高考数学题型全归纳：正、余弦定理在实际生活中的应用典型例题(含答案)

正、余弦定理在实际生活中的应用

正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛，解这类应用题需要我们吃透题意，对专业名词、术语要能正确理解，能将实际问题归结为数学问题.求解此类问题的大概步骤为：（1）准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等；（2）根据题意画出图形；（3）将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答.

1.测量中正、余弦定理的应用

例1 某观测站C 在目标南偏西25︒方向，从出发有一条南偏东35︒走向的公路，在C 处测得公路上与C 相距31千米的处有一人正沿此公路向走去，走20千米到达，此时测得CD 距离为21千米，求此人所在处距还有多少千米？

分析：根据已知作出示意图，分析已知及所求，解CBD ∆，求角.再解ABC ∆，求出AC ，再求出AB ，从而求出AD （即为所求）.

解：由图知，60CAD ∠=︒.

22222231202123cos 22312031BD BC CD B BC BD +-+-===

⋅⨯⨯，

sin B =

. 在ABC ∆中，sin 24sin BC B

AC A

⋅=

=.

由余弦定理，得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅. 即2223124224cos 60AB AB =+-⋅⋅⋅︒.

整理，得2243850AB AB --=，解得35AB =或11AB =-（舍）. 故15AD AB BD =-=（千米）. 答：此人所在处距还有15千米.

评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用，“形”可为“数”指引方向，因此，只有正确作出示意图，方能合理应用正、余弦定理.

2.航海中正、余弦定理的应用

A C

D 31

21

B

20

20 35︒

25︒ 东

北

例2 在海岸处，发现北偏东45︒

1海里的处有一艘走私船，在处北偏西75︒方向，

距为2海里的C

处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从处向北偏东30︒方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间？

分析：注意到最快追上走私船，且两船所用时间相等，可画出示意图，需求CD 的方位角及由C 到所需的航行时间.

解：设缉私船追上走私船所需时间为小时，则有

CD =，10BD t =.

在ABC △中，

∵1AB =-，2AC =，

4575120BAC ∠=︒+︒=︒，

根据余弦定理可得BC =

=

根据正弦定理可得sin120sin AC ABC BC

︒

∠=

=

=.

∴45ABC ∠=︒，易知CB 方向与正北方向垂直，从而9030120CBD ∠=︒+︒=︒. 在BCD △

中，根据正弦定理可得：sin 1

sin 2BD CBD BCD CD ∠∠=

==，

∴30BCD =︒△，30BDC ∠=︒

，∴BD BC ==，

则有10t =

，0.245t =

=小时14.7=分钟. 所以缉私船沿北偏东060方向，需14.7分钟才能追上走私船.

评注：认真分析问题的构成，三角形中边角关系的分析，可为解题的方向提供依据.明确方位角是应用的前提，此题边角关系较复杂要注意正余弦定理的联用.

3.航测中正、余弦定理的应用

例3 飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m ，速度为

45︒

75︒ 30︒

A

C

B

180km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为'1830︒，经过120秒后又看到山顶的俯角为81︒，求山

顶的海拔高度（精确到m ）.

分析：首先根据题意画出图形，如图，这样可在ABM ∆和Rt BMD ∆中解出山顶到航线的距离，然后再根据航线的海拔高度求得山顶的海拔高度.

解：设飞行员的两次观测点依次为和，山顶为M ，山顶到直线的距离为MD .

如图，在ABM △中，由已知，得

1830'A ∠=︒，99ABM ∠=︒，6230'AMB ∠=︒.

又120

18066060

AB =⨯

=⨯（km ）,

根据正弦定理，可得6sin1830'

sin 6230'

BM ︒=︒，

进而求得6sin1830'sin 81sin 6230'

MD ︒︒

=︒，∴2120MD ≈（m ）,

可得山顶的海拔高度为20250212018130-=（m ）.

评注：解题中要认真分析与问题有关的三角形，正确运用正、余弦定理有序地解相关的三角形，从而得到问题的答案.

4.炮兵观测中正、余弦定理的应用

例 4 我炮兵阵地位于地面处，两观察所分别位于地面点C 和处，已知6000CD =米，

45ACD ∠=︒，75ADC ∠=︒，目标出现于地面点处时，测得30BCD ∠=︒，15BDC ∠=︒

（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）.

分析：根据题意画出图形，如图，题中的四点、、C 、可构成四个三角形.要求AB 的长，由于751590ADB ∠=︒+︒=︒，只需知道AD 和BD 的长，这样可选择在ACD ∆和BCD ∆中应用定理求解.

解：在ACD △中，18060CAD ACD ADC ∠=︒-∠-∠=︒，

6000CD =，45ACD ∠=︒，

根据正弦定理有sin 45sin 60CD AD ︒==︒，

同

理

，

在

BCD

△中，

A B D

M

30︒ 45︒ 75︒

A

C D 15︒