初中八年级数学期末难题压轴题
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26．（本题满分10分）
已知：在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在
矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2.
（1）如图①，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；（5分）
（2）如图②，当四边形EFGH 为菱形，且BF = a 时，求△GFC 的面积（用含a 的代数式
表示）；（5分）
D
(第26题图1)
F
D
C
A B
E
(第26题图2)
F
H
G
26．解：（1）如图①，过点G 作GM BC ⊥于M . …………………………………………（1分）
在正方形EFGH 中，
90,HEF EH EF ∠==. …………………………………………………………（1
分）
90.
90,.
AEH BEF AEH AHE AHE BEF ∴∠+∠=∠+∠=∴∠=∠
又∵90A B ∠=∠=，
∴⊿AH E ≌⊿BEF …………………………………………………………（1
分）同理可证：⊿MFG ≌⊿BEF . …………………………………………………………（1分） ∴GM=BF=AE =2.
∴FC=BC-BF =10. …………………………………………………………（1分） （2）如图②，过点
G
作GM BC ⊥于
M .连接
HF . …………………………………………（1分）
//,.
//,.
AD BC AHF MFH EH FG EHF GFH ∴∠=∠∴∠=∠
.AHE MFG ∴∠=∠ …………………………………………………（1分）
又90,,A GMF EH GF ∠=∠==
∴⊿AHE ≌⊿MFG . ………………………………………………………（1
分）
∴GM=AE =2. ……………………………………………………………（1
分）
11
(12)12.
22
GFC
S
FC GM a a ∴=⋅=-=- …………………………………………（1分）
如图，直线y =+与x 轴相交于点A
，与直线y =相交于点P . (1) 求点P 的坐标.
(2) 请判断△OPA 的形状并说明理由.
(3) 动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿着O P A →→的路线向点A 匀速运
动（E 不与点O 、A 重合），过点E 分别作EF x ⊥轴于F ，EB y ⊥轴于B .设运动t 秒时，矩形EBOF 与△OPA 重叠部分的面积为S .求S 与t 之间的函数关系式
.
解：（1
）y y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩
解得：2
x y =⎧⎪⎨=⎪⎩………………………1′
∴ 点P 的坐标为（2
， ………………………1′
（2）当0y =时，4x = ∴点A 的坐标为（4，0） ………………………1′ ∵
4OP =
=
4PA == ……………1′
∴ OA OP PA ==
∴POA 是等边三角形 ………………………1′ （3）当0＜t ≤4时， ………………………1′
2
1328
S OF EF t =
= ………………………1′ 当4＜t ＜8
时， ………………………1′
2
8
S =-
+-………………………1′
25、（本题8分）已知直角坐标平面上点A ()0,2，P 是函数()0>=x x y 图像上一点，PQ ⊥AP 交y 轴正半轴于点Q （如图）. （1）试证明：AP =PQ ； （2）设点P 的横坐标为a ，点Q 的纵坐标为b ，那么b 关于a 的函数关系式是_______； （3）当APQ AOQ S S ∆∆=3
2
时，求点P 的坐标.
证：（1）过P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为H 、T ，
∵点P 在函数x y =()0>x 的图像上，
∴PH =PT ，PH ⊥PT ，---------------------------------------------------（1分）
又∵AP ⊥PQ ，
∴∠APH =∠QPT ，又∠PHA =∠PTQ ，
∴⊿PHA ≌⊿PTQ , ------------------------------------------------------（1分）
∴AP =PQ . ---------------------------------------------------------------（1分） (2)22-=a b . -------------------------------------------------------------（2分）
（3）由（1）、（2）知，2221
-=⨯=
∆a OQ OA S AOQ ， 222
1
22+-==∆a a AP S APQ
，------------（1分） ∴()
223
2222
+-=
-a a a ， 解得2
5
5±=
a ，--------------------------------------------------------（1分） 所以点P 的坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--255,255与⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++255,255.---（1分）
]