ch5-双曲型方程的差分方法

2、比较截断误差
迎风格式：(a>0)
u n 1 j
u
n j
a
u
n j 1
u
n j 1
2h
ah 2
un j 1
2u
n j
h2
u
n j 1
Lax Friedrichs格式改写为
u n1 j
u
n j
a
u
n j 1
un j 1
2h
h
2
un j 1
2u
n j
h2
u
n j 1
1
a
ah 2
un j 1
2u
n j
Lax-Wendroff格式：
un1 j
u
n j
1 2
a
un j 1
un j 1
1 a22
2
un j 1
2u
n j
un j 1
此格式具有二阶精度,O( 2 h2 ).
利用Fourier方法分析稳定性，得增长因子为：
G, k 1 2a22 sin2 kh ia sin kh
2
G, k 2 1 4a22 1 a22 sin4 kh 2
微分方程的依赖区域 x j atn
右偏格式：
差分方程的依赖区域u0j
,
u0j1,
u0 j2
,......,
u0 jn
显然，微分方程的依赖区域在差分方程的依赖区域之外，
不满足CFL条件，所以格式不稳定。
左偏格式（迎风格式）：
差分方程的依赖区域u0j
,
u0j -1 ,
u0 j-2
,
......,
u0 j -n
u x
,
2u x2
u x
n j
u(x j1, tn ) u(x j1, tn ) 2h
O(h2 )
2u n
x
2
j
u(x j1, tn ) 2u(x j , tn ) h2
u(x j1, tn )
O(h2)
得到：
u(
x
j
,
tn1
)
u(
x
j
,
tn
)
a 2
h
u(x j1,tn ) u(x j1,tn )
CFL 条件 : x jn x j atn x j a 1
实际上 a 1 也是稳定性的充分条件
中心格式： 差分方程的依赖区域
u
0 j -n
,
,
....,
u
u 0
j -2,
0 j -2
,
u 0j
,
u
0 j 1
,
u
0 j2
,
......,
u
0 jn
CFL条件:x jn x j atn x jn | a | 1
此格式也可以理解为在不稳定的中心差分格式
的基础上适当的增加了一个起耗散作用的扩散
项 h2
2
2u x2
0，（在固定，h
0），从而提高
稳定性，此格式也称为耗散中心差分格式。
截断 误差 为：R
h2
2
2u x 2
O（
h2）
3、Lax-Wendroff格式
1960年Lax和Wendroff 构造了一个二阶精度的二层格式。 构造的思想是利用Taylor展开式及方程本身。
1954年Lax和Friedrichs分别提出格式：
un1 j
1 2
un j 1
un j 1
a
u
n j 1
u
n j 1
0
2h
即：u
n1 j
1 2
u
n j 1
u
n j 1
1 2
a
u
n j 1
u
n j 1
此格式的截断误差为：O h2 O( h2 )
令u
n j
vneikjh，有
vn1 [ 1（eikh eikh） a（eikh eikh）]vn
2、条件稳定的，稳定性条件为：| a | 1
3、条件收敛的，收敛条件为：| a | 1
两种格式的比较:
1、它们的精度都是一阶的精度,在实际应用中, L-F格式可以不考虑对应方程的特征线的走向, 而迎风格式却要考虑其走向.
注、如果迎风格式写成统一格式,也不必考虑特征线走向， 但多了绝对值的计算。
1
a
u
n j 1
1 2
u
n j 1
u
n j 1
1 2
a
u
n j 1
u
n j 1
(3)若 用B,C, D三 点 作 抛 物 插 值 ， 有 ：
U P U Q U B x x j x x j1 x j1 x j x j1 x j1
U C x x j1 x x j1 U D x x j1 x x j
第五章 双曲型方程的差分方程
第一节 一阶线性常系数双曲型方程
设一阶线性方程为
u
a
u
0
t x
ux,0 f x
x
为了讨论方便，设常数 a 0 。对流方程的特征方程是常微分方程 dx adt 0 ，求解出此微分方程，得到一组解， x at 。很显然，
P10 它们是一组相互平行的直线（如下图所示），称这组直线为对流方
U P U Q at U B x at U C
x
x
得：u nj 1
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
这是迎风格式。
(2)若用B，D两点进行线性差值，
有U P U Q h a U D h a U B
2h
2h
得Lax Friedrichs格式：
u
n1 j
1 2
1
a
u
n j 1
1 2
5、 利用特征线构造差分格式
设t
t n 层上各网格点A,
B,C,
D上得u
n已计算出。
j
现计算t
t
n1层上P点的值u
n1：
j
设a 0，过P向下作特征线x at x j atn
交t tn于Q点，则有U P U Q。
对于U Q用不同的插值，可得不 同的差分格式：
(1)若用B，C两点进行线性差值，
h2
un j 1
左端相同
u
n1 j
u
n j
a
u
n j 1
u
n j 1
2h
它们都以O（ h2）趋近对流方程。
L-F格式的右端项：
1
a
ah 2
un j 1
2u
n j
h2
un j 1
由稳定性的限制条件a 1，如果取a 1，
则上面的2个式子相等。如果小于1，则L F
格式的截断误差比迎风截断误差大。
①隐式中心
u
n j
u
n1 j
a
u
n j 1
u
n j 1
0
2h
即：au
n j 1
2u
n j
aunj1
2unj 1
截断误差：E O h2
增长因子：G, k
1
1 ai sin kh
1 ai sin kh 1 a22 sin2 kh
G, k 2
1
1 a22 sin 2
kh
1
格式无条件稳定。
隐式中心格式的性质：
1、满足相容性，对时间一阶，对空间二阶精度，
截断误差为：T(xj ,tn ) O( h2)
2、无条件稳定
3、无条件收敛
注、计算上需要人工边界条件
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
a
un j 1
u
n j
u
n j
1 2
a a
u
n j
u
n j 1
1 2
a a
un j 1
u
n j
迎风格式的性质：
1、满足相容性，一阶精度，
截断误差为： T (x j , tn ) O( h) 2、条件稳定的，稳定性条件为：| a | 1
3、条件收敛的，收敛条件为：| a | 1
几种典型的差分格式
• 迎风格式 • Lax-Friedrichs格式 • Lax-Wendroff格式 • Courant-Friedrichs-Lewy条件 • 利用特征线构造差分格式 • 隐式格式 • 蛙跳格式
1、迎风格式
迎风格式的思想:在对微商进行近似的时候,关于空间导数
用在特征线方向一侧的单边差商来代替，于是有如下格式：
因此，必须有xj lh x jl xj atn xjm xj mh
才能稳定，这就是保证稳定性的Courant条件。
注：即差分方程解的依赖区域包含微分方程解的依赖区域
注、Courant条件是保证稳定性（收敛性） 的必要条件，而非充分条件。
例如：针对一维对流方程的差分格式的CFL条件 （a>0）
wenku.baidu.com
格式不稳定,所以CFL条件不是稳定性的充分条件
Lax-Wendroff格式：
差分方程的依赖区域
u
0 j -n
,
,
....,
u
u 0
j -2,
0 j -2
,
u
0 j
,
u
, 0
j 1
u
0 j2
,
......,
u0 jn
CFL条件:x jn x j atn x jn | a | 1
实际上| a | 1 也是稳定性的充分条件
当a 1时，差分格式稳定。
Lax-Wendroff格式的性质：
1、满足相容性，二阶精度，
截断误差为：T (xj ,tn ) O( 2 h2)
2、条件稳定的，稳定性条件为：| a | 1 3、条件收敛的，收敛条件为：| a | 1
4、Courant-Friedrichs-Lewy条件
由差分方程解的依赖区域与微分方程解的依赖区域 的关系导出的差分方程收敛的必要条件
u(x
j
, tn1)
u(xj
, tn
)
[ u
t
]nj
2
2
[ 2u 2t
]nj
O(
3)
利 用 微 分 方 程 有：u a u
t
x
2u t 2
（ t
a
u） x
a2
2u x 2
代入上面的式子,于是有
u(x
j
,
tn 1 )
u(x
j
,
tn
)
a
[
u x
]nj
a2
2
2
[
2u 2x
]nj
O(
3)
并用中心差商近似
(4)若用A, B,C三点进行抛物插值，得 二阶迎风格式：
un1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
1 a 1 a
2
u
n j
2u
n j 1
un j2
Beam-Warming格式
此格式具有二阶精度：E O 2 h2
且增长因子：
G, k 1 2ar sin2 kh 1 a1 a 4sin4 kh sin2 kh
22
2
ia
sin
k h1
1
a sin2
kh 2
G, k 2 1 4a2 a 1 a 4 sin 4 kh
2
故当a 2时，二阶迎风格式稳定。
如果a 0，
二阶迎风格式为：
un1 j
u
n j
a
un j 1
u
n j
1 ar 1 a 2
un j2
2u
n j 1
u
n j
6、隐式格式
x at x j atn1
x at x j atn1
P
n+1
P
n+1
AB CD Q
n
j-2 j-1 j j+1 j+2
a>0
a 0
u n 1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
0,
h
un1 j
1 a
u
n j
au
n j 1
AB CD Q
n
j-2 j-1 j j+1 j+2
a<0
a 0
x j x j1 x j x j1
x j1 x j1 x j1 x j
U C aU C U B
1 a1 a U B 2U C U D
2
得Lax - Wendroff格式：
un1 j
u
n j
1 2
a
un j 1
un j 1
1 a22
2
un j 1
2u
n j
un j 1
2
2
（cos kh ia sin kh）vn
而且其增长因子为：
G(,k) | coskhia sin kh|
G , k 2 1 1 a22 sin2 kh
故当a 1时，
Lax - Friedrichs格式稳定。
Lax-Friedrichs格式的性质：
1、满足相容性，一阶精度，
截断误差为：T(xj ,tn ) O( h )
O(
h2)
1 a（2 ）2 2h
u(xj1,tn ) 2u(x j ,tn ) u(x j1,tn )
O（ 2h2） O（ 3）
略去高阶项得到差分方程：
un1 j
u
n j
a 2
h
un j 1
un j 1
1 2
a（2 ）2
h
un j 1
2u
n j
u
n j 1
Lax-Wendroff格式
一 般 的 ， 双 曲 型 方 程 的差 分 格 式 中 的unj， 会
涉 及 到 初 值 ：u0jl , u0jl1 ,
u
0 j
,
u 0j m
那 么x轴 上 的x jl , x jm 内 的 节 点 ， 即 是 差 分 方程
的
解u
n的
j
依
赖
区
域
，
而unj u x j , tn f x j atn
u n 1 j
u
n j
a
u
n j 1
u
n j
0
un1 j
1 a
u
n j
au
n j 1
若引入:
a
mina,0
1 2
a
a
a 0
a0 a0
a
maxa,0
1 2
a
a
a 0
a0 a0
迎风格式可统一成：适用于变系数的情形
u n 1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
a
u
n j 1
u
n j
0,
h
h
un1 j
程的特征线。
t
(x0 ,t0)
x –at=
0 (x0 -at0 ,0)
x
采用对流方程开始研究双曲型方程的数值解法的原因：
第一、对流方程非常简单，对它的研究是探讨更复杂 的双曲型方程（组）的基础。 第二、尽管对流方程简单，但是通过它可以看到双 曲方程在数值计算中特有的性质和现象。 第三，利用它的特殊的、复杂的初值给定，完全可以 用来检验数值方法的效果和功能。 第四、它的差分格式可以推广到变系数双曲方程（组） 以及非线性双曲方程领域。
2、Lax-Friedrichs 格式
中心差分格式
un1 j
u
n j
a
un j1
un j1
0
2h
用Fourier分析方法分析此格式的稳定性。
设u
n j
vneikjh于是有
vn1 （1-ia sin kh)vn
| G(, k) ||1 ia sin kh| 1 a22 sin2 kh
所以此格式绝对不稳定.