常用数理统计公式

1.

∑

==

n

i i

x n

x 1

1 y n

2

1

2

2

1

)(x

n x x x

L n

i i n

i i

xx -=

-=

∑

∑==

2

1

2

2

1

)(y

n y y y

L n

i i n

i i

yy -=

-=

∑

∑==

y

x n y x y y x x L i n

i i i n

i i xy -=

--=

∑

∑

==1

1

)()(

x b y a ˆˆ-= xx

xy L L b /ˆ= )(ˆˆˆˆx x b y x b a y

-+=+= 2.b 的显著性检验

0:,0:10≠=b H b H

拒

)2(-≥=

n r L L L r a yy

xx xy

3. b 的区间估计

)

2(ˆ)ˆ(-=-=

n t b b

L t e

xx σ

)/)2(ˆˆ(2

/1xx e L n t b b -±∈-ασ 2

ˆˆ

2

--=

n b L yy e

σ 4. 预测y 0

)2()

(11ˆˆ2/12

000-→-+

+

--n t L x x n

y

y xx

e ασ

5. 控制

)ˆˆ(ˆ12/1a u y b

x e -+'=

'-ασ

)ˆˆ(ˆ12/1a u y b

x e --''=''-ασ

6. 点估计

2

σn L b L xx

yy 22

ˆˆ-=

σ

其他：))1(

,(ˆ

2

2

xx

L x

n

a N a

+

→σ)

,(ˆ2

xx

L b N b

σ

→

2

)ˆ,ˆc o v (σ

xx

L x b a

-= 0)ˆ,c o v (=b

y r i n 求i x ，2

i s ，x

方差来源（A, e, S T ） 平方和（S A , S e , S T ） 自由度（r-1, n-r ） 方差（e A S S ,）F 值（e A S S /）

),1(1r n r F ---α大否小接受

区间估计（单） 1.1 μ

σ已知，求2

)

1,0(/U N n

x →-=

σμ

)

(2

1α

σμ-

±

∈u

n

x

1.2 μ

σ未知，求2

)

1(/

U *

-→

-=

n t n

s x μ ))

1((2

1*

-±

∈-

n t

n

s

x α

μ

2.1

2

σ

μ已知，求

)

()

(2

2

2

1

2

n u x

n

i i

χσ

χ

→-=

∑=

)

)

()

(,

)

()

((

2

2/2

1

02

2/12

1

02

n x u x

n x u x

n

i i

n

i i

αασ

∑∑=-=--∈

2.2

2

σ

μ未知，求

)1-(S

12

2

2

*2

n n χ

σ

χ

→-=）（ ))

1(S 1,)1(S 1(22/2

*

2

2/12

*2----∈-n x n n x n αασ）（）（ 区间估计（双） 3.1 212221,u -μσσ已知，求

)

1,0()

()(U 2

2

21

2

1

21N n n u y x →+

---=

σσμ

)

)(()(2

12

2

21

2

1

21α

σσμ-

+

±

-∈-u

n n y x u

3.2

212

22

12

u -=μσσσ，求未知

)

2(11)()(U 212

1

21-+→+---=

n n t n n S u y x W

μ

2

212

*12

)

12()1(*

-+-+-=

n n n S

n S S

W

))

2(11)(()(212

12

1

21-++

±-∈--

n n t

n n S y x u W

α

μ

0-1分布 B （1，p ） EX=P DX= p(1-p)

{}()k n k p p k X P --==1 it x pe p -1(t)+=ϕ 二项分布B （n ，p ） EX=nP DX=n p(1-p)

{}()k n k

k

n p p

C k X P --==1 n

)pe p -1((t)

it x +=ϕ

几何分布（n 重伯努利分布） EX=1/p DX= (1-p)/p 2

{}()

1

1--==n p p n X P

泊松分布p(λ)(k=0,1,2…) EX=λ DX=λ

{}λ

λ

-=

=e

k k X P k

!

))1e (exp((t)it x -=λϕ

均匀分布U （a,b ） EX=（b+a ）/2 DX=(b-a)2/12

{}a

b X

P -=

1 )

()

e

e

((t)ait

bit

x

a b it --=ϕ

指数分布 EX=1/λ DX=1/λ2

{}x e X

P λλ-= 1

x )

1((t)

--

=λ

ϕit

正态分布N ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧-=2exp (t)2

2x

t iut σϕ 伽玛分布Γ分布

{}x

e

x

X P βαα

αβ

--Γ=

1

)

( αβ

ϕ--=)1((t )x it

β

α=

EX 2

β

α=DX

2

χ分布 EX=n DX=2n

{}2

2

1

2

2)2

(

x n

n

e

n x X P -

-Γ=

2

x )

21((t)n it -

-=ϕ

F 分布

)2(2

222>-=n n n EX )4()

4()2()2(2222

21212

2>---+=

n n n n n n n DX