动力学运动微分方程

第二类问题
由已知条件确定加速度
将研究对象置于运动 过程的一般位置
建立质点运动微分方程 建立质点运动微分方程
解方程求未知力
进行积分运算求解
例1(第一类问题)如图:电梯以匀加速a上升.
求放在电梯地板上重量为G的物体A对地板
的压力N .
Y
解: ⑴以物体A为研究对象 a
作受力分析图:
以物体A的位置为
原点建立坐标轴Y
τ
W
an=v2/r
A
4.建立M点的运动微分方程
∑F τ =ma τ =0 ① M ∑Fn =man ②
TA 45° B
60°
TB n
O
r
τW
由②得:
TAsin45°+TBsin60°=mv2/r
在竖直方向; TAcos45°+TBcos60°-W=0
而对于非惯性参考系(加速的汽车):人受力 但却相对汽车静止.无法用牛顿定律来解释 这一现象.
⑵牛顿定律适用于低速,宏观物体:
根据爱因斯坦的相对论,物体高速运动时, 其长度和质量都有明显的变化,且这一运动 过程所花的时间对于不同的参考系有不同 的值
而对于微观物质的运动也只能用量子力学 来研究
12.2 质点运动微分方程
1 质点运动微分方程的基本方程
由方程:m ·a = ∑F m·(d2r)/(dt2)=∑F
2 质点运动微分方程的直角坐标形式:
在平面内取直角坐标系 Y
将式子m·a=∑F两边
分别投影到X.Y轴上得到
MV
m·ax=∑X m·ay=∑Y
a
∑F
X
m·ax=∑X m·ay=∑Y Y
其中: (∑X. ∑Y为∑F在 坐标轴上的投影)
曲线的切线方向和法线方向上.得:
m·a = ∑ F
m·an = ∑ Fn
由运动学: a =(d2s)/(dt2)
P
an = v2/
s
(s为弧坐标, 为曲率半径)
v
a ∑F
m·(d2s)/(dt2)=∑ F m·v2/=∑ Fn n
12.3 质点动力学的两类问题
1 已知质点的运动,求作用于质点的力
⑵.质点系:由许多相互联系着的质点组成的系统
⑶.刚体:质点系中,任意两个质点之间的距离都 保持不变.这样的质点系叫刚体.
第十二章 动力学基本定律 和质点运动微分方程
12.1 动力学基本定律
1 牛顿第一定律:(惯性定律)
⑴定律内容: ⑵定律的意义:
质点如不受外力的作用, 将保持其原有的静止或 匀速直线运动状态
解: 解题思路.
本题是动力学
45° B
第一类问题.因已知
60°
质点运动轨迹,采用 M
O
自然坐标形式的运
动微分方程.
1.质点M为研究对象
A
2.受力分析如图
3.运动情况分析 质点在水平面内 匀速圆周运动, 切向加速度为
M v
TA 45° B
60°
TB n
O
r
a = dv/dt=0
法向加速度指向 O点,其大小为
作用力为弹力,则反作用力也为弹力
4 牛顿定律的适用范围
⑴牛顿定律适用 能使牛顿第一定律成立的 于惯性参考系 参考系,称为惯性参考系.
(一般工程问题,以固结在地球或相对地球 作匀速直线运动的物体上的坐标系作为 惯性参考系.) 例如:加速启动的汽车靠背对人有推力 对于惯性参考系(地面):推力导致人产生加速度 这一现象可以用牛顿定律来研究,解释.
第三篇.动力学
1.研究内容:
⑴建立物体运动状态变化与力的 关系,研究运动状态变化的原因.
运动和受力的关系 ⑵进一步解决已知受力,如何确 定物体的运动,或已知物体运动状 态的变化,如何来确定作用在物体 上的力
2. 质点.质点系.刚体:
⑴.质点:具有一定质量的几何点. 物体在以下两种情况下可看成质点: ①物体尺寸远小于其运动范围 ②物体各点运动情况相同→平动
①指出物体具有惯性 (物体保持运动状态 不变的性质→惯性)
②定性地指出了力和运动状态发生变化 之间的关系→即力是产生加速度的原因
2.牛顿第二定律:(力与加速度的关系定律)
⑴定律内容:
质点受外力作用时,将产生运动加速度, 加速度的方向与外力合力的方向一致, 其大小与合力的大小成正比,与质点的 质量成反比.
3 牛顿第三定律(作用力,反作用力定律):
⑴定律内容: 两物体之间的相互作用力,总是 大小相等方向相反,沿着同一 作用线且作用于两个物体上.
⑵作用力.反作用力的特性:
②①③作作用用力力.反和作反用作力用总力是性总质是相作同用:在 不同作的时用物产力体生如上,同果,不时是会消引抵失力消. ,那. 么反作用力 也必然是引力;
⑵定律的数学形式:
∑F = m ·a
⑶注意理解:
②③①瞬∑矢F时→量性(性“:受: ”.“外”.“合”): ∑F是加Ⅰ研速力究度和对随加象力速受的度到产都的生是力而矢;产量生; ; 随∑F力是的Ⅱ外消力力失的,不而方是消向内失始力;终随; 与力加的速变化 而∑F变是化所度.有方作向用一于致对象外力的合力
G
⑵列运动微分方程
m·ay = ∑ Y (G/g) ·a = N’ – G
N’ = G (1 + a/g)
A
aA
N’
物体A对地板的压力 N = N’ = G (1 + a/g)
⑶讨论: 物体A对地板的压力
N = N’ = G (1 + a/g)
①当电梯静止时: 支持力等于重力
②当电梯的加速度方向
向上时, a > 0. N = G (1 + a/g) > G
支持力超过重力→超重 ③当电梯的加速度方向
向下时, a < 0. N = G (1 + a/g) < G
支持力小于重力→失重
a
A Y G Aa N’
例2 质量为1公斤的质点M用两根细绳系住,
另一端分别固定在A.B,如图.已知质点M以速度
v=2.5(m/s)在水平面内作匀速圆周运动,半径
r=0.5(m)求两绳的拉力. A
MV
ax = (d2x)/(dt2)
a ∑F
X
ay = (d2y)/(dt2)
可以得到: m·(d2x)/(dt2)=∑X
M·(d2y)/(dt2)=∑Y
上式即为直角坐标下的质点运动微分方程
3质点运动微分方程的自然坐标形式:
如图:选择自然坐标形式,将动力学基本方程
m·a=∑F投影到该瞬时质点所在位置轨迹
⑴建立质点运动方程; ⑵通过微分运算,求力在坐标轴上的投影; ⑶由静力学的知识求力的大小,方向.
2.已知作用在物体上的力,求运动情况.
⑴ 确定研究对象; ⑵列运动微分方程,并积分; ⑶由初始条件确定积分常数;
a ⑷最后计算出ห้องสมุดไป่ตู้征量V0. 等
解题步骤: 确定研究对象
受力分析 选取坐标系 运动分析
第一类问题