2021届高江苏省泰州中学三上学期第一次月考文数试题Word版含解析

2021届高江苏省泰州中学三上学期第一次月考
文数试题
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.
1.已知集合{}
2|20A x x x =-=，{}0,1,2B =，则A B = ．
【答案】{}0,2
考点：集合运算 【方法点睛】
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.若
31z
i i
=+-，i 是虚数单位，则复数z 的虚部为 ． 【答案】2- 【解析】 试题分析：
3421z
i z i i
=+⇒=--，所以复数z 的虚部为2- 考点：复数概念
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 2
2
+a b 、对应点为(,)a b 、共轭为
.-a bi
3.函数22()log (6)f x x =-的定义域为 ． 【答案】(,6)(6,)-∞+∞
【解析】
试题分析：由题意得26066x x x ->⇒><-或，即定义域为(,6)(6,)-∞-+∞
考点：函数定义域 4.已知函数()sin()5
f x kx π
=+的最小正周期是
3
π
，则正数k 的值为 ．
【答案】6 【解析】
试题分析：由题意得
263
k k ππ
=⇒= 考点：三角函数周期
5.已知幂函数()y f x =的图象经过点1
(4,)2
，则1()4
f 的值为 ． 【答案】2
考点：幂函数解析式
6.“三个数a ，b ，c 成等比数列”是“2b ac =”的 条件．（填“充分不必要、充要、必要不充分、既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【解析】
试题分析：三个数a ，b ，c 成等比数列，则
2b c
b a
c a b
=⇒=，充分性成立； 0a b c ===满足2b ac =，但a ，b ，c 不成等比数列，必要性不成立，所以“三个数a ，b ，c 成等比数列”是“2b ac =”的充分不必要条件． 考点：充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．
7.已知53cos(
)25πα+=，02π
α-<<，则sin 2α的值是 ． 【答案】24
25
-
考点：二倍角公式
【方法点睛】三角函数求值的三种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。

(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异。

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的。

(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角。

8.已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，2()3sin 2
x
f x x a π=-，且(3)6f =，则a = ．
【答案】5 【解析】
试题分析：(3)6(3)6f f =⇒-=-，所以3(3)93sin()652
f a a π
-=--=-⇒= 考点：利用函数性质求参数
【方法点睛】(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于f(x)的方程，从而可得f(x)的值或解析式.
9.若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且43a =，则7a = ． 【答案】3- 【解析】
试题分析：15535()
252552
a a S a +=⇒=⇒=，所以43742,(74)363d a a a a d =-=-=+-=-=- 考点：等差数列性质
【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷
又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 10.若直线y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线，则实数b = ． 【答案】1-
考点：导数几何意义
【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.
(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.
11.函数3sin(2)4
y x π
=+
的图象向左平移ϕ（02
π
ϕ<<
）个单位后，所得函数图象关于原点成中心对称，
则ϕ= ． 【答案】
38
π 【解析】
试题分析：由题意得3sin(2())4
y x π
ϕ=++
关于原点成中心对称，即
2()()4
28k k k Z k Z π
ππϕπϕ+
=∈⇒=
-∈，因为02πϕ<<，所以ϕ=38
π 考点：三角函数图像变换与性质
【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z)；函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x ∈R 是偶函数⇔φ＝k π＋π
2(k ∈Z)；函数y ＝Acos(ω
x ＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝k π＋π
2(k ∈Z)；函数y ＝Acos(ωx ＋φ)，x ∈R 是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z).
12.数列{}n a 定义如下：11a =，23a =，122(1)22n n n n a n a a n n +++=-++，1,2,n =…．若2016
42017
m a >+
，则正整数m 的最小值为 ． 【答案】8069
考点：等差数列定义
【方法点睛】证明{a n }为等差数列的方法：
(1)用定义证明：a n －a n －1＝d (d 为常数， n ≥2)⇔{a n }为等差数列； (2)用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； (3)通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列； (4)前n 项和法：S n ＝An 2
＋Bn
13.已知点O 为△ABC 内一点，且230OA OB OC ++=，则△AOB ，△AOC ，△BOC 的面积之比等于 ． 【答案】3:2:1 【解析】
试题分析：12
23033
OA OB OC OC OC OA OB '++=⇒-==
+，所以C '为AB 三等分点（靠近B ），如图，所以,,2,,AOC AOC BOC BOC AOC BOC AOB AOC BOC S S S S S S S S S ''''''∆∆∆∆∆∆∆∆∆====+即△AOB ，△AOC ，△
BOC 的面积之比等于3=3:2:1BOC BOC BOC S S S '''∆∆∆：2：
考点：向量表示
C ' C
O
B
A
14.定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2,[0,1),(
)11|3|,[1,),x
x f x x x x -⎧∈⎪
=+⎨⎪--∈+∞⎩
则函数1()()F x f x π=-的所
有零点之和为 ． 【答案】
1
12π
-
考点：函数零点
【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.
(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足a b c <<，2sin b a B =． （1）求A 的大小；
（2）若2a =，23b =，求△ABC 的面积． 【答案】（1）6
A π
=
（2）23
试题解析：（1）2sin b a B =，∴sin 2sin sin B A B =， ∵sin 0B >，∴1
sin 2
A =
， 由于a b c <<，所以A 为锐角，∴6
A π
=
．
（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， ∴23412223c c =+-⨯ 2680c c -+=，2c =或4c =，
由于a b c <<，4c =， 所以1
sin 232
S bc A =
= 考点：正余弦定理
【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.
16.已知函数()|1|f x x =-，2
()65g x x x =-+-（x R ∈）． （1）若()()g x f x ≥，求x 的取值范围； （2）求()g x ()f x -的最大值． 【答案】（1）[]1,4（2）
9
4
试题解析：（1）当1x ≥时，()1f x x =-， 由()()g x f x ≥，得2651x x x -+-≥-， 整理得(1)(4)0x x --≤，所以[]1,4x ∈； 当1x <时，()1f x x =-，
由()()g x f x ≥，得2651x x x -+-≥-， 整理得(1)(6)0x x --≤，所以[]1,6x ∈，由1,
16x x <⎧⎨≤≤⎩
，得x ∈∅，
综上x 的取值范围是[]1,4．
（2）由（1）知，()()g x f x -的最大值必在[]1,4上取到， 所以2
2
599()()65(1)()2
44
g x f x x x x x -=-+---=--+≤， 所以当52x =
时，()()g x f x -取到最大值为94
考点：解含绝对值不等式，含绝对值函数最值
【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 17.已知锐角△ABC 中的三个内角分别为A ，B ，C ． （1）设BC CA CA AB ⋅=⋅，判断△ABC 的形状；
（2）设向量(2sin ,3)s C =-，2
(cos 2,2cos 1)2C t C =-，且//s t ，若1sin 3A =，求sin()3
B π
-的值．
【答案】（1）等腰三角形．（2）
126
6
-
试题解析：（1）因为BC CA CA AB ⋅=⋅，所以()0CA BC AB ⋅-=， 又0AB BC CA ++=，∴()CA AB BC =-+，
所以()()0AB BC BC AB -+⋅-=， 所以2
2
0AB BC -=，
所以22||||AB BC =，即||||AB BC =， 故△ABC 为等腰三角形． （2）∵//s t ，∴2
2sin (2cos
1)322
C
C C -=， ∴sin 232C C =，即tan 23C = ∵C 为锐角，∴2(0,)C π∈，∴223C π=，∴3
C π=， ∴23A B π=
-，∴2sin()sin (
)33
3B B ππ
π⎡⎤-=--⎢⎥⎣⎦sin()3A π=-， 又1
sin 3
A =
，且A 为锐角， ∴22cos A =
126
sin()sin()sin cos cos sin 3333B A A A ππππ--=-=-=． 考点：向量与三角综合
【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.
18.某地拟建一座长为640米的大桥AB ，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A ，B 造价为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x 米时（其中64100x <<）．中间每个桥墩的平均造价为
80
3
x 万元，桥面每1米长的平均造价为(2)640
x x
+
万元． （1）试将桥的总造价表示为x 的函数()f x ；
（2）为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间（两端桥墩A ，B 除外）应建多少个桥墩？
【答案】（1）()f x 3
11
2
225120080
138033
x x x -=+-+（64100x <<）
．（2）80 【解析】
试题解析：（1）由桥的总长为640米，相邻两个桥墩的距离为x 米，知中间共有640
(
1)x
-个桥墩． 于是桥的总造价80640
()640(2(1)3x x f x x x
=+
-100+．
即
311
222
6408080
()1380
33
f x x x x
-
⨯
=
+-+
311
222
5120080
1380
33
x x x
-
=+-+（64100
x
<<）．
（2）由（1）可求
131
222
36404040
'()
233
f x x x x
--
⨯
=--，
整理得
3
2
2
1
'()(98064080)
6
f x x x x
-
=--⨯．
由'()0
f x=，解得
1
80
x=，
2
640
9
x=-（舍去），
又当(64,80)
x∈时，'()0
f x<；当(80,100)
x∈时，'()0
f x>，
所以当80
x=，桥的总造价最低，此时桥墩数为
640
17
80
-=个．
考点：利用导数求函数最值
【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′(x)＞0或f′(x)＜0求单调区间；第二步：解f′(x)＝0得两个根x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．
19.已知各项都为正数的等比数列{}n a的前n项和为n S，数列{}n b的通项公式
,
1,
n
n n
b
n n
⎧
=⎨
+
⎩
为偶数
为奇数
（*
n N
∈），若
35
1
S b
=+，
4
b是
2
a和
4
a的等比中项．
（1）求数列{}n a的通项公式；
（2）求数列{}
n n
a b⋅的前n项和
n
T．
【答案】（1）1
2n
n
a-
=（2）
1
22
(2)2,
33
22
()2,
33
n
n
n
n n
T
n n
-
⎧
-⨯+
⎪⎪
=⎨
⎪-⨯+
⎪⎩
为奇数，
为偶数.
试题解析：（1）∵数列{}n b 的通项公式,1,n n n b n n ⎧=⎨+⎩
为偶数为奇数（*n N ∈）， ∴56b =，44b =．
设各项都为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，0q >，
∵3517S b =+=，∴21117a a q a q ++=，①
∵4b 是2a 和4a 的等比中项，∴224316a a a ==，
解得2314a a q ==，②
由①②得23440q q --=，
解得2q =或23
q =-（舍去），∴11a =，12n n a -=． （2）当n 为偶数时，
0(11)2n T =+⨯[]2342122(31)242(51)2(1)122n n n n --+⨯++⨯+⨯++⨯++-+⨯+⨯…
0231022(22232422)(222)n n n --=+⨯+⨯+⨯++⨯++++……，
设023*********
n n H n -=+⨯+⨯+⨯++⨯…，③ 则2312 2 2232(1)2
2n n n H n n -=+⨯+⨯++-⨯+⨯…，④ ③-④，得023*******n n
n H n --=+++++-⨯…1212n -=-2n n -⨯(1)21n n =-⨯-， ∴(1)21n n H n =-⨯+， ∴2
1422(1)21()21433
n n n n T n n -=-⨯++=-⨯+-．
当n 为奇数，且3n ≥时，
11(1)2n n n T T n --=++⨯1115222()2(1)2(2)23333
n n n n n n ---=-⨯+++⨯=-⨯+， 经检验，12T =符合上式． ∴122(2)2,3322()2,33n n n n n T n n -⎧-⨯+⎪⎪=⎨⎪-⨯+⎪⎩
为奇数，为偶数.
考点：等比数列通项公式，错位相减法求和
【方法点睛】用错位相减法求和应注意的问题
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
(2)在写出“Sn ”与“qSn ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn －qSn ”的表达式；
(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
20.已知函数1()1ln a f x x x
=-
+（a 为实数）． （1）当1a =时，求函数()f x 的图象在点11(,())22f 处的切线方程； （2）设函数2
()32h a a a λ=-（其中λ为常数），若函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，且存在a 满足1()8
h a λ≥+，求λ的取值范围； （3）已知*n N ∈，求证：11111ln(1)12345n n
+<+
+++++…． 【答案】（1）2ln 220x y -+-=（2）113(,][,)98-∞-+∞（3）详见解析 【解析】
试题分析：（1）由导数几何意义得1
'()2k f =，先求导数211'()f x x x
=-，代入得切线斜率为2，因为1()12ln 2ln 212f =-+=-，所以根据点斜式可得切线方程（2）不存在极值，即函数导数不变号，先求函数导数221'()a a x f x x x x
-=-=，因此0a ≤或2a ≥，存在性问题，转化为对应函数最值：即由存在a 满足1()8h a λ≥+，得max 1()8
h a λ≥+，结合二次函数最值求法，即对称轴与对应区间位置关系分类讨论：①当304λ≤或324λ≥，2max 39()()48h a h λλ==；②当3014λ<≤，max ()(0)0h a h ==；③当3124
λ<<，max ()(2)68h a h λ==-，再分别求解对应不等式，得λ的取值范围；（3）利用导数证明不等式，关键在于构造恰当的函数：11()1ln f x x x =-+，可利用导数得()(1)0f x f ≤=，因此有不等式11ln x x x
-≤，令1n x n =+，则1ln(1)ln n n n
+-<，最后根据叠加法可证不等式
（2）221'()a a x f x x x x
-=-=，由'()0f x =，解得x a =， 由于函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，所以0a ≤或2a ≥，
由于存在a 满足1()8h a λ≥+，所以max 1()8
h a λ≥+， 对于函数2()32h a a a λ=-，对称轴34
a λ=， ①当304λ≤或324λ≥，即0λ≤或83λ≥时，2max 39()()48
h a h λλ==， 由max 1()8h a λ≥+，即29188λλ≥+，结合0λ≤或83λ≥可得：19λ≤-或83
λ≥； ②当3014λ<≤，即403
λ<≤时，max ()(0)0h a h ==， 由max 1()8h a λ≥+，即108λ≥+，结合403
λ<≤可知：λ不存在； ③当3124λ<<，即4833
λ<<时，max ()(2)68h a h λ==-； 由max 1()8h a λ≥+，即1688λλ-≥+，结合4833λ<<可知：13883
λ≤<， 综上可知，λ的取值范围是113(,][,)98-∞-+∞．
考点：导数几何意义，利用导数证明不等式，二次函数求最值
【思路点睛】
利用导数证明不等式:
①证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)<0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)<0，即证明了f(x)<g(x)。

②证明f(x)> g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)>0，则F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)≥0，由增函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)>0，即证明了f(x)>g(x)。