2020届兰州市高三年级一诊理科数学试卷含答案
2020年兰州市高三诊断考试理科数学试题解析
2020年兰州市高三诊断考试数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知{}012345A =，，，，，，{}2,*B x x n n N ==∈，则A B =∩ A .{}024，， B .{}24， C .{}135，， D .{}12345，，，， 解：{}{}{}0123452,4,6,8,2,4A B ==L ∩，，，，，∩，故选B .2.已知522iz i=+-，则z = AB .5C .13 D解：因为52(2)2122iz i i i i=+=++=+-，所以z =故选A 3.已知非零向量,a b ，给定:p R λ∃∈,使得λ=a b ，:q +=+a b a b ,则p 是q 的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 解：若p 成立，则λ=a b ，即,a b 共线，当,a b 反向共线特别地互为反向量时，q 不成立，反过来，若q 成立，则,a b 共线，所以一定有p 成立，故p 是q 的必要不充分条件，故选B . 4.若21tan 5722sincos 1212tan2αππα-=，则tan α=A .4B .3C .4-D .3-解：因为21tan 5722sin cos 1212tan 2αππα-=，所以22(1tan )5522sin cos 12122tan2αππα--=，所以52sin6tan πα-=，所以tan 4α=-，故选C 5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=＞＞的一条渐近线过点(2,1)-，则它的离心率是ABCD.解：根据题意知渐近线的斜率为12k =-，所以e ==，故选A .6.已知集合46911,,,,55555A πππππ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,从A 中任选两个角，其正弦值相等的概率是 A .110 B .25 C .35 D .310解：因为411sin sin sin 555πππ==，69sin sin 55ππ=，所以22322542105C p C +===,故选B .7.已知函数()f x =,且0.2(0.2)a f =,3(log 4)b f =,13(log 3)c f =,则,,a b c 的大小关系为A .a b c >>B .c a b >>C .c b a >>D .b c a >>解：因为函数是偶函数且在(0,)+∞上递增，又因为0.200.21＜＜，34log 13＞，133(log 3)(log 3)(1)c f f f ===，所以b c a ＞＞，故选D .8.近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表1所示，绘制相应的散点图，如图1所示：根据表1及图1得到以下判断：①羊只数与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间相关系数为1r ，去掉第一年数据后得到的相关系数为2r ，则12r r <；③可以利用回归直线方程准确地得到当羊只数量为2万只时的草植被指数，以上判断中正确的个数为A .0B .1C .2D .3解：因为函数关系是确定性关性，所以①③错，又因为去掉一个后，相关性增强，所以12r r <，故②正确，故选B .9.已知圆锥的顶点为A ，高和底面圆的半径相等，BE 是底圆的一条直径，点D 为底面圆周上的一点，且60ABD ∠=o ，则异面直线AB 与DE 所成角的正弦值为A .32 B .22 C .33D .13 解：因为BE 是直径，所以BD DE ⊥,所以AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r,DE OE OD =-u u u r u u u r u u u r,不妨设底面圆的半径为1，则1OA OB OD OE ====,2AB AE AD BD DE =====,所以()(AB DE OB OA OE OD ⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r）=1,所以1cos ,222AB DE <>==⨯u u u r u u u r 1，所以3sin ,2AB DE <>=u u u r u u u r ，故选A . 10.已知函数()sin (sin cos )(0)f x x x x ωωωω=+>，若函数()f x 的图象与直线1y =在(0,)π上有3个不同的交点，则ω的范围是A .13(,]24B .15(,]24C .53(,]42D .55(,]42解：因为211112()sin sin cos sin 2cos 2sin(2)222224f x x x x x x x πωωωωωω=+=+-=+-，所以12sin(2)1224x πω+-=，所以2sin(2)42x πω-= 如图，101288T T ππ＜≤,又T πω= 所以5342ω＜≤，故选C11.已知点(4,2)M --，抛物线24x y =，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线，P 为抛物线上一点，过P 做PQ l ⊥，点Q 为垂足，过P 作抛物线的切线1l ，1l 与l 交于点R ，则QR MR +的最小值为A .125+B .25C .17D .5解：设2001(,)4P x x ，则0(,1)Q x -,又12y x '=，所以1012l k x =，又因为02PF k x =-，所以11l PF k k =-,所以1l 垂直平分FQ ,因为PF PQ =,所以RF RQ =,所以5QR MR RF MR MF +=+=≥, 所以QR MR +的最小值为5，故选D .12.对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[,]a b D ⊆（a b ＜）满足()f x 是[,]a b 上的单调函数，且()f x 在区间[,]a b 上的值域也为[,]a b ，则称函数()f x 为区间[,]a b 上的“保值函数”. [,]a b 为“保值区间”.根据此定义给出下列命题：①函数2()2f x x x =-是[0,1]上的“保值函数”；②若函数()21x g x =-是[,]a b 上的“保值函数”则1a b +=；③ 对于函数2()x h x x e =存在区间[0,]m ，且1(,1)2m ∈，使函数()h x 为[0,]m 上的“保值函数”.其中所有真命题的序号为A .②B .③C .①③D .②③ 解：①中[0,1]x ∈时，()[1,0]f x ∈-，所以①错；②中函数在[0,1]上是保值函数，所以0,1a b ==， 所以1a b +=，所以②正确；③中，2()(2)x h x e x x '=+，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以[0,m]x ∈时，2()[0,]m h x m e ∈，若()h x 保值，则2m m e m =有解，即1m e m=因为1e ＞，2e ＞，所以1m e m =在1(,1)2上有唯一解，所以③正确，故选D .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分13.已知函数2,1()21,1x x f x x x ⎧=⎨+⎩<≥，则23((log ))2f f = .解：因为230log 12＜＜，所以2333((log ))()214222f f f ==⨯+=. 14.已知向量a,b 满足2=b ,向量a,b 夹角为120o ,且()+a b b ⊥,则向量+=a b . 解：因为()+a b b ⊥，所以20⋅+=a b ，所以222-=-a ，所以22=a ， 所以28221046+=++⋅=-=a b a b .所以6+=a b . 15.大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的结构如图所示， 开口为正六边形ABCDEF ，侧棱AA ',BB ',,,,CC DD EE FF ''''相互 平行且与平面ABCDEF 垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成.瑞 士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同 容积下所用材料最省的，因此有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.英国数学家表克劳林通过计算得到1092816B C D ''''''∠=o .已知一个蜂房中53BB '=，26AB =,tan 5444082'''=o ,则此蜂房的表面积是 .解：连结BD ,则BD B D ''=，因为26AB =，所以62BD B D ''==，又因为1092816B C D ''''''∠=o ，所以1544482B C D ''''''∠=o ，又因为tan 5444082'''=o ，所以6sin 5444083'''=o ，又因为12sin 544408B D B C '''''=''o ,所以32336B C ''=⨯=，所以22122271864OC B C B D '''''=-=-=,又因为222()B B C C B C BC ''''-=-所以2()2724B B C C ''-=-，所以533=43C C '=-所以1=6)3932616222S BB CC BC ''⨯+=⨯⨯=侧（,11=3=3366254222S S B D OC '''⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=底菱形,所以=2162S 表16.在ABC △中，,,a b c 分别分角,,A B C 所对的边，已知7,5,3a b c ===，点I 是ABC △的内心，则IB = .解：如图设BD x =，利用切线长定理得2CD x =+，所以227x +=，所以52BD =,令115()22s a b c =++=，则()()()ABC S s s a s b s c =---△，又因为1()2ABC S a b c r sr =++=△，所以22()()()s s a s b s c s r ---=，所以2()()()s a s b s c sr ---=所以2159152222r ⨯⨯=，所以32r =，所以253744IB =+=.（注：用正余弦定理也可以）. 三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)在等差数列{}n a 中，18a =-，243a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设4(*)(14)n n b n N n a =∈+，n T 为数列{}n b 的前n 项和，若1715n T =，求n 的值.解：（1）设等差数列的公差为d ，则113(3)a d a d +=+，又因为18a =-，所以2d =， 所以等差数列{}n a 的通项公式的通项公为210n a n =-.（2）因为4(*)(14)n n b n N n a =∈+，又由（1）知210n a n =-，所以211(2)2n b n n n n ==-++所以11111111311(1)(2)()()())3435112212n T n n n n n n =-+-+-++-+-=---++++L 即311212n T n n =--++，又因为1715n T =，所以3111721215n n --=++， 所以11111230n n +=++，又因为11113056=+，所以4n =，即n 的值为4. 18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点P 在面ABCD 内的射影为A ， 1PA AB ==，点A 到平面PBC 的距离为3，且直线AC 与PB 垂直.（1）在棱PD 上找一点E ，使直线PB 与平面ACE 平行，并说明理； （2）在（1）条件下，求二面角B AC E --的大小. 解：(1)如图，连结,BD AC 交于点O ,过O 作PB 的平行线交PB 点E ,连结,AE CE , 因为PB OE ∥,ACE PB ⊂平面,ACE OE ⊂平面,所以ACE PB 平面∥；（2）因为点P 在面ABCD 内的射影为A ，所以PA ABCD ⊥平面,所以PBA ∠是PB 与平面ABCD 所成的角，又因为1PA AB ==，所以=4PBA π∠，又因为PB OE ∥，所以OE 与平面ABCD 所成的角也为4π， 因为O 是BD 中点，所以E 为PD 中点，设AD 中点为F ，连结EF ，则EF PA ∥， OF AB ∥,因为AC PB ⊥,又AC PA ⊥,所以AC PAB ⊥平面，所以AC AB ⊥,所以AC OF ⊥,所以二面角D AC E --平面角就是4EOF π∠=,又因为二面角D AC E --二面角B AC E --互补，所以二面角B AC E --的大小为34π.图形分析：设AC x =，则21PC BC x ==+，又因为1PA AB ==，所以2PB =， 在三角形PBC ,因为21PC BC x ==+，2PB =，所以PB 边上的高为2211122x x +-==+，所以211222PBC S x =⨯⨯+△，又因为点A 到平面PBC 的距离为3，所以2132163A PBC V x -=⨯+⨯，又因为16P ABC V x -=，所以213121636x x ⨯+⨯=，所以1x =，即1AC =, 这时可以建系.但这一切在解法中都用不到，但易误导让解题者浪费更多的时间.19.甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙，治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进.2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代人治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号.在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值.（风蚀值是测量固沙效果的指标之一.数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小.说明固沙效果越好，数值为0表示该插钎处没有被风蚀）.通过一段时间的观测，治沙人记不了坡项和坡腰全部插钎测得的风蚀（所测水据均不为整数），并绘制了相频率分布直方图（1）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率； （2）若一个插钎风蚀值小于30，则访数据要标记“*”，否则不标记.根据以上直方图，完成列联表：并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？ （3）坡项和坡腰的平均风蚀值分别为1x 和2x ，若1220x x cm -＞，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算1x 和2x ，（同一组中数据用该组区间中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++解：（1）由坡腰风蚀值的频率分布直方图知：风蚀值小于30的是前三组，各组频率分别： 0.08，0.16和0.36，设“风蚀值小于30”的事件为A ,则()0.080.160.360.6P A =++=.(频数也可以计算，前三组的风蚀插钎数分别为4，8，18，共30个，所以300.650P ==).(2)因为坡腰风蚀值小于30的风蚀插钎共有30个，坡顶有2+6+12=20个， 所以列联表如下：所以22100(900400)450505050K -==⨯⨯⨯，又因为430841>， 所以有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关.（3）因为150.08150.16250.36350.24450.12550.0427.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，又因为250.04150.12250.24350.32450.20550.0832.6x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以1220x x -=4.8<，所以该固沙方法不存在差异.（评分标准2分制，回答占1分）20.(本小题满分12分)已知点F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的一个焦点，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1. （1）求椭圆的标准方程；（2）若,M N 在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM ∥直线BN ，直线,AN BM 的斜率分别为1k 和2k ，求证：2121k k e =-（e 椭圆的离心率） 解：（1）根据题意有3,1a c a c +=-=，所以2,1a c ==，所以b =所以椭圆的标准方程为22143x y +=.…………………………………………4分（2）设(2cos ),(2cos )M N ααββ，因为(2,0),(0,A B因为AM BN ∥,所以2cos 22cos αβαβ=-，所以sin sin 1cos 1cos αβαβ+=- 所以1tan12tan1tan 22βαβ+-=-，所以1tan2tan 21tan 2βαβ--=+，所以1tan2tan 21tan2αβα+=-，所以121tan3sin sin 1324cos 1cos 4tan 1tan 22k k αβαβαβα++==⨯⨯=-⨯-- 33tan 244tan 2ββ=-⨯=-.又因为12e =，所以2131144e -=-=-所以2121k k e =-.（注：比坐标法解方程组运算量要小很多） 21. (本小题满分12分)已知函数211()ln (0)22f x a x x a R a =--+∈≠且（1）当a =()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的方程； （2）讨论函数()f x 的单调性与单调区间；（3）若()y f x =有两个极值点12,x x ，证明：12()()9ln f x f x a +-<.解：（1）因为a =所以211()22f x x x =--+，所以()(0)f x x x '=>， 所以(1)1f '=-，又因为(1)f =，所以()y f x =在点(1,(1))f处的切线的方程为(1y x -=--），即10x y +-=.（2）因为()0)a f x x x x '=-=>， 所以1240a =-△>时，3a <，方程20x a -+-=的两根分别为120,0x x ==，又因为0a ≠，所以 当03a <<时， 210x x >>，所以()f x 在1(0,)x 和2(,)x +∞上递增，在12(,)x x 上递减，当a <0时，120,0x x ==，所以()f x 在2(0,)x 上递增，在2(,)x +∞上递减；当1240a =-△≤，即3a ≥时，()0f x '≤，所以()f x 在(0,)+∞上递减， 综合上述知：当3a ≥时，所以()f x 在(0,)+∞上递减，当03a <<时，()f x在和)+∞上递增，在上递减，当a <0时，()f x在上递增，在)+∞上递减.（3）由（2）知()y f x =有两个极值点12,x x 时，03a <<，且12x x +=12,x x a =所以22121212121()())ln()()12f x f x x x a x x x x +=+--++2121212121)ln()()17ln 2x x a x x x x x x a a a =+--+++=-+，所以要证12()()9ln f x f x a +-<，即证ln ln 20a a a a --+>令g()ln ln 2(03)x x x x x x =--+<<，则1()ln g x x x'=-在(0,3)上递增，又因为(1)10g '=-<，1(2)ln 202g '=-=，所以存在0(1,2)x ∈， 使得0001()ln 0g x x x '=-=，所以min 0000000011g()ln ln 233()x x x x x x x x x =--+=--+=-+，因为0(1,2)x ∈，所以min g()0x >，即ln ln 20a a a a --+>（03a <<）成立， 所以12()()9ln f x f x a +-<成立.请考生在第．．．．．2．2．，．2．3．题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.．22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题10分）在平面直线坐标系xoy 中，直线l的参数方程为1222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为4πρα+（），曲线2C的直坐标方程为y =（1）若直线l 与曲线1C 交于,M N 两点，求线段MN 的长度；（2）若直线l 与轴，y 轴分别交于,A B 两点，点P 在曲线2C 上，求AB AP ⋅u u u r u u u r的取值范围. 解：（1）因为1,222x y =--=+，所以1x y +=，即直线l 的普通方程为1x y +=，又因为4πρα+（），所以=2cos 2sin ραα-，所以2=2cos 2sin ρραρα-，所以22220x y x y +-+=，即曲线1C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y -++=， 所圆心1(1,1)C -到直线l，又因为r =MN ==，即线段MN.（2）根据题意有(1,0),(0,1)A B ，因为曲线2C：y =，所以224(0)x y y +=≥， 所以设(2cos ,2sin )(0)P θθθπ≤≤，所以(1,1)(2cos 1,2sin )12cos 2sin 1)4AB AP πθθθθθ⋅=-⋅-=-+=+-u u u r u u u r ，因为0θπ≤≤，所以3444πππθ--≤≤，所以sin(124πθ--≤)≤，所以114πθ--+≤1+)≤，即AB AP ⋅u u u r u u u r的取值范围是[1,1-+.23.[选修4-5： 不等式选讲]（本题满分10分）已知函数()122f x x x =-++，()22g x x x a a =++-+ （1）求不等式()4f x >的解集；（2）对12,x R x R ∀∈∃∈使得12()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围.解：（1）因为31,1()1223,1131,1x x f x x x x x x x ---⎧⎪=-++=+-⎨⎪+⎩<>≤≤，又因为()4f x >，所以3141x x --⎧⎨-⎩><或3411x x +⎧⎨-⎩>≤≤或3141x x +⎧⎨⎩>>，所以53x -<或1x >，即不等式的解集为5(,)(1,)3-∞-+∞∪；（2）由（1）知min ()(1)2f x f =-=，又因为()2222g x x x a a a a =++-+++≥，又因为对12,x R x R ∀∈∃∈使得12()()f x g x ≥成立，所以222a a ++≥， 所以2222a a a -+-≤≤，所以40a -≤≤，即a 的取值范围是[4,0]-.注原题中()22g x x x a a =+--+，答案中()22g x x x a a =+--+.。
甘肃省2020年第一次高考诊断考试理科数学带答案
2020年甘肃省第一次高考诊断考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知{}1<=x x A ，{}12<=x x B ，则AUB=（ ）A ．（-1，0）B ．（0，1）C ．（-1，+∞）D ．（-∞，1）2．已知：)23(i i z -=，则z z ⋅=（ ）A ．5B ．5C ．13D ．133．已知平面向量,满足),3(),2,1(t -=-=，且)(+⊥=（ ）A ．3B ．10C ．32D ．54．已知抛物线)0(22>=p px y 经过点)22,2(M ，焦点为F ．则直线MF 的斜率为（ ） A ．22 B ．42 C ．22 D ．22- 5．函数22cos ln )(x x x x f +=的部分图象大致为（ ）A B C D6．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的一条渐近线经过圆04222=-++y x y x E ：的圆心，则双曲线的C 的离心率为（ ）A ．25 B ．5 C ．2 D ．27．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C 技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为a x y ˆ042.0ˆ-=．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C 手机市场占有率能超过0.5%（ ）（精确到月）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月8．设n m ，是空间两条不同的直线，βα，是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若α∥m ，β∥n ，βα∥，则n m ∥；②若βα⊥，β⊥m ，α⊄m ，则α∥m ；③若n m ⊥，α⊥m ，βα∥，则β∥n ；④若βα⊥，l =βαI ，α∥m ，l m ⊥．则β⊥m ．其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④9．定义在R 上的偶函数)(x f ，对)0,(,21-∞∈∀x x ．且21x x ≠，有0)()(1212>--x x x f x f 成立，已知)(ln πf a =，)(21-=e f b ，)61(log 2f c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＞a ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b10．将函数)6sin()(π+=x x f 图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数)(x g y =的图象，则函数)(x g y =图象的一个对称中心为（ ）A ．)0,12(πB ．)0,4(πC ．)0,(πD ．)0,34(π 11．若n x x )1(3+的展开式中二项式系数和为256．则二项式展开式中有理项系数之和为（ ）A ．85B ．84C ．57D ． 5612．若函数2)(mx e x f x -=有且只有4个不同的零点．则实数m 的取值范围是（ ） A ．),4[2+∞e B ),4(2+∞e C ．)4,(2e -∞ D ．]4,(2e -∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(一)(有答案解析)
2020年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|-1＜x＜4}，则集合A中的元素个数是（）A. 3B. 4C. 5D. 62.（-1+i）（2i+1）=（）A. 1-iB. 1+iC. -3-iD. -3+i3.若双曲线=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，离心率为，则其虚轴长为（）A. 8B. 4C. 2D.4.已知向量，的夹角为，，，则（）A. B. -3 C. D. 35.某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是（）A. B. C. D.6.朱世杰是元代著名数学家，他所著《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．《算学启蒙》中提到一些堆垛问题，如“三角垛果子”，就是将一样大小的果子堆垛成正三棱锥，每层皆堆成正三角形，从上向下数，每层果子数分别为1，3，6，10，…，现有一个“三角垛果子”，其最底层每边果子数为10，则该层果子数为（）A. 50B. 55C. 100D. 1107.已知函数f（x）=x•ln，a=f（-），b=f（），c=f（），则以下关系成立的是（）A. c＜a＜bB. c＜b＜aC. a＜b＜cD. a＜c＜b8.如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的n是（）A. 168B. 169C. 336D. 3389.若点P是函数y=图象上任意一点，直线l为点P处的切线，则直线l斜率的范围是（）A. （-∞，1）B. [0，1]C. [1，+∞）D. （0，1]10.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，AB=1，PD=2，则异面直线PA与BD所成角的余弦值为（）A. B. C. D.11.已知点F1，F2是椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的动点，动点Q在射线F1P的延长线上，且||=||，若||的最小值为1，最大值为9，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=x2+ln（|x|+1），若对于x∈[1，2]，f（ax2）＜f（3）恒成立，则实数a的范围是（）A. B. -3＜a＜3 C. a D. a＜3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}中，a n+1=2a n对∀n∈N*成立，且a3=12，则a1=______．14.若实数x，y满足约束条件，则z=-2x-y必有最______值（填“大”或“小”）．15.已知sinα+cosα=，sinα＞cosα，则tanα=______．16.已知函数f（x）=a ln x+，当a∈（-）时，函数的零点个数为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b+c=10，a=，5b sin A cos C+5c sin A cos B=3a．（1）求A的余弦值；（2）求b和c．18.“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每周进行长跑不大于2天3天或4天不少于5天调练天数人数3013040若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．（1）经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；（2）根据上表的数据，填写下列2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关？热烈参与者非热烈参与者合计男140女55合计附：k2=（n为样本容量）P（k2≥k0）0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001 k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819.已知曲线C上的任意一点到直线l：x=-的距离与到点F（）的距离相等．（1）求曲线C的方程；（2）若过P（1，0）的直线与曲线C相交于A，B两点，Q（-1，0）为定点，设直线AQ的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，直线AB的斜率为k，证明：为定值．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△PCD为正三角形，∠BAD=30°，AD=4，AB=2，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC中点．（1）证明：BE⊥PC；（2）求多面体PABED的体积．21.已知函数f（x）=x3-（a2+a+2）x2+a2（a+2）x，a∈R．（1）当a=-1时，求函数y=f（x）的单调区间；（2）求函数y=f（x）的极值点．22.已知曲线E的极坐标方程为4（ρ2-4）sin2θ=（16-ρ2）cos2θ，以极轴为x轴的非负半轴，极点O为坐标原点，建立平面直角坐标系．（1）写出曲线E的直角坐标方程；（2）若点P为曲线E上动点，点M为线段OP的中点，直线l的参数方程为（t为参数），求点M到直线l的距离的最大值．23.已知a＞0，b＞0，a+b=4，m∈R．（1）求+的最小值；（2）若|x+m|-|x-2|≤+对任意的实数x恒成立，求m的范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】用列举法写出集合B．本题考查了集合中元素个数的判断，属于基础题．【解答】解：集合A={x∈N|-1＜x＜4}={0，1，2，3}．即集合A中的元素个数是4．故选：B．2.答案：C解析：【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解：（-1+i）（2i+1）=-2i-1+2i2+i=-3-i．故选：C．3.答案：B解析：【分析】根据题意，由双曲线的实轴长可得a的值，进而由离心率公式可得c的值，计算可得b 的值，由双曲线的虚轴长为2b，即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的实轴长为2a．【解答】解：根据题意，若双曲线=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，即2a=4，则a=2，又由双曲线的离心率e=，则有e==，则c=a=2，则b==2，则该双曲线的虚轴长2b=4；故选：B．4.答案：D解析：【分析】根据条件即可得出，从而求出．考查向量数量积的计算公式，向量夹角和长度的定义．【解答】解：∵，的夹角为，=-3，||=2；∴；∴．故选：D．解析：解：某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，基本事件总数n==10，A或B被选中的对立事件是A和B都没有被选中，则A或B被选中的概率是p=1-=．故选：D．基本事件总数n==10，A或B被选中的对立事件是A和B都没有被选中，由此能求出A或B被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：B解析：【分析】本题考查数列在实际问题中的运用，考查等差数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．由题意可得从上而下每层的个数为1+2+3+…+n，由等差数列的求和公式，计算可得所求值．【解答】解：由题意可得每层果子数分别为1，3，6，10，…，即为1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，…，其最底层每边果子数为10，即有该层的果子数为1+2+3+…+10=×10×11=55．故选：B．7.答案：A解析：解：，，；∵；∴；∴c＜a＜b．故选：A．根据f（x）的解析式，可以求出，，容易看出，从而得出c＜a＜b．考查已知函数求值的方法，对数的运算，以及对数函数的单调性．解析：解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出1到2019中满足条件sin=1的k的个数n的值，由sin=1，又正弦函数的性质可知函数的取值周期为12，且2019=12×168+3，可得：n=168．故选：A．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，利用正弦函数的周期性即可得解．本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．9.答案：C解析：解：∵y=，∴y′==．∵-1＜sin2x≤1，∴0＜1+sin2x≤2，∴，则y′=．∴直线l斜率的范围是[1，+∞）．故选：C．求出原函数的导函数，进一步求得导函数的值域得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查三角函数值域的求法，是中档题．10.答案：D解析：【分析】本题考查利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．由题意建立空间直角坐标系，求出的坐标，由两向量所成角的余弦值求解，注意异面直线所成角的范围为（0°,90°]．【解答】解：由题意，建立如图的空间直角坐标系，∵底面ABCD为正方形，AB=1，PD=2，PD⊥底面ABCD，∴点A（1，0，0），P（0，0，2），D（0，0，0），B（1，1，0），则，，∴cos＜＞=．∴异面直线PA与BD所成角的余弦值为．故选：D．11.答案：C解析：解：因为||=||，||的最小值为1，最大值为9，∴|PF2|的最大值为a+c=9，最小值为a-c=1∴a=5，c=4．∴椭圆的离心率为e=，故选：C．可得|PF2|的最大值为a+c=9，最小值为a-c=1求得a，c．即可得椭圆的离心率．本题考查了椭圆的离心率，属于基础题．12.答案：A解析：解：函数f（x）=x2+ln（|x|+1）的定义域为R，且f（-x）=（-x）2+ln（|-x|+1）=x2+ln（|x|+1）=f（x），所以f（x）为R上的偶函数，且在[0，+∞）上为增函数；所以对于x∈[1，2]，f（ax2）＜f（3）恒成立，等价于|ax2|＜3在x∈[1，2]上恒成立；即|a|＜在x∈[1，2]上恒成立，所以|a|＜，解得-＜a＜；所以实数a的范围是（-，）．故选：A．判断函数f（x）是定义域R上的偶函数，且在[0，+∞）上为增函数；把问题转化为|ax2|＜3在x∈[1，2]上恒成立，即|a|＜在x∈[1，2]上恒成立，由此求出实数a的范围．本题考查了利用函数的单调性求不等式恒成立应用问题，是中档题．13.答案：3解析：解：∵12=a3=2a2，∴a2=6，∵6=a2=2a1，∴a1=3．故答案为：3．先求a2，再求a1．本题考查了数列的递推公式，属基础题．14.答案：大解析：解：实数x，y满足约束条件的可行域如图：则z=-2x-y如图中的红色直线，可知目标函数结果A时截距取得最小值，此时在取得最大值，故答案为：大．画出约束条件的可行域，判断目标函数的几何意义，然后推出结果．本题考查线性规划的简单应用，画出目标函数的可行域是解题的关键．15.答案：解析：解：∵sinα+cosα=，∴1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=．又cos2α+sin2α=1，且sinα＞cosα，∴sinα=，cosα=，tanα=．故答案为：．由sinα+cosα=，两边平方可得2sinαcosα=，又cos2A+sin2A=1，且sinα＞cosα，解得cosα，sinα的值，则tanα可求．本题考查同角三角函数的基本关系的应用，是基础题．16.答案：1解析：解：函数f（x）=a ln x+，可得f′（x）=-x，a∈（-）时，f′（x）＜0，函数是减函数，f（1）=-=，f（）=1-+＞0，所以函数函数f（x）=a ln x+，当a∈（-）时，函数的零点个数为1．故答案为：1．通过导函数的符号判断函数的单调性，通过零点判断定理转化求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的零点判断定理的应用，是简单的综合题目．17.答案：解：（1）∵5b sin A cos C+5c sin A cos B=3a，∴由正弦定理可得：5sin B sin A cos C+5sin C sin A cos B=3sin A，∵sin A≠0，∴5sin B cos C+5sin C cos B=3，可得：sin（B+C）=，∵B+C=π-A，∴sin A=，∵A∈（0，），∴cos A==；（2）∵a2=b2+c2-2bc cos A=（b+c）2-2bc（1+cos A），又∵b+c=10，a=，∴解得：bc=25，∴解得：b=c=5．解析：（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理可得sin A=，结合范围A∈（0，），利用同角三角函数基本关系式可求cos A的值．（2）由已知利用余弦定理即可解得b，c的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：解：（1）以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，则该市：热烈参与者“的人数约为：20000×=4000．（2）热烈参与者非热烈参与者合计男35105140女55560合计40160200K2=≈7.292＞6.635，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关．解析：（1）以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，则该市：热烈参与者“的人数约为：20000×=4000．（2）先得2×2列联表，再根据表中数据计算K2，结合临界值表可得．本题考查了独立性检验，属中档题．19.答案：（1）解：由条件可知，此曲线是焦点为F的抛物线，，p=1．∴抛物线的方程为y2=2x；（2）证明：根据已知，设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0），由，可得ky2-2y-2k=0．设A（），B（），则，y1y2=-2．∵，．∴====．∴．解析：（1）直接由抛物线定义可得曲线C的方程；（2）设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0），联立直线方程与抛物线方程，利用斜率公式求得，即可证明为定值．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.答案：证明：（1）∵BD2=AB2+AD2-2AB•AD•cos∠BAD=4，∴BD=2，∴∠ABD=90°，∴BD⊥CD，∵面PCD⊥面ABCD，面PCD∩面ABCD=CD，∴BD⊥面PCD，∴BD⊥PC，∵△PCD是正三角形，E为PC的中点，∴DE⊥PC，∴PC⊥面BDE，∴BE⊥PC．解：（2）作PF⊥CD，EG⊥CD，F，G为垂足，∵面PCD⊥面ABCD，∴PF⊥面ABCD，EG⊥面ABCD，∵△PCD是正三角形，CD=2，∴PF=3，EG=，∴V P-ABCD==4，=，∴多面体PABED的体积V=V P-ABCD-V E-BCD=4=3．解析：（1）推导出BD⊥CD，从而BD⊥面PCD，进而BD⊥PC，推导出DE⊥PC，从而PC⊥面BDE，由此能证明BE⊥PC．（2）作PF⊥CD，EG⊥CD，推导出多面体PABED的体积V=V P-ABCD-V E-BCD，由此能求出结果．本题考查线线垂直的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21.答案：解：（1）当a=-1时，．∵f′（x）=x2-2x+1=（x-1）2≥0，故函数在R内为增函数，单调递增区间为（-∞，+∞）．（2）∵f′（x）=x2-（a2+a+2）x+a2（a+2）=（x-a2）[x-（a+2）]，①当a=-1或a=2时，a2=a+2，∵f’（x）≥0恒成立，函数为增函数，无极值；②当a＜-1或a＞2时，a2＞a+2，可得当x∈（-∞，a+2）时，f’（x）＞0，函数为增函数；当x∈（a+2，a2）时，f’（x）＜0，函数为减函数；当x∈（a2，+∞）时，f’（x）＞0，函数为增函数．当x=a+2时，函数有极大值f（a+2），当x=a2时，函数有极小值f（a2）．③当-1＜a＜2时，a2＜a+2．可得当x∈（-∞，a2）时，f’（x）＞0，函数为增函数；当x∈（a2，a+2）时，f’（x）＜0，函数为减函数；当x∈（a+2，+∞）时，f’（x）＞0，函数为增函数．当x=a+2时，函数有极小值f（a+2）；当x=a2时，函数有极大值f（a2）．解析：（1）首先求得导函数，然后结合导函数的符号求解函数的单调区间即可；（2）首先求得导函数，然后结合函数的解析式分类讨论确定函数的极值点即可．本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的极值，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．22.答案：解：（1）由4（ρ2-4）sin2θ=（16-ρ2）cos2θ得4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=16，利用互化公式可得x2+4y2=16；所以曲线E的直角坐标方程为：x2+4y2=16．（2）直线l的普通方程为：x-2y+3=0，设P（4cosα，2sinα），则M（2cosα，sinα）点M到直线l的距离d==≤=解析：（1）利用互化公式ρcosθ=x，ρsinθ=y，可得E的普通方程；（2）先l的参数方程化普通方程，再利用E的参数方程设出P点，利用中点公式得M，用点到直线距离公式求得M到直线l的距离，再求最大值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）∵a＞0，b＞0，a+b=4，∴+=（+）•（a+b）=（2++）≥（2+2）=1，当且仅当a=b=2时取“=”；∴+的最小值为1；（2）若|x+m|-|x-2|≤+对任意的实数x恒成立，则|x+m|-|x-2|≤对任意的实数x恒成立，即|x+m|-|x-2|≤1对任意的实数x恒成立；∵|x+m|-|x-2|≤|（x+m）-（x-2）|=|m+2|，即|m+2|≤1，∴-1≤m+2≤1，解得-3≤m≤-1，∴m的取值范围是-3≤m≤1．解析：（1）由题意，利用基本不等式求出+=（+）•（a+b）的最小值；（2）把问题等价于|x+m|-|x-2|≤对任意的实数x恒成立，即|x+m|-|x-2|≤1对任意的实数x恒成立，利用绝对值不等式转化为关于m的不等式，求出解集即可．本题考查了含有绝对值的不等式应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是中档题．。
2020年甘肃省高考数学一诊试卷(理科) (含答案解析)
2020年甘肃省高考数学一诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知A ={x|x 2−2x ≤0}，B ={x|y =lgx}，则A ∪B =( )A. RB. (0,+∞)C. [0,+∞)D. [1,+∞)2. 若复数z =4−i ，则z−z=( )A. −1517+817iB. 1+817iC. 1517+817iD. 1517−817i3. 已知平面向量a ⃗ =(k,3),b ⃗ =(1,4)，若a ⃗ ⊥b⃗ ，则实数k 为( ) A. −12 B. 12C. 43D. 344. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过点F 作斜率为k 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB|=3p ，则k =( )A. √2B. −√2C. ±√2D. ±25. 函数f(x)=x4x 2−1的部分图象大致是( )A.B.C.D.6. 已知圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A. (1,√3)B. (1,2)C. (√3,+∞)D. (2,+∞)7. 具有线性相关关系的两变量x ，y 满足的一组数据如表，若y 与x 的回归直线方程为y ̂=3x −32，则m 的值为( )x0123y−11m7A. 4B. 92C. 5D. 68.若m，n是两条不同的直线，m⊥平面α，则“m⊥n”是“n//α”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知函数f(x)是定义在上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=log 2(1−x).若f(a2−1)<1，则实数a的取值范围是()A. (−√2,0)∪(0,√2)B. (−√2,√2)C. (−1,0)∪(0,1)D. (−1,1)10.将函数y=sin(2x+π3)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π6个单位，所得函数的一个对称中心可以是()A. (0,0)B. (π6,0) C. (π3,0) D. (π2,0)11.在(1+x)6(1−2x)展开式中，含x5的项的系数是A. 36B. 24C. −36D. −2412.已知函数f(x)=a(2a−1)e2x−(3a−1)(x+2)e x+(x+2)2有4个不同的零点，则实数a的取值范围为( )A. (12,e) B. (12,e+12)C. (12,1)∪(1,e) D. (12,1)∪(1,e+12)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x,y满足约束条件{x+2y≥0x−y≤0x−2y+2≥0，则z=3x−y的最小值等于______．14.某班星期二的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要安排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理各1节，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则共有___________种安排方法(用数字作答)．15.在ΔABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若ccosB+bcosC=2acosA，M为BC的中点，且AM=1，则b+c的最大值是________．16.类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为a的正四面体的内切球半径为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.若一个数列的奇数项与偶数项分别都成等比数列，则称该数列为“亚等比数列”，已知数列{a n}：a n=2 [n2]，n∈N∗其中[x]为x的整数部分，如[5.9]=5，[−1.3]=−2(1)求证：{a n}为“亚等比数列”，并写出通项公式；(2)求{a n}的前2014项和S2014．18.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点．(1)求直线EC与AF所成角的余弦值．(2)求二面角E−AF−B的余弦值．19.在合作学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担A，B，C，D四项不同的任务，每个同学只能承担一项任务．(1)若每项任务至少安排一位同学承担，求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；(2)设这五位同学中承担任务A的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．20.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为35．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被椭圆C所截线段的长及中点坐标21.函数f(x)=−lnx+12ax2+(a−1)x−2(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若a>0，求证：f(x)≥−32a．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=1+tcosα,y=tsinα(t为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．(1)求证：直线l与圆C必有两个公共点；(2)已知点M的直角坐标为(1,0)，直线l与圆C交于A，B两点，若||MA|−|MB||=1，求cosα的值．23.已知函数f(x)=|x+1|−|4−2x|．(1)求不等式f(x)≥13(x−1)的解集；(2)若函数f(x)的最大值为m，且2a+b=m(a>0,b>0)，求2a +1b的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A ={x|x 2−2x ≤0}={x|0≤x ≤2}， B ={x|y =lgx}={x|x >0}， 则A ∪B ={x|x ≥0}=[0,+∞)． 故选：C ．化简集合A 、B ，根据并集的定义写出A ∪B ． 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：C解析：解：∵z =4−i ，∴z −z =4+i4−i =(4+i)2(4−i)(4+i)=1517+817i ． 故选：C ．由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题． 由条件利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求得k 的值． 解：∵平面向量a ⃗ =(k,3)，b ⃗ =(1,4)，a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∴a ⃗ ·b⃗ =k +12=0， 解得k =−12， 故选A ．4.答案：C解析：本题考查了抛物线的定义，性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．依题意，设过点F 的直线方程为y =k(x −p2)，与抛物线方程联立，利用韦达定理可得x 1+x 2=k 2p+2p k 2，根据|AB|=x 1+x 2+p ，即可求得结果． 解：设过点F 的直线方程为y =k(x −p2)，联立方程{y =k (x −p2)y 2=2px ，消y 得k 2x 2−(k 2p +2p )x +k 2p 24=0，Δ>0恒成立，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=k 2p+2p k 2，因为|AB|=x 1+x 2+p ， 所以k 2p+2p k 2+p =3p ，解得k 2=2⇒k =±√2．故选C ．5.答案：A解析：本题主要考查函数图象的识别，利用函数奇偶性和特殊值进行排除是解决本题的关键．属于基础题． 判断函数的奇偶性，判断函数的对称性，利用特殊值法进行排除判断即可． 解：由4x 2−1≠0，得x 2≠14，得x ≠±12，所以函数f(x)的定义域为{x |x ≠±12}，关于原点对称，函数f(−x)=−x4(−x)2−1=−x4x 2−1=−f(x)，则函数为奇函数，可排除C ，D ， 当x =1时，f(1)=14−1=13>0，排除B ． 故选：A ．6.答案：D解析：本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 先求出切线的斜率，再利用圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，可得ba >√3，即可求出双曲线C 的离心率的取值范围． 解：由题意，圆心到直线的距离d =√k 2+1=√32， ∴k =±√3，∵圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，∴ba >√3， ∴1+b 2a 2>4， 即c 2a 2>4，∴e >2， 故选：D ．7.答案：C解析：本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．由表中数据计算x −、y −，把样本中心点代入线性回归方程中，求得m 的值．解：由表中数据，计算x −=14×(0+1+2+3)=1.5， y −=14×(−1+1+m +7)=m+74，把样本中心点(1.5,m+74)代入线性回归方程y ̂=3x −32中，得m+74=3×1.5−32，解得m =5． 故选C ．8.答案：B解析：解：∵m ，n 是两条不同的直线，m ⊥平面α， ∴“m ⊥n ”推不出“n//α”， “n//α”⇒“m ⊥n ”，∴“m⊥n”是“n//α”的必要不充分条件．故选：B．“m⊥n”推不出“n//α”，“n//α”⇒“m⊥n”．本题考查命真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．9.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性、函数的单调性，一元二次不等式的解法，属于中档题．当x≤0时，f(x)=log2(1−x)为减函数，结合偶函数f(x)满足f(−1)=1，可得答案．解：当x≤0时，f(x)=log2(1−x)为减函数．令f(x)=1，即log2(1−x)=1，解得x=−1．又函数f(x)是定义在上的偶函数，若f(a2−1)<1，则a2−1∈(−1,1)，解得a∈(−√2,0)∪(0,√2).故选A．10.答案：D解析：解：将函数y=sin(2x+π3)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，可得y=sin(x+π3)的图象；再向左平移π6个单位，可得y=sin(x+π6+π3)=cosx的图象，故它的一个对称中心可以是(π2,0)，故选：D．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得平移后函数的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．11.答案：D解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 把(1+x)6按照二项式定理展开，可得(1+x)6(1−2x)展开式中，含x 5的项的系数．解：∵(1+x)6展开式中，x 4系数为C 64，x 5系数为C 65，可得(1+x)6(1−2x)展开式中，含x 5的项的系数为1×C 65+(−2)×C 64故展开式中含x 5的系数为6−30=−24， 故选D ．12.答案：D解析：本题考查了函数零点与方程根的关系，利用导数求函数的最值，属于中档题． 由题意可得a =x+2e x, 2a −1=x+2e x，令g(x)=x+2e x，求导，利用导数可得g(x)max =g(−1)=e ，可得，解不等式即可． 解：由得即a =x+2e x, 2a −1=x+2e x，令g(x)=x+2e x，g′(x)=−(x+1)e x，所以g(x)在(−∞, −1)上单调递增，在(−1, +∞)上单调递减，g(−2)=0， 所以g(x)max =g(−1)=e ，当x >−2, g(x)>0.x →−∞, g(x)→−∞，x →+∞, g(x)→0+， 要使方程有4个不同的零点，则{0<a <e,0<2a −1<e, 2a −1≠a ⇒12<a <1+e2, a ≠1, 即实数a 的取值范围为(12,1)∪(1,e+12)．故选D ．13.答案：−72解析：作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x −z ， 则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)，所以z =3x −y 的最小值z min =3⋅(−1)−12=−72． 故答案为：−72．14.答案：408解析：本题考查排列组合的综合应用，属基础题目． 对数学是否排在上午第一节进行分类即可．解：上午第一节排数学，有A 55=5×4×3×2×1=120种排法， 上午第一节不排数学，也不排体育，数学又必须在上午，所以有A 41×A 31×A 44=4×3×4×3×2×1=288．所以共有120+288=408种方法． 故答案为408种．15.答案：4√33解析：本题考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于综合题，先由正弦定理和ccosB +bcosC =2acosA ，求得，再由余弦定理a 2=b 2+c 2−bc ，b 2+c 2=2+a 22消去a 得(b +c)2=4+bc ，再利用基本不等式可得．解：∵ccosB +bcosC =2acosA ，，，解得，在ΔABC 中，由余弦定理a 2=b 2+c 2−bc ，①在ΔAMC 中，， 在ΔAMB 中，，∴b 2+c 2=2+a 22，②由①②消去a 得(b +c)2=4+bc ， ∴(b +c)2=4+bc ≤4+(b+c)24，当且仅当b =c 取“=”，∴b +c ≤4√33，即b +c 的最大值是4√33． 故答案为4√33． 16.答案：√612a解析：本题考查了类比推理，平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，证明时连接球心与正四面体的四个顶点，把正四面体分成四个高为r 的三棱锥，正四面体的体积，就是四个三棱锥的体积的和，求解即可．解：设正四面体的内切球半径为r ，各面面积为S ，正四面体的高为h ， 所以13×ℎ×S =4×13×r ×S ，．故答案为√612a ．17.答案：解：(1)若n 为偶数，不妨设n =2k ，k ∈Z ，则[n2]=[k]=k =n2，此时a n =2 [n2]=2n2． 此时a n+2a n =2n+222n 2=2为常数，此时数列{a n }是公比为2，首项a 2=2的等比数列．若n 为奇数，不妨设n =2k −1，则[n 2]=[2k−12]=k −1=n+12−1=n−12，则a n =2[n2]=2n−12．此时a n+2a n=2n+2−122n−12=2为常数，此时数列{a n }是公比为2，首项a 1=1的等比数列．即{a n }为“亚等比数列，且a n ={2n−12,n =2k −1,k ∈Z2n 2,n =2k,k ∈Z．(2)∵a n ={2n−12,n =2k −1,k ∈Z2n 2,n =2k,k ∈Z，奇数项是公比为2，首项a 1=1的等比数列，偶数项是公比为2，首项a 2=2的等比数列， ∴{a n }的前2014项和S 2014=S 奇+S 偶=1×(1−21007)1−2+2×(1−21007)1−2=3⋅21007−3．解析：(1)根据条件求数列的通项公式，利用{a n }为“亚等比数列的条件分别证明奇数项和偶数项是等比数列即可得，(2)利用分组求和和将数列分为奇数项和偶数项，然后利用等比数列的求和公式即可求{a n }的前2014项和S 2014．本题主要考查等比数列的通项公式以及数列求和，根据定义求出数列的通项公式是解决本题的关键．18.答案：解：(1)如图建立空间直角坐标系，则A(2,0，0)，F(0,1，0)，C(0,2，0)，E(2,1，2)， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,2)． ∴cos <AF,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CE⃗⃗⃗⃗⃗ >=22222=−√53， 故直线EC 与AF 所成角的余弦值为√53．(2)平面ABCD 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)． 设平面AEF 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)，∴{−2x +y =0y +2z =0, 令x =1，则y =2，z =−1⇒n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−1)， ∴cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+4+1=−√66． 由图知二面角E −AF −B 为锐二面角，所以其余弦值为√66．解析：本题考查利用空间向量求异面直线夹角及二面角的余弦值，属于中档题．(1)通过建立空间直角坐标系，得到AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用它们的夹角公式即可得到异面直线EC 与AF 所成角的余弦值；(2)利用线面垂直的性质及空间向量求出平面ABCD 与平面AEF 的一个法向量，利用法向量的数量积公式即可得到二面角的余弦值．19.答案：解：(1)设甲、乙两人同时承担同一项任务为事件M ，则P(M)=A 44C 52A 44=110，所以甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是P(M)=1−P(M)=910， 答：甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是910； (2)ξ的可能取值为ξ=0,1,2,3,4,5， P(ξ=0)=3545=(34)5， P(ξ=1)=C 51⋅3445=5⋅3445， P(ξ=2)=C 52⋅3345=10⋅3345， P(ξ=3)=C 53⋅3245=10⋅3245，P(ξ=4)=C 54⋅3145=1545，P(ξ=5)=C 55⋅3045=145，ξ的分布列为：所以E (ξ)=∑i ⋅P i 5i=0=54．解析：本题考查离散型随机变量的期望的求解及古典概型．(1)利用古典概型求出甲、乙两人同时承担同一项任务的概型，然后利用对立事件的概率公式求解即可；(2)分析ξ的取值，求出各自的概率，得出分布列，再求期望．20.答案：解：(1)由题意得：b =4,c a =35，又因为a 2=b 2+c 2，解得a =5，椭圆C 的方程为x 225+y 216=1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y =45(x −3)， 设直线被椭圆C 所截线段的端点为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)， 中点为M(x 1+x 22,y 1+y 22)，y =45(x −3)与x 225+y 216=1联立消元得：x 2−3x −8=0，△=41>0，x 1+x 2=3，x 1x 2=−8，x 1+x 22=32,y 1+y 22=45(32−3)=−65，所以，直线被椭圆C 所截线段中点坐标为(32,−65)； |AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√(1+1625)(x 1−x 2)2=√415√(x 1+x 2)2−4x 1x 2，|AB|=√415√9+32=415，直线被椭圆C 所截线段长为415．解析：本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．(1)利用椭圆的离心率以及椭圆经过的点，转化求解椭圆方程即可．(2)求出直线方程，利用椭圆方程联立通过中点坐标，弦长公式转化求解即可．21.答案：解：(1)f′(x)=−1x +ax +(a −1)=ax 2+(a−1)x−1x=(ax−1)(x+1)x(x >0).①当a ≤0时，f ′(x)<0，则f(x)在(0,+∞)上单调递减；②当a >0时，由f ′(x)>0解得x >1a ，由f ′(x)<0解得0<x <1a ．即f(x)在(0 , 1a )上单调递减；f(x)在(1a ,+∞)上单调递增；综上，a ≤0时，f(x)的单调递减区间是(0,+∞)，没有单调递增区间； a >0时，f(x)的单调递减区间是(0 , 1a )，f(x)的单调递增区间是(1a ,+∞)． (2)由(1)知f(x)在(0 , 1a )上单调递减；f(x)在(1a ,+∞)上单调递增， 则f(x)min =f(1a )=lna −12a −1．要证f(x)≥−32a ，即证lna −12a −1≥−32a ，即lna +1a −1≥0， 构造函数μ(a)=lna +1a −1，则μ′(a)=1a −1a 2=a−1a 2，由μ′(a)>0解得a >1，由μ′(a)<0解得0<a <1， 即μ(a)在(0,1)上单调递减；μ(a)在(1,+∞)上单调递增； ∴μ(a)min =μ(1)=ln1+11−1=0， 即lna +1a −1≥0成立． 从而f(x)≥−32a 成立．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道中档题．(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可；(2)根据函数的单调性求出f(x)的最小值，问题转化为lna +1a −1≥0，构造函数μ(a)=lna +1a −1，根据函数的单调性证明即可．22.答案：解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．由ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x −5=0． 法一：将直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(t 为参数).代入x 2+y 2−4x −5=0， 得t 2−2tcosα−8=0，(∗)∴Δ=4cos 2α+32>0， ∴方程(∗)有两个不等的实数解． ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．法二：直线l 过定点(1,0)，(1,0)在圆C 内， ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．(2)记A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由(1)可知t1+t2=2cosα，t1t2=−8<0，∴||MA|−|MB||=|t1+t2|=2|cosα|=1，∴cosα=±12．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)f(x)=|x+1|−|4−2x|={x−5,x<−13x−3,−1≤x≤2−x+5,x>2，因为f(x)≥13(x−1)，所以{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1)，解得1≤x≤2或2<x≤4．故不等式f(x)≥13(x−1)的解集为[1,4]．(2)由(1)可知f(x)的最大值m=f(2)=3．因为2a+b=3(a>0,b>0)，所以2a +1b=13(2a+b)(2a+1b)=13(2ab+2ba+5)≥13×(2×2+5)=3，当且仅当a=b=1时，等号成立，故2a +1b的最小值是3．解析：(1)将函数f(x)化为分段函数的形式，再分类讨论去掉绝对值，解不等式组后取并集即可得到解集；(2)由(1)知，2a+b=3，再利用基本不等式即可求得所求式子的最小值．本题考查绝对值不等式的解法以及利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题．。
2020届甘肃省兰州市高三一诊数学(理)模拟试题有答案
兰州市高三诊断考试数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则()U M C N =I （ ）A ．(0,1)B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞2.已知复数512z i =-+（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）A ．复数z 的实部为5B ．复数z 的虚部为12iC ．复数z 的共轭复数为512i +D ．复数z 的模为133.已知数列{}n a 为等比数列，且22642a a a π+=，则35tan()a a =（ ）A ．．．4.双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A ．54B ．5C ．4D 5.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r ，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 等于（ ）A ．49-B ．43-C ．43D ．496.数列{}n a 中，11a =，对任意*n N ∈，有11n n a n a +=++，令1i i b a =，*()i N ∈，则122018b b b ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．20171009B ．20172018C ．20182019D ．403620197.若1(1)n x x ++的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0,]π和[0,]4n 内任取两个实数x ，y ，满足sin y x >的概率为（ ）A ．11π- B ．21π- C ．31π- D ．128.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A．3π B．3π C．3π D．4π9.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S的值是（）A．1008 B．2017 C．2018 D．302510.设p：实数x，y满足22(1)[(22)]x y-+-322≤-；q：实数x，y满足111x yx yy-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件11.已知圆C：22(1)(4)10x y-+-=和点(5,)M t，若圆C上存在两点A，B使得MA MB⊥，则实数t 的取值范围是（）A．[2,6]- B．[3,5]- C．[2,6] D．[3,5]12.定义在(0,)2π上的函数()f x，已知'()f x是它的导函数，且恒有cos'()sin()0x f x x f x⋅+⋅<成立，则有（）A．()2()64fππ> B3()()63fππ> C．()3()63fππ> D．()3()64fππ>二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若2sin()45πα-=-，则cos()4πα+=．14.已知样本数据1a，2a，……2018a的方差是4，如果有2i ib a=-(1,2,,2018)i=⋅⋅⋅，那么数据1b，2b，……2018b 的均方差为． 15.设函数()sin(2)f x x ϕ=+()2πϕ<向左平移3π个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则ϕ=． 16.函数23()123x x f x x =+-+，23()123x x g x x =-+-，若函数()(3)(4)F x f x g x =+-，且函数()F x 的零点均在[,](,,)a b a b a b Z <∈内，则b a -的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知向量(cos 2,sin 2)a x x =r ，(3,1)b =r ，函数()f x a b m =⋅+r r .（1）求()f x 的最小正周期；（2）当[0,]2x π∈时，()f x 的最小值为5，求m 的值.18.如图所示，矩形ABCD 中，AC BD G =I ，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.19.某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y （单位：kg ）与该地当日最高气温x （单位：C o ）的相关数据，如下表：x 11 9 8 5 2y 7 8 8 1012 （1）试求y 与x 的回归方程y bxa =+； （2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6C o ，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；（3）假定该地12月份的日最高气温2(,)X N μσ:，其中μ近似取样本平均数x ，2σ近似取样本方差2s ，试求(3.813.4)P X <<.附：参考公式和有关数据$1122211()()()n n i i i i i i n n i i i i x y nx y x x y y b x nx x x a y bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑$$3.2≈1.8≈，若2(,)X N μσ:，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，且(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.20.已知圆C ：22(1)8x y ++=，过(1,0)D 且与圆C 相切的动圆圆心为P .（1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）设过点C 的直线1l 交曲线E 于Q ，S 两点，过点D 的直线2l 交曲线E 于R ，T 两点，且12l l ⊥，垂足为W （Q ，R ，S ，T 为不同的四个点）. ①设00(,)W x y ，证明：220012x y +<； ②求四边形QRST 的面积的最小值.21.已知函数1()1x x t f x e x -+=-，其中e 为自然对数的底数. （1）证明：当1x >时，①1，②1x e x ->； （2）证明：对任意1x >，1t >-，有1()ln )2f x x >+. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程是2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+. （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，并切线长的最小值.23.[选修4-5：不等式选讲] 设函数()2f x x a x =-+，其中0a >.（1）当2a =时，求不等式()21f x x ≥+的解集；（2）若(2,)x ∈-+∞时，恒有()0f x >，求a 的取值范围.兰州市高三诊断考试 数学（理科）试题参考答案及评分参考 一、选择题 1-5: CDADA 6-10: DBBAB 11、12：CC 二、填空题 13. 25- 14. 2 15. 3π 16. 10 三、解答题17.（1）由题意知：()cos(2,sin 2)f x x x =(3,1)m ⋅+3cos 2sin 2x x m =++2sin(2)3x m π=++， 所以()f x 的最小正周期为T π=.（2）由（1）知：()2sin(2)3f x x m π=++， 当[0,]2x π∈时，42[,]333x πππ+∈. 所以当4233x ππ+=时，()f x 的最小值为3m -+. 又∵()f x 的最小值为5，∴35m -+=，即53m =+.18.（1）因为AD ⊥面ABE ，所以AD AE ⊥，又//BC AD ，所以BC AE ⊥.因为BF ⊥面ACE ，所以BF AE ⊥.又BC BF B =I ，所以AE ⊥面BCF ，即AE ⊥平面BCE .（2）方法1：因为BF ⊥面ACE ，CE ⊂面ACE ，所以BF CE ⊥，又BC BE =，所以F 为CE 中点，在DEC ∆中，22DE CE CD ===DF CE ⊥，BFD ∠为二面角B CE D --的平面角，222cos 2BF DF BD BFD BF DF +-∠=⋅⋅3226==⋅⋅∴平面BCE 与平面CDE所成角的余弦值为3. 方法2： 以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为(0,0,0)E ，(2,0,0)B ，(2,0,2)C ，(0,2,2)D ，设平面BCE 的法向量1n u r ，平面CDE 的法向量为2n u u r ，易知1(0,1,0)n =u r ，令2(,,)n x y z =u u r ，则2200n EC n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r ，故220220x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，得111x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，2(1,1,1)n =-u u r ， 于是，12cos ,n n <>u r u ur 1212n n n n ⋅==u r u u r u r u ur =此即平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.19.（1）由题意，7x =，9y =，1n i i i x y nx y =-∑28757928=-⋅⋅=-， 221n i i x nx =-∑22955750=-⋅=，280.5650b =-=-$，$a y bx =-$9(0.56)712.92=--⋅=. 所以所求回归直线方程为$0.5612.92y x =-+.（2）由0.560b=-<$知，y 与x 负相关.将6x =代入回归方程可得， $0.56612.929.56y =-⋅+=，即可预测当日销售量为9.56kg .（3）由（1）知7x μ≈=， 3.2σ≈=，所以(3.813.4)P X <<(2)P X μσμσ=-<<+1()2P X μσμσ=-<<+1(22)2P X μσμσ+-<<+0.8185=.20.解：（1）设动圆半径为r ，由于D 在圆内，圆P 与圆C 内切，则PC r =，PD r =，PC PD +=2CD >=，由椭圆定义可知，点P 的轨迹E是椭圆，a =1c =，1b ==，E 的方程为2212x y +=. （2）①证明：由已知条件可知，垂足W 在以CD 为直径的圆周上，则有22001x y +=，又因Q ，R ，S ，T 为不同的四个点，220012x y +<.②解：若1l 或2l 的斜率不存在，四边形QRST 的面积为2.若两条直线的斜率存在，设1l 的斜率为1k ，则1l 的方程为1(1)y k x =+， 解方程组122(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(21)4k x k x ++2220k +-=，则QS =，同理得RT = ∴12QSRT S QS RT =⋅2222(1)4(21)(2)k k k +=++2222(1)49(1)4k k +≥+169=， 当且仅当22212k k +=+，即1k =±时等号成立.综上所述，当1k =±时，四边形QRST 的面积取得最小值为169. 21.解：（1）令()ln1)m x =，则1'()2m x x =-1)0=<，()m x 为(1,)+∞上的减函数，而(1)0m =，所以()ln1)0m x =<，1<成立； 令1()x n x e x -=-，则1'()10x n x e -=->，()n x 为(1,)+∞上的增函数，而(1)0n =，所以1()0x n x ex -=->，1x e x ->成立. （2）1()ln )2f x x >+，即11x x t e x -+-1ln )2x >+ln =+， 由（1）1<，所以1+<，ln+x <=，所以，只需证11x x t x e x -+<-，即12()x x t e x x -+>-， 由（1）1x e x ->，所以只需证2()x x t x x +>-，只需证1x t x +>-，即1t >-， 上式已知成立，故原式成立，得证.22.解：（1）∵ρθθ=，∴2cos sin ρθθ=，∴圆C的直角坐标方程为220x y +-=，即22((122x y -++=，∴圆心直角坐标为22-.（2）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是==≥， ∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值是方法2：直线l的普通方程为0x y -+=，∴圆心C 到直线l|5++=， ∴直线l 上的点向圆C=23.解：（1）当2a =时，2221x x x -+≥+， 所以21x -≥，所以3x ≥或1x ≤，解集为(,1][3,)-∞+∞U .（2）3,(),x a x a f x x a x a -≥⎧=⎨+<⎩，因为0a >，∴x a ≥时，320x a a -≥>恒成立， 又x a <时，当2x >-时，2x a a +>-+，∴只需20a -+≥即可，所以2a ≥.。
2020届兰州市高三年级一诊理科数学试卷含答案
2020年兰州市高三诊断考试（理数） 第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.已知集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}*2,B x x n n N==∈，则AB =（ ）{}.0,2,4A {}.2,4B {}.1,3,5C {}.1,2,3,4,5D2.已知复数522iz i=+−，则z =（ ）.5B .13CD3.已知非零向量,a b ，给定:p R λ∃∈，使得a b λ=，:q a b a b +=+，则p 是q 的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件4.若21tan 5722sincos 1212tan2αππα−=，则tan α=（ ）.4A .3B .4C − .3D −5.已知双曲线()222210,0x y a b a b−=>>的一条渐近线过点()2,1−，则它的离心率是（）2ABCD 6.已知集合46911,,,,55555A πππππ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，从A 中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ） 1.10A 2.5B 3.5C 3.10D7.已知函数()ln f x =，且()0.20.2a f =，()3log 4b f =，13log 3c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）.A a b c >> .B c a b >> .C c b a >> .D b c a >>8.近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表1所示，绘制相应的散点图，如图1所示：表1 根据表1及图1得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为1r ，去掉第一年数据后得到的相关系数为2r ，则12r r <；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时草场植被指数。
2020年甘肃省高考数学一诊试卷(理科)
高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.=（）A. B. C. D.2.已知全集U=R，集合A={x|-3≤x≤1}，B={x|x＜-2，或x＞2}，那么集合A∩（∁U B）=（）A. {x|-3≤x＜-2}B. {x|-3≤x＜2}C. {x|-2≤x≤1}D. {x|x≤1，或x≥2}3.已知平面向量，的夹角为，=（0，-1），||=2，则|2+|=（）A. 4B. 2C. 2D. 24.抛物线y2=8x的焦点到双曲线-x2=1的渐近线的距离是（）A. B. C. D.5.已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A. f（x）=e|x|•cos xB. f（x）=ln|x|•cos xC. f（x）=e|x|+cos xD. f（x）=ln|x|+cos x6.若函数f（x）=a sin x+cos x在[-，]为增函数，则实数a的取值范围是（）A. [1，+∞）B. （-∞，-]C. [-，1]D. （-∞，-]∪[1，+∞）7.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A.B.C.D.8.《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（）A. B. C. D. C C C9.在△ABC中，A=120°，BC=14，AB=10，则△ABC的面积为（）A. 15B. 15C. 40D. 4010.四棱锥P-ABCD的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形ABCD的边长为4，则四棱锥P-ABCD的体积最大值为（）A. B. C. D.11.直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知，则p=（）A. 2B.C.D. 412.已知函数f'（x）是函数f（x）的导函数，，对任意实数都有f（x）-f'（x）＞0，则不等式f（x）＜e x-2的解集为（）A. （-∞，e）B. （1，+∞）C. （1，e）D. （e，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x，y满足约束条件，则z=x-y的最大值是______．14.已知α，β均为锐角，cosα=，tan（α-β）=-，则cosβ=______．15.直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为正三角形，AB=2，D是AB的中点，异面直线AC1与CD所成角的余弦值是，则三棱柱ABC-A1B1C1的表面积等于______．16.已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+4）=f（x）+f（2），且在区间[0，2]上是增函数，①函数f（x）的一个周期为4；②直线x=-4是函数f（x）图象的一条对称轴；③函数f（x）在[-6，-5）上单调递增，在[-5，-4）上单调递减；④函数f（x）在[0，100]内有25个零点；其中正确的命题序号是______（注：把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}满足a3-a2=3，a2+a4=14．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n是等比数列{b n}的前n项和，若b2=a2，b4=a6，求S7．18.为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：cm），经统计其增长长度均在区间[19，31]内，将其按[19，21），[21，23），[23，25），[25，27），[27，29），[29，31]分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为27cm及以上的产品为优质产品．（Ⅰ）求图中a的值；120A B两个试验区，部分数据如下列联表：将联表补充完整，并判断是否有的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系，并说明理由；下面的临界值表仅供参考：（参考公式：，其中n=a+b+c+d）（Ⅲ）以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数X的分布列和数学期望EX．19.如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠ADC=120°，PD=AD=AB=2，CD=4，点M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面PAD；（Ⅱ）求二面角A-BM-C的余弦值．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点M（，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）与x轴不垂直的直线l经过N（0，），且与椭圆C交于A，B两点，若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线l斜率的取值范围．21.已知函数f（x）=x2-x lnx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若+-＜0在（1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）求C1和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）过点P（3，2）作直线C1的垂线交曲线C2于M，N两点，求|PM|•|PN|．23.已知函数f（x）=|x-2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x-m）-f（-x）≤恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：=．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∁U B={x|-2≤x≤2}；∴A∩（∁U B）={x|-2≤x≤1}．故选：C．进行交集、补集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集和补集的运算．3.【答案】B【解析】解：由题意，∵=（0，-1），=1．∴|2+|2=（）2=42+2+4=4•1+4+4=8+4•cos=8+4•1•2•（-）=4．∴|2+|=2．故选：B．本题可将模进行平方一下，然后根据向量性质计算，最后得出模平方的值，最终算出结果．本题主要根据向量性质进行计算，属基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和焦点的求法，属于基础题．求得抛物线的焦点和双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得所求距离．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线-x2=1的一条渐近线方程设为y=2x，可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线距离为=．故选：C．5.【答案】D【解析】解：由图可知f（）＞0，故可排除A，B；对于C：f（x）=e|x|+cos x，当x∈（0，1）时f（x）＞0，故可排除C．故选：D．采用排除法排除A，B，C．本题考查了函数图象与图象的变换，属中档题．6.【答案】A【解析】解：①当a=0时，函数f（x）=a sin x+cos x在[-，]上先增后减，结论不成立．②当a≠0时，f（x）=a sin x+cos xf′（x）=a cos x-sin x，若f（x）在[-，]上为单调增函数，则a cos x-sin x≥0在[-，]上恒成立，故a≥tan x在[-，]上恒成立，而y=tan x在[-，]上的最大值是1，∴a≥1．∴实数a的取值范围是[1，+∞）．故选：A．先看a=0时，已知条件不成立，再看a≠0时，求出函数的导数，结合三角函数的性质求出a的范围即可．本题主要考查了三角函数的性质，三角函数的单调性，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求S=+++…+=1-+-+…+-=1-，∵满足条件k＞10的最小k=11，∴当k=11时，程序运行终止，此时S=1-=．故选：C．算法的功能是求S=+++…，判断当k=11时，程序运行终止，利用裂项相消法求出S值．本题考查了循环结构的程序框图，由框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键．8.【答案】A【解析】解：将14种计算器械的相关资料分成满足题意的3组只有4，5，5则不同的分配方法有，故选：A．根据题意，分析有14种计算器械的相关资料分成满足题意的3组只有4，5，5，计算即可本题考查分组分配的问题，先分组再分配时关键，属于中档题．9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．由已知利用余弦定理可求AC的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：∵A=120°，BC=14，AB=10，∴由余弦定理可得：142=102+AC2-2×10×AC×cos A，可得：AC2+10AC-96=0，∴解得：AC=6或-16（舍去），∴S△ABC=AB•AC•sin A==15．故选：B．10.【答案】D【解析】【分析】由题意，可得当四棱锥P-ABCD为正四棱锥时体积最大，画出图形，求出四棱锥的高，代入棱锥体积公式求解．本题考查球内接多面体体积最值的求法，明确当四棱锥P-ABCD为正四棱锥时体积最大是关键，是中档题．【解答】解：四棱锥P-ABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD为正方形，球的半径为3，下底面的边长为4，若四棱锥P-ABCD的体积最大，则球心在高上，且四棱锥为正四棱锥．设四棱锥的高为h，则下底面的中心G到B的距离GB=，可得OG2+GB2=OB2，即，可得h=2（舍）或h=4．则该四棱锥的体积的最大值V=．故选D．11.【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义、相似三角形的性质即可求出．熟练掌握抛物线的定义、相似三角形的性质是解题的关键．【解答】解：过A，B分别作准线的垂线交准线于E，D．准线与x轴交于点G，∵，∴|AE|=4，|CB|=3|BF|，且|BF|=|BD|，设|BF|=|BD|=a，则|BC|=3a，根据三角形的相似性可得，即，解得a=2，∴，即，∴．故选：C．12.【答案】B【解析】解：设g（x）=，则g′（x）==．∵对任意实数都有f（x）-f'（x）＞0，∴g′（x）＜0，即g（x）为R上的减函数．g（1）=．由f（x）＜e x-2，得，即g（x）＜g（1）．∵g（x）为R上的减函数，∴x＞1．∴不等式f（x）＜e x-2的解集为（1，+∞）．故选：B．由已知f（x）-f'（x）＞0，可联想构造函数g（x）=，利用导数得其单调性，把要求解的不等式转化为g（x）＜g（1）得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解答该题的关键，是中档题．13.【答案】8【解析】解：画出约束条件表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数z=x-y过点A时取得最大值，由，解得A（6，-2），代入计算z=6-（-2）=8，所以z=x-y的最大值为8．故答案为：8．画出约束条件表示的平面区域，利用图形求出最优解，计算目标函数的最大值．本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题．14.【答案】【解析】解：∵0＜α＜，cosα=，∴sinα=，∴tanα=．∵tan（α-β）===-，解得tanβ=．联立，解得cosβ=（β为锐角）．故答案为：．由已知求得tanα，进一步求得tanβ，结合平方关系即可求得cosβ．本题考查了三角函数的基本关系式、正切公式、两角和的余弦公式等基础知识与基本方法，属于基础题．15.【答案】【解析】解：设三棱柱高为h，以A为坐标原点，建立如图坐标系，则A（0，0，0），B（1，，0），C（2，0，0），D（，，0），C1，（2，0，h），∴=（2，0，h），=（-2，，0）=（-，，0），异面直线AC1与CD所成角的余弦值是，∴与所成角的余弦值的绝对值为，∴==，解得h=2，∴三棱柱的表面积为：S=2×+（2+2+2）×2=．故填：14．设三棱柱的高为h，建立坐标系后，根据异面直线AC1与CD所成角的余弦值是，求出h，即可求出表面积．本题适合用坐标法处理，但是要注意向量夹角与直线夹角的区别，属于基础题．16.【答案】①②④【解析】解：∵偶函数f（x），满足f（x+4）=f（x）+f（2），∴令x=-2得满足f（-2+4）=f（-2）+f（2），即f（2）=f（2）+f（2）得f（2）=0，则f（x+4）=f（x）即函数f（x）是周期为4的周期函数，故①正确，∵f（x）是偶函数，∴图象关于y轴即x=0对称，函数的周期是4，∴x=-4是函数f（x）图象的一条对称轴，故②正确，∵在区间[0，2]上是增函数，∴在区间[-2，0]上是减函数，则在区间[-6，-4]上是减函数，故③错误，∵f（2）=0，∴f（-2）=0，即函数在一个周期[0，4）内只有一个零点，则函数f（x）在[0，100]内有25个零点，故④正确，故正确的是①②④，故答案为：①②④．根据函数的奇偶性和条件，得到f（2）=0，即函数是周期为4的周期函数，结合的周期性，奇偶性以及对称性的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的奇偶性，周期性，对称性以及单调性的性质是应用，根据条件求出函数的周期是解决本题的关键．17.【答案】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3-a2=3，a2+a4=14．∴d=3，2a1+4d=14，解得a1=1，d=3，∴a n=1+3（n-1）=3n-2．（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，b2=a2=4=b1q，b4=a6=16=b1q3，联立解得b1=2=q，b1=-2=q，∴S7==254，或S7==-86．【解析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，由a3-a2=3，a2+a4=14．可得d=3，2a1+4d=14，联立解得a1，d，即可得出．（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，b2=a2=4=b1q，b4=a6=16=b1q3，联立解得b1，q，利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图数据，得：2（a+a+2a+0.2+0.2）=1，解得a=0.025．（Ⅱ）根据频率分布直方图得：样本中优质产品有120（0.100×2+0.025×2）=30，∴=≈10.3＜10.828，∴有99.9%的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系．（Ⅲ）由已知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是，随机抽取4件中含有优质产品的件数X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），∴P（X=0）==，P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，EX=4×=1．【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图的性质列方程能求出a．（Ⅱ）根据频率分布直方图得样本中优质产品有30，作出列联表，求出k2≈10.3＜10.828，从而有99.9%的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系．（Ⅲ）由已知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是，随机抽取4件中含有优质产品的件数X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），由此能求出抽取的这4件产品中含优质产品的件数X的分布列和数学期望EX．本题考查频率、独立检验、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】证明：（Ⅰ）取PD的中点E，连结AE，EM，∵M是棱PC的中点，∴EM∥CD，且EM=CD，∵AB∥CD，AB=2，CD=4，∴EM∥AB，EM=AB，∴四边形ABME是平行四边形，∴BM∥AE，∵BM⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，∴BM∥平面PAD．解：（Ⅱ）以D为原点，以DC、DP分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），P（0，0，2），A（，-1，0），B（，1，0），C（0，4，0），M（0，2，1），=（0，2，0），=（-，1，1），=（-，3，0），设=（x，y，z）是平面ABM的一个法向量，由，即，令x=，得=（），设=（x，y，z）是平面CBM的法向量，由，即，令y=1，得=（，1，2），cos＜＞===，∵二面角A-BM-C的平面角为钝角，∴二面角A-BM-C的余弦值为-．【解析】（Ⅰ）取PD的中点E，连结AE，EM，推导出四边形ABME是平行四边形，从而BM∥AE，由此能证明BM∥平面PAD．（Ⅱ）以D为原点，以DC、DP分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BM-C的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，解得a=2，b=1，∴椭圆C的方程为+y2=1．（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+，代入椭圆方程+y2=1整理可得得（1+4k2）x2+8kx+4=0，△=（8k）2-16（1+4k2）＞0，解得k＞或k＜-，设A（x1，y1），B（x2，y2），又x1+x2=-，x1•x2=，∴y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+2，∵坐标原点O在以AB为直径的圆内，∴•＜0∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+2=（1+k2）+k（-）+2＜0，解得k＜-或k＞故直线l斜率的取值范围为（-∞，-）∪（，+∞）．【解析】（Ⅰ）由题意可得，解得a=2，b=1，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，即可直线l斜率的取值范围．本题考查椭圆方程，考查向量的运算，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、数量积的合理运用，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=x2-x lnx的导数为f′（x）=2x-（ln x+1），可得切线的斜率为1，切点为（1，1），切线方程为y-1=x-1，即y=x；（Ⅱ）若+-＜0在（1，+∞）上恒成立，可得k＜-x lnx+x2在（1，+∞）上恒成立，令y=-x lnx+x2，则y′=-ln x-1+x，y″=-+1＞0，可得y′在（1，+∞）上单调递增，则y′＞-ln1-1+1=0，可得y在（1，+∞）上单调递增，则y＞，则k≤．【解析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（Ⅱ）由题意可得k＜-x lnx+x2在（1，+∞）上恒成立，利用导数确定单调性，求出最值，即可求实数k的取值范围．本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数求切线方程和函数的单调区间，同时考查了不等式恒成立问题解法，有一定的综合性．22.【答案】解：（Ⅰ）直线C1的参数方程为（其中t为参数）消去t可得：x-y-1=0，由ρ=得ρ2sin2θ=4ρcosθ，的y2=4x．（x≠0）（Ⅱ）过点P（3，2）与直线C1垂直的直线的参数方程为：（t为参数），代入y2=4x可得t2+8t-16=0设M，N对应的参数为t1，t2，则t1t2=-16，所以|PM||PN|=|t1t2|=16．【解析】（Ⅰ）直线C1的参数方程为（其中t为参数）消去t可得：x-y-1=0，由ρ=得ρ2sin2θ=4ρcosθ，的y2=4x．（x≠0）；（Ⅱ）代入直线的参数方程到曲线C2中，利用参数的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ），（2分）当时，由3-3x≥6，解得x≤-1；当时，x+1≥6不成立；当x＞2时，由3x-3≥6，解得x≥3．所以不等式f（x）≥6的解集为（-∞，-1]∪[3，+∞）．…（5分）（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），∴（6分）∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x-2-m|-|-x-2|≤9，即[|x-2-m|-|-x-2|]max≤9（7分）∵|x-2-m|-|-x-2|≤|（x-2-m）-（x+2）|=|-4-m|∴-9≤m+4≤9，（9分）∴-13≤m≤5（10分）【解析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。
2020年兰州市理科数学试题答案
2020年高三诊断考试试题答案数学（理科）1．B2．A 3．B4．C5．A 6．B 7．D8．B9．A 10．C11．Ｄ12．D11．【解析】设200(,)4x P x ，则过P 的切线斜率为02x k =，Q 点坐标为0(,1)x -02FQ k x ，=-1FQ k k ×=-根据抛物线定义PF PQ = 1l 为FQ 的垂直平分线RF RQ=5QR +MR =FR MR FM ，+³=故选D.12．【解析】由“保值函数”定义可知）（x f 为区间[]b a ,上的“保值函数”则）（x f 在[]b a ,上是单调函数且在区间[]b a ,时其值域也为[]b a ,，那么当函数）（x f 为增函数时满足条件x f x =（）在[]b a ,上有两个不同的实数解b a ,的函数）（x f 就是“保值函数”，命题①中x x x f 2)(2-=，虽满足在[]10，上单调但值域为[]01，-，不是[]10，，故①为假命题；②中由1-）（x x g 2=的图象可知其为区间[]10，上的“保值函数”故②为真命题；③中x e x x h 2=）（则由[]m x x e x h x ，在）（）（002'2≥+=成立，所以）（x h 为[]m ，0上的增函数，再由x e x x=2解得有两个根2211,0x e x x ==，构造函数x e x x k -）（1=，易知01,021<>）（）（k k ，由零点存在性定理知存在x e x m x x =∈=22121），使，（成立，故③为真命题.综上所有真命题的序号为②③，答案为D.13．414．615．16．15．【解析】连接''D B BD 、，则''//D B BD ，26''==D B BD '''D C OB 为菱形，2''08'4454tan ,''16'28109'''=︒︒=∠D C B 62232''08'4454tan ''212'=⋅=︒⋅=∴D B OC 33''=C B 34''''22=--=∴BC C B BB CC 2272)3435(62''=+⨯=C C BB S 梯形7甘肃省兰州市2020.422162662132276=⨯⨯⨯+⨯=∴表S .16．【解析】由余弦定理得︒=∠120A ，1413cos =C ,故2812sin =C.︒=-︒=+3029022AC B,得︒=∠150BIC ,在BIC ∆中，由正弦定理得72sin 14=⨯=CIB .17．【解析】（Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差是d ，由4213,8a a a =-=得：)38(38d d +-=+-解得2=d ，所以n a n 210+-=.........................................6分（Ⅱ）设211)42(4)14(4+-=+=+=n n n n a n b n n ，51172111211=+-+-+=n n T n 得到4=n ..................................................12分18．【解析】（Ⅰ）点E 为PD 中点时直线PB 与平面ACE 平行.证明：连接BD ，交AC 于点O ,则点O 为BD 的中点，因为点E 为PD 中点，故OE 为PDB ∆的中位线，则PB OE //,⊂OE 平面ACE ,⊄PB 平面ACE ,所以PB 与平面ACE 平行.....................................5分（Ⅱ）根据题意PB AC ⊥，⊥PA 底面ABCD ,⊂AC 底面ABCD ，则有PA AC ⊥，P PB PA =⋂,所以⊥AC 平面PAB ,设x AC =，3321221311121312⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==--x x V V PBC A ACB P ，得1=AC 法一：由（Ⅰ）可知PB OE //，又PB AC ⊥，所以AC OE ⊥，⊥AC 平面PAB ，⊂AB 平面PAB ,所以AC AB ⊥，如图二面角为钝角，那么AB OE ，所成的角即为二面角E AC B --的补角，4π=∠PBA ,PB OE //，所以AB OE ，所成的角为4π，因此二面角E AC B --的大小为43π.....................................12分CABP DEO法二：以A 为坐标原点，AB ，AC ，AP 分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，则21,21,21(),1,0,0(),0,1,1(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(--E P D C B A 显然平面ABC 的法向量是)1,0,0(=AP 设平面ACE 的一个法向量n =）（z y x ,,,)0,1,0(21,21,21(=-=AC AE 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AC n AE n 即⎪⎩⎪⎨⎧==++-0212121y z y x ，令1=x ，得n =），，（101，设二面角E AC B --的大小为θ，则22cos cos ===θ如图二面角为钝角，因此二面角E AC B --的大小为43π.....................................12分19．【解析】（Ⅰ）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”为事件C()0.80.160.360.6P C »++=.....................................2分（Ⅱ）完成列联表如下：标记不标记合计坡腰302050坡顶203050合计5050100根据列联表，计算得：841.3450505050)20203030(10022>=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K 所以有95%的把握认为，数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关..............................7分（Ⅲ）10.0850.16150.36250.24350.12450.045527.8()x cm =´+´+´+´+´+´= 20.0450.12150.24250.32350.20450.085532.6()x cm =´+´+´+´+´+´=1220x x -<，该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异...............................12分20．【解析】C ABPDE xy z（Ⅰ）椭圆的标准方程为：22143x y +=.....................................4分（Ⅱ）由⑴可知(2,0),(0,A B ，设AM 的斜率为k ，则BN 斜率也为k 故直线AM 的方程为(2)y k x =-，直线BN的方程为y kx =-由223412(2)x y y k x ì+=ïí=-ïî得22234(2)12x k x +-=，即2222(34)1616120k x k x k +-+-=解得2x =或2281634k x k -=+22281612()3434k k M k k--，++，由223412x y y kx ì+=ïíï=î得2234(12x kx +=，即22(34)0k x +-=解得0x =或x =222()3434N k k -，++，222122222223434123)34862(43)34k k k kk k k k k k--=+--++==--+212314k k e ×=-=-.....................................12分21．【解析】(Ⅰ)因为32=a 时，,2121ln 32322+--=x x x x f ）（所以，x x x f --=3232'）（那么32111'=-=）（，）（f f ，所以曲线）（x f 在））（，（11f 处的切线方程为：），（1132--=-x y 即：0132=--+y x ….................................….............…4分（Ⅱ）由题可知函数）（x f 的定义域为()∞+，0因为,3232'2xax x x x a x f -+-=-=-）（由0322=-+-a x x 可得:当0412>-=∆a 即3<a 时,有2121,33,33x x a x a x >--=-+=又当)3,0(∈a 时，满足021>>x x ,所以有,0',0∈12<+∞）（）时）和（，（x f x x x 即）上）和（，）在（（+∞,012x x x f 为减函数;,0',12>∈）（）时（x f x x x 即）上，）在（（12x x x f 为增函数.0,0021<><x x a 时，有当,）（）（）时，（则x f x f x x ,0'01>∈为增函数,)(,0',1x f x f x x <+∞∈）（）时（为减函数;当0'03≤≤∆≥）（，时，x f a 恒成立，所以），）在（（∞+0x f 为减函数综上可知：时当0<a ，在），（a -+330上，）（x f 为增函数，在）（+∞-+,33a 上，）（x f 为减函数；当30<<a 时，在））和（，（+∞-+--,33330a a 上，）（x f 为减函数，在）（a a -+--33,33上，）（x f 为增函数；当3≥a 时，在），（∞+0上，）（x f 为减函数.…..............................................……8分（Ⅲ）因为）（x f y =有两个极值点，，21x x 则032'2=-+-=xax x f ）（有两个正根，，21x x 则有，0,32,04122121>==+>-=∆a x x x x a 即），（30∈a ,所以7ln 121ln 322221212121++-=++--+=+a a a x x x x a x x x f x f ）（）（）（）（）（若要，）（）（a x f x f ln 921-<+即要02ln ln >+--a a a a 构造函数:2ln ln +--=x x x x x g ）（,则xx x g 1）（-=ln ',易知），）在（（30'x g 上为增函数且0212ln 2',011'>-=<-=）（）（g g,所以存在00001ln 0'21x x x g x ==∈即）（）使，（且）单调递减，（）（）时，（x g x g x x ,0'10<∈）（（）时（x g x g x x ,0)'2,0>∈单调递增.所以）（x g 在），（21上有最小值为）（0000000132ln ln )(x x x x x x x g +-=+--=,又因为），（）则，（252121000∈+∈x x x ,所以），（在）（21000∈>x x g 上恒成立,即a x f x f ln 921-<+）（）（成立......................................................................….........12分22．【解析】（Ⅰ）由条件可知直线l 的普通方程为01-=+y x ，曲线1C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x ，根据曲线1C 的直角坐标方程可知1C 为以)1,1(-为圆心，以2为半径的圆，圆心1C 到直线l 的距离22=d ,所以弦6222222=-=）（）（MN ；..........................….........5分（II ）因为曲线2C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x （θ为参数，且[]πθ，0∈），又因为)10(),01(，，B A ，设曲线2C 上点P 的坐标为）（θθsin 2,cos 2P ，则）1,-（），，（θθsin 2cos 211=-=AP AB ，[]πθ，0∈所以，14sin 22+-=⋅）（πθAP AB []πθ，0∈，则14sin 22≤-≤-（πθ，所以[]1221+-∈⋅,AP AB ............................….........10分23．【解析】（Ⅰ）由⎩⎨⎧>+≥⎩⎨⎧>+<<-⎩⎨⎧>-≤41314311413x x x x x x 或或--1解得135>∈<x x x 或或-φ，所以不等式的解集为），（，（∞+⋃-∞-135...............................................5分（II ）因为当2min =-=）（时1x f x ，又因为a a a a x x a a x x x g ++=+--+≥+-++=222222)(）（）（，由题意R R ∈∃∈∀21x x ，，使得）（）（21x g x f ≥成立，则有min min ）（）（x g x f ≥，即a a ++≥222所以有⎩⎨⎧+≥-≥-2222202）（）（a a a ，解之得[]04,a -∈........................................................................10分。
2020届甘肃省普通高中高三年级下学期第一次高考诊断性考试数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前甘肃省普通高中2020届高三年级下学期第一次高考诊断性考试数学(理)试题(解析版)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{}1A x x =<，{}21x B x =<，则AB =（ ） A. ()1,0-B. ()0,1C. ()1,-+∞D. (),1-∞ 【答案】D【解析】【分析】分别解出集合,A B 、然后求并集. 【详解】解：{}{}111A x x x x =<=-<<，{}{}210x B x x x =<=< A B =(),1-∞故选：D【点睛】考查集合的并集运算，基础题.2.已知()32z i i =-,则z z ⋅=（ ）A. 5B.C. 13D.【答案】C【解析】【分析】先化简复数()32z i i =-,再求z ,最后求z z ⋅即可.【详解】解：()3223z i i i =-=+,23z i =-222313z z ⋅=+=,故选：C【点睛】考查复数的运算,是基础题.3.已知平面向量a ,b 满足()1,2a =-,()3,b t =-,且()a a b ⊥+,则b =（ ）A. 3B.C.D. 5 【答案】B【解析】【分析】先求出a b +,再利用()0a a b ⋅+=求出t ,再求b .【详解】解：()()()1,23,2,2t t a b -+-=-=-+由()a a b ⊥+,所以()0a a b ⋅+= ()()()12220t ⨯-+-⨯-=,1t =,()3,1b =-,10=b故选：B【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算,是基础题.4.已知抛物线()220y px p =>经过点(M ,焦点为F ,则直线MF 的斜率为（ ）A. B. 4 C. 2 D. -【答案】A【解析】。
2020年甘肃省高考(理科)数学一诊测试试卷 解析版
2020年高考（理科）数学一诊试卷一、选择题.1．已知A＝{x||x|＜1}，B＝{x|2x＜1}，则A∪B＝（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）2．已知：z＝i（3﹣2i），则z•z=（）A．5B．√5C．13D．√133．已知平面向量a→，b→满足a→=(1，−2)，b→=(−3，t)，且a→⊥(a→+b→)，则|b→|=（）A．3B．√10C．2√3D．54．已知抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M(2，2√2)，焦点为F．则直线MF的斜率为（）A．2√2B．√24C．√22D．−2√25．函数f(x)=ln|x|+cos2xx2的部分图象大致为（）A．B．C．D．6．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过圆E：x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心，则双曲线的C的离心率为（）A．√52B．√5C．√2D．27．5G网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G手机，现调查得到该款5G手机上市时间x和市场占有率y（单位：%）的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，……，5代表2019年12月，根据数据得出y关于x的线性回归方程为y=0.042x−a．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C 手机市场占有率能超过0.5%（ ）（精确到月）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月8．设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题： ①若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n ； ②若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α； ③若m ⊥n ，m ⊥α，α∥β，则n ∥β；④若α⊥β，α∩β＝l ，m ∥α，m ⊥l ，则m ⊥β． 其中正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④9．定义在R 上的偶函数f （x ），对∀x 1，x 2∈（﹣∞，0）．且x 1≠x 2，有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0成立，已知a ＝f （ln π），b ＝f (e −12)，c =f(log 216)，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＞a ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b10．将函数f(x)=sin(x +π6)图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图象向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，则函数y ＝g （x ）图象的一个对称中心为（ ） A ．(π12，0)B ．(π4，0)C ．（π，0）D ．(4π3，0)11．若(√x 3+1x )n 的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A ．85B ．84C ．57D ．5612．若函数f （x ）＝e |x |﹣mx 2有且只有4个不同的零点．则实数m 的取值范围是（ ） A ．[e 24，+∞)B ．(e 24，+∞)C ．(−∞，e 24)D ．(−∞，e 24]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．实数x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +2y −2≤0y +2≥0，则z ＝x ﹣2y 的最大值为 ．14．某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若cos B+√3sin B﹣2＝0，且b＝1，则△ABC周长的范围为．16．1611年，约翰内斯•开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想．简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答．2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯•黑尔斯（ThomasHales）带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案．现有大小形状都相同的若干排球，按照如图中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共个，最上面球的球顶距离地面的高度约为cm （排球的直径约为21cm）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．数列{a n}满足a1＝1，a n是﹣1与a n+1的等差中项．（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n+2n}的前n项和S n．18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E为棱B1C1的中点．（1）画出过点E且与直线A1C垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求BD1与该平面所成角的正弦值．19．某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的既率分别为14，16，高健身时间1小时以上且不超过2小时的概本分别为12，23，且两人健身时间都不会超过3小时．（1）设甲乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ（单位：元）求ξ的分布列与数学物望E （ξ）；（2）此促销活动推出后健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额． 20．椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的右焦点F （√2，0），过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3√2． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点（2，0）且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点．O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，求四边形OMAN 面积的最大值． 21．已知函数f(x)=ax −(a +1)lnx −1x +2（a ∈R ）．（1）讨论函数f （x ）单调性；（2）当a ＝﹣2时，求证：f(x)＜e x −2x −1x．（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第-题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy ，曲线C 1的参数方程为：{x =1+cosαy =sinα（α为参数），以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2√3sinθ．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l：y＝kx（k＞0）与曲线C1交于O，A两点，与曲线C2交于O，B两点，求|OA|+|OB|取得最大值时直线l的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|，不等式f（x）+f（x﹣1）＜5的解集为{x|m＜x＜n}．（1）求实数m，n的值；（2）若x＞0，y＞0，nx+y+m＝0，求证：x+y≥9xy．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A＝{x||x|＜1}，B＝{x|2x＜1}，则A∪B＝（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）【分析】分别求出A，B即可求得结论．解：因为A＝{x||x|＜1}＝（﹣1，1），B＝{x|2x＜1}＝（﹣∞，0），则A∪B＝（﹣∞，1）．故选：D．2．已知：z＝i（3﹣2i），则z•z=（）A．5B．√5C．13D．√13【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由z⋅z=|z|2求解．解：由z＝i（3﹣2i）＝2+3i，得z•z=|z|2=(√13)2=13．故选：C．3．已知平面向量a→，b→满足a→=(1，−2)，b→=(−3，t)，且a→⊥(a→+b→)，则|b→|=（）A．3B．√10C．2√3D．5【分析】由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，求出t的值，再根据求向量的模的方法，求出|b→|．解：∵平面向量a→，b→满足a→=(1，−2)，b→=(−3，t)，且a→⊥(a→+b→)，∴a→•（a→+b→）＝（1，﹣2）•（﹣2，t﹣2）＝﹣2+（﹣2）•（t﹣2）＝0，求得t＝1，∴b→=（﹣3，1），则|b→|=√9+1=√10，故选：B．4．已知抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M(2，2√2)，焦点为F．则直线MF的斜率为（）A．2√2B．√24C．√22D．−2√2【分析】由点M在抛物线上，代入抛物线的方程可得p的值，进而求出焦点F的坐标，由两个点的坐标求出直线MF的斜率．解：由题意可得（2√2）2＝2p•2所以p＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x，所以焦点F（1，0），所以k MF=2√22−1=2√2，故选：A．5．函数f(x)=ln|x|+cos2x2的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】首先判断函数的奇偶性，可知函数为偶函数，即可排除BC；再利用f（1）＞0，可排除D，进而得出正确选项．解：函数的定义域为{x|x≠0}，且f(−x)=ln|−x|+cos(−2x)(−x)2=ln|x|+cos2xx2=f(x)，故f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除BC；又f(1)=ln1+cos21=cos2＜0，可排除D．故选：A．6．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过圆E：x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心，则双曲线的C的离心率为（）A．√52B．√5C．√2D．2【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的渐近线方程为y＝±bax，求出圆E的圆心，分析可得双曲线的一条渐近线方程为y＝﹣2x，则有ba=2，即b＝2a，由双曲线的几何性质可得c=√5a，由离心率公式计算可得答案．解：根据题意，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的焦点在x轴上，则其渐近线方程为y＝±bax x，圆E：x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心为（﹣1，2），若双曲线的渐近线经过圆E的圆心，则双曲线的一条渐近线方程为y＝﹣2x，则有ba=2，即b＝2a，则c2＝a2+b2＝5a2，即c=√5a，则双曲线的离心率e=ca=√5．故选：B．7．5G网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G手机，现调查得到该款5G手机上市时间x和市场占有率y（单位：%）的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，……，5代表2019年12月，根据数据得出y关于x的线性回归方程为y=0.042x−a．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C手机市场占有率能超过0.5%（）（精确到月）A．2020年6月B．2020年7月C．2020年8月D．2020年9月【分析】根据表中数据求出x，y，求出线性回归方程y＝0.042x﹣0.026，求出x＝13时，即最早在2020年8月，市场占有率能超过0.5%．解：根据表中数据，得x=1+2+3+4+55=3，y=15（0.02+0.05+0.1+0.15+0.18）＝0.1，∴0.1＝0.042×3﹣a，a＝0.026，所以线性回归方程为y＝0.042x﹣0.026，由0.042x﹣0.026＞0.5，得x≥13，预计上市13个月时，即最早在2020年8月，市场占有率能超过0.5%， 故选：C ．8．设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题： ①若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n ； ②若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α； ③若m ⊥n ，m ⊥α，α∥β，则n ∥β；④若α⊥β，α∩β＝l ，m ∥α，m ⊥l ，则m ⊥β． 其中正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【分析】在①中，m 与n 相交、平行或异面；在②中，由线面垂直的性质定理得m ∥α；在③中，n 与β相交、平行或n ⊂β；在④中，由线面垂直的判定定理得m ⊥β． 解：由m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．知： 在①中，若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m 与n 相交、平行或异面，故①错误； 在②中，若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则由线面垂直的性质定理得m ∥α，故②正确； 在③中，若m ⊥n ，m ⊥α，α∥β，则n 与β平行或n ⊂β，故③错误；在④中，若α⊥β，α∩β＝l ，m ∥α，m ⊥l ，则由线面垂直的判定定理得m ⊥β，故④正确． 故选：C ．9．定义在R 上的偶函数f （x ），对∀x 1，x 2∈（﹣∞，0）．且x 1≠x 2，有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0成立，已知a ＝f （ln π），b ＝f (e −12)，c =f(log 216)，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＞a ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b【分析】由定义在R 上的偶函数f （x ），对∀x 1，x 2∈（﹣∞，0）．且x 1≠x 2，有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0成立可得函数f （x ）在（﹣∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，再比较ln π，e−12，log 216的大小，可得a ，b ，c 的大小关系．解：定义在R 上的偶函数f （x ），对∀x 1，x 2∈（﹣∞，0）．且x 1≠x 2，有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0成立，可得f （x ）在x ∈（﹣∞，0）单调递增，所以f （x ）在（0，+∞）单调递减；因为1＜ln π＜2，0＜e−12＜1，所以a ＝f （ln π）＜b ＝f （e−12），∵﹣3＝log 218＜log 216＜log 214=−2，c ＝f （log 216）＝f （﹣log 216）∈（2，3），所以c ＜a ，故选：A ．10．将函数f(x)=sin(x +π6)图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图象向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，则函数y ＝g （x ）图象的一个对称中心为（ ） A ．(π12，0)B ．(π4，0)C ．（π，0）D ．(4π3，0)【分析】利用三角函数的伸缩和平移变换可将函数f(x)=sin(x +π6)图象上每一点的横坐标变为原来的2倍可得函数f 1（x ）＝sin （12x +π6）．再将图象向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝g （x ）＝sin[12（x +π3）+π6]＝sin （12x +π3）的图象，令12x +π3=k π，k ∈Z ，则x ＝2k π−2π3，k ∈Z ，当k ＝1时，x =4π3，可得答案， 解：将函数f(x)=sin(x +π6)图象上每一点的横坐标变为原来的2倍可得函数f 1（x ）＝sin （12x +π6）．再将图象向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝g （x ）＝sin[12（x +π3）+π6]＝sin （12x +π3）的图象，令12x +π3=k π，k ∈Z ，则x ＝2k π−2π3，k ∈Z ，当k ＝1时，x =4π3， 则函数y ＝g （x ）图象的一个对称中心为（4π3，0）故选：D ．11．若(√x 3+1x)n 的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A ．85B ．84C ．57D ．56【分析】根据二项式系数和求出n ＝8，结合二项式定理求出通项公式，结合有理数项进行求解即可．解：∵二项式系数和为256，∴2n ＝256，得n ＝8，则展开式的通项公式为T k +1＝C 8k （√x 3）n ﹣k （1x）k ＝C 8k （√x 3）8﹣k （1x）k ＝C 8k x8−k 3−k═C8k x 8−4k 3，当k ＝2时，对应的有理项为，C 82=28，当k ＝5时，对应的有理项为，C85x ﹣4＝56x ﹣4， 当k ＝8时，对应的有理项为，x ﹣8，则二项式展开式中有理项系数之和为28+56+1＝85， 故选：A ．12．若函数f （x ）＝e |x |﹣mx 2有且只有4个不同的零点．则实数m 的取值范围是（ ） A ．[e 24，+∞)B ．(e 24，+∞)C ．(−∞，e 24)D ．(−∞，e 24]【分析】分析可得e x ＝mx 2有两个不同的正根，令h （x ）=e xx 2，利用导数即可求得实数m 的取值范围解：f （x ）有且只有4个不同的零点等价于偶函数y ＝e |x |与偶函数y ＝mx 2的图象有且只有4个不同的交点，即e x ＝mx 2有两个不同的正根， 令h （x ）=e x 2，则h ′（x ）=e x (x−2)x 3，x ∈（0，2）时，h ′（x ）＜0，x ∈（2，+∞）时，h ′（x ）＞0，∴函数h （x ）在（0，2）上单减，在（2，+∞）上单增，此时h （x ）min ＝h （2）=e 24；又∵当x →0时，h （x ）→+∞，当x →+∞时，h （x ）→+∞， ∴m ＞e 24．故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．实数x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +2y −2≤0y +2≥0，则z ＝x ﹣2y 的最大值为 10 ．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z ＝x ﹣2y 过点（6，2）时，z 最大值即可．解：实数x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +2y −2≤0y +2≥0，画出可行域，如图：由z ＝x ﹣2y 可得y =12x −12z ，则直线在y 轴上的截距越小，z 越大然后平移直线L ：0＝x ﹣2y ， 当直线z ＝x ﹣2y 过点A 时z 最大由{y +2=0x +2y −2=0可得A （6，﹣2）时，z 最大值为10 故答案为：10．14．某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种 1344 ．【分析】先排数学，然后根据不相邻问题排英语，结合排列组合的公式进行计算即可． 解：从生物、历史、地理、政治四科中选排一节，有4种方法，若数学排第一节，则英语可以排3，4，5，6节，其余全排列，此时有4×A 44，若数学排第二节，则英语可以排4，5，6节，其余全排列，此时有3×A 44， 若数学排第三节，则英语可以排1，5，6节，其余全排列，此时有3×A44， 若数学排第四节，则英语可以排1，2，5，6节，其余全排列，此时有4×A 44，则共有4（4×A 44+3×A44+3×A44+4×A44）＝4×14×A 44=4×14×24＝1344，故答案为：134415．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cos B +√3sin B ﹣2＝0，且b ＝1，则△ABC 周长的范围为 （2，3） ．【分析】由已知结合辅助角公式进行化简可求B ，然后结合余弦定理及基本不等式可求a +c 的范围，再结合三角形的两边之和大于第三边可求． 解：因为cos B +√3sin B ﹣2＝0，所以2sin （B +π6）＝2即sin （B +π6）＝1，所以B=13π，因为b＝1，由余弦定理可得，1＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac≥(a+c)2−3×(a+c2)2，解可得，a+c≤2，当且仅当a＝c时取等号，所以a+b+c＝1+a+c≤3，又a+c＞b＝1，所以a+b+c＞2，故2＜a+b+c≤3，故答案为：（2，3]．16．1611年，约翰内斯•开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想．简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答．2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯•黑尔斯（ThomasHales）带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案．现有大小形状都相同的若干排球，按照如图中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共20个，最上面球的球顶距离地面的高度约为21(√6+1) cm（排球的直径约为21cm）．【分析】（1）由堆积方式可以判断球的个数，（2）由连接位于四个顶点的球的球心，得到一个棱长为63cm的正四面体O1﹣O2O3O4，求其高，再加21则为所求．解：（1）由下往上数依次有10，6，3，1，共有20个，（2）连接位于四个顶点的球的球心，得到一个棱长为63cm的正四面体O1﹣O2O3O4，如图：取O3O4的中点E，△O2O3O4的重心F，连接O1F，则O1F⊥平面O2O3O4，O2E=63√32，O2F=63√32×23=21√3，O1F=√612−(21√3)2=21√6，所以最上面球的球质距离地面的高度约为21(√6+1)故答家为：20，21(√6+1)．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．数列{a n}满足a1＝1，a n是﹣1与a n+1的等差中项．（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n+2n}的前n项和S n．【分析】（1）运用等差数列的中项性质和等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）求得a n+2n＝2n+2n﹣1，由数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式，化简可得所求和．解：（1）证明：a n是﹣1与a n+1的等差中项，可得2a n＝a n+1﹣1，即a n+1＝2a n+1，可化为a n+1+1＝2（a n+1），又a1＝1，故数列{a n+1}是首项和公比均为2的等比数列，即有a n+1＝2•2n﹣1＝2n，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1；（2）由（1）可得a n+2n＝2n+2n﹣1，则S n＝（2+4+8+…+2n）+（1+3+5+…+2n﹣1）=2(1−2n)1−2+12n（1+2n﹣1）＝2n+1+n2﹣2．18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E为棱B1C1的中点．（1）画出过点E且与直线A1C垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求BD1与该平面所成角的正弦值．【分析】（1）截面如下图所示，其中F ，G ，H ，I ，J 为棱的中点，满足A 1C ⊥平面EFGHIJ ． （2）如图所示，建立空间直角坐标系．设平面EFGHIJ 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ）．可得n →•HI →=n →•HG →=0，利用向量夹角公式即可得出． 解：（1）截面如下图所示，其中F ，G ，H ，I ，J 为棱的中点，则A 1C ⊥平面EFGHIJ ． （2）如图所示，建立空间直角坐标系．则B （2，2，0），D 1（0，0，2），H （1，0，0），I （2，1，0），G （0，0，1）．∴BD 1→=（﹣2，﹣2，2），HI →=（1，1，0），HG →=（﹣1，0，1）．设平面EFGHIJ 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ）．则n →•HI →=n →•HG →=0，∴x +y ＝0，﹣x +z ＝0．取n →=（1，﹣1，1），则cos ＜BD 1→，n →＞=12×3=13．∴BD 1与该平面所成角的正弦值为13．19．某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的既率分别为14，16，高健身时间1小时以上且不超过2小时的概本分别为12，23，且两人健身时间都不会超过3小时．（1）设甲乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ（单位：元）求ξ的分布列与数学物望E （ξ）；（2）此促销活动推出后健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额．【分析】（1）易得ξ可能取值为0，20，40，60，80，求出对应的概率，进而得到分布列，由此求得期望；（2）结合（1）可知营业额预计为40×300×12=6000（元）． 解：（1）由题意，ξ可能取值为0，20，40，60，80，且P(ξ=0)=14×16=124，P(ξ=20)=14×23+16×12=14，P(ξ=40)=14×16+12×23+16×14=512，P(ξ=60)=12×16+14×23=14，P(ξ=80)=14×16=124， 故ξ的分布列为ξ 02040 60 80P1241451214124∴ξ的数学期望为E(ξ)=0×124+20×14+40×512+60×14+80×124=40（元）； （2）此次促销活动后健生馆每天的营业额预计为40×300×12=6000（元）． 20．椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点F （√2，0），过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3√2． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点（2，0）且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点．O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，求四边形OMAN 面积的最大值． 【分析】（1）根据题意可求出参数，（2）设直线，联立与椭圆方程，可以知坐标的关系，转化面积，求最值．解：（1）由题意知，c =√2，a =2√2，b =√6， 所以椭圆的方程为x 28+y 26=1，（2）设直线MN 的方程为x ＝my +2，联立直线与椭圆得（3m 2+4）y 2+12my ﹣12＝0， 所以y 1+y 2=−12m 3m 2+4，y 1y 2=−123m 2+4， 所以S四边形OMAN＝S △OAM +S△OAN=12×2√2|y 1|+12×2√2|y 2|=√2|y 1−y 2|=√2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=8√3√3m 2+23m 2+4． 令t =√3m 2+2，则t ≥√2， 所以S 四边形OMAN =8√3t t 2+2=8√3t+2t， 因t ≥√2，则t +2t≥2√2， 所以S 四边形OMAN ≤2√6，当且仅当t =√2，即m ＝0时取等号． 即四边形OMAN 面积的最大值2√6．21．已知函数f(x)=ax −(a +1)lnx −1x +2（a ∈一、选择题）．（1）讨论函数f （x ）单调性；（2）当a ＝﹣2时，求证：f(x)＜e x −2x −1x．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a 进行分类讨论，确定导数的符号，进而可求函数的单调性；（2）问题可转化为要证lnx +2＜e x ，结合不等式的特点，可考虑构造函数，结合导数可证．解：（1）函数的定义域（0，+∞），f′(x)=a −a+1x +1x 2=ax 2−(a+1)x+1x 2=(ax−1)(x−1)x 2， ①当a ≤0时，由f ′（x ）＜0可得x ＞1，由f ′（x ）＜0可得0＜x ＜1， 所以f （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，②0＜a ＜1时，由f ′（x ）＜0可得1＜x ＜1a，由f ′（x ）＞0可得0＜x ＜1或x ＞1a， 所以f （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，1a）上单调递减，（1a，+∞）上单调递增，③当a ＝1时，f′(x)=(x−1)2x≥0，故f （x ）在（0，+∞）上单调递增，④当a ＞1时，由f ′（x ）＜0可得1a＜x ＜1，由f ′（x ）＞0可得x ＞1或x ＜1a，所以f （x ）在（0，1a）上单调递增，在（1a，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，（2）证明：当a ＝﹣2时，要证：f(x)＜e x −2x −1x，只要证lnx +2＜e x ， 令g （x ）＝lnx ﹣e x +2，x ＞0，则g′(x)=1x−e x 在（0，+∞）上单调递减，且x →0时，g （x ）＞0，g ′（1）＝1﹣e ＜0 故存在x 0∈（0，1）使得1x 0=e x 0即x 0＝﹣lnx 0，使得g ′（x 0）＝0，当x ∈（0，x 0）时，g ′（x ）＞0，函数单调递增，当x ∈（x 0，+∞）时，g ′（x ）＜0，函数单调递减，故g （x ）max ＝g （x 0）＝lnx 0−e x 0+2＝﹣x 0−1x 0+2=2﹣（x 0+1x 0），因为x 0∈（0，1），x 0+1x 0＞2，所以g （x ）max ＜﹣2+2＝0，即g （x ）＜0 故当a ＝﹣2时，求证：f(x)＜e x −2x −1x成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第-题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy ，曲线C 1的参数方程为：{x =1+cosαy =sinα（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3sinθ． （1）求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）若直线l ：y ＝kx （k ＞0）与曲线C 1交于O ，A 两点，与曲线C 2交于O ，B 两点，求|OA |+|OB |取得最大值时直线l 的直角坐标方程．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． 解：（1）曲线C 1的参数方程为：{x =1+cosαy =sinα（α为参数），转换为直角坐标方程为（x ﹣1）2+y 2＝1，转换为极坐标方程为ρ＝2cos θ．曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3sinθ．转换为直角坐标方程为x 2+(y −√3)2=3． （2）直线l ：y ＝kx （k ＞0）转换为极坐标方程为θ＝α（0＜α＜π2）与曲线C 1交于O ，A 两点， 所以{ρ=2cosθθ=α，得到|OA |＝2cos α，曲线C 2交于O ，B 两点，所以{ρ=2√3cosθθ=α，则|OB |＝2√3sinα，所以|OA |+|OB |=2cosα+2√3sinα=4sin(α+π6)，当α=π3时，|OA |+|OB 取得最大值． 此时l 的极坐标方程为θ=π3，即直角坐标方程为y =√3x ． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|，不等式f （x ）+f （x ﹣1）＜5的解集为{x |m ＜x ＜n }． （1）求实数m ，n 的值；（2）若x ＞0，y ＞0，nx +y +m ＝0，求证：x +y ≥9xy ．【分析】（1）由题意可得|x ﹣1|+|x ﹣2|＜5，由绝对值的意义，去绝对值符号，解不等式，求并集，即可得到原不等式的解集，进而得到m ，n 的值； （2）由（1）可得4x +y ＝1，运用乘1法和基本不等式，证得1x +1y≥9，解：（1）f （x ）+f （x ﹣1）＜5即为|x ﹣1|+|x ﹣2|＜5，等价为{x ≤11−x +2−x ＜5或{1＜x ＜2x −1+2−x ＜5或{x ≥2x −1+x −2＜5，解得﹣1＜x ≤1或1＜x ＜2或2≤x ＜4， 所以原不等式的解集为{x |﹣1＜x ＜4}， 由题意可得m ＝﹣1，n ＝4； （2）证明：由（1）可得4x +y ＝1， 由x ＞0，y ＞0，可得1x +1y =（4x +y ）（1x +1y ）＝5+yx +4xy ≥5+2√y x ⋅4xy =9， 当且仅当y ＝2x =13时等号成立， 故1x +1y≥9，即x +y ≥9xy ．。
【附加15套高考模拟试卷】甘肃省兰州市2020年高三第一次诊断考试数学(理)含答案
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．为了在运行下面的程序之后得到输出 y＝25，键盘输入 x 应该是___．
14．正项等比数列{an}中，存在两项 am ， an ，使得
7．设 a R ，函数 f x 在区间 0, + 上是增函数，则（ ）
A． f
a2 a 2
f
7 4
f
C．
a2 a 2
f
7 4
B． f
a2 a 2
f
7 4
f
D．
a2 a 2
f
7 4
8．王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数
.当
时，求不等式
的解集；当不等式
的解集为 时，求
实数 的取值范围.
18．（12 分）已知函数 f (x) ln(1 x) ln(1 x) k(x3 3x) （ k R ）当 k 3 时，求曲线 y f (x)
4．设函数 f (x) ex x 2 ， g(x) ln x x2 3 若实数 a, b 满足 f (a) 0 ， g(b) 0 则（ ）
A． g(a) 0 f (b)
B． f (b) 0 g(a)
C． 0 g(a) f (b) D． f (b) g(a) 0
5．已知定义在实数集 R 上的函数 f (x) 的图象经过点 (1, 2) ，且满足 f (x) f (x) ，当 0 a b时不 等式 f (b) f (a) 0 恒成立，则不等式 f (x 1) 2 0的解集为（ ）
【4月兰州市理数】2020年兰州市高三诊断考试理科数学试卷及答案解析
2020年兰州市高三诊断考试数学（理科）1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上.2本试卷满分150分，考试用时120分钟．答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1.已知集合{}{}*,25,4,3,2,1,0N n n x x B A ∈===，，则A∩B=（）A.{}4,2,0 B.{}4,2 C.{}5,3,1 D.{}5,4,3,2,12.已知复数225+-=i i z ，则z =（）A.5 B.5 C.13 D.133．已知非零向量b a ,，给定R p ∈∃λ:，使得q b a +=+=,λ则p 是q 的（）A.充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.若αααππtan ,2tan 2tan 1127cos 125sin 22则-==（）A.4 B.3 C.-4 D.-35.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线过点（2，-1），则它的离心率是（）A.2B.C.D.6．已知集合46911,,,,55555A πππππ⎧⎫=⎨⎩⎭，从A 中任选两个角，其正弦值相等的概率是（）A.110B .25C .35D .3107．已知函数()f x =，且a=f （0.20.2），b=f （log 34），13(3)c f log =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A a>b>c B c>a>b C c>b>a D b>c>a8．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表1所示，绘制相应的散点图，如图1所示：根据表1及图1得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为｜r 1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r 2，则｜r 1｜＜｜r 2｜；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）A 0B 1C 2D 39．已知圆的顶点为A ，高和底面的半径相等，BE 是底面圈的一条直径，点D 为底面圆周上的一点，且∠ABD=60°，则异面直线AB 与DE 所成角的正弦值为（）A 2B 2C 3D 1310已知函数()sin (sin cos )f x x x x ωωω=+（0ω>），若函数f （x ）的图象与直线y=1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是（）A 13,24⎛⎤ ⎥⎝⎦B 15,24⎛⎤ ⎥⎝⎦C 53,42⎛⎤ ⎥⎝⎦D 55,42⎛⎤ ⎥⎝⎦11．已知点M （-4，-2），抛物线x 2=4y ，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线，P 为抛物线上一点，过P 做PQ ⊥l ，点Q 为垂足，过P 作抛物线的切线l 1，l 1交于点R ，则｜QR ｜+｜MR ｜的最小值为（）A 1+BCD 512．对于定义域为D 的函数y=f （x ），如果存在区间[a ，b]⊆D （a<b ）满足f （x ）是[a ，b]上的单调函数，且f （x ）在区间[a ，b]上的值域也为[a ，b]，小则称函数f （x ）为区间[a ，b]上的“保值函数”，[a ，b]为“保值区间”．根据此定义给出下列命题：①函数f （x ）=x 2-2x 是[0，1]上的“保值函数”；②若函数g （x ）=｜2x -1｜是[a ，b]上的“保值函数”，则a+b=1；③对于函数h （x ）=x 2e x 存在区间[0，m]，且m ∈（12，1），使函数h （x ）为[0，m]上的“保值函数”．其中所有真命题的序号为（）A ．②B ③C ．①③D ．②③第Ⅱ卷卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数22,1()211x f x x x ⎧=⎨+≥⎩＜，，则23((log ))2f f =．14．已知向量a ，b 满足｜b ｜，向量a ，b 夹角为120°，且（a +b ）⊥b ，则向量｜a +b ｜=．15．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF ，侧棱AA ＇、BB ＇、CC ＇、DD ＇、EE ＇、FF ＇相互平行且与平面ABCDEF 垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到'''0'''1092816B C D ∠=．已知一个房中BB ＇=，AB=，0'''tan 544408=，则此蠊房的表面积是．16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，已知a=7，b=5，c=3,点I 是△ABC 的内心，则IB=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在等差数列{a n }中，a 1=-8，a 2=3a 4（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设4(14)n n b n a =+（n ∈N *），T n 为数列{b n }的前n 项和，若1715n T =，求n 的值．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点P在面ABCD内的射影为A，PA=AB=1，点A到平面PBC的距离为33，且直线AC与PB垂直．（1）在棱PD上找一点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由;（Ⅱ）在（I）的条件下，求二面角B-AC-E的大小．19．（本小题满分12分）甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代人治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表:并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关?（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为写和马，若一20cm ，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算1x 和2x （同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．20．（本小题满分12分）已知点F 为椭22221x y a b+=（a>b>0）的一个焦点，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1．（I ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M 、N 在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM ∥直线BN ，直线AN 、BM 的斜率分别为k 1和k 2，求证：k 1·k 2=e 2-1（e 为椭圆的离心率）．21．（本小题满分12分）已知函数211()ln 22f x a x x =--+（a ∈R 且a≠0）．（I ）当a=y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f （x ）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y=f （x ）有两个极值点x 1，x 2，证明：f （x 1）+f （x 2）<9-ln a ．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为4πρα=+，曲线C 2的直角坐标方程为y =（I ）若直线l 与曲线C 1交于M 、N 两点，求线段MN 的长度；（Ⅱ）若直线l 与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，点P 在曲线C 2上，求AB AP ⋅ 的取值范围．23．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数f （x ）=｜x-1｜+｜2x+2｜，g （x ）=｜x+2｜-｜x-2a ｜+a（1）求不等式f （x ）>4的解集；（Ⅱ）对1x R ∀∈，2x R ∃∈，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，求a 的取值范围．。
2020年兰州市数学高考一模试题(及答案)
2020年兰州市数学高考一模试题(及答案)一、选择题1．123{3x x >>是12126{9x x x x +>>成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件2．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B)P 等于（ ） A ．49B ．29C ．12D ．133．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A ．19B ．29C ．49D ．7184．已知非零向量a b ，满足2a b =，且b a b ⊥（–），则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π65．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ） A ．7，5，8B ．9，5，6C ．7，5，9D ．8，5，76．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤7．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -等于（ ） ABCD ．48．设,a b R ∈，“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．8010．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．011．下列说法正确的是( ) A ．22a b ac bc >⇒> B ．22a b a b >⇒> C ．33a b a b >⇒>D ．22a b a b >⇒>12．设集合(){}2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则M N ⋃=（ ）A ．{}22x x -≤<B ．{}2x x ≥-C ．{}2x x <D ．{}12x x ≤<二、填空题13．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 14．若x ，y 满足约束条件x y 102x y 10x 0--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则xz y 2=-+的最小值为______．15．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．16．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则ABC 的面积为______．17．已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为 ．18．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为33，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 19．计算：1726cos()sin 43ππ-+=_____． 20．()sin 5013tan10+=________________.三、解答题21．如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD =23，∠BAD =90°． （Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．22．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，连接BD ，其中DA DP =，BA BP =.（1）求证：PA BD ⊥；（2）若DA DP ⊥，060ABP ∠=，2BA BP BD ===，求二面角D PC B --的正弦值.23．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（I ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）：①； ②； ③.判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备的性能等级.（Ⅱ）将直径尺寸在之外的零件认定为是“次品”.①从设备的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望；②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望.24．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ； （2）若二面角D AP C --6，求PF 的长度. 25．在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为()π42，，5π224⎛⎫ ⎪⎝⎭，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）．（1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值．26．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A【解析】 试题分析：因为123{3x x >>12126{9x x x x +>⇒>，所以充分性成立；1213{1x x ==满足12126{9x x x x +>>，但不满足123{3x x >>，必要性不成立，所以选A.考点：充要关系2．C解析：C 【解析】 【分析】这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出结果. 【详解】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得，对应的基本事件有32212⨯⨯=种；另外，三个人去不同景点对应的基本事件有3216⨯⨯=种，所以61(/)122P A B ==，故选C. 【点睛】本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键.3．C解析：C 【解析】试题分析：由题为古典概型，两人取数作差的绝对值的情况共有36种，满足|a-b|≤1的有（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）（1,2）（2,1）（3,2）（2,3）（3,4）（4,3）（5,4）（4,5）（5,6）（6,5）共16种情况，则概率为；164369p == 考点：古典概型的计算.4．B解析：B 【解析】 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角． 【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||122||a bb b a b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．5．B解析：B 【解析】 【分析】分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数. 【详解】由于样本容量与总体中的个体数的比值为2011005=，故各年龄段抽取的人数依次为14595⨯=，12555⨯=，20956--=.故选：B【点睛】本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,属于基础题.6．D解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，所以21,20,115,1a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.7．A解析：A 【解析】本题主要考查的是向量的求模公式．由条件可知==，所以应选A ．8．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】当a=0时，如果b=0，此时0a bi +=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果a bi +已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选B【考点定位】本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查的是纯虚数的定义9．C解析：C 【解析】分析：写出103152rrr r T C x -+=，然后可得结果详解：由题可得()5210315522rrr r r rr T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭令103r 4-=,则r 2= 所以22552240rr C C =⨯=故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。
2020年甘肃省高三第一次高考诊断考试理科数学试题
2020年甘肃省第一次高考诊断考试数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知{}1<=x x A ，{}12<=x x B ，则AUB=（ ）A ．（-1，0）B ．（0，1）C ．（-1，+∞）D ．（-∞，1）2．已知：)23(i i z -=，则z z ⋅=（ ） A ．5 B ．5 C ．13 D ．133．已知平面向量b a ,满足),3(),2,1(t b a -=-=，且)(b a a +⊥=（ ）A ．3B ．10C ．32D ．54．已知抛物线)0(22>=p px y 经过点)22,2(M ，焦点为F ．则直线MF 的斜率为（ ）A ．22B ．42C ．22 D ．22- 5．函数22cos ln )(x x x x f +=的部分图象大致为（ ）A B C D6．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的一条渐近线经过圆04222=-++y x y x E ：的圆心，则双曲线的C 的离心率为（ ）A ．25 B ．5 C ．2 D ．2 7．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C 技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为a x y ˆ042.0ˆ-=．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C 手机市场占有率能超过0.5%（ ）（精确到月）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月8．设n m ，是空间两条不同的直线，βα，是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若α∥m ，β∥n ，βα∥，则n m ∥；②若βα⊥，β⊥m ，α⊄m ，则α∥m ；③若n m ⊥，α⊥m ，βα∥，则β∥n ；④若βα⊥，l =βαI ，α∥m ，l m ⊥．则β⊥m ．其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④9．定义在R 上的偶函数)(x f ，对)0,(,21-∞∈∀x x ．且21x x ≠，有0)()(1212>--x x x f x f 成立，已知)(ln πf a =，)(21-=e f b ，)61(log 2f c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＞a ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b10．将函数)6sin()(π+=x x f 图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数)(x g y =的图象，则函数)(x g y =图象的一个对称中心为（ ）A ．)0,12(πB ．)0,4(πC ．)0,(πD ．)0,34(π 11．若nx x )1(3+的展开式中二项式系数和为256．则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A ．85 B ．84 C ．57 D ． 5612．若函数2)(mx e x f x-=有且只有4个不同的零点．则实数m 的取值范围是（ ） A ．),4[2+∞e B ),4(2+∞e C ．)4,(2e -∞ D ．]4,(2e -∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届甘肃省第一次高考诊断考试(数学理)
2020届甘肃省第一次高考诊断考试(数学理)数学理科考生注意：本试卷分第1卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，总分值为150分，考试时刻120分钟, 所有试题均在答题卡上作答•其中，选择题用28铅笔填涂，其余题用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，参考公式：假如事件A、B互斥，那么-假如事件A、B相互独立，那么’,假如事件.A在一次试验中发生的概率是P,那么它在n次独立重复试验中恰好发生A次的概率为'' •球的表面积公式：身亠:吭T，其中R表示球的半径，球的体积公式：，其中R表示球的半径，第1卷〔选择题，共60分〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1•集合心w m弘"乩用.那么ifn』¥=(A)・'3 - L (B) ' -]川川(C)，-2. - 1 刖(D) |0.],2j2 •运算：2 -(=(A)I +3i (B)3+3i (C)1-3i (D)3 -3i7y£>ir) 1 * 对rt丧Kmf —-3.在△ ABC中，假设2，那么△ ABC的形状为(A)直角三角形(B)等边三角形(c)等腰三角形(D)等腰直角三角形4•以下四个数中，最大的一个是(A)卜；(B) I: ' (C) ：!1 ' f；-' :(D) 1：；j_5 .某篮球运动员在三分线投篮的命准率为，他投篮5次，恰好投准3次的概率为丄T35(A)32(B)(C)(D) ' *6.在等差数列“中，假设那么它的前10项和"(A)70 (B)80 (C)90 (D)IOO斗TS' I .7•将函数'的图像按向量"‘亍’：平移，那么平移后的函数图像的解析式为9•从4名男生和3名女生中选出3人，分不参加三项不同的工作，假设这三人中至少有1女生，那么选派方案共有(A)270 种 (B)216 种 (C)186 种 (D)108 种10 .过半径为2的球0表面上一点 A ，作球0的截面，假设 OA 与该截面所成的角为30° 的面积为(A)4 n (B)3 n (C)2 n (D) n11.设a=(3. 4), a 在b 上的投影为 ，b 在j=(o , 1)上的投影为1,且|悅〔占超那么b=(B)(1,2) (C)(1,1) (D)(2,1)第二卷〔非选择题，共90分〕二、填空题：本大题共 4小题，每题5分，共20分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13.「：的展开式中常数项为 ________________ .—-= I14. 双曲线 上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比为 2,那么m=15.设随机变量 服从标准正态总体 N(O , 1)，假设b"魁“° 9兀：，那么标准正态总体在区间〔-1 98.1.98〕内取值的概率为 _________________16. 以下命题中：①假设a.b.m 差不多上正数，那么 ，那么b>a ；②a 、b 差不多上实数，假设，那么ab <O;其中，正确的命题为 _____ 〔将正确的序号填在横线上〕.三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解承诺写出文字讲明、证明过程或演算步骤. 17 .本小题总分值10分(C)&正三棱锥 为1(A)S -ABC 的各棱长均相等，D 为SC 的中点，那么SA 与BD 所成角的余弦值(B) (c) (D) ,那么该截面(A)(0,1)12 .偶函数f(x)的定义域为R ,假设’’二为奇函数，那么(A)' 1门为偶函数(c)小为奇函数(B)为奇函数(D) ；lf 谬为偶函数③假设a 、b 、c ABC 的三条边，那么a2 +b2 +C2 >2〔 ab+ bc+ ca 〕④假设a>b>c ，那么 )• 1AFR ( 2J * =(B)(1)求 的单调区间;设函数只”(1) 求f(x)的最大值及最小正周期；(2) 假设锐角厶ABC 中，角A 满足Z 亠荷，求"'的值. 18 .本小题总分值12分如图(1), AABC 是等腰直角三角形， AC =BC =4 , E 、F 分不为AC 、AB 的中点，将 AABC 沿 EF 折起，使A '在平面BCEF 上的射影0恰为EC 的中点，得到图(2). (1) 求证：EF 丄 A'C ;(2) 求二面角 A ' -BC -E 的大小； (3) 求三棱锥F-A'BC 的体积，图(1) 图(2)19. 〔本小题总分值12分〕某单位有三辆汽车参加某种事故保险，年初单位向保险公司缴纳一定数量的 保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获得9000元的赔偿〔假设每辆|_L 丄 _L 车最多只赔偿一次〕，设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分不为 b m‘ii 且各辆车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中： (1) 获赔的概率；(2) 获赔金额 的分布列与期望. 20. 本小题总分值12分在数列中，广’为其前n 项和，且满足呂■士沐 75芒“ .(1) 求数列丨歧」的通项公式；21. 本小题总分值12分 抛物线的焦点为F , M 为其准线上一点，直线 MF 与抛物线交与 A 、B 两加A y、点，人耐・(1)求证Mi 汕；(2)当A 虫时，求直线AB 的方程. 22本小题总分值12分设函数(2)证明:小，都有幻⑴"+口成立，求实数a的取值范畴.(2)假设对所有的一第一次高考诊断数学试题参奇答案及评分标准第I 卷一、迭择题；本大地兴】2小臥甸小题$分・共3分.I. U 2Jk 2.C4.B$1)6.A7.R R.C 9.C IO.B Jl.D I2.C第II 卷二、 填空也小眄剜邇§分，共20分.L3.W M. - I,吃09,24；(又)]"・T 席@321三. 解答矽；本大题求6小亟共"分・L7•衣小朋分10分耶：11»/ (.i ) - 3co$lv - \3sin 2x + 3= 2^'3«os(2.t-4- —}+3.♦ !♦•«・・♦♦・・,••••• •••・•• •・・••••・・X ・・・・・・・・・・5 2$⑵ Hi/(4) = 3-2v3.人一m 亠3 - 3-2J?・6 7；/. UO M2.A —)= l ・6X 0 < H A — — ■从"ii un — A w Gin — — ^32 12 5 3i«.右小m 濮分12分t I i i 「9•一：九丄・ EF ff ：^3COl AA»C 的中处裁.••• FF 丄 AC.・•• EF 丄平面A ：EC.乂川QuN 西片&•,・・・E ：F 丄屮c 芥肚•:：同丄EC.・・••••・・••・・・・•・・・••・・・・・・ ・*e ・0・・・0・・・・，・・《«7夕}・・・•・・・・・・•・・・I «>v .40丄EF. •・・EF丄平正.谊E?故孑芒秦ik(ll 7!i i又/f<7u 平ifcA^C •: EF 丄才G.(2) 7 A'O 丄面 BCEF.OCLKC.fk^A f C!BC•； C0平•••••••••x.•♦*••■••••••••••••••••••••・••• •又T/fo 垂 11 平分we. ^o = V-EO 2 = .oc-i. 住直fh'A'CO 中・ lan" CO "3.二10A-g-E 为丁 -(3) 庄宜角梯形EFRC 中.EC = 2. BC = A ： S 沖=i-«C・£C = 4 ・X v 勿垂直 V 分 «?,• •• "0 ■ \- EO 1 = <5.•:三綾链F-XJJC 的体积为：]I4*^5二、O = 2 * 4 * 33 ・・・■••・・•■・・■ •・・•《•♦・・•■・・・•・・・■♦・・12攵宙用向呈法求解•可酌馆给分〉19・本小通满分12分氏科》解:设&祓示笔K 轲午在 年内发生此爭故.KJ2.3•则儿、仏、九相亙独立. 且P ⑷冷丿他）■占,"）■右.（1）该单位一年内沃赔的口率为？ 1・F （入兀A ）4P （A ）PC 石）丽）r 89 10 39 10 II 11（2） g 的所有可fi£«T 为 0.9000.18000.27（X ）0・陀=O ） = P w 小 g ）P （ “P （州X 評才亍晋 尸点■ 9000> = AjA,）+ 尸（厲 Aj Ay ） + 石心 3）・ =PS ）P （石）此石H p （瓦屮（比屮（石>+巩可W （石）p （4）1 9 10 8 I 10 8 9 1 242 11=*- X — X —十—X —X 1—X — X —= =—: ...9 10 II 9 10 丄 9 10 J1 990 _ 45---- 8分・2分• •・・・・•• ••• ••• »M •■・・・■・・•・•・・••••••••••••••••• ・•・・•・・•・• ・・・0 ・・・•・ ••■•••• ••■••• ・・•・・ «••••••• • ■■••00・・・・・・・・0・・ •・•• •••・・•・ ・・・・・・・・•・ ・>«・・・・・ ••*•6夕十'尸（好=18000）二P（人比瓦）4 P（占石A J + P（\A L A,）1 1 10 1 9 1 8 1 1 27 3 B -x —x - 4- —X — X 一 4 —X — X 一 = ---- = ----- 9 10 11 9 10 II 9 10 11 990 110P(i = 27000) = F(A 入已)=)P(A 2)P(A })Q11a170900Ef = 0x2+9000x 旦斗 18000x2 十 27000乂云=^- ................................. 12 分9 11 45 110 990 11（文科）解:设儿、再表示三道工序合版则令、厶、Aj 相互独工45 7,卩（人）二亍................................... 2 分（1 ）恢种零件合格的槪率为P ■ Pg・A ・厲）="叫）尸⑷ .......................... 4分 4 5 7 7 -X —X —=— 5 6 8 127（2）由于该种窶fl 3】合格辜为~...... .... —…山辿立車貝试聖的抵舉公式得於好取到-件合格詁的嘅率为 p-r «/Zi./Av： 25J 、I"V *• ••• ••»••••• ••• ••••• »••••«••••••••••••• ••••• ••<1 121257620•車小点満分12分（建科）解：（1 > 当兀=10扌，a i = S 、= 2a,-】■•••“！ = 1 ■冷 S“| =2兔S" = 2a… -n,9 10 11 990的分布列为；40 9W01800027000p 8 11 3 1-■■11 45 110990.... o 分••・j =2a” -2a,~l.•・.{£ + 1}见以2为首顶.2为公比的每比数列. •••4 = 2“一1（刃€用）・n I Z1 \ . n \= -------- (1——)> ------------- ・..... ................ .. ................................................ 12分 2 3 r 2 3 " (文科)餡没帶羞数列5}的&顶为q •公羞为厶r 耳・比・®成等比数列.・•.（坷十5cf 『二（q 十衍）（耳十&/）• ................................. 4分 ・iq' + 10q 〃 +25d* = a ； +」1吗〃 +2心.-«i = d ・ .. ............................................................. . ................................. 8 分 又1為=10 = 4十4乩・ \^ = tf —2......................................................................... 「・ S 乂二 50x2 + x2 = 93O, ....................... ................. 21.本小SI 满分】2分解:⑴i 站找砂的方程为 —£).代人拟物线方稈> ： = 2p.r •笑■fr\v 2 一 p{k l 4 2)才+"上二0 ........................................................................ ..4_ 丨 I 1 I"2^2(2^'^1) 2*3-2< + 2< -2 ............. 一 ........... 8分 ............. . ................................... 10 分•…川分 门分 沙-扌*仗= 1.2,3,…，心讣人(巧 t? l)» B g 1 >2 )・则M (— % — 〃A 入心亠导).>1 4 Pk =心 + pk)9曲1;达定理知 X =£•••• \（壬i 自■俘一殆Z. AE -AFB ・ ___（若用几何法证阴也町sm 钦分）（2） V AF =入就Hi 2用=才）叮•从両得X ）=入'並③・疥/代人I •冯彳-才七二几（毛一牛.从而蒔心=总▼円=丸■久2读瞒致学答秦«5 5l<M7 H）即直线的方程为『=士73（*-彳）・■22•本小题满分12分（理科）#;（1）V帆和的定义域为XE（Q+oc）.・・2分X出△=尸一4三0,即一20rcOH寸.^(x)>0.则XO为增函数:② 当A«fc J-4>t<-2Bj ・ x?4lr^! = OWW不尊曲实ftt.4按匚4 -R+J宀4 口°卄一-—・屯=—-—•且0 5 <心当x eCO■丙M(打>0;当K W (.r lt x；).^(.r) v0：当尤£ g—oo)■卩(x)> 0. ...4 分那上当上V-处L冲)的增区何为疋一4站—加P .丄2 2m/nz _上_、'火・_4 —k + Uk'—4减区何为-------- ------- . ------ ------ .2 2■ ■S-2<*<W. 的增区间为(0.4-OO) ............................................. . ...... ... 6分10分■ 21 xlnx1................... 8 分当I 3时•得疋二土的.乂 •・,（攵41" x —1） =1 —— >1.X・••" 扫響 >0,即 饨巧=更罕（*€&亠8»为用函数 ................. 10分（X4-1）-K 十1即“的取值范国为（^—. 〔丈和 «:< I ） v/（\x ） = r+2ar + L当A<0・即/W 耐• / *）20. /（X ）在/?上为单圖増函数： ...................... 4分 当△>（!即a 、a ］时・由/ （工）二 0•得4 = 一。
甘肃省兰州市高三数学第一次诊断考试试题 理(甘肃兰州一诊)新人教B版
本试卷满分150分，考试时间120分钟.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效。
第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1. 已知集合}0)3(|{<-=x x x P ，}2|||{<=x x Q ，则=Q P （ ） A ．)0,2(-B ．)2,0(C ．)3,2(D ．)3,2(-2. i 是虚数单位,复数31ii--= （ ） A ． 2i +B ．12i -C ．i 21+D ．2i -3.将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（ ）A ．5sin(2)()12y x x R π=+∈ B ．5sin()()212x y x R π=+∈C ．sin()()212x y x R π=-∈D ．5sin()()224x y x R π=+∈ 4.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 ( )A ．63π+B ．π343+C ．π3433+D ．633π+5.设3212a=log 2b=log 3c=log 5，，,则（ ）A ．c ﹤b ﹤aB ．a ﹤c ﹤b C. c ﹤a ﹤b ．D ．b ﹤c ﹤a6. 已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题：①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,； ②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂； ③如果ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,⊄⊂相交； ④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且⊄⊄=⋂ 其中正确的命题是 （ ） A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有( )种.A.150B.300C.600D.9008．已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，以12||F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为（ ）A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=9.下列五个命题中正确命题的个数是( )（1）对于命题2:,10p x R x x ∃∈++<使得，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++>；（2）3=m 是直线02)3(=-++my x m 与直线056=+-y mx 互相垂直的充要条件；(3)已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为ˆy＝1.23x ＋0.08(4)．若实数[],1,1x y ∈-，则满足221x y +≥的概率为4π. (5) 曲线2y x =与y x =所围成图形的面积是120()S x x dx =-⎰A.2B.3C.4D.5 10. 执行如图所示的程序框图，那么输出的S 为( )(A)3 (B)43(C)12 (D)－2(第10题图) （第11题图） 11.如图，矩形n n n n D C B A 的一边n n B A 在x 轴上，另外两个顶点n n D C ,在函数())0(1>+=x xx x f 的图象上.若点n B 的坐标()),2(0,+∈≥N n n n ，记矩形nnnnDC B A 的周长为n a ，则=+++1032a a a （ ）A ．208 B.216 C.212 D.22012. 设()f x 的定义域为D ，若()f x 满足下面两个条件则称()f x 为闭函数：①()f x 是D 上单调函数；②存在[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上值域为[,]a b . 现已知()21f x x k =++为闭A n D nB nO x y C n）A ．112k -<≤-B ．1k <C ．112k ≤< D ．1k >- 第Ⅱ卷 （90分）二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．在531⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为 . 14．已知x ，y 满足约束条件22344,0x x y x y y ≥⎧⎪+≥+⎨⎪≥⎩则的最小值是15．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程是 。
2020年4月甘肃省2020届第一次高考诊断考试理科数学答案
a
a
所以 f (x) 在 (0, 1 ) 上单调递增，在 (1 ,1) 单调递减，在 (1,) 单调递增. …………6 分
a
a
（2）当 a 2 时，欲证 f (x) ex 2x 1 ，只需证 ln x 2 ex ， x
第一次诊断理科数学答案 第 3 页（共 5 页）
令 g(x) ln x ex 2 ， x (0,) ，则 g(x) 1 ex ， x
因存在 x0 (0,1) ，使得
1 x0
ex0
成立，即有 x0
ln x0
，使得 g(x0 ) 0 成立.
当 x 变化时， g(x) ， g(x) 的变化如下：
x g(x)
(0, x0 ) +
x0
( x0 , )
0
-
g(x)
单调递增
单调递减
所以
g ( x)max
故数列an 1 是以 a1 1 2 为首项，2 为公比的等比数列.
即有 an 1 (a1 1) 2n1 2n ，所以 an 2n 1.
…………………6 分
（2）由（1）知，数列an 2n 的通项为： an 2n 2n 2n 1 ，
Sn (21 22 23 2n ) (1 3 5 2n 1)
13. 10
14. 1344
15. 2,3
16. 20； 21(1 6)
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。 17.（本题满分 12 分）
解 1，可化为 an1 1 2(an 1) ，
2(1 2n ) n2 2n1 n2 2 . 1 2
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2020年兰州市高三诊断考试（理数） 第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.已知集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}*2,B x x n n N==∈，则AB =（ ）{}.0,2,4A {}.2,4B {}.1,3,5C {}.1,2,3,4,5D2.已知复数522iz i=+−，则z =（ ）.5B .13CD3.已知非零向量,a b ，给定:p R λ∃∈，使得a b λ=，:q a b a b +=+，则p 是q 的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件4.若21tan 5722sincos 1212tan2αππα−=，则tan α=（ ）.4A .3B .4C − .3D −5.已知双曲线()222210,0x y a b a b−=>>的一条渐近线过点()2,1−，则它的离心率是（）2ABCD 6.已知集合46911,,,,55555A πππππ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，从A 中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ） 1.10A 2.5B 3.5C 3.10D7.已知函数()ln f x =，且()0.20.2a f =，()3log 4b f =，13log 3c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）.A a b c >> .B c a b >> .C c b a >> .D b c a >>8.近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表1所示，绘制相应的散点图，如图1所示：表1 根据表1及图1得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为1r ，去掉第一年数据后得到的相关系数为2r ，则12r r <；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时草场植被指数。
以上判断中正确的个数是（ ）.0A .1B .2C .3D9.已知圆锥的顶点为A ，高和底面圆的半径相等，BE 是底面的一条直径，点D 为底面圆周上的一点，且60o ABD ∠=，则异面直线AB 与DE 所成角的正弦值为（ ）2A2B3C 1.3D10.已知函数()()()sin sin cos 0f x x x x ωωωω=+>，若函数()f x 的图象与直线1y =在()0,π上有3个不同的交点，则ω的范围是（ ）13.,24A ⎛⎤ ⎥⎝⎦ 15.,24B ⎛⎤ ⎥⎝⎦ 53.,42C ⎛⎤ ⎥⎝⎦ 55.,42D ⎛⎤⎥⎝⎦11.已知点()4,2M −−，抛物线24x y =，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线，P 为抛物线上一点，过P做PQ l ⊥，点Q 为垂足，过P 做抛物线的切线1l ，1l 与l 交于点R ，则QR MR +的最小值为（ ）.1A +BC .5D12.对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[](),a b D a b ⊆<满足()f x 是[],a b 上的单调函数，且()f x 在区间[],a b 上的值域也为[],a b ，则称函数()f x 为区间[],a b 上的“保值函数”， [],a b 为“保值区间”。
根据此定义给出下列命题：①函数()22f x x x =−是[]0,1上的“保值函数”；②若函数()21xg x =−是[],a b 上的“保值函数”，则1a b +=；③对于函数()2xh x x e =存在区间[]0,m ，且1,12m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使函数()h x 为[]0,m 上的“保值函数”，其中所有真命题的序号为（ ）.A ② .B ③ .C ①③ .D ②③第II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数()2,121,1x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩，则23log 2f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________. 14.已知向量,a b 满足2b =，向量,a b 夹角为120o ，且()a b b +⊥，则向量a b +=____.15.大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房，蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF ，侧棱'AA 、'BB 、'CC 、'DD 、'EE 、'FF 相互平行且与平面ABCDEF 垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成，瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.英国数学家麦克劳林通过计算得到''''''1092816o B C D ∠=.已知一个蜂房中'53BB =，26AB =，'''tan 5444082o =，则此蜂房的表面积是________.16.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，已知7,5,3a b c ===，点I 是ABC ∆的内心，则IB =_______.三、解答题17.（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，18a =−，243a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()*414n n b n N n a =∈+，n T 为数列{}n b 的前n 项和，若1715nT =，求n 的值.18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为平行四边形，点P 在面ABCD 内的射影为A ，1PA AB ==，点A 到平面PBC 的距离为33，且直线AC 与PB 垂直. （1）在棱PD 上找一点E ，使直线PB 与平面ACE 平行，并说明理由； （2）在（1）的条件下，求二面角B AC E −−的大小.19.（本小题满分12分）甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进.2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代人治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号，在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值.（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插钎处没有被风蚀）.通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图.（1）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（2）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记.根据以上直方图，完成列联表：并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？（3）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为1x 和2x ，若1220x x cm −>，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算1x 和2x （同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙效果方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++，20.（本小题满分12分）已知点F 为椭圆()222210,0x y a b a b+=>>的一个焦点，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1. （1）求椭圆的标准方程；（2）若,M N 在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM //直线BN ，直线AN 、BM 的斜率分别为1k 和2k ，求证：2121k k e ⋅=−（e 为椭圆的离心率）.21.（本小题满分12分） 已知函数()211ln 22f x a x x =−−+（a R ∈且0a ≠）. （1）当a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性与单调区间；（3）若()y f x =有两个极值点12,x x ，证明：()()129ln f x f x a +<−.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1222x t y t ⎧=−−⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为4πρα⎛⎫=+⎪⎝⎭，曲线2C的直角坐标方程为y =. （1）若直线l 与曲线1C 交于,M N 两点，求线段MN 的长度；（2）若直线l 与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，点P 在曲线2C 上，求AB AP ⋅的取值范围.23. 【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数()122f x x x =−++，()22g x x x a a =+−−+. （1）求不等式()4f x >的解集；（2）对1x R ∀∈，2x R ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，求a 的取值范围.2020年高三诊断考试试题答案数学（理科）1．B2．A 3．B4．C5．A 6．B 7．D8．B9．A 10．C11．Ｄ12．D11．【解析】设200(,)4x P x ，则过P 的切线斜率为02x k =，Q 点坐标为0(,1)x -02FQ k x \=-1FQ k k \×=-根据抛物线定义PF PQ = 1l \为FQ 的垂直平分线RF RQ\=5QR +MR =FR MR FM \+³=故选D.12．【解析】由“保值函数”定义可知）（x f 为区间[]b a ,上的“保值函数”则）（x f 在[]b a ,上是单调函数且在区间[]b a ,时其值域也为[]b a ,，那么当函数）（x f 为增函数时满足条件x f x =（）在[]b a ,上有两个不同的实数解b a ,的函数）（x f 就是“保值函数”，命题①中x x x f 2)(2-=，虽满足在[]10，上单调但值域为[]01，-，不是[]10，，故①为假命题；②中由1-）（x x g 2=的图象可知其为区间[]10，上的“保值函数”故②为真命题；③中x e x x h 2=）（则由[]m x x e x h x ，在）（）（002'2≥+=成立，所以）（x h 为[]m ，0上的增函数，再由x e x x=2解得有两个根2211,0x e x x ==，构造函数x e x x k -）（1=，易知01,021<>）（）（k k ，由零点存在性定理知存在x e x m x x =∈=22121），使，（成立，故③为真命题.综上所有真命题的序号为②③，答案为D.13．414．615．16．15．【解析】连接''D B BD 、，则''//D B BD ，26''==D B BD '''D C OB 为菱形，2''08'4454tan ,''16'28109'''=︒︒=∠D C B 62232''08'4454tan ''212'=⋅=︒⋅=∴D B OC 33''=C B 34''''22=--=∴BC C B BB CC 2272)3435(62''=+⨯=C C BB S 梯形722162662132276=⨯⨯⨯+⨯=∴表S .16．【解析】由余弦定理得︒=∠120A ，1413cos =C ,故2812sin =C.︒=-︒=+3029022AC B,得︒=∠150BIC ,在BIC ∆中，由正弦定理得72sin 14=⨯=CIB .17．【解析】（Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差是d ，由4213,8a a a =-=得：)38(38d d +-=+-解得2=d ，所以n a n 210+-=.........................................6分（Ⅱ）设211)42(4)14(4+-=+=+=n n n n a n b n n ，51172111211=+-+-+=n n T n 得到4=n ..................................................12分18．【解析】（Ⅰ）点E 为PD 中点时直线PB 与平面ACE 平行.证明：连接BD ，交AC 于点O ,则点O 为BD 的中点，因为点E 为PD 中点，故OE 为PDB ∆的中位线，则PB OE //,⊂OE 平面ACE ,⊄PB 平面ACE ,所以PB 与平面ACE 平行.....................................5分（Ⅱ）根据题意PB AC ⊥，⊥PA 底面ABCD ,⊂AC 底面ABCD ，则有PA AC ⊥，P PB PA =⋂,所以⊥AC 平面PAB ,设x AC =，3321221311121312⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==--x x V V PBC A ACB P ，得1=AC 法一：由（Ⅰ）可知PB OE //，又PB AC ⊥，所以AC OE ⊥，⊥AC 平面PAB ，⊂AB 平面PAB ,所以AC AB ⊥，如图二面角为钝角，那么AB OE ，所成的角即为二面角E AC B --的补角，4π=∠PBA ,PB OE //，所以AB OE ，所成的角为4π，因此二面角E AC B --的大小为43π.....................................12分CABP DEO法二：以A 为坐标原点，AB ，AC ，AP 分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，则21,21,21(),1,0,0(),0,1,1(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(--E P D C B A 显然平面ABC 的法向量是)1,0,0(=AP 设平面ACE 的一个法向量n =）（z y x ,,,)0,1,0(21,21,21(=-=AC AE 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AC n AE n 即⎪⎩⎪⎨⎧==++-0212121y z y x ，令1=x ，得n =），，（101，设二面角E AC B --的大小为θ，则22cos cos ===θ如图二面角为钝角，因此二面角E AC B --的大小为43π.....................................12分19．【解析】（Ⅰ）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”为事件C()0.80.160.360.6P C »++=.....................................2分（Ⅱ）完成列联表如下：标记不标记合计坡腰302050坡顶203050合计5050100根据列联表，计算得：841.3450505050)20203030(10022>=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K 所以有95%的把握认为，数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关..............................7分（Ⅲ）10.0850.16150.36250.24350.12450.045527.8()x cm =´+´+´+´+´+´= 20.0450.12150.24250.32350.20450.085532.6()x cm =´+´+´+´+´+´=1220x x \-<\该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异...............................12分20．【解析】C ABPDE xy z（Ⅰ）椭圆的标准方程为：22143x y +=.....................................4分（Ⅱ）由⑴可知(2,0),(0,A B ，设AM 的斜率为k ，则BN 斜率也为k故直线AM 的方程为(2)y k x =-，直线BN的方程为y kx =-由223412(2)x y y k x ì+=ïí=-ïî得22234(2)12x k x +-=，即2222(34)1616120k x k x k +-+-=解得2x =或2281634k x k -=+22281612()3434k k M k k--\++，由223412x y y kx ì+=ïíï=î得2234(12x kx +=，即22(34)0k x +-=解得0x =或x =222()3434N k k -\++，222122222223434123)34862(43)34k k k k k k k k k k --\=+--++==--+212314k k e \×=-=-.....................................12分21．【解析】(Ⅰ)因为32=a 时，,2121ln 32322+--=x x x x f ）（所以，x x x f --=3232'）（那么32111'=-=）（，）（f f ，所以曲线）（x f 在））（，（11f 处的切线方程为：），（1132--=-x y 即：0132=--+y x ….................................….............…4分（Ⅱ）由题可知函数）（x f 的定义域为()∞+，0因为,3232'2xa x x x x a x f -+-=-=-）（由0322=-+-a x x 可得:当0412>-=∆a 即3<a 时,有2121,33,33x x a x a x >--=-+=又当)3,0(∈a 时，满足021>>x x ,所以有,0',0∈12<+∞）（）时）和（，（x f x x x 即）上）和（，）在（（+∞,012x x x f 为减函数;,0',12>∈）（）时（x f x x x 即）上，）在（（12x x x f 为增函数.0,0021<><x x a 时，有当,）（）（）时，（则x f x f x x ,0'01>∈为增函数,)(,0',1x f x f x x <+∞∈）（）时（为减函数;当0'03≤≤∆≥）（，时，x f a 恒成立，所以），）在（（∞+0x f 为减函数综上可知：时当0<a ，在），（a -+330上，）（x f 为增函数，在）（+∞-+,33a 上，）（x f 为减函数；当30<<a 时，在））和（，（+∞-+--,33330a a 上，）（x f 为减函数，在）（a a -+--33,33上，）（x f 为增函数；当3≥a 时，在），（∞+0上，）（x f 为减函数.…..............................................……8分（Ⅲ）因为）（x f y =有两个极值点，，21x x 则032'2=-+-=xa x x f ）（有两个正根，，21x x 则有，0,32,04122121>==+>-=∆a x x x x a 即），（30∈a ,所以7ln 121ln 322221212121++-=++--+=+a a a x x x x a x x x f x f ）（）（）（）（）（若要，）（）（a x f x f ln 921-<+即要02ln ln >+--a a a a 构造函数:2ln ln +--=x x x x x g ）（,则xx x g 1）（-=ln ',易知），）在（（30'x g 上为增函数且0212ln 2',011'>-=<-=）（）（g g ,所以存在00001ln 0'21x x x g x ==∈即）（）使，（且）单调递减，（）（）时，（x g x g x x ,0'10<∈）（（）时（x g x g x x ,0)'2,0>∈单调递增.所以）（x g 在），（21上有最小值为）（0000000132ln ln )(x x x x x x x g +-=+--=,又因为），（）则，（252121000∈+∈x x x ,所以），（在）（21000∈>x x g 上恒成立,即a x f x f ln 921-<+）（）（成立......................................................................….........12分22．【解析】（Ⅰ）由条件可知直线l 的普通方程为01-=+y x ，曲线1C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x ，根据曲线1C 的直角坐标方程可知1C 为以)1,1(-为圆心，以2为半径的圆，圆心1C 到直线l 的距离22=d ,所以弦6222222=-=）（）（MN ；..........................….........5分（II ）因为曲线2C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x （θ为参数，且[]πθ，0∈），又因为)10(),01(，，B A ，设曲线2C 上点P 的坐标为）（θθsin 2,cos 2P ，则）1,-（），，（θθsin 2cos 211=-=AP AB ，[]πθ，0∈所以，14sin 22+-=⋅）（πθAP AB []πθ，0∈，则14sin 22≤-≤-（πθ，所以[]1221+-∈⋅,AP AB ............................….........10分23．【解析】（Ⅰ）由⎩⎨⎧>+≥⎩⎨⎧>+<<-⎩⎨⎧>-≤41314311413x x x x x x 或或--1解得135>∈<x x x 或或-φ，所以不等式的解集为），（，（∞+⋃-∞-135...............................................5分（II ）因为当2min =-=）（时1x f x ，又因为a a a a x x a a x x x g ++=+--+≥+-++=222222)(）（）（，由题意R R ∈∃∈∀21x x ，，使得）（）（21x g x f ≥成立，则有min min ）（）（x g x f ≥，即a a ++≥222所以有⎩⎨⎧+≥-≥-2222202）（）（a a a ，解之得[]04,a -∈........................................................................10分。