练3_垂径定理的应用(苏科版)(解析版)

练习3 垂径定理的应用1．如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形，拱的跨度AB为24m，点O是AB̂所在圆的圆心，⊙O的半径为13m，求桥拱的高度．（弧的中点到弦的距离）【分析】由垂径定理得AD＝BD=12×24＝12（m），设CD＝xm，则OD＝（13﹣x）m，在Rt△AOD中，根据勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如图所示：过O作OD⊥AB交AB̂于C，垂足为D，则AD＝BD=12×24＝12（m），设CD＝xm，则OD＝（13﹣x）m，根据勾股定理得：122+（13﹣x）2＝132，解得：x＝8，即桥拱的高度为8m．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．2．如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面AB宽10cm，水最深3cm，求输水管的半径．【分析】设圆形切面的半径为r ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点E ，由垂径定理可求出BD 的长，再根据最深地方的高度是3cm 得出OD 的长，根据勾股定理即可求出OB 的长．【解答】解：设圆形切面的半径为r ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点E ，则AD ＝BD =12AB =12×10＝5cm ，∵最深地方的高度是3cm ，∴OD ＝r ﹣3，在Rt △OBD 中，OB 2＝BD 2+OD 2，即r 2＝52+（r ﹣3）2，解得r =173（cm ），∴输水管的半径为173cm ．【点评】此题考查的是垂径定理的应用，解答此类问题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用垂径定理及勾股定理进行解答．3．“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”．这是《九章算术》中的问题，用数学语言可表述为：如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，CE ＝1寸，AB ＝10寸，求直径CD 的长．【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．【解答】解：连接OA ，如图所示，设直径CD的长为2x，则半径OC＝x，∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，∴AE＝BE=12AB=12×10＝5寸，连接OA，则OA＝x寸，根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，解得x＝13，直径CD的长为2x＝2×13＝26（寸）．【点评】此题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．4．如图，在破残的圆形残片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，已知AB＝8cm，CD ＝2cm．（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求出（1）中所作圆的半径．【分析】（1）在圆形残片上作直线MN是弦BE的垂直平分线，MN交CD于点P，连结AP，以P为圆心，AP为半径的圆为所求残片的圆．（2）先设圆P的半径为r，根据AB⊥CD和已知条件求出AD=12AB，PD＝（r﹣2）cm，在Rt△APD中，根据AP2＝AD2+DP2，得出r2＝42+（r﹣2）2，求出r即可．【解答】解：（1）作图如下，（2）设圆P 的半径为r ，∵AB ⊥CD ，AB ＝8cm ，CD ＝2cm ，∴AD =12AB ＝4cm ，PD ＝（r ﹣2）cm ，在Rt △APD 中，AP 2＝AD 2+DP 2，∴r 2＝42+（r ﹣2）2，解得r ＝5，∴⊙P 的半径为5cm ．【点评】本题考查了垂经定理的应用和基本作图，用到的知识点是线段垂直平分线的作法与性质、垂径定理、勾股定理的应用，基本作图需要熟练掌握．5．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且AB ＝26m ，OE ⊥CD 于点E ．水位正常时测得OE ：CD ＝5：24（1）求CD 的长；（2）现汛期来临，水面要以每小时4m 的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？【分析】（1）在直角三角形EOD 中利用勾股定理求得ED 的长，2ED 等于弦CD 的长；（2）延长OE 交圆O 于点F 求得EF ＝OF ﹣OE ＝13﹣5＝8m ，然后利用84=2(小时)，所以经过2小时桥洞会刚刚被灌满．【解答】解：（1）∵直径AB ＝26m ，∴OD =12AB =12×26=13m ，∵OE⊥CD，∴DE=12 CD，∵OE：CD＝5：24，∴OE：ED＝5：12，∴设OE＝5x，ED＝12x，∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2＝132，解得x＝1，∴CD＝2DE＝2×12×1＝24m；（2）由（1）得OE＝1×5＝5m，延长OE交圆O于点F，∴EF＝OF﹣OE＝13﹣5＝8m，∴84=2(小时)，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．【点评】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，求阴影部分面积经常运用求出空白面积来解决．6．如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，求直尺的宽．【分析】过点O作OM⊥DE于点M，连接OD．根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”和勾股定理进行计算．【解答】解：过点O作OM⊥DE于点M，连接OD．∴DM=12 DE．∵DE＝8（cm）∴DM＝4（cm）在Rt△ODM中，∵OD＝OC＝5（cm），∴OM=√OD2−DM2=√52−42=3（cm）∴直尺的宽度为3cm．【点评】综合运用了垂径定理和勾股定理．7．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r．用角尺的较短边紧靠⊙O，角尺的顶点B（∠B＝90°），并使较长边与⊙O相切于点C．（1）如图，AB＜r，较短边AB＝8cm，读得BC长为12cm，则该圆的半径r为多少？（2）如果AB＝8cm，假设角尺的边BC足够长，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，r=116a2+4．【分析】（1）利用在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122，求出r即可．（2）根据切线的性质，连接OC，则OC⊥BC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，在Rt△OAD中用勾股定理计算求出圆的半径．【解答】解：（1）如图1，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D．则OD＝r﹣8在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122解得：r＝13；答：该圆的半径r为13；（2）①如图2，易知，0＜r≤8时，r＝a；②当r＞8时，如图1：连接OC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，∵BC与⊙O相切于点C，∴OC⊥BC，则四边形ABCD是矩形，即AD＝BC，CD＝AB．在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即：r2＝（r﹣8）2+a2，整理得：r=116a2+4．故答案为：0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，r=116a2+4．【点评】本题考查的是切线的性质，根据切线的性质，利用图形得到直角三角形，然后用勾股定理计算求出圆的半径．8．如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求：（1）桥拱的半径；（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为10米．【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）由垂径定理求出MH，由勾股定理求出EH，得出HF即可．【解答】解：（1）如图，设点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB于F，延长EF交圆于点D，则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF＝FB=12AB＝40，EF＝ED﹣FD＝AE﹣DF，由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣DF）2，设圆的半径是r，则：r2＝402+（r﹣20）2，解得：r＝50；即桥拱的半径为50米；（2）设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H，连接EM，如图2所示则MH＝NH=12MN＝30，∴EH=√502−302=40（米），∵EF＝50﹣20＝30（米），∴HF＝EH﹣EF＝10（米）；故答案为：10．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用；由垂径定理和勾股定理求出半径是解决问题的关键．9．如图是一座跨河拱桥，桥拱是圆弧形，跨度AB为16米，拱高CD为4米．（1）求桥拱的半径R．（2）若大雨过后，桥下水面上升到EF的位置，且EF的宽度为12米，求拱顶C到水面EF的高度．【分析】（1）利用直角三角形，根据勾股定理和垂径定理解答．（2）在Rt△OEM中，求出OM即可解决问题；【解答】解：（1）如图，设圆心为O．连接OA，OE．在Rt△AOD中，∵AO2＝OD2+AD2，∴R2＝64+（R﹣4）2，解得R＝10；（2）在Rt△OEM中，∵OE2＝EM2+OM2，∴100＝36+OM2，解得OM＝8，∴CM＝8﹣6＝2，即拱顶C到水面EF的高度是2米．【点评】此题主要考查了垂径定理的应用题，解题的关键是利用垂径定理和勾股定理求线段的长．10．如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD＝10cm，水深GF＝1cm，若水面上升1cm（EG＝1cm），则此时水面宽AB为多少？【分析】连接OA、OC．设⊙O的半径是Rcm，则OG＝（R﹣1）cm，OE＝（R﹣2）cm．根据垂径定理，得CG＝5cm．在直角三角形OCG中，根据勾股定理求得R的值，再进一步在直角三角形OAE中，根据勾股定理求得AE的长，从而再根据垂径定理即可求得AB的长．【解答】解：如图所示，连接OA、OC．设⊙O的半径是Rcm，则OG＝（R﹣1）cm，OE＝（R﹣2）cm．∵OF⊥CD，∴CG=12CD＝5cm．在直角三角形COG中，根据勾股定理，得R2＝52+（R﹣1）2，解得R＝13．在直角三角形AOE中，根据勾股定理，得AE=√132−112=4√3cm．根据垂径定理，得AB＝8√3（cm）．【点评】本题考查了垂径定理的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．11．在直径为10cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图，油面宽AB为6cm，当油面宽AB为8cm时，油上升了多少cm？【分析】连接AO，过点O作OC⊥AB于点C，根据垂径定理结合勾股定理求出当AB＝6cm和8cm时OC的长度，由此即可得出结论．【解答】解：连接AO，过点O作OC⊥AB于点C，如图所示．∵OC⊥AB于C，且AB为弦，∴AC=12AB．当AB＝6cm时，在Rt△OAC中，OA=102=5cm，AC＝3cm，∴OC=√OA2−AC2=4cm；当AB＝8cm时，在Rt△OAC中，OA=102=5cm，AC＝4cm，∴OC=2−AC2=3cm．∴4cm﹣3cm＝1cm．同理，当A′B′＝8cm时，油上升了7cm答：油上升了1cm或7cm．【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，解题的关键是求出OC的长，根据OC的变化得出结论．12．如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为12米，拱顶高出水面4米．（1）求这座拱桥所在圆的半径．（2）现有一艘宽5米，船舱顶部为正方形并高出水面3.6米的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．【分析】（1）首先连接OA，设这座拱桥所在圆的半径为x米，由垂径定理，易得方程：x2＝（x﹣4）2+62，解此方程即可求得答案；（2）连接OM，设MN＝5米，可求得此时OH的高，即可求得OH﹣OD的长，比较3.6米，即可得到此时货船能否顺利通过这座拱桥．【解答】解：（1）连接OA，根据题意得：CD＝4米，AB＝12米，则AD=12AB＝6（米），设这座拱桥所在圆的半径为x米，则OA＝OC＝x米，OD＝OC﹣CD＝（x﹣4）米，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，则x2＝（x﹣4）2+62，解得：x＝6.5，故这座拱桥所在圆的半径为6.5米．（2）货船不能顺利通过这座拱桥．理由：连接OM，设MN＝5米，∵OC⊥MN，∴MH=12MN＝2.5（米），在Rt△OMH中，OH=√OM2−MH2=6（米），∵OD＝OC﹣CD＝6.5﹣4＝2.5（米）∵OH﹣OD＝6﹣2.5＝3.5（米）＜3.6米，∴货船不能顺利通过这座拱桥．【点评】此题考查了垂径定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．13．用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径．【分析】AB可看作圆内的弦，CD是圆的切线．连接圆心和切点，作出半径来构成直角三角形求解．【解答】解：连接OA、OE，设OE与AB交于点P，如图∵AC＝BD，AC⊥CD，BD⊥CD∴四边形ACDB是矩形∵CD＝16cm，PE＝4cm∴P A＝8cm，BP＝8cm，在Rt△OAP中，由勾股定理得OA2＝P A2+OP2即OA2＝82+（OA﹣4）2解得：OA＝10．答：这种铁球的直径为20cm．【点评】本题考查常用的辅助线作法：连接圆心与切点，作出半径来构成直角三角形求解．建模是关键．14．图1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展̂所在圆的圆心为O．车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求开图是矩形．图2是车棚顶部截面的示意图，AB覆盖棚顶的帆布的面积．（不考虑接缝等因素，计算结果保留π）【分析】根据题意，由圆的基本性质，可通过作辅助线建立模形，利用垂径定理解答，也可用相交弦定理来解．【解答】解：连接OB ，过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，交AB̂于F ，如图， 由垂径定理，可知：E 是AB 中点，F 是AB̂中点， ∴EF 是弓形高，∴AE =12AB ＝2√3，EF ＝2，设半径为R 米，则OE ＝（R ﹣2）米，在Rt △AOE 中，由勾股定理，得R 2＝（R ﹣2）2+（2√3）2，解得R ＝4，∵sin ∠AOE =AE OA =√32，∴∠AOE ＝60°，∴∠AOB ＝120度．∴AB ̂的长为120×4π180=83π（m ）， ∴帆布的面积为83π×60＝160π（平方米）．【点评】本题考查用方程解几何问题，方程是解决几何有关计算问题的有效的方法和工具，通常结合勾股定理的形式出现．部分学生遇此问题，不能将实际问题抽象为数学问题．突破方法：联系实际，将车棚顶部展开得长方形，其长为车棚长，宽为弧AB 长．解题关键：在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题．。