第二章 信号分析基础(随机信号与相关分析)090310

正弦波加随机噪声：自相关函数在τ很大时都不衰减；
宽带随机噪声：自相关函数很快衰减为零； 窄带随机噪声：自相关函数有较慢的衰减特性。
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2)互相关函数：
或
1 T Rxy ( ) lim x(t ) y (t )dt T T 0 1 T R yx ( ) lim y (t )x(t )dt T T 0

将不同时移τ的计算值标在图上，两点连 线，就可以得到信号的相关函数曲线。
*

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意义：
自相关函数是区别信号类型的一个非常有效的手段，
• 只要信号中有周期成分，自相关函数τ很大时都不衰减，带
有明显周 期性；
• 信号中不包含周期成分的随机信号，当τ稍大时，自相关函 数都趋于0 见书图2－27 正弦波：周期信号，自相关函数也为周期函数；
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波形变量相关的概念（相关函数 ）
如果所研究的变量x, y是与时间有关的函数， 即x(t)与y(t)：
x(t)
y(t)
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这时可以引入一个与时间τ有关的量，称为 函数的相关系数，简称相关函数，并有：
x ( t ) y ( t ) dt xy ( ) 2 [ x ( t ) dt y 2 ( t ) dt ]1/ 2
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2.6 随机信号
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比如：对每日气温的观测，以天为单位，每天的观测构成一个样本函数。
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各态历经（遍历）性：在平稳随机过程中，任一单个样本 函数的时间平均统计特性等于该过程的集合平均统计特征。 即任一个样本都可把整体的各种可能出现的情况显示出来。
电感式轮廓 仪测量表面
性质4:提取出回转误差等周期性的故障源。
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案例：自相关测转速
理想信号
实测信号
自相关系数
干扰信号
从自相关图可以确定周期因素的 频率，从而得到转速大小。
性质4：可提取周期性转速成分。
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案例：互相关分析对地下输油管道漏损位置的探测
x1,x2处放置传感器1，2，漏损处k视为向两侧传播声波的声源。因两 传感器位置离漏损处不等，其声波传到传感器就有时差，信号x1,x2 做相关分析，找出相关值最大时的τ ，即可确定漏损位置。 （在互相关图上， τ= τm处，Rx1x2(τ)的最大值τm就是时差）
X1
1 1 v(t 2 t 1) v m 2 2 s 两传感器的中心至漏损 处的距离 S v 声音在管道中的传播速 度
X2
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案例：地震位置测量
设想3座地震观测台记录同一个地震，且位于震源的不同方向上。这3座台站 的观测人员能够读到P波抵达时间，有时也读到S波的抵达时间（因为P波传播 速度比S波传播速度大约快2倍，所以这两种波传播得越远，它们的波前分离 间隔就越宽）。如果有了P波和S波抵达的时间，从这两种波型抵达某台时间 间隔将可以直接求得震源到该记录台的距离。然后，画3个圆，每个圆以一座 地震台为圆心，半径是计算得到的距离（震中距）。这3个圆将相交，至少是 近似的相交于所要求的震中。
H ( )
2
, S y 输出自谱
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测量中噪声干扰的评定及相干函数的计算
若测量中存在噪声干扰，则被测信号x(t)和y(t)存在测量误 差，从而影响传递函数，频率响应函数的测量。干扰用相 干函数来评价：
( )
2
xy xy
S xy ( )
2
S x ( ) S y ( )
T 0
2

, 令t ＝，则dt
d

A2 Rxx ( ) 2

2
0
A2 sin sin( )d cos 2
∴Rxx(τ)不反映相位信息θ，只反映幅值。
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图例:
计算正弦波信号自相关函数，在τ＝0，π/2， π的自相关函数值情况
*
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2.6 信号的
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Rx ( )是实偶函数，故 S x ()也是实偶函数
1 T 1 2 2 Rx (0) lim T x (t )dt S x ( f )df或 T T 2 2



S x ( )d
S x ( )曲线下面和频率轴所包 围的面积为信号的平均 功率， 所以S x ( )就是信号的功率谱密度 沿频率轴的分布，简称 功率谱
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功率谱与传递函数、频率响应函数的关系
H ( ) S xy ( ) S x ( ) , S xy 输入输出互谱， S x 输入自谱
互相关函数包含相位信息，因此系统的频率 响应函数既有幅频特性又有相频特性
S y ( ) S x ( )
•集合平均：不是沿单个样本的时间轴进行，而是将集 合中所有样本函数对同一时刻ti的观测值取平均；（纵 向）
•时间平均：单个样本的时间历程进行平均；（横向）
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工程中很多随机信号具有各态历经性，由 于不可能观测足够多的样本函数来描述一 个随机过程，故工程中常以一个或几个有 限长度的样本记录来推断整个随机过程， 以时间平均来估计集合平均。这就使得信 号的分析处理简化了
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2.6 随机信号 二. 幅值域描述 1．均值：
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1 T ux lim x(t )dt T T 0
2．方差：
――直流分量
x
2
1 T lim [ x(t ) ux ]2 dt ――波动程度/分量 T T 0
2 x
其正平方根即为标准偏差，是随机数据分析的重要参数。
1 3．均方值： lim T T

T
0
x (t )dt
――信号的强度或平均功率
2
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4．概率密度函数：
x(t)的瞬时值落在某一个
( x, x x) 区间内的概率是
Tx P[ x x(t ) x x] lim T T
n
式中：T－观测时间
Tx ti
i 1
表示信号幅值在T时间内落在 （x,x+△x）区间的总时间。
2.6 随机信号 概率密度函数：
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∴ 给出随机信号幅值的分布规律，不同的随机信号有不同 的概率密度函数图形,可用来判断信号的性质.
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2.5信号的相关分析
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例：
x(t ) A sin(0t x )
y(t ) B sin(0t y )
y x AB AB 则 Rxy ( ) cos(0 y x ) cos 0 ( ) 2 2 0
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相关分析的工程应用
相关函数反映了二个信号在时移中的相关性。
x(t) y(t) y(t) y(t) y(t)

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源自文库
1)自相关函数：
1 T Rxx ( ) lim x(t )x(t )dt T T 0
周期信号 非周期信号
Rxx ( ) x(t )x(t )dt

,0 2 ( ) 1 xy
2 ( ) 0, x(t )和y (t )在频率上不相干； 2 ( ) 1, x(t )和y (t )在频率完全相干；
xy
02 ( ) 1, x(t )和y (t )受外界噪声干扰，系统 非线性； xy
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相关函数描述了两个信号或一个信号自身不同时刻 的相似程度，通过相关分析可以发现信号中许多有 规律的东西。
应用：可用于检测周期信号的存在。
由性质知，自相关函数有助于检测混淆在随机过 程中确定性周期信号。
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案例：机械加工表面粗糙度自相关分析
图a:表面粗糙度，图b:自相关函数图，看 出随机信号在原点处有较大相关性，随τ增 大而衰减，此后呈现周期性，表明造成粗 糙度的原因中包含有某种周期因素，如： 轴向测－走刀的周期变化； 切向测－主轴回转振动周期变化
x(t)
y(t)
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算法：令x(t)、y(t)二个信号之间产生时差τ，再相 乘和积分，就可以得到τ时刻二个信号的相关性。
x(t) y(t)
时 延 器
乘 法 器
X(t)y(t - τ)
积 分 器
Rxy(τ)
y(t - τ)
自相关函数：x(t)=y(t)
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例：
x(t ) A sin(t ) 1 T Rxx ( ) lim A sin(t )A sin[ (t ) ]dt T T 0 正弦函数是一个零均值 的各态历经随机过程， 其各种平均值可以用 一个周期内的平均值表 示： 1 T0 2 A sin(t ) sin[ (t ) ]dt T0 0