光子学基础—第四章
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第四章
光的传播
提要
射线光学 谐振腔的稳定性 均匀介质高斯光束 高斯光束的ABCD定律 谐振腔的自洽性
2
光的传播
本章讨论一般热辐射的光线与激光束---高斯光束在自由 空间传播上的差异。
在光学中，几何光学是讨论热辐射光源所遵循的反射、 透射、折射等规律。为了比较高斯光束与几何光学在空 间传播的差异，我们简单的回顾一下几何光学，并换一 个方式即用射线矩阵光学的形式。然后，再来分析和比 较高斯光束在传播时，与射线矩阵光学的联系与差异。 最后再讨论激光的模式。 下一章，将进一步讨论高斯光束在介质波导或光纤中传 输的主要规律。
26
射线光学-----应用例题
问题 试求猫眼反射器(Cat’s-eye retroreflector)的射 线矩阵(最简单的猫眼反射器是在凸透镜的焦平面放置一反 射镜) 解
M FF
从参考面 RP到平面镜 M的ABCD矩阵为：
1 0 f 1 1 1 f 0 1 0 1 f 0 1 1 f f 0
10
iv 球面介质界面光学元件的传输矩阵
M
L O H
P
1 n n 射线矩阵为： 2 1 n2 R
0 n1 n2
11
v 反向的凹球面的传输矩阵
M
L H O P
1 n n 射线矩阵为： 2 1 n2 R
0 n1 n2
12
射线矩阵光学 射线矩阵光学
试求 相位复共轭介质的射线光学矩阵 解 相位复共轭介质的入射与透射光线如 右图示：(入射与透射光线共线反向)
r2 r1 r2 ' r1 ' 1 0 T 0 1
注意：反光镜的射线矩阵为 1 0 T反光镜 0 1
2 2 2 2 1 2
4
球面波的表示
球面波 曲率半径 R 可唯一地确定波的状态，若 1点的状 态为 R1 那么，2点的状态 R2 (R1与 R2 相距为 z )可用：
R2 R1 z
R1
r’
2
R2
r2 z
z
5
近轴球面波--射线状态参数
近轴球面波
光线在任意点 P 的状态可用列矢量 [r, r’] 表示 。 P与 z 轴的距离 r ，及 P点的光线方向 r’ 表示为
1 r2 n n 1 r ' 2 2 n2 R 0 r n1 1 r ' n2 1
去。
的(4)式)
18
光的传播-----射线光学
则在上题中： 总的传输矩阵M也可写为：
1 A B 1 x C D 0 1 1 n R
'
23
用实验确定光学系统的ABCD参量
前己指出可以利用 B=0 的成象关系式确定焦距。反过来 ，也可以改变物距求得相应的象距。 假定光学系统的矩阵元为 A、B、C、D，物距为 R，象距 为 S，则有
AB CD R S
1 S A B 1 R M C D 0 1 0 1 A SC AR B CR D S C CR D
dr r r' tan dz R
球面射线的状态与近轴球面波的[r,r’]之间有，
R = r/r’
6
光学元件对近轴射线作用的表示
类似算符对态矢量的作用一样，算符可表为矩阵。
光学元件的作用也可表为 2x2 矩阵。
7
光的传播-----射线光学
ⅰ 传输一段距离 d 的射线矩阵
如图示, 显然有 r2＝r1＋d×r1’ r2 ’ = r 1 ’ 若用矩阵形式可表示为：
其次， 将C，D，及 Ri 代回 BM 并令 BM 0 ， 得 ARi B S i CRi D S i i i
再对上述方程组作线性回归从而确定 A 和 B。
25
射线光学-----应用例题
问题 半球面透镜在光学中是很有用的。其折射率为 n，半径为 r， 求半球面透镜的焦矩? (归一化形式写式子） 解：采用在介质中传输距离缩短和将 折射率移到射线状态的列矢量 中去的方法，我们可写出：
从图中可以看中几何关系如下： r1 = r2 法线角 φ= r1/R
out
法线
同理 r '=α
2
Jo 联立得 r1'=α J i Jin 即 Jin = r1'-φ in =φ+
out
= - φ- J out
i
r1 r2
∴ Jin = J out (镜面反射) 2 ∴ r2'= J out -φ= r1'- 2φ= r1'- r1 R 1 0 所以射线矩阵为： 2 1 R
A>0获得物体正像，A<0倒像
21
关于射线矩阵计算光学问题的关键方法
3. 求望远镜系统的角放大率 C=0
r Dr
' 2
' 1
'
r1'
RP1 RP2
r2'
凡是在RP1处平行的光线束（ r1 相等），在RP2处仍保持平行 ' （ r2 相等），因此C=0表示光学系统角放大，放大率为：
r2' r1' D
3
球面波与近轴球面波
• 近轴球面波的表示 点光源可用一球面波来表示，式中 k 为波矢，R为 球面波的曲率半径，r 为径矢，z 为光轴的方向。
1 ikR 1 ik E e e R R
在近轴近似下：
x2 y2 z 2
1 e R
r2 ikz ik 2R
R z r x 2 y 2 r R x y z z 1 z 2 r2 R z 2R
13
14
光的传播-----射线光学
例题 求球透镜的焦点位置 我们从第一个参考面 RP1 输入平 行于Z轴的光线，经球面透镜折射进 入玻璃球镜传播2R/n距离之后，从 后球面折射出来再传播距离x。按照 矩阵乘法的规则可以写出总的射线 传输矩阵M。（R=1cm，n=1.4） 思路：
R
n
x
RP1
RP2
17
光的传播-----射线光学
2.为了在矩阵运算中满 足AD - BC = 1 将矩阵 元 C、D 中的 n1 、 n2 分别搬到列矢量中 (例, 书中表一
r2 1 n r ' n2 n1 2 2 R 0 r 1 ' 1 n1 r1
入射光与z轴平行， r1 0 焦点在z轴上， r2 0 r2 A B r1 , A 0 r2 C D r1 n 1 2(n 1) 2n 1 2 0, x R 0.75cm n nR 2(n 1)
15
总的射线传输矩阵M为： 0 1 2R n 1 1 1 n( R ) n n 1 2(n 1) n 1 2R 2 x 1 n 1 x 2 x x R n nR R n n 1 n ( n 1)(2 n ) 2 n R nR n 1 1 x M 1 n 0 1 R 0 1 n 0
A=0
平行光
r2
r1'
RP1 RP2
r2 B r1'
凡是在参考平面RP1处相互平行的光束（入射角均为r 1′）都将
在参考平面RP2上汇聚成为一点(r2相等) 1 ' r Br , r r 如果A，D都等于零，则 2 ，相当于RP1和RP2 1 1 2 C 都在两个焦点上。
20
1 1 n r 0 1 1 0 r 1 0 1 n 1 n 1 0 1 r r n 1 n
而透镜传输矩阵为
1 0 1 1 f
1 1 n r 因此求得焦距为 ： f f r 1 n
24
用实验确定光学系统的ABCD参量
利用成像条件，对未知系统进行成像实验，先确定一组物距 R1 , R2 , Rn , 从实验决定相应的象距 S1 , S2 , Sn。
由此得相应的系统的放大率的倒数：
1 DM AM CRi D i
对上面的方程组作线性回归，即可求得矩阵元 C，D。
'
R
0 1 1 0
2R 1 n 1 n 1 (1)R
0 1
n
x
RP1
RP2
入射光平行Z轴 r1 0 ，焦点在Z轴上 ， r2 0 求焦平面应有 A=0 即得: 因此：0.43-0.57 x = 0 得焦点位置：
0 A B r1 ' 0 C D r 2 x 0.75 cm
考虑二单元的周期透镜波导如图
1 0 1 d 1 0 1 d r rs 1 1 s 1 r ' 1 0 1 1 0 1 r ' s s 1 f2 f1
该系统是望远镜系统。
1 A
22
关于射线矩阵计算光学问题的关键方法
4. 求探照灯系统的第一焦平面位置 D=0
r C r1
' 2
Байду номын сангаасr1
r2'
RP1
RP2
凡是在RP1上同一点发出的光线（ r1 相等，r1 不相等），经过 变换后，在RP2上成为相互平行的光线（ r2' 相等），因此D=0， RP1为焦面。
关于射线矩阵计算光学问题的关键方法
2. 成像关系式 B=0
r1
物 RP1
r2 A r1
r2
RP2
像
凡是在RP1处以相同的r1入射的光线束，在RP2处将汇聚在同一点 （r2相等）。显然两个平面组成了一对物-像共轭平面。 像放大率为： r2 r1 A，像放大率的倒数为D。
AD BC 1, B 0 AD 1, A 1 D
猫眼的矩阵 A为：
1 0 Cat ' s eye M FF M FF 0 1 1 0 0 1
RP
f
f M
27
射线矩阵光学的应用-----透镜波导与谐振腔
透镜波导与谐振腔问题是作为射线矩阵光学的应用问题 ， 同时，也是激光技术的主要应用部件。
2 1
r2 ' f r1 ' f r1
r2 ' f
所以
r2 r1 r2 ' r1 r1 ' f
r1 '
r1 ' f
f
这样，薄透镜的传输矩阵可表示为：
1 0 A B 1 C D 1 f
9
射线矩阵光学
iii 凹面镜的反射矩阵
r2 ' r2 1 d r1 ' 0 1 r1
A 在空间传播距离d的矩阵表示为： C
B 1 d D 0 1
8
光的传播-----射线光学
ii 薄透镜
薄透镜意思是透镜的厚度可以略去不计。按几何光学的 作图法，可写出 r r
16
光的传播-----射线光学
两个问题
n1=1 n2=n d n1
1.光线在介质n中传输 d 的矩阵为：
证明
1 0 1 d 1 M 0 0 n2 0 1
1 0
d n 1
d n2 1
0 1 1 n2 0
19
关于射线矩阵计算光学问题的关键方法
任一光学系统只要求出总的射线矩阵 ABCD 即可用下列方 法求解各类光学问题 r2 A B r1 r2 Ar1 Br1
r C 2 D r1 r2 Cr1 Dr1
1. 计算(后)焦平面位置
光的传播
提要
射线光学 谐振腔的稳定性 均匀介质高斯光束 高斯光束的ABCD定律 谐振腔的自洽性
2
光的传播
本章讨论一般热辐射的光线与激光束---高斯光束在自由 空间传播上的差异。
在光学中，几何光学是讨论热辐射光源所遵循的反射、 透射、折射等规律。为了比较高斯光束与几何光学在空 间传播的差异，我们简单的回顾一下几何光学，并换一 个方式即用射线矩阵光学的形式。然后，再来分析和比 较高斯光束在传播时，与射线矩阵光学的联系与差异。 最后再讨论激光的模式。 下一章，将进一步讨论高斯光束在介质波导或光纤中传 输的主要规律。
26
射线光学-----应用例题
问题 试求猫眼反射器(Cat’s-eye retroreflector)的射 线矩阵(最简单的猫眼反射器是在凸透镜的焦平面放置一反 射镜) 解
M FF
从参考面 RP到平面镜 M的ABCD矩阵为：
1 0 f 1 1 1 f 0 1 0 1 f 0 1 1 f f 0
10
iv 球面介质界面光学元件的传输矩阵
M
L O H
P
1 n n 射线矩阵为： 2 1 n2 R
0 n1 n2
11
v 反向的凹球面的传输矩阵
M
L H O P
1 n n 射线矩阵为： 2 1 n2 R
0 n1 n2
12
射线矩阵光学 射线矩阵光学
试求 相位复共轭介质的射线光学矩阵 解 相位复共轭介质的入射与透射光线如 右图示：(入射与透射光线共线反向)
r2 r1 r2 ' r1 ' 1 0 T 0 1
注意：反光镜的射线矩阵为 1 0 T反光镜 0 1
2 2 2 2 1 2
4
球面波的表示
球面波 曲率半径 R 可唯一地确定波的状态，若 1点的状 态为 R1 那么，2点的状态 R2 (R1与 R2 相距为 z )可用：
R2 R1 z
R1
r’
2
R2
r2 z
z
5
近轴球面波--射线状态参数
近轴球面波
光线在任意点 P 的状态可用列矢量 [r, r’] 表示 。 P与 z 轴的距离 r ，及 P点的光线方向 r’ 表示为
1 r2 n n 1 r ' 2 2 n2 R 0 r n1 1 r ' n2 1
去。
的(4)式)
18
光的传播-----射线光学
则在上题中： 总的传输矩阵M也可写为：
1 A B 1 x C D 0 1 1 n R
'
23
用实验确定光学系统的ABCD参量
前己指出可以利用 B=0 的成象关系式确定焦距。反过来 ，也可以改变物距求得相应的象距。 假定光学系统的矩阵元为 A、B、C、D，物距为 R，象距 为 S，则有
AB CD R S
1 S A B 1 R M C D 0 1 0 1 A SC AR B CR D S C CR D
dr r r' tan dz R
球面射线的状态与近轴球面波的[r,r’]之间有，
R = r/r’
6
光学元件对近轴射线作用的表示
类似算符对态矢量的作用一样，算符可表为矩阵。
光学元件的作用也可表为 2x2 矩阵。
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光的传播-----射线光学
ⅰ 传输一段距离 d 的射线矩阵
如图示, 显然有 r2＝r1＋d×r1’ r2 ’ = r 1 ’ 若用矩阵形式可表示为：
其次， 将C，D，及 Ri 代回 BM 并令 BM 0 ， 得 ARi B S i CRi D S i i i
再对上述方程组作线性回归从而确定 A 和 B。
25
射线光学-----应用例题
问题 半球面透镜在光学中是很有用的。其折射率为 n，半径为 r， 求半球面透镜的焦矩? (归一化形式写式子） 解：采用在介质中传输距离缩短和将 折射率移到射线状态的列矢量 中去的方法，我们可写出：
从图中可以看中几何关系如下： r1 = r2 法线角 φ= r1/R
out
法线
同理 r '=α
2
Jo 联立得 r1'=α J i Jin 即 Jin = r1'-φ in =φ+
out
= - φ- J out
i
r1 r2
∴ Jin = J out (镜面反射) 2 ∴ r2'= J out -φ= r1'- 2φ= r1'- r1 R 1 0 所以射线矩阵为： 2 1 R
A>0获得物体正像，A<0倒像
21
关于射线矩阵计算光学问题的关键方法
3. 求望远镜系统的角放大率 C=0
r Dr
' 2
' 1
'
r1'
RP1 RP2
r2'
凡是在RP1处平行的光线束（ r1 相等），在RP2处仍保持平行 ' （ r2 相等），因此C=0表示光学系统角放大，放大率为：
r2' r1' D
3
球面波与近轴球面波
• 近轴球面波的表示 点光源可用一球面波来表示，式中 k 为波矢，R为 球面波的曲率半径，r 为径矢，z 为光轴的方向。
1 ikR 1 ik E e e R R
在近轴近似下：
x2 y2 z 2
1 e R
r2 ikz ik 2R
R z r x 2 y 2 r R x y z z 1 z 2 r2 R z 2R
13
14
光的传播-----射线光学
例题 求球透镜的焦点位置 我们从第一个参考面 RP1 输入平 行于Z轴的光线，经球面透镜折射进 入玻璃球镜传播2R/n距离之后，从 后球面折射出来再传播距离x。按照 矩阵乘法的规则可以写出总的射线 传输矩阵M。（R=1cm，n=1.4） 思路：
R
n
x
RP1
RP2
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光的传播-----射线光学
2.为了在矩阵运算中满 足AD - BC = 1 将矩阵 元 C、D 中的 n1 、 n2 分别搬到列矢量中 (例, 书中表一
r2 1 n r ' n2 n1 2 2 R 0 r 1 ' 1 n1 r1
入射光与z轴平行， r1 0 焦点在z轴上， r2 0 r2 A B r1 , A 0 r2 C D r1 n 1 2(n 1) 2n 1 2 0, x R 0.75cm n nR 2(n 1)
15
总的射线传输矩阵M为： 0 1 2R n 1 1 1 n( R ) n n 1 2(n 1) n 1 2R 2 x 1 n 1 x 2 x x R n nR R n n 1 n ( n 1)(2 n ) 2 n R nR n 1 1 x M 1 n 0 1 R 0 1 n 0
A=0
平行光
r2
r1'
RP1 RP2
r2 B r1'
凡是在参考平面RP1处相互平行的光束（入射角均为r 1′）都将
在参考平面RP2上汇聚成为一点(r2相等) 1 ' r Br , r r 如果A，D都等于零，则 2 ，相当于RP1和RP2 1 1 2 C 都在两个焦点上。
20
1 1 n r 0 1 1 0 r 1 0 1 n 1 n 1 0 1 r r n 1 n
而透镜传输矩阵为
1 0 1 1 f
1 1 n r 因此求得焦距为 ： f f r 1 n
24
用实验确定光学系统的ABCD参量
利用成像条件，对未知系统进行成像实验，先确定一组物距 R1 , R2 , Rn , 从实验决定相应的象距 S1 , S2 , Sn。
由此得相应的系统的放大率的倒数：
1 DM AM CRi D i
对上面的方程组作线性回归，即可求得矩阵元 C，D。
'
R
0 1 1 0
2R 1 n 1 n 1 (1)R
0 1
n
x
RP1
RP2
入射光平行Z轴 r1 0 ，焦点在Z轴上 ， r2 0 求焦平面应有 A=0 即得: 因此：0.43-0.57 x = 0 得焦点位置：
0 A B r1 ' 0 C D r 2 x 0.75 cm
考虑二单元的周期透镜波导如图
1 0 1 d 1 0 1 d r rs 1 1 s 1 r ' 1 0 1 1 0 1 r ' s s 1 f2 f1
该系统是望远镜系统。
1 A
22
关于射线矩阵计算光学问题的关键方法
4. 求探照灯系统的第一焦平面位置 D=0
r C r1
' 2
Байду номын сангаасr1
r2'
RP1
RP2
凡是在RP1上同一点发出的光线（ r1 相等，r1 不相等），经过 变换后，在RP2上成为相互平行的光线（ r2' 相等），因此D=0， RP1为焦面。
关于射线矩阵计算光学问题的关键方法
2. 成像关系式 B=0
r1
物 RP1
r2 A r1
r2
RP2
像
凡是在RP1处以相同的r1入射的光线束，在RP2处将汇聚在同一点 （r2相等）。显然两个平面组成了一对物-像共轭平面。 像放大率为： r2 r1 A，像放大率的倒数为D。
AD BC 1, B 0 AD 1, A 1 D
猫眼的矩阵 A为：
1 0 Cat ' s eye M FF M FF 0 1 1 0 0 1
RP
f
f M
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射线矩阵光学的应用-----透镜波导与谐振腔
透镜波导与谐振腔问题是作为射线矩阵光学的应用问题 ， 同时，也是激光技术的主要应用部件。
2 1
r2 ' f r1 ' f r1
r2 ' f
所以
r2 r1 r2 ' r1 r1 ' f
r1 '
r1 ' f
f
这样，薄透镜的传输矩阵可表示为：
1 0 A B 1 C D 1 f
9
射线矩阵光学
iii 凹面镜的反射矩阵
r2 ' r2 1 d r1 ' 0 1 r1
A 在空间传播距离d的矩阵表示为： C
B 1 d D 0 1
8
光的传播-----射线光学
ii 薄透镜
薄透镜意思是透镜的厚度可以略去不计。按几何光学的 作图法，可写出 r r
16
光的传播-----射线光学
两个问题
n1=1 n2=n d n1
1.光线在介质n中传输 d 的矩阵为：
证明
1 0 1 d 1 M 0 0 n2 0 1
1 0
d n 1
d n2 1
0 1 1 n2 0
19
关于射线矩阵计算光学问题的关键方法
任一光学系统只要求出总的射线矩阵 ABCD 即可用下列方 法求解各类光学问题 r2 A B r1 r2 Ar1 Br1
r C 2 D r1 r2 Cr1 Dr1
1. 计算(后)焦平面位置