05_二阶线性常微分方程的级数解法解析
二阶线性常微分方程的级数解法
由 Frobenius & Fuchs 定理，微分方程的两个解可写成 ：
y1(x) = xρ1a0 + a1 x + a2 x2 + …, y2(x) = xρ2a0′ + a1′ x + a2′ x2 + …,
因为 ρ2 - ρ1 是非整数 ，故 y2(x) / y1(x) 不可能等于常数 ，y2(x) 和 y1(x) 线性无关 ，其线性组合构成微分方程的通解 。
代入微分方程 (1. 13) 式，将得到以下形如 ck xk = 0 的幂级数形式 ，
k
∞
(k + ρ) (k + ρ - 1) + (k + ρ) g0 + g1 x + g2 x2 + … + h0 + h1 x + h2 x2 + … ak xk+ρ = 0
k=0
因为是解析函数的展开，由唯一性定理，各幂次的系数 ck = 0。 看最低幂次 xρ 项的系数（对应于上式的 k = 0 项）：[ρ(ρ - 1) + ρ g0 + h0] a0 = 0 由 Frobenius & Fuchs 定理，形式解的系数 a0 ≠ 0，故可得到一个关于指标的一元二次方程：
x2 y″ + x g(x) y′ + h(x) y = 0, 其中：g(x) 和 h(x) 在 x = 0 点解析
据 Frobenius & Fuchs 定理，该微分方程必定存在一个如下形式的解：
∞
y = xρ ak xk, 其中 a0 ≠ 0 （若为常点 ，则对应于 ρ = 0）
k=0
对级数形式的 y(x) 求导,
大学物理-二阶线性常微分方程的一般性质
设方程 (7-1-6) 的正则解为：
(7-1-7)
(7-1-8)
将 (7-1-7)、(7-1-8) 代入 (7-1-6) 式中，得到
消去因子 z ，有
(7-1-9)
要使上式在 |z| < R 的区域内成立，左边 z 的各次幂的 系数必须等于零。
由 z 的最低次幂的系数为零，得到
(a0,b0为已知)
(7-1-11) 一般可以得到两组系数。
(7-1-1)
(7-1-2)
或
(7-1-3)
其中：
是常数
可以看到，在 z0 是方程的奇点的情形下，如果 1 或 者 2 不是整数，或者 g ≠ 0，方程都有多值函数解。
显然，把解 (7-1-1), (7-1-2) 或 (7-1-3) 代入方程中去确
定 1, 2 , g, Ck , Dk 时会发现所得到的是一组无穷多个未
性、单值性等) 由方程的系数 p(z) 和 q(z) 的解析性确定。
设 p(z) 和 q(z) 在一定的区域中，除若干个孤立奇点外， 是 z 的单值解析函数。区域中的点可分为两类：
1. 方程的常点：如果 p(z) 和 q(z) 都在点 z0 的邻域解析， 则 z0 称为方程的常点。
2. 常点邻域的级数解
以 z2 乘方程
(7-1-5)
得到
(7-1-6)
其中
p1(z) zp(z) q1(z) ห้องสมุดไป่ตู้2q(z)
(7-1-6)
由条件 (7-1-4) 可知：p1(z) , q1(z) 在 z = 0 点及其邻域内是解 析的，将它们分别作泰勒展开，有
q1(z) bs zs s0
p1(z) as zs s0
(z – z0) p(z) 和 (z – z0)2 q(z) 在 0 < |z – z0| < R 中解析。(7-1-4)
微分方程的级数解法
微分方程的级数解法微分方程是数学中的一门重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
在微分方程的解法中，级数解法是一种常见且有效的方法。
本文将介绍微分方程的级数解法，并通过具体的例子来说明其应用。
一、级数解法的基本思想级数解法是通过将微分方程的解表示为级数形式，然后利用级数的性质来求解微分方程。
其基本思想是将未知函数表示为幂级数的形式，然后将其代入微分方程中，通过比较系数的方法确定级数的各项。
二、级数解法的步骤级数解法的步骤可以概括为以下几个方面：1. 假设未知函数的级数解形式，通常选择幂级数形式，如y(x)=∑(n=0)^(∞)a_n(x-x_0)^n。
2. 将级数解代入微分方程中，得到方程的各项。
3. 比较方程两边各项的系数，得到递推关系式。
4. 解递推关系式，确定级数解中的各项系数。
5. 根据级数解的收敛性，确定级数解的有效区间。
三、例子：求解二阶常系数线性齐次微分方程考虑一个二阶常系数线性齐次微分方程：y''(x)+ay'(x)+by(x)=0，其中a、b为常数。
假设未知函数的级数解形式为y(x)=∑(n=0)^(∞) a_nx^n。
将级数解代入微分方程中，得到：∑(n=0)^(∞) a_n(n(n-1)x^(n-2)+anx^(n-1)+bx^n)=0。
比较方程两边各项的系数，得到递推关系式：a_0=0，a_1=0，(n(n-1)a_n+a(n+1)a_(n+1)+ba_n)=0。
解递推关系式，确定级数解中的各项系数：由a_0=0可知，a_n=0(n≥0)。
根据递推关系式，可得：a_2=-ba_0/(2(2-1))=-b/2，a_3=-ba_1/(3(3-1))=0，a_4=-ba_2/(4(4-1))=b^2/(2*4)，...根据级数解的收敛性，确定级数解的有效区间：根据级数解的收敛性定理，级数解的有效区间至少包含级数展开点x=0。
因此，级数解的有效区间为整个实数集。
二阶线性常微分方程的幂级数解法
二阶线性常微分方程的幂级数解法从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。
因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程''0y xy -=的通解解：设2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到x -∞<<∞2210a ⋅=，30320,a a ⋅-= 41430,a a ⋅-= 52540,a a ⋅-=或一般的可推得32356(31)3k a a k k =⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，13134673(31)k a a k k +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得：这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。
例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。
解 设级数2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。
首先，利用初值条件，可以得到00a =， 11a =，因而将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到 因而 最后得21111(1)!!k a k k k +=⋅=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。
将i a (0,1,2,)i =的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 这就是方程的满足所给初值条件的解。
是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的形式怎样？其收敛区间又如何?这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程，可参考有关书籍。
二阶常微分方程解法
二阶常微分方程解法二阶常微分方程是数学中常见的方程形式，可以通过不同的方法来求解。
本文将介绍二阶常微分方程的解法，并通过例题来说明具体步骤。
一、齐次二阶常微分方程的解法齐次二阶常微分方程的一般形式为：y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0齐次二阶常微分方程的解法步骤如下：1. 首先，设y=e^(λx)为方程的解，其中λ为待定常数。
2. 求解特征方程λ^2 + P(x)λ + Q(x) = 0的根。
设该方程的根为λ1和λ2。
3. 根据特征根λ1和λ2的值，分别列出对应的解y1=e^(λ1x)和y2=e^(λ2x)。
4. 则原方程的通解为y=C1y1 + C2y2，其中C1和C2为任意常数。
例题1：求解二阶常微分方程y'' - 4y' + 4y = 0。
解题步骤：1. 特征方程为λ^2 - 4λ + 4 = 0，解得λ=2。
2. 因此，对应的特解为y1=e^(2x)。
3. 原方程的通解为y=C1e^(2x) + C2xe^(2x)，其中C1和C2为任意常数。
二、非齐次二阶常微分方程的解法非齐次二阶常微分方程的一般形式为：y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x)非齐次二阶常微分方程的解法步骤如下：1. 首先，求解对应的齐次方程y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0的通解，假设为y=C1y1 + C2y2。
2. 再根据待定系数法，设非齐次方程的特解为y*，代入原方程得到特解的形式。
3. 求解特解形式中的待定系数，并将特解形式代入原方程进行验证。
4. 特解形式正确且验证通过后，非齐次方程的通解为y=C1y1 +C2y2 + y*。
例题2：求解二阶常微分方程y'' - 4y' + 4y = x^2 + 3x + 2。
解题步骤：1. 对应的齐次方程的通解为y=C1e^(2x) + C2xe^(2x)，其中C1和C2为任意常数。
二阶线性常微分方程求解
二阶线性常微分方程求解
二阶线性常微分方程是一种重要的微分方程，它是一个双重阶的微分方程，包含一个高阶导数和一个一阶导数，可以用来描述物理过程中特定变量之间的变化。
它可以用来描述复杂系统的行为，从而为我们提供一种有效的解决方法。
二阶线性常微分方程的一般形式为：y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)，其中y是一个未知函数，P(x)和Q(x)是确定的函数，f(x)是给
定的函数。
二阶线性常微分方程的解法有多种，但是最常用的是牛顿迭代法。
牛顿迭代法是一种迭代法，它可以解决二阶线性常微分方程。
牛顿迭代法的基本思想是：将二阶线性常微分方程分解为两个一阶线性常微分方程，然后采用牛顿迭代法迭代求解。
牛顿迭代法的步骤如下：（1）确定初值，即设定y(x0)和
y'(x0)的初始值；（2）求解y'(x0)的值，即求解一阶线性常微
分方程；（3）求解y(x0)的值，即求解二阶线性常微分方程；（4）将求得的y(x0)和y'(x0)作为下一次迭代的初始值，重复
步骤（2）和（3），直到满足给定精度要求为止。
二阶线性常微分方程在工程学和物理学中都有着广泛的应用，例如，可以用它来模拟物理系统的运动，从而获得精确的解决方案；也可以用它来解决水利工程中的洪水问题，从而获得最优的解决方案。
总之，二阶线性常微分方程可以用来模拟各种复杂物理过程，牛顿迭代法是一种有效的解决方法，它可以帮助我们获得更准确的解决方案。
二阶线性常微分方程
二阶线性常微分方程二阶线性常微分方程（Second-order linear ordinary differential equation）是微积分中常见的一类数学方程。
它具有以下标准形式：y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)其中，y是未知函数，x是自变量，y''表示y对x的二阶导数，y'表示y对x的一阶导数。
而p(x)，q(x)，f(x)是给定的函数。
解二阶线性常微分方程需要求出其一般解或特解。
下面我们将介绍两种常见的解法方法。
1. 特征方程法对于二阶线性常微分方程而言，我们可以首先考虑其对应的特征方程。
将方程转化为特征方程后，解出特征方程的根，再根据不同情况求解方程。
特征方程形式如下：r^2 + p(x)r + q(x) = 0在解特征方程时，可能会出现以下三种情况：情况1：特征方程有两个相异实根r1和r2。
此时，原方程的通解可以表示为：y(x) = C1e^(r1x) + C2e^(r2x)其中C1和C2为待定常数。
情况2：特征方程有两个相等实根r。
此时，原方程的通解可以表示为：y(x) = (C1 + C2x)e^(rx)其中C1和C2为待定常数。
情况3：特征方程有两个共轭虚根α+βi和α-βi。
此时，原方程的通解可以表示为：y(x) = e^(αx)(C1cos(βx) + C2sin(βx))其中C1和C2为待定常数。
通过求解特征方程并根据不同情况求解方程，我们可以得到原方程的一般解。
2. 常数变易法除了特征方程法之外，我们还可以通过常数变易法来解决二阶线性常微分方程。
常数变易法的基本思路是，首先猜测通解形式，然后将通解带入原方程，求解待定常数。
例如，对于形如y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)的方程，我们可以猜测通解形式为y = u(x)y1(x)，其中y1(x)是该方程对应的齐次线性方程的一个特解，u(x)是待定函数。
二阶线性常微分方程的级数解法和广义傅里叶级数
接着对常见的变系数线性微分方程进行分类，介绍了如何用 幂级数解法和弗罗贝尼乌斯级数解法求解正则奇点的二阶常微分 方程。
最后对常见的施图姆-刘维尔型微分方程的特征值和特征函 数的性质作了系统的介绍。
sin 9 ))| = sin 2 9 - 2 cos9 = (1 - x2 ) - 2x
这样式(5.1-20)可以写成
(1- x2 ) - 2x + n(n + 1)-
y = 0 (5.1-21)
式(5.1-21)是常见的勒让德方程的一般形式， 称为连带勒让德方程。
17
5.1.2
令m = 0 ，得到
(2) 若p(x)和q(x)中至少有一个不满足(x _ x0 )p(x), (x _ x0 )2 q(x)在
x0点解析， 则x0称为方程(5.3-1)的本性奇点。在本性奇点附近， 方
x 程至少有一解在x0 有本性奇点，
而另一解可能是y =
w
an
(x
_
)n+p
x0
，
n=0
但它往往是发散的， 这种情况在数理方程中不多见， 这里不讨论它。
上式代入式(5.1-7)，得到
(5.1-8)
p p + R，， 2
R，+ 入p2
= - = O，， 山
RR
O
式中山为常数。上式是两个常微分方程，分别是
p2 + p + (入p2 - 山)R = 0
(5.1-9)
O，，+ 山O = 0
8
5.1.1
由于V(p,9)是单值函数，所以内(9)应满足周期性边界条件，因而有
二阶线性常微分方程的级数解法解析课件
fn
(s)
sPn
Qn
.
(n 1, 2,
)，由于a0 0，必有
f0 (s) s(s 1) sP0 Q0 0 上式为指标方程，其根s1和s2称为正则奇点的指标数.
从而得到方程的一个解w1(z) (z z0 )s1 ak (z z0 )k k 0
求第二个特解
1 s1 s2 整数包括零，则在所设解中取s s2，此时f0 (s2 ) 0，
由于J m
(x)
k 0
k
(1)k !(m
k
1)
( x )m2k，其中m为整数，当 2
k m时， m k 1为负数，函数的值为无穷大，因此对k
求和是从k
m开始，即J m
(x)
k m
k
(1)k !(m
k
1)
( x)m2k 2
令n k m，求和指标从k变到m，则有
Jm (x)
dz2 z dz
z2
在有限远处的奇点为z0 0，且z0 0 是方程的正则奇点.
5.2 方程常点邻域内的解
1.常点邻域内的级数解定理
若p(z)和q(z)在圆形域 | z z0 | R内单值解析，则常微分初值问题
d 2w
dz 2
p(z)
dw dz
q(z)w
0
w(z0 ) a0 , w(z0 ) a1
f0 (s2 k) 0，k 1, 2, 对任选a0 0可唯一确定另外一个解
w2 (z) (z z0 )s2 bk (z z0 )k，w1(z)和w2 (z)线性无关. k 0
2当s1 s2 n 整数，f0 (s2 ) 0，f0 (s2 n) 0，递推到第n步
令a0 a1 an1 0，an 0，可唯一确定ak (k n)，从而
第九章 二阶常微分方程的级数解法
∞
(k l )(k + l + 1) a , (3) (k + 1)(k + 2 ) k (l + 1)(l + 3) (l + 2k 1)( l )(2 l ) (2k 2 l ) a a2 k = 0 (2k )! (l + 2 )(l + 4 ) (l + 2k )(1 l )(3 l ) (2k 1 l ) a a2 k +1 = 1 (2k + 1)!
[(
)
]
9.2 二阶常微分方程的级数解法
二阶常微分方程的形式
W
''
(z ) + p (z )W ' + q (z )W (z ) = 0 .(1) W ( z 0 ) = c1 , W ' ( z 0 ) = c 2 .
当z0是p(z)与q(z)的解析点时, z0称为方程(1)的常点,若 z0为p(z)与q(z)的奇点时, z0称为方程(1)的奇点. (一)常点邻域上的级数解法 令:
W(z) = ∑ak (z z0 ) , p(z) = ∑pk (z z0 ) , q(z) = ∑qk (z z0 ) .(2)
k k k k=0 k=0 k=0
∞
∞
∞
代入(1)式可确定系数ak,得出方程的解.
例题1 在x0=0的邻域上用级数解法求解常微分方程
y '' + ω
∞ k
2
y = 0
得出 : Φ '' + λΦ = 0, (3) 对周期性的自然边界条件 : Φ( + 2πn ) = Φ( )(4) .
2.2 二阶线性常微分方程的级数解法和一般本征值问题
xy (x) =
k=0 ∞
kak xk ,
∞
x2 y (x) =
k=0 k −2
k (k − 1)ak xk ,
∞
(11a) (11b)
y (x) =
k=0
k (k − 1)ak x
k −2
=
k=2
k (k − 1)ak x
=
k=0
(k + 2)(k + 1)ak+2 xk ,
代入方程并整理得
C2 (x) 是未知函数，满足附加条件 y1 C1 + y2 C2 = 0,
代入非齐次方程 (5)，利用附加条件以及 y1 (x) 和 y2 (x) 满足齐次方程的事实，易得
(6a)
y1 C1 + y2 C2 = f.
(6b)
由于 y1 (x) 和 y2 (x) 线性无关，故 ∆ ≡ y1 y2 − y2 y1 = 0 （否则可以证明 y1 (x) ∝ y2 (x)，则 y1 (x) 与
∗
c 1992–2004 林琼桂
本讲义是中山大学物理系学生学习数学物理方法课程的参考资料，由林琼桂编写制作．欢迎任何个人复 制用于学习或教学参考，欢迎批评指正，但请勿用于出售．
1
§1 常点邻域的级数解法2 Nhomakorabea对偏微分方程分离变量后，马上需要解决的就是常微分方程及其本征值问题的求解． 本书遇到的都是二阶线性常微分方程， 因为它们来源于二阶线性偏微分方程． 虽然常微分方 程比偏微分方程简单， 但也并不存在什么普遍有效的解析求解的程式． 我们知道， 一阶线性 常微分方程的解可以用系数和非齐次项的积分表出， 尽管这些积分不一定能积出来 （即其原 函数不一定是初等函数） ． 但对于二阶线性常微分方程， 并不存在类似的结果． 除了常系数 情况和少数特殊类型 （比如 Euler 方程） 可以用初等函数求解之外， 级数解法可能就是最好 的选择了． 级数解法可以算是比较系统的一种方法， 因为对于那些能够用初等函数求解的简 单情况， 级数解法通常也一样有效． 不过， 应该指出， 能够用级数解法求解的方程也是非常 有限的， 这取决于方程的系数的性质， 通过具体问题的研究，可以逐步看清这一点．
二阶常微分方程级数解法
( d ) E ( d )[( d ) d dz]
( d ) ( ) [E ( d ) ( d ) E ( ) ] d dz
( E ) d d dz ( E ) d d dz ( E ) dV
同理
( d ) ( ) 1 E d d dz 1 E dV
2u
2u
2
1
u
1
2
2u
2
2u z 2
推导
空间中某一点电场的散 度代表该点附近单位体 积
中电通量的净流出量 .
E
1
(E )
1
E
E z z
E
u
eˆ
u
eˆ
1
u
eˆz
u z
(I) (推导见下页 ） (II)
(II)代入(I)式得
u
u
1
( u ) 1
(1
u
)
2u z 2
1
(
u )
(r2 Er ) sin dr d d
r
1 r2
(r2 Er ) r
r 2sin
dr d
d
1 r2
(r2 Er ) r
dV
5
同理
( d ) ( ) 1 E r2 sin dr d d r sin
1 E dV
r sin
( d ) ( ) 1 (E sin ) r2 sin dr d d r sin
0
D2 D l(l 1) 0
[D (l 1)][D l] 0
R(r) C el t D e(l1)t
C el ln r D e(l1) ln r
C rl D r(l1)
14
ii）球函 数方程：
第六章 二阶线性常微分方程的幂级数解法
2n
二者的任意线性组合即为通解。
求解过程中，ck+2 只与ck 有关，而与ck+1 无关，
w1(z) 是偶函数，w2(z)是奇函数。
对于 z → -z 变换， 1 ( z )
2
d w d ( z )
2
2
2( z )
dw d ( z )
l ( l 1)w 0
勒让德方程的形式不变，故 w(-z) 也是方程的解，
2 t 1 t21Fra bibliotekp t和
1 t
4
1 q t
不含 t 负幂项
1 4 5 q b4 t b5 t t
1 2 3 p 2t a 2 t a 3 t t
p z q z
2 z
a2 z
2
( 2n 1 l )( 2n 3 l )(1 l )( 2n l )( 2n 2 l ) ( 2 l )
l 1 l 1 c1 ( 2n 1)! 2 n 2 n
∴勒让德方程在
z 1
内的解就是
2
2n
w( z ) c0
w 0
p( z )
(1 ) z
z (1 z )
q( z )
z (1 z )
有限远处 p(z)、q(z) 有两个奇点， z = 0 和 z = 1 。
所以，z = 0 和 z = 1 是超几何方程的奇点，有限远处 的其它点为方程的常点。
举例
且 w(z)+w(-z) 是偶函数，w(z)-w(-z) 是奇函数。
w( z ) w( z ) c0 w1 ( z ) c1 w 2 ( z ) c0 w1 ( z ) c1 w 2 ( z ) 2c0 w1 ( z )
第九章二阶线性常微分方程级数解法
a1
得到l 阶勒让德方程解：
y
a2k x2k
a x2k1 2k 1
a0y0 ( x) Nhomakorabeaa1 y1( x)
y0
(x)
1
(l)(l 1) 2!
x2
(2
l)(l)(l 1)(l 4!
3)
x4
...
(2k 2 l)(2k 4 l)
(l)(l 1)(l 3) (2k )！
程在点 z0的邻域 z z0 R 内的解可以表示成泰勒级数的
形式:
w(z) an (z z0 )n，
n0
a0 , a1 , …ak , … 待定系数
级数展开式中的待定系数由边界条件或初始条件确定。
初始条件： w(z0 ) C0, w '(z0 ) C1.（C0 , C1为任意复常数）
d
d
d 2
得到两个常微分方程：
d 2
d 2
0
sin d (sin d) [l(l 1)sin2 ] 0
d
d
解常微分方程：
d 2
d 2
0
自然周期边界条件： ( 2 ) ()
得其通解为： () Am cos m Bm sin m
sin
sin2 2
球函数方程
径向函数所满足的方程为欧拉形方程：
d (r2 dR ) l(l 1)R 0, dr dr
r2
d 2R dr2
2r
dR dr
l(l
1) R
二阶线性常微分方程的解法
二阶线性常微分方程的解法在数学中，二阶线性常微分方程是一个常见且重要的概念。
本文将介绍二阶线性常微分方程的解法，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、二阶线性常微分方程的定义二阶线性常微分方程是指形如下式的微分方程：y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = g(x)其中y(x)是未知函数，p(x)，q(x)和g(x)是已知函数，一般假设其在所考虑的区间上连续。
二、齐次方程的解法首先，我们来研究二阶线性常微分方程的齐次形式，即g(x)为零的情况。
这类方程的解法非常有规律性。
假设y1(x)和y2(x)是二阶线性常微分方程的两个解，那么线性组合c1y1(x) + c2y2(x)也是该方程的解，其中c1和c2是任意常数。
因此，我们可以找到两个解y1(x)和y2(x)，并通过线性组合的方式得到方程的通解。
具体的解法有三种情况。
1. 两个不同实数根当方程的特征方程有两个不同的实数根r1和r2时，对应的两个解分别为y1(x) = e^(r1x)和y2(x) = e^(r2x)。
2. 重根当方程的特征方程有一个重根r时，对应的两个解分别为y1(x) =e^(rx)和y2(x) = xe^(rx)。
3. 复数根当方程的特征方程有共轭复数根a±bi时，对应的两个解分别为y1(x) = e^(ax)cos(bx)和y2(x) = e^(ax)sin(bx)。
三、非齐次方程的解法对于非齐次方程，我们需要借助齐次方程的解，通过特解的方法来求解。
假设y1(x)和y2(x)是齐次方程的两个解，我们可以得到非齐次方程的特解为y(x) = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x)，其中u1(x)和u2(x)是待定函数。
具体的求解步骤是：1. 将待求特解y(x)代入原方程，消去齐次方程的项，得到u1'(x)y1(x) + u2'(x)y2(x) = g(x)。
3.0二阶线性常微分方程的幂级数解法
e rx [c′′ + (2r + p)c′ + (r 2 + pr + q)c] = 0.
是特征方程的重根， 所 以 有 r + pr + q = 0 及 2r + p = 0. 且 e r x ≠ 0 ， 因此只要 c(x) 满足
−p 注意到 r = 2 2
c′′( x) = 0,
则 y2 = cerx就是 ④式的解， 为简便起见，取方程 c″(x) = 0 的一个解 c(x)= x，于是得到方程 ④且与 y1 = erx 线性无关的解 y2 = xerx. 因此，④式的通 解为
二阶常系数线性非齐次常微分方程的解法
1° 自由项 f (x) 为多项式 Pn(x). 设二阶常系数线性非齐次常微分方程为 y″ + py′ + qy = Pn(x),
⑥
其中 Pn(x) 为 x 的 n 次多项式。因为方程中 p、q 均为常数且多项式的导数仍为多项式，所以可设 ⑥ 式的特解为 * k
考虑到 p，q 均为常数，我们可以猜想该方 程具有 y = erx 形式的解，其中 r 为待定常数。 将 y′ = rerx, y″ = r2erx 及 y = erx 代入上式，得 erx (r2 + pr + q) = 0 . 由于erx ≠ 0，因此，只要 r 满足方程 r2 + pr + q = 0， ⑤
y * = Bx k eαx
y *′ = Bkx k −1eα x + Bα x k eα x
y*′′ = Bk (k − 1) x k − 2 eα x + 2 Bα kx k −1eα x + Bα 2 x k eα x
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧常微分方程是数学中的一个重要的分支，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
其中，二阶常系数常微分方程是最基本的一类常微分方程，其形式如下：$$ a\frac{{d^2y}}{{dt^2}}+b\frac{{dy}}{{dt}}+cy = 0 $$其中，a、b、c是常数，y是未知函数。
一、特征根为实数的情况1.首先，我们将二阶常系数常微分方程变形成特征方程：$$ a\lambda^2+b\lambda+c=0 $$2.求解特征方程得到两个实根，假设为λ1和λ23.根据两个实根求得特解的形式，形式如下：$$ y = C_1e^{\lambda_1 t} + C_2e^{\lambda_2 t} $$其中，C1和C2是待定常数。
二、特征根为复数的情况1.将二阶常系数常微分方程变形成特征方程。
2.求解特征方程得到两个复根，假设为α±βi。
3.根据两个复根求得特解的形式，形式如下：$$ y = e^{\alpha t}(C_1cos(\beta t) + C_2sin(\beta t)) $$其中，C1和C2是待定常数。
三、待定系数法待定系数法是一种适用于二阶常系数常微分方程有特定形式解的求解方法。
1. 如果方程右侧是其中一个函数的线性组合，我们可以假设原方程的特解为该函数的线性组合形式。
例如，如果方程右侧是常数1和指数函数e^kt的线性组合：$$ y_p(t) = A + Be^{kt} $$其中，A、B是待定常数，k是常数。
2.将上述假设代入原方程，得到一个关于A、B和k的代数方程。
3.解代数方程，求得A、B和k的值。
4. 特解为$$ y_p(t) = A + Be^{kt} $$其中，A、B是待定常数，k 是常数。
总结：以上是二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧。
通过找到二阶常系数常微分方程的特征根或使用待定系数法，我们可以求得其通解。
这些技巧在解决实际问题中非常有用，例如在振动、电路等领域的应用中常常会遇到二阶常系数常微分方程的求解。
第12章 二阶常微分方程级数解法
第十二章 二阶常微分方程级数解法、本征值问题 前几章处理的问题几乎都是使用直角坐标，依据边界条件的不同，有时使用球坐标或柱坐标更为方便，也只有使用恰当的坐标才能使变量进行分离彻底。
下面先介绍标量函数的梯度或矢量函数的散度在球坐标系中和柱坐标系中表示形式。
以1,2,3q q q 表示正交曲线坐标，则有()()()112233,,,,,,q q x y z q q x y z q q x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ()()()123123123,,,,,,x x q q q y y q q q z z q q q =⎧⎪=⎨⎪=⎩因：123123123123123123x x x dx dq dq dq q q q y y y dy dq dq dq q q q z z z dz dq dq dq q q q ⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=++⎪⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎪=++⎨⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩于是由于1q 的微小改变而引起的空间尺度变化()()()()()()22222222221111111x y z ds dx dy dz dq H dq q q q ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎢⎥=++=++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦同理()()()22222222222222x y z ds dq H dq q q q ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎢⎥=++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()22222223333333x y z ds dq H dq q q q ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎢⎥=++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦① 标量函数()1,2,3u q q q 的梯度u ∇的各分量为： ()()()123111222333111,,u u u u u uu u u s H q s H q s H q ∂∂∂∂∂∂∇==∇==∇==∂∂∂∂∂∂ ② 矢量函数的散度()1,2,3A q q q ∇——矢量场中单位体积的通量取由111222333,;,;,q q dq q q dq q q dq +++六个曲面围成的微小六面体 设123,,A A A 分别为A沿1,2,3q q q 增加方向的分量，于是又()()()()1,2,31122331A q q q H dq H dq H dq ∇=()()1111223312233[q dq q A H dq H dq A H dq H dq +-()()()()22233321133211333112231122]q d qq q d q q A H d q H d q A H d q H d q A H d q H d q A H d q H d q+++-+-=()()()1232133121231231A H H A H H A H H H H H q q q ⎡⎤∂∂∂++⎢⎥∂∂∂⎣⎦③()2313121231112223331u u u u u H H H H H H H H H q H q q H q q H q ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∆=∇∇=⋅+⋅+⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos 1sin sin cos sin r x r H y r H r z r H r θϕθϕθϕθθ⎧==⎪==⎨⎪==⎩对于球坐标()()()11sin r u u uu u u rr r θϕθθϕ∂∂∂∇=∇=∇=∂∂∂()()()2221sin sin sin r A r A r A r A r r θϕθθθθϕ⎡⎤∂∂∂∇=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦221sin sin sin sin u u uu r r r r r r r r θθθθθϕθϕ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫∆=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos 1sin 1z x H y H r z z H ρϕρϕρϕ==⎧⎪==⎨⎪==⎩对于柱坐标()()()1z u u u u u u zρϕρρϕ∂∂∂∇=∇=∇=∂∂∂ ()()()1z A A A A z ρϕρρρρϕ⎡⎤∂∂∂∇=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦11u u u u z z ρρρρρϕρϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫∆=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦§40.1 拉普拉斯方程0u∆=a .在球坐标系中2221sin sin 0sin sin u u ur r r r r r r r θθθθθϕθϕ⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 设()()(),,,u r R r Y θϕθϕ= 则 2s i n s i n 0s i n d R Y R YY r R d r r θθθθθϕθ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭有()222111sin 1sin sin d dR Y Y r l l R dr dr Y θθθθθϕ⎛⎫∂∂∂⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()()()2122,222211011sin 1sin 10sin 1sin sin sin ll Y t r e d dR r l l R R r Cr D dr dr r Y Y d d d l l Y l l d d d θϕθϕθθθθθθθθϕθθϕ+=ΘΦ=⎧⎛⎫-+==+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫∂∂∂ΘΦ⎛⎫⎛⎫⎪+++=++=- ⎪ ⎪ ⎪⎪∂∂∂ΘΦ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩ 欧勒型方程令()()()()()()()2222222cos 220,1,2''0cos cos sin sin 1sin 12101m xm m A m B d d d d m l l x x l l d d dx dx x λθϕπϕλλϕϕϕθθθλθθ==Φ+=Φ⇒==⎧Φ+Φ=Φ=+⎪⎪⇒⎨⎡⎤ΘΘΘ⎛⎫⎡⎤⎪++-Θ--++-Θ= ⎪⎢⎥⎣⎦-⎝⎭⎪⎣⎦⎩令b. 在柱坐标系中()()(),,)(110u z R Z z u u u z z ρϕρϕρρρρρϕρϕ=Φ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()()220,1,2222222''''0cos sin 111''0'''m m A m B m d R dR dz m Z R R R d R d z dz R R Z ϕπϕλλλϕϕϕρρρμρρρρΦ+=Φ==Φ⎧-=⇒Φ+Φ=Φ=+⎪Φ⎪⎨⎪++=⇒+-=-=-⎪⎩()()()()()2222222222210:,0:,00:cosh sinh ,0mm z z z C Dz R E F d R dR z Ce De x x x m R x dx dx d R dR z C z D z h x x x m R x h dx dx μμμρρμμρμμρ-⎧==+=+⎪⎪⎪>=+++-==⎨⎪⎪<=+=-+++==⎪⎩§40.2 波动方程 230tt u a u -∆=令 ()()()()222230cos sin ,0T k a T T t C kat D katu r t T t V r V k V ⎧+=⇒=+=⇒⎨∆+=⎩→ 亥姆霍兹方程§40.3 输运方程 230t u a u -∆=令()()()()2222230,0k a t T k a T T t Ce u r t T t V r V k V -⎧'+==⎪=⇒⎨∆+=⎪⎩→ 亥姆霍兹方程§40.3 亥姆霍兹方程 230V k V ∆+=在球坐标系中： 22222211sin 0sin sin V V V r k Vr r r θθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()()()()222,,,2222211sin 10sin sin 210V r R r Y Y Yl l Y d R dR r r R r l l R dr dr θϕθϕθθθθϕ=⎧∂∂∂⎛⎫+++= ⎪⎪∂∂∂⎪⎝⎭⎨⎪⎡⎤++-+=⎣⎦⎪⎩()()()()()()220,1,222222''0cos sin cos :12101m m A m B m d d mx x x l l l dx dx x ϕπϕλλϕϕϕϕΦ+=Φ==⎧Φ+Φ=Φ=+⎪⎪⇒⎨⎡⎤ΘΘ⎪=--++-Θ=⎢⎥-⎪⎣⎦⎩阶缔合勒让德方程()()22221102x kr R r Y x xd y dy x x x l y dx dx ==⎡⎤⎛⎫−−−−−→++-+=←−−−−− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 球贝塞尔方程 在柱坐标系中：()()()()22,,222110u z R Z z u u u kV zρϕρϕρρρρρϕ=Φ⎛⎫∂∂∂∂+++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭ ()()()()()220,1,22222222''0cos sin 0''000cosh sinh 0m m z z A m B m Z C Dz z z Z Ce De Z C z D z h d R dR x x x m R x k dx dx ϕπϕλμμλϕϕϕμμμμμμρΦ+=Φ==-⎧Φ+Φ=Φ=+⎪⎪==+⎧⎪⎪⎪-=>=+⎨⇒⎨⎪⎪<=+=-⎩⎪⎪⎡⎤++-==+⎪⎣⎦⎩综上所述，对于齐次的波动方程、输运方程、稳定场方程在球、柱坐标系中有如下解的形式： ①0u ∆=()()()()()()()1222221,,cos sin 0,1,21210cos 1ll u r A m B m Cr D m r d d m x x l l x dx dx x θϕπϕθθ+⎧⎛⎫=++Θ= ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎡⎤ΘΘ⎪--++-Θ==⎢⎥⎪-⎣⎦⎩()()()()()()2222222222,,cos sin 0,1,210000cos sin 0m muz uz u z A m B m Z z R m Z C Dz R E F e d R dR Z Ce De x x x m R x u dx dxd R dR Z C mz D mz x x x m R x u dx dx ρϕϕϕρμρρμρμρ-⎧=+=⎪⎧⎪==+=+⎪⎪⎪⎪⇔⎨⎪⎡⎤>=+++-==⎨⎪⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎡⎤<=++++==⎪⎣⎦⎪⎩⎩②()()()22223323cos sin 0tt k a tt T t C kat D kat u a u u V T t V k V u a u T t Ce-=+-∆==∆+=-∆==230V k V ∆+=()()()()()()()()()()()222222222,,cos sin 0,1,21210cos 110,2V r A m B m R r m d d m x x l l x dx dx x d y dy x x x l y x kr Y x xR r dxdx θϕϕϕθθ⎧⎪=+Θ=⎪⎪⎡⎤ΘΘ⎪--++-Θ==⎨⎢⎥-⎣⎦⎪⎪⎡⎤⎛⎫⎪++-+=== ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎩ ()()()()()()222222,,cos sin 0,1,20''000cosh sinh 0uz uz V z A m B m Z z R m z C Dz Z Z z Ce De z C z D zd R dR x x x m R x k dx dx ρϕϕϕρμμμμμρ-⎧⎪=+=⎪==+⎪⎧⎪⎪-=>=+⎨⎨⎪⎪<=+⎩⎪⎪⎪⎡⎤++-==+⎣⎦⎩§41 常点邻域的级数解法用球坐标和柱坐标对齐次波动、输运、稳定场方程进行分离变量，最后问题的症结是l 阶缔合勒让德方程和贝塞尔方程等特殊函数方程。
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定义1
若系数p( z )和q( z )都在点z0及其邻域内解析 则称z0为方程的常点
定义2
若p ( z )和q z 中至少有一个在点z0不解析 则称z0为方程的奇点,若( z z0 ) p ( z )和 ( z z0 ) 2 q ( z )都在方程的奇点z0解析，则称 z0为方程的正则奇点，否则称z0为方程的 非正则奇点.
2k k 0 k 0
Legendre方程 通解形式
其中 y0 ( x ) 1
k 1
(2k 2 l )(2k 4 l )
(2 l )( l )(l 1) (2k )!
(l 2k 1) x 2 k 1
x2k
(2k 1 l )(2k 3 l ) (1 l )(l 2) y1 ( z ) x (2k 1)! k 1
k
将以上俩式综合起来为 (2 l 2k )! Pl ( x) (1) l xl 2 k 2 k !(l k )!(l 2k )! k 0
例2
Bessel (贝赛尔)方程
d 2 w 1 dw 2 (1 2 ) w ，且z0 0 是方程的正则奇点.
5.2 方程常点邻域内的解
1.常点邻域内的级数解定理
若p ( z )和q ( z )在圆形域 | z z0 | R内单值解析，则常微分初值问题 d 2w dw q( z ) w 0 2 p( z ) dz dz w( z ) a , w( z ) a 0 0 0 1 在圆形域 | z z0 | R内存在唯一的解析解w( z )，其中a0，a1为任意 给定的复常数.
由于上式恒等，所以x的各次幂系数都等于零，即 ( k 1)( k 2) ak 2 [ k ( k 1) l (l 1)]ak 0 于是，得到系数之间递推关系 k (k 1) l (l 1) (k l )(k l 1) ak 2 ak ak (k 1)(k 2) (k 1)(k 2) 从而可写出所有的系数，可得方程解为 y ( x) a2 k x a2 k 1 x 2 k 1 a0 y0 ( x) a1 y1 ( x)
Legendre方程在自然边界条件下的解：
系数的一般表达式为 al 2 k (2 l 2k )! (1) l 2 k !(l k )!(l 2k )!
k
2k l
当l为偶数时，Legendre方程满足自然边界的解为 a0 y0 ( x) al 2 k x
k 0 l 2 l 2k
(l 2 k )
Legendre方程通解在 | x | 1总收敛，在 | x | 1收敛与否不考虑， 在 | x | 1时级数解的收敛性为：当l不是整数时，y0 ( x)和y1 ( x) 在x0 1均发散；当l为偶数时y1 ( x)在x0 1发散；当l为奇数 时，y0 ( x)在x0 1发散.
(2 l 2k )! (1) l xl 2 k 2 k !(l k )!(l 2k )! k 0
l 2 k
当l为奇数时，Legendre方程解为 y1 ( x)
( l 1) 2 k 0
a
l 2k
x
l 2 k
( l 1) 2
k 0
(2 l 2k )! (1) l xl 2 k 2 k !(l k )!(l 2k )!
k 0
定理1，此方程有如下形式解
于是
y( x) kak x k 1
k 0
y( x) k (k 1)ak x k 2
k 0
将以上三式代入Legendre方程，得
(k 1)(k 2)a
k 0
k [ k ( k 1) l ( l 1)] a x 0 k 2 k
此种方法称为级数解法
Legendre方程的级数解
在x0 0的邻域内求解Legendre方程
2 d y dy 2 (1 x ) 2 2 x l (l 1) y 0 dx dx 其中l为已知参数.
由于Legend方程的系数p ( x)
2x l (l 1) 和 q ( x ) 在x0 0 2 2 1 x 1 x 及其邻域内解析，所以x0 0是Legendre方程的常点，根据 y ( x ) ak x k
根据Taylor展开定理，圆形域 | z z0 | R内解析的解 w( z )可展为Taylor级数w( z ) ak ( z z0 ) k ,其中
k 0
( z z0 )0 和( z z0 )1的系数正好和初值条件一致，把级 数解代入微分方程并比较两端系数，就可求出所有 的系数ak，从而得到方程的解.
第五章 二阶线性常微分方程的级数解法
本章主要限于讨论方程常点和 奇点邻域内的级数解法。
本章结构
5.1 二阶线性常微分方程的常点与奇点 5.2 方程常点邻域内的解 5.3 方程正则奇点邻域内的解
5.1 二阶线性常微分方程的常点与奇点
二阶线性齐次常微分方程的一般形式为
d 2w dw p( z ) q( z ) w 0 2 dz dz 其中p( z )和q( z )称为方程的系数
例1
Legend (勒让德)方程
2 d w dw 2 (1 z ) 2 2 z l (l 1)w 0 dz dz
2z l (l 1) 解：方程的系数为p( z ) ，q( z ) 2 1 z 1 z2
p( z )和q( z )在复平面上有两个奇点z0 1，所以 z0 1是Legendre方程的奇点外，有限远处的其 他点都是方程的常点.