最优截断切割问题

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截断切割的优化设计

长方摘要本篇论文着重讨论了长方体截断切割的最优排序策略，用排列组合得到720 种所可行解及其费用并对于原问题建立了决策并对所给出的算法进行了分析和检验。

当E=3时我归纳出解决问题的最优法则, 从而提出了将面间距统一成判断权重来作为排序准则的算法,最后我结合实际问题将本问题进行了拓展讨论了当最终产品(成品)在毛坯(待加工长方体)中位置不预定时应如何实施加工方案以达到节省费用和节约资源的目的,使我们的方案适用于更为广阔的领域关键字:权重、捆绑法、排列组合、最小路径一、问题的重述与分析在日常的工业生产中，工人师傅会常常采取一分为二的截断切割方式从一块长方体材料中切出一个小长方体，其加工总费用与水平切割、垂直切割的截面面积、调整刀具时的额外费用e以及切割面的排列顺序。

通常要经过6 次截断切割完成.水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍.先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.对于本问题我们首先面临的是各面加工次序的排列问题和我们当考虑到原成品和成品的位置不确定的时候我们如何采取策略来达到最优的切割方式二、模型假设1、机器切割与刀具无任何误差2、人为操作（换刀，位置摆放等）完全正确3、金属不会因为加工过程中环境因素而发生微小的变形4、目标长方体所在位置与原成品任一表面不重合5、切割刀具为一个且水平放置6、水平方向只需平行移动水平刀具或调整后平行移动三、符号说明A，B，C分别表示原长方体的长、宽、高，单位：cma，b，c分别表示目标长方体的长、宽、高，单位：cm毛坯的左表面右表面前表面后表面上表面下表面最终产品的左表面右表面前表面后表面上表面下表面（为方便做题，分别记为253614）r 水平切割单位面积费用与垂直切割单位面积费用之比e 调整一次垂直刀具的额外费用p 垂直切割单位面积费用ti 加工过程中的第i 刀切割第ti 个面wi 第i 次切割的切割费用单位:元vi 第i 次切割被切割掉部分的面积单位:平方厘米di 最终产品与毛坯的对应表面的距离i = 1,2,，，，6其它变量如果出现则在使用时另行说明四、模型建立模型一：1求出费用最小下的最优切割方式（方法同模型二）以各个切割面为顶点，任意每两个顶点之间的切割费用（考虑额外费用e）即权重，画出类似模型二中图，再利用Dijkstra算法求出最短路径及所求最优切割方式A1C 62 a b C5 B3 A 4模型二：根据调整刀具需额外费用e的次数（E）可分为以下几种可能1、E=3次的情形就是首先切割对应的平行面如：1、4面2、5面3、6面，将其平行的对面用捆绑法进行捆绑，分别记为V1、V2、V3。

最优截断切割问题

Fbest Fmin min {F
1 n 720 (n) knife (n) cut 1 n 720 k 1
(n) ( ( F } min {e f (v ) p (m kn ) )s (v kn ) )}
若 n n 时有
6 ( n ) ( e f (v ) p(mk ) s(vkn ) ) Fmin k 1
h ( h(2), h(1), h(5), h(3), h(4), h(6) ) ( 1, 6, 9, 7, 5.5, 6 ) 则 t1 (a1 , b1 , c1 ) ( 10, 14.5, 19 ) , t2 (a2 , b2 , c2 ) t1 (a1 , b1 , c1 ) ( 9, 14.5, 19 ) t1 h(2)(1,0,0) , t3 (a3 , b3 , c3 ) t2 (a2 , b2 , c2 ) ( 3, 14.5, 19 ) t2 h(1)(1,0,0) , t4 (a4 , b4 , c4 ) t3 (a3 , b3 , c3 ) ( 3, 14.5, 10 ) t3 h(5)(0,0,1) , t5 (a5 , b5 , c5 ) t4 (a4 , b4 , c4 ) ( 3, 7.5, 10 ) t4 h(3)(0,1,0) , t6 (a6 , b6 , c6 ) t5 (a5 , b5 , c5 ) ( 3, 2, 10 ) t5 h(4)(0,1,0) , t6 (a6 , b6 , c6 ) ( 3, 2, 4 ) t6 h(6)(0,0,1) . k 1, 2,3, 4,5 tk 1 tk tk h(vk )em(vk ) ,

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本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==图论的论文篇一：图论论文课程论文课程名称题目最短路径在最优截断切割问题中的应用姓名学号学院专业摘要本文是把长方体切割的最小代价问题，转化成一个我们所熟悉的图论问题，把其抽象成为一个图论之中求路径的最短路的问题，并采用了图论中的Dijkstra 算法，以求其的最短路，最终得到了对长方体切割问题的求解，最后我们通过了一个长方体切割实例，说明了我们的算法是可靠，有效的。

关键字：最短路径Dijkstra算法最优截断切割1. 预备知识1.1图的基本概念有序三元组G =(V,E,)称为一个图，其中:(1)V是有穷非空集，称为顶点集，其元素叫做图的顶点；(2)E称为边集,其元素叫做图的边；(3)是从边集E到顶点集的有序或者无序对集合的映射，称为关联函数。

1.2 权如果图G中任意一条边上都附有一个数，则称这样的图G为加权图。

若边e标记数为k，称边e的权为k。

定义１在无向图G=(V,E,?)中：（1）顶点与边相互交错且?(ei)?vi?1vi (i=1,2,…k)的有限非空序列w?(v0e1v1e2?vk?1ekvk)称为一条从v0到vk的通路，记为Wv0vk（2）边不重复但顶点可重复的通路称为道路，记为Tvv0k（3）边与顶点均不重复的通路称为路径，记为Pv右图中，我们可以根据定义得到：通路Wvv?v1e4v4e5v2e1v1e4v414vk道路Tvv?v1e1v2e5v4e6v2e2v3e3v414路径Pvv?v1e1v2e5v414定义２（1）任意两点均有路径的图称为连通图．（2）起点与终点重合的路径称为圈．（3）连通而无圈的图称为树．定义３（1）设P(u,v)是赋权图G中从u到v的路径，则称w(P)??w(e)为路径P的权．e?E(P)（2）在赋权图G中，从顶点u到顶点v的具有最小权的路 P*(u,v)，称为u到v的最短路．1.3 固定起点的最短路最短路是一条路径，且最短路的任一段也是最短路．假设在u0-v0的最短路中只取一条，则从u0到其余顶点的最短路将构成一棵以u0为根的树．因此, 可采用树生长的过程来求指定顶点到其余顶点的最短路．Dijkstra算法：求G中从顶点u0到其余顶点的最短路，如图1所示:设G为赋权有向图或无向图，G边上的权均非负．对每个顶点，定义两个标记（l(v)，z(v)），其中:l(v)：表从顶点u0到v的一条路的权．z(v)：v的父亲点，用以确定最短路的路线算法的过程就是在每一步改进这两个标记，使最终l(v)为从顶点u0到v的最短路的权。

最优分割

传统最优分割的基本思路是给定一个数据序列和分层数，通过搜索所有可能的划分方案，找到段内离差平方和的总和最小的一种方案作为最终划分方案。

由于一个数据序列的总离差平方和等于段内离差平方和与段间离差平方和之和，故段内离差平方和最小意味着段间离差平方和最大，也就是每段内都有最均匀的物理性质，而段间达到最大差异，故为最优划分。

1.最优分割法主要存在以下3个问题。

(1)分层优化只考虑到测井数据的离差平方和，忽略了曲线形态方面的信息两段测井曲线在形态上可能有显著的差异，指示不同的岩石物理性质和地层一岩性结构，但却可能有相同或相近的离差平方和。

例如，自然伽马(GR)曲线的周期性跳跃可能指示泥砂岩互层，而一个较宽的峰可能指示一层泥质岩[3]，如果这两段曲线有相似的离差平方和，则传统最优分割法将不能对这两段岩性加以区分。

因此，传统最优分割法对信息的利用是不充分的。

(2)没有考虑测井曲线的突变点测井曲线的突变点最可能指示了岩|生突变，是地层分界点的优选位置。

但如前述，传统最优分割法忽略了测井曲线的形态，不能发现这些突变点，往往引起地层划分的不可靠。

(3)计算量太大设有P 个测井参数，数据序列长为N ，找G 个分界点(分为G+l 层)。

经推算可知需计算2/N)-P(N 2个段内离差平方和，需进行段内离差平方和大小比较的次数约为G N G 2-。

若数据量较大、分段数较多，如数据序列长度大于1 000，分5段以上，则在当前很好的微机上消耗时间动辄以小时计。

为了克服以上问题，李洪奇等提出在搜索最优分界点时，用启发式搜索规则加以控制。

其方法是预定义渐变、跳变和峰3种曲线段模式，遍历拟分层井段以寻找这些模式出现的点，之后在选出点集合内进行最优分割计算。

这种方法确实有效地减少了计算量，并使最终获得的分界点为3种模式之一，有较清楚的地质意义。

但本试算表明，这种方法仍存在问题：一是有限个预定义的曲线段模式不可能穷尽无限变化的实际曲线形态；二是仍未充分利用对岩性有指示意义的曲线段形态信息。

最短路问题(讲稿),截断切割题目与参考答案,最优截断切割问题参考案例

截断切割B题截断切割题目某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。

这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。

从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长主体的对应表面是平行的）通常要经过6次截断切割。

设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍，且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。

（由工艺要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的）详细要求如下：1、需考虑的不同切割方式的总数2、给出上述问题的数学模型和求解方法。

1、试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。

2、对于e=0的情形有无简明的优化准则。

3、用以下实例验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、14.5、19和3、2、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。

垂直切割费用为每平方厘米1元，r和e的数据有以下4组：a.r=1 e=0 ;b.r=1.5 e=0 ;c.r=8 ,e=0 ;d.r=1.5;2≤e≤15对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。

B题截断切割参考答案（1）需考虑的不同切割方式的总数V中共有6!=720个不同的元素，因此有720种不同的切割方式，注意到相继二次切割一对平行的平面时，交换这二次切割的先后次序不影响对应切割方式的费用，将费用相同的切割方式归成一类，每类取一种切割方式作不代表，此时仅需考虑加工费用可能不同的切割方式426种。

（2）问题归结为求一个定义在6个切割面排列次序的全体或它的一个子集上的函数的最小值。

目标函数应尽量用显式写出。

求解可用枚举法，分支定界法或其它方法，从尽可能简便有效作为评价标准：（3）一种作法如下：在直角坐标系中，表面平行于坐标平面的长方体可表示为{（x,y,z）,(a,b,c)},其中（x,y,z）为长方体某指定角点的坐标，a,b,c分别为它的长、宽、高。

最新数学建模经典案例：最优截断切割问题

建模案例：最优截断切割问题一、问题从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过 6 次截断切割.设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍.且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用 e.试设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少.二、假设１、假设水平切割单位面积的费用为r ，垂直切割单位面积费用为1；２、当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，调整刀具需额外费用e ；３、第一次切割前，刀具已经调整完毕，即第一次垂直切割不加入刀具调整费用；4 、每个待加工长方体都必须经过6次截断切割.三、模型的建立与求解设待加工长方体的左右面、前后面、上下面间的距离分别为 a0、b0 、c0 ，六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下，将它们相应编号为M1、M2、M3、M4、M5、M6，这六个面与待加工长方体相应外侧面的边距分别为 u1、u2、u3、u4、u5、u6.这样，一种切割方式就是六个切割面的一个排列，共有P 66720= 种切割方式.当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则：两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工.由此准则,只需考虑 P 6622290!!!⨯⨯=种切割方式.即在求最少加工费用时，只需在90个满足准则的切割序列中考虑.不失一般性，设u1≥u2，u3≥u4，u5≥u6，故只考虑M1在M2前、M3在M4前、M5在M6前的切割方式.1、 e=0 的情况为简单起见,先考虑e=0 的情况.构造如图9-13的一个有向赋权网络图G(V,E).为了表示切割过程的有向性，在网络图上加上坐标轴x，y，z.图9-13 G(V,E)图G(V,E)的含义为：(1)空间网络图中每个结点Vi(xi,yi,zi)表示被切割石材所处的一个状态.顶点坐标xi、yi、zi分别代表石材在左右、前后、上下方向上已被切割的刀数.例如：V24(2,1,2) 表示石材在左右方向上已被切割两刀，前后方向上已被切一刀，上下方向上已被切两刀，即面M1、M2、M3、M5、M6均已被切割.顶点V1(0,0,0) 表示石材的最初待加工状态，顶点V27(2,2,2)表示石材加工完成后的状态.(2)G的弧（Vi,Vj）表示石材被切割的一个过程，若长方体能从状态Vi经一次切割变为状态Vj，即当且仅当xi+yi+zi+1=xj+yj+zj时，Vi(xi,yi,zi)到Vj(xj,yj,zj)有弧(Vi,Vj)，相应弧上的权W(Vi,Vj)即为这一切割过程的费用.W(Vi,Vj)=(xj-xi)⨯(bi⨯ci)+(yj-yi)⨯(ai⨯ci)+(zj-zi)⨯(ai⨯bi)⨯r其中，ai、bi、ci分别代表在状态Vi时，长方体的左右面、上下面、前后面之间的距离.例如，状态V5（1，1，0），a5 = a0-u1,b5 = b0-u3,c5 = c0;状态V6（2，1，0）W(V5，V6) ＝（b0-u3)⨯c0(3)根据准则知第一刀有三种选择，即第一刀应切M1、M3、M5中的某个面，在图中分别对应的弧为( V1,V2)，(V1,V4)，(V1,V10). 图G中从V1到V27的任意一条有向道路代表一种切割方式.从V1到V27共有90条有向道路，对应着所考虑的90种切割方式.V1到V27的最短路即为最少加工费用，该有向道路即对应所求的最优切割方式.实例：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、145、19 和3、2、4，两者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9，则边距如下表：u1 u2 u3 u4 u5u66 1 755 69r=1时，求得最短路为V1－V10－V13－V22－V23－V26－V27，其权为374对应的最优切割排列为M5－M3－M6－M1－M4－M2，费用为374元.2、e≠0的情况当e≠0时，即当先后两次垂直切割的平面不平行时，需加调刀费e.希望在图9-13的网络图中某些边增加权来实现此费用增加.在所有切割序列中，四个垂直面的切割顺序只有三种可能情况：<情况一>先切一对平行面，再切另外一对平行面，总费用比e=0时的费用增加e.<情况二>先切一个，再切一对平行面，最后割剩余的一个，总费用比e=0时的费用增加2e.<情况三>切割面是两两相互垂直，总费用比e=0时的费用增加3e.在所考虑的90种切割序列中，上述三种情况下垂直切割面的排列情形，及在G垂直切割面排列情有向路必经点形情况一（一）M1－M2－M3－M4 (1,0,z),(2,0,z),(2,1,z)情况一（二）M3－M4－M1－M2 (0,1,z),(0,2,z),(1,2,z)情况二（一）M3－M1－M2－M4 (0,1,z),(1,1,z),(2,1,z)情况二（二）M1－M3－M4－M2 (1,0,z),(1,1,z),(1,2,z)情况三（一）M1－M3－M2－M4 (1,0,z),(1,1,z),(2,1,z)情况三（二）M3－M1－M4－M2 (0,1,z),(1,1,z),(1,2,z)我们希望通过在图9-13的网络图中的某些边上增加权来进行调刀费用增加的计算，但由于网络图中的某些边是多种切割序列所公用的.对于某一种切割序列，需要在此边上增加权e，但对于另外一种切割序列，就有可能不需要在此边上增加权e，这样我们就不能直接利用图9-13的网络图进行边加权这种方法来求出最短路径.由上表可以看出，三种情况的情形（一）有公共点集{(2,1,z)|z=0,1,2}，情形（二）有公共点集{(1,2,z)|z=0,1,2}.且情形（一）的有向路决不通过情形（二）的公共点集，情形（二）的有向路也不通过情形（一）的公共点集.所以可判断出这两部分是独立的、互补的.如果我们在图G中分别去掉点集{(1,2,z)|z=0,1,2}和{(2,1,z)|z=0,1,2}及与之相关联的入弧，就形成两个新的网络图，如图Ｈ1和Ｈ2.这两个网络图具有互补性.对于一个问题来说，最短路线必存在于它们中的某一个中.由于调整垂直刀具为3次时，总费用需增加3e，故我们先安排这种情况的权增加值e，每次转刀时，给其待切弧上的权增加e.增加e的情况如图9-14中所示.再来判断是否满足调整垂直刀具为二次、一次时的情况，我们发现所增加的权满足另外两类切割序列.综合上述分析，我们将原网络图G分解为两个网络图Ｈ1和Ｈ2，并在指定边上的权增加e，然后分别求出图Ｈ1和Ｈ2中从V1到V27的最短路，最短路的权分别为：d1,d2.则得出整体的最少费用为：d = min(d1,d2) ，最优切割序列即为其对应的最短路径.实例：r=15,e=2时，求得图G1与G2的最短路为G2的路V1－V4－V5－V14－V17－V26－V27，权为4435，对应的最优切割序列为M3－M1－M6－M4－M5－M2，最优费用为4435.图9-14 H1图9-15 H2。

CTSC2004 1_1 最优切割

最优切割解题报告湖南省长沙市长郡中学胡伟栋问题简述：有一个凸多边形的模板，要在这个模板中切出一个凸多边形的零件，零件的任何非相邻边的交点都不是模板内，问最少要切多长。

分析：如图A是一个模板和一个零件的图示，首先不考虑零件有边与模板重合的情况。

A l rxy图A首先，作出零件每边所在的直线，这些直线在模板所在的多边形内的交点都是零件所在多边形的顶点，对于每一个交点A，都有四条特殊的线段：两条是零件所在的多边形的边(l和r)，还有两条线段除端点分别在零件上和模板上，其它的点都在模板内的非零件区域(令逆时针方向的为x，顺时针方向的为y)。

显然，要解决原题，每个顶点对应的|x|和|y|的较小值是必需求出来的，因此考虑第一步先把所有的|x|和|y|都求出来。

怎么求呢？题中给出了一个重要的条件：零件和模板都是凸多边形且都是按逆时针方向给出的。

这样，如果按照逆时针方向求零件的所有顶点对应的y，只需要枚举零件的边，用一个指针指向模板的边，对零件的每边，如果该边向零件逆时针方向的延长线与模板的当前边不相交，则使模板的指针按逆时针方向滑动。

显然，零件的边只要枚举一次，模板的指针滑动不会超过两圈，所以时间复杂度为O(n+m)。

对于x，也可以用相似的方法求出。

从图中可以看出，对于零件所在凸多边形的一个顶点A，无论先沿l边切再沿r边切，还是先切r后切l，x和y中的都有且仅有一条要被刀切过。

所以，与顶点A 相连的四条特殊线段中，l和r是必被切的，而x和y中只有一条被切。

回头看一看题中所要达到的目标——要使切的总长度最短，显然我们要使每个点所连的x和y 都尽量取小值，这样才能保证总和比较小。

图B但是，是否对所有的顶点取|x|和|y|中的较小值就可以了呢？不是的，如果对所有点，x和y的较短者都是同指向顺时针或逆时针方向(如图B,其中蓝色实线表示对应顶点上的|x|和|y|的较小者)，则找不到从哪儿可以切出第一刀。

是否第一刀能切下去就能使所有的顶点都可以取|x|和|y|中较小呢？是的。

数学建模---最优化的有效切割问题

合理切割模式
6米钢管根数 0 1 0 2 1 3 0 8米钢管根数 0 0 1 0 1 0 2 余料(米) 3 1 3 3 1 1 3
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式切割多少根原料钢管，最为节省？两种标准 1. 原料钢管剩余总余量最小
Hale Waihona Puke 2. 所用原料钢管总根数最少
决策变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7) 目标1（总余量） Min Z1 3x1 x2 3x3 3x4 x5 x6 3x7
16 4r12 5r22 6r32 8r42 19
16 4r13 5r23 6r33 8r43 19
整数约束： xi ,r1i, r2i, r3i, r4i (i=1,2,3)为整数
r31 x1 r32 x2 r33 x3 20
r41 x1 r42 x2 r43 x3 15
模式 1 2 3 4 5 6 7 需求 4米根数 4 3 2 1 1 0 0 50 6米根数 0 1 0 2 1 3 0 20 8米根数 0 0 1 0 1 0 2 15 余料 3 1 3 3 1 1 3
约束满足需求 4 x1 3x2 2 x3 x4 x5 50
x2 2 x4 x5 3x6 20 x3 x5 2 x7 15
钢管下料问题2
增加一种需求：5米10根；切割模式不超过3种。
现有4种需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米 15根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂。对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式
决策变量
xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,3)

数学建模经典案例最优截断切割问题

建模案例：最优截断切割问题一、问题从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过６次截断切割．设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍。

且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.试设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”)的方法,使加工费用最少。

二、假设1、假设水平切割单位面积的费用为r,垂直切割单位面积费用为１;２、当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，调整刀具需额外费用ｅ；3、第一次切割前,刀具已经调整完毕，即第一次垂直切割不加入刀具调整费用； 4 、每个待加工长方体都必须经过6次截断切割．三、模型的建立与求解设待加工长方体的左右面、前后面、上下面间的距离分别为 a0、b ０、c0 ，六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下，将它们相应编号为M1、Ｍ2、M3、M ４、M5、M6，这六个面与待加工长方体相应外侧面的边距分别为 u1、ｕ2、u3、u4、u5、ｕ6.这样,一种切割方式就是六个切割面的一个排列，共有P 66720= 种切割方式。

当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则:两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工.由此准则，只需考虑 P 6622290!!!⨯⨯=种切割方式.即在求最少加工费用时，只需在９0个满足准则的切割序列中考虑．不失一般性,设u １≥u2,u3≥u ４，u5≥u6,故只考虑Ｍ1在M2前、M ３在M ４前、M5在Ｍ６前的切割方式。

1、ｅ=0 的情况为简单起见,先考虑e＝0 的情况．构造如图9—１3的一个有向赋权网络图Ｇ(V，Ｅ）。

为了表示切割过程的有向性，在网络图上加上坐标轴x，y，z．图9—13 G（V,Ｅ)图G（V，E)的含义为:（１)空间网络图中每个结点Ｖi(ｘi，yi,ｚi）表示被切割石材所处的一个状态.顶点坐标xｉ、yi、ｚi分别代表石材在左右、前后、上下方向上已被切割的刀数．例如：V24(2，1,2) 表示石材在左右方向上已被切割两刀，前后方向上已被切一刀,上下方向上已被切两刀，即面Ｍ1、M2、M3、M5、M6均已被切割．顶点V1（0，0，０）表示石材的最初待加工状态,顶点V２7（２，２，２）表示石材加工完成后的状态．（2)Ｇ的弧(Vi,Vj)表示石材被切割的一个过程，若长方体能从状态Ｖi经一次切割变为状态Vj,即当且仅当xｉ+yi+zi＋１=ｘj＋yj+zj时，Vi（ｘi，yi，zｉ)到Vj（ｘｊ，yj,zj）有弧（Vｉ，Vj),相应弧上的权W(Vi，Ｖj）即为这一切割过程的费用。

数学建模课程设计

和(0,1,0) → (0,0,1) → (1,0,0) → (0,1,0) → (0,0,1) → (1,0,0)(∗∗) 对应路线为：V1→ V4 → V5(V13) → V14 → V23 → V26 → V27 其中决策方案（*）只符合准则 2，而决策方案（**）不仅符合准则 1，而且符合准则 2。（c）r=8,e=0; 求得最小总收益 J=540.5 元，满足最小总收益的只有一种切割方式，在满足 f—原则的前提下，其切割状态向量为： (0,1,0) → (1,0,0) → (0,1,0) → (0,0,1) → (1,0,0) → (0,0,1) 对应路线为：V1→ V4 → V5 → V8 → V17 → V18 → V27 这种决策方案只符合准则 2，但不符合准则 1。其中决策方案（*）只符合准则 2，而决策方案（**）符合准则 1 和准则从以上结果可看出，模型的可靠性是比较高的，且具有较好的稳定性。 2。
图1 在 M6 前的切割方式. 若用穷举法考虑该问题，所得可能的方法排列如下图
图2 但是由于列举法的计算过程太复杂，故不考虑。
三、基本假设与符号约定
（一）基本假设 1．由工艺要求，与水平工作台接触的待加工长方体底面是事先指定的，成品长方体的尺寸已知，位置预定，且两个长方体和对应表面是平行的。 2．刀具的磨损情况很小，可忽略不计。 3．切割热量对长方体所产生的影响很小，可忽略不计。 4．我们称切割后的那些不含成品长方体的小长方体为切块，考虑切块的可应
《数学建模课程设计》
最优截断切割方案
学校班级组员
浙江理工大学理学院 11 信息与计算科学（1）班 2011326630108 吴羽桑 2011326630109 余梦颖
2014—6—19

数学建模经典案例最优截断切割问题

数学建模经典案例最优截断切割问题在我们的日常生活和工业生产中，经常会遇到材料切割的问题。

如何在给定的原材料上，通过合理的切割方式，获得最大的效益或者满足特定的需求，这就是最优截断切割问题所要研究的核心内容。

想象一下，你是一家木材加工厂的老板，手头有一根长长的原木，需要将其切割成不同长度的木板，以满足客户的订单需求。

但原木的长度是有限的，而客户的订单要求各种各样，怎样切割才能最大限度地利用这根原木，减少浪费，提高利润呢？这可不是一件简单的事情，需要运用数学建模的智慧来找到最优解。

为了更好地理解最优截断切割问题，让我们先来看一个具体的例子。

假设有一根长度为 10 米的钢材，需要切割成 2 米、3 米和 4 米三种不同长度的小段，分别需要 10 段、8 段和 5 段。

那么，应该如何切割才能使浪费最少，或者说在满足需求的前提下使用的钢材最少呢？首先，我们可以尝试一些直观的切割方法。

比如说，先把钢材尽可能地切成 4 米长的小段，然后再处理剩下的部分。

但这样做真的是最优的吗？也许在这个例子中是，但如果需求的数量或者钢材的长度发生变化，这种方法可能就不再适用了。

为了解决这个问题，我们可以建立一个数学模型。

假设我们用 x1、x2、x3 分别表示切割成 2 米、3 米和 4 米小段的数量。

那么，我们需要满足以下条件：2x1 ＋ 3x2 ＋ 4x3 ＜＝ 10 （这表示切割出的小段长度总和不能超过原材料的长度）x1 ＞＝ 10 （2 米小段的需求数量）x2 ＞＝ 8 （3 米小段的需求数量）x3 ＞＝ 5 （4 米小段的需求数量）同时，我们的目标是要使切割使用的钢材长度最小，也就是要最小化 2x1 ＋ 3x2 ＋ 4x3 这个目标函数。

接下来，我们可以使用一些数学方法来求解这个模型。

常见的方法有线性规划、动态规划等。

以线性规划为例，我们可以通过软件工具（如 LINGO、Matlab 等）来求解这个问题，得到最优的切割方案。

材料截断切割的最优设计

中图分类号：２６Ｏ４文献标志码：Ａ
Ｏｐｉｉａｉｎｄｓｇｏｈｅｂｅｔｍｅｈｏｆｍａｅｉｌｃｔｉｔｍｚｔｏｅｉｎｆｒｔｓｔｄｏｔｒａｕｔｎｇ
ＧＵＡＮｎ — ｏ，Ｓｎ－ｉ。ＨｏｇｂＨＩＤｏｇｗｅ
，
ＨＵＡＮＧＳｎ — ｉｏｇｑ
（ｅｔｆＭａｈｎｆｒｃ，ｈｎｚｏｎｖｆＬｇｔｎ．Ｚｅｇｈｕ４００，ｈｎ；１Ｄｐ．ｏｔ．ａｄＩｏｉＺｅｇｈｕＵｉｎＳ．．ｏｉｈＩｄ，ｈｎｚｏ５０２Ｃｉａ２ＤｐｏＭａｈ，ｅａｎｔｆＳｉｎｅｈ，ｉｉｇ４３０，ｈｎ）．ｅｔｆｔ．Ｈｎｎ［ｓ．ｏｃ．ａｄＴｃ．Ｘｎａ５０３Ｃｉｘｎａ
Ｖｏ．３Ｎｏ４１２Ａａ（０８０ — １１— ４１０４８２０）４０２０
材料截断切割的最优设计
关宏波石东伟黄松奇，，
（．１郑州轻工业学院数学与信息科学系，河南郑州４００；５０２２河南科技学院数学系，．河南新乡４３０５０３）
ｍｅｈｄｗｉｈｉｄｆｒｎｒｍｈｓｈｔｈｖｅｎｇｖｎｉｅａｉｅａｔｌｓＷａｉｅｙｍａｉｇｕｅｏｔｏｈｃｓｉｅｅｔｏｔｏｅｔａａｅｂｅｉｅｎｒｌｔｒｉｅｓｇｖｎｂｋｎｓｆｆｆｖｃ
，
ｃｍｐｔｔｎｌｃｍｐｅｉ．ｏｕａｉａｏｌｘｔｏｙ

数学建模经典案例最优截断切割问题

数学建模经典案例最优截断切割问题在日常生活和工业生产中，我们常常会遇到材料切割的问题。

如何在给定的原材料上，通过合理的切割方式，获得最大的效益或者满足特定的需求，这就是最优截断切割问题所要研究的核心内容。

想象一下，你是一家木材加工厂的老板，手里有一根长度固定的原木，而客户向你订购了各种不同长度的木板。

为了最大限度地利用这根原木，减少浪费，同时满足客户的订单需求，你需要思考怎样切割才能达到最优效果。

这不仅仅是简单的切割操作，而是涉及到数学的精确计算和策略规划。

比如说，我们有一根长度为 10 米的原木，而客户需要 2 米长的木板 3 块，3 米长的木板 2 块。

那么，我们应该怎样切割这根原木呢？这就需要用到数学建模的方法来找到最优的切割方案。

首先，我们来分析一下可能的切割方式。

一种方式是直接按照客户的需求进行切割，即先切出 3 段 2 米长的，然后再切出 2 段 3 米长的。

但这样可能会剩下 1 米的废料。

另一种方式是尝试不同的组合，比如先切出 2 段 3 米长的，然后从剩下的 4 米中再切出 3 段 2 米长的，这样就没有废料产生。

但这只是简单的举例，实际情况可能会更加复杂。

为了找到最优的切割方案，我们需要建立一个数学模型。

假设原木的长度为 L，客户需要的木板长度分别为 l1, l2, l3,， ln ，数量分别为n1, n2, n3,， nn 。

我们的目标是在满足客户需求的前提下，使废料最小或者利用率最大。

我们可以定义一个变量 xij 表示第 i 种长度的木板切割 j 段。

那么，我们的约束条件就是：对于每种长度的木板，其切割的数量要满足客户的需求，即∑j xij ＝ni 。

同时，切割的总长度不能超过原木的长度，即∑i j × lij × xij ≤ L 。

接下来，我们的目标函数可以是使废料最小，即 Minimize （L ∑i j × lij × xij) ，或者使利用率最大，即 Maximize （∑i j × lij × xij ／ L) 。

数学建模-最短路问题

，其中
d (2) ij

min{di(j1)
,
d (1) i2

d
(1) 2j
}
d
(2) ij
是从
v
i
到
v
j
的只允许以
v
1
、
v 2 作为中间点的路径中最短路的长度．
…
（
）D(ν)=
(d
( ij
)
)

，其中 di(j )
min{di(j 1) , di( 1)
d(j 1)}
0

S(v1)=10, S(v2)=7, S(v3)=6, S(v4)=8.5, S(v5)=7, S(v6)=7, S(v7)=8.5
S(v3)=6,故应将消防站设在v3处.
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选址问题--重心问题
例 3 某矿区有 7 个矿点，如图所示．已知各矿点每天的产矿量
为 q(v j ) （标在图的各顶点上）．现要从这 7 个矿点选一个来建造矿
图论复习
一、图的概念
二、图的表示 1．关联矩阵 2．邻接矩阵
图的定义
关联矩阵
对无向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij ) ，其中：
1 mij 0
若vi与e
相关联
j
若vi与e
不关联
j
对有向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij ) ，其中：
1 mij 1
)
,
i=1,2,3,4,5}∪{
(
X (k ir
)
,
X
(k 1) i 1,r
)
,i=1,2,3,4,5;k=1,2,i-1}
若第 i 年初作了决策 X i 后，第 i+1 年初可以作决策 X i1 ，则顶点 X i 与 X i1 之间有弧( X i , X i1 )，其权 W( X i , X i1 )代表第 i 年初到第 i+1 年

数学建模经典案例最优截断切割问题

数学建模经典案例最优截断切割问题在我们的日常生活和工业生产中，经常会遇到材料切割的问题。

如何在给定的材料上进行最优的截断切割，以最大程度地提高材料利用率、降低成本，是一个具有实际意义和挑战性的问题。

接下来，让我们深入探讨一下最优截断切割问题的经典案例。

想象一下，有一家家具厂接到了一批订单，需要生产一定数量的桌子和椅子。

而用于制作桌椅的原材料是长度固定的木板。

为了满足订单需求，同时尽可能减少浪费，就需要精心规划木板的切割方式。

假设我们有一块长度为 L 的木板，要将其切割成若干段，用于制作不同长度的零件。

比如，我们需要制作长度分别为 a1, a2, a3,， an 的零件，且每个零件的需求量分别为 b1, b2, b3,， bn 。

首先，我们来考虑一种简单的切割方案。

如果不考虑最优性，只是随意切割，可能会导致大量的材料浪费。

比如，先把木板切割成需要的最长零件长度，然后再用剩余的部分切割较短的零件。

但这样的方法往往不是最优的，因为可能会在最后剩下一些无法有效利用的小段材料。

那么，如何才能找到最优的切割方案呢？这就需要运用数学建模的思想。

我们可以建立一个目标函数，目标是使切割后的剩余材料最少，或者等价地说，使切割出的有用材料最多。

设切割方案为 x1, x2, x3,，xn ，分别表示切割出长度为 a1, a2, a3,， an 的零件的数量。

则我们的目标函数可以表示为：Maximize ∑xi ai （在满足约束条件的情况下）约束条件通常包括：∑xi ai ≤ L （切割出的零件总长度不能超过木板长度）xi ≥ bi （切割出的每种零件数量要满足需求）xi 为整数（因为零件的数量必须是整数）接下来，我们可以使用一些数学优化算法来求解这个模型，比如线性规划、整数规划等方法。

为了更好地理解，让我们来看一个具体的例子。

假设木板长度 L ＝10 米，需要切割出长度为 2 米、3 米和 4 米的零件，需求量分别为 5 个、3 个和 2 个。

数学建模经典案例最优截断切割问题

数学建模经典案例最优截断切割问题在我们的日常生活和工业生产中，经常会遇到材料切割的问题。

如何在给定的原材料上，以最优的方式进行切割，以满足不同尺寸的需求，同时最大程度地减少浪费，这就是最优截断切割问题。

这个问题看似简单，实则蕴含着深刻的数学原理和实际应用价值。

想象一下，你是一家木材加工厂的老板，接到了一批订单，需要生产不同长度的木板。

你手头有一定长度的原木，如何切割这些原木才能满足订单需求，并且使用的原木数量最少，废料最少呢？这就是一个典型的最优截断切割问题。

为了更好地理解这个问题，让我们来看一个具体的例子。

假设我们有一根长度为 10 米的原木，需要切割出 2 米、3 米和 4 米长的木板各若干块。

那么，我们应该如何切割才能最节省材料呢？一种可能的切割方案是，先将原木切成 2 米长的 5 段。

但这样做显然会有很大的浪费，因为我们还需要 3 米和 4 米长的木板。

另一种方案是，先切割出一段 4 米长的木板，剩下的 6 米再切割出两段 3 米长的木板。

这种方案看起来比第一种要好一些，但也许还不是最优的。

那么，如何找到最优的切割方案呢？这就需要运用数学建模的方法。

首先，我们需要明确问题的目标。

在这个例子中，目标是在满足订单需求的前提下，使原木的利用率最高，也就是废料最少。

接下来，我们需要确定决策变量。

在这里，决策变量就是每种长度木板的切割数量。

然后，我们要建立约束条件。

约束条件包括原木的长度限制，以及订单中对每种长度木板数量的要求。

有了目标函数、决策变量和约束条件，我们就可以建立一个数学模型。

通过求解这个数学模型，我们就能够得到最优的切割方案。

在实际求解过程中，可能会用到一些数学方法和算法，比如线性规划、动态规划等。

线性规划是一种常用的数学方法，它可以在一组线性约束条件下，求出目标函数的最优解。

对于简单的最优截断切割问题，线性规划可能就能够有效地解决。

但对于一些复杂的情况，比如需要考虑多种原材料、多种切割方式，或者存在不同的成本因素时，动态规划可能会更加适用。

1997nian加工业中截断切割的优化设计

m( m − 1) 次调整 2
长度设为 m
其最大逆序数为
m( m − 1) 2
所以我们可
得到一个逆序数 n = 0 的排列而该排列所对应的切
割方案的费用是不大于原方案的至此定理得证而由定理得到的优化准则 /y 基于动态规化思想给出的算法(对于e ≥ 0 的情况)ð 算法二由 d j (毛坯与最终产品的面间距)来判断各个面的加工次序方法简明易于操作但整修方法的讨论与定理的证明均是基于 e = 0 的情况下一旦 i > 0 就不能保证所得结论是最优方案因此为处理更一般的情况我们应将/y 考虑在内我们可以从上面 e = 0 所给出的优化准则中得到启发当 e = 0 时我们根据
c2 − c1 = x 3 − rx 2
若 x 3 > rx 2 , 则 c1 优于 c2 若 x 3 < rx 2 则 c1 劣与 c2 同样调整 2 和 1 的位置得到(4,3,1,2)费用为 c3 所以
c3 − c1 = rx 2 − x1
在 x1 > rx 2 时 c1 劣于 c3 若 x1 < rx 2 则 c1 优于 c3 综上我们可以总结得到将应的边距转换成统一的权重,对于水平方向的权重 wi = x i ,垂直方向的权重 n i = rx i ,这样一来得到一个统一标度下的权重;然后对权重 w 从大到小排序,排列的结果就是对应边的切割次序. 以这种统一的权重作为排序的准则的方法可以得到很好的验证: 在 r=1 时用穷举法验证可得到最优的结果(4,3,2,1), 由此我们可以将二维的方法类比推广应用到三维,采用将对应的平行平面的面间距转换为统一的标准权重, 作为对各面加工的次序排定的准则.
作者张剑 95 电信