向量的距离与夹角余弦
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题之二：夹角问题
法向量的夹角即可.
典型例题
例5如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,∠ACB=90°,P为BC的
中点，点Q, R分别在棱AA1,BB1上，A1Q=2AQ,BR=2RB1.求平面PQR与平面
A1B1C1夹角的余弦值.
解：先做出平面PQR与平面A1 1 1 的
典型例题
例5如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,
∠ACB=90°,P为BC的中点，点Q, R分别在棱AA1,BB1上，
A1Q=2AQ,BR=2RB1.求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.
分析：因为平面PQR与平面A1B1C1的夹角
可以转化为平面PQR与平面A1B1C1的法向
若异面直线l1,l2所成的角为 (0 ≤ ) ，其方向向量分别为 , Ԧ
则 =< , Ԧ >, 或 = −<, >
Ԧ
2
∙ Ԧ
= < , Ԧ > =
Ԧ
不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等
同起来,因为两异面直线所成角的范围是0 ≤ ,而
交线。
做PE⊥ 1 1 于E,则PE//Q1 ,PQ∩
1 = .
PR∩ 1 1 = ,则GH即为平面PQR与
平面A1 1 1 的交线。
做PF⊥ 于F,连C1 , ∠1 就是平面
PQR与平面A1 1 1 的二面角的平面角。
我们在⊿PF1 中求∠1 ，接下去就是
= < 1 , 2 > =
.
1 2
反思：1、三式中到底是sin还是cos，我们要通过记图来记住公
向量的相似度计算常用方法9个
向量的相似度计算常用方法9个在计算机科学领域，向量的相似度计算是一种常见的任务。
向量相似度计算的目的是根据两个向量之间的相似程度来衡量它们之间的关系。
常见的向量相似度计算方法有以下9种。
1. 余弦相似度（Cosine Similarity）：余弦相似度是衡量两个向量之间的夹角余弦值。
通过计算两个向量的内积和各自的模长，可以得到余弦相似度。
余弦相似度越接近1，表示两个向量越相似。
2. 欧氏距离（Euclidean Distance）：欧氏距离是计算两个向量之间的直线距离。
欧氏距离越小，表示两个向量越相似。
3. 曼哈顿距离（Manhattan Distance）：曼哈顿距离是计算两个向量之间的距离，即两个向量对应元素差的绝对值之和。
曼哈顿距离越小，表示两个向量越相似。
4. 切比雪夫距离（Chebyshev Distance）：切比雪夫距离是计算两个向量之间的最大差值。
切比雪夫距离越小，表示两个向量越相似。
5. 皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient）：皮尔逊相关系数是衡量两个向量之间线性相关性的度量。
它通过计算两个向量之间的协方差和各自的标准差来得到。
皮尔逊相关系数的取值范围为-1到1，值越接近1，表示两个向量越相似。
6. Jaccard相似系数（Jaccard Similarity Coefficient）：Jaccard相似系数用于计算两个向量之间的相似度。
它通过计算两个向量的交集和并集之间的比值得到。
Jaccard相似系数越大，表示两个向量越相似。
7. 杰卡德相似系数（Jaccard Similarity）：杰卡德相似系数是衡量两个向量之间相似度的度量。
它通过计算两个向量的交集和并集的大小之间的比值得到。
杰卡德相似系数越大，表示两个向量越相似。
8. 汉明距离（Hamming Distance）：汉明距离用于计算两个等长向量之间的不同位数。
汉明距离越小，表示两个向量越相似。
用空间向量研究距离、夹角问题全文
P• β
d
n Q
αA
例6 如图示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，F为线段
AB的中点.
z
(1) 求点B到直线AC1的距离;
D
C
(2) 求直线FC到平面AEC1的距离.
解 : (1) 如图示,以D1为原点建立空间直角坐标系, 则有
A
F
B
B(1,1,1), A(1, 0,1), C1(0,1, 0).
EF=l，求公垂线AA′的长.
A′ m E
a
解：∵ EF =EA+ AA+ AF， ∴EF 2 =(EA+ AA+ AF )2
A
n
Fb
2
2
2
=EA + AA + AF +2(EA AA+AA AF +AF AA)
m2 d 2 n2 2mncos .
∴d l2 m2 n2 2mncos .
(1, 0,
1 ), 2
A1 A
(0, 0, 1).
设平面AB1E的一个法向量为n ( x, y, z) ,则
y z 0
∴
x
1 2
z
0
,
取z
2, 则x
1,
y
2.
D
A x
F
C
y
B
∴平面AB1E的一个法向量为n (1, 2, 2).
点A1到平面AB1E 的距离为 |
A1 A n |n|
|
2 3
.
D1
∴AB (0,1,0), AC1 (1,1, 1).
A1
直线AC1 的单位方向向量为u
空间向量的夹角和距离公式(讲课)
a//b a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ( R ) ;
a 1/b 1a 2/b 2a 2/b 2 . a b a1b 1a2b2a3b30;
二、距离与夹角 （1）空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1) 、 B(x2 , y2 ,z2)，则
例2 如图，在正方体 A B C DA 1B 1C 1D 1中，B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
D
F1
所成的角的余弦值。
z
D1
F1
C1
D F 1 0 , 1 4， 1 (0 ,0 ,0 ) 0 , 1 4， 1 .
A1
E1 B1
B E 1D F 1 0 0 1 4 1 4 1 1 1 1 6 5,
| AM| 5 30 6.故 点 A到 直 线 EF的 距 离 为6.
2 10 4
4
课堂练习：
1 . 若 正 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 的 边 长 为 1 , E , F 分 别 是
C C 1 , D 1 A 1 的 中 点 . 求 ( 1 ) < F E , F A , ( 2 ) 点 A 到 直 线 E F 的 距 离 .
D1
F A1
C1 B1
E
2021/3/11
D A
C B
9
课堂练习：
1 . 若 正 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 的 边 长 为 1 , E , F 分 别 是
C C 1 , D 1 A 1 的 中 点 . 求 ( 1 ) < F E , F A , ( 2 ) 点 A 到 直 线 E F 的 距 离 .
空间向量的距离和夹角公式
例2 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、 D1 B1的中點，求證：EF⊥ DA1
例3 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、 CD的中點，求證：D1F⊥ 平面ADE
例4 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知
B1E1
D1F1
1 4
AB
，與BE1與DF1所成的角的余弦值。
BC=1，AA1=√6，M是棱CC1的中點，
求證：A1B⊥AM
C1
B1
A1
M
C
B
A
3、在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別
是DD1，DB中點，G在棱CD上，CD=4CG，H是C1G的
中點，
z
(1) 求證：EF⊥B1C ；
D1
C1
A1 E
B1 H
D
G
C y
F
A
B
x
3、在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別
| a| | b |
a12 a22 a32 b12 b22 b32
(2) 空間兩點間的距離公式 在空間直角坐標系中，已知A(x1 , y1 , z1),
B(x2 , y2 , z2)，則
AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
是DD1，DB中點，G在棱CD上，CD=4CG，H是C1G的
中點，
z
(2) 求EF與C1G所成的角的余弦； D1
C1
(3) 求FH的長。A1 EB1 H NhomakorabeaD
G
C y
F
向量的夹角与距离计算
向量的夹角与距离计算在数学和计算机科学中，向量是一个非常重要的概念。
向量可以用于表示方向和大小，是许多问题中的基本元素。
本文将探讨向量之间的夹角和距离计算，这在许多领域中都有广泛的应用，比如机器学习、物理学和工程领域等。
向量的夹角计算在二维空间中，可以用余弦定理计算两个向量之间的夹角。
设存在两个向量a 和b，它们的坐标分别为(a1, a2)和(b1, b2)，则这两个向量之间的夹角θ可以由以下公式计算得出：cosθ = (a1 * b1 + a2 * b2) / (sqrt(a1^2 + a2^2) * sqrt(b1^2 + b2^2))其中，sqrt代表平方根。
通过计算这个公式，我们可以得到两个向量之间的夹角。
在三维空间中，向量a和b的夹角可以通过余弦公式来计算。
同样，设a和b 的坐标分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则这两个向量之间的夹角θ可以通过下面的公式计算得出：cosθ = (a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3) / (sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2) * s qrt(b1^2 + b2^2 + b3^2))这两个公式可以帮助我们计算任意维度空间中两个向量之间的夹角，这在许多领域中都有广泛的应用。
向量的距离计算向量之间的距离计算也是一个常见的问题。
在二维空间中，两个向量a和b之间的距离可以通过欧氏距离来计算。
设a和b的坐标为(a1, a2)和(b1, b2)，则这两个向量之间的距离可以通过下面的公式计算得出：distance = sqrt((a1 - b1)^2 + (a2 - b2)^2)这个公式可以帮助我们计算二维空间中任意两个向量之间的距离。
在三维空间中，同样可以使用欧氏距离来计算两个向量之间的距离。
设a和b 的坐标为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则这两个向量之间的距离可以通过下面的公式计算得出：distance = sqrt((a1 - b1)^2 + (a2 - b2)^2 + (a3 - b3)^2)这两个公式可以帮助我们计算任意维度空间中两个向量之间的距离，这在许多问题中都有重要的应用。
向量余弦角公式
向量余弦角公式是向量计算中的重要公式之一，它用于计算两个向量之间的夹角的余弦值。
公式为：cosθ = (A·B) / (||A|| ||B||)，其中A和B是两个向量，·表示点乘，||A||和||B||分别表示向量A和B的模长。
这个公式可以用于计算两个向量的夹角的余弦值，进而可以用于判断两个向量之间的相似度或相关性。
在机器学习和数据挖掘等领域中，这个公式被广泛应用于向量的相似度计算和聚类分析等任务。
值得注意的是，向量余弦角公式只适用于两个非零向量的夹角计算，如果两个向量中有零向量，需要特别处理。
另外，向量余弦角公式也不能用于判断向量之间的方向关系，因为余弦函数在0度到180度之间是单调递增的，而在180度到360度之间是单调递减的，所以无法通过余弦值来判断两个向量的方向关系。
高二数学(人教A版)《用空间向量研究距离、夹角问题(3)》【教案匹配版】最新国家中小学课程
两个平面的夹角等于
相应二面角或其补角
高中数学
l
α
高中数学高二上册
问题2 类比两条直线夹角的求法，如何用向量方法
求两个平面的夹角？
高中数学
高中数学高二上册
两条直线的夹角
定义
范围
向量
求法
高中数学
1
1
两个平面的夹角
2
2
将直线的方向向量表示，
转化为求向量的夹角
β
l
α
高中数学高二上册
2 ∙ ＝0，
2 − − ＝0，
又 ൝
所以ቊ
− 2＝0 .
2 ∙ ＝0，
高中数学
z
C
P
B
R
Q
C1
A1
x
B1 y
高中数学高二上册
3
＝ ，
2
所以 ቐ
取 2 = (3，4，2),
＝2.
1 ∙ 2
则cos 1 ，2 =
|1 | ∙ |2 |
=
C
0，0，1 ∙ 3，4，2
A1
x
高中数学
B1 y
高中数学高二上册
因为1 ⊥平面111，
所以平面111的一个法向量为1＝(0，0，1) ．
设平面的法向量为2 = ，， ，
因为(0，1，3)，(2，0，2)，
(0，2，1) ，
A
所以＝(2， − 1， − 1)，
＝(0，1， − 2) ．
高中数学
①转化为求平面，的法向量
， 的夹角
∙
∙
进行向量运算
②计算cos ， =
向量间夹角计算公式
向量间夹角计算公式
向量是数学中常见的概念，它们可以用来表示物理量的大小和方向。
当我们需要计算两个向量之间的夹角时，我们可以使用以下公式： cosθ = (ab) / (|a||b|)
其中，a和b分别代表两个向量，ab表示它们的点积，|a|和|b|分别表示它们的模长。
利用这个公式，我们可以轻松地计算两个向量之间的夹角θ的余弦值cosθ。
最终的夹角θ可以通过反余弦函数求得：
θ = arccos(cosθ)
需要注意的是，这个公式只适用于二维和三维向量。
如果需要计算更高维度的向量夹角，需要使用其他公式。
总之，向量间夹角计算公式是数学和物理学中常用的公式，掌握它可以帮助我们更好地理解和应用向量概念。
- 1 -。
用空间向量研究距离、夹角问题(一)(人教A版2019选修一)高二数学
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，O1(0,1， 3 )，A( B(0,2,0)，
∴A→1B＝(－ 3，1，－ 3)， O→1A＝( 3，－1，－ 3)．
3 ，0,0)，A1(
3 ，1，
3 )，
∴|cos〈A→1B，O→1A〉|＝||AA→→11BB|··|OO→→11AA||
系？
条件
平面α，β的法向量分别为 u，v，α，β所构成的二面 角的大小为θ，〈u，v〉＝φ
图形
关系 计算
θ＝φ cos θ＝cos φ
θ＝π－φ cos θ＝－cos φ
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相 等．( × ) (2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面 角的平面角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝|nn11|·|nn22|.( × ) (3)平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面内一点B所 成向量A→B的长度．( × ) (4)二面角α－l－β的大小为θ，平面α，β的法向量分别为n1， n2，则θ＝〈n1，n2〉．( × )
则A(1,0,0)，D1(0,0,2)，E(1,1,1)，B(1,1,0)， A→E ＝(0,1,1)， A→D1 ＝(－1,0,2)，D→E＝(1,1,1)
设平面AD1E的法向量为n＝(x，y，z)，则－ y＋x＋ z＝20z＝0
令z＝1，则n＝(2，－1,1)
∴cos〈n，D→E〉＝2－31·＋61＝
(2)如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz，则 C(2,2,0)，D(0,4,0)，F(2,0,4) ∴A→D＝(0,4,0)，C→D＝(－2,2,0)，C→F＝(0，－2,4) 设n＝(x，y，z)是平面CDF的一个法向量，则
线到面的距离公式空间向量
线到面的距离公式空间向量
空间向量的夹角公式：cosθ=a*b/(|a|*|b|)1、a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)。
a*b=x1x2+y1y2+z1z2 2、|a|=√(x1^2+y1^2+z1^2)，|b|=√(x2^2+y2^2+z2^2)。
3、
cosθ=a*b/(|a|*|b|)
1.直线与面的夹角：求出直线的一个方向向量l和平面的一个法向量n,用向量的夹角公式求出两个向量夹角余弦cos＝m直线与平面所成角π/2-arccos|m|。
2.二面角：分别谋出来两个平面的法向量m,n利用公式谋出来两个法向量夹角余弦cos,二面角的平面角与两法向量夹角成正比或优势互补,（融合图确认,若两法向量同时指
向平面外或内则优势互补；若一个指向内一个指向外则成正比）。
3.点到面距离：设平面外一点a,找到平面内任意一点b,求出向量ab坐标,求平面一
个法向量n,则点a到平面距离d=|ab*n|/|n|。
4.线面平行的距离其实也就是点面距离（直线上任一一点至平面距离），所以带发修
行和点面距离方法一样,a在直线上投,b在平面内挑,先至面的距离d=|ab*n|/|n|（*则表
示数量内积,还有些向量符号没标箭头，你能够看看明白不）。
长度为0的向量叫做零向量，记为0。
模为1的向量称为单位向量。
与向量a长度相
等而方向相反的向量，称为a的相反向量。
记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。
两向量夹角的余弦公式
两向量夹角的余弦公式
两向量夹角的余弦公式：cos=ab/|a|*|b|，余弦是三角函数的一种。
在Rt△ABC （直角三角形）中，∠C=90°，∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边，即cosA=b/c，也可写为cosa=AC/AB。
余弦函数：f(x)=cosx（x∈R）。
三角形任一边的平方等于其他两边平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
相关信息：
实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量，记作λa，且|λa|=|λ|*|a|。
当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当|λ| >1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长为原来的|λ|倍
当|λ|<1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上缩短为原来的|λ|倍。
向量的余弦定理
向量的余弦定理向量的余弦定理是数学中的一个重要定理，它描述了两个向量之间的夹角与向量的长度之间的关系。
余弦定理可以帮助我们计算向量之间的夹角，从而在很多实际问题中得到应用。
在数学中，向量是具有大小和方向的量。
我们可以用箭头来表示一个向量，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
例如，我们可以用一个向量来表示一个物体的位移，其中向量的大小表示物体的位移距离，向量的方向表示物体的位移方向。
考虑两个向量a和b，它们之间的夹角可以用余弦定理来计算。
余弦定理可以表示为以下公式：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosθ其中c表示a和b之间的夹角的余弦值，a和b分别表示两个向量的大小，θ表示a和b之间的夹角。
通过余弦定理，我们可以计算两个向量之间的夹角，而不需要知道它们的具体方向。
这在很多实际问题中非常有用。
例如，在航空航天领域，我们可以使用余弦定理来计算飞行器的航向角，从而确定飞行器的飞行方向。
在建筑工程中，我们可以使用余弦定理来计算两个墙壁之间的夹角，从而确定墙壁的摆放方向。
除了计算夹角，余弦定理还可以帮助我们计算向量的长度。
通过余弦定理，我们可以将向量的长度与夹角和其他已知量联系起来。
例如，如果我们知道两个向量的大小和夹角，我们可以使用余弦定理来计算它们之间的距离。
余弦定理的应用不仅仅局限于几何问题，它还可以应用于其他领域。
在物理学中，余弦定理可以用来计算力的大小和方向。
在计算机图形学中，余弦定理可以用来计算光线的入射角和反射角。
在机器学习和数据分析中，余弦定理可以用来计算向量之间的相似度。
总结一下，向量的余弦定理是一个重要的数学定理，它描述了两个向量之间的夹角与向量的长度之间的关系。
通过余弦定理，我们可以计算向量之间的夹角和长度，从而在很多实际问题中得到应用。
无论是在几何学、物理学、计算机图形学还是机器学习领域，余弦定理都具有广泛的应用。
掌握余弦定理的原理和应用，对于理解和解决各种问题都是非常有帮助的。
向量夹角余弦
向量夹角余弦一、概述向量夹角余弦是向量分析中的一个重要概念，它可以用来计算两个向量之间的夹角大小。
在物理、工程学等领域中，向量夹角余弦被广泛应用于求解力的方向和大小等问题。
二、定义向量夹角余弦是指两个向量之间的夹角余弦值。
假设有两个非零向量a 和b，它们之间的夹角θ可以通过它们的点积和模长来计算：cosθ = (a·b) / (|a| × |b|)其中，a·b表示向量a和向量b的点积，|a|表示向量a的模长，|b|表示向量b的模长。
三、性质1. 余弦值范围：由于cosθ是余弦函数值，因此其取值范围在[-1, 1]之间。
2. 向量平行：当两个非零向量平行时，它们之间的夹角为0度或180度。
此时cosθ=±1。
3. 向量垂直：当两个非零向量垂直时，它们之间的夹角为90度。
此时cosθ=0。
4. 夹角大小比较：当0度<θ<90度时，cosθ随着θ增大而减小；当90度<θ<180度时，cosθ随着θ增大而增大。
四、应用1. 求解向量夹角：通过向量夹角余弦公式，可以计算出两个向量之间的夹角大小。
这在物理、工程学等领域中非常有用，例如求解力的方向和大小等问题。
2. 判断向量平行或垂直：当两个向量之间的夹角为0度或180度时，它们是平行的；当两个向量之间的夹角为90度时，它们是垂直的。
通过计算两个向量之间的夹角余弦值，可以判断它们是平行还是垂直。
3. 计算三角形面积：假设有一个三角形ABC，其中AB和AC分别表示两个边所对应的向量。
则三角形ABC的面积可以通过以下公式来计算：S = 1/2 × |AB| × |AC| × sinθ其中，|AB|和|AC|分别表示向量AB和AC的模长，sinθ表示两个向量之间的夹角正弦值。
五、总结向量夹角余弦是一个重要概念，在物理、工程学等领域中被广泛应用。
它可以用来计算两个向量之间的夹角大小，并且可以判断两个向量之间的关系（平行或垂直）。
向量方向余弦的计算公式
向量方向余弦的计算公式
向量方向余弦公式是一种计算两个向量之间的夹角余弦值的常
用公式。
它可以用来表示两条向量之间的关系，以及两条向量之间的夹角大小。
公式定义：
cos θ = (a * b) / (||a|| * ||b||)
其中，a和b分别表示两个向量，θ表示两向量间的夹角，||a||表示a的模长，||b||表示b的模长。
使用该公式计算两向量之间的夹角余弦值的过程如下：
1. 将两个向量的模长（||a||和||b||）计算出来。
2. 根据公式将两个向量的点积（a * b）运算出来。
3. 将点积结果除以两个向量模长的乘积，从而得出夹角余弦值。
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i,j=1
Matlab实验（二）
6/38
3) 方阵的谱半径： 方阵A的特征值的绝对值之最大值称为A的 谱半径 记为： ( A) max{| i |}
6 0 4 3 5 0 的谱半径 例3.求矩阵 A 3 6 1
由eig(A)知矩阵A的特征值分别为1,-2,1。
Matlab实验（二）
i 1
xi
n
2
4/38
计算向量之间夹角的余弦还可以用命令: B=1-pdist(A,’cosine’) 计算矩阵A的行向量之间的夹角余弦 如例1 a=[1,2,3], b=[-1,5,6],c=[1,0,1], 求a,b ,c之 间的夹角余弦 解：输入:A=[a;b;c]; B=1-pdist(A, 'cosine') 输出结果为:B = 0.9164 0.7559 0.4490
解： a,b,c 的混合积为：dot(a,cross(b,c))
Matlab实验（二）
3/38
2.矩阵的范数与向量的标准化 1）Matlab 中向量 a 的范数为：norm(a)
若 a ( x1 , x 2 ,..., x n ), 则 norm (a )
事实上，范数的平方=向量 a自身的数量积 例1 a=[1,2,3], b=[-1,5,6],c=[1,0,1], 求a,b的范数 解：norm(a)= 3.7417 , norm(b)=7.8740 练习：对例1计算：a,b夹角的余弦 解法一： dot(a,b)/norm(a)/norm(b) =0.9164 解法二： dot(a/norm(a),b/norm(b)) 思考：a,b,c三个向量那两个更接近？
Matlab实验（二）
5/38
2) 矩阵的范数有以下几种：
(1) n = norm(A)
矩阵A的普范数(2范数), = A’A的最大特征值的算术
根. (2) n = norm(A,1) 矩阵A的列范数（1-范数） 等 于A的最大列之和. (3)n = norm(A,inf) 矩阵A的行范数(无穷大范数) 等于A的最大行之和. (4)n = norm(A, 'fro' ) 矩阵 A的Frobenius范数. 2 aij 记为： N ( A)
d ( , ) ( )V 1 ( )T
其中 V是一个实对称正定矩阵，通常取样 本的协方差矩阵，当V=E时即为欧氏距离.
以上距离，在Matlab (6.)中有命令: pdist
具体如下：
Matlab实验（二）
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(1)欧氏距离： 如果A是aⅩm阶矩阵,B是m Ⅹb 阶矩阵.即 A的行向量维数等于B的列向量维数． Matlab中命令：dist(A,B)计算A中每个行向 量与B中每个列向量之间欧氏距离． dist(A,B)结果是一个a Ⅹb 阶上三角形矩阵 d(i, j)表示A的第i个行向量与B的第j个列向量 之间欧氏距离
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1. 向量的数量积，矢量积 设 ( x1 , x2 ,..., xn ); ( y1 , y2 ,..., yn ) Matlab 中数量积:dot(a,b);矢量积:cross(a,b) 例如：a=[1,2,3], b=[-1,5,6],c=[1,0,1]则 dot(a,b)=27, cross(a,c)=(2,2,-2) 练习：计算a,b,c 的混合积 a (b c )
称为 与 的欧氏距离 称为 与 的绝对距离
d ( , ) | xi yi |
i 1
n
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闵可夫斯基距离： d ( , ) { | xi yi |r }1 / r
i 1
n
当 r=1,2 时分别为绝对距离和欧氏距离
马氏距离：
Matlab实验（二）
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2.常见的向量距离
n R n维欧氏空间:设 表示n维向量
Байду номын сангаас
( x1 , x2 ,..., xn )
的全体所组成的集合，称为n维欧氏空间 如果 ( x1 , x2 ,..., xn ); ( y1 , y2 ,..., yn )
d ( , )
2 ( x y ) i i i 1 n
Matlab实验（二）
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如果X是m个n维行向量所组成的矩阵，则有： Pdist(X) — 样本X中各n维向量的欧氏距离
2 C X 是 m n 矩阵 注意： 而pdist(X)是个一行 m 列
矩阵。各列分别表示X中各行向量按如下顺序 的距离 (1,2),(1,3),…(1,m),(2,3),(2,4),…(2,m),…(m-1,m) 例4. a=[1,2,3],b=[-1,5,6],c=[1,0,1]求a,b,c欧氏距离 解:输入:a1=dist(a,b'),a2=dist(a,c'),a3=dist(c,b')
或者输入:A=[a;b;c];pdist(A)
Matlab实验（二）
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(2)绝对距离： Matlab中命令：mandist(A,B)计算A中每 个行向量与B中每个列向量之间绝对距离， A的行向量维数必须等于B的列向量维数.
设样本X是m个n维行向量所组成的矩阵，则有： Pdist(X, 'cityblock') — 各n维向量的绝对距离 2 C 注意：X 是m n 矩阵 而pdist(X)是个一行 m 列 矩阵。各列分别表示X中各行向量按如下顺序 的距离 (1,2),(1,3),…(1,m),(2,3),(2,4),…(2,m),…(m-1,m)
(A) 2
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4）矩阵的行向量、列向量标准化的命令： normr(A)，normc(A) （normr(A)表示将矩阵每一行除以该行的范数）
1 2 3 例3. 将矩阵A 4 5 6 的行向量与列向量标准化 7 8 0
解：A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0];B=normr(A)，C=normc(A) 也可以输入命令：b(1)=norm(A(1,:)); 求出A矩阵个各行的 b(2)=norm(A(2,:)); 范数,转置后变为3*1 阶矩阵, b(3)=norm(A(3,:)); 什么意思?? c=b’*ones(1,3); B=A./c