相似三角形判定的基本模型 good
初中数学相似三角形的基本模型
微专题 相似三角形的判定及基本模型 A X AX K ⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩相似三角形的相关概念相似三角形的判定相似三角形基本模型（字型）相似三角形基本模型（字型）相似三角形基本模型(型)相似三角形基本模型(母子型)相似三角形基本模型（旋转型）相似三角形基本模型(字型（一线三等角）)相似三角形常用辅助线基础知识点相似三角形的判定重难点题型（作平行线） 重难点题型题型1 相似三角形的判定【方法点拨】相似三角形的判定方法汇总：1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
1．（2020·陕西西安·高新一中初三一模）如图，点E 是平行四边形ABCD 中BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F ，交BD 于M ，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC ，AB//CD ， ∴△ADM ∽△EBM ，△ADF ∽△ECF ，△DFM ∽△BAM ，△EFC ∽△EAB ，∵∠AFD=∠BAE ，∠DAE=∠E ，∴△ADF ∽△EBA ，∴图中共有相似三角形5对，故选：B ．2．（2020·湖南茶陵·初三期末）如图，在大小为44⨯的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．甲和丙D ．乙和丁，23；丙中的三角形的三边分别是：2，3只有甲与丙中的三角形的三边成比例：2==C ． 3．（2020·河南罗山·初三期末）如图，在矩形ABCD 中，E 在AD 上，EF BE ⊥，交CD 于F ，连结BF ，则图中与ABE △一定相似的三角形是 A ．EFB △B ．DEFC ．CFBD ．EFB △和DEF【解析】根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，再由EF BE ⊥根据同角的余角相等可得∠AEB=∠DFE ，即可得到结果.∵矩形ABCD ∴∠A=∠D=90°∴∠DEF+∠DFE=90° ∵EF BE ⊥∴∠AEB+∠DEF=90°∴∠AEB=∠DFE ∵∠A=∠D=90°，∠AEB=∠DFE ∴ABE ∽DEF 故选B.4．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校初三期中） 如图，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，要使△AED △与ABC 相似，不能添加的条件是( )A ．DE ∥BCB ．AD•AC=AB•AEC ．AD ：AC=AE ：AB D ．AD ：AB=DE ：BC【解析】A 、当DE ∥BC ，则△AED ∽ACB ，所以A 选项错误；B 、当AD•AC=AB•AE ，即AD ：AB=AE ：AC ，而∠A 公共，则△AED ∽ACB ，所以B 选项错误； C 、当AD ：AC=AE ：AB ，而∠A 公共，则△AED ∽△ABC ，所以C 选项D 、AD ：AB=DE ：BC ，而它们的夹角∠ADE 和∠ABC 不确定相等，则不能判断△AED 与△ABC 相似，所以D 选项正确．故选D ．5．（2020·广西蒙山县二中初三月考）能判定ABC 与A B C '''相似的条件是（ ）A ．ABAC A B A C ='''' B ．AB A B AC A C ''=''，且A C '∠=∠ C ．AB BC A B A C =''''且B A '∠=∠ D ．AB ACA B A C =''''，且B B '∠=∠【解析】解：Ａ．AB AC A B A C =''''，Ｂ．AB A B AC A C ''=''，且A C '∠=∠， Ｄ．AB ACA B A C =''''，且B B '∠=∠，均不能判断ABC 与A B C '''相似，故错误； Ｃ．AB BCA B A C =''''且B A '∠=∠，能判定ABC 与A B C '''相似，本选项正确故选：C ． 6．（2020·合肥市第四十六中学月考）如图，点D 、E 分别在ABC ∆的AB 、AC 边上，增加下列哪些条件：①AED B ∠=∠；②AE DE AB BC=；③AD AEAC AB =，使ADE ∆与ACB ∆一定相似（ ）A ．①③B ．②③C ．①②D ．①②③【解析】①∵A A ∠=∠ ,AED B ∠=∠ADEACB ∴,故正确；②虽然有对应边成比例，但是夹角并不一定相等，所以ADE ∆与ACB ∆不一定相似，故错误； ③∵A A ∠=∠，AD AEAC AB=ADE ACB ∴,故正确；所以正确的是：①③故选：A ．7．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）下列各组图形中，不一定相似的是（ ） A ．各有一个角是100°的两个等腰三角形 B ．各有一个角是90°的两个等腰三角形 C ．各有一个角是60°的两个等腰三角形 D ．各有一个角是50°的两个等腰三角形 【解析】A 、各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似；B 、两个等腰直角三角形，对应边的比相等，锐角都是45°，相等，所以一定相似；C 、各有一个角是60°的两个等腰三角形，是等边三角形，有两对对应角相等，所以一定相似；D 、各有一个角是50°的两个等腰三角形，可能是顶角为50°，也可能底角为50°，所以对应角不一定相等，所以不一定不相似；故选：D ．8．（2020·安徽初三月考）如图，在ABC 中，D 、E 分别是边AC 、AB 上的点，则下列命题中，属于假命题的是（ ）A ．若ADE ABC =∠∠，则ADE ABC △△∽B ．若AD ABAE AC =，则ADE ABC △△∽ C ．若AD AECD BE =，则ADE ACB ∽ D ．若AD AB DE BC=，则ADE ABC △△∽ 【解析】解：A 、若ADE ABC =∠∠，∠A 为公共角，则ADE ABC △△∽，是真命题；B 、若AD ABAE AC=，∠A 为公共角，则ADE ABC △△∽，是真命题； C 、若AD AECD BE =，则AD AE AC AB =，∠A 为公共角，则ADE ABC △△∽，是真命题； D 、若AD AB DE BC=，由于条件不够，不能证明ADE ABC △△∽，故D 是假命题；故选：D.9．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）点D 在ABC 的边AB 上，且2AC AD AB =⋅，则ABC ACD ，理由是_______．【解析】依题意，画图如下：2AC AD AB =⋅，即AB ACAC AD=， 又A A ∠=∠，ABC ACD ~∴（有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）， 故答案为：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．10．（2020·山西太原·初三期中）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，过点C 任作一直线l ，过点A 作AD l ⊥于点D ，过点B 作BE l ⊥于点E ．（1）指出图中的一对相似三角形并证明；（2）当ABC CBE ∆∆时，需添加一个条件，这个条件可以是___ (只要求写出一种情况即可)【解析】解：ACD CBE ∆∆，证明：AD l ⊥于点,D BE l ⊥于点E 90ADC CEB ︒∴∠=∠=90ACB ︒∠=90DAC DCA BCE DCA ︒∴∠+∠=∠+∠=DAC ECB ∴∠=∠.ACD CBE ∴∆∆∽()2BAC BCE ∠=∠,,AC BC ABC CBE CE BE ⎛⎫∠=∠= ⎪⎝⎭答案不唯一 ∵BE ⊥DE ∴∠BEC=90°=∠ACB ，再添加BAC BCE ∠=∠ 根据两角对应相等的两个三角形相似，得到ABC CBE ∆∆；∵∠BEC=90°=∠ACB ，再添加AC BC CE BE= 根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，得到ABCCBE ∆∆题型2相似三角形基本模型（A 字型）【方法点拨】基本模型：A 字型（平行） 反A 字型（不平行）1．（2020·江苏宝应·）如图，在ABC ∆中，点,E F 分别在,AB AC 上，且AE ABAF AC =．（1）求证：AEFABC ∆∆；（2）若点D 在BC 上，AD 与EF 交于点G ，求证：EG FGBD CD=．【解析】解：（1）在△AEF 和△ABC 中，∵EAF BAC ∠=∠，AE ABAF AC=，∴△AEF ∽△ABC ； （2）∵△AEF ∽△ABC ，∴∠AEF =∠ABC ，∴EF ∥BC ， ∴△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ，∴EG AG BD AD =,FG AGCD AD =，∴EG FG BD CD=．2.（2020•东明县模拟）如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3．（1）求CE 的长．（2）在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别是AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ．小明认为DPBQ=PE QC，你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由．【解答】解：（1）由DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AD+BD=AE AE+EC，∵AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3，∴CE ＝6．（2）结论正确，理由如下，在△ABQ 中，由于DP ∥BQ ， ∴△ADP ∽△ABQ ，∴DP BQ=AP AQ，同理可得：EPCQ=AP AQ，∴DPBQ=EP CQ3.（2020•松江区一模）已知：如图，点D ，F 在△ABC 边AC 上，点E 在边BC 上，且DE ∥AB ，CD 2＝CF •CA ．（1）求证：EF ∥BD ；（2）如果AC •CF ＝BC •CE ，求证：BD 2＝DE •BA ．【解答】证明：（1）∵DE ∥AB ，∴CD AC=CE CB，∵CD 2＝CF •CA ．∴CD AC=CF CD，∴CFCD=CE CB，∴EF ∥BD ；（2）∵EF ∥BD ，∴∠CEF ＝∠CBD ， ∵AC •CF ＝BC •CE ，∴AC BC=CE CF，且∠C ＝∠C ，∴△CEF ∽△CAB ，∴∠CEF ＝∠A ，∴∠DBE ＝∠A ，∵DE ∥AB ，∴∠EDB ＝∠DBA ，且∠DBE ＝∠A ， ∴△BAD ∽△DBE ，∴BA BD=BD DE∴BD 2＝BA •DE4．（2020·上海浦东新·初三三模）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，6AC =，AD 平分BAC ∠，交边BC 于点D ，过点D 作CA 的平行线，交边AB 于点E ．（1）求线段DE 的长；（2）取线段AD 的中点M ，联结BM ，交线段DE 于点F ，延长线段BM 交边AC 于点G ，求EFDF的值．【解析】解：（1）∵AD 平分BAC ∠，60BAC ∠=︒，∴30DAC ∠=︒．在Rt ACD ∆中，90ACD ∠=︒，30DAC ∠=︒，6AC =，∴CD =．在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，6AC =，∴BC =BD BC CD =-=． ∵//DE CA ，∴BDE BCA ∽∴23DE BD CA BC ==．∴4DE =． （2）∵点M 是线段AD 的中点，∴DM AM =．∵//DE CA ，∴DFM AGM △∽△∴DF DMAG AM=．∴DF AG =． ∵//DE CA ，∴BEF BAG △∽△∴23EF BE BD AG BA BC ===∴23EF DF =． 5．（2019·全国初三专题练习）如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，8AB =，6AC =．若动点D 从点A 出发，沿射线AB 运动，运动速度为每秒2个单位长度．过点D 作DE BC ∥交AC 于点E ，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y ．（1）求出y 关于x 的函数关系式；（2）当x 为何值时，BDE 的面积S 有最大值或最小值，最大值或最小值为多少？【解析】（1）①如图，当D 点在线段AB 上时， ∴ADE ∽ABC ，∴AD AEAB AC=又2AD x =，8AB =，AE y =，6AC =，∴296x y =，∴32y x =． ②如图，当D 在AB 延长线上时，∵DE BC ∥，∴AB AC AD AE =，∴862x y =，∴32y x =． （2）①如图，当D 在线段AB 上时，()2223336626222DEB ABE ADE S S S x x x x x =-=-+=-+=--+△△△．∴当2x =时，6S =最大 ．∴当2x =时，S 有最小值，且最小值为6-．不符合题意舍去． ②如图，当D 在AB 延长线上时，()223362622DEB ADE ABE S S S x x x =-=-=--△△△． 综上所述：当2x =时，S 有最大值，且最大值为6．6.（2020•东莞市一模）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED ＝∠B ，线段AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD AC=DF CG．（1）求证：△ADF ∽△ACG ；（2）若AD AC=37，求AF FG的值．【解答】（1）证明：∵∠AED ＝∠B ，∠DAE ＝∠CAB ，∴△AED ∽△ABC ，∴∠ADF ＝∠C ， 又∵AD AC=DF CG，∴△ADF ∽△ACG ；（2）解：∵△ADF ∽△ACG ，∴AD AC=AF AG，∵AD AC=37，∴AFAG=37，∴AF FG=34．7．（2020·广东华南师大附中初三零模）如图,在ABC 中，45B ∠=︒，5BC =，高4=AD ， 矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ．(1)求证：AEF ABC ∽； (2)设EF x =，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求出最大面积； (3)当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线AD 匀速向上运动(当矩形的边PQ 到达A 点时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFPQ 与ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．【解析】解：（1）∵四边形EFPQ 为矩形，∴EF ∥BC ，∴AEF ABC ∽；（2）∵AEF ABC ∽∴AH EF AD BC =，即445HD x -=，∴HD=4-45x， ∴S 矩形EFPQ =EF•FQ=EF•HD=x （4-45x ）=-45x 2+4x ， 该函数为开口向下的二次函数，故当x=52时有最大值，最大值为5，即当x为52时，矩形的面积有最大值5；（3）由（2）可知，当矩形面积取最大值时，EF=52，FQ=2，①当0≤t≤2时，如图1，设矩形与AB 、AC 分别交与点M 、N 、R 、S ，与AD 交于J 、L ，连接RS ，交AD 于K ，由题意可知LD=JK=t ，则AJ=AD -LD -JL=4-t -2=2-t ，又∵RS=52，∴R 、S 为AB 、AC 的中点，∴AK=12AD=2，ES=FR=JK=t ，又∵MN ∥RS ，∴AJ MN AK RS =，即2522t MN-=，∴MN=52-54t ， ∴EM+FN=EF -MN=52-（52-54t ）=54t ，∴S △EMS +S △FNR =12ES （EM+FN ）=12t•54t=258t ，∴S=S 矩形EFPQ -（S △EMS +S △FNR ）=5-258t ；②当2＜t≤4时，如图2，设矩形与AB 、AC 、AD 分别交于点Q′、P′、D′，根据题意D′D=t ，则AD′=4-t ，∵PQ ∥BC ，∴Q D AD BC P A ='''，即445P Q t =''-，解得P′Q′=5-54t ， ∴S=S △AP′Q′=12P′Q′•AD′=12（4-t ）（5-54t ）=258t -5t+10； 综上可知S=()()22502855102485t t t t t ⎧≤-≤⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩＜．题型3相似三角形基本模型（X 字型）【方法点拨】基本模型：X 字型（平行） 反X 字型（不平行）1.（2020•黄浦区期中）如图，已知在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，点D 在BE 延长线上，且BA •BC ＝BD •BE ．（1）求证：△ABD ∽△EBC ；（2）求证：AD 2＝BD •DE ．【解答】证明：（1）∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBC ， ∵BA •BC ＝BD •BE ．即AB BC=BD BE，∴△ABD ∽△EBC ；（2）∵△ABD ∽△EBC ，∴∠BAD ＝∠BEC ，∠ADB ＝∠BCE ， ∵∠AED ＝∠BEC ，∴∠BAD ＝∠AED ，∴△ADE ∽△BEC ， ∴△AED ∽△ABD ，∴AD BD=DE AD，即AD 2＝BD •DE ．2.（2020•朔城区期末）如图，AG ∥BD ，AF ：FB ＝1：2，BC ：CD ＝2：1，求GEED的值【解答】解：∵AG ∥BD ，∴△AFG ∽△BFD ，∴AG BD=AF BF=12，∵BCCD =2，∴CD =13BD ，∴AG CD =32，∵AG ∥BD ，∴△AEG ∽△CED ，∴GEED=AG CD=32．3.（2020•花都区期末）如图：已知▱ABCD ，过点A 的直线交BC 的延长线于E ，交BD 、CD 于F 、G ． （1）若AB ＝3，BC ＝4，CE ＝2，求CG 的长；（2）证明：AF 2＝FG ×FE ．【解答】（1）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ， ∴△EGC ∽△EAB ，∴CG AB=EC EB，即CG 3=22+4，解得，CG ＝1；（2）证明：∴AB ∥CD ，∴△DFG ∽△BF A ，∴FG FA=DF FB，∴AD ∥CB ，∴△AFD ∽△EFB ，∴AF FE=DF FB，∴FG FA=AF FE，即AF 2＝FG ×FE ．4.（2020•滨江区期末）如图，AD 与BC 交于点O ，EF 过点O ，交AB 与点E ，交CD 与点F ，BO ＝1，CO ＝3，AO =32，DO =92．（1）求证：∠A ＝∠D ．（2）若AE ＝BE ，求证：CF ＝DF ．【解答】证明：（1）∵BO ＝1，CO ＝3，AO =32，DO =92．∴OB OC=AO DO，∵∠AOB ＝∠COD ，∴△OAB ∽△ODC ，∴∠A ＝∠D ． （2）∵∠A ＝∠D ，∴AB ∥CD ，∴AE DF=OE OF，BE CF=OE OF，∴AEDF=BE CF．∵AE ＝BE ，∴CF ＝DF ．5．（2020·江苏如皋·初三二模）已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒（如图）．以线段AB 为边向外作等边三角形ABD ，点E 是线段AB 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F ．（1）求证：四边形BCFD 为平行四边形；（2）连接CD ，交AB 于点M ．①若6AB =，求BM 的长；②作MN AC ⊥，垂足为N ，求证：111BC AD MN+=．【解析】（1）∵ABD △是等边三角形 ∴AD AB BD ==，60BAD ABD D ∠=∠=∠=︒ 在Rt ABC 中，30CAB ∠=︒∴60ABC ∠=︒ ∵点E 是线段AB 的中点∴12CE BE AE AB ===∴BCE 是等边三角形 ∴60CEB CBE ABC ∠=∠=∠=︒，BC CE =∴60ABD CEB ∠=∠=︒∴//CF BD606060180CBD D CBE ABD D ∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒∴//BC FD ∴四边形BCFD 为平行四边形；（2）①如图，连接CD ，交AB 于点M ∵//BC FD ∴BCM ADM ~∴BM BCAM AD= ∵12BC CE AB ==，AB AD =∴12BM BC AM AD == ∵6AB BM AM =+=∴123BM AB ==； ②如图，作MN AC ⊥，垂足为N∵90ACB ∠=︒，306090CAD BAC BAD ∠=∠+∠=︒+︒=︒，MN AC ⊥∴////BC MN DA ∴AMNABC ，C CMN DA ~∴MN AN BC AC =，MN CNDA CA = ∴1MN MN AN CN AN CN ACBC DA AC CA AC AC ++=+=== ∴111BC AD MN+=．6．（2020·苏州市吴中区光福中学初二期末）如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC 、CD 于点P 、Q ．（1）求证：△PCQ ∽△RDQ ；（2）求BP ：PQ ：QR 的值．【解析】解：（1）∵PC DR ∥，∴PCQ RDQ ∠=∠． 又∵PQC RQD ∠=∠．∴PCQ RDQ △∽△．（2）∵四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形， ∴BC AD CE ==，//AC DE ．∴PB PR =，12PC RE =． 又∵点R 是DE 中点，∴DR RE =．由（1）知PCQ RDQ △∽△，∴12PQ PC PC QR DR RE ===，∴2QR PQ =． 又∵3BP PR PQ QR PQ ==+=，∴::3:1:2BP PQ QR =．7．（2020·山东乐陵·初三期末）（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目：如图1，在ABC ∆中，点O 在线段BC 上，30BAO ∠=︒，75OAC ∠=︒，AO =:2:1BO CO =，求AB 的长．经过数学小组成员讨论发现，过点 B 作//BD AC ，交AO 的延长线于点D ，通过构造ABD ∆就可以解决问题（如图2）请回答：____ADB ∠=︒，______AB =．（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3在四边形ABCD 中对角线AC 与BD 相交于点O ，AC AD ⊥，AO =75ABC ACB ∠=∠=︒，:2:1BO OD =．求DC 的长．【解析】解: (1)//BD AC ，75ADB OAC ∴∠=∠=︒.BOD COA ∠=∠BOD COA ∴∆∆2OD OBOA OC∴==又3AO =2OD AO ∴==AD AO OD ∴=+=30,75,BAD ADB ∠=︒∠=︒18075,ABD BAD ADB ADB ∴∠=︒-∠-∠=︒=∠AB AD ∴==75；(2)过点B 作//BE AD 交AC 于点E ，如图所示.AC AD ⊥，//BE AD 90DAC BEA ∴∠=∠=︒. AOD EOB ∠=∠AOD EOB ∴∆∆==OB OE BEOD OA DA∴ :2:1BO OD ==2OE BEOA DA∴=3AO =,EO ∴=AE =75ABC ACB ∠=∠=︒30,BAC AB AC ∴∠=︒=2AB BE ∴=在Rt AEB ∆中，222BE AE AB +=，即(()2222BE BE +=，解得：3BE =6,6AB AC AD ∴===32AC ∴=在Rt CAD ∆中，CD ===CD = 题型4相似三角形基本模型（AX 型）【方法点拨】A 字型及X 字型两者相结合，通过线段比进行转化.1．（2019·乡宁县枣岭乡谭坪中学初三期中）如图，在中，、分别是、的中点，动点在射线上，交于点，的平分线交于点，当时，_____．【解析】如图，延长BQ 交射线EF 于点M、分别是、的中点ABC ∆6BC =E F AB AC P EF BP CE D CBP ∠CE Q 13CQ CE =EP BP+=E F AB AC //EF BC ∴M CBM ∴∠=∠平分 由得 即故答案为：12．2.（2020•丛台区三模）如图，△ABC 中，D ．E 分别是AB 、AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE ． （1）求证：△ADE ∽△ABC ；（2）若DF ＝2，求FC 的长度．【解答】（1）证明：∵BD ＝2AD ，CE ＝2AE ，∴AD AB=AE AC=13，又∵∠DAE ＝∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC ； （2）解：∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC=AD AB=13，∠ADE ＝∠ABC ，∴DE ∥BC ，∴△DEF ∽△CBF ，∴DF CF=DE CB，即2CF=13，∴FC ＝6．3.（2020•江夏区模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，连结AE 并延长，交对角线BD 于点F 、DC 的延长线于点G ．如果CE BE=23，求FEEG的值．【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ． ∵AD ∥BE ，∴△BEF ∽△DAF ，∴EF AF=BE DA ．又∵BC ＝BE +CE ，CEBE =23，∴BE =35BC =35DA ，∴EF =35AF ，∴AE =3+53EF =83EF ．∵CE ∥AD ，△CEG ∽DAG ，∴GE GA=CE DA=22+3，∴GE =25GA ，BQ CBP ∠CBM PBM ∴∠=∠PBM B ∴∠=∠BP MP ∴=EP BP EP M P EM ∴+=+=13CQ CE =2EQ CQ ∴=//EF BC EMQ CBQ ∆~∆2EM EQ BC CQ ∴==22612EM BC ∴==⨯=12EPBP +=∴GE =25−2AE =23×83EF =169EF ，∴FE EG =916．4．（2020·广东高州·初三其他）如图，在菱形ABCD 中，∠ADE 、∠CDF 分别交BC 、AB 于点E 、F ，DF 交对角线AC 于点M ，且∠ADE ＝∠CDF ．（1）求证：CE ＝AF ；（2）连接ME ，若CE BE ＝CDCE，AF ＝2，求ME 的长．【解析】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∠DAF ＝∠DCE ， 又∵∠ADE ＝∠CDF ，∴∠ADE ﹣∠EDF ＝∠CDF ﹣∠EDF ，∴∠ADF ＝∠CDE ，在△ADF 和△CDE 中，ADF CDFAD CD DAF DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADF ≌△CDE ，∴CE ＝AF ．（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，由（1）得：CE ＝AF ＝2，∴BE ＝BF ，设BE ＝BF ＝x ，∵CE BE ＝CDCE，AF ＝2，∴222x x +=，解得x1，∴BE ＝BF1，∵CE BE ＝CD CE ，且CE ＝AF ，∴CE BE ＝CD CE ＝CD AF， ∵∠CMD ＝∠AMF ，∠DCM ＝∠AMF ，∴△AMF ∽△CMD ，∴CD CMAF AM=， ∴CD CM CEAF AM BE==，且∠ACB ＝∠ACB,∴△ABC ～△MEC, ∴∠CAB ＝∠CME=∠ACB ，∴ME=CE=2．5．（2019·全国初三专题练习）已知如图，在梯形中，，、的延长线相交于点，、相交于点，连结并延长交于点，交于点．那么线段与是否相等？请说明理由．ABCD CD AB AD BC E AC BD O EO AB M CD N AM BM【解析】相等．理由如下：∵，∴∽，∽，∽．∴，，．∴．∴． ∵，∴∽，∽，∽．∴，，．∴． ∴．∴．∴．∴． 6.（2019•五华县期末）已知，如图，在平行四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，E 是边BA 延长线上的一点，连接EM ，分别交线段AD 于点F 、AC 于点G ．（1）求证：△AFG ∽△CMG ；（2）求证：GF GM=EF EM．【解答】（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠F AG ＝∠MCG ，∵∠AGF ＝∠CGM ，∴△AFG ∽△CMG ； （2）证明：∵△AFG ∽△CMG ，∴GF GM=AF CM，∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△BEM ，∴AFBM=EF EM又∵CM ＝BM ，∴AFCM=EF EM，∴GFGM=EFEM．7.如图：AD ∥EG ∥BC ，EG 交DB 于点F ，已知AD ＝6，BC ＝8，AE ＝6，EF ＝2．（1）求EB 的长；（2）求FG 的长．【解答】解：（1）∵EG ∥AD ，∴△BAD ∽△BEF ，∴BE BA=EF AD，即BEBE+6=26，∴EB ＝3．（2）∵EG ∥∥BC ，∴△AEG ∽△ABC ，∴EG BC=AE AB，即EG 8=66+3，∴EG =163，∴FG ＝EG ﹣EF =103．CD AB EDN △EAM △△ENC EM B △EDC △EAB DN DE AM AE =CN CE BM BE =DE CE AE BE =DN CN AM BM =BM CNAM DN=CD AB OND △OMB △ONC △OMA OCD OAB DN OD BM OB =CN OC AM OA =OD OC OB OA =DN CNBM AM =AM CN BM DN =BM AMAM BM=22AM BM =AM BM=题型5相似三角形基本模型（母子型）【方法点拨】图1垂直母子型条件：,AC BC AB CD ⊥⊥，图1结论：ABC ACD CBD ∽∽； 图2斜交母子字型条件：C ABD ∠=∠，图2结论：ABC ABD ∽；1、在Rt ABC 中，90,ACB CD AB ∠=︒⊥，垂足为,8,2D AD DB ==，求CD 的长【解析】∵CD AB ⊥，∴90ADC CDB ∠=∠=︒，∴90ACD A ∠+∠=︒， ∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCD ∠+∠=︒，∴A BCD ∠=∠， ∴ADC CDB ∽，∴CD ADBD CD=，∴28216CD AD BD =⋅=⨯=，∴4CD =． 2、如图，在ABC 中，AB AC =，点P 、D 分别是BC AC 、边上的点，且APD B ∠=∠． （1）求证：AC CD CP BP ⋅=⋅；（2）若10,12AB BC ==，当//PD AB 时，求BP 的长．【解析】（1）∵AB AC =，∴B C ∠=∠．∵APD B ∠=∠，∴APD B C ∠=∠=∠． ∵,APC BAP B APC APD DPC ∠=∠+∠∠=∠+∠， ∴BAP DPC ∠=∠，∴ABP PCD ∽，∴BP ABCD CP=，∴AB CD CP BP ⋅=⋅． ∵AB AC =，∴AC CD CP BP ⋅=⋅；（2）如图，∵//PD AB ，∴APD BAP ∠=∠．∵APD C ∠=∠，∴BAP C ∠=∠．∵B B ∠=∠，∴BAP BCA ∽，∴BA BPBC BA=． ∵10,12AB BC ==，∴101210BP =，∴253BP =．3.（2019•越城区一模）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高．如果BD ＝4，CD ＝6，那么BC ：AC 是（ ）A ．3：2B ．2：3C ．3：√13D ．2：√13．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，∴∠ADC ＝∠CDB ＝∠ACB ＝90°， ∵∠A +∠B ＝90°，∠A +∠ACD ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ，∴△ACD ∽△CBD ， ∴AC BC=CD BD=64=32∴BC AC=23，故选：B ．4．（2020•南京）如图，在△ABC 和△A 'B 'C '中，D 、D '分别是AB 、A 'B '上一点，AD AB=A′D′A′B′．（1）当CD C′D′=AC A′C′=AB A′B′时，求证△ABC ∽△A 'B 'C ．证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（2）当CD C′D′=AC A′C′=BC B′C′时，判断△ABC 与△A 'B 'C ′是否相似，并说明理由．【解答】（1）证明：∵AD AB=A′D′A′B′，∴AD A′D′=AB A′B′，∵CD C′D′=AC A′C′=AB A′B′，∴CDC′D′=ACA′C′=ADA′D′，∴△ADC ∽△A ′D ′C ，∴∠A ＝∠A ′，∵AC A′C′=AB A′B′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′．故答案为：CDC′D′=AC A′C′=ADA′D′，∠A ＝∠A ′．（2）如图，过点D ，D ′分别作DE ∥BC ，D ′E ′∥B ′C ′，DE 交AC 于E ，D ′E ′交A ′C ′于E ′．∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB=DE BC =AE AC，同理，A′D′A′B′=D′E′B′C′=A′E′A′C′，∵AD AB=A′D′A′B′，∴DE BC=D′E′B′C′，∴DE D′E′=BC B′C′，同理，AE AC=A′E′A′C′，∴AC−AE AC =A′C′−A′E′A′C′，即ECAC=E′C′A′C′，∴EC E′C′=ACA′C′，∵CD C′D′=AC A′C′=BC B′C′，∴CDC′D′=DED′E′=ECE′C′，∴△DCE ∽△D ′C ′E ′，∴∠CED ＝∠C ′E ′D ′，∵DE ∥BC ，∴∠CED +∠ACB ＝90°，同理，∠C ′E ′D ′+∠A ′C ′B ′＝180°，∴∠ACB ＝∠A ′B ′C ′， ∵AC A′C′=CB C′B′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′．5.（2019•张家口模拟）如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB=12，△CEF 的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则S 1S 2的值等于（ ）A ．116B ．15C ．14D ．125【解答】解：∵AD AB=12，∴设AD ＝BC ＝a ，则AB ＝CD ＝2a ，∴AC =√5a ，∵BF ⊥AC ，∴△CBE ∽△CAB ，△AEB ∽△ABC ，∴BC 2＝CE •CA ，AB 2＝AE •AC ∴a 2＝CE •√5a ，4a 2＝AE •√5a ，∴CE =√5a5，AE =4√5a5，∴CE AE =14， ∵△CEF ∽△AEB ，∴S 1S 2=（CEAE）2=116，故选：A ． 6.（2019·全国初三课时练习）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD=∠B,（1）求证：AC•CD=CP•BP ；（2）若AB=10，BC=12，当PD ∥AB 时，求BP 的长．【解析】（2）易证∠APD=∠B=∠C ，从而可证到△ABP ∽△PCD ，即可得到BP ABCD CP=，即AB•CD=CP•BP ，由AB=AC 即可得到AC•CD=CP•BP ；（2）由PD ∥AB 可得∠APD=∠BAP ，即可得到∠BAP=∠C ，从而可证到△BAP ∽△BCA ，然后运用相似三角形的性质即可求出BP 的长．解：（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠C ．∵∠APD=∠B ，∴∠APD=∠B=∠C ． ∵∠APC=∠BAP+∠B ，∠APC=∠APD+∠DPC ，∴∠BAP=∠DPC ， ∴△ABP ∽△PCD ，∴BP ABCD CP=，∴AB•CD=CP•BP ．∵AB=AC ，∴AC•CD=CP•BP ； （2）∵PD ∥AB ，∴∠APD=∠BAP ．∵∠APD=∠C ，∴∠BAP=∠C ． ∵∠B=∠B ，∴△BAP ∽△BCA ，∴BA BP BC BA =．∵AB=10，BC=12，∴101210BP =，∴BP=253． 7、在Rt ABC 中，90,ACB CD AB ∠=︒⊥，垂足为,8,2D AD DB ==，求CD 的长【解析】∵CD AB ⊥，∴90ADC CDB ∠=∠=︒，∴90ACD A ∠+∠=︒， ∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCD ∠+∠=︒，∴A BCD ∠=∠，∴ADC CDB ∽， ∴CD ADBD CD=，∴28216CD AD BD =⋅=⨯=，∴4CD =．题型6相似三角形基本模型（旋转型（手拉手））【方法点拨】基本模型：旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形.1.如图，△ABC ∽△ADE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB 与DE 交于点O ，AB ＝4，AC ＝3，F 是DE 的中点，连接BD ，BF ，若点E 是射线CB 上的动点，下列结论：①△AOD ∽△FOB ，②△BOD ∽△EOA ，③∠FDB +∠FBE ＝90°，④BF =56AE ，其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．②③D ．②③④【解答】解：∵△ABC ∽△ADE ，∴∠ADO ＝∠OBE ， ∵∠AOD ＝∠BOE ，∴△AOD ∽△EOB ，∴OD OB=OA OE，∴OD OA=OB OE，∵∠BOD ＝∠AOE ，∴△BOD ∽△EOA ，故②正确，∵△AOD ∽△EOB ，△BOD ∽△EOA ，∴∠ADO ＝∠EBO ，∠AEO ＝∠DBO ， ∵∠ADO +∠AEO ＝90°，∴∠DBE ＝∠DBO +∠EBO ＝90°，∵DF ＝EF ，∴FD ＝FB ＝FE ，∴∠FDB ＝∠FBD ，∴∠FDB +∠FBE ＝∠FBD +∠FBE ＝90°，故③正确， 在Rt △ABC 中，∵AB ＝4，AC ＝3，∴BC =√32+42=5，∵△ABC ∽△ADE ，∴DE AE=BC AC=53，∵BF =12DE ，∴2BF AE=53，∴BF =56AE ，故④正确，∵∠ADO ＝∠OBE ，∴∠ADO ≠∠OBF ，∴无法判断△AOD ∽△FOB ，故①错误．故选：D ．2.（2019•福田区校级期末）如图，在△ABC 与△ADE 中，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ，连接BD 、CE ，若AC ：BC ＝3：4，则BD ：CE 为（ ）A ．5：3B ．4：3C ．√5：2D ．2：√3【解答】解：∵∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ， ∴△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，AC AB=AE AD，∵∠BAC +∠BAE ＝∠DAE +∠BAE ，即∠CAE ＝∠BAD ， ∵AC AB=AE AD，∴△ACE ∽△ABD ，∴BD CE=AB AC，∵AC ：BC ＝3：4，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∴AC ：BC ：AB ＝3：4：5， ∴BD ：CE ＝5：3，故选：A ．3.（2020•昭平县期末）如图，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，AE ＝3，AD ＝4.5，DE ＝6，∠BAD ＝20°，则∠CAE 的度数为（ ）A ．10°B ．20°C ．40°D ．无法确定【解答】解：AC AE=23，AB AD=34.5=23，BC DE=46=23，∴AC AE=AB AD=BC DE，∴△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ， ∴∠CAE ＝∠BAD ＝20°，故选：B ．4．（2020·全国初三专题练习）在和中，，，与在同一条直线上，点与点重合，，如图为将绕点顺时针旋转后的图形，连接，，若，求和的面积．Rt ABC Rt DEF △30ABC EDF ∠=∠=︒90BAC DEC ∠=∠=︒BC DF C F 2AC =CED C 30BD AE 12EF AC =BDC AEC【解析】解：如图所示，过点D 作DM BC 于点M ，∵AC=2，，∴，又∵，， ∴在BAC 和DEC 中，，，由旋转性质知，，，∴BDC ∽AEC ，故， 在DMC 中，，，∴，∴， ∵BDC ∽AEC ，∴，∴，∴BDC 和AEC 的面积分别为2和． 5.（2020•亳州模拟）已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，点F 在DE 的延长线上，AD ＝AF ，AE •CE ＝DE •EF ．（1）求证：△ADE ∽△ACD ；（2）如果AE •BD ＝EF •AF ，求证：AB ＝AC ．【解答】证明：（1）∵AD ＝AF ，∴∠ADF ＝∠F ，∵AE •CE ＝DE •EF ，∴AE DE=EF CE，又∵∠AEF ＝∠DEC ，∴△AEF ∽△DEC ，∴∠F ＝∠C ，∴∠ADF ＝∠C ， 又∵∠DAE ＝∠CAD ，∴△ADE ∽△ACD ． （2）∵AE •BD ＝EF •AF ，∴AE AF=EF BD，∵AD ＝AF ，∴AEAD=EF BD，∵∠AEF ＝∠EAD +∠ADE ，∠ADB ＝∠EAD +∠C ，∴∠AEF ＝∠ADB ， ∴△AEF ∽△ADB ，∴∠F ＝∠B ，∴∠C ＝∠B ，∴AB ＝AC ．⊥1EF=AC 2EC=1ABC=30∠︒EDC=30∠︒Rt △Rt △BC=2AC=4DC=2EC=2BCD ACE 30∠=∠=︒BC CD ==2AC EF BD BC==2AE ACRt △BCD=30∠︒DC=2DM=1BDC BC DM 41222S ⋅⨯===△2AEC BDC1124SS⎛⎫== ⎪⎝⎭AEC 11242S ⨯==△127．（2020·洛阳市第二外国语学校二模）已知，ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝2α°，点D 为BC 边中点，连接AD ，点E 为线段AD 上一动点，把线段CE 绕点E 顺时针旋转2α°得到线段EF ，连接FG ，FD ． （1）如图1，当∠BAC ＝60°时，请直接写出的值；（2）如图2，当∠BAC ＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；【解析】（1）连接BF ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∵线段CE 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EF ，∴EC ＝EF ，∠CEF ＝60°，∴△EFC 都是等边三角形， ∴AC ＝BC ，EC ＝CF ，∠ACB ＝∠ECF ＝60°，∴∠ACE ＝∠BCF ， ∴△ACE ≌△BCF （SAS ），∴AE ＝BF ，∴＝1． （2）不成立，结论：＝．证明：连接BF ， ∵AB ＝AC ，D 是BC 中点，∴AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∴∠BAC ＝∠CEF ＝90°， ∴△ABC 和△CEF 为等腰直角三角形，∴∠ACB ＝∠ECF ＝45°，∴∠ACE ＝∠BCF ，BFAEBFAEAEBF 2∴＝，∴△ACE ∽△BCF ，∴∠CBF ＝∠CAE ＝α，∴＝题型7相似基本模型（K 字型（一线三等角））【方法点拨】基本模型：如图1，∠B =∠C =∠EDF 推出△BDE ∽△CFD （一线三等角） 如图2，∠B =∠C =∠ADE 推出△ABD ∽△DC E （一线三等角）如图3，特别地，当D 时BC 中点时：△BDE ∽△DFE ∽△CFD 推出ED 平分∠BEF ，FD 平分∠EFC. 1．（2020·广西平桂·期末）如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C ＝90°，AB ＝1，CD ＝2，BC ＝3，点P 为BC 边上一动点，若AP ⊥DP ，则BP 的长为_____．【解析】设BP=x ，则PC=3-x ，∵AB ∥CD ，∠C ＝90°，∴∠B=180°-∠C=90°，∴∠B=∠C ， ∵AP ⊥DP ，∴∠APB+∠DPC=90°，∵∠CDP+∠DPC=90°，∴∠CDP=∠APB ，∴△CDP ∽△BPA ，∴， ∵AB ＝1，CD ＝2，BC ＝3，∴，解得：x 1=1，x 2=2， ∴BP 的长为1或2，故答案为：1或22．（2020·湖北保康·初三其他）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，点D 是边BC 上一动点（不与B 、C 重合），∠ADE ＝∠B ＝α，DE 交AC 于点E ，且cos ∠α＝，下列结论：①△ADE ∽△ACD ；②当BD ＝6时，△ABD 与△DCE 全等；③△DCE 为直角三角形时，BD 为8或；④0＜CE ≤6.4．其中正确的结论是_________．（把你认为正确结论的序号都填上）AC BC CE CF AE BF AC BC AB PBPC CD=132xx =-45258【解析】解：①∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，又∵∠ADE ＝∠B ，∴∠ADE ＝∠C ，∴△ADE ∽△ACD ，故①正确； ②作AG ⊥BC 于G ，∵AB ＝AC ＝10，∠ADE ＝∠B ＝α，cosα＝，∴BG ＝ABcosB ，∴BC ＝2BG ＝2ABcosB ＝2×10×＝16， ∵BD ＝6，∴DC ＝10，∴AB ＝DC ，在△ABD 与△DCE 中，∴△ABD ≌△DCE （ASA ），故②正确；③当∠AED ＝90°时，由①可知：△ADE ∽△ACD ，∴∠ADC ＝∠AED ， ∵∠AED ＝90°，∴∠ADC ＝90°，即AD ⊥BC ， ∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ，∴∠ADE ＝∠B ＝α且cosα＝，AB ＝10，BD ＝8， 当∠CDE ＝90°时，易△CDE ∽△BAD ，∵∠CDE ＝90°，∴∠BAD ＝90°， ∵∠B ＝α且cosα＝，AB ＝10，∴cosB ＝＝，∴BD ＝，故③错误； ④易证得△CDE ∽△BAD ，由②可知BC ＝16，设BD ＝y ，CE ＝x ，∴，∴， 整理得：y 2−16y ＋64＝64−10x ，即（y−8）2＝64−10x ，∴0＜x≤6.4，故④正确；故答案为：①②④． 3．（2020·江苏宝应·）如图，在正方形ABCD 中，点E 在AD 上，EF ⊥BE 交CD 于点F ． （1）求证：ABEDEF ∆∆；（2）连结BF ，若ABE EBF ∆∆，试确定点E 的位置并说明理由．4545BAD CDEB C AB DC ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝4545AB BD 45252AB BDDC CE=10y 16y x =-【解析】（1）证明∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=90°，∴∠AEB+∠ABE=90°，∵EF⊥BE，∴∠AEB+∠DEF=90°，∴∠ABE=∠DEF．在△ABE和△DEF中，ABE DEFA D∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴△ABE∽△DEF ；（2）∵△ABE∽△DEF，∴AB BE DE EF=，∵△ABE∽△EBF，∴AB BEAE EF=，∴AB ABDE AE=，∴DE=AE，∴点E为AD的中点．4．（2020·浙江上城·初三一模）如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E．（1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；（2）若△PDE 为正三角形时，求BD+CE的值；（3）当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值．【解析】解：（1）∠BDP＝∠EPC，理由如下：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∵∠DPE＝60°，∴∠DPE＝∠B，∵∠DPC是△BDP的外角，∴∠DPE+∠EPC＝∠B+∠BDP，∴∠EPC＝∠BDP；（2）∵△PDE为正三角形，∴PD＝PE，在△BDP和△CPE中，B CBDP CPEPD EP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDP≌△CPE（AAS），∴BD＝CP，BP＝CE，∴BD+CE＝CP+BP＝BC＝8；（3）∵DE∥BC，△ABC为等边三角形，∴△ADE为等边三角形，∴AD＝AE，∴BD＝CE，∵∠B＝∠C，∠EPC＝∠BDP，∴△BDP∽△CPE，∴BD BPPC CE=，即8BD BPBP BD=-整理得，BD，﹣BP2+8BP＝﹣（BP﹣4）2+16，∴BD的最大值为4．5．（2020·全国初三专题练习）如图，//AB CD ，CD BD ⊥且6AB =，4CD =，14BD =，在BD 上是否存在一点P ，使得以P 、B 、A 为顶点的三角形与以P 、D 、C 为顶点的三角形相似，若存在，求BP 的长，若不存在，请说明理由．【解析】解：存在．∵//AB CD ，CD BD ⊥，∴90B D ∠=∠=︒，设BP x =，则14PD x =-． ①ABP PDC △△∽时，AB BPPD CD =，即6144x x =-，解得12x =，212x =， ∴当2BP =或12时，ABP PDC △△∽； ②当ABP CDP △△∽时，AB BPCD PD =，即6414x x=-，解得8.4x =， ∴当8.4BP =时，ABP CDP △△∽．综上所述，当2BP =或12或8.4时，以P 、B 、A 为顶点的三角形与以P 、D 、C 为顶点的三角形相似． 6．（2020·全国初三专题练习）在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，点D 在BC 所在的直线上运动，作45ADE ∠=︒（A 、D 、E 按逆时针方向）．（1）如图，若点D 在线段BC 上运动，DE 交AC 于E ．①求证：ABD DCE △△∽；②当ADE 是等腰三角形时，求AE 的长；（2）如图，若点D 在BC 的延长线上运动，DE 的反向延长线与AC 的延长线相交于点E '，是否存在点D ，使ADE '△是等腰三角形？若存在，求出线段CD 的长度；若不存在，请简要说明理由；（3）若点D 在BC 的反向延长线上运动，是否存在点D ，使ADE 是等腰三角形？若存在，写出所有点D 的位置；若不存在，请简要说明理由．【解析】（1）①证明：∵90BAC ∠=︒，AB AC =，∴45B C ∠=∠=︒．∴135BAD ADB ∠+∠=︒． 又∵135ADB EDC ∠+∠=︒，∴BAD EDC ∠=∠．∴ABD DCE △△∽；②解：分三种情况：（i ）当AD AE =，45ADE AED ∠=∠=︒时，得到90DAE ∠=︒，点,D E 分别与,B C 重合，∴2AE AC ==．（ii ）当AD DE =时，在△ABD 和△DCE 中，B C ADB CED AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD DCE △△≌，∴2AB CD ==， ∵=2BD CE ==，∴4AE AC CE =-=- （iii ）当AE DE =时，有45EAD ADE C ∠=∠=︒=∠， ∴90ADC AED ∠=∠=︒，AD=CD ，AE=CE=DE ，∴112DE AE AC ===． 综上所述，当ADE 是等腰三角形时，AE 的长为2，4-1． （2）解：存在．∵45ACB ∠=︒，∴CAD ADC 45∠+∠=︒．∵45ADE ∠=︒，∴45DAC DE A '∠+∠=︒．∴ADC DE A '∠=∠，∴ADC AE D '△△∽，∴AC ADDC E D='，当AD DE '=，2DC AC ==． （3）解：不存在．理由如下：如图，∵D 和B 不重合，∴45AED ∠<︒，又45ADE ∠=︒，90DAE ∠>︒，∴AD AE ≠≠DE ．7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6，D 是AC 中点，E 是BC 上一点，BE =52，∠AED ＝∠B ，则CE 的长为（ ）A ．152B ．223C ．365D ．649【解答】解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵∠AEC ＝∠AED +∠DEC ＝∠B +∠BAE ，∠AED ＝∠B ，∴∠DEC ＝∠BAE ，∴△BAE ∽△CED ，∴BA CE=BE CD，∵AB ＝AC ＝6，AD ＝DC ＝3，BE =52，∴6CE =523，∴CE =365，故选：C ．题型8 相似三角形常用辅助线（作平行线）【方法点拨】解决此类问题的关键是作平行线去构造相似三角形从而利用相似三角形的性质去解决问题.基本模型：1．（2020·湖北武汉·初三一模）如图，在中，，，D 是AB 上一点，点E 在BC 上，连接CD ，AE 交于点F ．若，，则__________．【答案】2【解析】解：过D 作DH 垂直AC 于H 点，过D 作DG ∥AE 交BC 于G 点， 在直角三角形ABC 中，，∴又，∴AD=，∴在等腰直角三角形AHD 中，AH=DH=2，∴CH=6－2=4， 在Rt △CHD 中，∵AE ∥DG ，∴∠CFE=∠CDG=45°，∠B=45°，∴∠CDG=∠B ，又∠DCG=∠BCD ，∴△CDG ∽△CBD ，∴，∴ ， 即20=6CG ，∴CG= ，∴BG=BC －CG=6－=，又DG ∥AE ，∴△BDG ∽△BAE ，又，∴， 又BG=，∴BE=BG×=4，∴CE=6－4=2，故答案为：2．2．（2019·全国初三专题练习）如图，在中，是边上的中线，是上的一点，且Rt ABC 90ACB ∠=︒6AC BC ==45CFE ∠=︒2BD AD =CE =6AC BC ==2BD AD =CD CGCB CD=2CD CG CB =•103103832BD AD =23BD BG BA BE ==8332ABC △AD BC F AD，连结并延长交于点，则等于（______）．【解析】解：过点D 作GD ∥EC 交AB 于G ，∵AD 是BC 边上中线，，即BG=GE ， 又∵GD ∥EC ， 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是求出AE 、EB 、EG 之间的关系3．（2020·全国初三课时练习）已知：如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AB=4AE ，连接EM 并延长交BC 的延长线于点D ，求证：BC=2CD ．【解析】证明:（方法一）过点C 作CF ∥AB 交DE 于点F ，∴CDF ∆∽BDE ∆ ∴CF CDBE BD=∵点M 为AC 的中点，∴AM CM = ∵CFAB ∴BAC MCF ∠=∠又∵AME CMF ∠=∠ ∴AME ∆ ≌ CMF ∆ ∴AE CF = ∵4AB AE = ，BE AB AE =-，∴3BE AE = ∴13AE BE = :1:5AF FD =CF AB E :AEEB 1BG BDGE DC∴==15AE AF EG FD ∴==5EG AE ∴=::21:105EGAE EB EG ∴==。
相似三角形模型总结
相似三角形模型总结相似三角形是中学数学中常见的一个概念。
相似三角形有着非常重要的应用，尤其在建筑、地图、航空等领域中被广泛地运用。
在这篇文章中，我将对相似三角形的模型及其应用进行总结。
一、相似三角形的定义相似三角形是指形状相似而大小不同的两个或多个三角形。
它们的对应角度相等，对应边的比例相等。
根据这个定义，我们可以推出相似三角形的判定定理：若两个三角形对应角度分别相等，则它们是相似的。
二、重心模型重心模型是一种抽象的几何模型，它是在研究固体对象的重心和转动惯量时得出的。
对于任意三角形 ABC，以其三条边的中点为顶点，连上互相垂直的直线，将它们相交于 G 点。
这里 G 点称为三角形 ABC 的重心，它与每个中点连成的线段相等。
同时，可以证明如果一个点在三角形内部且到三边距离的乘积等于其到三条中线距离的乘积，则该点一定是三角形的重心。
三、海龟图模型海龟图模型是一个很著名的相似三角形应用模型，它是由美国数学家T. N. Thiele 提出的。
在海龟图中，一个三角形符号代表前进一步，一个圆点符号则代表不动。
当这个图形以相似的规律继续扩展时，就能在图形中看到似乎随机且自相似的模式。
在实际操作中，我们可以将这个模型用于分形的制作和操作中，实现较好的效果。
四、印章模型印章模型是相似三角形的另一种应用模型。
在制作印章时，多会使用到相似三角形的概念。
根据相似三角形的定义，我们可以通过相似三角形来制造缩小复制的图案。
具体来说，我们可以通过将大三角形分割为单位面积相等的若干小三角形，然后根据相似的规律进行缩小，就可以得到与大三角形相似而更小的三角形。
五、三角剖分模型三角剖分模型是相似三角形的一种实际应用模型。
在三角剖分中，我们会把一个多边形分解为多个三角形，这些三角形可以保持相似性，这比将多边形分解成其它形状的图形更容易实现。
总结在本文中，我们总结了几种相似三角形的应用模型，这些模型不仅具有学术研究的意义，更能够应用于实际的生产和生活中。
相似三角形模型(全)课件
在解题过程中，可以根据题目的条件 选择适当的方法来证明或推导结论。
全等三角形可以用来证明两个三角形 完全重合，而相似三角形则可以用来 研究两个三角形的形状和大小关系。
05
相似三角形的证明方法
利用角角相似的证明方法
01
02
03
总结词
通过比较两个三角形的对 应角，如果两个三角形有 两组对应的角相等，则这 两个三角形相似。
相似三角形的对应角相等
总结词
如果两个三角形相似，则它们的 对应角相等。
详细描述
根据相似三角形的定义，如果两 个三角形对应的角都相等，则这 两个三角形是相似的。因此，相 似三角形的对应角必然相等。
相似三角形的对应边成比例
总结词
如果两个三角形相似，则它们的对应边之间存在一定的比例关系。
详细描述
由于两个三角形相似，它们的对应角相等，根据三角形的性质，对应的边之间 必然存在一定的比例关系，这个比例关系是固定的，与三角形的形状和大小无 关。
相似三角形的面积比等于边长比的平方
总结词
如果两个三角形相似，则它们的面积之比等于对应边长之比 的平方。
详细描述
根据相似三角形的性质，两个相似三角形的对应边长之比是 固定的，设为k。那么它们的面积之比就是k的平方，即k^2 。这意味着相似三角形的面积比等于边长比的平方。
相似三角形的周长比等于边长比
相似三角形模型(全)课件
目 录
• 相似三角形的基本概念 • 相似三角形的性质和定理 • 相似三角形的应用 • 相似三角形与全等三角形的关系 • 相似三角形的证明方法
01
相似三角形的基本概念
相似三角形的定义
相似三角形的定义
相似三角形的性质
如果两个三角形对应的角相等，则这 两个三角形相似。
相似三角形12种基本模型证明
相似三角形12种基本模型证明相似三角形是指拥有相同形状但不同大小的三角形。
在三角形中，如果它们的对应角度相等，那么它们就是相似三角形。
相似三角形一般用比例关系表示。
下面是相似三角形12种基本模型的证明：1. AAA相似模型如果两个三角形的三个角分别相等，则它们是相似的。
证明：三角形的三个角之和为180度。
如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们的三个角和也相等，即这两个三角形的三个角和相等，因此它们是相似的。
2. AA相似模型如果两个三角形中有两个对应角相等，则它们是相似的。
证明：假设两个三角形的对应角分别为A和A’，B和B’，C和C’。
由于A和A’相等，B和B’相等，那么它们的第三个对应角C和C’也必须相等。
因此，这两个三角形的三个角分别相等，它们是相似的。
3. SSS相似模型如果两个三角形的三条边分别成比例，则它们是相似的。
证明：假设两个三角形的三条边为a, b, c和a’, b’, c’。
由于它们是成比例的，即a/a’= b/b’= c/c’，那么它们的三边比例相等，即它们是相似的。
4. SAS相似模型如果两个三角形中有两条边成比例，且夹角相等，则它们是相似的。
证明：假设两个三角形的两条边为a, b和a’, b’，夹角为C和C’。
由于它们是成比例的，即a/a’= b/b’，那么它们的三边比例相等。
又由于它们的夹角相等，即C = C’，因此它们是相似的。
5. ASA相似模型如果两个三角形中有两个角相等，且它们对应的两条边成比例，则它们是相似的。
证明：假设两个三角形的两个对应角分别为A和A’，B和B’，且对应的两条边分别为a, a’和b, b’。
由于它们的两条边成比例，即a/a’= b/b’，那么它们的三边比例相等。
又由于它们的两个角相等，即A = A’，因此它们是相似的。
6. HL相似模型如果两个三角形中有一条边和一条斜边分别成比例，且这两条边夹角相等，则它们是相似的。
证明：假设两个三角形的一条边为b，斜边为c，且夹角为C，另一个三角形的一条边为b’，斜边为c’，且夹角为C’。
讲义 相似三角形good - 副本
相似三角形一、基础知识(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b cb b a =⇔=2 （2）合比定理：dd c b b a d c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b b a n d b m c a n m d c b a 3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
4. 相似三角形的性质 ● （1）对应边的比相等，对应角相等.● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5.三角形中位线定义: 连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线.三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
如求河的宽度、求建筑物的高度等。
(三)位似:B位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。
相似三角形中的基本模型课件
对应边成比例
对应角相等
面积比
相似三角形的判定方法
角角判定
如果两个三角形的两个对应角相等， 则这两个三角形相似。
边边判定
角边判定
如果一个三角形的两个角与另一个三 角形的两个角对应相等，并且这两个 三角形的一组对应边的长度之比相等， 则这两个三角形相似。
如果两个三角形的三组对应边的长度 之比相等，则这两个三角形相似。
X型相似模型
总结词
详细描述
斜A型相似模型
总结词 详细描述
斜X型相似模型
总结词
当两个三角形中，两条对应边的夹角相等且这两条对应边上的高相等时，这两个三角形相似。
详细描述
在斜X型相似模型中，两个三角形有两条对应边的夹角相等，并且这两条对应边上的高也相等，则这两个三角形 相似。具体来说，如果$angle A = angle A'$且$frac{a}{b} = frac{c}{d}$，并且高$h_1 = h_2$，那么这两个三 角形相似。
类比思想 转化思想 函数思想
与相似三角形相关的数学文化
黄金分割与相似三角形 毕达哥拉斯学派与相似三角形 建筑中的相似三角形
THANKS
感谢观看
尺。
在数学竞赛中的应用
几何证明题 几何计算题 组合几何题
04
相似三角形的证明方法
CHAPTER
基础证明方法
平行线法 角平分线法 相似三角形的性质法
高级证明方法
代数法
01
解析几何法
02
反证法
03
常用辅助线作法
作平行线
通过作平行线构造相似三角形的基本模型，是证明相似三角形的 一种常用方法。
作垂线
相似三角形中的基本 模型课件
相似三角形的基本模型归纳总结
相似三角形的基本模型归纳总结
相似三角形是指拥有相似的形状但大小不同的三角形。
在相似三角形中，对应角度相等，而对应边长之间存在比例关系。
以下是一些基本的相似三角形模型：
1. 比例模型：在两个相似三角形中，对应边长之比相等。
例如，若∆ABC与∆DEF相似，则有AB/DE = BC/EF = AC/DF。
2. 三角形高度模型：在两个相似三角形中，对应高度之比等于对应边长之比。
例如，若∆ABC与∆DEF相似，则有h_1/h_2 = AB/DE = BC/EF = AC/DF，其中h_1和h_2分别为∆ABC和
∆DEF的高度。
3. 角平分线模型：在两个相似三角形中，对应角的平分线所延伸的比例相等。
例如，若∆ABC与∆DEF相似，角A和角D相等，则有BD/CE = AB/DE = AC/DF。
4. 底角模型：在两个相似三角形中，底角对应相等。
例如，若∆ABC与∆DEF相似，并且∠A = ∠D，则有∠B = ∠E和∠C
= ∠F。
5. 周长模型：在两个相似三角形中，对应边长之比等于相似三角形的周长比。
例如，若∆ABC与∆DEF相似，则有
(A+B+C)/(D+E+F) = AB/DE = BC/EF = AC/DF。
这些是常见的相似三角形模型，可以根据具体问题选择适合的模型进行求解。
但需要注意的是，在相似三角形中，只有形状
相似，而边长比例相等，因此，对于三角形中角度的求解通常更加重要。
相似三角形的六大证明技巧大全
相似三角形的判定方法总结：1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ）3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS)4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A ”型与“反X ”型.示意图结论E D CB A反A 型：如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，则△ADE ∽△ACB （AA ），∴AE ·AC =AD ·AB. 若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS)O DCBA反X 型：如图，已知角∠BAO =∠CDO ，则△AOB ∽△DOC （AA ），∴OA ·OC =OD ·OB . 若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC .“类射影”与射影模型示意图结论A BCD类射影：如图，已知△ABC ，∠ABD =∠C ，则△ABD ∽△ACB （AA ），∴2AB =AD ·AC. CABH射影定理如图，已知∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，则222,,AC AH AB BC BH BA HC HA HB =⋅=⋅=⋅相似三角形6大证明技巧相似三角形证明方法“旋转相似”与“一线三等角”反A 型与反X 型已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ⋅=⋅（2）∠BEO=∠CFO ， ∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCBOF ECBA类射影如图，已知2AB AC AD =⋅，求证：BD ABBC AC= A BCD射影定理已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =⋅，2BC BH BA =⋅，2HC HA HB =⋅通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。
初三相似三角形的基本模型
初三相似三角形的基本模型相似三角形在数学中，相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
在相似三角形的证明中，常见的基本模型是AA、辅助线构造成比例线段和面积法。
AA模型AA模型指的是两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形就是相似的。
例如，如果三角形DEF的两个角分别等于三角形ABC的两个角，那么我们就可以得出这两个三角形相似的结论。
辅助线构造成比例线段在相似三角形的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论。
常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等。
例如，对于图中的问题，我们可以通过做平行线CE∥AD 来得到证明。
这种方法利用了“A”型图的基本模型。
面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题。
常用的面积法基本模型包括“山字”型。
“田字”型和“燕尾”型等。
在题型方面，与三角形有关的相似问题是常见的。
例如，对于图中的问题，我们需要证明角ADE等于角B，可以通过使用AA模型来得出结论。
在三角形ABC中，已知AB=3，AC=4，BC=5，以BC为边在A点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．解：首先，我们需要构造双垂直辅助线，如图所示：由于△ABD为等腰直角三角形，所以AD=BD=AB=3，又由于BC=5，所以BD=5-3=2，根据勾股定理可得CD=√(BC²-BD²)=√(5²-2²)=√21．因此，线段CD的长为√21．例2：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．证明：方法一：连接PC，过点P作PD⊥AC于D，则PD//BC。
根据折叠可知XXX⊥CP。
由∠2+∠PCN=90°，∠PCN+∠XXX°可得∠2=∠CNM。
相似三角形常见模型[总结]
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相似三角形常见模型[总结]相似三角形常见模型相似三角形是初中数学中一个重要的概念，也是解题过程中常见的模型。
通过研究和总结相似三角形的常见模型，可以帮助我们更好地理解和应用这个概念。
本文将从角度相似、边长比例和投影相似三个方面进行内容阐述。
一、角度相似在相似三角形中，角度是最直观的相似特征。
如果两个三角形的对应角相等，那么它们就是相似三角形。
根据这一特性，我们可以应用以下模型：1. AA相似模型当两个三角形中角的对应边分别相等时，这两个三角形相似。
这个模型常用于证明和构造相似三角形。
例如，在已知一个角相等的情况下，可以通过构造等腰三角形来证明相似。
2. AAA相似模型当两个三角形的三个角分别相等时，这两个三角形相似。
这个模型常用于解题中，当我们已知两个三角形的三个角分别相等时，可以得出它们是相似三角形的结论。
二、边长比例在相似三角形中，边长的比例关系也是常见的模型。
如果两个三角形的对应边的比值相等，那么它们是相似三角形。
根据这一特性，我们可以应用以下模型：1. 直角三角形边长模型在一个直角三角形中，由勾股定理可知，两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果两个直角三角形斜边的比例相等，那么它们是相似的。
这个模型常用于解决与直角三角形相关的问题。
2. 形状类似三角形边长模型当两个三角形形状相似时，它们的对应边长之比也相等。
例如，当一个等边三角形与一个正三角形形状相似时，它们的对应边长比例为1:2。
这个模型常用于解决与形状类似三角形相关的问题。
三、投影相似在相似三角形中，投影的相似关系也是一种常见的模型。
当两个三角形的两直角边分别成比例时，它们是相似三角形。
根据这一特性，我们可以应用以下模型：1. 倒影相似模型当两个直角三角形的一条直角边与另一个直角三角形的斜边成比例时，它们是相似的。
这个模型常用于解决与倒影相似三角形相关的问题。
2. 旁影相似模型当两个直角三角形的一条直角边与另一个直角三角形的直角边成比例时，它们是相似的。
相似三角形的八大基本模型
相似三角形的八大基本模型1、等腰三角形：等腰三角形是一种三角形，它的两条边长相等，称为等腰三角形。
它的三个角也是等角，每个角度都是60度，是一个等边三角形。
它也有着金字塔形状。
2、等边三角形：等边三角形是三角形中最常见的一种，它的三个边长都是相等的，因此得名等边三角形。
由于边长是相等的，因此三个角也是等角，每个角度都是60度。
此外，它也有着正三角形的特性。
3、直角三角形：直角三角形是一种三角形，它的一个角是90度，成为直角三角形。
直角三角形一般分为狭角三角形和钝角三角形两种，其中，狭角三角形的两个直角边都要大于第三条斜边，而钝角三角形则相反，其两个直角边都要小于第三条斜边。
4、相似三角形：相似三角形是指三角形中，由一条射线形成的两个三角形，三条边长的比值相等的三角形。
它的内角和外角相似，但是边长和面积都不同。
由此可以知道，如果两个三角形边长比值相同，则该两个三角形为相似三角形。
5、等分直角三角形：等分直角三角形是指一个直角三角形中，由底边一个端点引分出来的两条斜边上的各个点，连接起来后形成的直角三角形。
由于它的特点，两个边长和底边的面积比例也是相同的，每个等分点也和其他两个等分点是相等的。
6、正交三角形：正交三角形是指两个直角三角形中的一类，由其相似的三条边构成，两个斜边互相垂直相交，而三条边长分别是直角三角形中底边和邻边之和。
正交三角形属于相似三角形，具有和相似三角形一样的特性。
7、正三角形：正三角形是一种特殊的三角形，它的三个角都是60度，每个角度都相同，其三条边长也相等，为了符合这种特性，它也有其称之为正三角形的原因。
它有着明显的金字塔形状，但是每个角度都是60度，因此可以说它的金字塔形状是平行的。
8、稜角三角形：稜角三角形是一种特殊的三角形，它的其中一个角是60度，另外两个角都小于60度，一般不会大于60度，这种三角形因此也有着金字塔形状，但是由于角度上的不同，边长也不同。
其中，由三角形的垂足作为原点，内角和外角大小关系也要满足，且两个内角和一个外角和要等于180度。
相似三角形的基本模型
相似三角形是指具有相同形状但可能不同尺寸的三角形。
两个三角形相似的条件是它们的对应角相等，而对应边的比例相等。
相似三角形的基本模型包括比例、角的对应关系和性质等。
1. 相似三角形的定义：两个三角形ABC 和DEF 是相似的，记作∆ABC ∼ ∆DEF ，如果它们的对应角相等，即∠A = ∠D ，∠B = ∠E ，∠C = ∠F 。
2. 相似三角形的基本性质：• 对应边的比例： 如果两个三角形相似，那么它们的对应边的长度比是相等的，即AB DE =BC EF =CA FD 。
• 高与底的比例： 两个相似三角形的高与底的比例等于它们的对应边的比例。
•角平分线： 如果在一个三角形的两个角上分别引一条角平分线，这两条平分线所夹的角的正弦比等于与这两个角对应的边的比例。
3. 相似三角形的求解问题：•相似三角形的判定： 给定两个三角形的三个角，判断它们是否相似。
•相似三角形的边长求解： 已知一个三角形和一个角，求另一个相似三角形的边长。
• 相似三角形的角度求解： 已知两个相似三角形的边长比，求它们的角度。
4. 模型示例：考虑两个相似三角形ABC 和DEF ，其中∠A = ∠D ，∠B = ∠E 。
已知AB DE =BC EF =CA FD =k 。
• 已知边长求解： 如果已知AB=6，找出DE 、BC 和EF 。
DE =AB k , BC =AB k , EF =AB k• 已知一个角和边长比求解： 如果已知∠A=40°，找出∠D ，∠B 和∠E 。
∠D =40°, ∠B =40°, ∠E =40°•已知角度求解： 如果已知∠A=30°，∠B=60°，找出∠D 和∠E 。
∠D =30°, ∠E =60°这是一个基本的相似三角形模型，可以根据具体的已知条件和问题求解未知量。
在实际应用中，相似三角形的模型经常出现在几何问题中，例如测量远近、影子问题、光学等领域。
最新相似三角形基本模型与证明
相似三角形基本模型与证明一、基本图形回顾经典模型构造相似辅助线——双垂直模型1.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．2.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．3.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．4.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（）A. B.C. D.5.已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。
求C、D两点的坐标。
构造相似辅助线——A、X字型6.如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。
求证：7.四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。
求证：8.已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC。
求BN：NQ：QM．相似之共线线段的比例问题9.（1）如图1，点在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交于点．求证：（2）如图2，图3，当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时，是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；10.已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．11.如图，已知ΔABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF 于G，交AC延长线于H。
相似三角形模型(全)
面积比等于相似比的平方
如果两个三角形相似，则它们的对应 角相等。
如果两个三角形相似，则它们的面积 比等于它们的相似比的平方。
对应边成比例
如果两个三角形相似，则它们的对应 边成比例。
相似三角形的判定条件
两个三角形对应角相等，则这两个三角形相似。
两个三角形对应边成比例，则这两个三角形相似。
两个三角形有一个对应的角相等，且这个角所对的两边成比例，则这两个三角形相 似。
射影定理还涉及到角度的关系，即 $angle A_1 = angle A_2, angle B_1 = angle B_2, angle C_1 = angle C_2$ 。
在两个相似三角形中，对应边的比例 相等，即$frac{a_1}{a_2} = frac{b_1}{b_2} = frac{c_1}{c_2}$。
03
相似三角形的应用
在几何作图中的应用
利用相似三角形确定未知长度
01
通过已知的边长比例关系，利用相似三角形来求解未知的边长
或角度。
确定未知角度
02
通过相似三角形的性质，可以确定未知的角度。
证明定理和性质
03
相似三角形在几何作图中常被用来证明定理和性质，如角平分
线定理、中线定理等。
在解决实际问题中的应用
泰勒斯定理还可以表述为：在任何三 角形中，半周长与内切圆半径之和等 于从三角形一边上的一点到另两边的 垂直距离之和。
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测量问题
在测量中，可以利用相似三角形 的性质来计算难以直接测量的距
离和高度。
建筑设计
在建筑设计中，可以利用相似三角 形来计算建筑物的尺寸和比例。
物理学应用
在物理学中，可以利用相似三角形 来解释和计算光学、力学等问题。
相似三角形的九大模型
相似三角形的九大模型相似三角形是几何学中一类重要的图形，它具有一些独特的性质和模型。
这些模型可以用来解决各种实际问题，从简单的长度关系到复杂的空间结构。
本文将介绍相似三角形的九大模型，并给出相应的例子和应用场景。
相似三角形是指两个三角形形状相同，大小成比例。
相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
相似三角形还有一些其他的性质，例如，相似三角形的中线、角平分线、高的比等于它们的相似比。
平行线模型：两个三角形分别在两条平行线上，它们的对应边平行且成比例。
这种模型经常用于解决一些与长度和角度相关的问题。
共顶点模型：两个三角形有一个共同的顶点，且它们的对应边成比例。
这种模型常用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。
角平分线模型：一个三角形的角平分线将这个三角形分成两个小的相似三角形。
这种模型可以用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。
平行四边形模型：一个平行四边形被它的两条对角线分成四个小的相似三角形。
这种模型可以用于解决一些与面积和长度相关的问题。
位似模型：一个相似变换将一个三角形映射到另一个三角形，这种变换称为位似变换。
这种模型可以用于解决一些与长度、角度和面积相关的问题。
旋转模型：一个三角形绕着它的一个顶点旋转一定的角度后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。
这种模型可以用于解决一些与角度和长度相关的问题。
镜像模型：一个三角形沿一条直线翻折后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
传递模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分相似。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
扩展模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分成比例。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
相似三角形的九创作者是几何学中一类重要的模型，它们具有广泛的应用价值。
相似三角形模型分析和典型例题讲解大全good
第一部分 相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）ABCDE（平行）CBA DE（不平行）（二）8字型、反8字型J OADBCAB CD（蝴蝶型）（平行） （不平行）（三）母子型ABCDCAD（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：CAD二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展CB EDA共享性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．AC D E B2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。
求证：EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。
相似三角形的判定、性质及常见模型
相似三角形的判定、性质及常见模型
1、相似三角形的定义与性质
(1)定义：如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
(2)表示：在两个相似三角形中，对应相等的角及其顶点分别是它们的对应角和对应顶点，以对应顶点为端点的边是它们的对应边。
(3)性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；推论：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.(4)相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比.设▲ABC 与▲A'B'C'的相似比为k，▲A'B'C'与▲ABC的相似比为k'，则k'=1/k.注意：①两个三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关;②当两个相似三角形的相似比k=1时，这两个相似三角形就成为全等三角形.反过来，两个全等三角形一定是相似三角形，它们的相似比等于1.因此全等三角形是相似三角形的特例.2、相似三角形的预备定理和判定定理
相似三角形的3条判定定理证明思路如下：
3、直角三角形相似的判定定理
如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似，即：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似.4、相似三角形的基本图形(1)平行线型：A型与X型.
(2)斜交型.
(3)共边共角型
(4)双垂型
(5)旋转型
5、判定三角形相似的思路
6、三角形相似的性质
相似三角形的性质定理1证明思路如下：。
相似三角形模型
相似三角形：两个三角形中，如果三角对应相等，三边 对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。 如 △ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。
相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三 角形的相似比。
三角形相似的判定定理： （1）平行于三角形一边的直线和其它两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似。
（2）两角对应相等，两三角形相似． （3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． （4）三边对应成比例，两三角形相似． （5）直角三角形相似判定定理:
1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角 形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
射影定理：CD²=AD·BD， AC²=AD·AB， BC²=BD·BA
相似三角形的性质 ①相似三角形对应角相等、对应边成比例.
②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周 长的比都等于相似比。
③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.
位似 1.定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交
于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位 似中心，这时的相似比又称为位似比。
2.性质： ①位似图形的对应边平行或共线。
②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似 比。
பைடு நூலகம்
图形的变换与坐标 1.轴对称：图形关于x轴对称，横不变，纵为相反数；(x,y)（x,-y）
关于y轴对称，纵不变，横为相反数。(x,y)(-x,y)
2.中心对称：图形关于原点对称，横纵皆为相反数。 原（x，y）---》（-x，-y）
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相似三角形判定模型相似三角形判定的基本模型
A字型X字型反A字型反8字型
母子型旋转型双垂直三垂直
相似三角形判定的变化模型
【例1】已知：在△ABC中，AD是角平分线。
求证：BD AB
D C AC
_D
_C
_B
_A
思考：已知在△ABC 中，外角平分线AD 交BC 延长线于D 。
求证：
【例2】如图，在△ABC 中， D ，E 为BC 的三等分点，F 为AC 中点，BF 分别交AD ，AE 于M ，N 两点。
求证： BM ∶MN ∶NF
【例3】已知：如图，△AOC 中，∠AOC ＝120°，∠AOC 的平分线交AC 边于B 。
求证：
【例4】如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别在AB ，BC 边上，且BM ＝BN ，又BP ⊥MC ，
垂足为P 。
求证：PD ⊥PN
【例5】已知如图正△ABC 和正△DEF ，BC 和EF 的中点均为M 。
111
O A
O C
O B
+=
O C
B
A
C
BD
AB D C
AC
=
A B
C
D
1
2
M
P N D
C
B
A
求证：AD ⊥CF
【例6】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CF ∥AB 。
BP 的延长线交AC 于E
交CF 于F 。
求证：
【例7】如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，M 为AC 的中点，MD 与CB 的延长线交于N 。
求证：BD ·CN ＝CD ·DN
A
【例8】如图，正方形ABCD ，AB 边上有一点E ，BC 边上一点F ，使得EF ＝3，DF ＝4，
DE ＝5。
那么，正方形ABCD 的面积是__________。
2BP PE PF
=⋅M
E
D
C
B
A
【例9】如图，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一
点，满足 ⑴求证：△ADB ∽△
EAC ；
⑵若∠BAC ＝40°，求∠DAE 的度数。
【例10】如图D 、E 为线段BC 上两定点，且BD =CE ，A 为BC 外一点，当点
A 运动到使
∠1=∠2时，判断△ABC 的形状并证明。
2AB DB CE =⋅。