八年级数学思维训练题二解析

八年级数学思维训练题②

1. 在△ABC 中，∠ABC =60°，∠ACB =40°，P 为三角形内一点，∠PBA =20°，∠PCA =30°，求证：PB +BA =AC .

点评：这是一道特征明显的截长补短的题目，题目问的是三个线段的关系，很容易想到截长补短，在AC 上截取KC 和BP 相等，构成△PBC 与△KCB 全等，得到∠BKC =∠

BPC =130°，且∠ABK =60°-10°，于是∠ABK =∠AKB ，即AB =AK .也可以补短，但是这里的补短需要一定的技巧，直接延长得到BD =BP 是无用的，因为新得到的AD 无法与其他条件发生关联，但是可以延长AB 得到AD =AC ，这样就得到了等腰三角形，再在等腰三角形的基础上进行角度计算，发现∠PCB =∠KCB ，再将△PBC 翻折下去，得到BP =BK =BD .

2. 如图，等边△ABC 中，D 为BC 延长线上一点，连接AD ，点E 在AD 上，AE =AB ，连接BE 交AC 于

F ，求证：（1）CD =

DE +CF ；（2）AF +CD =

点评：这个题表面上告诉了我们AE =AB 这一组条件，实际上AE =AC =AB ，构成了三个等腰三角形，是我们导角的关键所在，一定要充分利用好.第一问采用补短的手段，延长DE 至点H 使得

HD =CD ,得到等腰三角形，设∠CAD 为α，充分利用图中的等腰三角形与60°，导角得到△FCE 与△HEC 全等，于是HE =FC ，即CD =CH =DE +HE =DE +CF .（这个解法利用了ACE 等腰三角形的对称结构）

点评：第二问比第一问简单许多，以CD 为突破口，发现其与BC 相互承接，同样我们也可以延长CA 得到AG ，使得AG =CD 可以实现补短的手段.发现△GBA 与△DAC 全等，于是BG =AD ，导角得到等腰三角形GBF ，于是BG =AD =GF =AF +CD

C P

B

A D

F

E

C

B

A

D

F

E

C

B

A

C

A

B

2

D

C

B

3.△ACB为等腰RT三角形，∠CAB=90°，过B点有一条直线l，分别过C点和A点作垂线交l于E点

和F点.（要求：一二问要用两种方法）

（1）当直线l与线段AC有交点时，请写出CE、AF、BE之间的数量关系，并证明；

方法一：利用三垂直，得到CH=AF=EF,CE=HF(平行线间的距离处处相等)，所以CE+2AF=BE

方法二：利用手拉手，取BG=CE,证明△GBA全等于△ECA，推导出三角形AEG为等腰RT△，可证明EG=2AF，所以CE+2AF=BE(这里是逆用手拉手，通过旋转全等反推等腰RT)

（2）当直线l与线段AC的延长线有交点时，请写出CE、AF、BE之间的数量关系，并证明；

方法一：利用三垂直，得到CH=AF=EF,CE=HF(平行线间的距离处处相等)，所以

2AF-CE=BE

方法二：利用手拉手，取BG=CE,证明△GBA全等于△ECA，推导出三角形AEG为等腰RT△，可证明EG=2AF，所以2AF-CE=BE(这里也是逆用手拉手，通过旋转全等反推等腰RT)

（3）当直线l与线段CA的延长线有交点时，请补全图形，并直接写出CE、AF、BE之间的数量关系.

结论：CE=BE+2AF

总结：这不是一道难题，但是解题时涉及到的一题多解的思维需要同学们用心体会，同时这个题的一二三问是一脉相承的，第一问的两个方法第二三问都适用，在做压轴题的时，有的时候没有思路不妨看看一二小问，举一反三，发现动态几何图形中不变的关系.

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