练3_垂径定理的应用(苏科版)(解析版)

练习3 垂径定理的应用

1．如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形，拱的跨度AB为24m，点O是AB

̂所在圆的圆心，⊙O的半径为13m，求桥拱的高度．（弧的中点到弦的距离）

【分析】由垂径定理得AD＝BD=1

2

×24＝12（m），设CD＝xm，则OD＝（13﹣x）m，在Rt△AOD中，

根据勾股定理得出方程，解方程即可．

【解答】解：如图所示：过O作OD⊥AB交AB

̂于C，垂足为D，

则AD＝BD=1

2

×24＝12（m），

设CD＝xm，则OD＝（13﹣x）m，

根据勾股定理得：122+（13﹣x）2＝132，

解得：x＝8，

即桥拱的高度为8m．

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．

2．如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面AB宽10cm，水最深3cm，求输水管的半径．

【分析】设圆形切面的半径为r ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点E ，由垂径定理可求出BD 的长，再根据最深地方的高度是3cm 得出OD 的长，根据勾股定理即可求出OB 的长．

【解答】解：设圆形切面的半径为r ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点E ，

则AD ＝BD =12AB =12×10＝5cm ，

∵最深地方的高度是3cm ，

∴OD ＝r ﹣3，

在Rt △OBD 中，

OB 2＝BD 2+OD 2，即r 2＝52+（r ﹣3）2，

解得r =173（cm ），

∴输水管的半径为173cm ．

【点评】此题考查的是垂径定理的应用，解答此类问题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用垂径定理及勾股定理进行解答．

3．“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”．这是《九章算术》中的问题，用数学语言可表述为：如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，CE ＝1寸，AB ＝10寸，求直径CD 的长．

【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．

【解答】解：连接OA ，如图所示，

设直径CD的长为2x，则半径OC＝x，

∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，

∴AE＝BE=1

2AB=

1

2

×10＝5寸，

连接OA，则OA＝x寸，

根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，

解得x＝13，

直径CD的长为2x＝2×13＝26（寸）．

【点评】此题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．4．如图，在破残的圆形残片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，已知AB＝8cm，CD ＝2cm．

（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求出（1）中所作圆的半径．

【分析】（1）在圆形残片上作直线MN是弦BE的垂直平分线，MN交CD于点P，连结AP，以P为圆心，AP为半径的圆为所求残片的圆．

（2）先设圆P的半径为r，根据AB⊥CD和已知条件求出AD=1

2AB，PD＝（r﹣2）cm，在Rt△APD中，

根据AP2＝AD2+DP2，得出r2＝42+（r﹣2）2，求出r即可．【解答】解：（1）作图如下，

（2）设圆P 的半径为r ，

∵AB ⊥CD ，AB ＝8cm ，CD ＝2cm ，

∴AD =12

AB ＝4cm ，PD ＝（r ﹣2）cm ，

在Rt △APD 中，AP 2＝AD 2+DP 2，

∴r 2＝42+（r ﹣2）2，

解得r ＝5，

∴⊙P 的半径为5cm ．

【点评】本题考查了垂经定理的应用和基本作图，用到的知识点是线段垂直平分线的作法与性质、垂径定理、勾股定理的应用，基本作图需要熟练掌握．

5．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且AB ＝26m ，OE ⊥CD 于点E ．水位正常时测得OE ：CD ＝5：24

（1）求CD 的长；

（2）现汛期来临，水面要以每小时4m 的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？

【分析】（1）在直角三角形EOD 中利用勾股定理求得ED 的长，2ED 等于弦CD 的长；

（2）延长OE 交圆O 于点F 求得EF ＝OF ﹣OE ＝13﹣5＝8m ，然后利用84=2(小时)，所以经过2小时桥洞会刚刚被灌满．

【解答】解：（1）∵直径AB ＝26m ，

∴OD =12AB =12×26=13m ，

∵OE⊥CD，

∴DE=1

2 CD，

∵OE：CD＝5：24，

∴OE：ED＝5：12，

∴设OE＝5x，ED＝12x，

∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2＝132，解得x＝1，

∴CD＝2DE＝2×12×1＝24m；

（2）由（1）得OE＝1×5＝5m，

延长OE交圆O于点F，

∴EF＝OF﹣OE＝13﹣5＝8m，

∴8

4

=2(小时)，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．

【点评】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，求阴影部分面积经常运用求出空白面积来解决．

6．如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，求直尺的宽．

【分析】过点O作OM⊥DE于点M，连接OD．

根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”和勾股定理进行计算．

【解答】解：过点O作OM⊥DE于点M，连接OD．

∴DM=1

2 DE．