微积分的数值计算方法
微积分公式与运算法则
微积分公式与运算法则 Jenny was compiled in January 2021微积分公式与运算法则1.基本公式（1）导数公式(2)微分公式(xμ)ˊ=μxμ-1d(xμ)=μxμ-1dx(a x)ˊ=a x lnad(a x)=a x lnadx(loga x)ˊ=1/(xlna)d(loga x)=1/(xlna)dx(sinx)ˊ=cosxd(sinx)=cosxdx(conx)ˊ=-sinxd(conx)=-sinxdx(tanx)ˊ=sec2xd(tanx)=sec2xdx(cotx)ˊ=-csc2xd(cotx)=-csc2xdx(secx)ˊ=secx·tanxd(secx)=secx·tanxdx(cscx)ˊ=-cscx·cotxd(cscx)=-cscx·cotxdx(arcsinx)ˊ=1/(1-x2)1/2d(arcsinx)=1/(1-x2)1/2dx(arccosx)ˊ=-1/(1-x2)1/2d(arccosx)=-1/(1-x2)1/2dx(arctanx)ˊ=1/(1+x2)d(arctanx)=1/(1+x2)dx(arccotx)ˊ=-1/(1+x2)d(arccotx)=-1/(1+x2)dx(sinhx)ˊ=coshxd(sinhx)=coshxdx(coshx)ˊ=sinhxd(coshx)=sinhxdx2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R）（1）函数的线性组合积、商的求导法则（αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ（μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ（μ/υ）ˊ=(μˊυ-μυˊ)/υ2（2）函数和差积商的微分法则d（αμ+βυ）=αdμ+βdυd（μυ）=υdμ+μdυd（μ/υ）=(υdμ-μdυ)/υ23.复合函数的微分法则设y=f(μ)，μ=ψ(x),则复合函数y=f[ψ(x)]的导数为dy/dx=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x)所以复合函数的微分为dy=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x)dx由于fˊ[ψ(x)]=fˊ(μ)，ψˊ(x)dx=dμ，因此上式也可写成dy=fˊ(μ)dμ由此可见，无论μ是自变量，还是另一变量的可微函数，微分形式dy=fˊ(μ)dμ保持不变，这一性质称为微分形式不变性。
微积分常用公式及运算法则(上册)
0,
π 2
1
lim nn = 1
n→∞
1
lim x x = 1
x→+∞
lim
x→∞
1
+
1 x x
=
e,
lim
x→∞
1
−
1 x x
=
1 , lim (1+
e x→0
1
x)x
=e
等价无穷小： 当x → 0时, x ∼ sin x ∼ tan x ∼ arcsin x ∼ arctan x ∼ ln(1+ x) ∼ ex −1; 1− cos x ∼ x2 ;(1+ x)a −1 ∼ ax(a ≠ 0);
2!
n!
sin x = x − 1 x3 + 1 x5 −⋯ 3! 5!
柯西中值定理： 若f , g ∈C[a,b],并且f , g ∈ D(a,b),在(a,b)内 g(x) ≠ 0, 那么至少存在一点ξ ∈ (a,b)，使 f (b) − f (a) = f ′(ξ ) g(b) − g(a) g′(ξ )
泰勒中值定理：
如果函数f (x)在含x0的某个开区间(a, b) 内具有(n +1)阶导数，即f ∈ Dn+1(a,b)，
u v
′
=
u′v − uv′ v2
设x = ϕ ( y)，它的反函数是y = f (x)，则有
f
′( x)
=
1 ϕ′( y)
链式求导法则：d y = d y id u dx du dx
对数求导法则：
求幂指函数y = [u(x)]v(x)的导数时，
可先取对数，得 ln y = v(x) ln u(x)，
数学微积分公式大全
数学微积分公式大全
微积分是数学中一个重要的分支，它不仅是高等数学，工程学，物理学等领域的重要理论基础，而且在实际工作中也有广泛的应用。
所以，掌握微积分的公式是学习微积分的必备条件。
以下是数学微积分中常用的几个公式：
1.积公式：
（1）梯形公式：∫f（x）dx=（f（a）+f（b））/2*（b-a）
（2）抛物线公式：∫f（x）dx=（f（a）+4f（（a+b）/2）+f（b））/6*（b-a）
（3）Simpson公式：∫f（x）dx=（f（a）+4f（（a+b）/2）+f （b））/3*（b-a）
2.数公式：
（1）泰勒公式：f（x）=f（x）+f（x+h）/h
（2）差分公式：f（x）=（f（x+h）-f（x-h））/2h
（3）高阶差分公式：f（x）=（f（x+h）-2f（x）+f（x-h））/h^2 3.数极限公式：
（1）接近无穷大的极限：limx→∞f（x）=L（L可以是无穷大或者无穷小）
（2）无穷微小值的极限：limx→0f（x）=L（L可以是无穷大或者无穷小）
4.分方程公式：
（1）常微分方程：y=f（x,y）,y（x0）=y0
（2）偏微分方程：u（x,y）=f（x）（也称作拉普拉斯方程）
（3）双曲型微分方程：u（x,y）=f（x，y）
（4）积分方程：y=f（x）+F（x）
上述公式只是数学微积分中一小部分，它们虽然不多，但是包含着微积分的主要概念。
如果能够熟练掌握，就可以解决微积分中的各种问题。
此外，我们还应该注意微积分中其他重要的概念，比如微元、极限、曲线积分、积分变换等。
只有充分地了解这些概念和公式，才能更好地掌握微积分，帮助我们理解其中的精髓。
微积分的基本公式
微积分的基本公式微积分是数学中的一个分支，主要研究连续变化的对象，如函数、曲线和曲面等。
微积分的基本公式是应用广泛且重要的数学工具，包括导数、积分、微分方程等。
下面将对微积分的基本公式进行详细介绍。
一、导数导数是微积分中的基本概念之一，用于描述函数在其中一点上的变化率。
导数的定义如下：对于函数y = f(x)，其在特定点x处的导数表示为f'(x)或dy/dx，定义为函数曲线在该点处的切线斜率。
导数的几何意义是函数曲线在其中一点的切线斜率的极限值。
导数的基本公式包括：1.常数导数公式：如果f(x)=k，其中k是常数，则f'(x)=0。
2. 幂函数导数公式：对于f(x) = x^n，其中n是实数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数导数公式：对于f(x)=e^x，其中e是自然对数的底，则f'(x)=e^x。
4. 对数函数导数公式：对于f(x) = ln(x)，其中ln表示以e为底的对数，则f'(x) = 1/x。
5. 三角函数导数公式：对于f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)；对于f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
二、积分积分是微积分中的另一个基本概念，用于计算曲线下面的面积或者曲线长度。
积分的定义如下：对于函数y = f(x)，其在区间[a, b]上的积分表示为∫f(x)dx，定义为区间[a, b]上函数曲线与x轴之间的面积。
积分的基本公式包括：1. 不定积分公式：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx =F(x) + C，其中C是常数。
这是积分的基本公式，也称为不定积分。
2. 定积分公式：如果f(x)是在区间[a, b]上连续函数，且F(x)是其原函数，则∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(a)表示F(x)在点a处的值，F(b)表示F(x)在点b处的值。
微积分的计算方法
微积分的计算方法微积分是数学中的一门重要学科，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
它主要研究函数的变化率和面积、体积等几何量的计算方法。
在微积分中，有许多重要的计算方法，本文将介绍其中的几种常见方法。
一、导数的计算方法导数是函数变化率的度量，表示函数在某一点处的斜率。
计算导数的方法有多种，其中最常见的方法是使用极限的概念。
对于给定的函数，可以通过求取极限来计算其导数。
另外，还可以使用基本的导数公式来计算导数，如常函数的导数为0、幂函数的导数等。
二、积分的计算方法积分是对函数的区间上的面积、体积等几何量的计算方法。
计算积分的方法有多种，其中最常见的方法是使用定积分的概念。
对于给定的函数，可以通过求取定积分来计算其面积、体积等几何量。
另外，还可以使用换元法、分部积分法等方法来计算积分。
三、微分方程的求解方法微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。
求解微分方程是微积分中的一个重要问题，可以通过分离变量、变量代换、常数变易等方法来求解。
其中，分离变量法是求解一阶常微分方程的常用方法，变量代换法常用于高阶微分方程的求解，常数变易法常用于齐次线性微分方程的求解。
四、泰勒展开的应用泰勒展开是一种将函数表示为无穷级数的方法，可以用来近似计算函数的值。
通过泰勒展开，可以将复杂的函数近似为多项式，从而简化计算。
泰勒展开在物理、工程、金融等领域中有广泛的应用，如计算无穷小变化量的近似值、求解微分方程的数值解等。
五、曲线的切线与法线的计算方法曲线的切线与法线是描述曲线在某一点处的方向的直线。
计算曲线的切线与法线的方法有多种，其中最常用的方法是使用导数的概念。
根据导数的定义，曲线在某一点处的切线斜率等于该点处的导数值，切线方程可以通过点斜式或斜截式求得。
法线则是与切线垂直的直线，可以通过切线的斜率求得。
微积分的计算方法包括导数的计算方法、积分的计算方法、微分方程的求解方法、泰勒展开的应用以及曲线的切线与法线的计算方法等。
微积分的数值计算方法
第七章 微积分的数值计算方法7.1 微积分计算存在的问题/数值积分的基本概念 1. 微分计算问题求函数的导数(微分)，原则上没有问题。
当然，这是指所求函数为连续形式且导数存在的情形。
但如果函数一表格形式给出，要求函数在某点的导数值；或者是希望某点的导数值只用其附近离散点上的函数值近似地表示，这就是新问题了，它称为微分的数值计算，或称为数值微分。
2．定积分计算问题计算函数f 在],[b a 上的定积分 dx x f I ba⎰=)(当被积函数f 的原函数能用有限形式)(x F 给出时，可用积分基本公式来计算：)()()(a F b F dx x f I ba -==⎰然而，问题在于：① f 的原函数或者很难找到，或者根本不存在；②f 可能给出一个函数表；③仅仅知道f 是某个无穷级数的和或某个微分方程的解等等。
这就迫使人们不得不寻求定积分的近似计算，也称数值积分。
3．数值积分的基本形式数值积分的基本做法是构造形式如下的近似公式∑⎰=≈nk kkbax f A dx x f 0)()( (7.1.1)或记成∑⎰=+=nk nkkbaf R x f A dx x f 0][)()( (7.1.2)∑==nk k k x f A I 0*)( 和 ][f R n 分别成为],[b a 上的f 的数值求积公式及其余项(截断误差)，k x 和k A ),,1,0(n k =分别称为求积节点和求积系数(求积系数与被积函数无关)。
这种求积公式的特点是把求积过(极限过程)程转化为乘法与加法的代数运算。
构造这种求积公式需要做的工作是：确定节点k x 及系数k A ),,1,0(n k =，估计余项][f R n 以及讨论*I 的算法设计及其数值稳定性。
4．插值型求积公式如何构造求积公式呢？基本的技术是用被积函数f 的Lagrange 插值多项式)(x L n 近似代替f ，也即对],[b a 上指定的1+n 个节点bx n ≤<⋯⋯<<≤10x x a 及相应的函数值)(,),(),(10n x f x f x f ，作)()()!1(1)()()()()()1()1(0x fn x f x l x R x L x f n n k nk k n n ++=++=+=∑ωξ代入(7.1.2)式等号左边有⎰⎰⎰+=banb anb adx x R dx x L dx x f )()()(⎰∑⎰++=++=ba n n k nk ba k dx x x fn x f dx x l )())(()!1(1)(])([)1()1(0ωξ或写成形如(7.1.2)式的一般形式： ∑⎰=+=nk nkkbaf R x f A dx x f 0][)()( (7.1.4)其中 ⎰=bakk dx x l A )( ),,1,0(n k = (7.1.5)⎰+++=ba n n n dx x x fn f R )())(()!1(1][)1()1(ωξ (7.1.6)称(7.1.4)为插值型求积公式。
微积分的数值计算方法数值微分
将节点处的增长率作 三次样条插值
年份 增长率 1900 0.0283 1901 0.0255 1902 0.0230 1935 0.0082 1936 0.0081 1937 0.0083 1953 0.0172 1954 0.0172 1979 0.0100 1980 0.0100 1981 0.0109 1989 0.0111 1990 0.0113
f ( x 0 ) 21h(3f04f1f2) f ( x n ) 21h(fn24fn13fn)
--------(11)
称(11)式为分段三点公式
实际中下面的公式很有用
f
(
xk
xk1 2
)
1( h
f k 1
fk
)
例: 回到实例(美国人口)
1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4
E 2(x0)f(3 3 )!()(x0x1)x (0x2)
ห้องสมุดไป่ตู้h2 3
f (3)( )
E 2(x1)f(3 3 )!()(x1x0)x (1x2)
h2 6
f (3)()
E 2(x2)f(3 3 )!()(x2x0)x (2x1)
h2 3
f (3)( )
f ( x0 )
21h(3f04f1f2)
1( h
f1
f0 )
h f (2)( )
数值积分方法讨论
数值积分方法讨论一、引言数值积分方法是一种计算函数曲线下面积的方法。
在实际应用中，很多函数的积分无法通过解析方法求得，因此需要使用数值积分方法来近似计算。
本文将讨论数值积分的基本概念、常用方法和应用场景。
二、基本概念1. 积分积分是微积分学中的一个重要概念，其定义为：对于给定函数f(x)，在区间[a,b]上的定积分为：∫(b,a)f(x)dx2. 数值积分数值积分是指通过数值计算来近似计算定积分的过程。
由于很多函数无法通过解析方法求得其定积分，因此需要使用数值计算来近似求解。
三、常用方法1. 矩形法矩形法是最简单的数值积分方法之一。
该方法将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间内取一个点作为代表点，然后将每个小区间内的函数值乘以该小区间长度得到矩形面积，并将所有矩形面积相加即可得到近似结果。
2. 梯形法梯形法是一种比矩形法更精确的数值积分方法。
该方法将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间内取两个点作为代表点，然后将每个小区间内的函数值求平均值，再乘以该小区间长度得到梯形面积，并将所有梯形面积相加即可得到近似结果。
3. 辛普森法辛普森法是一种比梯形法更精确的数值积分方法。
该方法将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间内取三个点作为代表点，然后通过插值公式计算出一个二次函数，并对该二次函数进行积分得到近似结果。
四、应用场景1. 科学计算在科学计算中，很多问题需要求解函数的定积分。
由于很多函数无法通过解析方法求得其定积分，因此需要使用数值积分方法来近似计算。
2. 金融领域在金融领域中，很多问题需要对某些数据进行统计和分析。
而这些数据通常以曲线的形式呈现，因此需要使用数值积分方法来计算曲线下面的面积。
3. 工程领域在工程领域中，很多问题需要对某些物理量进行计算和预测。
而这些物理量通常以曲线的形式呈现，因此需要使用数值积分方法来计算曲线下面的面积。
五、总结数值积分方法是一种重要的数值计算方法，它可以用来近似计算函数曲线下面积。
16个微积分公式
16个微积分公式微积分是数学的一个重要分支，主要研究函数的变化规律及其应用。
在微积分中，有许多重要的公式被广泛应用于各种问题的解决中。
本文将介绍16个微积分公式，并分别阐述其含义和应用。
一、导数的定义公式导数是微积分中最基础的概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义公式为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h在这个公式中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
该公式的含义是通过计算函数在极限情况下的变化率来求得导数。
导数的应用非常广泛，包括求函数的极值、判断函数的增减性等。
二、导数的四则运算法则导数的四则运算法则是求导过程中常用的规则，它将导数与函数的四则运算相结合。
具体公式如下：(1) (cf(x))' = cf'(x)(2) (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)(3) (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)(4) (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / (g(x))^2这些公式可以通过对函数中的每一项进行求导，并按照四则运算法则进行组合计算。
它们对于求解复杂函数的导数提供了便利。
三、常用导数公式在微积分中，有一些常用的导数公式被广泛应用于各种问题的求解中。
这些公式包括：(1) (x^n)' = nx^(n-1)(2) (e^x)' = e^x(3) (lnx)' = 1/x(4) (sinx)' = cosx(5) (cosx)' = -sinx(6) (tanx)' = sec^2x这些公式可以帮助我们快速求取一些特定函数的导数，从而简化求解过程。
四、高阶导数公式除了一阶导数外，函数的高阶导数也是微积分中的重要概念。
微分积分公式
微分积分公式微分积分公式是一种可以用来分析函数的数学工具，它起源于17世纪中期英国数学家费马等人的研究。
微分和积分可以说是数学分析的基础，是初等函数求和的基础，广泛应用于各个领域，如物理、工程、经济、天文学等。
微分是用于确定函数的变化速率的数学工具，其具体形式表示为：d/dx(x)=f'(x)，其中f'(x)表示函数f(x)的一阶导函数的值，其含义是指函数f(x)在x处的变化速率。
而积分则是计算函数变化量的工具，它的具体形式表示为：∫f(x)dx，即将函数f(x)的曲线上的面积计算出来。
因此，微分积分公式是微积分的基础，它将微分和积分结合起来求解函数f(x)的问题，可以简化函数f(x)的变化过程，以更简洁的形式表示出来。
常见的微分积分公式有：1. 一阶微分积分公式：∫f'(x)dx = f(x) + C；2. 二阶微分积分公式：∫f''(x)dx = f'(x) + C；3. 三阶微分积分公式：∫f'''(x)dx = f''(x) + C；4. n阶微分积分公式：∫f^n (x)dx = f^(n-1) (x) + C；5. 全微分积分公式：∫[f(x)+g(x)]dx=F(x)+G(x)+C；6. 导数量积公式：d/dx[f(x)g(x)]=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；7. 不定积分公式：∫f(x)dx = F(x) + C；8. 定积分公式：∫b [f(x)]dx = F(b)-F(a)；9. 双重积分公式：∫∫f(x,y)dxdy = F(x,y) + C。
以上就是微分积分公式的常用形式，它们在计算函数的变化趋势及变化量方面都发挥了强大的作用，是数学分析中一个十分重要的工具。
数值计算方法 龙贝格求积公式 - 龙贝格求积公式
类似地可验证：
3
S2
4
4
1
T4
4
1
1
T2
龙
贝 格 算 法
Sn
4
4
1
T2
n
4
1
1
Tn
即
Sn
4 3 T2n
1 3
Tn
Sn __ 辛 普 森 积 分 值
注 意 复 化 辛 普 森 求 积 公式 的 余 项
3
Rn
I
Sn
ba 180
h 2
4
f
(4) ( )
O(h4
)
龙 贝 格
R2 n
I
S2n
T4
1 2
T2
1 4
[
f
(
1 4
)
f
(
3 4
)]
0.9445135
典型例题
例2
用复化梯形公式计算积分I 1 dx
0 (1 x ) x
精确至三位有效数字
I
1 dx 0 (1 x )
x t x
1 2dt 0 1 t2
1
g(t )dt
0
T1
1 [g(0) 2
g(1)] 1.5
T2
1 2
[T1
1
g(0.5)] 1.55
T4
1 2
[T2
1 ( g(0.25) 2
g(0.75))] 1.5656
典型例题
T8
1 2 [T4
1 ( g(0.125) 4
g(0.375)
g(0.625)
g(0.875))]
1.5695
注意到:
T8 T4
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个微积分是数学的一门重要分支，它主要研究函数的极限、导数、积分等概念和性质。
微积分的基本公式是我们学习和应用微积分的基础，下面将介绍微积分的16个基本公式。
1.1+1=2这是微积分的最基本的公式，表示两个数相加得到另一个数。
2.a*b=b*a这是乘法交换律，表示两个数相乘的结果与顺序无关。
3.a+(b+c)=(a+b)+c这是加法结合律，表示三个数相加的结果与加法的顺序无关。
4.a*(b+c)=a*b+a*c这是乘法分配律，表示一个数与两个数相加的结果等于这个数与每个数相加的结果之和。
5.a-b=-(b-a)这是减法的性质，表示两个数相减的结果与减法的顺序无关。
6.a/b=b/a这是除法的性质，表示两个数相除的结果与除法的顺序无关。
7. (a+b)^2=a^2+2ab+b^2这是二次方的展开公式，表示两个数的和的平方等于它们的平方和加上两倍的乘积。
8. (a-b)^2=a^2-2ab+b^2这是二次方差的公式，表示两个数的差的平方等于它们的平方差减去两倍的乘积。
9.(a+b)*(a-b)=a^2-b^2这是差的平方公式，表示两个数的和与差的乘积等于它们的平方差。
10. (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3这是立方和的展开公式，表示两个数的和的立方等于它们的立方和加上三倍的乘积加上三倍的乘积再加上立方。
11. (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3这是立方差的公式，表示两个数的差的立方等于它们的立方差减去三倍的乘积加上三倍的乘积再减去立方。
12. (a+b)*(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3这是立方和的因式分解公式，表示两个数的和与和的平方差的乘积等于它们的立方和。
13. (a-b)*(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3这是立方差的因式分解公式，表示两个数的差与差的平方和的乘积等于它们的立方差。
14. (a+b)^n=a^n+na^(n-1)b+(n(n-1)/2)a^(n-2)b^2+...+nb^(n-1)+b^n这是二项式定理，表示两个数的和的n次方等于它们的各种组合的乘积之和。
数值计算方法 数值积分基本公式 - 数值积分基本公式
求
积 公 式
? 存在的问题
1.插值型求积公式的求积系数当节点不等 距时很难求得；
2.误差表达式中的不确定点的处理有难度
4
设 将 积 分 区 间a , b n等 分 , 记 步 长h b a ,
n
牛
选 取 等 距 节 点xk a kh
顿 － 柯 特 斯
将xk
a
kh, h
b
a n
,
x
a
th代 入 求 积 公 式 得 ：
当 n 2时 , 这 时 柯 特 斯 系 数 为
C
2
0
1 4
2 t 1t 2dt 1 ,
0
6
C
1
2
1 2
2 tt 2dt 4 ,
0
6
C
2
2
1 4
2 tt 1dt 1 .
0
6
这时的求积公式为：
S
ba 6
f
a
4
f
a
2
b
f
b
辛普森公式的误差
取 H 3(a) f (a), H 3(b) f (b),
H
3
(
a
2
b
)
f
(
a
2
b
),
H
3
(
a
2
b
)
f ( a b ) 2
误差估计
根 据H ermite 插 值 余 项 ：
b
b
nb
a f ( x )dx a Ln ( x )dx a lk ( x)dx f ( xk )
k0
求 积 公
注意到：Ak
b
a lk ( x)dx
微分积分的基本计算方法
微分积分的基本计算方法一。
微分和积分，这可是数学领域里的一对“亲兄弟”，它们就像是打开数学世界大门的两把神奇钥匙。
1.1 先来说说微分。
微分这玩意儿，简单讲就是研究函数变化的快慢。
比如说，一辆汽车在行驶过程中，速度随时间的变化，这就可以用微分为我们揭示其中的奥秘。
打个比方，函数 y = x²，对它求微分，那就是 dy/dx = 2x 。
这就意味着，当x 每增加一点点，y 的变化量大约就是 2x 那么多。
1.2 微分的应用。
微分在实际生活中的用处可大了去了。
比如工程设计中，要计算某个结构的应力变化，就得靠微分来帮忙。
再经济学里研究成本和收益的变化，微分也能派上大用场，让决策者心里有数，做到“未雨绸缪”。
二。
接下来说说积分。
2.1 积分的概念。
积分啊，其实就是反过来，把微小的变化累加起来。
好比你每天存一点钱，一段时间后总的存款就是这些小钱的积分。
2.2 积分的计算。
积分的计算有不少方法，像定积分、不定积分。
比如说，∫x dx = 1/2 x² + C ，这里的 C 就是个常数。
2.3 积分的意义。
积分的意义那可深远着呢。
在物理学中，计算位移、做功，都离不开积分。
它能让我们从局部的小变化，看到整体的大效果，真是“聚沙成塔”啊。
三。
3.1 微分与积分的关系。
微分和积分，那是相辅相成，“你中有我，我中有你”。
就像一对默契的搭档，一个负责拆分，一个负责组合。
比如说，一个函数先微分再积分，或者先积分再微分，往往能得到有趣的结果。
3.2 掌握它们的重要性。
微分积分的世界丰富多彩，只要用心去探索，就能发现其中的无限魅力。
微积分的基本解法
微积分的基本解法引言微积分是数学中的一门重要学科，用于研究变化与积累的关系。
它是现代科学和工程学的基石，对于解决许多实际问题具有重要意义。
本文将介绍微积分的基本解法。
一、导数的计算导数是微积分的重要概念，表示函数在某一点处的变化率。
计算导数的方法有以下几种：1.极限法：通过取极限的方式计算导数，简洁常用。
例如，对于函数f(x)=3x^2-2x+1，可使用极限法计算其导数为f'(x)=6x-2.1.极限法：通过取极限的方式计算导数，简洁常用。
例如，对于函数f(x)=3x^2-2x+1，可使用极限法计算其导数为f'(x)=6x-2.1.极限法：通过取极限的方式计算导数，简洁常用。
例如，对于函数f(x)=3x^2-2x+1，可使用极限法计算其导数为f'(x)=6x-2.2.基本函数的导数：基本函数的导数有固定的公式，例如多项式函数导数的计算公式为求每一项的导数，再相加。
其他常见函数的导数计算公式如指数函数、对数函数、三角函数等，通过记忆这些公式可以快速计算函数的导数。
2.基本函数的导数：基本函数的导数有固定的公式，例如多项式函数导数的计算公式为求每一项的导数，再相加。
其他常见函数的导数计算公式如指数函数、对数函数、三角函数等，通过记忆这些公式可以快速计算函数的导数。
2.基本函数的导数：基本函数的导数有固定的公式，例如多项式函数导数的计算公式为求每一项的导数，再相加。
其他常见函数的导数计算公式如指数函数、对数函数、三角函数等，通过记忆这些公式可以快速计算函数的导数。
3.隐函数求导：对于隐函数，可以通过求偏导数的方式计算导数。
例如，对于方程x^2 + y^2 = 1，可以通过对x和y分别求导得到dy/dx的表达式。
3.隐函数求导：对于隐函数，可以通过求偏导数的方式计算导数。
例如，对于方程x^2 + y^2 = 1，可以通过对x和y分别求导得到dy/dx的表达式。
3.隐函数求导：对于隐函数，可以通过求偏导数的方式计算导数。
求微积分的公式
求微积分的公式微积分可是数学里的“大明星”，它的公式那可不少，咱们慢慢唠唠。
咱先来说说导数的基本公式，像常数的导数是 0 ，这就好比你有一笔固定的存款，它不会因为时间变化而增减，所以它的变化率就是0 。
再比如幂函数的导数，（X^n）' = nX^(n - 1) ，这个就像是爬楼梯，每一层的高度变化和你爬的层数是有关系的。
还有指数函数的导数，（e^x）' = e^x ，这就像一个永远充满活力、速度不变的奔跑者。
接下来是和函数与差函数的求导法则，（u ± v）' = u' ± v' ，这就好比两个人一起走路，速度可以分开算，加起来就是总的变化速度。
然后是乘积的求导法则，（uv）' = u'v + uv' ，这有点像两个人合作搬东西，每个人出的力不一样，总的效果要综合考虑。
还有商的求导法则，（u / v）' = （u'v - uv'）/ v^2 ，这就像是分东西，得算清楚比例。
咱们再来说说积分的公式。
不定积分里，∫x^n dx = （1 / (n + 1)）x^(n + 1) + C ，这里的 C 就像是个神秘的小尾巴，可不能丢了。
定积分呢，∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a) ，这就像是算一段路程的长度，起点和终点的位置一确定，长度就出来了。
我记得有一次给学生讲微积分公式，有个学生瞪着大眼睛问我：“老师，这微积分公式到底有啥用啊？”我笑了笑，跟他们说：“同学们，你们想想，假如你们要设计一个超级酷的过山车轨道，要保证速度和刺激度刚刚好，这微积分公式就能帮你们算出轨道的形状和变化，让大家玩得又开心又安全。
”这时候，同学们的眼睛里好像有了光，开始认真琢磨起这些公式来。
其实啊，微积分的公式就像是一把把神奇的钥匙，能打开很多未知世界的大门。
无论是研究物理中的运动问题，还是计算经济中的成本和收益，或者是预测生物种群的增长，都离不开它们。
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第七章 微积分的数值计算方法7.1 微积分计算存在的问题/数值积分的基本概念 1. 微分计算问题求函数的导数(微分)，原则上没有问题。
当然，这是指所求函数为连续形式且导数存在的情形。
但如果函数一表格形式给出，要求函数在某点的导数值；或者是希望某点的导数值只用其附近离散点上的函数值近似地表示，这就是新问题了，它称为微分的数值计算，或称为数值微分。
2．定积分计算问题计算函数f 在],[b a 上的定积分 dx x f I ba⎰=)(当被积函数f 的原函数能用有限形式)(x F 给出时，可用积分基本公式来计算：)()()(a F b F dx x f I ba -==⎰然而，问题在于：① f 的原函数或者很难找到，或者根本不存在；②f 可能给出一个函数表；③仅仅知道f 是某个无穷级数的和或某个微分方程的解等等。
这就迫使人们不得不寻求定积分的近似计算，也称数值积分。
3．数值积分的基本形式数值积分的基本做法是构造形式如下的近似公式∑⎰=≈nk kkbax f A dx x f 0)()( (7.1.1)或记成∑⎰=+=nk nkkbaf R x f A dx x f 0][)()( (7.1.2)∑==nk k k x f A I 0*)( 和 ][f R n 分别成为],[b a 上的f 的数值求积公式及其余项(截断误差)，k x 和k A ),,1,0(n k =分别称为求积节点和求积系数(求积系数与被积函数无关)。
这种求积公式的特点是把求积过(极限过程)程转化为乘法与加法的代数运算。
构造这种求积公式需要做的工作是：确定节点k x 及系数k A ),,1,0(n k =，估计余项][f R n 以及讨论*I 的算法设计及其数值稳定性。
4．插值型求积公式如何构造求积公式呢？基本的技术是用被积函数f 的Lagrange 插值多项式)(x L n 近似代替f ，也即对],[b a 上指定的1+n 个节点bx n ≤<⋯⋯<<≤10x x a 及相应的函数值)(,),(),(10n x f x f x f ，作)()()!1(1)()()()()()1()1(0x fn x f x l x R x L x f n n k nk k n n ++=++=+=∑ωξ代入(7.1.2)式等号左边有⎰⎰⎰+=banb anb adx x R dx x L dx x f )()()(⎰∑⎰++=++=ba n n k nk ba k dx x x fn x f dx x l )())(()!1(1)(])([)1()1(0ωξ或写成形如(7.1.2)式的一般形式： ∑⎰=+=nk nkkbaf R x f A dx x f 0][)()( (7.1.4)其中 ⎰=bakk dx x l A )( ),,1,0(n k = (7.1.5)⎰+++=ba n n n dx x x fn f R )())(()!1(1][)1()1(ωξ (7.1.6)称(7.1.4)为插值型求积公式。
下面将要介绍的几种实用求积公式无不都是插值型公式的某种具体形式。
由上述定义，用余项公式可以衡量数值求积公式的精确程度。
不过，由余项公式(7.1.6)可见，如果f 为次数n ≤的多项式，则][f R n 中有0)1(=+n f,故0][=f R n ，从而公式(7.1.4)成为等式 ∑⎰==nk k k ba x f A dx x f 0)()(，这就是说，当被积函数f 为次数n ≤的多项式时，其相应的插值型求积公式不是近似公式，而是准确公式。
据此，人们引入了另一个衡量数值求积公式近似程度好坏的“代数精度” 概念。
5. 代数精度定义7.1.1 如果数值求积公式∑⎰=≈nk kkba x f A dx x f 0)()(，当)(x f 是m ~0次多项式(可表示为mx x x f ,,,1)( =)时，均有∑⎰==nk kkba x f A dx x f 0)()(，也即有0][=f R n ，便称求积公式∑=nk k k x f A 0)(至少具有m 次代数精度；如果当)(x f 是1+m 次多项式(可表示为1)(+=m xx f )时，只能是∑⎰=≈n k kkbax f A dx x f 0)()(，也即有0][≠f R n ，便称求积公式∑=nk kk x f A 0)(具有 m 次代数精度。
定理 7.1.1 有1+n 个节点的插值型求积公式(7.1.4)，至少具有n 次代数精度。
例7.1.1 确定节点321,,x x x 和系数A ，使得下列形式的求积公式)]()()([)(32111x f x f x f A dx x f ++=⎰-具有3次代数精度。
解 利用代数精度定义 取 32,,,1)(x x x x f =令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=++=⎰⎰⎰⎰----1133323131123222121132111)()()()111(1x x x A dx x x x x A dx x x x x A xdx A dx 计算得 21,0,21,32321==-==x x x A即得至少具有3次代数精度的求积公式为)]21()0()21([32)(11f f f dx x f ++-≈⎰-验证上式两端对4)(x x f =，有左边=2/5 ，右边=1/3两者不相等，故可知所得公式正好为3次代数精度。
7.2 Newton-Cotes 型求积公式构造具体形式的插值型求积公式(6.1.4)的第一个想法是考虑求积节点为等距节点的情况(这时公式可能比较简单，而且节点也就定下来了)，这就是Newton-Cotes(牛顿-柯特斯公式)，而Newton-Cotes 型公式当节点只有两点和三点时，就是熟知的梯形公式和Simpson(辛普生)公式。
1. Newton-Cotes 求积公式考虑积分区间],[b a 上的节点为等距节点),,1,0,(n k na b h kh a x k =-=+= (7.2.1 )由(7.1.5)式可得插值型求积系数 ⎰∏⎰≠=--==bankj j jk j bak k dx x x x x dx x l A 0)( (通过变换th a x +=)⎰---+-----=-n)()1)(1()1()!(!)1()(dtn t k t k t t t k n nk a b kn 记⎰---+----=-n 0)()()1)(1()1()!(!)1(dt n t k t k t t t k n nk Ckn n k(7.2.2)并称它为Cotes 系数，从而得等距节点的插值型的n 阶Newton-Cotes 求积公式*NC I ，*)()()()(NCnk k n kbaI x f C a b dx x f 记为∑⎰=-=。
(7.2.3)显然，对不同的n 以及n k ,,1,0 =,按公式(7.2.2)算出)(n kC ，按公式可构造出不同阶的Newton-Cotes 公式。
下面是Cotes 系数表 （7.2.1）n )(n k C n k ,,1,0 =1 1/2 1/22 1/6 4/6 1/63 1/8 3/8 3/8 1/84 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90…… …… …… …… …… ……8 989/28350 5888/28350 -928/28350 10496/28350 -4540/28350 …… 989/283502. 梯形公式/Simpson 公式当1=n ，即两个节点，取积分区间],[b a 两个端点b a ,为节点时，由上表(7.2.1)可构造求积公式 Tb f a f a b dx x f ba记为)]()([2)(+-≈⎰(7.2.4)称为梯形公式。
当2=n ，即3个等距节点，取积分区间],[b a 两端点b a ,及区间中点2b a +为节点时，由表7.2.1可构造求积公式Sb f b a f a f a b dx x f ba记为)]()2(4)()[6()(++-≈⎰(7.2.5)称为Simpson(辛普生)公式或抛物线求积公式。
类似地，当3=n 可构造出所谓Simpson3/8公式；当4=n 可构造出Milne(米尔尼)公式(有时也称Cotes 公式)等等。
3. 误差分析关于Simpson-Cotes 型求积公式的截断误差或称余项*)(][NC ba I dx x f f R -=⎰的分析，计算数学家为我们证明了一个一般性定理。
定理 7.2.1 Newton-Cotes 公式(7.2.3)的余项][f R n 可表示为： (1) 对n 为奇数的情形，设],[)1(b a Cf n +∈，则)(][)1(2η++=n n n n fhr f R ]),([b a ∈η⎰--+=nn d n n r 0)()1()!1(1μμμμ(2)n 为偶数的情形，设],[)2(b a Cf n +∈，则)(][)2(3η++=n n n n fhr f R ]),([b a ∈η⎰--+=nn d n n r 02)()1()!2(1μμμμ由定理可知，Newton-Cotes 公式作为插值型公式的特例，当n 为奇数时，保持至少n 次代数精度不变，只在n 为偶数时，代数精度才略加1次。
梯形公式具有1次代数精度，余项为 ]),([)(12)(][''3b a f a b f R T ∈--=ηη (7.2.6)Simpson 公式具有3次代数精度，余项为]),([)()2(901][s )4(5b a fa b f R ∈--=ηη (7.2.7)当n 为较大数时，Newton-Cotes 公式的数值稳定性还可能有问题，正因为如此，对2>n 的公式我们不感兴趣。
例 7.2.1 用不同的方法计算并比较下列积分： 用传统的方法)71828.2(71828.11|1010 ==-==⎰e e e dx e x x用梯形公式8591401.1][211010=+≈⎰e e dx e x2265235.0121)01(121||][|3=≤--=e e f R T η用Simpson 公式7188612.1]4[6112110=++≈⎰e e e dx e x00094385.028801)21(901||][|5=≤-=e e f R S η4. 数值的稳定性若取1=f ，可推出()1(≥n )∑∑⎰==-=-⇒⨯-=nk nk n k n k ba C ab a b C a b dx 0)()()(1)(110)(=⇒∑=nk n kC假设用n 阶的Newton-Cotes 公式做实际计算，而且)(k x f 可能使用近似值)(k x f ，这反映到计算上就有误差∑∑∑===--=---nk k k n k nk k n knk k n k x f x f C a b x f C a b x f C a b 0)(0)(0)()]()([)()()()()(记 |)()(|max 0k k nk x f x f -=≤≤ε 则有∑∑∑∑====≤-≤-nk n knk k k n knk k n knk k n k C x f x f C x f C x f C 0)(0)(0)(0)(||)]()([|||)()(|ε由此可见(1) 若 0>nk C ),,1,0(n k =,则1||0)(0)(==∑∑==nk n knk n kC C，于是有ε≤-∑∑==|)()(|0)(0)(nk k n knk k n k x f C x f C即计算公式是稳定的。