正余弦定理-实际问题应用举例

CD sin ADC a sin AC sin CAD sin( ) a sin sin AB AE h AC sin h h sin( )
探究（2）：利用俯角
B
C
例4.在山顶铁塔上B处测得地面上 一点A的俯角 =54°40′，在塔 底C处测得A处的俯角 =50°1′。 已知铁塔BC部分的高为27.3m， 求出山高CD(精确到1m)
2.实际问题处理方法
实际问题
抽象概括 示意图
数学模型 推 演 理 算
实际问题的解
还原说明
数学模型的解
（二）测量----高度
探究（1）：利用仰角
例3.如图， AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑的最高 点，试设计一种测量建筑物高度AB的方法。 解：选择一条水平基线HG，使 H、G、B三点在同一条直线上。 在H、G两点用测角仪器测得A 的仰角分别是、， CD=a， 测角仪器的高是h， 那么，在△ACD中，根据正弦 定理可得
第一章 解三角形
1.2
学习目 标
应用举例
1.熟记正弦定理、余弦定理、余弦定理的推论、三角形面积公式; 2.会用正弦定理、余弦定理及有关结论求解距离、角度、高度等问 题. 重点:解三角形在实际中的应用; 难点:把实际问题中的条件和所求转化为三角形中的已知和未知的 边角,建立数学模型求解.
重点难 点
1.现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物的 高度呢？(例如：测山高，楼高，塔高)
2.在实际的航海生活中 ,人们也会遇到如下的问题：在浩 瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的 航速和航向呢？ 今天我们就来共同探讨这些方面的问题.
一、基本概念
解斜三角形中的有关名词、术语：
（1）坡度：斜面与地平面所成的角度。 （2）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中， 视线在水平线上方的角叫仰角， 视线在水平线下方的角叫俯角。 （3）方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角。如：西偏北 （4）方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的夹角。
速度向正东航行，乙船以每小时20km的速度沿南偏东60°航行， 1小时后甲乙两船分别到达A，C两点， 求：A，C两点的距离，以及在A点观察C点的方向角。
四、小结
1.解三角形应用题的一般步骤：
(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图.
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽
量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型. (3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形， 求得数学模型的解. (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得 出实际问题的解.
（三）测量----角度
例3：某巡逻艇在A处发现北偏东45º 相距9海里的C处有一艘走私船，
正沿南偏东75º 的方向以10海里/小时的速度逃窜. 巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追击， 问巡逻应该沿什么方向去追？需要多少时间才追上该走私船？
°
变式：甲乙两船同时从B点出发，甲船一每小时10(√3+1)km的
1．若水平面上点 B 在点 A 南偏东 30° 方向上，则点 A 处测得点 B 的方位角是( ) A．60° B．120° C．150° D．210°
二、应用举例
探究（1）：一个不可到达点的距离测量
（一）测量----距离
例.在三角形ABC中，AC=55m，∠BAC＝51o， ∠ACB＝75o 求：A、B两点间的距离（只要求化简，不计算）
A
C
B
思考2：取水平基线CD，只要测量出哪些 数据就可计算出AC的长？
A
D
C
B
思考3：设在点C、D出测得A的仰角分别 为α 、β ，CD=a，测角仪器的高度为h， 那么建筑物高度AB的计算公式是什么？
A
DFra Baidu bibliotek
C
B
a sin a sin b A B = A C sin a + h = +h sin(a - b )

D 解：依题意可知，在△ABC中， ∠ABC=90o-， ∠BAD= ， ∠CAD= ∴∠BAC=- AC ∵根据正弦定理， BC sin BAC sin ABC
BC sin ABC BC sin(90 ) BC cos AC sin BAC sin( ) sin( )
（二）测量----高度 例2：为测量某塔AB的高度，在一栋与塔AB相相距20m的楼的
楼顶处测的 得塔顶A的仰角为30°，测的塔基B的俯角 为45°，则塔AB的高度为多少m?
变式：D、C、B在地面同一直线上，DC=100米，
从D、C两地测得A的仰角分别为30°和45° ，则A点离 地面的高AB等于（ ）米 A．100 B.50√3 C．50（√3+1） D．50（√3-1）
A
一、例题
∵在Rt△ACD中，
B
C


CD AC sin CAD BC cos sin sin( ) 27.3cos 54 40' sin 50 1' sin(54 40' 50 1' ) 150(m)
答：山的高度约为150米。 D
A
B A C D
思考2：一般地，若A，B为不可到达点，应如何设计测量方案计
算A、B两点的距离？
B A D
C
变式：两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在C
北偏东30°，B在C南偏东60°，则A,B之间相距多少km？
高度测量问题 探究（一）：利用仰角测量高度
思考1：设AB是一个底部不可到达的竖直建筑物，A为建筑 物的最高点，在水平面上取一点C，可以测得点A的仰角， 若计算建筑物AB的高度，还需解决什么问题？
B
A
答：A,B两点间的距离约为 米。
C
思考：设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同侧，应如 何设计测量方案计算A、B两点的距离？ 在A所在的河岸边选定一点C ，测出
探究（2）：两个不可到达点的距离测量
例1：
如图： CD= 3 ，并测得∠ACB=75°∠BCD=45°， ∠ADC=30°，∠ADB=45°． A、B、C、D在同一个平面内，则A、B间的距离为多少？
(5)基线：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．
练习题
3．(1)山下 B 点望山上 A 点仰角为 30° ，则山上 A 点望山下 B 点俯角为______． (2) 方 位 角 是 指 从 正 北 方 向 顺 时 针 旋 转 到 达 目 标 方 向 的 水 平 角．若水平面上点 A 处测得点 B 的方位角是 120° ，则点 B 在点 A 东 偏南______方向上．