导数的概念及计算、定积分检测题

导数的概念及计算、定积分检测题

（试卷满分100分，考试时间90分钟）

一、选择题（每小题5分，共40分）

1．已知函数f (x )＝1

x

cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2等于( ) A ．－3

π2

B ．－1π2

C ．－3π

D ．－1π

解析：选C 因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2

π×(－1)＝－3π

. 2.(2020·沈阳一中模拟)曲线f (x )＝2e x sin x 在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝2x C ．y ＝x

D ．y ＝－2x

解析：选B ∵f (x )＝2e x sin x ，∴f (0)＝0，f ′(x )＝2e x (sin x ＋cos x )，∴f ′(0)＝2，∴所求切线方程为y ＝2x .

3.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3

2t 2＋2t ，那么速度为

零的时刻是( )

A ．0秒

B ．1秒末

C ．2秒末

D ．1秒末和2秒末

解析：选D ∵s ＝13t 3－3

2t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2.令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1

＝1或t 2＝2.

4.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )

A.1

3 B.310 C.14

D.15

解析：选A 由⎩⎨⎧ y ＝x 2，

y ＝x ，

解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛0 1 (x －

x 2

)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－13x 3⎪⎪⎪

1

＝13

.

5.设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为

⎣⎡⎦

⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，－1

2 B. [－1,0] C. [0,1]

D. ⎣⎡⎦⎤

12，1

解析：选A 设P (x 0，y 0)，P 点处切线倾斜角为α， 则0≤tan α≤1，由f (x )＝x 2＋2x ＋3，得f ′(x )＝2x ＋2， 令0≤2x 0＋2≤1，得－1≤x 0≤－1

2

.故选A.

6.已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 021(x )＝( )

A ．－sin x －cos x

B ．sin x －cos x

C ．－sin x ＋cos x

D ．sin x ＋cos x

解析：选D ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，…， ∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，

∵2 021＝505×4＋1，∴f 2 021(x )＝f 1(x )＝sin x ＋cos x .

7．已知函数f (x )＝1

2

x 2sin x ＋x cos x ，则其导函数f ′(x )的图象大致是( )

解析：选C 由f (x )＝1

2x 2sin x ＋x cos x ，

得f ′(x )＝x sin x ＋1

2x 2cos x ＋cos x －x sin x

＝1

2

x 2cos x ＋cos x . 由此可知，f ′(x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项A 、B.又f ′(0)＝1，故选C.

8．[数学抽象、逻辑推理]若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )

A.⎝⎛⎭⎫－1

2，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－1

2，＋∞ C ．(0，＋∞)

D ．[0，＋∞)

解析：选D f ′(x )＝1

x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，

根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，

所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1

x 2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范

围为[0，＋∞)．故选D.

二、填空题（每小题5分，共25分）

9．若函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪

⎧

x ＋1，x <0，cos x ，0≤x ≤π

2，则f (x )与x 轴围成封闭图形的面积为________． 解析：S ＝⎠⎛0－1(x ＋1)d x ＋∫π20cos x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x |0－1＋sin x |π20＝12＋1＝3

2. 答案：3

2

10．(2020·重庆质检)若曲线y ＝ln (x ＋a)的一条切线为y ＝e x ＋b ，其中a ，b 为正实数，则a ＋e b ＋2

的取值范围为________．

解析：由y ＝ln (x ＋a)，得y ′＝1

x ＋a

.设切点为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧

1x 0

＋a ＝e ，ln (x 0＋a )＝e x 0＋b ⇒b

＝a e －2.∵b>0，∴a>2

e

，

∴a ＋e b ＋2＝a ＋1

a ≥2，当且仅当a ＝1时等号成立．

答案：[2，＋∞)

11.若一直线与曲线y ＝ln x 和曲线x 2＝ay(a>0)相切于同一点P ，则a 的值为________． 解析：设切点P(x 0，y 0)，则由y ＝ln x ，得y ′＝1

x ，

由x 2

＝ay ，得y ′＝2

a

x ，则有⎩⎪⎨⎪⎧

1x 0

＝2

a x 0

，y 0

＝ln x 0

，x 2

＝ay 0

，

解得a ＝2e .

答案：2e

12.如图，已知y ＝f (x )是可导函数，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4