2020届兰州市高三年级一诊理科数学试卷含答案

2020年兰州市高三诊断考试

（理数） 第I 卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.已知集合{}0,1,2,3,4,5A =，{

}*

2,B x x n n N

==∈，则A

B =（ ）

{}.0,2,4A {}.2,4B {}.1,3,5C {}.1,2,3,4,5D

2.已知复数522i

z i

=

+−，则z =（ ）

.5B .13C

D

3.已知非零向量,a b ，给定:p R λ∃∈，使得a b λ=，:q a b a b +=+，则p 是q 的（ ）

.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件

4.若2

1tan 5722sin

cos 1212

tan

2

α

ππα

−=，则tan α=（ ）

.4A .3B .4C − .3D −

5.已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

−=>>的一条渐近线过点()2,1−，则它的离心率是（

）

2

A

B

C

D 6.已知集合46911,,,,55555A πππππ⎧⎫=⎨

⎬⎩⎭

，从A 中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ） 1

.

10

A 2.5

B 3.5

C 3.10D

7.已知函数()ln f x =，且()0.20.2a f =，()3log 4b f =，13log 3c f ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，则,,a b c 的大小关

系为（ ）

.A a b c >> .B c a b >> .C c b a >> .D b c a >>

8.近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表1所示，绘制相应的散点图，如图1所示：

表1 根据表1及图1得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为1r ，去掉第一年数据后得到的相关系数为2r ，则12r r <；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时草场植被指数。以上判断中正确的个数是（ ）

.0A .1B .2C .3D

9.已知圆锥的顶点为A ，高和底面圆的半径相等，BE 是底面的一条直径，点D 为底面圆周上的一点，且

60o ABD ∠=，则异面直线AB 与DE 所成角的正弦值为（ ）

2A

2B

3

C 1.3D

10.已知函数()()()sin sin cos 0f x x x x ωωωω=+>，若函数()f x 的图象与直线1y =在()0,π上有3个不同的交点，则ω的范围是（ ）

13.,24A ⎛⎤ ⎥⎝⎦ 15.,24B ⎛⎤ ⎥⎝⎦ 53.,42C ⎛⎤ ⎥⎝⎦ 55.,42D ⎛⎤

⎥⎝⎦

11.已知点()4,2M −−，抛物线2

4x y =，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线，P 为抛物线上一点，过P

做PQ l ⊥，点Q 为垂足，过P 做抛物线的切线1l ，1l 与l 交于点R ，则QR MR +的最小值为（ ）

.1A +

B

C .5D

12.对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[](),a b D a b ⊆<满足()f x 是[],a b 上的单调函数，且()f x 在区间[],a b 上的值域也为[],a b ，则称函数()f x 为区间[],a b 上的“保值函数”， [],a b 为“保值区间”。根据此定义给出下列命题：①函数()2

2f x x x =−是[]0,1上的“保值函数”；②若函数()21

x

g x =−是[],a b 上的“保值函数”，则1a b +=；③对于函数()2x

h x x e =存在区间[]0,m ，且1,12m ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，使函数

()h x 为[]0,m 上的“保值函数”，其中所有真命题的序号为（ ）

.A ② .B ③ .C ①③ .D ②③

第II 卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知函数()2,1

21,1

x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩，则

23log 2f f ⎛⎫

⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

_________. 14.已知向量,a b 满足2b =

，向量,a b 夹角为120o ，且()

a b b +⊥，则向量a b +=____.

15.大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房，蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF ，侧棱'AA 、'BB 、'

CC 、'DD 、'EE 、'FF 相互平行且与平面ABCDEF 垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成，瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.英国数学家麦克

劳林通过计算得到''''''

1092816o B C D ∠=.已知一个蜂房中'

53BB =，

26AB =，'''tan 5444082o =，则此蜂房的表面积是________.

16.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，已知7,5,3a b c ===，点I 是ABC ∆的内心，则

IB =_______.

三、解答题

17.（本小题满分12分）

在等差数列{}n a 中，18a =−，243a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()*

414n n b n N n a =∈+，n T 为数列{}n b 的前n 项和，若1715

n

T =，求n 的值.