微积分的数值计算方法

第七章 微积分的数值计算方法

7.1 微积分计算存在的问题/数值积分的基本概念 1. 微分计算问题

求函数的导数(微分)，原则上没有问题。当然，这是指所求函数为连续形式且导数存在的情形。但如果函数一表格形式给出，要求函数在某点的导数值；或者是希望某点的导数值只用其附近离散点上的函数值近似地表示，这就是新问题了，它称为微分的数值计算，或称为数值微分。 2．定积分计算问题

计算函数f 在],[b a 上的定积分 dx x f I b

a

⎰=

)(

当被积函数f 的原函数能用有限形式)(x F 给出时，可用积分基本公式来计算：

)()()(a F b F dx x f I b

a -==⎰

然而，问题在于：① f 的原函数或者很难找到，或者根本不存在；②f 可能给出一个函数表；③仅仅知道f 是某个无穷级数的和或某个微分方程的解等等。这就迫使人们不得不寻求定积分的近似计算，也称数值积分。 3．数值积分的基本形式

数值积分的基本做法是构造形式如下的近似公式

∑⎰=≈n

k k

k

b

a

x f A dx x f 0

)()( (7.1.1)

或记成

∑⎰=+=n

k n

k

k

b

a

f R x f A dx x f 0

][)()( (7.1.2)

∑==n

k k k x f A I 0

*

)( 和 ][f R n 分别成为],[b a 上的f 的数值求积公式及其

余项(截断误差)，k x 和k A ),,1,0(n k =分别称为求积节点和求积系数(求积系数与被积函数无关)。

这种求积公式的特点是把求积过(极限过程)程转化为乘法与加法的代数运算。构造这种求积公式需要做的工作是：确定节点k x 及系数

k A ),,1,0(n k =，估计余项][f R n 以及讨论*

I 的算法设计及其数值稳定

性。

4．插值型求积公式

如何构造求积公式呢？基本的技术是用被积函数f 的Lagrange 插值多项式

)(x L n 近似代替f ，也即对],[b a 上指定的1+n 个节点

b

x n ≤<⋯⋯<<≤10x x a 及相应的函数值)(,),(),(10n x f x f x f ，

作

)()()!

1(1)()()()()()1()

1(0

x f

n x f x l x R x L x f n n k n

k k n n ++=++

=+=∑ωξ

代入(7.1.2)式等号左边有

⎰⎰⎰+=b

a

n

b a

n

b a

dx x R dx x L dx x f )()()(

⎰∑⎰++=++

=

b

a n n k n

k b

a k dx x x f

n x f dx x l )())(()!

1(1)(])([)1()

1(0

ωξ

或写成形如(7.1.2)式的一般形式： ∑⎰=+=n

k n

k

k

b

a

f R x f A dx x f 0

][)()( (7.1.4)

其中 ⎰=

b

a

k

k dx x l A )( ),,1,0(n k = (7.1.5)

⎰+++=

b

a n n n dx x x f

n f R )())(()!

1(1][)1()

1(ωξ (7.1.6)

称(7.1.4)为插值型求积公式。下面将要介绍的几种实用求积公式无不都是插值型公式的某种具体形式。

由上述定义，用余项公式可以衡量数值求积公式的精确程度。不过，由余项公式(7.1.6)可见，如果f 为次数n ≤的多项式，则][f R n 中有0)

1(=+n f

,故

0][=f R n ，从而公式(7.1.4)成为等式 ∑⎰==n

k k k b

a x f A dx x f 0

)()(，这就是说，

当被积函数f 为次数n ≤的多项式时，其相应的插值型求积公式不是近似公式，而是准确公式。据此，人们引入了另一个衡量数值求积公式近似程度好坏的“代数精度” 概念。

5. 代数精度

定义7.1.1 如果数值求积公式∑⎰=≈

n

k k

k

b

a x f A dx x f 0

)()(，当)(x f 是m ~0次

多项式(可表示为m

x x x f ,,,1)( =)时，均有∑⎰==

n

k k

k

b

a x f A dx x f 0

)()(，也

即有0][=f R n ，便称求积公式∑=n

k k k x f A 0

)(至少具有m 次代数精度；如果当

)(x f 是1+m 次多项式(可表示为1

)(+=m x

x f )时，只能是∑⎰=≈n k k

k

b

a

x f A dx x f 0)()(，

也即有0][≠f R n ，便称求积公式∑=n

k k

k x f A 0

)(具有 m 次代数精度。

定理 7.1.1 有1+n 个节点的插值型求积公式(7.1.4)，至少具有n 次代数精度。 例7.1.1 确定节点321,,x x x 和系数A ，使得下列形式的求积公式

)]()()([)(3

2

1

1

1

x f x f x f A dx x f ++=⎰-

具有3次代数精度。

解 利用代数精度定义 取 3

2

,,,1)(x x x x f =令

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=++=⎰⎰⎰⎰----11

3

332313112

322212

1

13211

1)()()

()

111(1x x x A dx x x x x A dx x x x x A xdx A dx 计算得 2

1,0,21,3

2321=

=-

==

x x x A

即得至少具有3次代数精度的求积公式为

)]2

1(

)0()2

1([3

2)(1

1

f f f dx x f ++-

≈

⎰-

验证上式两端对4

)(x x f =，有

左边=2/5 ，右边=1/3

两者不相等，故可知所得公式正好为3次代数精度。

7.2 Newton-Cotes 型求积公式

构造具体形式的插值型求积公式(6.1.4)的第一个想法是考虑求积节点为等距节点的情况(这时公式可能比较简单，而且节点也就定下来了)，这就是Newton-Cotes(牛顿-柯特斯公式)，而Newton-Cotes 型公式当节点只有两点和三点时，就是熟知的梯形公式和Simpson(辛普生)公式。 1. Newton-Cotes 求积公式