平面几何解题面积法

APC ABC
1 1 1 4 3 12
共角定理
共角比例定理：若△ABC与△A'B'C'满足A=A'或 A+A' =π，则
S S
ABC A' B 'C '
AB AC A ' B ' AC
例6：三角形中位线定理.
例7：已知△ABC和△XYZ中，A=X，B=Y.求证：
例10：如图，在△ABC中，P是BC边上的高AH上任意 一点，直线CP交AB于点D，直线BP交AC于点E，连结 DH，EH.求证：DHP=EHP.
面积法的基本依据
一、基本图形的面积公式 二、几个常用的面积变换定理 （1）面积分割原理：一个图形的面积等于它各个部分 面积之和；
（2）两个全等的图形的面积相等；
（3）等底（或同底）等高的两个三角形的面积相等；
（4）等积平行定理： S
同侧A1A2 BC。
A 1BC
S
A2 BC
且A1，A2在BC的
共边定理
问题： 如图，三角形PAB与三角形QAB 的面积之比是？
作AB边上的高
共边定理
问题：可不可以不作高呢？
共边定理
共边比例定理：若△PAB与△QAB的公共边所在直线与 PQ交于点M，则
S S
PAB QAB
PM QM
共边定理
有四种情况：
例1：如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB边的中 点，CE与BD交于点F，证明：CF=2FE.
x y z a b c
例8：如图，已知D、E、F分别是△ABC三边上的点， 且
AD BE CF 1 AB BC CA n
.求证：
S S
DEF ABC
3 n 1 1 . 2 n
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例9：设P是△ABC的A平分线上的任意一点，过C引 CE∥PB交AB的延长线于点E，过B引BF∥PC交AC的 延长线于F.求证：BE=CF.
20 10; 3
二、共角定理
问题：如图，P、Q分别在△ABC的边AB、AC上，且 AB=3AP，AC=4AQ，求△APQ与△ABC的面积之比。
解：
S S S S S S
APQ APC
APC ABC
APQ ABC
AQ 1 AC 4 AP 1 AB 3 S APQ S S APC S
平面几何解题新思路
——应用“面积法”研究平面几何问题
何为面积法？
在求解平面几何问题时，根据几何量与涉及的有关 图形面积之间的内在联系，用面积表示有关几何量， 从而把要论证的几何量之间的关系转化为有关面积
之间的关系，并通过图形面积的等积变换对所证问
题来进行求解的一种方法。
优点：直观性较强、联系较广、便于条件与结论之间 的搭桥、表述简明。
RD RE 与 的值。 AD BE
RE 1 BE 2
例4：如图，已知△ABC的面积为1，AF=2FC, D、E是 BC的三等分点，求四边形GDEH的面积.
5 42
例5：如图，已知△ABC的面积为25，AE=ED, BD=2DC,则
△AEF与△BDE的面积之和等于 面积等于 . ；四边形CDEF的
几个常用的面积比定理
（1）两相似图形的面积比等于相似比的平方； （2）两个同底（或等底）的三角形（平行四边形）的 面积比等于这边上对应高的比；
（3）共边定理；
（4）共角定理； （5）内接于同一圆的两个三角形的面积比等于三边乘 积的比。
一、共边定理
问题： 如图，三角形PAB与三角形QAB 的面积之比是？
例2：如图，在△ABC内任取一点G，连结AG、BG、 CG，分别交BC、CA、AB于点D、E、F.求证：
GD GE GF 1 1 AD BE CF AF BD CE 2 1 BF CD AE
例3：如图，在△ABC中，D、E分别在边BC和AC上，
且BD：DC=2:3，CE:EA=1：2，AD与BE交于点R，求