2012年数学一轮复习试题 函数模型及其应用
2012年高考数学试题分类考点9 函数与方程、函数模型及其应用
考点9 函数与方程、函数模型及其应用一、选择题1.（2012·湖北高考理科·Ｔ9）函数f （x ）=xcos x ²在区间[0,4]上的零点个数为（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7【解题指南】本题考查函数零点的定义,转化成求方程根的个数问题. 本题考查基本不等式的应用,解答本题的关键把条件的左边通分利用基本不等式证明.【解析】选C.由方程xcos x ²=0在区间[0,4]上的解有1261014180,x x x x x x πππππ======，共6个零点. 2.（2012·湖北高考文科·Ｔ3）函数f(x)=xcos 2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5【解题指南】解答本题可先求导数，转化成求方程根的个数问题，最后再利用方程与函数的思想求解.【解析】选D. f(x)=xcos 2x 是由y 1=x 与y 2=cos 2x,相乘构成的函数,当x=0时, y 1=0, y 2=1，此时f(x)=0,当0<x ≤2π时, y 1≠0, y 2=cos 2x 有4个零点,此时f(x)=0有4个零点,综上所述f(x)=xcos 2x 有5个零点.选D.3.（2012·北京高考文科·Ｔ5）函数f （x ）＝x121x 2⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【解题指南】利用函数与方程思想，把函数的零点个数问题转化为方程解的个数问题，再转化为两个函数图象的交点个数问题.【解析】选B.函数f （x ）＝x121x 2⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数，是方程121()02x x -=的解的个数，是方程121()2x x =的解的个数，也就是函数12y x =与1()2x y =的图象的交点个数.在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.4.（2012·天津高考理科·Ｔ4）函数3()22x f x x 在区间（0,1）内的零点个数是（ ）(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【解题指南】先判断函数的单调性，再确定零点.【解析】选B.因为2()2ln 23x f x x '=+＞0，所以函数3()22x f x x =+-在（0,1）上递增，且(0)10210,(1)21210,f f =+-=-<=+-=>所以有1个零点. 二、填空题5.（2012·福建高考理科·Ｔ15）对于实数a 和b ，定义运算“”：a b 22,,a a b a ba b b a b a b ⎧-≤*=⎨->⎩，设()(21)(fx x x=-*-1)(1)fx x x =-*-，且关于x 的方程为()()f x m mR =∈，恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ，则123x x x 的取值范围是_______． 【解题指南】根据新定义，得到一个分段的二次函数式，通过图象找出三个实根的具体位置，同时运用根与系数的关系进行求解 【解析】当x ≤0时, 2x-1≤x-1,则f(x)=(2x-1)(x-1)=(2x-1)2-(2x-1)(x-1)=2x 2-x, 当x>0时,2x-1>x-1,xyO1112y x=1()2xy则f(x)=(2x-1)(x-1)=(x-1)2-(2x-1)(x-1)=-x 2+x. 可知当m ∈1(0,)4时,f(x)=m(m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1,x 2,x 3(x 1<x 2<x 3),其中,x 2,x 3是方程-x 2+x-m=0的根, x 1是方程2x 2-x-m=0的一个根, 则23x x m =，11184mx -+=， 所以123(181)4m m xxx -+-=-123(181)4m m xxx -+-=显然，该式随m 的增大而减小，因此， 当0m =m=0时，123m a x ()0x xx =；当12m =14时， 123m i n 13()16xx x -=．【答案】13(,0)16-.三、解答题6.（2012·上海高考理科·T21）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿 直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7．（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向.（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【解题指南】本题考查圆锥曲线中的抛物线知识，以及不等式中的均值不等式知识，更考查考生的识图能力.【解析】（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程24912x y =中，得P 的纵坐标y P =3.由|AP|=2949，得救援船速度的大小为949海里/时.由tan ∠OAP=730，得∠OAP=arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 730度.（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t .由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v .因为2212≥+tt ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.7.（2012·湖南高考理科·Ｔ20）某企业接到生产3000台某产品的A ，B ，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k （k 为正整数）.（1）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间.（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数Ｋ的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.【解析】（1）设完成A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为123(),(),(),Tx Tx Tx 由题设有 12323000100020001500(),(),(),6200(1)T x T x T x x x k x k x⨯====-+ 其中,,200(1)x k x k x -+均为1到200之间的正整数.（2）完成订单任务的时间为{}123()m a x (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为2000,.1x x x N k *⎧⎫<<∈⎨⎬+⎩⎭易知，12(),()T x T x 为减函数，3()T x 为增函数.注意到 212()(),T x T x k=于是 ①当k=2时，12()(),T x T x = 此时 {}1310001500()m a x (),()m a x ,2003f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，由函数13(),()T x T x 的单调性知，当100015002003x x=-时()f x 取得最小值，解得 4009x =.由于134002503004445,(44)(44),(45)(45),(44)(45)91113f T f T f f <<====<而. 故当44x =时完成订单任务的时间最短，且最短时间为250(44)11f =.②当2k >k>2时，12()(),T x T x >由于k 为正整数，故3k ≥，此时 150********=200-(1+k)x 200-(1+3)x 50-x ≥，记{}1375(),()m a x(),()50T x x T x T x xϕ==-易知()T x 为增函数，则{}13()m a x (),()fx T x T x ={}1m a x (),()T xT x ≥1000375()m a x ,50x x x ϕ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭. 由函数1(),()T x T x 的单调性知，当100037550x x=-时()x ϕ取得最小值，解得40011x =.由于14002502503752503637,(36)(36),(37)(37),119111311T T ϕϕ<<==>==>而 此时完成订单任务的最短时间大于25011.③当k<2时，12()(),T x T x <由于k 为正整数，故1k =，此时{}232000750()m a x(),()m a x ,.100f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭由函数23(),()T x Tx 的单调性知，当2000750100x x =-时()f x 取得最小值，解得80011x =.类似①的讨论.此时完成订单任务的最短时间为2509，大于25011.综上所述，当k=2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数分别为44,88,68.。
【瀚海导航】2012高考数学总复习第三单元 第六节 函数模型及其应用练习
第三单元第六节函数模型及其应用练习一、选择题1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )A．一次函数 B．二次函数C．指数型函数 D．对数型函数【解析】一次函数增速均匀，二次函数增速加快，指数函数也是增速加快．【答案】 D2．《金博士》系列丛书第三年的销量比第一年的销量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是( )A．x>22% B．x<22%C．x＝22% D．x的大小由第一年的销量确定【解析】由题意知(1＋x)2＝1＋44%，解得x＝0.2<0.22.【答案】 B3．我们知道，烟酒对人的健康有危害作用，从而我国加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x 万瓶．如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为( ) A．2 B．6C．8 D．10【解析】依题意有：(100－10x)×70×x100≥112，∴2≤x≤8.【答案】 A4．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51【解析】设甲地销售x辆，则乙地销售15－x辆，从而总利润为S＝(5.06x－0.15x2)＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)，显然，当x＝10时，S取得最大值S＝45.6.【答案】 B5．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.精选考题年某地区农民人均收入为3 150元(其中工资性收入为1 800元，其他收入为1 350元)，预计该地区自精选考题年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，2014年该地区农民人均收入介于( )A．4 200元～4 400元 B．4 400元～4 600元C．4 600元～4 800元 D．4 800元～5 000元【解析】自精选考题年起5年内，该地区农民人均总收入为：1 800×(1＋0.06)5＋(1 350＋160×5)≈1 800×1.3＋1 350＋800＝4 490.【答案】 B6．(精选考题·珠海质检)某种细胞在培养过程中，正常情况下时刻t(单位：分)与细胞数n(单位：个)( ) A．200 B．220 C．240 D．260【解析】由表格中所给数据可以得出，n与t的函数关系为n＝2t20，令n＝1 000，得2t20＝1 000，又210＝1 024，所以时刻t 最接近200分．【答案】 A7．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为( )A ．2 800元B ．3 000元C ．3 800元D ．3 818元【解析】 设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 x ，x －x ，11%×x x，如果稿费为4 000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，∴稿费应在800～4 000元之间，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3 800. 【答案】 C 二、填空题 8．某商品零售价从精选考题年到精选考题年上涨精选考题欲控制2011年比精选考题年只上涨10%，则2011年要比精选考题年降低________．【解析】 设2009年商品的零售价为a ，则精选考题年的零售价为1.25a .设2011年的零售价比精选考题年降低x %，则1.25a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 100＝a (1＋0.1)，解得x ＝12.【答案】 12% 9．某县计划十年精选考题两番，则产值平均每精选考题百分率为________．(lg2≈0.301 0，精选考题.49≈1.060 2)【解析】 设产值平均年增长率为x ，则(1＋x )10＝4，两边同取以10为底的对数得10lg(1＋x )＝2lg2，∴lg(1＋x )＝2×0.301 010＝0.060 2，∴1＋x ＝100.060 2.又∵lg11.49＝1.060 2，∴11.49＝101.060 2＝10×100.060 2，∴100.060 2＝1.149，∴1＋x ＝1精选考题，x ＝0.149＝精选考题%. 【答案】 14.9%10．(精选考题·北京高考)如图，放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动．设顶点P (x ，y )的纵坐标与横坐标的函数关系式是y ＝f (x )，则f (x )的最小正周期为________；y ＝f (x )在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为______．(说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC 可以沿x 轴负方向滚动)【解析】 由题中信息可知，无论正方形是沿着x 轴的正方向还是负方向滚动，再次使点P 与x 轴接触的x 轴方向的路程是4，故其最小正周期为4，在正方向的翻滚过程中，函数y ＝f (x )的两个相邻零点间的图象如图所示．故其与x 轴所围成的图形面积为S ＝12π×12＋14×π×(2)2＋2×12×1×1＝π＋1. 【答案】 4 π＋1 三、解答题11．(精选考题·潍坊质检)如图，l 1、l 2是通过某市开发区中心O 的南北和东西走向的两条道路，连接M 、N 两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直接l 1对称．M 到l 1、l 2的距离分别是2 km 、4 km ，N 到l 1、l 2的距离分别是3 km 、9 km.(1)建立适当的坐标系，求抛物线弧MN 的方程；(2)该市拟在点O 的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求厂址到点O 的距离大于5 km 而不超过8 km ，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于 6 km ，求该工厂离点O 的最近距离．(注：工厂视为一个点)【解析】 (1)分别以l 2、l 1为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则M (2,4)，N (3,9)．设MN 所在抛物线的方程为y ＝ax 2＋c ，则有⎩⎪⎨⎪⎧4＝4a ＋c ，9＝9a ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝0.故所求抛物线弧MN 的方程为 y ＝x 2(2≤x ≤3)．(2)设抛物线弧MN 上任意一点P (x ，x 2)(2≤x ≤3)，厂址为点A (0，t )(5＜t ≤8)，由题意得|PA |＝x 2＋x 2－t 2≥6，∴x 4＋(1－2t )x 2＋t 2－6≥0.令u ＝x 2，∵2≤x ≤3，∴4≤u ≤9， ∴u 2＋(1－2t )u ＋(t 2－6)≥0(4≤u ≤9)(*)．要使(*)恒成立，只需Δ≤0，即(1－2t )2－4(t 2－6)≤0，解得t ≥254，∴t 的最小值为254.即该工厂离点O 的最近距离为6.25 km.12．某地区上年度电价为0.8元/(千瓦·时)，年用电量为a 千瓦·时．本年度计划将电价降到0.55元/(千瓦·时)至0.75元/(千瓦·时)之间，而用户期望电价为0.4元/(千瓦·时)．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区电力的成本价为0.3元/(千瓦·时)．(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式； (2)设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%? [注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)]【解析】 (1)设下调后的电价为x 元/(千瓦·时)，依题意知，用电量增至kx －0.4＋a ，电力部门的收益为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫k x －0.4＋a (x －0.3)(0.55≤x ≤0.75)．(2)依题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫0.2a x －0.4＋a x －a－＋，0.55≤x ≤0.75，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1.1x ＋0.3≥0，0.55≤x ≤0.75，解此不等式得0.60≤x ≤0.75.∴当电价最低定为0.60元/(千瓦·时)时，仍可保证电力部门的收益比去年至少增长20%.。
【北师大版数学】步步高2012版大一轮复习课件：2.9_函数模型及其应用
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(1)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系 分别将 、
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式； (2)已知该企业已筹集到 18 万元资金，并将全部投入 A， 已知该企业已筹集到 万元资金， ， B 两种产品的生产 两种产品的生产. 若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ ②问：如果你是厂长，怎样分配这 18 万元投资，才能使 如果你是厂长， 万元投资， 该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ 该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ 思维启迪
(1)根据函数模型，建立函数解析式．(2)根据 根据函数模型，建立函数解析式． 根据 根据函数模型 资金分配情况，建立利润解析式． 资金分配情况，建立利润解析式．
老 师 都 说 好 !
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解
(1)设甲、乙两种产品分别投资 x 万元 ≥0)，所获 设甲、 万元(x≥ ， 设甲
老 师 都 说 好 !
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(1)在实际问题中， 在实际问题中， 在实际问题中 有很多问题的两变量之间
的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变 的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升 自变 或直线下降(自变量的系数小于 ， 量的系数大于 0)或直线下降 自变量的系数小于 0)，构 或直线下降 建一次函数模型，利用一次函数的图像与单调性求解． 建一次函数模型，利用一次函数的图像与单调性求解． (2)有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问 有些问题的两变量之间是二次函数关系， 有些问题的两变量之间是二次函数关系 利润问题、产量问题等．构建二次函数模型， 题、利润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用 二次函数图像与单调性解决． 二次函数图像与单调性解决． (3)在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域． 在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域． 在解决二次函数的应用问题时
高考数学一轮复习 专题2.12 函数模型及其应用(练)
专题2.12 函数模型及其应用一、填空题1．给出下列函数模型：①一次函数模型；②幂函数模型；③指数函数模型；④对数函数模型．下表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，它最可能的函数模型是________(填序号).x 4 5 6 7 8 9 10 y15171921232527【答案】①【解析】根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是________(填序号)．【答案】①3．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．【答案】10【解析】设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.【答案】20【解析】设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400. 5．(2017·长春模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y ＝a e－bt(cm 3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一． 【答案】166．A ，B 两只船分别从在东西方向上相距145 km 的甲乙两地开出．A 从甲地自东向西行驶．B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是40 km h ，B 的速度是 16 km h ，经过________h ，AB 间的距离最短．【答案】258【解析】设经过x h ，A ，B 相距为y km ，则y ＝145－40x2＋16x2＝1 856t 2－11 600t ＋1452(0≤x ≤298)，求得函数的最小值时x 的值为258.7．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为________． 【答案】10【解析】设该企业需要更新设备的年数为x ，设备年平均费用为y ，则x 年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x ＝x (x ＋1)，所以x 年的平均费用为y ＝100＋0.5x ＋x x ＋1x ＝x ＋100x＋1.5，由基本不等式得y ＝x ＋100x＋1.5≥2x ·100x ＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x，即x＝10时取等号．8．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2015年全年投入研发奖金130万元．在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是________(参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2＝0.30)． 【答案】2019二、解答题9．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部分的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO 1是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？ 解 (1)V ＝13×62×2＋62×2×4＝312(m 3)．(2)设PO 1＝x ，则O 1B 1＝62－x 2，B 1C 1＝2·62－x 2， ∴SA 1B 1C 1D 1＝2(62－x 2)，又由题意可得下面正四棱柱的高为4x .则仓库容积V ＝13x ·2(62－x 2)＋2(62－x 2)·4x ＝263x (36－x 2)．由V ′＝0得x ＝23或x ＝－23(舍去)． 由实际意义知V 在x ＝23(m)时取到最大值， 故当PO 1＝2 3 m 时，仓库容积最大．10．(2017·南通模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？能力提升题组11．(2017·南京调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a 个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x 个标段和n 个道路交叉口，其中n 与x 满足n ＝ax ＋5.已知新建一个标段的造价为m 万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k 倍．(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数的20%，且k≥3.问：P 能否大于120，说明理由．解(1)依题意得y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N*.(2)法一依题意x＝0.2a，所以P＝mxy＝xk ax＋5＝0.2ak0.2a2＋5＝ak a2＋2512．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x(单位：元，x>0)时，销售量q(x)(单位：百台)与x的关系满足：若x不超过20，则q(x)＝1 260x＋1；若x大于或等于180，则销售量为零；当20≤x≤180时，q(x)＝a－b x(a，b为实常数)．(1)求函数q(x)的表达式；(2)当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值．解(1)当20≤x≤180时，由⎩⎨⎧a－b·20＝60，a－b·180＝0，得⎩⎨⎧a＝90，b＝3 5.故q(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1 260x＋1，0<x≤20，90－35x，20<x<180，0，x≥180.(2)设总利润f(x)＝x·q(x)，由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧126 000x x ＋1，0<x ≤20，9 000x －3005·x x ，20<x <180，0，x ≥180，当0<x ≤20时，f (x )＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1，又f (x )在(0,20]上单调递增，所以当x ＝20时，f (x )有最大值120 000. 当20<x <180时，f (x )＝9 000x －3005·x x ，f ′(x )＝9 000－4505·x ，令f ′(x )＝0，得x ＝80.当20<x <80时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当80<x <180时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以当x ＝80时，f (x )有最大值240 000. 当x ≥180时，f (x )＝0.综上，当x ＝80元时，总利润取得最大值240 000元．13．(2017·苏北四市调研)如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD ，其四条边均为道路，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AB ＝5 千米，BC ＝8 千米，CD ＝3 千米．现甲、乙两管理员同时从A地出发匀速前往D 地，甲的路线是AD ，速度为6千米/时，乙的路线是ABCD ，速度为v 千米/时．(1)若甲、乙两管理员到达D 的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v 的取值范围； (2)已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到D ，且乙从A 到D 的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v 的取值范围．。
(2021年整理)2012高三数学函数专题复习
（完整）2012高三数学函数专题复习编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）2012高三数学函数专题复习）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2012届高考数学函数专项突破（分节）精选习题集及详解答案第一部分函数的概念与性质第一节函数的概念题号12345答案一、选择题1．下面哪一个图形可以作为函数的图象( ）2。
下列对应中是映射的是（）A．（1)、（2）、（3）B．（1)、（2）、（5)C．（1）、(3)、(5) D．（1)、（2)、（3）、（5）3．(2009年茂名模拟)已知f：A→B是从集合A到集合B的一个映射，∅是空集,那么下列结论可以成立的是( )A．A＝B＝∅ B．A＝B≠∅C．A、B之一为∅ D．A≠B且B的元素都有原象4．已知集合M＝错误!，映射f：M→N，在f作用下点（x，y）的元素是（2x,2y)，则集合N ＝( ）A。
错误!B。
错误!C。
错误!D.错误!5．现给出下列对应：（1）A＝{x｜0≤x≤1｝，B＝R－,f：x→y＝ln x；（2）A＝{x｜x≥0｝，B＝R，f：x→y＝±x；（3）A＝{平面α内的三角形},B＝｛平面α内的圆}，f：三角形→该三角形的内切圆；（4）A＝｛0,π｝，B＝{0，1｝，f：x→y＝sin x。
其中是从集A到集B的映射的个数（)A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题6．(2009年珠海一中模拟)已知函数f（x）＝错误!，则错误!＝________。
7．设f：A→B是从集合A到B的映射，A＝B＝{（x,y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b）,若B中元素（6，2）在映射f下的元素是（3,1)，则k，b的值分别为________．8．(2009年东莞模拟)集合A＝{a，b}，B＝｛1，－1，0｝，那么可建立从A到B的映射个数是________．从B到A的映射个数是________．三、解答题9．已知f满足f（ab）＝f（a）＋f（b）,且f(2）＝p，f（3)＝q，求f(72）的值．10．集合M＝｛a，b，c}，N＝｛－1，0，1｝,映射f:M→N满足f(a)＋f(b）＋f（c）＝0,那么映射f:M→N的个数是多少?参考答案1．解析：(4)中元素c没有象，不符合映射定义中的“集A中的任意一个元素在集B中都有元素与之对应”；(5)中，与元素a对应的元素有两个，不符合映射定义中的“对于集A中的任意一个元素，在集B中都有唯一确定的元素与之对应”；而(1)(2）（3）中的对应都符合映射定义．故本题正确答案为A。
高考数学一轮复习练习 数学建模——函数模型及其应用
数学建模——函数模型及其应用基础巩固组1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 kmB.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80 km/h的速度行驶1小时,消耗10 L汽油D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油2.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台3.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套房月租金应定为()A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元4.一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间t内的路程为s=1t2米,那么,此人()2A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车,但期间最近距离为14米D.不能追上汽车,但期间最近距离为7米5.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了(1.2x)%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是()A.15B.16C.17D.186.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质,至少应过滤次才能达到市场要求.(已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)含量减少137.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为y=a e-bt cm3,经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.8.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:μg)与时间t(单位:h)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t);(2)据进一步测定:当每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时,治疗有效,求服药一次后治疗有效的时间.综合提升组9.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0<a<12).不考虑树的粗细,现用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD,设此矩形花圃的最大面积为u,若将这棵树围在矩形花圃内,则函数u=f(a)(单位:m2)的图像大致是()10.某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2018年全年投入科研经费1 300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)()A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年11.如图,直角边长为2 cm的等腰直角三角形ABC,以2 cm/s 的速度沿直线l向右运动,则该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(单位:cm2)与时间t(单位:s)的函数关系(设0≤t≤3)为,y的最大值为.12.某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数:①f(x)=p·q x;②f(x)=px2+qx+1;③f(x)=x(x-q)2+p(以上三式中p,q均为常数,且q>1).(1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)=4,f(2)=6,求出所选函数f(x)的解析式(注:函数定义域是[0,5],其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,以此类推);(3)在(2)的条件下预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.创新应用组13.声强级Y(单位:分贝)由公式Y=10lg I给出,其中I为声强(单位:W/m2).10-12(1)平常人交谈时的声强约为10-6 W/m2,求其声强级.(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝,求能听到的最低声强为多少?(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝,已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10-7 W/m 2,问这两位同学是否会影响其他同学休息?参考答案课时规范练13 数学建模——函数模型及其应用1.D 从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L,故乙车消耗1 L 汽油的行驶路程可大于5 km,所以选项A 错误;由图可知以相同速度行驶相同路程甲车消耗汽油最少,所以选项B 错误;甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L,故行驶1小时的路程为80 km,消耗8 L 汽油,所以选项C 错误;当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,故用丙车比用乙车更省油,所以选项D 正确.2.C 设利润为f (x )万元,则f (x )=25x-(3 000+20x-0.1x 2)=0.1x 2+5x-3 000(0<x<240,x ∈N *).令f (x )≥0,得x ≥150,故生产者不亏本时的最低产量是150台.故选C .3.B 由题意,设利润为y 元,租金定为(3 000+50x )元(0≤x ≤70,x ∈N ),则y=(3 000+50x )(70-x )-100(70-x )=(2 900+50x )(70-x )=50(58+x )(70-x )≤5058+x+70-x 22=204 800,当且仅当58+x=70-x ,即x=6时,等号成立,故每月租金定为3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选B .4.D 已知s=12t 2,车与人的间距d=(s+25)-6t=12t 2-6t+25=12(t-6)2+7.当t=6时,d 取得最小值7.所以不能追上汽车,但期间最近距离为7米,故选D .5.B 由题意,分流前每年创造的产值为100t 万元,分流x 人后,每年创造的产值为(100-x )[1+(1.2x )%]t ,则{0<x <100,x ∈N *,(100-x )[1+(1.2x )%]t ≥100t , 解得0<x ≤503.因为x ∈N *,所以x 的最大值为16,故选B . 6.8 设至少过滤n 次才能达到市场要求,则2%1-13n ≤0.1%,即23n ≤120, 所以n lg 23≤-1-lg 2,解得n ≥7.39,所以n=8.7.16 当t=0时,y=a ,当t=8时,y=a e -8b =12a ,所以e -8b =12,容器中的沙子只有开始时的八分之一时,即y=a e -bt =18a ,e -bt =18=(e -8b )3=e -24b ,则t=24,所以再经过24-8=16(min),容器中的沙子只有开始时的八分之一.8.解 (1)根据所给的曲线,可设y={kt ,0≤t ≤1,(12) t -a ,t >1.当t=1时,由y=4,得k=4,由121-a =4,得a=3.则y={4t ,0≤t ≤1,(12) t -3,t >1.(2)由y ≥0.25,得{0≤t ≤1,4t ≥0.25或{t >1,(12) t -3≥0.25,解得116≤t ≤5.因此服药一次后治疗有效的时间为5-116=7916(h).9.B 设AD 的长为x m,则CD 的长为(16-x ) m,则矩形ABCD 的面积为x (16-x ) m 2.因为要将点P 围在矩形ABCD 内,所以a ≤x ≤12.当0<a ≤8时,当且仅当x=8时,u=64;当8<a<12时,u=a (16-a ).画出函数图像可得其形状与B 选项接近,故选B .10.C 若2019年是第1年,则第n 年全年投入的科研经费为1 300×1.12n 万元,由1 300×1.12n >2 000,可得lg 1.3+n lg 1.12>lg 2,所以n ×0.05>0.19,得n>3.8,所以第4年,即2022年全年投入的科研经费开始超过2 000万元,故选C .11.y={2t 2,0≤t <1,2,1≤t ≤2,2-12(2t -4)2,2<t ≤32 如题图,当0≤t<1时,重叠部分面积y=12×2t ×2t=2t 2;当1≤t ≤2时,重叠部分为直角三角形ABC ,重叠部分面积y=12×2×2=2(cm 2); 当2<t ≤3时,重叠部分为梯形,重叠部分面积y=S △ABC -12(2t-4)2=2-12(2t-4)2=-2t 2+8t-6. 综上,y={2t 2,0≤t <1,2,1≤t ≤2,-2t 2+8t -6,2<t ≤3,故可得y 的最大值为2.12.解 (1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势,而中期又将出现价格连续下跌,所以在所给出的函数中应选模拟函数f (x )=x (x-q )2+p.(2)对于f (x )=x (x-q )2+p ,由f (0)=4,f (2)=6,可得p=4,(2-q )2=1,又q>1,所以q=3,所以f (x )=x 3-6x 2+9x+4(0≤x ≤5).(3)因为f (x )=x 3-6x 2+9x+4(0≤x ≤5),所以f'(x )=3x 2-12x+9, 令f'(x )<0,得1<x<3.所以函数f (x )在(1,3)内单调递减,所以可以预测这种海鲜将在9月,10月两个月内价格下跌. 13.解 (1)当声强为10-6 W/m 2时,由公式Y=10lgI 10-12,得Y=10lg 10-610-12=10lg 106=60(分贝).(2)当Y=0时,由公式Y=10lg I 10-12,得10lgI 10-12=0.所以I10-12=1,即I=10-12 W/m 2,则最低声强为10-12 W/m 2.(3)当声强为5×10-7 W/m 2时,声强级为Y=10lg 5×10-710-12=10lg(5×105)=50+10lg 5(分贝),因为50+10lg 5>50,故这两位同学会影响其他同学休息.。
2012高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习)1020函数的综合应用
g3.1020函数的综合应用（2）一、 复习目标：以近年高考对函数的考查为主，复习综合运用函数的知识、方法和思想解决问题. 二、基本练习：1、(2005年高考·福建卷·理12))(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f 则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（错题！）（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52. （辽宁卷）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ ）3、(2005年高考·辽宁卷7)在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则 （ ）A ．11<<-aB ．20<<aC ．2321<<-a D ．2123<<-a4.（05江苏卷）若3a=0.618,a ∈[),1k k +,k ∈Z ，则k = .5. （05北京卷）对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有如下结论： ①f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2)；② f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2)③1212()()f x f x x x -->0；④1212()()()22x x f x f x f ++<.当f (x )=l gx 时，上述结论中正确结论的序号是6．（05福建卷）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.若函数x x f 2log3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称，则函数)(x g =.（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）三、例题分析：1、 (05广东卷)设函数)7()7(),2()2(),()(x f x f x f x f x f +=-+=-+∞-∞上满足在，且在闭区间[0，7]上，只有.0)3()1(==f f （Ⅰ）试判断函数)(x f y =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程0)(=x f 在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.2. （05北京卷）设f (x )是定义在[0, 1]上的函数，若存在x *∈(0，1)，使得f (x )在[0, x *]上单调递增，在[x *，1]上单调递减，则称f (x )为[0, 1]上的单峰函数，x *为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0，l]上的单峰函数f (x )，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．（I ）证明：对任意的x 1，x 2∈(0，1)，x 1＜x 2，若f (x 1)≥f (x 2)，则(0，x 2)为含峰区间；若f (x 1)≤f (x 2)，则(x *，1)为含峰区间；（II ）对给定的r （0＜r ＜0.5），证明：存在x 1，x 2∈(0，1)，满足x 2－x 1≥2r ，使得由（I ）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5＋r ；（III ）选取x 1，x 2∈(0, 1)，x 1＜x 2，由（I ）可确定含峰区间为(0，x 2)或(x 1，1)，在所得的含峰区间内选取x 3，由x 3与x 1或x 3与x 2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x 2)的情况下，试确定x 1，x 2，x 3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）3、已知函数f x a x k ()=+（a >0且a ≠1）的图像过（-1，1）点，其反函数f x -1()的图像过（8，2）点.（1）求a 、k 的值；（2）若将y f x =-1()的图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位，就得到函数y g x =()的图象，写出y g x =()的解析式； （3）若函数F x g x f x ()()()=--21，求F x ()的最小值及取得最小值时的x 的值。
2012届高考数学一轮复习精品题集之函数(三)
2012年高考复习第二章函数第三讲函数奇偶性与周期性知识点一：判断函数的奇偶性 例1：判断下列函数的奇偶性（1）y=x; (2)y=x 2x ∈(-1,1] (3)y=⎪⎩⎪⎨⎧>-<+0x 0x 22x x x x(4)y=log 2xx +-11(5)y=)1(log 22++x x （6）y=2x +2-x练习1：已知函数（1）f(x)=|x+1|+|x-1|；（2）f(x)=x x -⋅-11；（3）y=3x 2+3x (4) f(x)=⎩⎨⎧∈∈QR C x 1Q x 0其中是偶函数的有知识点二：函数奇偶性的应用 例2：f(x)=xxea ae+是R 上的偶函数，求a 的值练习2：f(x)=x(e x +ae -x )（x ∈R ）是偶函数，求a 的值例3：已知f(x)是R 上的奇函数，当x>0时，f(x)=x 2-x-1,求f(x)的解析式练习3：f （x ）为奇函数，当02≤≤-x 时，f(x)=1-x 2+x ，当20≤<x 时，求f(x)的解析式知识点三：函数单调性与奇偶性的综合问题例4：如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间[-7,-3]为 （增、减）函数，有最 值，是练习4：定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f （x ）为增函数，偶函数g （x ）在［0，＋∞ )上图象与f （x ）的图象重合.设a ＞b ＞0，给出下列不等式，其中成立的是 （ ） ①f （b ）－f （－a ）＞g （a ）－g （－b ） ②f （b ）－f （－a ）＜g （a ）－g （－b ） ③f （a ）－f （－b ）＞g （b ）－g （－a ） ④f （a ）－f （－b ）＜g （b ）－g （－a ） A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④ 练习5：已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，求满足f(2x-1)<f(31)的x 的取值范围练习6：.已知)(x f y =是偶函数，)(x g y =是奇函数，它们的定义域均为[-3，3]，且它们在]3 ,0[∈x 上的图像如图所示，则不等式0)()(<x g x f 的解集是_________.练习7：函数f(x)的定义域为D={x|x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f(x 1•x 2)=f(x 1)+f(x 2) (1) 求f(1)和f （-1）的值(2) 判断f(x)的奇偶性并证明你的结论(3) 若f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3且f(x)在（0，+∞）上为增函数，求x 的取值范围知识点四：函数的周期性例：判断下列函数是否具有周期性（1） y=sin3x(2) f(x)满足f(x+a)=f(x) (a ≠0) (3) f(x)满足f(x+a)=-f(x) (a ≠0)(4) f(x)满足f(x+a)=)(1x f (a ≠0) (5) f(x)满足f(x+a)=-)(1x f (a ≠0)练习：f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x+2)= - )(1x f ,当2≤x ≤3时，f （x ）=x ，则f （105.5）=。
2012高考(文科)数学一轮复习课件第2章第9节函数模型及其应用(新课标版)
• 由题意知250≤x≤400.
• 设每月赚y元，得
• y ＝ 0.5x×20 ＋ 0.5×250×10 ＋ (x － 250)×0.08×10 － 0.35x×30＝0.3x＋1 050，x∈[250,400]．
• 因为y＝0.3x＋1 050是定义域上的增函数，
• 关键提示：每月所赚的钱＝卖报总的收入－付给报社的 钱．而总的收入分为3部分：①在可卖出400份的20天里， 卖出x份，收入为0.5x×20元；②在可卖出250份的10天 里 ， 在 x 份 报 纸 中 ， 有 250 份 报 纸 可 卖 出 ， 收 入 为 0.5×250×10元；③没有卖掉的(x－250)份报纸可退回报 社，报社付出(x－250)×0.08×10元．注意写出函数式的 定义域．
• 当x＞40，
• f(x)＜60 000－100×400＜25 000.
• 综上，当x＝300时，有最大值25 000.
• 所以月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润 是25 000元．
• 点评：(1)本题中的总收益满足的函数关系式已经给出， 将利润表示为月产量的函数，只需利用“总收益＝总成 本＋利润”这一关系直接求出即可．
解：根据题意，商品的价格随着时间 t 变化，所以应分类 讨论，设日销售额为 F(t)．
当 0≤t＜20，t∈N 时， F(t)＝12t＋11－13t＋433＝－16t－2212＋164441＋946， 所以当 t＝10 或 t＝11 时，F(t)max＝176. 当 20≤t≤40，t∈N 时， F(t)＝(－t＋41)－13t＋433＝13(t－42)2－13. 所以当 t＝20 时，F(t)max＝161. 综上，当 t＝10 或 t＝11 时，日销售额最大，最大值为 176.
2012届高考数学第一轮专题复习测试卷第四讲 函数及其表示
第四讲 函数及其表示班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.设f:x→x 2是集合A 到集合B 的映射,如果B={1,2},则A∩B 等于( ) A.∅ B.{1} C.∅或{2} D.∅或{1} 答案:D2.已知f(x)=22(1)(12),2(2)x x x x x x +-⎧⎪-<<⎨⎪⎩≤≥若f(x)=3,则x 的值是( )A.1B.1或答案:D3.如图所示,在直角坐标系的第一象限内,△AOB 是边长为2的等边三角形,设直线x=t(0≤t≤2)截这个三角形可得位于此直线左方的图象的面积为f(t),则函数y=f(t)的图象大致是( )答案:C4.(2010·浙江省五校高三第一次联考)已知f(x)2,0,(1),0.x x f x x >⎧=⎨+⎩≤则4433f f ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值等于( ) A.-2 B.4 C.2 D.-444480,2,333340,344112411,3333334412 4.3:3f 3f f f f f f f ⎛⎫>== ⎪⎝⎭-<⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=-+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝∴⨯∴∴⎭解析答案:B5.若一系列函数的解析式相同,值域相同但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数解析式为y=3x 2+4,值域为{7,16}的“孪生函数”共有( )A.4个B.8个C.9个D.12个解析:值域为{7,16},则定义域中必至少含有1和-1中的一个,且至少含有2和-2中的一个.当定义域含有两个元素时,有{-1,-2},{-1,2},{1,2},{1,-2}四种;当定义域中含有三个元素时,有{-1,1,-2},{-1,1,2},{1,-2,2},{-1,-2,2}四种;当定义域中含有四个元素时,有{-1,-2,1,2},所以共有4+4+1=9个“孪生函数”.答案:C6.(2010·新课标全国)已知函数f(x)=||,00,1610.2lgx x x x <⎧⎪⎨-+>⎪⎩≤1若a,b,c 互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc 的取值范围是( )A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)[TP 及3.tif,Y#]解析:由题意可知,画出函数的图象,不妨设a<b<c,因为f(a)=f(b)=f(c),所以ab=1,c 的范围是(10,12),所以abc 的范围是(10,12).答案:C二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.已知f(x)1,0x x ⎧=⎨<⎩≥则不等式xf(x)+x≤2的解集是________. 答案:{x|x≤1}8.已知函数f(x)､g(x)分别由下表给出则f[g(1)]的值为__________;满足f[g(x)]>g[f(x)]的x 的值是__________. 解析:由表可知.g(1)=3,∴f[g(1)]=f(3)=1. 而f(1)=1,g[f(1)]=g(1)=3.不符合条件,舍去. f[g(2)]=f(2)=3,g[f(2)]=g(3)=1,符合条件,x=2. f[g(3)]=f(1)=1,g[f(3)]=g(1)=3,不符合条件,舍去. 答案:1 29.(2010·广东)在集合{a,b,c,d}上定义两种运算⊕和⊗如下:那么d⊗ (a⊕c)=________.解析:由题所给的新定义得a⊕c=c,∴d⊗ (a⊕c)=d⊗c=a.答案:a10.(2010·浙江省金华十校模拟)若f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则可写出满足条件的一个函数解析式f(x)=2x.类比可以得到:若定义在R上的函数g(x),满足(1)g(x1+x2)=g(x1)•g(x2);(2)g(1)=3;(3)∀x1<x2,g(x1)<g(x2),则可以写出满足以上性质的一个函数解析式为________.解析:∵g(x)=3x满足(1)3x1+x2=3x1•3x2,(2)31=3,(3)∀x1<x2,3x1<3x2,∴g(x)=3x满足以上三个条件.答案:g(x)=3x三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)11.已知某人在2010年1月份至6月份的月经济收入如下:1月份为1000元,从2月份起每月的月经济收入是其上一个月的2倍,用列表､图象､解析式三种不同形式来表示该人1月份至6月份的月经济收入y(元)与月份序号x的函数关系,并指出该函数的定义域､值域和对应法则.解:列表:图象:解析式:y=1000•2x-1(x∈{1,2,3,4,5,6}).其中定义域为{1,2,3,4,5,6},值域为{1000,2000,4000,8000,16000,32000}.对应法则f:x→y=1000•2x-1.评析:列表法､图象法和解析式法是表示函数的三种方法,其实质是一样的,只是形式上的区别,列表和图象更加直观,解析式更适合计算和应用.在对待不同题目时,选择不同的表示方法,因为有的函数根本写不出其解析式.12.如图是下水道的一种横截面,上部为半圆,下部为矩形,若矩形下底边长为2x,此横截面面积为y,周长为l(常量)求:(1)y与x之间的函数表达式y=f(x)及其定义域;(2)y=f(x)的最大值.解:(1)设矩形另一边为z,由2z+2x+πx=l, 得z= [l-(2+π)x]. ∴y= πx 2+2x· [l-(2+π)x] =22yπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭x 2+lx. 由201[(2)]02x l x π>-+>⎧⎪⎨⎪⎩.⇔0<x<2l π+.故y=-22022l x lx x ππ⎛⎫⎛⎫++<< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭为所求. (2)∵y=f(x)=-22,2x lx π⎛⎫++ ⎪⎝⎭其抛物线顶点横坐标00,.42222ll l x πππ⎛⎫== ⎪++⎛⎫⎝⎭+ ⎝∈⎪⎭∴y=f(x)的最大值为y=f 2482ll ππ⎛⎫= ⎪++⎝⎭为所求.13.(2010·如皋模拟)已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x 的解集为(1,3).若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式.解:f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax 2-(2+4a)x+3a,① 由方程f(x)+6a=0得ax 2-(2+4a)x+9a=0,② 因为方程②有两个相等的根, 所以Δ=[-(2+4a)]2-4a·9a=0, 即5a 2-4a-1=0,解得a=1或a=15-, 由于a<0,舍去a=1.将a=15-代入①得f(x)的解析式f(x)= 15-x 2-63.55x -第一讲 集合与集合的运算班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.(2010·天津)设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R}.若则实数a的取值范围是( )A.{a|0≤a≤6}B.{a|a≤2,或a≥4}[来源:学.科.网]C.{a|a≤0,或a≥6}D.{a|2≤a≤4}解析:由于不等式|x-a|<1的解是a-1<x<a+1,当A∩B=∅时,只要a+1≤1或a-1≥5即可,即a≤0或a≥6,选C.答案:C2.(2010·安徽)若集合()1R 21|,2A A x log x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭≥则ð.22.(,0A.(,],.,20]2B C D ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎫⎫-++⎪⎪⎪⎪⎣⎭⎣-∞⋃∞∞∞⋃∞⎭∞1R 12212011122200,.:log A (,220]x x log x log x x x >⎧⎪⇒⇒⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩>⎧⎛⎫⎪<+∞ ⎪⎨ ⎪⇒=-∞⋃⎝⎭⎪⎩解析不等式≥≥所以ð答案:A3.已知M={x|x=a 2+2a+4,a∈Z},N={y|y=b 2-4b+6,b∈Z},则M ､N 之间的关系是( ) A.M N B.N M C.M=ND.M 与N 之间没有包含关系解析:取a=0,则4∈M,但4∉N,若不然,有b 2-4b+6=4,b ∉Z.又取b=0,6∈N,但6∉M.答案:D4.设全集为U,若命题p:2010∈A∩B,则命题⌝ p是( )A.2010∈A∪BB.2010∉A且2010∉BðUðUðUðU B)解析:命题⌝p是ðU(A∩B),即2010∈(ðUðU B).答案:D评析:本题考查集合的运算及非命题的概念,要求对于集合中的运算性质ðU(A∩B)=( ðUðU B)与ðU(A∪B)=(ðU A)∩(ðU B)能够加强联想与发散.5.已知集合P={y=x2+1},Q={y|y=x2+1},S={x|y=x2+1},M={(x,y)|y=x2+1},N={x|x≥1},则( )A.P=MB.Q=SC.S=MD.Q=N解析:集合P是用列举法表示,只含有一个元素,集合Q,S,N中的元素全是数,即这三个集合都是数集,集合Q是函数y=x2+1中y的取值范围{y|y≥1},集合S是函数y=x2+1中x的取值范围R;集合N是不等式的解集{x|x≥1},而集合M的元素是平面上的点,此集合是函数y=x2+1图象上所有的点组成的集合.选D.答案:D评析:解集合问题时,对集合元素的准确性识别十分重要,不要被x,y等字母所迷惑,要学会透过现象看本质.6.定义集合M与N的新运算如下:M*N={x|x∈M或x∈N,但x若M={0,2,4,6,8,10,12},N={0,3,6,9,12,15},则(M*N)*M等于( )A.MB.{2,3,4,8,9,10,15}C.ND.{0,6,12}解析:因为M∩N={0,6,12},所以M*N={2,3,4,8,9,10,15},所以(M*N)*M={0,3,6,9,12,15}=N,故选C.答案:C评析:本题给出了新运算“*”的定义,并要求求(M*N)*M的解,解决这类信息迁移题的基本方法是以旧代新法,把新定义的运算“*”纳入到已有的集合交､并､补的运算体系之中,并用已有的解题方法来分析､解决新的问题.另外此题还可以用Venn图来分析求解.[来源:Z#xx#]二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)[来源:]7.(2010·重庆)设U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若ðU A={1,2},则实数m=________.[来源:学,科,网][来源:学§科§网Z§X§X§K]解析:依题意得A={0,3},因此有0+3=-m,m=-3.答案:-38.已知A={x|x>3或x<-1},B={x|a≤x≤b}.若A∪B=R,A∩B={x|3<x≤4},则a,b的值分别为________.解析:画出数轴可知a=-1,b=4.答案:-1,4[来源:学科网ZXXK]9.已知U={实数对(x,y)},A={(x,y)|lg(y-4)-lg(x-2)=lg3},B={(x,y)|3x-y-2=0},则瘙綂[KG-1mm]UA∩B=________.解析:容易错解为:由lg(y-4)-lg(x-2)=lg3,得y=3x-2,故A=B,则ðU A∩B=∅.上述解答的错因是将条件进行了非等价变形而扩大了变量的取值范围.实际上,由lg(y-4)-lg(x-2)=lg3,得y=3x-2(x>2),[来源:学科网]∴A={(x,y)|lg(y -4)-lg(x-2)=lg3}={(x,y)|y=3x-2(x>2)},ðU A ={(x,y)|y=3x-2(x≤2)}.答案ðU A∩B={(x,y)|y=3x -2(x≤2)}10.已知集合A ､B 与集合A⊙B 的对应关系如下表:若A={-2009,0,2010},B={-2009,0,2011},试根据图表中的规律写出A⊙B=__________. 解析:通过对表中集合关系的分析可以发现:集合A⊙B 中的元素是A∪B 中的元素再去掉A∩B 中的元素组成,故当A={-2009,0,2010},B={-2009,0,2011}时,A⊙B={2010,2011}.答案:{2010,2011}三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.) 11.规定与是两个运算符号,其运算法则如下:对任意实数a,b 有2+b 2+1)且-2<a<b<2,a,b∈Z.用列举法表示集合|2().a b A x x a b b ⎧⎫==+⎨⎩⊕⎬⎭⊗解:根据运算法则有[来源:学科网]()2222ab a b 1a b 1.a 1,b 0b 1.,b ,b 02(),.a b x a b ba bb⊕⊗=+++=++⊕=-====+当时或因为在中为分母故不符合题意舍去当a=0时,b=1.把a=-1,b=1或a=0,b=1代入x=(a+b)2+1得x=1或x=2.故A={1,2}.12.已知集合A={2,x,x 2,xy},集合B={2,1,y,x},是否存在实数x,y 使A=B?若存在,试求x,y 的值;若不存在,说明理由.解:假设存在实数x,y 使A=B,若x=1,则集合A,B 中出现2个1,这与集合中元素的互异性矛盾,所以必有2,21,1,.x y x xy xy y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 (1)由x 2=y 且xy=1,解得x=y=1,与集合中元素的互异性矛盾.[来源:学&科&网Z&X&X&K](2)由x 2=1且xy=y,解得x=1,y∈R(舍去)或x=-1,y=0.经检验x=-1,y=0适合题意.13.已知两集合A={x|x=t 2+(a+1)t+b},B={x|x=-t 2-(a-1)t-b},求常数a 、b,使A∩B={x|-1≤x≤2}. {}22224(1)4(1)|,|,44(1)4(1:A A B x |1x 2)14,4(1)24,b a b a x x B x x b a b a ⎧⎫⎧⎫-+--=⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭⎧-+=-⎪⎪⎨--⎪==⋂-=∴⎪⎩-解≥≤≤≤解得a=-1,b=-1.。
2012高考数学考点回归总复习课件第十三讲《函数模型及其应用》
800元不超过4000元的按超过800元的14%纳税,超过4000元 的按全稿费的11%纳税.某人出了一本书,共纳税420元,这个 人的稿费为()
A.3600元
B.3800元
C.4000元
D.4200元
答案:B
5.某人若以每股17.25元购进股票一万股,一年后以每股18.96 元抛售,该年银行月利率0.8%,按月计算,为获取最大利润,某 人应将钱((1+0.8%)12≈1.10034)()
【典例4】2008年9月25日,我国成功发射了“神舟” 七号载人飞船,这标志着中国科技又迈出了具有历 史意义的一步.若已知火箭的起飞重量M是箭体(包 括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和,在不 考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度y关 于x的函数关系式为: (其中k≠0).当燃料重量为
y k[lnm x ln( 2m)] 4ln2( 吨e (e1为)m自然对数
[分析]由图可知,两种方案都因时间段的不同导致收费不同, 因此,需分段列式.
[解]由图可知,两种方案都是由线性函数组成的分段函数,不 妨用待定系数法,结合图形,先求出函数解析式,再根据题意 解题.
(1)由图知点M(60,98),N(500,230),C(500,168),
MN∥CD. 设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)、
到1年); (4)如果20年后该城市人口不超过120万人,年自然增长率应控
制在多少?
[解](1)y=100(1+1.2%)x(x≥0); (2)令x=10,得y=100(1+1.2%)10≈112.7(万人); (3)令y=120,得100(1+1.2%)x=120, ∴x=log1.0121.2≈15(年); (4)设年自然增长率为x,由题意,得 100(1+x)20≤120,∴(1+x)20≤1.2,
[原创]2012年数学一轮复习精品试题第13讲函数模型及其应用
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第十三讲函数模型及其应用班级_________ 姓名 ________ 考号 ________ 日期________ 得分________一？选择题:（本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.）1. （2010 •杭州调研题）2002年初，甲？乙两外商在济南各自兴办了一家大型独资企业.2010年初在经济指标对比时发现，这两家企业在2002年和2009年缴纳的地税均相同，其间每年缴纳的地税按各自的规律增长：企业甲年增长数相同，而企业乙年增长率相同.则2010年企业缴纳地税的情况是（）A. 甲多B.乙多C.甲乙一样多D.不能确定解析:设企业甲每年缴纳的地税组成数列{a n},由于企业甲年增长数相同，所以数列{a n} 是等差数列，则a n是关于n的一次函数•设企业乙每年缴纳的地税组成数列{b n}，由于企业乙年增长率相同，所以数列{b n}是等比数列，则b n是关于n的指数形函数•根据题意，a1=b1，a8=b8, 如图知a g<b g，故2010年企业乙缴纳的地税多.答案:B2. （2010 •北京海滨模拟题）北京电视台某星期六晚播出的一档节目中有这样一道抢答题：小蜥蜴体长15 cm，体重15 g，已知小蜥蜴的体积与体长的立方成正比，问:当小蜥蜴长到体长为20 cm时，它的体重大约是（）A.20 gB.25 gD.40 gC.35 g解析：假设小蜥蜴从15 cm 长到20 cm,体形是相似的.这时蜥蜴的体重正比于它的体积 而体积与体长的立方成正比 .记体长为I 的蜥蜴的体重为 W,因此有W 20=W 5X 〜 153 合理的答案应该是 35 g,选C. 答案:C则x 、y 的函数关系与下列哪类函数最接近 （其中a 、b 为待定系数）?（）A.y=a+bxB.y=a+b x2 b C.y=ax +bD.y=a+ —x 解析:解法一：作散点图，由散点图可知，应选B.解法二：从表中发现0在函数的定义域内而否定 D ；函数不具奇偶性，从而否定 的改变量相同而函数值的改变量不同而否定 A.故选B.答案:B4. （20 10 •江门诊断题）我国为了加强对烟酒生产的宏观管理 ，除了应征税收外附加税，已知某种酒每瓶售价为 70元,不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100 元国家要征附加税 x 元（叫做税率x%）,则每年销售量将减少 10x 万瓶，如果要使每年在此项 经营中所收取的附加税额不少于 112万元，则x 的最小值为（）A.2B.6C.8D.10X解析:（100-10x ） ?70? > 112,2 < X W 8.100答案:A5. 已知A?B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从 A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回 A 地,汽车离开A 地的距离x （千米）与时间t （小 时）之间35.56(g), 3. （2010•长沙模拟题）在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据 x -2.0 -1.0 0 1.0 2.0 3.0 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 C;自变量 ,还征收的函数表达式是（）A.x=60tB. x=60t+50tC. X =150-5t(t >3.5)60t(0W t< 2.5),D. x 二150(2.5 :::汽3.5),150 -50(t 一3.5)(3.5 ::: t<6.5)150解析：到达B地需要=2.5小时；60所以当0W t < 2.5 时,x=60t;当 2.5<t < 3.5 时,x=150;当 3.5<t < 6.5 时,x=150-50(t-3.5).答案:D6. 某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品.已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P和Q（万元）,且它们与投入资金x（万元）的关系是P」，Q = *\匚（a>0）.若4 2不管资金如何投放,经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不小于5万元，则a 的最小值应为（）A.B.5C.3 D^..3解析：设对乙商品投入资金x万元，则投入甲商品的资金为（20-x）万元(0 < x< 20).则纯利润S(x)=匹匕\ X,4 2依题意应有S(x)恒成立，20 - x a -即'' x》5,4 2即a>由于0W x w 20,—x的最大值为20 = ,5, a》•-5,即a的最小值为\ 5.2 2答案:A二？填空题:（本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上.）7. （2010 •武汉联考题）已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年剩留质量为y,则y关于x的函数关系是.x答案：y 二0.9576 100（x > 0）8. （2010 •温州统考题）某服装商贩同时卖出两套服装，卖出价为168元/套,以成本计算一套盈利20%而另一套亏损20%则此商贩 ___________ .（填赚或赔多少钱）解析:设盈利的那套服装成本价为x,则x+20%x=168,x=140元，设亏损的那套服装成本价为y,则y-20%y=168,y=210 元,所以商贩赔（210-168）-（168-140）=14（元）.答案:赔14元9. 在不考虑空气阻力的情况下，设火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg,火箭（除燃料外）的质量m kg的函数关系是v=2000?ln（1+M/m）.当燃料质量是火箭质量的______倍时, 火箭的最大速度可达12 km/s.解析：•/ 2000?ln（1+M/m）< 12000,二—<e 6-1.m答案:e6-110. 一水池有两个进水口，一个出水口，每水口的进？出水速度如图甲？乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）.进水量出水最蓄水量给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6 点不进水不出水.则一定能确定正确的是__________________ .解析：由丙图（题图）知0点到3点蓄水量为6,故应两个进水口进水，不出水，故①正确. 由丙图（题图）知3点到4点间1小时蓄水量少1个单位，故1个进水1个出水，故②错误.由丙图（题图）知4点到6点蓄水量不变，故两个进水一个出水，故③错误.答案：①三？解答题:（本大题共3小题,11 ?12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.）需购买行李票,行李费用y(元)是关于行李质量x(kg)的一次函数,其图象如图所示(1) 根据图象数据，求y 与x 之间的函数关系式；(2) 问旅客最多可免费携带行李的质量是多少千克？解:(1)设y 与x 之间的函数关系式为 y=kx+b.由题图可知，当x=60时,y=6; 当 x=80 时,y=10. 1•••y 与x 之间的函数关系式为 y= x- 6(x >30).5 1 一(2)y= — x-6(x > 30)中y 的值为0时,x 的值为最多可免费携带行李的质量 5象与x 轴交点的横坐标.当 y=0 时,x=30.•旅客最多可免费携带行李的质量为 30 kg. 12. 某公司生产的A 型商品通过租赁柜台进入某商场销售定免收该年管理费，该年A 型商品定价为每件 70元,年销售量为12.7万件.第二年，商场开始 对该商品征收比率为m%勺管理费(即销售100元要征收m 元),于是该商品每件的定价提高 m % %,预计年销售量将减少 m 万件..如果超过规定的质量，则[60k+b =680k b =10’J 解得:r _5.Jb = —6,应是函数图 .第一年，商场为吸引厂家，决1 -0.01m(1)将第二年商场对该商品征收的管理费y(万元)表示成m的函数，并指出这个函数的定义域；(2)要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于21万元,则商场对该商品征收管理费的比率m% 勺范围是多少？ (3) 第二年，商场在所收管理费不少于 21万元的前提下，求使厂家获得最大销售金额时 的m 的值. 解：(1)依题意，第二年该商品年销售量为(12.7-m)万件,每件销售价格为：100 则商场该年对该商品征收的总管理费为故所求函数为y 70— 12L_7 -m m, 100 - m 由12.7-m • 0及m 0得其定义域为：m |0 ：： m ：： 1久7?. 化简得 m 2 -13m 30<0,即 m -3 m -10 <0, 解得3< m <10,故当比率在l3%,10%内时, 商场收取的管理费将不少于 21万元. (3)第二年，当商场收取的管理费不少于 21万元时,g m max 二 g 3 =700(万元),故当m=3时,厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于 21万元.13. 某皮鞋厂,从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3 万双,1.37万双.由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好 •为了推销员在 推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量•厂里分析，70(1 m 1 —0.01m %) 70 .年销售收入为 70 12L7 70 m10012|_7 -m m%万兀. 70 100 —m 12L7-m m >21, 厂家的销售收入为 7000100—m 12|_7-m 3< m <10 , 7000100 -m 1^7 -m =700 10 -8^ 为减函数,m -100m产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程•厂里也暂不准备增加设备和工人，假如你是厂长将会采用什么办法估算以后几个月的产量？解：作出图象如下图，图上可以得到四个点:A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37).解法1:（一次函数模型）设模拟函数为y=ax+b,以B,C两点的坐标代入函数式，有l2a b =1.2, a = 0.1,cr（解得2 所以得y=0.1x+1.3a b =1.3, b =1,评析：此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1000双,这是不太可能的•解法2:（二次函数模拟）设y=ax2+bx+c,将A,B,C三点的坐标代入,有a b c =1,4 a = -0.05,I |a 2bc =1.2,解得b =0.35,9a 3b c =1.3, c = 0.7,所以y=-0.05x 2+0.35X+0.7.评析：由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双.而且，由二次函数性质可知,产量自4月份开始将每月下降（图象开口向下，对称轴方程是x=3.5）,这显然不符合实际情况.解法3:（幕函数模拟）如下图，个人收集整理仅供参考学习设y=a .. x +b,将A,B两点的坐标代入"解得a'°.48,有.2a b =1.2, b 0.52,所以y =0.48、、x 0.52..这是因为此法只评析：以x=3和4代入，分别得到y=1.35和1.48,与实际产量差距较大使用了两个月的数据方法4:（指数函数模拟）如上图，设y=ab x+c,将A?B?C三点的坐标代入，得ab c =1, a = -0.8,Iab2 c =1.2,解得b =0.5,ab3 c =1.3, c =1.4,所以y=-0. 8 ・0.5x+14评析:以x=4 代入得y=-0. 8X0 .5 4+1.4=1.35.。
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第十三讲函数模型及其应用一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.(2010·杭州调研题)2002年初,甲､乙两外商在济南各自兴办了一家大型独资企业.2010年初在经济指标对比时发现,这两家企业在2002年和2009年缴纳的地税均相同,其间每年缴纳的地税按各自的规律增长:企业甲年增长数相同,而企业乙年增长率相同.则2010年企业缴纳地税的情况是( )A.甲多B.乙多C.甲乙一样多D.不能确定解析:设企业甲每年缴纳的地税组成数列{a n},由于企业甲年增长数相同,所以数列{a n}是等差数列,则a n是关于n的一次函数.设企业乙每年缴纳的地税组成数列{b n},由于企业乙年增长率相同,所以数列{b n}是等比数列,则b n是关于n的指数形函数.根据题意,a1=b1,a8=b8,如图知a9<b9,故2010年企业乙缴纳的地税多.答案:B2.(2010·北京海滨模拟题)北京电视台某星期六晚播出的一档节目中有这样一道抢答题:小蜥蜴体长15 cm,体重15 g,已知小蜥蜴的体积与体长的立方成正比,问:当小蜥蜴长到体长为20 cm时,它的体重大约是( )A.20 gB.25 gC.35 gD.40 g解析:假设小蜥蜴从15 cm长到20 cm,体形是相似的.这时蜥蜴的体重正比于它的体积,而体积与体长的立方成正比.记体长为l 的蜥蜴的体重为w t ,因此有w 20=w 15×332015≈35.56(g),合理的答案应该是35 g,选C.答案:C3.(2010·长沙模拟题)在一次数学实验中,运用计算器采集到如下一组数据: x -2.0 -1.0 0 1.0 2.0 3.0 y 0.240.511 2.023.988.02则x 、y 的函数关系与下列哪类函数最接近(其中a 、b 为待定系数)?() A.y=a+bxB.y=a+b xC.y=ax 2+bD.y=a+b x解析:解法一:作散点图,由散点图可知,应选B.解法二:从表中发现0在函数的定义域内而否定D;函数不具奇偶性,从而否定C;自变量的改变量相同而函数值的改变量不同而否定A.故选B.答案:B4.(2010·江门诊断题)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了应征税收外,还征收附加税,已知某种酒每瓶售价为70元,不收附加税时,每年大约销售100万瓶;若每销售100元国家要征附加税x 元(叫做税率x%),则每年销售量将减少10x 万瓶,如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元,则x 的最小值为()A.2B.6C.8D.10 解析:(100-10x)•70•100x ≥112,2≤x≤8.答案:A5.已知A ､B 两地相距150千米,某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地,在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地,汽车离开A 地的距离x(千米)与时间t(小时)之间的函数表达式是()A.x=60tB.x =60t+50tC.60(0 2.5)1505( 3.5)t t x t t ⎧=⎨->⎩≤≤D.60(0 2.5),150(2.5 3.5),15050( 3.5)(3.5 6.5)t t x t t t ⎧⎪=<⎨⎪--<⎩≤≤≤≤解析:到达B 地需要15060=2.5小时;所以当0≤t≤2.5时,x=60t;当2.5<t≤3.5时,x=150;当3.5<t≤6.5时,x=150-50(t-3.5).答案:D6.某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品.已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P 和Q(万元),且它们与投入资金x(万元)的关系是P=4,Q x =(a>0).若不管资金如何投放,经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不小于5万元,则a 的最小值应为()B.5C.3D.:设对乙商品投入资金x 万元,则投入甲商品的资金为(20-x)万元(0≤x≤20).则纯利润S(x)=204x -+依题意应有S(x)≥5恒成立,即204x -+≥5,即2,由于a 2a 2∴=最大值为即的最小值答案:A二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.(2010·武汉联考题)已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x 年剩留质量为y,则y 关于x 的函数关系是________.答案: ()100y 0.9576x= (x≥0)8.(2010·温州统考题)某服装商贩同时卖出两套服装,卖出价为168元/套,以成本计算一套盈利20%而另一套亏损20%,则此商贩________.(填赚或赔多少钱)解析:设盈利的那套服装成本价为x,则x+20%x=168,x =140元,设亏损的那套服装成本价为y,则y-20%y=168,y=210元,所以商贩赔(210-168)-(168-140)=14(元).答案:赔14元9.在不考虑空气阻力的情况下,设火箭的最大速度v m/s 和燃料的质量M kg,火箭(除燃料外)的质量m kg 的函数关系是v=2000•ln(1+M/m).当燃料质量是火箭质量的________倍时,火箭的最大速度可达12 km/s.解析:∵2000•ln(1+M/m)≤12000,∴M m≤e 6-1.答案:e 6-110.一水池有两个进水口,一个出水口,每水口的进､出水速度如图甲､乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口).给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的是________.解析:由丙图(题图)知0点到3点蓄水量为6,故应两个进水口进水,不出水,故①正确. 由丙图(题图)知3点到4点间1小时蓄水量少1个单位,故1个进水1个出水,故②错误. 由丙图(题图)知4点到6点蓄水量不变,故两个进水一个出水,故③错误. 答案:①三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)11.某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.如果超过规定的质量,则需购买行李票,行李费用y(元)是关于行李质量x(kg)的一次函数,其图象如图所示.(1)根据图象数据,求y 与x 之间的函数关系式; (2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少千克?解:(1)设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b.由题图可知,当x=60时,y=6;当x=80时,y=10.∴1606,.58010:6k b k k b b ⎧+==⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=-⎩解得∴y 与x 之间的函数关系式为y=15x-6(x≥30).(2)y=15x-6(x≥30)中y 的值为0时,x 的值为最多可免费携带行李的质量,应是函数图象与x 轴交点的横坐标.当y=0时,x=30.∴旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg.12.某公司生产的A 型商品通过租赁柜台进入某商场销售.第一年,商场为吸引厂家,决定免收该年管理费,该年A 型商品定价为每件70元,年销售量为12.7万件.第二年,商场开始对该商品征收比率为m%的管理费(即销售100元要征收m 元),于是该商品每件的定价提高10.%01m m-%,预计年销售量将减少m 万件.(1)将第二年商场对该商品征收的管理费y(万元)表示成m 的函数,并指出这个函数的定义域;(2)要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于21万元,则商场对该商品征收管理费的比率m%的范围是多少?(3)第二年,商场在所收管理费不少于21万元的前提下,求使厂家获得最大销售金额时的m 的值.解:(1)依题意,第二年该商品年销售量为(12.7-m)万件,每件销售价格为:()()(){}()()()()270(1127m .127m m %.y 127m m ,12.7m0m 0m |0m 127.2y 21127m m 21,m7070%),10.011110010070110070100713m 300,m 3m 100,3m 010,010m m m mm mm+=-----∴--=-->><<---+-- 年销售收入为万元则商场该年对该商品征收的总管理费为万元故所求函数为由及得其定义域为由≥得≥化简得≤即≤解得≤≤故当[]()()()()()()()m ax3%,10%,21.(3),21,g m 1270001007000877m 3m 10,g m 127m 700,g m g 3700(),310100100mmm =--=-⎛⎫=+⎪--⎝⎭∴== 比率在内时商场收取的管理费将不少于万元第二年当商场收取的管理费不少于万元时厂家的销售收入为≤≤为减函数万元故当m=3时,厂家销售金额最大,且商场所收管理费又不少于21万元.13.某皮鞋厂,从今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双.由于产品质量好,款式新颖,前几个月的产品销售情况良好.为了推销员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估测以后几个月的产量.厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂不准备增加设备和工人,假如你是厂长,将会采用什么办法估算以后几个月的产量?解:作出图象如下图,图上可以得到四个点:A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37).解法1:(一次函数模型)设模拟函数为y=ax+b,以B,C 两点的坐标代入函数式,有2 1.2,0.1,3 1.3,1,a b a a b b +==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解得所以得y=0.1x+1. 评析:此法的结论是:在不增加工人和设备的条件下,产量会每月上升1000双,这是不太可能的.解法2:(二次函数模拟)设y=ax 2+bx+c,将A,B,C 三点的坐标代入,有1,40.05,2 1.2,0.35,93 1.3,0.7,a b c a a b c b a b c c ++==-⎧⎧⎪⎪++==⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩解得 所以y=-0.05x 2+0.35x+0.7. 评析:由此法计算4月份产量为1.3万双,比实际产量少700双.而且,由二次函数性质可知,产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下,对称轴方程是x=3.5),这显然不符合实际情况.解法3:(幂函数模拟)如下图,设将A,B 两点的坐标代入,有1,0.48y 0.4,0.52,1.2,0.52.a b a b b ≈≈+=⎧⎧⎪⎨+=⎩=解得所以 评析:以x=3和4代入,分别得到y=1.35和1.48,与实际产量差距较大.这是因为此法只使用了两个月的数据.方法4:(指数函数模拟)如上图, 设y=ab x+c,将A ､B ､C 三点的坐标代入,得1,0.8,2 1.2,0.5,3 1.3, 1.4,a b c a a b c b a b c c +==-⎧⎧⎪⎪+==⎨⎨⎪⎪+==⎩⎩解得 所以y=-0.8·0.5x+1.4.评析:以x=4代入得y=-0.8×0.54+1.4=1.35.。