最新初中数学方程与不等式之分式方程经典测试题含答案

最新初中数学方程与不等式之分式方程经典测试题含答案
一、选择题
1．已知关于x 的分式方程213x m
x -=-的解是非正数，则m 的取值范围是（ ）
A ．3m ≤
B ．3m <
C ．3m >-
D ．3m ≥-
【答案】A
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m 的范围即可
【详解】
213x m
x -=-，
方程两边同乘以3x -，得
23x m x -=-，
移项及合并同类项，得
3x m =-， 分式方程213x m
x -=-的解是非正数，30x -≠，
30
(3)30m m -≤⎧∴⎨--≠⎩，
解得，3m ≤，
故选：A ．
【点睛】
此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则求出m 的值
2．对于非零实数a 、b ，规定a ⊗b ＝21
a
b a -．若x ⊗（2x ﹣1）＝1，则x 的值为（
）
A ．1
B ．13
C ．﹣1
D ．-1
3
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
解：根据题中的新定义可得：()21x x ⊗-=21
121x
x x -=-，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解，
故选A ．
【点睛】
本题考查了新定义、解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
3．方程
22111x x x x -=-+的解是（ ） A ．x ＝12 B ．x ＝15 C ．x ＝14 D ．x ＝14
【答案】B
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：去分母得：2x 2+2x ＝2x 2﹣3x+1，
解得：x ＝15
， 经检验x ＝
15是分式方程的解， 故选B ．
【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
4．已知关于x 的分式方程
13222mx x x -+=--有解,则m 应满足的条件是（ ） A ． 1 2m m ≠≠且
B ．2m ≠
C ．1m =或2m =
D ．1m ≠或2m ≠ 【答案】A
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程(m-2)x=-2，由分式方程有解可知m-2≠0，最简公分母x-2≠0，求出x 的值，进一步求出m 的取值即可.
【详解】 13222mx x x
-+=--， 去分母得，1-（3-mx ）=2(x-2)
整理得，（m-2）x=-2 ∵分式方程
13222mx x x
-+=--有解， ∴m-2≠0，即m≠2，
∴22x m -=- ∵分式方程
13222mx x x
-+=--有解， ∴x-2≠0，即x≠2， ∴222
m -≠-，解得，m≠1， 所以，m 的取值为： 1 m ≠且2m ≠
故选：A.
【点睛】
此题主要考查了分式方程的求解，关键是会解出方程的解，注意隐含条件.
5．分式方程
22111x x x -=--，解的情况是（ ） A ．x ＝1
B ．x ＝2
C ．x ＝﹣1
D ．无解
【答案】D
【解析】
【分析】
观察式子确定最简公分母为（x+1）（x ﹣1），再进一步求解可得．
【详解】
方程两边同乘以（x+1）（x ﹣1），得：
x （x+1）﹣（x 2﹣1）＝2，
解方程得：x ＝﹣1，
检验：把x ＝﹣1代入x+1＝0，
所以x ＝﹣1不是方程的解．
故选：D ．
【点睛】
此题考查分式方程的解，掌握运算法则是解题关键
6．关于x 的方程
无解，则m 的值为（ ）
A ．﹣5
B ．﹣8
C ．﹣2
D ．5
【答案】A
【解析】
解：去分母得：3x ﹣2=2x +2+m ①．由分式方程无解，得到x +1=0，即x =﹣1，代入整式方程①得：﹣5=﹣2+2+m ，解得：m =﹣5．故选A ．
7．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的吋间比规定时间少3天，已知快马
的速度是慢马的2倍，求规定时间. 设规定时间为x天，则可列方程为（）.
A．900900
2
13
x x
⨯=
+-
B．
900900
2
13
x x
=⨯
+-
C．900900
2
13
x x
⨯=
-+
D．
900900
2
13
x x
=⨯
++
【答案】A
【解析】
【分析】
设规定时间为x天，得到慢马和快马所需要的时间，根据速度关系即可列出方程.【详解】
设规定时间为x天，则慢马的时间为（x+1）天，快马的时间是（x-3）天，
∵快马的速度是慢马的2倍，
∴900900
2
13 x x
⨯=
+-
，
故选：A.
【点睛】
此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程.
8．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）
A．10
x
-
10
2x
=20 B．
10
2x
-
10
x
=20 C．
10
x
-
10
2x
=
1
3
D．
10
2x
-
10
x
=
1
3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
【详解】
由题意可得，
10 x -
10
2x
=
1
3
，
故选：C．
【点睛】
此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
9．如果关于x 的分式方程11222a x x
-+=--有整数解，且关于x 的不等式组43(1)211(1)22x x x x a ≥-⎧⎪⎨-+<-⎪⎩
有且只有四个整数解，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．4
B ．-2
C ．-3
D ．2 【答案】A
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，不等式组整理后，由解只有四个整数解，确定出a 的值，求出之和即可．
【详解】
解：分式方程去分母得：1-a+2x-4=-1， 解得：22a x +=，且222
a +≠，a 为偶数， 即2a ≠，a 为偶数， 不等式组整理得：34x a x ≥-⎧⎪⎨⎪⎩
＜， 由不等式组只有四个整数解，得到x=-3，-2，-1，0，
可得0＜
4
a ≤1，即0＜a≤4，即a=1，2，3，4， 经检验a=4，
则和为4，
故选：A ．
【点睛】 此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．某车间加工12个零件后，采用新工艺，工效比原来提高了50%，这样加工同样多的零件就少用1小时，那么采用新工艺前每小时加工的零件数为 （ ）
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，找出题目的等量关系，列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，得：
12121(150%)
x x -=+， 解得：4x =；
经检验，4x =是原分式方程的解.
∴那么采用新工艺前每小时加工的零件数为4个；
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，其中找出方程的关键语，找出数量关系是解题的关键．注意解分式方程需要检验．
11．初二18班为课外体育活动购买了实心球和跳绳．已知跳绳的单价比实心球的单价贵40元，购买实心球总花费为1610元，购买跳绳总花费为1650元，购买实心球的数量比跳绳的数量多8个，求实心球的单价．设实心球单价为x 元，所列方程正确的是（ ） A ．
16501610840x x -=+ B ．16501610840x x -=+ C ．16101650840
x x -=+ D ．16101650840x x -=+ 【答案】C
【解析】
【分析】
设实心球单价为x 元，则跳绳单价为()40x +元，根据“购买实心球的数量比跳绳的数量多
8个”即可得到方程．
【详解】 解：设实心球单价为x 元，则跳绳单价为()40x +元，根据题意得，
16101650840
x x -=+． 故选：C
【点睛】
本题考查了分式方程的实际应用，解答本题的关键是审清题意，找到等量关系即可得解．
12．九年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了25分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ）
A ．1010253x x
-= B ．1010253x x -= C ．10105312x x -= D ．10105312
x x -= 【答案】D
【解析】
【分析】
设骑车学生的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x,先分别表示出骑自行车学生和乘汽车学生所用时间，然后根据题中所给的等量关系,即可列出方程．
【详解】
解：设骑车学生的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x
由题意得：10105
312 x x
-=
故答案为D．
【点睛】
本题考查了出分式方程的应用，明确题意、确定等量关系是解答本题的关键．
13．如果关于x的分式方程有负数解，且关于y的不等式组
无解，则符合条件的所有整数a的和为（）
A．﹣2 B．0 C．1 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
解关于y的不等式组，结合解集无解，确定a的范围，再由分式方程
有负数解，且a为整数，即可确定符合条件的所有整数a的值，最后求所有符合条件的值之和即可．
【详解】
由关于y的不等式组，可整理得
∵该不等式组解集无解，
∴2a+4≥﹣2
即a≥﹣3
又∵得x＝
而关于x的分式方程有负数解
∴a﹣4＜0
∴a＜4
于是﹣3≤a＜4，且a为整数
∴a＝﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3
则符合条件的所有整数a的和为0．
故选B ．
【点睛】
本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．
14．已知关于x 的分式方程
21m x -+=1的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m≤3
B ．m≤3且m≠2
C ．m ＜3
D ．m ＜3且m≠2 【答案】D
【解析】
【分析】
解方程得到方程的解，再根据解为负数得到关于m 的不等式结合分式的分母不为零，即可求得m 的取值范围.
【详解】 21
m x -+=1， 解得：x=m ﹣3，
∵关于x 的分式方程
21
m x -+=1的解是负数， ∴m ﹣3＜0，
解得：m ＜3，
当x=m ﹣3=﹣1时，方程无解，
则m≠2，
故m 的取值范围是：m ＜3且m≠2，
故选D ．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的分母不为零是解题关键．
15．解分式方程
21211
x x =--时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ） A ．x +1＝2（x ﹣1） B ．x ﹣1＝2（x +1） C ．x ﹣1＝2 D ．x +1＝2
【答案】D
【解析】
【分析】
先确定分式方程的最简公分母，然后左右两边同乘即可确定答案；
【详解】
解：由题意可得最简公分母为（x+1）（x-1）
去分母得：x +1＝2，
故答案为D．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，解答的关键在于最简公分母的确定.
16．若关于x的分式方程
3
2
22
x m m
x x
+
+=
--
有增根，则m的值为（）
A．1-B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程，满足即可．
【详解】
解：方程两边都乘x﹣2，
得x+m﹣3m＝2（x﹣2），
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，
解得x＝2，
当x＝2时，2+m﹣3m＝0，
∴m＝1，
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，难度适中．确定增根可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定可能的增根；
②化分式方程为整式方程；
③把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的值即为分式方程的增根．
17．2017年，全国部分省市实施了“免费校车工程”．小明原来骑自行车上学，现在乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．已知小明家距学校5千米，若校车速度是他骑车速度的2倍，设小明骑车的速度为x千米/时，则下面所列方程正确的为()
A．5
x
＋
1
6
＝
5
2x
B．
5
x
＝
5
2x
＋
1
6
C．
5
x
＋10＝
5
2x
D．
5
x
－10＝
5
2x
【答案】B
【解析】
【分析】
设小明骑车的速度为x千米/小时，校车速度为2x千米/小时，等量关系为：小明骑车所走的时间减去校车所走的时间=10分钟，据此列方程．
【详解】
设小明骑车的速度为x 千米/小时，校车速度为2x 千米/小时，
由题意得,
5x ＝52x ＋16
所以答案为B.
【点睛】 本题考查了分式方程，解题的关键是根据实际问题列出分式方程.
18．小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱， 却比上次多买了 2 本．若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程（ ） A ．
24x 2+ -20 x =1 B ．20x -24 x 2+ =1 C ．24x - 20x 2
+ =1 D ．20x 2+ -24 x =1 【答案】B
【解析】
试题解析：设他上月买了x 本笔记本，则这次买了（x+2）本， 根据题意得：
2020412x x +-=+， 即：202412
x x -=+． 故选B ．
考点：分式方程的应用.
19．关于x 的分式方程26344
ax x x -+=---的解为正数，且关于x 的不等式组172
2x a x x >⎧⎪⎨+≥-⎪⎩有解，则满足上述要求的所有整数a 的绝对值之和为（ ） A ．12
B ．14
C ．16
D ．18
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分式方程的解为正数即可得出a ＜2且a≠1，根据不等式组有解，即可得出a ＞-5，找出-5＜a ＜2且a≠1中所有的整数，将其相加即可得出结论．
【详解】 解分式方程26344
ax x x -+=---得：x=43a -， 因为分式方程的解为正数，
所以
43a -＞0且43a
-≠4， 解得：a ＜3且a≠2， 解不等式172
2x a x x >⎧⎪⎨+≥-⎪⎩，得：x≤a+7， ∵不等式组有解，
∴a+7＞1，
解得：a ＞-6，
综上，-6＜a ＜3，且a≠2，
则满足上述要求的所有整数a 的绝对值的和为：
|-5|+｜-4｜+｜-3｜+｜-2｜+｜-1｜+｜0｜+｜1｜=16，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组有解，找出-6＜a ＜3且a≠2是解题的关键．
20．如果关于x 的方程2430ax x +-=有两个实数根，且关于x 的分式方程 233x a a x x
-+=--有整数解，则 符合条件的整数a 有（ ）个． A ．2 B ．3 C ．4
D ．5 【答案】B
【解析】
【分析】
由一元二次方程根的判别式求得a 的取值范围，再解分式方程，利用解为整数分析得出答
案．
【详解】
解：因为：关于x 的方程2430ax x +-=有两个实数根，
所以：244(3)0a -⨯-≥，且0a ≠， 解得：43a ≥-且0a ≠， 因为：
233x a a x x
-+=--， 所以：23x a ax a -+=-，
所以：(1)22a x a -=+， 当1a =时，方程无解，
当1a ≠时，方程的解为224211
a x a a +==+--，
因为x 为整数且3x ≠，
所以1a -是4的约数，所以11,12,14,a a a -=±-=±-=±
所以a 的值为：3,1,0,2,3,5--， 又因为：43
a ≥-且0a ≠，1,a ≠ 3x ≠， 所以3,0,5a a a =-==不合题意舍掉，
所以a 的值为：1,2,3,-．
故选B ．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式方程的解的情况，掌握知识点并能注意到分式方程的增根是解题关键．。