （2，3），若M 为x 轴上一点，且使MB – M A 最大，则M 的横坐标是________． 答案：– 2.534. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数443y x 的图象分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，把直线AB 绕点O 逆时针旋转90°，交y 轴于点A '，交直线AB 于点C ，则△A'BC 的面积为_________．答案：62535. 一次函数11y k x b 的图像经过（1，6）和（– 3，– 2）两点，它与x 轴、与轴的交点分别为B 、A ，一次函数22y k x b 的图像经过点（2，–2），在y 轴上的截距为 – 3，它与x 轴、与y 轴的交点分别为D 、C ．若直线AB 、CD 交于E ，则△BCE 和△ADE 的面积比是_________． 答案：1∶436. 已知，并且，那么直线一定通过第（ ）象限． A.一、二 B.二、三 C.三、四 D.一、四答案：B37. 从– 2，– 1，1，2，3中取出两个作为一次函数y = kx + b 中的k 和b ，得到的一次函数不经过第二象限的概率是_________． 答案：31038. 对于每个x ，函数y 是12332,2,122y x y x y x 这三个函数中的最小值．则函数y 的最大值是________． 答案：60 abc p bac a c b c b a p px y39. 点(2,)P a 在反比例函数ky x的图象上，它关于原点的对称点在一次函数23y x 的图象上，则k 的值为_______．答案：240. 由方程111x y 确定的曲线所围成图形的面积是________．答案：241. 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且AB =1，OB ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c 过点A 、E 、D ． 在x 轴的上方有点P 、点Q ，使以点O 、B 、P 、Q 为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，求出点P 坐标．答案： 120,22P P,42. 对任意的实数x ，函数f （x ）有性质f （x ）＋f （x – 1）= x 2．如果f （19）= 94，那么f （94）除以1000的余数是________． 答案：56143.密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．李老师设计了四种正多边形瓷砖图案，在这四种瓷砖中，用一种瓷砖可以密铺平面的是（）．A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(4)答案：D44.一个凸n边形，它的每个内角的度数都是整数，且任意两个内角的度数都不相同，则n的最大值是_______．答案：2645.已知等腰三角形的三边长分别是2x–2，3x–6，4x–10，则x的值是________．答案：1646.正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD+PE的最小值为________．答案：47.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，∠MON的两边分别是射线y=x(x≥0)与x轴正半轴．点A(6，5)，B(10，2)是∠MON内的两个定点，点P、Q分别是∠MON 两边上的动点，则四边形ABPQ周长的最小值是________．答案：548.在平面直角坐标系内，已知4个定点A(– 3，0)，B(1，– 1)，C(0，3)，D(– 1，的最小值为________．3)及一个动点P，则PA PB PC PD答案：49.已知点P的坐标为（0，1），O为原点，Q为第一象限内一点，若∠QPO = 150°，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为（____，____）．答案：11， 50.如图，正方形OPQR内接于△ABC，已知△AOR、△BOP、△CRQ的面积分别是S1=1，S2=3，S3=1，那么正方形OPQR的边长是________．答案：251.在△ABC中，若AC ，BC ，AB ，则△ABC的面积为_______．答案：5.552.如图，D是△ABC三条中线的交点，若AD=3，BD=4，CD=5，△ABC的面积是________．答案：1853.如图，等腰△ABC中，∠ACB = 90°，M，N为斜边AB上两点，且∠MCN =45°，已知AM = 3BN = 5，则MN =________．54.如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，将Rt△OAB绕O点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，则AB扫过的面积为________．（结果保留π）答案：π55. 如图，Rt △ABC 中，90ACB ，30CAB ，BC =1，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°，得到△A'BC'，旋转过程中，线段DE 扫过的面积为_________．（结果保留π）答案：456. 在Rt △ABC 中，∠C = 90°，CD ⊥AB 于D ，∠A 的平分线交CD 于E ，交BC于F ，过E 作EG ∥AB 交BC 于G ，若CE = 5，则BG =________． 答案：557. 如图，P 是△ABC 内的一点，连结AP 、BP 、CP 并延长，分别与BC 、AC 、AB 交于D 、E 、F ，已知AP = 6，BP = 9，PD = 6，PE = 3，CF = 20．那么△ABC 的面积是________．答案：10858. 如图，等边△AFG 被线段BC ，DE 分割成周长相等的三部分：等边△ACB 、梯形BCED 、梯形DEGF ，其面积分别为S 1，S 2，S 3，若263S ，则13S S =________．答案：5659. 如下图，在正方形的两个顶点之间依次连接了五条相互垂直的线段，长度分别为2，2，2，1，3，则阴影部分的面积为________．答案：960.已知正方形ABCD的边长为1，P1，P2，P3，P4是正方形内部的4个点，使得△ABP1，△BCP2，△CDP3和△DAP4都是正三角形，则四边形P1P2P3P4的面积等于________．答案：261.在等腰梯形ABCD中，上底AB = 500，下底CD = 650，两腰AD = BC = 333，∠A和∠D的平分线交于P点，∠B和∠C的平分线交于Q．则PQ的长为________．答案：24262.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，OM⊥DE于点M，N为OM的中点．若S△F AN=10，则正六边形ABCDEF的面积为________．答案：4863.三边长均为整数且周长不超过30的直角三角形有_________个．（平移或旋转后可以重合的三角形视为同一个）答案：364.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同的整数最小是________．答案：1765.从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出________个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除．答案：6166.已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数是________．答案：867.一个三位数被11整除后的商等于这个三位数各位数字的平方和，那么这个三位数可能是_________．（求出所有结果）答案：550，80368.若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是一定是某个整数n的倍数．那么n的最大值是________．答案：969.一个不透明的袋子中装有红、黄、蓝三种颜色的玻璃球若干个，这些玻璃球除颜色外其余都相同．其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为25，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为________．答案：6 2570.一项“过关游戏”规定：在第n关，要抛一颗骰子n次，如果这n次抛掷骰子上底面所出现的点数之和大于2n，就算过关．则连过前3关的概率是_________．答案：100 24371.为了防止信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种密码加密系统，其加密、解密原理为：发送方由明文x → 密文y（加密），接收方由密文y → 明文x（解密）．现在密匙为y=kx3，若明文“4”通过加密后得到的密文是“2”，则密文“1256”，解密后得到的明文是________．答案：1 272.将1~20这20个正整数分成A、B两组，使得A组所有数的和等于N，而B组所有数的乘积也等于N，则N的所有可能取值有________．答案：180，182，19273.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，边长为1的小正方形MNPQ从如图的位置开始沿A→B→C→D→A的方向，在矩形内翻滚，翻滚1次后点P来到P1的位置，那么翻滚________次后，小正方形第一次回到初始位置，这个过程中点P经过的路径长为________．（结果保留π）答案：12， 374.如图所示，两个全等菱形的边长均为1厘米，一只蚂蚁由点A开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2016厘米后停下，则这只蚂蚁停在_________点．答案：A75. 观察如下一列数对：(1,1)，(1,2)， (2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…… 则第2023个数对是( )．A. (6，58)B. (6，59)C. (7，58)D. (58，7)E. (59，6) 答案：C76. B 船在A 船的北偏西45°处，两船相距km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是________km ．答案：77. 已知实数a > 0，且2和 –1至少有一个不满足关于x 的不等式250ax x a，则a 的最小值是________．答案：178. 设a 1，a 2，a 3，…，a 13是13个两两不同的正整数，a 1+a 2+a 3+…+a 13=488．设a 是其中任意3个数相加之和的最小值，则a 最大可以是________． 答案：9679.a，b，c，d，e，f，g，h，i是1~9中的不同数字，则a b c d e fg h i的最小值是________．答案：1 28880.一玩具工厂用于生产一批小熊、小猫的全部劳动力为273个工时，原料为243个单位．生产一个小熊要使用9个工时、12个单位原料，利润为144元；生产一个小猫要使用6个工时、3个单位原料，利润为81元．在劳动力和原料的限制下，要使生产小熊和小猫的总利润最高，应该生产小熊________个、小猫________个．答案：13，26。
初二数学思维测试卷答案
一、选择题（每题3分，共15分）1. 已知a，b是实数，且a+b=0，那么a和b的关系是（）A. a=bB. a=-bC. a≠bD. 无法确定答案：B解析：由题意得，a+b=0，即a=-b。
2. 一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为15cm，那么这个三角形的面积是（）A. 75cm²B. 100cm²C. 150cm²D. 225cm²答案：A解析：由等腰三角形的性质可知，底边和腰的长度相等。
设三角形的高为h，则根据勾股定理得，h²=15²-5²=200。
所以三角形的面积为S=1/2×10×√200=75cm²。
3. 下列各数中，属于无理数的是（）A. √4B. √9C. √16D. √25答案：C解析：无理数是指不能表示为两个整数比的实数。
在选项中，只有√16是无理数，因为它不能表示为两个整数的比。
4. 一个长方形的长是8cm，宽是5cm，那么这个长方形的周长是（）A. 15cmB. 20cmC. 25cmD. 30cm答案：C解析：长方形的周长是长和宽的两倍之和，即2×(8+5)=26cm。
所以正确答案是C。
5. 已知一元二次方程x²-3x+2=0，那么它的两个根是（）A. x=1，x=2B. x=1，x=3C. x=2，x=3D. x=1，x=1答案：A解析：这是一个一元二次方程，可以通过因式分解或者求根公式来求解。
因式分解得(x-1)(x-2)=0，所以x=1或x=2。
二、填空题（每题5分，共20分）6. 两个数的和是20，它们的积是48，那么这两个数分别是（）答案：8和6解析：设这两个数分别为x和y，则有x+y=20，xy=48。
通过解方程组可得x=8，y=6。
7. 一个等边三角形的边长是6cm，那么这个三角形的面积是（）答案：18cm²解析：等边三角形的面积公式为S=(a²×√3)/4，代入a=6，得S=(6²×√3)/4=18cm²。
初二数学思维训练习题
初二数学思维训练习题1. 问题解析初二数学是学生接触到较为抽象的数学概念和思维方法的阶段。
为了培养学生的数学思维能力，我们需要提供一些思维训练习题，这些习题旨在锻炼学生的逻辑思维、推理能力和问题解决能力。
本文将提供一些适合初二学生的数学思维训练习题，帮助他们在数学学习中取得更好的成绩。
2. 习题一：数列与函数给定数列{an}，已知a1=1，an与an-1之间满足等式an = an-1 + 2n - 1。
求该数列的通项公式。
解析：首先我们可以列出数列的前几项：1, 4, 9, 16, 25, ... 可以观察到，该数列的每一项等于前一项加上2n-1。
我们可以将此等式化简为an = an-1 + 2n - 1，根据递推关系得出通项公式an = n^2。
因此，该数列的通项公式为an = n^2。
3. 习题二：平面几何在平面直角坐标系中，已知点A(-2, 1)，点B(3, 4)和点C(-1, -3)，求三角形ABC的面积。
解析：首先我们需要计算AB和AC两条边的长度。
根据两点之间的距离公式，得到AB的长度为√((3-(-2))^2 + (4-1)^2) = √(25+9) = √34，AC的长度为√((-1-(-2))^2 + (-3-1)^2) = √(1+16) = √17。
然后，我们可以利用三角形的面积公式，计算面积S = 1/2 * AB * AC = 1/2 * √34 * √17 = 1/2 * √(34*17) = 1/2 * √578。
因此，三角形ABC的面积为√578/2。
4. 习题三：方程与不等式已知二次方程x^2 - 3x - 4 = 0，求其解并判断方程的根是否为整数。
解析：我们可以使用求根公式来解这个方程。
根据求根公式，对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，其解可以表示为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) /(2a)。
将方程x^2 - 3x - 4 = 0代入求根公式，得到x = (3 ± √((-3)^2 - 4*1*(-4))) / (2*1) = (3 ± √(9+16)) / 2 = (3 ± √25) / 2。
初二数学思考试题及答案
初二数学思考试题及答案【试题一】题目：已知一个直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。
如果a=6，b=8，求斜边c的值。
【答案】根据勾股定理，我们知道直角三角形的斜边c的平方等于两条直角边的平方和，即：\[ c^2 = a^2 + b^2 \]将已知的a和b的值代入：\[ c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \]求c的值，即：\[ c = \sqrt{100} = 10 \]所以，斜边c的长度为10。
【试题二】题目：某工厂计划生产x件产品，每件产品的成本为10元，销售价格为15元。
如果工厂希望获得的利润为2000元，求需要生产的产品数量x。
【答案】首先，我们可以设每件产品的利润为p，那么：\[ p = 销售价格 - 成本 = 15 - 10 = 5 \]工厂希望获得的总利润为2000元，设需要生产的产品数量为x，则：\[ 总利润 = 每件产品的利润 * 产品数量 \]\[ 2000 = 5 * x \]解这个方程，我们得到：\[ x = \frac{2000}{5} = 400 \]所以，工厂需要生产400件产品。
【试题三】题目：一个数列的前三项为1，2，3，从第四项开始，每一项都是它前三项的和。
求这个数列的第10项。
【答案】根据题目描述，我们可以写出数列的前几项：1, 2, 3, 6, 11, 21, 43, 86, 171, ...数列的第n项（n≥4）是它前三项的和，即：\[ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3} \]我们已知第7项为43，第8项为86，第9项为171，现在我们可以求第10项：\[ a_{10} = a_9 + a_8 + a_7 = 171 + 86 + 43 = 300 \]所以，这个数列的第10项是300。
【试题四】题目：一个圆的半径为r，求这个圆的面积。
【答案】圆的面积公式为：\[ A = \pi r^2 \]其中，A是面积，r是半径，π是一个常数，约等于3.14159。
数学思维挑战八年级上册数学思维题解析与训练
数学思维挑战八年级上册数学思维题解析与训练I. 问题解析1. 问题1：解析题目描述：恒温泳池中有两根相交的实心圆柱体，一根半径为2.5米，高3米；另一根半径为1.5米，高4米。
如果两个圆柱体都是均匀加热的，那么两小时后哪个圆柱体的温度更高？解析：我们可以使用圆柱体的体积公式来计算两个圆柱体的体积，并结合给定的时间和温度变化规律，判断哪个圆柱体的温度更高。
2. 问题2：解析题目描述：A、B、C、D四个数分别是3、4、5和7，通过加减法和乘除法，是否能得到整数16？解析：我们可以通过列举所有的可能性进行验证。
遍历A、B、C、D所有可能的组合，运用加减法和乘除法，计算得到结果，并判断是否等于16。
II. 解题训练1. 题目1：解题过程题目描述：一个数减去2的结果再乘以3得到15，这个数是多少？解题过程：解方程得：x - 2 = 15 / 3化简得：x - 2 = 5移项得：x = 5 + 2计算得：x = 72. 题目2：解题过程题目描述：一辆汽车以每小时70公里的速度行驶，行驶8小时后，汽车行驶的距离是多少？解题过程：已知汽车的速度为70公里/小时，时间为8小时，根据速度公式：距离 = 速度 * 时间代入已知数据进行计算，得：距离 = 70公里/小时 * 8小时计算得：距离 = 560公里III. 思维训练1. 问题1：解析题目描述：一个三位数的各位数字之和是5，逆序之后得到一个两位数，且两位数减去个位数等于123。
这个三位数是多少？解析：逆序之后得到两位数为ba，根据题目描述得到方程：10b + a - c = 123根据题目条件，a、b、c为整数且满足0≤a≤9、0≤b≤9、0≤c≤9通过遍历求解方程组，找到满足条件的解。
2. 问题2：解析题目描述：某本数学书原价68元，现在打8折出售，小明购买了该书并支付了若干元，如果还需支付38元，那么小明支付了多少元？解析：设小明支付的金额为x，根据题目描述得到方程：68 * 0.8 + x = 38解方程得：x = 38 - 68 * 0.8计算得：x = 8.4元IV. 思维拓展1. 思维题1：题目描述：有一楼梯，每次只能迈1阶或2阶，从底部走到顶部共有多少种走法？解析：我们可以使用递归的思想来解决该问题。
初二数学逻辑思维练习题
初二数学逻辑思维练习题（正文开始）1.问题描述：小明手中有一袋糖果，他将其中的一半分给了小红，然后又将剩下的一半分给了小刚。
这时，小明手中还剩下9颗糖果。
请问，小明一开始有多少颗糖果？解答：设小明一开始有x颗糖果。
根据题目描述，小明先将一半的x颗糖果分给小红，然后将剩下的一半再分给小刚。
根据题意，可以得到以下等式：(1/2) * (1/2) * x = 9化简上述等式，得到：(1/4) * x = 9将等式两边同时乘以4，消去分数，可得：x = 36因此，小明一开始有36颗糖果。
2.问题描述：小明和小红共有35个鸡蛋，小明比小红多拿了5个鸡蛋。
请问，小明拿了几个鸡蛋？解答：设小明拿了x个鸡蛋。
根据题目描述，小明比小红多拿了5个鸡蛋，所以可以得到以下等式：x - 5 = (35 - x)化简上述等式，可得：2x = 40解方程，得到：x = 20因此，小明拿了20个鸡蛋。
3.问题描述：小明参加了一个1500米的长跑比赛，他以每秒5米的速度奔跑。
请问，小明跑完1500米需要多少秒？解答：设小明跑完1500米需要的秒数为x秒。
根据题目描述，小明以每秒5米的速度奔跑，所以可以得到以下等式：5x = 1500解方程，得到：x = 300因此，小明跑完1500米需要300秒。
4.问题描述：某书店原价售卖一本教辅书为80元，打折销售时价格降低20%。
请问，打折销售后的价格是多少？解答：设打折销售后的价格为x元。
根据题目描述，价格降低20%，即打折后价格为原价的80%。
所以可以得到以下等式：0.8 * 80 = x计算上述等式，得到：x = 64因此，打折销售后的价格为64元。
5.问题描述：某手机品牌在某商店的售价为1200元，现进行一次促销活动，降价30%。
请问，促销后的售价是多少？解答：设促销后的售价为x元。
根据题目描述，价格降低30%，即促销后价格为原价的70%。
所以可以得到以下等式：0.7 * 1200 = x计算上述等式，得到：x = 840因此，促销后的售价为840元。
初二数学思维训练习题
初二数学思维训练习题学习数学是培养学生思维能力的重要途径之一。
通过解决习题，能够锻炼学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。
下面将给出一些初二数学思维训练习题，供同学们练习。
1. 有两个相邻的偶数，它们的和是28，求这两个偶数各是多少？解析：设偶数为2x和2(x+1)。
根据题意，可以列出方程2x + 2(x+1) = 28。
将方程化简为4x + 2 = 28，进一步化简得4x = 26，因此x = 6.5。
由于偶数必须是整数，所以不存在这样的两个偶数。
2. 有四个正整数，如果任意两个正整数中，一个整除另一个，则这四个正整数中的最大数不超过30，求这四个正整数。
解析：设四个正整数为a、b、c和d。
根据题目要求，我们可以列出以下的条件：a整除b，b整除c，c整除d，d整除a。
通过分析，我们可以发现满足上述条件的四个正整数只有1、2、3和6。
因为若其中任意一个数大于6，则必然存在不能被其他数整除的情况。
3. 某个正整数除以9的余数是5，如果把这个数字的9个倍数加上这个数字，所得的和是1001，求这个正整数。
解析：设正整数为x。
根据题意，可得方程x + 9k = 1001，其中k 为正整数。
又因为x除以9的余数是5，所以可以表示为x = 9n + 5，其中n为正整数。
将x代入方程中，可得9n + 5 + 9k = 1001，进一步化简得9n + 9k = 996，整理得n + k = 110。
因为n和k都是正整数，所以n和k的取值范围为1到109。
通过暴力穷举，可以发现当n = 101，k = 9时，满足方程n + k = 110。
因此x = 9n + 5 = 9(101) + 5 = 914。
所以这个正整数是914。
4. 小明家里有一些鸡和鸭，共有50只，脚的总数为140只。
求小明家里有多少只鸡和鸭各自有多少只？解析：设鸡的只数为x，鸭的只数为y。
根据题意，可以列出以下的方程：x + y = 50 （1）2x + 4y = 140 （2）通过方程（1），可以得到y = 50 - x。
初中数学思维训练题及解析
初中数学思维训练题及解析数学是一门需要思维和逻辑能力的学科，而初中数学正是培养学生这方面能力的关键时期。
在学习数学的过程中，不仅要掌握基本的概念和计算方法，还需要进行思维训练，培养学生的数学思维能力。
本文将介绍一些初中数学思维训练题，并给出相应的解析，希望能够帮助学生更好地理解和应用数学知识。
1. 题目：在一个数列中，第一项是1，第二项是2，后面的每一项都是前两项的和。
如果数列中的某一项是144，那么它是第几项？解析：这是一个典型的斐波那契数列问题。
我们可以通过递推关系式来解答。
设第n项为x，那么根据题目中给出的关系式，可以得到x = x(n-1) + x(n-2)。
根据这个关系式，我们可以逐步计算出数列的各个项，直到找到等于144的项为止。
2. 题目：有一条河，河中有一只小船和一只小狗。
小船每次能够携带两个物品过河，小狗每次能够携带一只物品过河。
如果小船上没有人或者小狗，那么小狗会吃掉小船上的物品。
现在有一只鸭子、一只猫和一只老鼠需要过河，问如何才能保证它们都能安全过河？解析：这是一道经典的河岸过河问题。
我们需要考虑到小狗会吃掉小船上的物品的情况。
根据题目中给出的条件，我们可以得出以下步骤来保证它们都能安全过河：1) 先让小狗带着老鼠过河，小狗回来；2) 再让小船上的人带着鸭子过河，人带着鸭子回来；3) 最后让小狗带着猫过河。
通过这个步骤，我们可以保证所有的物品都能安全过河，而不会被小狗吃掉。
3. 题目：有一张长方形的纸片，纸片的长是12cm，宽是8cm。
现在我们要将这张纸片剪成若干个正方形，要求每个正方形的边长都是整数，并且剪出的正方形个数最多。
问最多能剪出几个正方形？解析：这是一道求最大公约数的问题。
我们可以观察到，纸片的长和宽都可以被2整除。
所以我们可以先将纸片剪成4个4cm×4cm的正方形，然后再将这四个正方形继续剪成更小的正方形，直到不能再剪为止。
所以最多能剪出的正方形个数是4。
数学思维挑战之旅八年级上册数学思维题解析与训练技巧
数学思维挑战之旅八年级上册数学思维题解析与训练技巧数学思维挑战之旅：八年级上册数学思维题解析与训练技巧数学思维题在中学数学教育中占据了重要的地位，它们不仅要求学生熟练掌握基本的数学知识和算法，还需要学生具备灵活运用数学思维解决问题的能力。
本文将通过解析八年级上册的数学思维题，并介绍一些有效的训练技巧，帮助学生提升数学思维能力。
一、解析数学思维题1. 题目分析在解决数学思维题时，首先要仔细阅读题目，理解题目要求，抓住题目的关键信息。
例如，题目中可能涉及到几何图形的性质，要求学生通过推理和归纳找到规律，或者给出一个算式，需要学生利用已有的数学知识和方法进行运算。
通过题目分析，可以确定解题的思路和方法。
2. 找出问题核心解决数学思维题的关键是找出问题的核心，即问题的关键点或主要目标。
通过理清问题中的关键信息，可以确定解题的方向。
例如，如果题目是求某个几何图形的面积，那么核心问题就是找到计算该几何图形面积的公式或方法；如果题目是解方程，那么核心问题就是找到解方程的步骤和方法。
3. 推理与归纳数学思维题常常要求学生通过推理和归纳找到问题的解决方法。
通过观察和思考，学生可以发现问题中的规律或性质，从而得出解题的思路。
例如，通过观察等差数列中的数值变化规律，学生可以找到数列的通项公式；通过将问题中的几个例子进行比较和归纳，可以得到问题的解决方法。
4. 灵活运用数学知识和方法解决数学思维题需要学生灵活运用已有的数学知识和方法。
在解题过程中，可以借鉴和运用各种数学概念、公式、定理和算法，将其应用于具体问题中。
例如，可以利用几何图形的性质、数列的特点、代数式的变形等方法来解决问题。
关键是要理解数学知识和方法的本质，善于灵活运用。
二、训练技巧1. 多做练习题为了提高数学思维能力，学生需要进行大量的练习。
可以选择一些难度适当的数学思维题目进行练习，通过不断的实践和思考，逐渐掌握解题的方法和技巧。
同时，要注意总结每次练习的经验和教训，及时纠正错误。
八年级上册数学思维训练培训(培优)试题：三角形中的边角关系
八年级上册数学思维训练培训（培优）试题：三角形中的边角关系【思维入门】例1如图，AE ，AD 分别是△ABC 的高和角平分线，求∠DAE 与∠B 、∠C(∠C>∠B)之间关系。
例2如图，已知∠MON=90°，点A ，B 分别是OM ，ON 上的动点．若P 2是∠BAO 和△OBA 的外角∠OBD 的平分线的交点，则∠BP 2A 的大小是否发生变化？为什么？【思维拓展】例3用长度相等的120根火柴，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形各边所用火柴的根数．例4锐角△ABC 中，AB>BC>AC ，且最大内角比最小内角大24°，求∠A 的取值范围．【思维升华】例5如图，在△ABC 中，已知点P ，Q 分别在AC ，BC 上，BP 与AQ 相交于点O ，若△BOQ 、△ABO 、△APO 的面积分别为1、2、3，△PQC 的面积等于____________________.【跟踪训练】AE C D B1.若△ABC 的三边整数，周长为13，一边长为5，则三角形的最大边长为______.2.如图，BE 是∠ABD 的角平分线，CF 是∠ACD 的角平分线，BE 与CF 交于点G ，点∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A 的度数为_______________.3、（鄂州中考）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 交AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ，7 ABC S △，DE=2，AB=4，则AC 的长是（）A 、4B 、3C 、6D 、5（第2题图） （第3题图） （第4题图）4、（宁波中考）如图，在△ABC 中，AB=AC ，D ，E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC ，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm ，DE=2cm ，则BC=____________cm 。
八年级数学思维训练题二
八年级数学思维训练题②
1.在△ABC 中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，P 为三角形内一点，∠PBA=20°，∠PCA=30°，求证：PB+BA=AC.
A
P
B C
2.如图，等边△ABC 中，D 为BC 延长线上一点，连接AD，点E 在AD 上，AE=AB，连接BE 交AC 于
F，求证：（1）CD=DE+CF；（2）AF+CD=AD
A
E
F
B D
A
E
F
B
E
F
l
E
F
l
3. △ACB 为等腰 RT 三角形，∠CAB =90°，过 B 点有一条直线 l ，分别过 C 点和 A 点作垂线交 l 于 E 点
和 F 点.（要求：一二问要用两种方法）
（1）当直线 l 与线段 AC 有交点时，请写出 CE 、AF 、BE 之间的数量关系，并证明；
A
C
B
A
C
B
（2） 当直线 l 与线段 AC 的延长线有交点时，请写出 CE 、AF 、BE 之间的数量关系，并证明；
A
A
（3） 当直线 l 与线段 CA 的延长线有交点时，请补全图形，并直接写出 CE 、AF 、BE 之间的数量关系.
A
C
B
C F
E
l
C F
E
l。
(word版)八年级下期数学培优思维训练(特殊平行四边形)
八年级下期数学培优思维训练三、平行四边形〔特殊平行四边形〕〔一〕知识梳理：〔二〕方法归纳：〔三〕范例精讲：1.如图，在RTABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，CE⊥AB于E，交AD于G，DF⊥AB于F.求证：四边形CGFD是菱形.2.〔1〕如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．求证：CE＝CF.〔2〕如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．求证：AE＝AF.〔3〕过正方形ABCD的顶点B引对角线AC的平行线BE，在BE上取一点F，使AF=AC，假设作菱形CAFE.求证：AE及AF三等分∠BAC.1如图，E，F，分别是正方形ABCD的边AB、BC的中点，M为BC的延长线上一点，CH平分∠DCM 交AD延长线于H，FG⊥AF交CH于G.求证：〔1〕ABF≌ΔDAE，AF⊥DE；〔2〕AEF≌ΔFCG；〔3〕四边形EFGD是平行四边形.如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、△ACE、△BCF.〔1〕求证：四边形DAEF是平行四边形；〔2〕探究以下问题：〔只填满足的条件，不需证明〕①当△ABC满足条件时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足条件时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC满足条件时，四边形DAEF是正方形；④当△ABC满足条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．2如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且EF∥AC，在DA的延长线上取一点G，使AG＝AD，EG与DF相交于点H.求证：AH＝AD.6.假设以直角三角形ABC的边AB为边，在△ABC的外部作正方形ABDE，AF是BC边的高，延长FA至点G使AG=BC.求证：BG=CD.7.如图1，正方形ABCD中，M为AB的中点，E为AB延长线上一点，MN⊥DM，交∠CBE的平分线于点N．〔1〕DM与MN相等吗？试说明理由．〔2〕假设将条件“M为AB的中点〞改为“M为AB上任意一点〞，其它条件不变，如图2，那么DM与MN相等吗？为什么？38.如图，菱形ABCD的边长是2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且AE+CF=2.〔1〕求证：△BDE≌△BCF；〔2〕判断△BEF的形状，并说明理由.9.正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC〔或它们的延长线〕于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时〔图1〕，易证BM+DN=MN．〔1〕当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时〔图2〕，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；〔2〕当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想；〔3〕运用在〔1〕解答中所积累的经验，完成下题：如图4，在直角梯形ABCD中，AD∥BC〔BC＞AD〕，∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．4正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.〔1〕当点P与点O重合时〔如图①〕，猜想AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；〔2〕当点P在线段DB上〔不与点D、O、B重合〕时〔如图②〕，探究〔1〕中的结论是否成立？假设成立，写出证明过程；假设不成立，请说明理由；〔3〕当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断〔1〕中的结论是否成立？假设成立，直接写出结论；假设不成立，请写出相应的结论.如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC中点．〔1〕如图1，当点P在线段AO上时，猜想PE与PD的数量关系和位置关系，并说明理由；〔2〕如图2，当点P在线段OC上时，〔1〕中的猜想还成立吗？请说明理由；〔3〕如图3，当点P在AC的延长线上时，请在图3中画出相应的图形〔尺规作图，保存作图痕迹，不写作法〕，并判断〔1〕中的猜想是否成立？假设成立，请直接写出结论；假设不成立，请说明理由．5如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD〔不含B点〕上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．〔1〕求证：△AMB≌△ENB；〔2〕①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；〔3〕当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．13.以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．〔1〕如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状〔不要求证明〕；〔2〕如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α〔0°＜α＜90°〕，①试用含α的代数式表示∠HAE；②求证：HE=HG；③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．6〔四〕思维训练：1.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F.求证：DE=DF.如图，矩形ABCD，延长CB到点E，使CE=CA，点F是AE的中点.求证：BF⊥DF.A DF3.E4.B C5.6.7.8.9.10.11.12.如图，在△AEC中，以∠AEC为锐角，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AH的中点是M．求证：△FMH是等腰直角三角形．74.〔1〕如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．〔2〕如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH 之间的数量关系，并说明理由．〔3〕在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，假设EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的长．在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，∠MPN=90°．正方形ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．〔1〕如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为_________；〔2〕如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；〔3〕如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为_________；位置关系为_________．8正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F．如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF．〔1〕如图2，假设点P在线段AO上〔不与点A、O重合〕，PE⊥PB且PE交CD于点E．①求证：DF=EF；②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；〔2〕假设点P在线段OC上〔不与点O、C重合〕，PE⊥PB且PE交直线CD于点E．请完成图3并判断〔1〕中的结论①、②是否分别成立？假设不成立，写出相应的结论．〔所写结论均不必证明〕正方形ABCD．〔1〕如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：BE=GH；〔2〕如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD，BC于点E，F，交AB，CD于点G，H，EF与GH相等吗？请写出你的结论；〔3〕当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边〔或它们的延长线〕截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m，n，m与AD，BC的延长线分别交于点E，F，n 与AB，DC的延长线分别交于点G，H，试就该图形对你的结论加以证明．9操作例如：对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED．从拼接的过程容易得到结论：①四边形BNED是正方形；②S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED．实践与探究：〔1〕对于边长分别为a，b〔a＞b〕的两个正方形ABCD和EFGH，按图2所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N；①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；②在图2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法〔类比图1，用数字表示对应的图形〕；〔2〕对于n〔n是大于2的自然数〕个任意的正方形，能否通过假设干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由．10如图，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上〔CG＞BC〕，取线段AE的中点M．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．说明：〔1〕如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来〔要求至少写3步〕；〔2〕在你经历说明〔1〕的过程后，可以从以下①、②、③中选取一个补充或更换条件，完成你的证明．注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分．DM的延长线交CE于点N，且AD=NE；②将正方形CGEF6绕点C逆时针旋转45°〔如图〕，其他条件不变；③在②的条件下，且CF=2AD．附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后〔如图〕，其他条件不变．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．11操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．探究：设A、P两点间的距离为x．〔1〕点Q在CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论〔如图1〕；〔2〕点Q边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域〔如图2〕；〔3〕点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由〔如图3〕．〔图4、图5、图6的形状、大小相同，图4供操作、实验用，图5和图6备用〕．12。
八年级数学思维训练题
八年级数学思维训练题
八年级数学思维训练题
数学思维是发展学生逻辑思维和创造力的重要手段之一。
为了帮助八年级学生提高数学思维能力，以下是一些数学思维训练题，旨在锻炼学生的逻辑推理和问题解决能力。
1. 给定一个数字序列：3, 5, 8, 13, 21, ...，请问下一个数字是多少？思考并找出数字序列的规律，然后预测下一个数字。
2. 在一个正方形的每个角上标记一个数字，要求每个角的数字之和都相等。
给定以下三个数字：4, 3, 5，请问如何将它们标记在正方形的四个角上？
3. 如果一个数字的平方和再加上这个数字本身等于100，那么这个数字是多少？
4. 在一个三角形的每个边上都标记一个数字，要求每个边的数字之和都相等。
给定以下三个数字：6, 8, 9，请问如何将它们标记在三角形的三条边上？
5. 一辆汽车从A地到B地的距离是120公里，车速是40公里/小时。
如果驾驶员在中途停车了30分钟，那么整个行程需要多长时间？
这些训练题旨在培养学生的观察力、分析能力和解决问题的能力。
通过思考并解决这些题目，学生可以锻炼数学思维和逻辑推理能力，同时提高解决实际问题的能力。
希望这些训练题能够帮助八年级学生更好地掌握数学知识，提高数学思维能力。
八年级数学思维训练题1解析
八年级数学思维训练题①解析1.如图，∠A =90°，∠COB =2∠AOC =45°，证明：CB =2AO点评：先通过计算，理清图中的具体角度，延长OA 构造出2倍的OA ，发现KC 垂直于OB ，得到三角形OKH 与三角形CHB 全等，并且可以证明OK =2AO ，即CB =2AO.另外再提供两个思路，利用的是取CB 的中点，同学们可以依据辅助线自行尝试证明.2.如图，BC =BD ，∠BAC =∠CAD =60°，求证△BDC 为正三角形.点评：辅助线如图所示，通过2个60°发现隐藏的第三个60°，再通过角平分线的对称性和角平分线的性质（双垂）构造全等.得到灰角相等，再通过八字导角得到60°.3.如图，在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，AE =3BE ，连接CE ，作∠BCM =∠AEC ，CM =CE ，连接AM 交BC 于P 点，求BP :CP 的值.点评：八上在等边三角形内涉及到比例关系的转化，无非是三个突破口：中点，30°，面积法.这个题的着力点就是中点，中点从何而来？构造平行八字全等,需要平行与等边方可得到全等，当我们作出AE 与CM 平行后，还要想办法证明AE =CM ，而这里的∠BCM =∠AEC ，CM =CE 就派上用场了，前后完美承接，得到P 为EC 中点. BP :CP=5:3CBOABHDCBAHKFP MCB A4.在四边形ABCD 中，AC 、BD 交于点E ,且∠ACD =∠ADC . ⑴如图1，若AB =AD ，求证：∠BAC =2∠BDC ；⑵如图2，在⑴的条件下，若∠BDC =30°，求证：BC =AC .⑶如图3，若BC =AD ，∠BDC =30°，过A 作AE ⊥BD 于E ，过C 作CF ⊥BD 于F ，且EF ：BE =2：11，DF =9，求A 点到线段CD 的距离长度.点评：第一二问都是围绕着导角与正三角形展开的计算，第三问多了很多条件需要抽丝剥茧的分析。
八年级数学思维训练答案
八年级数学思维训练答案篇1：八年级数学思维训练答案发散思维是指大脑在思维时呈现的一种扩散状态的思维模式，比较常见，它表现为思维视野广阔，思维呈现出多维发散状。
发散思维又称辐射思维、放射思维、扩散思维或求异思维。
八年级数学思维训练(一)1、有两个桶，一个三斤，一个五斤，水无限，如何得出精确的四斤水。
2、夜晚过一桥，甲过需要一分钟，乙两分钟，丙五分钟，丁十分钟。
桥一次最多只能承受两人，过桥必须使用手电筒，现在只有一只手电筒。
请问4人如何在17分钟内全部过桥。
3、小赵的店里来了一位顾客，挑了20元的货，顾客拿出50元，小赵没零钱找不开，就到隔壁小韩的店里把这50元换成零钱，回来给顾客找了30元零钱。
过一会，小韩来找小赵，说刚才的是假钱，小赵马上给小李换了张真钱。
问：在这一过程中小赵赔了多少钱?4、鸡妈妈领着自己的孩子出去觅食，为了防止小鸡丢失，她总是数着，从后向前数到自己是8，从前向后数，数到她是9。
鸡妈妈最后数出来她有17个孩子，可是鸡妈妈明明知道自己没有这么多孩子。
那么这只糊涂的鸡妈妈到底有几个孩子呢?鸡妈妈为什么会数错?5、用水果刀平整地去切一个大西瓜，一共切10刀，最多能将西瓜切成多少块?最少能切多少块?6、小李有40元钱，他想用他们买饮料，老板告诉他，2元钱可以买一瓶饮料，4个饮料瓶可以换一瓶饮料。
那么，小李可以买到多少瓶饮料?7、有一口深4米的井，井壁非常光滑。
井底有只青蛙总是往井外跳，但是，这只青蛙每次最多能跳3米，你觉得这只青蛙几次能跳到井外去吗?为什么?8、小红和小丽一块到新华书店去买书，两个人都想买《综合习题》这本书，但钱都不够，小红缺少4.9元，小丽缺少0.1元，用两个人合起来的钱买一本，但是钱仍然不够，那么，这本书的价格是多少呢?9、明明牵着一只狗和两只小羊回家，路上遇到一条河，没有桥，只有一条小船，并且船很小，他每次只能带狗或一只小羊过河。
你能帮他想想办法，把狗和羊都带过河去，又不让狗咬到小羊。
八年级上册数学思维训练培训(培优)试题：等腰三角形
八年级上册数学思维训练培训（培优）试题：等腰三角形【思维入门】例如图，BD是等腰AABC底边AC 上的高线，DE〃BC角AB于点E,求证：ΔBED是等腰三角形。
例1—1：如图，ZABC的平分线BF与AABC中ZACB相邻的外角的平分线CF相交于点F,过点F作DF〃BC, 交AB 于点D,交AC于点E, （1）图中有哪几个等腰三角形？请说明理由。
（2） BD, CE, DE之间存在着什么关系？请证明。
【思维拓展】例2：等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30。
，则等腰三角形的顶角为例3：如图，在AABC 中，AB=AC, ZBAD=20°,且AD=AE,则ZCDE=例4：如图，在ZkABC 中，AB=AC, AD=DE, ZBAD=20% ZEDC=IO0,则ZDAE 的度数为 ______________________________________________________________________________________________【思维升华】例5：老师布宜了一道思考题: 如图1,点M, N分别在正三角形ABC的BC, AC边上，⅛ BM=CN, AM. BN交于点Q,求证：ZBQM = 60%（1）请你完成这道思考题;（2）做完（I）后，同学们在老师的启发下进行了反思.提岀了许多问题，如:①若将题中“BM=CK'与2BQM = 60尸的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别分别移动到BG AC的延长线，是否仍能得到ZBQM=60。
？③若将题中的条件“点卜1, N 分别在正三角形ABC的BGAC边上'改为“点MN分别在正方形ABCD的BGCD边上，，是否仍能得到ZBQM =60°?请你作出判断，在下列横线上填写“是"或“否① __________出证明。
_____ U对②，③的判断，选择一个给【思维探究活动】例：小区内有一个三角形小花坛，现在小明想把它分割成两个等腰三角形，使之可以种上不同的花，但是一泄可以分成两个等腰三角形吗？于是小明开始探索三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件，小明把三角形花坛抽象成 几何图形，如图1，∆ABC 中，设ZA= α , ZB=0, ZC=/。
八年级下期数学培优思维训练(二次根式)
８.化简 .
9.设 ,求 的值．
（四）思维训练:
1.若式子 化简的结果为 ，则 的取值范围为（)
A. ﻩB. C． D.
2.若 ，则 的取值范围是()
Ａ. ﻩﻩﻩB. ﻩﻩＣ. D． 或
3.将二次根式 的根号外面的因式移到根号内是＿__________.
4.把 根号外面的因式移到根号内为______＿＿_＿_＿_.
八年级下期数学培优思维训练
一、二次根式
（一)知识梳理：
（二)方法归纳：
（三)范例精讲:
1．(1）已知 ，求 的值.
（2)若 ,求 的值.
2．(1）化简 .
（2)计算 .
(3）化简 .
3.已知 ,求证： .
4.化简：(1） ﻩﻩ(2) ﻩﻩ(3)
５．(1）若 ,化简 .
(2)化简 .
6.设 ， ，求 的值.
15．已知 ， 为实数，且 .求 的值.
1６.已知 ， ,求 的值.
17.已知 ，求 的值.
１8.已知 ,求 的值.
１9.化简: .
2０.若 ，.
５.实数 的算术平方根等于_____＿___＿＿.
6.已知 ,求 的值．
7．已知 的整数部分为 ,小数部分为 ,求 的值.
8．化简 .
９.先化简，再求值： ，其中 .
1０.先化简，再求值 ，其中 .
11.已知 ，求代数式 的值.
1２.已知 ，求 的值.
１3．已知 ，求 的值.
14.已知 , ，求 的值．
初二数学思维训练试卷答案
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各数中，不是无理数的是（）A. √2B. πC. √9D. 3答案：C解析：无理数是指不能表示为两个整数比的实数，而√9=3，是有理数，因此选C。
2. 若a，b是实数，且a+b=0，则下列各式中正确的是（）A. a=0，b=0B. a=0，b≠0C. a≠0，b=0D. a≠0，b≠0答案：D解析：由于a+b=0，根据实数的加法交换律，可得b+a=0，因此a≠0，b≠0，选D。
3. 下列各式中，正确的是（）A. (a+b)²=a²+b²B. (a+b)²=a²+2ab+b²C. (a-b)²=a²-b²D. (a-b)²=a²-2ab+b²答案：B解析：根据平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²，因此选B。
4. 若a，b，c成等差数列，且a+b+c=15，则b的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A解析：由等差数列的性质可知，a+b+c=3b，又a+b+c=15，解得b=5，选A。
5. 若a，b，c成等比数列，且abc=1，则下列各式中正确的是（）A. a+b+c=0B. a²+b²+c²=3C. a²+b²+c²=1D. a²+b²+c²=0答案：B解析：由等比数列的性质可知，a²+b²+c²=(ab+bc+ac)²，又abc=1，可得a²+b²+c²=3，选B。
二、填空题（每题5分，共25分）1. 若x²-6x+9=0，则x的值为__________。
答案：3解析：将方程x²-6x+9=0进行因式分解，得(x-3)²=0，因此x=3。
数学思维(逻辑、分析能力 训练试题)
数学思维能力训练题及答案（一）数字推理:一.1、9、5、1、1/9、（）答案：1/121解析：1的三次方，3的二次方，5的一次方，1的零次方，9的负一次方，接下来是11的负二次方。
二. 如果0对于0，1对于2，6对于15，那么8对于（）答案：16解析：数字与其本身颠倒的数相加三.2，2，3，4，8，24，（）括号里填什么呢？答案：176解析：选择较大的3项观察规律可得：4×8－8＝24；依次为：3×4－4＝8、2×3－2＝4、2×2－1＝3。
修正系数分别为：-1、-2、-4、-8，形成公比为2的等比数列，下一项则为-16。
故所求项＝8×24－16＝176。
四. 如果 853=315769=154325=110那么837=?答案：521五. 一个数字，去掉前面一个数字后等于13，去掉后面一个数字后等于40，请问这个数字是什么?答案：43解析：四十三，去掉四为十三，去掉三，为四十。
六. 5，5，5，1加减乘除怎么等于24?答案：公布答案:5*（5－1/5）=24七. 有四个数,每次取其中三个相加,所得和分别为22,24,27和20.求四个数分别是多少？答案：四次相加后,这四个数分别都被加了3次,因而这四个数的和＝（22＋24＋27＋20）/3＝31再用31减去每次相加的和,得到的分别就是这四个数：9,7,4,11（二）分析能力训练1.甲、乙、丙、丁四人商量周末出游，甲说：乙去，我就肯定去；乙说：丙去我就不去；丙说：无论丁去不去，我都去；丁说：甲乙中至少有一个人去，我就去。
以下哪项推论可能是正确的（）。
A.乙、丙两个人去了B.甲一个人去了C.甲、丙、丁三个人去了D.四个人都去了2.小明早上起床发现闹钟停了，把闹钟调到7点10分后就去图书馆看书。
当他到那里是墙上的钟表是8点50分，他在那看了一个半小时的书后，又用同样的时间回家，这时家里闹钟显示的时间为11点50分，请问，此标准时间应调到11:55分。
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八年级数学思维训练题②
1. 在△ABC 中，∠ABC =60°，∠ACB =40°，P 为三角形内一点，∠PBA =20°，∠PCA =30°，求证：PB +BA =AC .
点评：这是一道特征明显的截长补短的题目，题目问的是三个线段的关系，很容易想到截长补短，在AC 上截取KC 和BP 相等，构成△PBC 与△KCB 全等，得到∠BKC =∠
BPC =130°，且∠ABK =60°-10°，于是∠ABK =∠AKB ，即AB =AK .也可以补短，但是这里的补短需要一定的技巧，直接延长得到BD =BP 是无用的，因为新得到的AD 无法与其他条件发生关联，但是可以延长AB 得到AD =AC ，这样就得到了等腰三角形，再在等腰三角形的基础上进行角度计算，发现∠PCB =∠KCB ，再将△PBC 翻折下去，得到BP =BK =BD .
2. 如图，等边△ABC 中，D 为BC 延长线上一点，连接AD ，点E 在AD 上，AE =AB ，连接BE 交AC 于
F ，求证：（1）CD =
DE +CF ；（2）AF +CD =
点评：这个题表面上告诉了我们AE =AB 这一组条件，实际上AE =AC =AB ，构成了三个等腰三角形，是我们导角的关键所在，一定要充分利用好.第一问采用补短的手段，延长DE 至点H 使得
HD =CD ,得到等腰三角形，设∠CAD 为α，充分利用图中的等腰三角形与60°，导角得到△FCE 与△HEC 全等，于是HE =FC ，即CD =CH =DE +HE =DE +CF .（这个解法利用了ACE 等腰三角形的对称结构）
点评：第二问比第一问简单许多，以CD 为突破口，发现其与BC 相互承接，同样我们也可以延长CA 得到AG ，使得AG =CD 可以实现补短的手段.发现△GBA 与△DAC 全等，于是BG =AD ，导角得到等腰三角形GBF ，于是BG =AD =GF =AF +CD
C P
B
A D
F
E
C
B
A
D
F
E
C
B
A
C
A
B
2
D
C
B
3.△ACB为等腰RT三角形，∠CAB=90°，过B点有一条直线l，分别过C点和A点作垂线交l于E点
和F点.（要求：一二问要用两种方法）
（1）当直线l与线段AC有交点时，请写出CE、AF、BE之间的数量关系，并证明；
方法一：利用三垂直，得到CH=AF=EF,CE=HF(平行线间的距离处处相等)，所以CE+2AF=BE
方法二：利用手拉手，取BG=CE,证明△GBA全等于△ECA，推导出三角形AEG为等腰RT△，可证明EG=2AF，所以CE+2AF=BE(这里是逆用手拉手，通过旋转全等反推等腰RT)
（2）当直线l与线段AC的延长线有交点时，请写出CE、AF、BE之间的数量关系，并证明；
方法一：利用三垂直，得到CH=AF=EF,CE=HF(平行线间的距离处处相等)，所以
2AF-CE=BE
方法二：利用手拉手，取BG=CE,证明△GBA全等于△ECA，推导出三角形AEG为等腰RT△，可证明EG=2AF，所以2AF-CE=BE(这里也是逆用手拉手，通过旋转全等反推等腰RT)
（3）当直线l与线段CA的延长线有交点时，请补全图形，并直接写出CE、AF、BE之间的数量关系.
结论：CE=BE+2AF
总结：这不是一道难题，但是解题时涉及到的一题多解的思维需要同学们用心体会，同时这个题的一二三问是一脉相承的，第一问的两个方法第二三问都适用，在做压轴题的时，有的时候没有思路不妨看看一二小问，举一反三，发现动态几何图形中不变的关系.
C。