二重积分的计算方法
二重积分的计算法
D : y2 ≤ x ≤ y + 2, 1 ≤ y ≤ 2,
(4, 2)
2
x = y2
y
D
O
x = y+2
x
1
(1, 1)
则
∫∫ xydσ
D
= ∫ dy ∫ 2 xydx
1 y
2
y+2
= =
∫ [∫
1 2 1
2
y+2 y2
x 2 y+2 x yd x ] d y = ∫ [ y ]y2 dy 1 2
3 2
D
1
0
1
x
若Y型
1 1
D : 1 ≤ x ≤ y, 1 ≤ y ≤ 1
y 1
I = ∫ dy ∫ y 1 + x 2 y 2 dx
则积分较繁。
例4 求
I = ∫∫ e dσ , D : y = x, y = 1, x = 0 所围成。
y2 D
分析 若先 y 后 x 积分，则 I = ∫0 dx ∫x e dy 无法积分。
∫∫ xydσ = ∫ [∫
1 D 2
2
x
1
xydy ]dx
O
1
x
2
x
3 2 x y2 x x = ∫ [ x ]1 dx = ∫ ( )dx 1 1 2 2 2 x4 x2 2 9 = [ ]1 = 8 4 8
解法 2
把D看成Y型域，则
2 2
∫∫ xydσ = ∫1 [ ∫y xydx]dy
∫∫ f ( x, y)dσ = ∫∫ F (r ,θ )rdrdθ
D D
其中 F ( r ,θ ) = f ( r cos θ , r sin θ )
二重积分计算法
解 (1)先去掉绝对值符号 如图 先去掉绝对值符号,如图 先去掉绝对值符号
y
y =x2
∫∫ D
D 1 1
先对y积分简单 先对 积分简单 y x2 dσ
1
2
1
D D2 D1 D2
O
1 1
+ ∫∫ ( x2 y)dσ = ∫∫ ( y x )dσ
D2
1 2
1 x2
x
= ∫ dx ∫ 2 ( y x )dy + ∫ dx ∫
∫0 dx ∫0
a
a
a
x
f ( y )dy = ∫ dy ∫ f ( y )dx
0 y
a
a
(a , a )
= ∫ f ( y ) x dy = ∫ (a y ) f ( y )dy 0
a y
0
a
O
a
x
= ∫ (a x ) f ( x )dx
0
证毕. 证毕
计算二重积分
D = {( x , y ) 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1}. 解 设D1 = {( x , y ) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x},
r = (θ) θ
(1,1)
1
1
y= x
x
y
∫0
1
dx ∫ sin y 2dy
x
1
(1,1)
= ∫0 dy∫0 sin y dx
2
1
y
y= x
= ∫ (sin y ) x dy
2
1
y
x D : 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y
o
= ∫ y sin y 2dy
0
0 1
二重积分计算方法
二重积分计算方法
二重积分是指同时计算两个复杂变量，如空间或一维时间尺度上均有复杂变量，即进行双重多元积分运算。
二重积分法是科学研究和工程分析的β解析最常用的
计算方法。
由于经常需要解决复杂的数学问题，因此二重积分的计算在现代科学和工程领域有着广泛的应用。
二重积分计算方法是以一维自变量再组合成双维自变量，它首先将单重积分划
分为两个子题，即沿着一个方向进行单重积分，其次再沿着另一个方向进行单重积分。
例如，有一个变量专为u，如果将u偏导后的复杂函数用二维变量X和y来表示，则：
du=f(x,y)dxdy
二重积分可以通过两个步骤来完成:在第一步中，x先作为自变量，上下限的
特定的h, k ,f (x, y) 求定积分，第二步中，y作为自变量，对每一个固定的x，求解特定h, k 等积分。
二重积分法在微分方程、概率理论、拟静力学，拉格朗日
方法以及费马多元法等领域得到了广泛应用。
此外，二重积分法可以进行在线计算，在互联网领域有着重要应用。
现代技术
在二重积分法方面取得了新的进展，特别是机器学习等技术对二重积分法的计算和应用有着深远的影响。
现有的技术可以更加聪明的理解和处理信息，这也大大提高了利用二重积分法研究互联网数据的效率。
综上所述，二重积分计算方法是一种数学运算的技术，在现代科学和工程领域，它被广泛应用于多种多样的领域，特别是在互联网领域，二重积分法为研究者提供了更大的可能性，研究互联网数据更快更有效地获取信息。
二重积分的算法
二重积分的算法1. 引言在微积分中，二重积分是一种对平面上的函数进行求和的方法。
它可以用来计算平面上某个区域内函数值的总和。
在本文中，我们将介绍二重积分的算法，并详细说明如何进行计算。
2. 二重积分的定义设函数f(x,y)在闭区域D上有界，将闭区域D分成许多小区域ΔA i，其中i=1,2,…,n。
选择一个点(x i∗,y i∗)属于第i个小区域ΔA i，则二重积分可以定义为：∬f D (x,y)dA=limmaxi∥ΔA i∥→0∑fni=1(x i∗,y i∗)ΔA i其中∥ΔA i∥表示小区域ΔA i的面积。
3. 计算二重积分的基本步骤计算二重积分的基本步骤如下：步骤1：确定积分区域首先需要确定要进行积分的区域D。
这个区域可以是矩形、三角形、圆形等等。
根据实际情况选择适当的坐标系，并确定区域的边界方程或者坐标范围。
步骤2：确定积分顺序根据实际情况，选择适当的积分顺序。
二重积分可以按照x先积分再积分y，也可以按照y先积分再积分x。
选择合适的积分顺序可以简化计算过程。
步骤3：确定积分限根据积分区域和所选的积分顺序，确定每个变量的取值范围。
这些取值范围将成为二重积分的限制条件。
步骤4：进行二重积分计算根据所选的积分顺序和限制条件，将二重积分转换为一重积分或多个一重积分的组合。
使用数值方法或解析方法进行计算，得出最终结果。
4. 二重积分的常用算法在实际计算中，有几种常用的算法可用于求解二重积分。
矩形法矩形法是最简单直观的方法之一。
它将区域D划为若干个小矩形，并在每个小矩形的中心点处取样。
然后将每个样本值乘以对应小矩形的面积，再求和得到最终结果。
梯形法梯形法是一种改进的方法，它将区域D划分为若干个梯形，并在每个梯形的两个底边中点处取样。
然后将每个样本值乘以对应梯形的面积，再求和得到最终结果。
辛普森法则辛普森法则是一种更高级的方法，它利用了二次多项式的性质。
它将区域D划分为若干个小矩形，并在每个小矩形的四个顶点处取样。
二重积分的计算方法
x2
11 ( x y )dy dx 2 ( y x )dy . 1 x 15
1 0
x 1
e
t 2
1 dt , 求0 f ( x )dx.
1 解(一)： f ( x )dx [ xf ( x )] 0 xf ( x )dx 1 0
f (1) xe
1 0
x2
dx [ 1 e x ]1 1 (e 1 1). 0 2 2
2
解(二) I ( e dt )dx
1 x 0 1
t 2
t
2 t t 0
( e dt )dx dt e dx
1 0 1 x
1 0
t 2
1 t 2 e tdt 0
1 1 (e 1). 2
练习设 f ( x ) 在[0,1] 上连续，并设 f ( x )dx A ，
1 0
求 dx f ( x ) f ( y )dy .
解
2a
y 2ax
y 2ax x 2 x a a 2 y 2
a
2a
a
原式 = dy 2 y 0
a
a a2 y2
f ( x , y )dx
2a 2a
0 dy a
a
2a
2a
a y
2 2
f ( x , y )dx a dyy 2 f ( x , y)dx.
x
f ( x )dx f ( y )dy,
0
故2 I
f ( x )dx
1 0
1
x
f ( y )dy f ( x )dx f ( y )dy
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的重要内容，用于计算平面上的曲线与坐标轴所围成的面积或求平面上的散布点的平均性质等。
在实际运用中，可以通过直接计算、换元法、极坐标法等多种方法来进行二重积分的计算。
一、直接计算法直接计算法是最常用也是最基础的计算二重积分的方法。
其基本步骤是将所给的二重积分转化为累次积分，先对一个变量进行积分，再对另一个变量进行积分。
1.内部积分内部积分即对于每个固定的y值，对x进行积分。
可以根据具体的题目决定如何进行内部积分，常用的有定积分、不定积分和积分换元等方法。
2.外部积分外部积分即对内部积分的结果再进行一次积分，这一步是对y进行积分。
同样的，可以根据具体题目决定如何进行外部积分，可以选择定积分、不定积分和积分换元等方法。
需要注意的是，直接计算法在面对比较复杂的函数或曲线时计算量较大，需要进行复杂的代数计算，常常需要对整个积分范围进行划分，或者使用边界定理简化计算。
二、换元法换元法是将二重积分变换到坐标系上的简单区域。
换元法分为直角坐标系的变换和极坐标系的变换两种情况。
1.直角坐标系的变换直角坐标系的变换是指将原先的积分变为关于新的变量的积分，使得积分计算更加简化。
常见的直角坐标系变换有平移变换、旋转变换和放缩变换等。
例如，当变量的变化范围较大或边界不规则时，使用平移变换可以将积分范围变为一个更加简单的区域，从而简化计算。
2.极坐标系的变换极坐标系的变换是将原先的直角坐标系变为极坐标系，使得计算过程更加简单明了。
极坐标系变换常用于对称图形或圆形区域进行积分计算。
极坐标系变换需要通过变量替换来实现，通常需要将原函数和积分上下限由直角坐标形式转换为极坐标形式，再进行计算。
换元法可以大大简化积分计算过程，但需要选择合适的坐标变换，有时会引入更多的计算量。
需要根据具体问题的特点来决定选择哪种变换。
三、几何意义根据题目所给的条件，可以确定积分范围和被积函数形式，将二重积分转化为面积或长度的几何问题。
二重积分的计算
由给定的积分限可知积分区域D的范围为
0 ≤ y ≤1(外层积分限所确定 ), y ≤ x ≤1(内层积分限所确定 ).
1,2 在y轴上的积分区间为 2
1 当 ≤ y ≤1 时,平行于x轴的直线与区域D相交时, 2 1 沿x轴正方向看,入口曲线为x = ,出口曲线为x=2. y
当1 ≤ y ≤ 2时,平行于x轴的直线与区域D相交时, 沿x轴正方向看,口曲线为x=y,出口曲线为x=2.
2 2 x2 1 2x 2 2x ∴∫∫ 2 dxdy = ∫1 dy∫1 2 dx + ∫1 dy∫y 2 dx y 2 y y D y
=∫
2 6x x2 0
[
3yx
]
y 3(1 ) 2 dy 0
=∫
2 9(1 y + 0
y )dy = 6 , 4
这个结果与我们熟知的四面体的体积 1 1 1 V = 底×高= × 2×3 × 6 = 6 3 3 2 是一致的.
y 例2 计算积分∫∫ 2 dxdy,其中D是正方形区域: Dx
2 2 D
2 1 π 2 = ∫02 [sin( xy )] 0 dx 2 1 π = ∫02 sin 4xdx 2 = 0.
π 2 0
x2 1 例6 计算 ∫∫ 2 dxdy,其中D由不等式 y ≤ x,≤ xy Dy 及 x ≤ 2所确定.
解法1 化为先对y积分后对x积分的二次积分. 作平行于y轴的直线与区域D相交,沿y轴正方 向看,入口曲线为 y = 1 ,出口曲线为y=x, y=x x 因此
因此
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫
D d
d S( y)dy c
= ∫c ∫x ( y) f (x, y)dx dy
二重积分公式
二重积分公式“二重积分公式”是指将复杂的定积分变形成两层积分，从而使计算简单易行的数学方法。
在微积分中，二重积分公式可用来计算含有两个变量的函数的定积分。
一般地，二重积分公式的积分限定应当是单变量连续函数f (x, y) 上的闭区间（a，b）×（c，d），即：∫a b ∫c d f (x, y) dx dy其中，a、b、c、d 四个数值都是已知的，两个积分符号表示对 f (x, y) 进行双重积分。
二重积分公式的计算步骤如下：（1）首先将复杂的定积分表达式变形成两层积分的形式：∫a b ∫c d f (x, y) dx dy（2）然后内层积分，即将 x 变量作为不变量，固定y 的值，用其他技巧把 y 和 f (x, y) 表示的函数抽象出来，这样就得到一个关于 x 的积分：∫a b F (x, y) dx（3）最后外层积分，先把 y 变量作为不变量，把 F (x, y) 抽象出来，再用其他技巧将 y 和 F (x, y) 表示的函数抽象出来，这样就得到一个关于 y 的积分：∫c d G (y) dy（4）通过计算内层积分和外层积分，就可以得到最终的定积分结果：∫a b ∫c d f (x, y) dx dy = ∫c d G (y) dy ∫a b F (x, y) dx总而言之，二重积分公式就是将复杂的定积分变形成两层积分，并用计算内层积分和外层积分的方法来求解定积分的数学方法。
除此之外，二重积分公式还有一些特殊情况。
例如，如果 a=b 或 c=d，那么就可以将二重积分公式变成单重积分。
另外，如果 a=c 且 b=d，那么就可以将二重积分公式变成求面积的公式。
总之，二重积分公式是一种非常有用的数学工具，能够帮助我们快速求解含有双重变量的定积分问题，简化复杂的计算过程，使得定积分的计算变得更加简单易行。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法2. 二重积分的计算法目前所能接触到的方法是：将二重积分化为两次单积分将二重积分化为两次单积分_接下来介绍：①直角坐标系②极坐标③二重积分的换元法（至于二重积分的换元法，仅作简单介绍）2.1 利用直角坐标计算二重积分本质思想是通过画图来判断是先对x还是先对y积分。
（先对哪一个积分不绝对，需要具体问题具体分析，但仍需考虑图形，这里不过多解释为什么，仅给出相关题型的做法）下面的介绍中，默认f(x,y)≥0①有如下闭区域D：∬Df(x,y) dσ=∫abdx∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y) dy（先对y后对x）②∬Df(x,y) dσ=∫cddy∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y) dx（先对x后对y）（注：这里未考虑在立体空间中的形状，但只研究物体在xOy面上的投影即可解决问题）我们称①、②中的区域分别为X型区域、Y型区域。
（按先对、x、y中的哪个积分来命名）若闭区域D既是X型区域，又是Y型区域，则选择哪一种都可以（尽量找简单的）不管先对还是进行积分，要找准积分限不管先对x还是y进行积分，要找准积分限“每个人都有每个人的理解方式，这里我有些解释不出来，大家自行领会吧”注：在解题时，注意使用可加性"可加性"，区间可以分为X型、Y型，既是X型又是Y型的，此时我们对其分别求二重积分即可。
这里给出一个例子来让大家认识到选择正确的积分次序的重要性：计算∬Dy1+x2−y2 dσ，其中区域D是由、、y=x、x=−1、y=1围成的闭区域。
显然D既是X型，又是Y型积分区域，现在我们用两种方法来看一下：①先对y后对x：∫−11dx∫x1y1+x2−y2 dσ（偶函数，想想为什么这里是）=−13∫−11[(1+x2−y2)32|x1] dx=−13∫−11(|x|3−1) dx_（偶函数，想想为什么这里是|x|3）=−23∫01(x3−1)dx=−23(x44−x)|01 =−23⋅(14−1)=12②先对x后对y：∫−11dy∫y1y1+x2−y2dx=∫−11[xy(1+x2−y2)12|1y−∫1yx d[y(1+x2−y2)12]]=∫−11[y2−y2−y2−∫1yx2y1+x2−y2 dx]dy此时还需求∫1yx2y1+x2−y2 dx，难免比较麻烦。
计算二重积分的几种简便方法
计算二重积分的几种简便方法计算二重积分是数学中的重要概念，它在多个领域有着广泛的应用。
对于一些复杂的函数，计算二重积分可能会变得非常繁琐。
人们寻求一些简便的方法来计算二重积分，以提高计算效率。
本文将介绍几种计算二重积分的简便方法，帮助读者更轻松地应对二重积分计算问题。
一、极坐标变换法极坐标变换法是计算二重积分的一种简便方法。
它适用于一些具有极坐标对称性的函数，能够将二重积分转化为单重积分，简化计算过程。
设要计算的二重积分为∬Rf(x,y)dxdy，其中R为xy平面上的一个区域，f(x,y)为被积函数。
如果区域R在极坐标下的描述为R={(r,θ)|α≤θ≤β，g(θ)≤r≤h(θ)}，那么进行极坐标变换时，被积函数f(x,y)要转化为F(r,θ)。
然后利用极坐标的雅可比行列式进行计算，最终将二重积分转化为一个极坐标下的单重积分∫(α,β)∫(g(θ),h(θ))F(r,θ)rdrdθ。
极坐标变换法的优势在于能够简化一些对称性较强的函数的计算过程，减少了计算量，提高了计算效率。
二、直角坐标系下的累次积分法设要计算的二重积分为∬Rf(x,y)dxdy，其中R为xy平面上的矩形区域，f(x,y)为被积函数。
通过内层积分和外层积分的累次积分转化，将二重积分变为∫a∫bf(x,y)dxdy，其中a、b为区间端点。
累次积分法的优势在于适用范围广泛，能够简化一些矩形区域内的二重积分计算问题，提高了计算效率。
三、利用对称性简化计算在计算二重积分时，有时可以利用函数的对称性来简化计算。
如果被积函数具有轴对称性或中心对称性，可以利用这种特性来简化计算过程。
对于具有轴对称性的函数，可以只计算坐标轴的一侧，然后通过对称性得到整个区域的积分值。
对于具有中心对称性的函数，可以只计算某一部分区域，然后通过对称性得到整个区域的积分值。
在计算二重积分时，可以利用积分的线性性质、换元积分法等积分性质来简化计算。
如果被积函数可以拆分为两个函数的和，可以分别计算每个函数的积分，然后将结果相加。
二重积分的计算法
第九章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、利用直角坐标计算二重积分
• 二重积分定义为积分和式的极限．如果 直接用二重积分的定义去计算它的值， 是相当困难的，甚至是不可能的.
• 下面我们根据二重积分的几何意义—曲 顶柱体的体积来导出二重积分的计算方 法.
dx0
f (x, y)dy
解: 积分域由两部分组成:
y
D1
:
0
y
1 2
x2,
0x2
D2
: 0
y 2
8 x2 x2 2
将 D D1 D2 视为Y–型区域 , 则
x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D1 D2
o 22 2 x
D
:
2y x 0 y2
8 y2
2
8 y2
I D f (x, y) d x d y 0 dy 2y f (x, y)dx
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
0
c
a
z=f (x,y)
y
d
y
b
D
x
二重积分的计算 (D是矩形区域z )
I f ( x, y)dxdy
D
D是矩形区域
z
f (x, y y
y)
z=f (x,y)
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
b
0
c
y
Q( y) a f (x, y)dx a
d
y
d
二重积分的计算法
z
z=f (x,y)
D: (y) x (y) cyd
0
c
y
x=(y)
d
y
D
x
x=(y)
I
f ( x , y )d xdy
D
z
z f ( x, y ) y y .
z=f (x,y)
D: (y) x (y) cyd
Q( y ) =
ψ( y )
d
Q( y )dy
d
c
dy
ψ( y )
φ ( y)
f ( x, y )dx
x=(y)
x
二重积分计算的两种积分顺序 I
D: x1(y) x x2(y) cyd
y
f ( x , y )d xdy
D
d
x1 (y) x2(y)
y
c
0
D
x
I=
x ( y )
x ( y )
0 dx 0
a
a
a
x
f ( y )dy dy f ( y )dx
0 y
a
a
(a , a )
f ( y ) x dy (a y ) f ( y )dy 0
a y
0
a
O
a
x
(a x ) f ( x )dx
0
交换积分次序
解
y
0
2a
dx
2 ax 2 ax x
y y
d
x 1 ( y)
d
D
x 2 ( y)
D
x 2 ( y)
直角坐标系下二重积分计算的四种方法
直角坐标系下二重积分计算的四种方法
直角坐标系下二重积分是数学分析中的一个重要概念，它在计算物理量、求解微分方程等方面有着广泛的应用。
在计算二重积分时，我们可以采用以下四种方法：
1. 矩形法：将积分区域划分为若干个矩形，然后在每个矩形内
求出对应的积分值，最后将这些积分值相加即可得到二重积分的值。
2. 改变积分次序：将二重积分中的积分顺序改变，然后利用Fubini 定理将其化为两次一重积分，最后再分别求解两次一重积分，最终得到二重积分的值。
3. 极坐标变换法：将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系
下的二重积分，然后再利用极坐标下的积分公式进行计算。
4. 牛顿-莱布尼茨公式：利用牛顿-莱布尼茨公式，将原函数在
积分区域的两个端点处的函数值相减，即可得到二重积分的值。
这四种方法各有优劣，具体使用哪种方法取决于积分区域的形状、积分被积函数的特点等因素。
熟练掌握这些方法，有助于提高二重积分计算的效率和准确度。
- 1 -。
二重积分的计算法
即等于两个定积分的乘积.
二重积分的计算法
X型区域的特点: 穿过区域且平行于y轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点: 穿过区域且平行于x轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点. (3)积分区域D既是X型:
y
a x b, 1 ( x ) y 2 ( x )
又是Y型:
二重积分的计算法
2 2 x y 2 2 说明: 当f (x, y )在所考虑的区域上连续时 , 当 x y 0, 时, 2 2 2 例如: 设f ( x , y ) ( x y ) 二次积分可以交换积分次序 . 2 2 当x y 0时. 0, 1 1 I1 dx f ( x , y )dy , 0 0 4 1 1 x I 2 dy f ( x , y )dx , 由于 2 2 f ( x , y ), 0 0 x x y 1 1 1 x x 1 故 f ( x , y ) dx 2 dx 2 2 2 2; 0 0 x x y x y 0 1 y 1 1 1 1 1 所以 I 2 dy f ( x , y )dx d y arctan y 0 2 0 0 0 1 y 1 1 1 1 . 0 dx 0 f ( x, y )dy 0 dy 0 f ( x, y )dx. 18 4
0 dx 0
a
a
a
x
f ( y )dy dy f ( y )dx
0 y
a
a
(a , a )
f ( y ) x dy (a y ) f ( y )dy 0
a y
0
a
O
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法在数学的广袤领域中，二重积分是一个重要的概念，它在许多实际问题和理论研究中都有着广泛的应用。
理解和掌握二重积分的计算方法，对于我们解决诸如计算平面区域的面积、物体的质量、重心等问题具有关键意义。
首先，让我们来明确一下二重积分的定义。
二重积分是用来计算在一个平面区域上的函数的累积量。
简单来说，就是把这个区域划分成无数个小的部分，对每个小部分上的函数值乘以小部分的面积，然后把这些乘积加起来。
接下来，我们探讨几种常见的二重积分计算方法。
直角坐标系下的计算方法是基础且重要的。
当积分区域是一个矩形时，计算相对简单。
假设积分区域为＄D ＝＼｛（x,y) ｜ a ＼leq x ＼leq b, c ＼leq y ＼leq d\｝＄，被积函数为＄f(x,y)＄，则二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_a^b ＼left(＼int_c^d f(x,y) ＼，dy ＼right)dx＼这意味着我们先对＄y$ 进行积分，把＄x$ 看作常数，得到一个关于＄x$ 的函数，然后再对＄x$ 进行积分。
如果积分区域不是矩形，而是由直线围成的一般区域，比如＄D ＝＼｛（x,y) ｜＼varphi_1(x) ＼leq y ＼leq ＼varphi_2(x)， a ＼leq x ＼leq b\｝＄，那么二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_a^b ＼left(＼int_{＼varphi_1(x)｝＾｛＼varphi_2(x)｝ f(x,y) ＼，dy ＼right)dx＼这种情况下，我们先对＄y$ 积分，然后对＄x$ 积分。
极坐标系下的计算方法在处理具有圆形或扇形特征的积分区域时非常有用。
在极坐标系中，点的坐标表示为＄（r,＼theta)＄，其中＄r$ 表示点到原点的距离，＄＼theta$ 表示极角。
如果积分区域可以用极坐标表示为＄D ＝＼｛（r,＼theta) ｜＼alpha ＼leq ＼theta ＼leq ＼beta, ＼varphi(＼theta) ＼leq r ＼leq ＼psi(＼theta)＼｝＄，被积函数为＄f(x,y) ＝ f(r\cos\theta, r\sin\theta)＄，那么二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_{＼alpha}＾｛＼beta} ＼left(＼int_{＼varphi(＼theta)｝＾｛＼psi(＼theta)｝ f(r\cos\theta, r\sin\theta) r ＼，dr ＼right)d\theta＼这里需要注意的是，多了一个＄r$ ，这是因为在极坐标下，面积元素＄dx\，dy$ 要换成＄r\，dr\，d\theta$ 。
二重积分简便计算方法
二重积分简便计算方法
二重积分是微积分中的一种重要概念，用于计算平面图形内某一量的值。
但是，对于一些简单的图形，可以使用一些简便的方法来计算二重积分，大大缩短计算时间。
下面介绍几种二重积分简便计算方法。
1. 极坐标变换法
当被积函数在极坐标下具有简单的形式时，可以使用极坐标变换法来简化计算。
具体步骤如下：
（1）将直角坐标系下的积分区域用极坐标方程表示出来；
（2）求出相应的极坐标变换的雅可比行列式；
（3）将被积函数用极坐标表示；
（4）代入二重积分公式进行计算。
2. 对称性法
当积分区域具有对称性时，可以使用对称性法来简化计算。
具体步骤
如下：
（1）利用对称性将积分区域分成若干个部分；
（2）计算其中一部分的积分，然后将结果乘以对称部分的个数。
3. 矩形分割法
当积分区域为矩形形状时，可以使用矩形分割法来简化计算。
具体步骤如下：
（1）将积分区域分成若干个矩形；
（2）对每个矩形进行二重积分的计算，然后将结果相加。
以上三种方法是二重积分常用的简便计算方法，掌握这些方法可以在解决问题时事半功倍。
二重积分四则运算公式
二重积分四则运算公式二重积分的定义是求某一域内的函数的积分，概念是由一重积分到二重积分扩展而来的，而二重积分的计算一般是采用一些公式进行运算。
这里，我们介绍一下二重积分中四则运算的公式，以便读者能够更准确、更方便地积分并得到想要的计算结果。
1.法二重积分加法的公式是：∫∫f(x,y)dxdy+∫∫g(x,y)dxdy=∫∫[f(x,y)+g(x,y)]dxdy其中，f(x,y)代表积分中的函数一，g(x,y)代表函数二，dxdy 代表积分求和，也就是把函数同时积分在一个面积域内，[f(x,y)+g(x,y)]不过是把两个函数相加而已。
2.法二重积分减法的公式是：∫∫f(x,y)dxdy-∫∫g(x,y)dxdy=∫∫[f(x,y)-g(x,y)]dxdy 其中，f(x,y)代表函数一，g(x,y)代表函数二，dxdy代表积分求和，也就是把函数同时积分在一个面积域内，[f(x,y)-g(x,y)]不过是把两个函数相减而已。
3. 乘法二重积分乘法的公式是：∫∫f(x,y)dxdy×∫∫g(x,y)dxdy=∫∫[f(x,y)g(x,y)]dxdy其中，f(x,y)代表函数一，g(x,y)代表函数二，dxdy代表积分求和，也就是把函数同时积分在一个面积域内，[f(x,y)g(x,y)]不过是把两个函数相乘而已。
4.法二重积分除法的公式是：∫∫f(x,y)dxdy÷∫∫g(x,y)dxdy=∫∫[f(x,y)÷g(x,y)]dxdy 其中，f(x,y)代表函数一，g(x,y)代表函数二，dxdy代表积分求和，也就是把函数同时积分在一个面积域内，[f(x,y)÷g(x,y)]不过是把两个函数相除而已。
以上就是二重积分四则运算的公式，它们都能够帮助人们快速、准确地算出二重积分。
在现实应用中，这些公式是实现计算机自动求积分的重要基础，对于域内的函数积分及数值求解有极大的帮助，值得大家反复研习、积极运用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二节 二重积分的计算法
教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法
教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分
教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题
教学内容：
利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的.
一、利用直角坐标计算二重积分
我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题.
讨论中,我们假定 ；
假定积分区域可用不等式 表示,
其中, 在上连续.
据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积.
在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为
一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为
利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为
从而有
(1)
上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对
计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分.
这个先对, 后对的二次积分也常记作
在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的.
例如:计算
解:
类似地,如果积分区域可以用下述不等式
表示,且函数,在上连续,在上连续,则
(2)
显然,(2)式是先对,后对的二次积分.
二重积分化二次积分时应注意的问题
1、积分区域的形状
前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:
对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点.
如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集.
2、积分限的确定
二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二
次积分限的方法
-- 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 )
在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交
点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限；
又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为
.
例1计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域.
类似地,
例2计算, 其中是由抛物线及直线所围成的区域.
例3求由曲面及所围成的立体的体积.
解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在面上的投影区域
消去变量得一垂直于面的柱面 ,立体镶嵌在其中,立体在面的投影区域就是该柱面在面上所围成的区域
2、列出体积计算的表达式
3、配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算
而
由,的对称性有
所求立体的体积为
二、利用极坐标计算二重积分
1、变换公式
按照二重积分的定义有
现研究这一和式极限在极坐标中的形式.
用以极点为中心的一族同心圆 以及从极点出发的一族射线
,将剖分成个小闭区域.
除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域的面积可如下计算
其中,表示相邻两圆弧半径的平均值.
(数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计)
在小区域上取点,设该点直角坐标为,据直角坐标与极坐标的关系有
于是
即
由于也常记作, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式
(1) (1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,就是极坐标中的面积元素.
(1)式的记忆方法:
2、极坐标下的二重积分计算法
极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算.
【情形一】积分区域可表示成下述形式
其中函数, 在上连续.
则
【情形二】积分区域为下述形式
显然,这只是情形一的特殊形式( 即极点在积分区域的边界上 ).
故
【情形三】积分区域为下述形式
显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域的内部),可剖分成与,而
故
则
由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域用极坐标变量表示成如下形式
下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示.
例4将下列区域用极坐标变量表示
1、
2、
Ê先画出区域的简图, 据图确定极角的最大变化范围；
Ë再过内任一点作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样
就得到了极径的变化范围.
注: 本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值.
利用此题结果可求出著名概率积分 .
而被积函数满足 ,从而以下不等式
成立，再利用例二的结果有
,
,
于是不等式可改写成下述形式
故当时有 ,
即 .
3、使用极坐标变换计算二重积分的原则
(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；
(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含, 为实数 ).
例6计算
解此积分区域为
区域的简图为
2016/1
1/5第二节
二重积分的计算法/jpkc/netedu/jpkc/gdsx/homepage/5jxsd/51/513/5309/530902.htm
11/1
1
该区域在极坐标下的表示形式为小结 二重积分计算公式
直角坐标系下
X —型
Y —型极坐标系下
作业 教材161 习题2（I）（2）（3）3（1）（3）4（2）（4）。