导数的计算教学设计教案
高中导数的算法教案模板
---一、教学目标1. 知识与技能：- 理解导数的概念，掌握导数的定义和计算方法。
- 掌握基本导数公式和导数的运算法则，如和、差、积、商的导数法则。
- 能够运用导数解决实际问题，如函数的单调性、极值等。
2. 过程与方法：- 通过实例分析和小组讨论，培养学生观察、分析、归纳的能力。
- 通过实际问题解决，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：- 培养学生对数学的兴趣和探索精神。
- 增强学生的逻辑思维能力和严谨的科学态度。
二、教学重点与难点1. 教学重点：- 导数的定义和计算方法。
- 基本导数公式和导数的运算法则。
2. 教学难点：- 导数的概念理解。
- 导数的应用，如解决函数的单调性、极值等问题。
三、教学准备1. 教师准备：- 教学课件、导数相关教材和参考资料。
- 实例问题和练习题。
2. 学生准备：- 携带笔和笔记本。
- 预习导数相关内容。
四、教学过程1. 导入新课- 复习极限概念，引入导数的定义。
- 通过实例，如速度、加速度等，让学生体会导数的实际意义。
2. 新课讲解- 导数的定义：给出导数的定义，并解释其几何意义。
- 基本导数公式：介绍常见函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数等。
- 导数的运算法则：讲解和、差、积、商的导数法则，并通过实例进行讲解。
3. 小组讨论- 分组讨论导数的应用，如判断函数的单调性、求函数的极值等。
- 每组选派代表进行讲解，分享解题思路。
4. 练习巩固- 布置练习题，让学生巩固所学知识。
- 教师巡视指导，解答学生疑问。
5. 总结与反思- 总结本节课所学内容，强调重点和难点。
- 学生反思学习过程，提出自己的疑问和收获。
五、作业布置1. 完成课后练习题。
2. 查阅资料，了解导数的应用领域。
六、教学反思1. 教师根据学生的反馈，调整教学方法和内容。
2. 关注学生的个体差异，因材施教。
3. 鼓励学生积极参与课堂活动，提高学习兴趣。
---本教案模板仅供参考，教师可根据实际情况进行调整和补充。
高中数学导数的运算教案
高中数学导数的运算教案一、知识点概述导数是描述函数在某一点上变化率的量，也可以理解为切线的斜率。
在高中数学中，我们主要学习一阶导数的计算和运用。
本节课的知识点包括：1. 导数的定义和性质2. 函数的导数运算法则3. 求导数的方法和技巧4. 导数的应用二、教学目标1. 了解导数的定义和性质，能够正确应用导数运算法则计算函数的导数2. 熟练掌握求导数的方法和技巧，能够独立完成导数计算题目3. 能够灵活运用导数解决实际问题三、教学过程1. 导入通过引导学生回顾函数的概念和图像，引出函数的变化率和导数的概念。
2. 导数的定义和性质- 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数定义为极限$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$- 导数的性质：导数的性质包括线性性质、求和、乘积和商的导数法则等。
3. 函数的导数运算法则- 常数函数导数法则：$$(c)' = 0$$- 幂函数导数法则：$$(x^n)' = nx^{n-1}$$- 指数函数导数法则：$$(a^x)' = a^x \ln a$$- 对数函数导数法则：$$(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$$4. 求导数的方法和技巧- 利用导数定义和性质进行导数计算- 使用导数运算法则简化导数计算过程- 注意特殊函数的导数计算方法5. 导数的应用- 导数在函数的极值问题中的应用- 导数在函数的图像研究中的应用- 导数在实际问题中的应用6. 拓展练习设计一些综合性的导数计算题目，让学生灵活应用所学知识进行解答。
7. 练习与总结布置一定数量的导数计算题目，学生在课后完成并批改。
总结本节课的重点知识，巩固所学内容。
四、评价方式通过课堂练习和课后作业检查学生对导数的理解和掌握程度，评价学生的学习效果。
可以采用量化评价和质性评价相结合的方式进行评价。
导数的计算教案
导数的计算教案教案：导数的计算方法1. 理解导数的概念导数表示函数在某一点的变化率，也可以理解为函数曲线在该点的切线斜率。
导数可以帮助我们研究函数在不同点的性质和变化趋势。
2. 基本函数的导数计算2.1. 常数函数的导数为0，即对于常数c，有d/dx(c) = 0。
2.2. 幂函数的导数计算：对于函数f(x) = x^n，其中n是任意实数，其导数为d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
2.3. 指数函数的导数计算：对于函数f(x) = a^x，其中a是正实数，其导数为d/dx(a^x) = a^x * ln(a)。
3. 基本运算法则3.1. 常数乘以函数的导数：若K是常数且f(x)是可导函数，则Kf(x)的导数为d/dx(Kf(x)) = K * (d/dx)f(x)。
3.2. 函数之和的导数：若f(x)和g(x)是可导函数，则(f(x) + g(x))的导数为d/dx(f(x) + g(x)) = (d/dx)f(x) + (d/dx)g(x)。
3.3. 函数之差的导数：若f(x)和g(x)是可导函数，则(f(x) - g(x))的导数为d/dx(f(x) - g(x)) = (d/dx)f(x) - (d/dx)g(x)。
3.4. 函数乘积的导数：若f(x)和g(x)是可导函数，则(f(x) * g(x))的导数为d/dx(f(x) * g(x)) = f(x) * (d/dx)g(x) + g(x) * (d/dx)f(x)。
3.5. 函数商的导数：若f(x)和g(x)是可导函数且g(x)不为0，则(f(x) / g(x))的导数为d/dx(f(x) / g(x)) = ((d/dx)f(x) * g(x) - f(x) * (d/dx)g(x)) / (g(x))^2。
4. 复合函数的导数若y = f(g(x))是由两个可导函数复合而成的函数，则y' =(d/dx)f(g(x)) * (d/dx)g(x)。
导数的运算教案大学一年级
一、教学目标1. 知识目标：使学生掌握导数的定义，了解导数的几何意义和物理意义，理解导数的运算规则。
2. 能力目标：培养学生运用导数解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的严谨求实、勇于探索的精神。
二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义和物理意义3. 导数的运算规则4. 导数的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：导数的定义，导数的几何意义和物理意义，导数的运算规则。
2. 教学难点：导数的定义的理解和应用，导数的运算规则的掌握。
四、教学过程（一）导入1. 提问：什么是函数？函数的图像有什么特点？2. 回答：函数是数学中的一个基本概念，它是两个集合之间的对应关系。
函数的图像通常是一条曲线，反映了函数的变化规律。
（二）新课讲授1. 导数的定义（1）引导学生回顾极限的概念，引出导数的定义。
（2）通过实例讲解导数的定义，使学生理解导数的含义。
2. 导数的几何意义和物理意义（1）讲解导数的几何意义，即导数表示函数在某一点处的切线斜率。
（2）讲解导数的物理意义，即导数表示函数在某一点处的瞬时变化率。
3. 导数的运算规则（1）讲解导数的四则运算规则，使学生掌握导数的运算方法。
（2）通过实例讲解导数的运算，使学生能够熟练运用导数的运算规则。
4. 导数的应用（1）引导学生思考导数在实际生活中的应用，如速度、加速度等。
（2）通过实例讲解导数在物理、工程等领域的应用，提高学生的实际应用能力。
（三）课堂练习1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 针对难点问题进行讲解和练习。
（四）课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调导数的定义、几何意义、物理意义和运算规则。
2. 鼓励学生在课后继续学习，提高自己的数学素养。
五、教学反思1. 本节课通过实例讲解导数的定义、几何意义、物理意义和运算规则，使学生掌握了导数的基本概念和应用。
2. 在课堂练习环节，关注学生的掌握情况，及时解答学生的疑问。
大学导数的运算教案
一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解导数的概念，掌握导数的定义和求导法则；（2）熟练运用导数的四则运算法则，解决实际问题；（3）掌握求导公式和求导技巧，提高导数计算能力。
2. 过程与方法：（1）通过实例分析和讨论，引导学生掌握导数的概念和求导法则；（2）通过小组合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力；（3）通过实际应用，提高学生的实际问题解决能力。
3. 情感、态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养学生对导数的认识；（2）培养学生严谨的数学思维和科学态度；（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）导数的定义和求导法则；（2）导数的四则运算法则；（3）求导公式和求导技巧。
2. 教学难点：（1）导数的概念理解；（2）导数的四则运算法则的运用；（3）求导技巧的掌握。
三、教学过程1. 导入新课（1）回顾函数、极限等基础知识；（2）提出导数的概念，引导学生思考导数的意义。
2. 新课讲授（1）导数的定义：给出导数的定义，通过实例讲解导数的几何意义；（2）导数的求导法则：介绍导数的四则运算法则，通过实例讲解法则的运用；（3）求导公式：介绍常见的求导公式，通过实例讲解公式的运用；（4）求导技巧：讲解求导过程中的常见技巧，如换元法、复合函数求导法等。
3. 小组合作（1）将学生分成小组，每组选择一个实际问题进行讨论；（2）要求学生在规定时间内完成导数的计算，并给出计算过程和结果；（3）各小组汇报讨论结果，教师点评并总结。
4. 实际应用（1）给出一个实际问题，要求学生运用所学知识进行求解；（2）学生独立完成，教师点评并总结。
5. 课堂小结（1）回顾本节课所学内容，强调重点和难点；（2）布置课后作业，巩固所学知识。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、发言情况等；2. 作业完成情况：检查学生课后作业的质量和完成情况；3. 实际应用：评估学生在实际问题解决过程中的能力。
大学导数的计算教案
课时：2课时教学目标：1. 让学生理解导数的概念，掌握导数的定义和计算方法。
2. 使学生能够熟练运用导数公式和导数的运算法则求解简单函数的导数。
3. 培养学生运用导数解决实际问题的能力。
教学重点：1. 导数的定义和计算方法。
2. 常用函数的导数公式和导数的运算法则。
教学难点：1. 导数的定义和计算方法的理解。
2. 导数公式的记忆和应用。
教学准备：1. 多媒体课件2. 导数公式和导数运算法则的表格3. 练习题教学过程：第一课时一、导入1. 复习极限的概念，引入导数的概念。
2. 举例说明导数在物理学、经济学等领域的应用。
二、新课讲授1. 导数的定义：介绍导数的定义，让学生理解导数的概念。
2. 导数的计算方法：讲解导数的计算方法，包括导数的定义法和导数的公式法。
3. 常用函数的导数公式：介绍常用函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
三、例题讲解1. 利用导数的定义法求导数的例题。
2. 利用导数公式法求导数的例题。
3. 利用导数的运算法则求导数的例题。
四、课堂练习1. 让学生独立完成课后练习题，巩固所学知识。
第二课时一、复习1. 回顾导数的定义和计算方法。
2. 回顾常用函数的导数公式和导数的运算法则。
二、新课讲授1. 导数的几何意义：讲解导数的几何意义，让学生理解导数与函数图像的关系。
2. 导数的物理意义：讲解导数的物理意义，让学生理解导数在物理学中的应用。
三、例题讲解1. 利用导数的几何意义和物理意义求解例题。
2. 利用导数求解实际问题。
四、课堂练习1. 让学生独立完成课后练习题，巩固所学知识。
五、总结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。
2. 鼓励学生在课后复习，加强巩固。
教学评价：1. 通过课堂练习和课后作业，了解学生对导数的掌握程度。
2. 通过课堂提问和课堂讨论，评估学生对导数的理解和应用能力。
教学反思：1. 根据学生的反馈，调整教学方法和教学内容。
2. 注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
导数的计算说课稿 教案 教学设计
导数的计算一、教学目标：知识与技能：1.掌握用函数的导数定义，推出函数的和，差，积，商的导数的方法．2.掌握复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积过程与方法：引导学生通过练习熟悉求导法则及复合函数的求导；并能自主总结常见求导的步骤和方法；情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：熟练掌握和、差、积、商的导数运算法则，即理解并掌握复合函数的求导法则．难点：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程（一）温故知新1.基本初等函数的导数公式表2.导数的运算法则推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）3.复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。
复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦（二）典例分析例1求下列函数的导数：（1）2(23)y x =+；（2）0.051x y e -+=；（3）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数）．解：（1）函数2(23)y x =+可以看作函数2y u =和23u x =+的复合函数。
导数的计算教案
导数的计算教案(二)教学目标:1. 了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义． 2．能根据导数的定义求函数的导数3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数. 重点:1.了解导数公式的推导过程、理解导数的四则运算法则.2.掌握几种常见函数的导数公式.3.能够运用导数公式和求导法则进行求导运算. 难点: 能够运用导数公式和求导法则进行求导运算 教学过程创设情景、引入课题 问题1：复习导数定义 新课:1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率Δx Δy＝为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝Δx Δy＝.(2).函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．(3)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(4).曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线.(5)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝为f (x )的导函数．(6)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0.2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝n ·x n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1) f ′(x )＝xln a 1f (x )＝ln xf ′(x )＝x 13.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．熟记以下结论：(1)x 1′＝－x21；(2)(ln|x |)′＝x 1； (3)(f (x )≠0)；(4)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )．例1.求下列函数的导数：(1)y ＝1x 2＋sin x 2cos x 2；(2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－32x －6＋2；(3)y ＝cos x ln x ； (4)y ＝xex . 解: (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋sin x 2cos x 2′＝(x －2)′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝－2x －3＋12cos x ＝－2x 3＋12cos x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－32x 2－6x ＋2′＝(x 3)′－⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2′－(6x )′＋(2)′＝3x 2－3x －6.(3)y ′＝(cos x ln x )′＝(cos x )′ln x ＋cos x (ln x )′＝－sin x ln x ＋cos xx .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x ′＝x ′e x －x e x ′e x2＝e x －x e x e 2x＝1－xe x.练习:课本小结: 于比较复杂的函数，若直接套用求导公式，会使求解的过程繁琐冗长，且易出错.故可先对函数的解析式进行合理的恒等变形，转化为容易求导的结构形式再求导数，尽量回避利用积与商的求导公式. 作业:蓝本。
导数的计算教学设计教案
导数的计算教学设计教案一、教学目标：1.理解导数的概念和意义，知道导数的几何意义和实际应用。
2.掌握导数的计算方法，熟练运用求导法则。
3.能够根据函数的公式，准确计算函数的导数，并应用导数求解相关问题。
二、教学内容：1.导数的概念与几何意义。
2.导数的计算方法和性质。
3.求解函数的导数，包括常用函数和复合函数的求导法则。
4.导数在实际应用中的意义。
三、教学过程：1.导入（10分钟）教师通过问一些问题，引导学生思考：a.什么是函数？b.函数有哪些特性？c.函数在不同区间上有什么变化？2.概念与几何意义（20分钟）a.导数的概念：引导学生观察曲线上两点之间的斜率变化，并引导学生得出切线斜率极限的概念。
b.导数的几何意义：导数就是函数在其中一点处的切线斜率。
3.导数的计算方法和性质（30分钟）a.基本求导法则：常数法则、幂次法则、和差法则、乘积法则、商法则、复合函数求导。
b.导数的性质：导数与函数的和、差、积、商的关系。
4.求解函数的导数（40分钟）a.常用函数的导数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。
b.复合函数的导数：应用链式法则进行求解。
c.基于导数求函数的极值、最大最小值。
5.导数在实际应用中的意义（20分钟）a.导数表示函数的变化率：如速度、斜率、增长率等。
b.导数与函数图像的关系。
c.应用导数解决实际问题，如极值问题、最优化问题等。
四、课堂练习（15分钟）1.给定一些函数的公式，让学生计算其导数。
2.给定一些实际问题，让学生应用导数进行求解。
五、总结与作业布置（10分钟）1.总结导数的定义、计算方法和几何意义。
2.布置作业：完成课堂练习和课后习题。
六、教学反思：导数作为微积分中的重要概念，对学生来说可能较为抽象和难以理解。
通过引导学生观察函数曲线、引入几何意义和实际应用等方式，可以帮助学生理解导数的概念和意义。
在计算导数时，通过引入基本求导法则和性质，以及复合函数求导的方法，可以帮助学生掌握导数的计算技巧。
导数的四则运算教案
导数的四则运算教案
一、教学目标
1. 理解导数的四则运算，掌握导数的加、减、乘、除运算规则。
2. 能够运用导数的四则运算规则解决一些简单的实际问题。
3. 培养学生的数学逻辑思维和运算能力。
二、教学内容
1. 导数的加法运算规则
2. 导数的减法运算规则
3. 导数的乘法运算规则
4. 导数的除法运算规则
三、教学难点与重点
难点：理解导数的四则运算规则，掌握其应用方法。
重点：导数的加、减、乘、除运算规则。
四、教具和多媒体资源
1. 黑板
2. 投影仪
3. 教学软件：几何画板
五、教学方法
1. 激活学生的前知：回顾导数的定义和性质，为学习导数的四则运算做准备。
2. 教学策略：通过讲解、示范、小组讨论等方式进行教学。
3. 学生活动：进行导数的四则运算练习，解决实际问题。
六、教学过程
1. 导入：通过实际问题导入，例如：速度的变化与加速度的关系，曲线的切线斜率等。
2. 讲授新课：讲解导数的四则运算规则，并举例说明。
3. 巩固练习：给出几个实际问题，让学生运用导数的四则运算规则求解。
4. 归纳小结：总结导数的四则运算规则，强调在实际问题中的应用。
七、评价与反馈
1. 设计评价策略：通过课堂小测验或小组报告的方式评价学生的学习效果。
2. 为学生提供反馈：根据学生的测验或报告结果，为学生提供学习建议和指导。
八、作业布置
1. 完成教材上的相关练习题。
2. 自行寻找一些实际问题，运用导数的四则运算规则求解。
新人教A版高中数学(选修22)1.2《导数的计算》word教案4篇
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一．创设情景四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用二．新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表)（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三．典例分析例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+ （2）y ＝xx --+1111； （3）y ＝x · sin x · ln x ；（4）y ＝xx 4； （5）y ＝xxln 1ln 1+-．（6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x（7） y ＝xx x xx x sin cos cos sin +-【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．''''252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==-- 20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =-（1）因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．四．课堂练习 1．课本P 92练习2．已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（y ＝－12 x ＋8）五．回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则六．布置作业§1.1.2 导数的概念学习目标1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 一、预习与反馈（预习教材P 4~ P 6，找出疑惑之处）探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知：1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的 导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x fx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或 即000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)。
导数的运算大学教案
教学对象：大学本科生教学目标：1. 理解导数的概念，掌握导数的定义及求导方法。
2. 掌握导数的四则运算法则，包括导数的加法、减法、乘法和除法法则。
3. 学会运用导数的四则运算法则求解复合函数的导数。
4. 通过实例分析，培养学生运用导数解决实际问题的能力。
教学重点：1. 导数的四则运算法则。
2. 复合函数的导数求解。
教学难点：1. 导数的四则运算法则的推导和应用。
2. 复合函数导数的求解。
教学准备：1. 教学课件2. 练习题教学过程：一、导入1. 复习导数的定义和求导方法。
2. 引入导数的四则运算法则，提出教学目标。
二、新知讲解1. 导数的四则运算法则（1）导数的加法法则：若函数f(x)和g(x)的导数存在，则它们的和的导数为f'(x) + g'(x)。
（2）导数的减法法则：若函数f(x)和g(x)的导数存在，则它们的差的导数为f'(x) - g'(x)。
（3）导数的乘法法则：若函数f(x)和g(x)的导数存在，则它们的积的导数为f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
（4）导数的除法法则：若函数f(x)和g(x)的导数存在，且g'(x)≠0，则它们的商的导数为(f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / [g(x)]^2。
2. 复合函数的导数求解（1）内函数和外函数的导数存在。
（2）根据链式法则，复合函数的导数为外函数导数乘以内函数导数。
三、例题分析1. 举例说明导数的四则运算法则的应用。
2. 举例说明复合函数导数的求解。
四、练习1. 学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 教师解答学生疑问。
五、总结1. 回顾本节课所学内容，强调导数的四则运算法则和复合函数导数的求解。
2. 强调导数在实际问题中的应用。
六、课后作业1. 完成课后练习题，加深对导数的四则运算法则和复合函数导数的理解。
2. 预习下一节课内容。
教学反思：1. 本节课通过讲解导数的四则运算法则和复合函数导数的求解，帮助学生掌握了导数的运算方法。
大学导数的运算教案怎么写
课时安排：2课时教学目标：1. 让学生掌握导数的定义、导数的计算方法以及导数的运算法则。
2. 培养学生运用导数解决实际问题的能力。
3. 提高学生的数学思维能力。
教学重点：1. 导数的定义和计算方法。
2. 导数的运算法则。
教学难点：1. 导数的计算方法。
2. 导数的运算法则的应用。
教学准备：1. 多媒体课件。
2. 导数相关习题。
教学过程：第一课时一、导入新课1. 复习函数的极限、导数的定义等基础知识。
2. 提问：如何求函数在某一点处的导数？引入导数的计算方法。
二、新课讲解1. 导数的定义：导数是函数在某一点处的变化率，即函数增量与自变量增量之比当自变量增量趋于0时的极限。
2. 导数的计算方法：（1）定义法：利用导数的定义求解导数。
（2）导数公式：掌握基本初等函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数等。
（3）求导法则：掌握导数的运算法则，如和差、积、商的求导法则。
3. 导数的运算法则：（1）和差法则：两个函数的导数的和等于这两个函数导数的和。
（2）积法则：两个函数的导数的积等于第一个函数的导数与第二个函数的导数的乘积，再加上第一个函数与第二个函数导数的乘积。
（3）商法则：两个函数的导数的商等于第一个函数的导数与第二个函数的导数的商，减去第二个函数的导数与第一个函数导数的乘积。
三、课堂练习1. 学生独立完成多媒体课件中的导数计算题目。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
四、小结1. 回顾本节课所学内容，强调导数的定义、计算方法和运算法则。
2. 提醒学生注意导数的应用，提高数学思维能力。
第二课时一、复习导入1. 复习上一节课所学的导数知识。
2. 提问：如何运用导数解决实际问题？二、新课讲解1. 导数的应用：（1）求函数的极值：利用导数求函数的极值点，分析函数的单调性。
（2）求函数的拐点：利用导数求函数的拐点，分析函数的凹凸性。
（3）求函数的渐近线：利用导数求函数的水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。
2. 案例分析：结合实际案例，讲解导数的应用。
大学导数的运算教案写法
一、教学目标1. 知识目标：使学生掌握导数的定义、导数的计算法则、求导公式以及导数的几何意义。
2. 能力目标：培养学生运用导数的运算解决实际问题的能力。
3. 情感目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生严谨的数学思维。
二、教学重难点1. 教学重点：导数的定义、导数的计算法则、求导公式以及导数的几何意义。
2. 教学难点：导数的计算法则在实际问题中的应用。
三、教学过程（一）导入新课1. 复习函数的极限知识，引导学生回顾导数的概念。
2. 提出问题：如何求函数在某一点的导数？引导学生思考导数的计算方法。
（二）讲授新课1. 导数的定义：介绍导数的定义，通过实例讲解导数的计算方法。
2. 导数的计算法则：讲解导数的四则运算法则，包括和、差、积、商的导数运算。
3. 求导公式：介绍基本初等函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
4. 导数的几何意义：讲解导数的几何意义，即函数在某一点的切线斜率。
（三）课堂练习1. 练习导数的计算，包括简单函数的导数、复合函数的导数等。
2. 练习导数的几何意义，如求函数在某一点的切线方程、求函数在某一点的最值等。
（四）讲解习题1. 讲解典型习题，如求函数在某一点的导数、求函数在某一点的最值、求函数的拐点等。
2. 分析习题的解题思路，总结解题方法。
（五）课堂小结1. 总结导数的运算方法，强调导数的计算法则和求导公式的重要性。
2. 强调导数的几何意义在实际问题中的应用。
（六）布置作业1. 布置与导数的运算相关的习题，巩固所学知识。
2. 布置与导数相关的实际问题，提高学生运用导数解决实际问题的能力。
四、教学反思1. 在教学过程中，注重引导学生积极参与课堂讨论，培养学生的合作学习意识。
2. 注重对导数的运算方法的讲解，让学生掌握导数的计算技巧。
3. 通过实际问题，提高学生运用导数解决实际问题的能力。
4. 在课后，关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高教学质量。
《导数的计算(第1课时)》教学设计
3.2.1 导数的计算(第1课时)一、教学目标 1.核心素养:通过学习常用函数的导数，培养学生的数学抽象和数学运算能力. 2.学习目标（1）学会应用定义求函数的三个步骤推导五种常见函数的导数公式. （2）掌握并能运用这五个公式正确求函数的导数. 3.学习重点五种常见函数的导数公式及应用. 4.学习难点五种常见函数的导数公式的推导. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务1阅读教材P81—P82，思考：推导常见函数的导函数的方法是什么？函数变化的快慢与其导函数有怎样的关系？ 2.预习自测1.下列函数中哪两个导函数是相同的A.2y x =B.23y x =C.234y x =+D.9y = 解：B2.下列哪个函数的变化速率最快A.2y x =B.32y x =-+C.13y x = D.4y x =+解：B（二）课堂设计 1.知识回顾（1）求()f x 在0x x =的导数的步骤为： ①求增量：00()()y f x x f x ∆=+∆- ②算比值：()()y f x x f x x x∆+∆-=∆∆③求极限：00'()limx y f x x∆→∆=∆（2）导数的几何意义：0'()f x 表示函数()y f x =在点00(,())x f x 处的切线斜率. 2.问题探究问题探究一 （1）函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆， 所以00limlim 00x x yy x ∆→∆→∆'===∆.0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为0.若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态. （2）函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆，所以00lim lim 11x x y y x ∆→∆→∆'===∆.1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1.若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动. （3）函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x ∆+∆-+∆-==∆∆∆2222()2x x x x x x x x +∆+∆-==+∆∆所以00limlim (2)2x x yy x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆.2y x '=表示函数2y x =图像上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快.若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x . （4）函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x xx x x -∆+∆-+∆==∆∆∆2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011limlim ()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆.因为1y x=的图象是双曲线，所以图象上点(,)x y 处的切线的斜率随着x 的变化而变化.当0x >时，随着x 的不断增加，切线的斜率由负值不断增大，函数1y x=的值减少得越来越慢；随着x 的不断减小，切线的斜率由负值不断减小，函数1y x=的值增加得越来越快；当0x <时，与上面情况正好相反.（5）函数()y f x ==因为()()y f x x f x x x∆+∆-==∆∆==0lim lim x x y y x ∆→∆→∆'===∆想一想：对于幂函数*()()n y f x x n Q ==∈，其导函数是怎样的？ 若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=. 问题探究二 常见函数的导数的应用 例1 求函数2()f x x =在(1,1)处的切线方程. 【知识点：导数的几何意义】详解：因为2()f x x =，所以'()2f x x =,因为切点为(1,1)，所以切线斜率'(1)2k f ==，所以切线方程为12(1)y x -=-,即21y x =-. 3.课堂总结 【知识梳理】 常见导数的公式:'0c =,'1x =,2()'2x x =,211()'x x =-,=.【重难点突破】准确应用推导方法推导出公式并掌握其应用. 4.随堂检测1.物体的运动方程是22s t =，则其在t 时刻的瞬时速度为（ ） A.22t B.2t C.4t D.t 【知识点：导数的物理意义】 解：C2.2()f x x=在1x =处的切线斜率为（ ） A.1 B.2 C.1- D.2- 【知识点：导数的几何意义】 解：D3.已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列时刻的瞬时变化率： （1）1x =；（2） 1.1x =；（3）2x =-；（4）x t =. 【知识点：导数的几何意义】解：'()2f x x = (1)'(1)2f =；(2)'(1.1) 2.2f =；(3)'(2)4f -=-；(4)'()2f t t =. 4.求函数12()f x x =在(1,1)处的切线方程. 【知识点：导数的几何意义】解：'()f x =1'(1)2f ∴=,∴函数在(1,1)处的切线方程为1122y x =+. （三）课后作业 基础型1.下列结论不正确的是( )A.若0=y ，则0='yB.若x y 5=，则5='yC.若1-=x y ，则2--='x y D.若21x y =，则212-='x y【知识点：导数的求法】 解：D2.若函数x x f =)(，则)1(f '等于( )A.0B.12-C.2D.12【知识点：导数的求法】 解：D 3.抛物线241x y =在点(2,1)处的切线方程是( ) A.01=--y x B.03=-+y x C.01=+-y x D.01=-+y x 【知识点：导数的几何意义】 解：A4.已知3)(x x f =，则)2(f '＝( ) A.0 B.23x C.8 D.12 【知识点：导数的求法】 解：D5.质点作直线运动的方程是4t s =，则质点在3=t 时的速度是( ) 【知识点：导数的循物理意义】 A.43341 B.34341 C.34321 D.43431解：A 能力型6.过点P (－2,0)作曲线x y =的切线，求切线方程. 【知识点：导数的求法】解：因为点P 不在曲线x y =上，故设切点为Q (x 0，∵'y =，∴过点Q 的切线0=，∴x 0＝2，∴切线方程为：2)y x -=-，即：x－＋2＝0.7.质点的运动方程为21t s =，求质点在第几秒的速度为264-. 【知识点：导数的物理意义】解析：∵21t s =，∴221)(1t t t s -∆+=∆2222)()(t t t t t t ∆+∆+-=222)()(2t t t t t t ∆+∆+∆-=， ∴322022limt t t t t s t -=⋅-=∆∆→∆.∴64223-=-t，∴4=t .即质点在第4秒的速度为264- 8.求曲线xy 1=与2x y =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积. 【知识点：导数的几何意义】解：两曲线方程联立得⎪⎩⎪⎨⎧==21x y x y ，解得⎩⎨⎧==11y x .∴21x y -='，∴11-=k ，2|212===x x k ，∴两切线方程为02=-+y x ，012=--y x .∴1131(2).224S =⨯⨯-=探究型9.函数2x y =)0(>x 的图像在点),(2k k a a 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1+k a ，其中+∈N k ，若1a ＝16，则531a a a ++的值是________. 【知识点：导数的几何意义】 解：21解析：∵x y 2='，∴过点),(2k k a a 的切线方程为)(22k k k a x a a y -=-，又该切线与x 轴的交点为(1+k a ,0)，所以1+k a ＝12k a ，即数列}{k a 是等比数列，首项1a ＝16，其公比q ＝12，∴3a ＝4，5a ＝1，∴531a a a ++＝21. （四）自助餐1.已知a x x f =)(，若2)1(-=-'f ，则a 的值等于( ) A.2 B.－2 C.3 D.－3 【知识点：导数的求法】 解：A2.函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于( ) 【知识点：导数的求法】 A.1 B.2 C.3 D.4 解：D3.曲线2x y =在点P 处切线斜率为k ，当2=k 时的P 点坐标为( )A.(－2，－8)B.(－1，－1)C.(1,1)D.11(,)28--【知识点：导数的求法】 解：C4.已知2)1()(x f x f '=，则)0(f '等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【知识点：导数的求法】 解：A5.曲线3x y =上的点P 的切线方程为( ) A.x y -= B.0=x C.0=y D.不存在 【知识点：导数的求法】 解：B6.若x y =表示路程关于时间的函数，则1='y 可以解释为________. 【知识点：导数的物理意义】解：某物体做瞬时速度为1的匀速运动.7.若曲线2x y =的某一切线与直线64+=x y 平行，则切点坐标是________. 【知识点：导数的几何意义】 解：(2，4) 8.过抛物线251x y =上点4(2,)5A 的切线的斜率为______________.【知识点：导数的几何意义】解：459.已知曲线xy 1=. (1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q (1,0)处的切线方程；(3)求满足斜率为13-的曲线的切线方程.【知识点：导数的几何意义】 解：∵1y x =,21'y x∴=-.(1)显然P (1,1)是曲线上的点.所以P 为切点，所求切线斜率为函数xy 1=在P (1,1)点导数.即1)1(-='=f k .所以曲线在P (1,1)处的切线方程为)1(1--=-x y ，即为2+-=x y .(2)显然Q (1,0)不在曲线x y 1=上.则可设过该点的切线的切点为)1,(aa A ，那么该切线斜率为21)(a a f k -='=.则切线方程为)(112a x aa y --=-.① 将Q (1,0)坐标代入方程：)1(1102a aa --=-.解得21=a ，代回方程①整理可得：切线方程为44+-=x y .(3)设切点坐标为)1,(a a A ，则切线斜率为21)(a a f k -='==13-，解得a ＝，那么)33,3(A ，)33,3(--'A .代入点斜式方程得)3(3133--=-x y 或)3(3133+-=+x y .整理得切线方程为33231+-=x y 或33231--=x y .。
计算导数教案
计算导数教案一、教学目标：1. 理解导数的概念和意义。
2. 掌握常见初等函数的导数计算方法。
3. 能够应用导数计算问题中的相关量。
二、教学重点：1. 导数的定义和求导法则。
2. 导数在函数图象上的几何意义。
三、教学难点：1. 导数的应用问题。
2. 复合函数的导数计算。
四、教学过程：1. 物理和实际问题中的变化率（1）通过举例和实例引起学生的思考，引出关于速度、加速度等变化率的概念。
（2）引导学生发现物理和实际问题中的变化率与导数之间的联系，导入导数的定义和概念。
2. 导数的定义和求导法则（1）引导学生回忆函数极限的概念，引出导数的定义。
（2）介绍常见初等函数的导数计算方法，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
（3）讲解导数的四则运算法则和链式法则。
（4）给出一些导数计算的练习题，加强学生对于导数的理解和运用能力。
3. 导数在函数图象上的几何意义（1）通过分析函数图象上一个点的切线斜率，引出导数的几何意义。
（2）通过绘制函数图象和切线，让学生直观感受导数与切线的关系。
（3）通过求极值点和拐点等问题，加深学生对导数几何意义的理解。
4. 导数的应用问题（1）介绍导数在物理和实际问题中的应用，如速度、加速度、弹性、利润、成本等。
（2）通过实例分析和讨论，引导学生应用导数计算相关量。
（3）给出一些导数应用问题的练习题，以提高学生的解决实际问题的能力。
5. 复合函数的导数计算（1）介绍复合函数的概念和运算法则。
（2）讲解复合函数的导数计算方法，如链式法则和隐函数法则。
（3）给出一些复合函数的导数计算的练习题，加强学生对于复合函数导数的掌握。
六、教学方法：1. 教师讲授与学生讨论相结合的方法，培养学生的问题分析和解决能力。
2. 通过示例和实例引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
3. 运用多种教学手段，如讲解、举例、提问等，提高教学效果。
七、教学资源：黑板、粉笔、教师所编讲义、学生所编讲义、相关练习题。
八、教学评价：1. 学生课堂参与度。
导数的运算教案大学
课程名称：高等数学授课对象：大学本科生课时安排：2课时教学目标：1. 理解导数的四则运算法则，掌握其应用。
2. 通过实例练习，提高运用导数四则运算法则解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。
教学重点：1. 导数的四则运算法则。
2. 运用导数四则运算法则解决实际问题。
教学难点：1. 理解导数四则运算法则的推导过程。
2. 正确运用导数四则运算法则解决实际问题。
教学准备：1. 多媒体课件2. 导数四则运算法则的相关资料3. 实例练习题教学过程：第一课时一、导入1. 复习导数的定义和求导方法。
2. 引入导数的四则运算法则，提出本节课的学习目标。
二、新课内容1. 导数的四则运算法则：（1）导数的加法法则：若f(x)和g(x)在x处可导，则[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)。
（2）导数的减法法则：若f(x)和g(x)在x处可导，则[f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)。
（3）导数的乘法法则：若f(x)和g(x)在x处可导，则[f(x)g(x)]' =f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
（4）导数的除法法则：若f(x)和g(x)在x处可导，且g(x) ≠ 0，则[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2。
2. 导数四则运算法则的推导过程。
3. 运用导数四则运算法则解决实际问题。
三、实例练习1. 给出几个函数，让学生运用导数四则运算法则求出它们的导数。
2. 给出几个实际问题，让学生运用导数四则运算法则解决。
四、总结1. 总结本节课所学内容，强调导数四则运算法则的重要性。
2. 布置课后作业，巩固所学知识。
第二课时一、复习1. 复习上节课所学的导数四则运算法则。
2. 提出本节课的学习目标。
二、新课内容1. 深入探讨导数四则运算法则的应用。
大学数学导数运算详细教案
课时安排：2课时教学目标：1. 理解导数的概念，掌握导数的定义和求导方法。
2. 熟练运用导数的四则运算法则，解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
教学重点：1. 导数的定义和求导方法。
2. 导数的四则运算法则。
教学难点：1. 导数的概念理解。
2. 导数的四则运算法则的应用。
教学过程：第一课时一、导入1. 复习函数的基本概念，如函数的定义、函数的图像等。
2. 提问：如何研究函数在某一点处的性质？引入导数的概念。
二、新知讲解1. 导数的定义：- 给出导数的定义，解释导数的几何意义和物理意义。
- 通过举例说明导数的计算方法。
2. 求导方法：- 讲解求导的基本方法，如直接求导、复合函数求导、隐函数求导等。
- 通过具体例子演示求导过程。
三、课堂练习1. 学生独立完成以下练习题：- 求函数f(x) = x^2在x=1处的导数。
- 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1的导数。
- 求函数f(x) = sin(x)在x=π/2处的导数。
四、课堂小结1. 总结导数的定义和求导方法。
2. 强调导数在研究函数性质中的应用。
第二课时一、导入1. 复习上节课的内容，回顾导数的定义和求导方法。
2. 提问：如何利用导数解决实际问题？引入导数的四则运算法则。
二、新知讲解1. 导数的四则运算法则：- 讲解导数的四则运算法则，包括和、差、积、商的求导法则。
- 通过具体例子演示四则运算法则的应用。
2. 导数的应用：- 讲解导数在研究函数性质中的应用，如函数的单调性、极值、最值等。
- 通过具体例子说明如何利用导数解决实际问题。
三、课堂练习1. 学生独立完成以下练习题：- 求函数f(x) = x^2 + 3x - 2在x=1处的导数。
- 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1的导数，并求其在x=0处的导数值。
- 利用导数研究函数f(x) = sin(x)的单调性。
四、课堂小结1. 总结导数的四则运算法则。
导数的计算(教)新课教案
导数的计算一、考点热点回顾教学目标：1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式；教学难点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式．几个常见函数的导数探究1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c cx x x∆+∆--===∆∆∆所以00lim lim 00x x yy ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．探究2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x x x x x ∆+∆-+∆-===∆∆∆所以00lim lim 11x x yy x ∆→∆→∆'===∆1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 探究3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x ∆+∆-+∆-==∆∆∆2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00limlim(2)2x x yy x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．探究4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011limlim()x x y y x∆→∆→∆'==-=-∆探究5．函数()y f x ==的导数因为()()y f x x f x x x∆+∆-==∆∆==所以0limlim x x y y x ∆→∆→∆'===∆（2）推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=二、典型例题1．下列各式正确的是( )A. (sin α)′＝cos α(α为常数)B. (cos x )′＝sin xC. (sin x )′＝cos xD. (x －5)′＝－15x －6【答案】C【解析】由导数运算法则易得，注意A 选项中的α为常数，所以(sin α)′＝0. 选C 2．下列求导运算正确的是（ ） A. '1(2)=2x x x -⋅ B. 2'211()2x x x x -=-C. '(3)3x xe e = D. ()'2cos sin ()cos cos x x x xx x -= 【答案】C【解析】由题意结合导函数的运算法则和导数计算公式可得：()2'2ln2xx=⨯， 2211'2x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭， ()3'3x x e e =，()2cos sin 'cos cos x x x xx x +⎛⎫= ⎪⎝⎭.本题选择C 选项.3．已知()3ln3xf x =+，则()f x '等于( )A. 3xB. 13ln33x +C. 33ln3x x +D. 3ln3x 【答案】D【解析】由题意结合导数的运算法则有：()()()'3'ln3'3ln303ln3x x x f x =+=+=.本题选择D 选项.4．函数()()21f x x =+的导函数为（ ）A. ()1f x x '=+B. ()21f x x '=+C. ()2f x x '=+D. ()22f x x '=+ 【答案】D【解析】因为()()22121f x x x x =+=++，所以()22f x x '=+，应选答案D 。