(完整)九年级数学下册圆小结与复习学案新版湘教版
湘教版九年级下册第二章圆教案(第1-4课时)
湘教版九年级下册第2章圆教案第（1~4课时）第一课时2、1 圆得对称性学习目标：1、理解圆及弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念得定义；2、理解圆既就是轴对称图形又就是中心对称图形、；3、掌握点与圆得位置关系及判定条件、教学重点、难点：1、重点：圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念得理解、2、难点：圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念得区别与联系、教学过程：一、新课引入：1、创设情境、导入新课：圆就是生活中常见得图形,许多物体都给我们以圆得形象、（1）观察以上图形，请大家说说生活中还有哪些圆形，让学生体验圆得与谐与美丽、（2）活动：请同学们在草稿纸上用圆规画圆,体验画圆得过程,想想圆就是怎样形成得、二、新知探究：1、探究一：圆得定义（1）活动：如教材P43图所示，用绳子与圆规画圆；（2）思考：通过用绳子与圆规画圆得过程，您发现了什么？由此您能得到什么结论？（3）凝炼结果：圆得定义及表示方法：如右图:在一个平面内,线段OA绕它固定得一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成得圆形叫做圆、固定得端点O叫做圆心,线段OA叫做半径、以点O 为圆心得圆,记作“⊙O ”，读作“圆O ”、注意:圆指得就是圆周,不就是圆面、2、探究二：点与圆得位置关系：（1）观察：与、、321P P P ⊙O 得位置关系，您发现了点与圆得有哪几种位置关系什么？点P 到圆心O 得距离d 与⊙O 得半径为r有何关系？（2）结论：点与圆得位置关系及性质：一般地,设⊙O 得半径为r ，点P 到圆心O 得距离为d,则有①若点P 在⊙O 内，则d ＜r ；②若点P 在⊙O 上，则d=r ；③若点P 在⊙O 外，则d ＞r 。
（3）点与圆得位置关系得判定方法：数形结合法；①若d ＜r ，则点P 在⊙O 内；②若d=r ，则点P 在⊙O 上；③若d ＞r ，则点P 在⊙O 外。
3、与圆有关得概念：（结合图形理解）(1)弦：连接圆上任意两点得线段叫做弦、(如:线段AB 、AC)(2)直径：经过圆心得弦(如AB)叫做直径、注:直径就是特殊得弦,但弦不一定就是直径、(3)弧得定义及分类:定义：圆上任意两点间得部分叫做圆弧,简称弧、如图,以A 、B 为端点得弧记作,»AB ,读作:弧AB 、分类:①圆得任意一条直径得两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆、②大于半圆得弧,用三个点表示,如图中得¼ABC ,叫做优弧、 小于半圆得弧,用两个点表示,如图中得»AC ,叫做劣弧、 （4）等圆:能够重合得两个圆叫做等圆、注:半径相等得两个圆就是等圆,反过来,同圆或等圆得半径相等、（5）等弧:在等圆或同圆中,能够互相重合得弧叫等弧、 32P 1注:①等弧就是全等得，不仅就是弧得长度相等、②等弧只存在于同圆或等圆中、4、探究三：圆得对称性（1）探究活动：通过教材P44探究1、2，引导学生仔细体会，必要时可通过画图或折叠圆心纸片演示、（2）凝炼结果：①圆就是中心对称图形，圆心就是它得对称中心、②圆就是轴对称图形，任意一条直径所在得直线都就是圆得对称轴、（3）思考车轮为什么做成圆形得?如果车轮不就是圆得(如椭圆或正方形等),坐车人会就是什么感觉?分析:把车轮做成圆形,车轮上各点到车轮中心(圆心)得距离都等于车轮得半径,当车轮在平面滚动时,车轮中心与平面得距离保持不变、因此,车辆在平路上行驶时,坐车得人会感到非常平稳、如果车轮不就是圆得,车辆在行驶时,坐车人会感觉到上下颠簸,不舒服、三、自学成果展示：1、在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=3cm,BC=2cm,以点A为圆心，2cm长为半径作圆，则点C（ C ）A、在⊙A内B、在⊙A上C、在⊙A外D、可能在⊙A上也可能在⊙A外2、（1）以点A为圆心，可以画____个圆、(2)以已知线段AB得长为半径,可以画____个圆、(3)以A为圆心AB长为半径,可以画___个圆、【参考答案】2、(1)无数(2)无数 (3)13、如图,半圆得直径AB=________、【参考答案】3、22第3题图第4题图4、如图，图中共有____条弦、5、如图，就是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆得半径就是2，则其阴影部分得面积之与为(结果保留π)．四、课堂小结：小组交流，共享受收获得喜悦1、师生共同回顾圆得两种定义，弦（直径），弧（半圆、优弧、劣弧、等弧），等圆等知识点、2、通过这节课得学习,您掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流、五、课堂检测：1、下列图形中，对称轴最多得图形就是（）2．已知⊙O得半径就是5，点A到圆心O得距离就是7，则点A与⊙O得位置关系就是（）A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外 D．点A与圆心O重合3、已知⊙O得半径为5，圆心O得坐标为(0，0)，点P得坐标为(3，4)，那么点P与⊙O得位置关系就是（）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外 D．无法确定4、下列图形中，既就是轴对称图形又就是中心对称图形得就是（）5、已知一点到圆得最小距离为1 cm，最大距离为3 cm，则圆得半径为（）A． 1 cm B．2 cm C． 3 cm D．1 cm或2 cm6、已知矩形ABCD得边AB＝6，AD＝8、如果以点A为圆心作⊙A，使B、C、D三点中在圆内与在圆外都至少有一个点，那么⊙A得半径r得取值范围就是（）A．6＜r＜10 B．8＜r＜10 C．6＜r≤8 D．8＜r≤107、如图，⊙O与⊙O′就是任意两个圆，把这两个圆瞧作一个整体，它就是一个轴对称图形，请您作出这个图形得对称轴．8、如图，⊙O中，点A，O，D以及B，O，C分别都在同一条直线上．(1)图中共有几条弦？请将它们写出来；(2)请任意写出两条劣弧与两条优弧．六、课后作业1、布置作业:从教材“习题2、1”中选取、拓展练习：1、在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，AB ＝5，以点C 为圆心，以r ＝3为半径作圆，判断A ，B 两点与⊙O 得位置关2、由于过度采伐森林与破坏植被，我国某些地区多次受到沙尘暴得侵袭．近日，A 市气象局测得沙尘暴中心在A 市正东方向400 km 得B 处，正在向西北方向转移，如图，距沙尘暴中心300 km 得范围内将受其影响，问A 市就是否会受到这次沙尘暴得影响？七、教学反思：第二课时 2、2 圆心角、圆周角（第1课时）2、2、1 圆心角学习目标：1、理解并掌握圆心角得概念、2、掌握圆心角与弧及弦得关系定理、教学重点、难点：1、重点：弧、弦、圆心角之间关系得定理及推论与它们得应用、2、难点：探索定理与推论及其应用、教学过程：一、新课引入1、问题1：如图中,时钟得时针与分钟所成得角与时钟得外围所成得圆有哪些位置关系?教师引导：让学生关键指出两点：一就是角得顶点在圆心,二就是两边与圆相交、2、引入课题：2、2、1 圆心角二、思考探究，获取新知1、学生自学课文：P47,弄清：圆心角得定义（1）圆心角概念：顶点在圆心,角得两边与圆相交得角叫圆心角、如图,∠AOB 叫做AB ︵所对得圆心角, AB ︵叫做圆心角∠AOB 所对得弧、注：圆心角得定义可以简化为:顶点在圆心得角叫圆心角、2、探究：圆心角与弧、弦关系定理（1）探究1：请同学们按下列要求作图并回答下列问题:如图所示得⊙O 中，分别作相等得圆心角∠AOB 与∠A ′OB ′,将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′位置，您能发现哪些等量关系，为什么？学生回答：【教学说明】AB ︵=¼A B ''，AB=A ′B ′、 理由：∵半径OA 与OA ′重合，且∠AOB=∠A ′OB ′，∴半径OB 与OB ′重合、∵点A 与点A ′重合，点B 与点B ′重合，∴AB ︵与¼A B ''重合,弦AB 与弦A ′B ′重合、 ∴AB ︵=¼A B '',AB=A ′B ′、 （2）探究2：同学们思考一下,在等圆中,这些结论就是否成立?学生回答:教师指导：在等圆⊙O 与⊙O ′中分别作∠AOB=∠A ′O ′B ′,然后滚动一个圆,使圆心O 与O ′重合,固定圆心,将其中得一个圆旋转一个角度,使得OA 与O ′A ′重合,∠AOB 与∠A ′O ′B ′重合,则有上面相同结论,AB=A ′B ′, »AB =¼A B ''、（3）凝炼结果：弧、弦、圆心角之间关系得定理:在同一个圆或等圆中,相等得圆心角所对得弧相等,所对得弦相等、（4）推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧与两条弦中有一组量相等,那么它们所对应得其余各组量都分别相等。
九年级数学下册 第二章 圆复习教案 (新版)湘教版
圆教学目标：【知识与技能】掌握本章重要知识.能灵活运用有关定理,公式解决具体问题.【过程与方法】通过梳理本章知识,回顾解决问题中所涉及的数形结合思想,分类讨论思想的过程,加深对本章知识的理解.【情感态度】在运用本章知识解决具体问题过程中,进一步体会数学与生活的密切联系,增强数学应用意识,感受数学的应用价值,激发学生兴趣.【教学重点】回顾本章知识点,构建知识体系.【教学难点】利用圆的相关知识解决具体问题.教学过程：一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构框图，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.教学时，边回顾边建立结构框图.二、释疑解惑，加深理解1.垂径定理及推论的应用垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.拓展:①弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.说明:由垂径定理及其推论,可知对于一个圆和一条直线.如果具备下列五个性质中的两个,那么就具备其余三个性质.这五个性质分别为:①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧.特别注意:此处被平分的弦不能是直径,因为在圆中,任意两条直径总是互相平分的.2.三角形内切圆的半径r,周长l与面积S之间的关系.与三角形各边都相切的圆叫做三角形内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.所以,三角形的内心到三角形三边的距离相等,并且一定在三角形内,三角形有唯一的一个内切圆,而圆有无数个外切三角形.三、典例精析，复习新知例1如图，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，则下列结论中不正确的是（）A.AB ⊥CDB.∠AOB=2∠AODC.»»AD BD =D.PO=PD【分析】∵P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径.∴由垂径定理的推论及“三线合一”的性质即可判断.由题意易判断出D 项结论不正确.例2如图,已知△ABC,AC=BC=6,∠C=90°,O 是AB 的中点,⊙O 与AC 相切于点D,与BC 相切于点E,设⊙O 交OB 于F,连DF 并延长交CB 的延长线于G.(1)∠BFG 与∠BGF 是否相等?为什么?(2)求由DG 、GE 和»ED 所围成图形的面积(阴影部分).解:(1)是.连接OD,∵OD=OF,∴∠ODF=∠OFD,∵⊙O 与AC 相切于点D,∴OD ⊥AC.又∵∠C=90°,即:GC ⊥AC∴OD ∥GC.∴∠BGF=∠ODF,又∵∠BFG=∠OFD,∴∠BFG=∠BGF.(2)如图,连接OE,则四边形ODCE 为正方形,边长为3.∵∠BFG=∠BGF,∴BG=BF=OB-OF=3.∴CG=CB+BG=3+S 阴影=S △DCG -(S 正方形ODCE -S 扇形ODE ）=(22119933(33)24422ππ⨯⨯+--=+- . 例3如图⊙O 的半径为1,过点A （2，0）的直线与⊙O 相切于点B ，交y 轴于点C.(1)求线段AB 的长.(2)求以直线AC 为图象的一次函数的解析式.解:(1)连接OB.∵AC 是⊙O 的切线∴OB ⊥AC,∴AB =(2)过B 作BE⊥OA 于E,∴S △ABO =12·BE·OA=12·OB·AB.∴·OB AB BE OA ===∴12OE===.∴1(,22B.设直线AC的解析式为y=kx+b.则：0222k bkb=+⎧=+⎩∴kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴以直线AC为图象的一次函数的解析式为33y x=-+.四、复习训练，巩固提高1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AP∶PB=1∶4，CD=8，则AB=___.第1题图第2题图2.如图,AB、AC是⊙O的两条切线,切点分别为B、C,D是优弧»BC上的一点,已知∠BAC=80°,那么∠BDC=______.3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点，将△ABC绕点B沿逆时针方向旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中，线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为______.4.如图，已知直线AB：y=-12x+4交x轴于点A，交y轴于点B，O1为y轴上的点，以O1为圆心，经过A、B两点作圆，⊙O1与x轴交于另一点C，AF切⊙O1于点A，直线BD ∥AF交⊙O1于点D，交OA于点E.(1)求⊙O1的半径；(2)求点E的坐标.【答案】1.10 2.50°3.π【解析】连接BH、BH1,则有△BOH≌△BO1H1,由勾股定理，得BH=BH1=,BO=BO1=2,所以阴影部分的面积11221202360HBH BOOS S Sππ=-=⨯-=扇形扇形［］.4.解：（1）连接O1A交BD于点H，设⊙O1的半径为r.∵直线y=-12x+4.∴OB=4,OA=8.∵OO12+OA2=O1A2,∴(r-4)2+82=r2,解得r=10, ∴⊙O1的半径为10.(2)∵AF是⊙O1切线，∴O1A⊥AF.又∵BD∥AF，∴O1A⊥BD,∴»»AD AB=,∵OB⊥AC,∴»»CB AB=,∴»»CB AD=,∴∠EAB=∠EBA,∴EA=EB.设OE=x,则EB=AE=8-x,∵OE2+OB2=BE2,∴x2+42=(8-x)2,解得x=3,∴点E的坐标为（3,0).五、师生互动，课堂小结本堂课你能完整地回顾本章所学的有关圆的知识吗？你学会了哪些相关的证明方法？你还有哪些疑问？【教学说明】教师引导学生回顾本章知识，尽可能让学生自主交流与反思，对于学生的困惑与疑问，教师应予以补充和点评.课后作业：1.布置作业:从教材“复习题2”中选取.2.完成《学法》中本课时的练习.教学反思：本节课通过学习归纳本章内容,以垂径定理、内切圆、两圆相交作公共弦等知识点为支撑,力求以点带面,查漏补缺,让学生对本章知识了然于胸.此外,又通过两个有关切线的例题,加强对重点知识的训练.使学生能在全面掌握知识点前提下,又能抓住重点.湘教版九年级数学第二章圆同步测试一、选择题（10小题）1．若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A︰∠B︰∠C=1︰3︰8，则∠D的度数是A. 10°B. 30°C. 80°D. 120°2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A=40°，则∠B的度数为（）A．80º B．60º C．50º D．40º3．下列说法中，正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧 B．优弧一定大于劣弧C．不同的圆中不可能有相等的弦 D．直径是弦且是同一个圆中最长的弦4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．80°5．⊙O 的半径r ＝5 cm ，圆心到直线l 4 cm ，在直线l 上有一点P ，且PM ＝3 cm ，则点P（A ．在⊙O 内B ．在⊙O 上C ．可能在⊙O 上或在⊙O 内6．如图，若AB 是⊙O 的直径，CD ABD=58°，则∠BCD 度数为（ ）A ．116°B ．32°C ．5842°7．如图，在⊙O 中，AB 是直径，BC 是»BC上任意一点．若AB ＝5，BC ＝3，则AP 的长不可能为（A ．3 B ．4 C ．8．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 2，DE ＝8，则AB 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．9．如图，平行四边形ABCD 的顶点A 、上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，∠ADC ＝70°，连接AE （ ）A ．20°B ．24°C ．25°10．已知⊙O 的半径为cm 2,弦AB 的距离为 （ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题（8小题）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5 cm，BC＝12 cm，则Rt△ABC其外接圆半径为________cm．12．如图所示，A、B、C三点在⊙O上，且AB是⊙O的直径，半径OD⊥AC，垂足为F，若∠A=30°，OF=3，则AC=____________．13．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________．14．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，若∠AOB＝100°，则∠ABD＝．15．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为．16．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若∠C＝50°,则∠BAE= º．17．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC＝25°，则∠CAD的度数为．18．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，BE＝1，∠AED＝30º，则CD的长为 .三、解答题（7小题） 19．如图，以平行四边形ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆交AD ，BC 于点E ，F ，延长BA 交⊙Ｏ于G 。
【湘教版九年级数学下册】第2章小结与复习 精品课件
d＞ r 0个
d=r
1个 切点 切线
d＜ r
2个 交点 割线
三、 圆的基本性质 1. 圆的对称性 圆是轴对称图形，它的任意一条_______ 直径 所在的直 线都是它的对称轴.
2. 有关圆心角、弧、弦的性质. (1)在同圆中，如果圆心角相等，那么
它们所对的弧相等，所对的弦也相等. (2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 两条弧和两条弦中有一组量相等，那么 它们所对应的其余各组量都分别相等.
(3)边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边
形的边心距. (4)中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆 的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
二、与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系
判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离 d 与圆
的半径r比较得到．
设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有 d＜ r d=r
B．点A在☉O上
D．点A不在☉O上
解析：此题需先计算出一元二次方程x2－6x＋8＝0的 两个根，然后再根据R与d的之间的关系判断出点A 与 ☉O的关系.
针对训练
1.如图所示，在圆O中弦AB∥CD，若∠ABC=50°， 则∠BOD等于（ C ） A．50° B．40° C．100° D．80°
2.如图a，四边形ABCD为☉O的内接正方形，点P为 劣弧BC上的任意一点（不与B,C重合），则∠BPC的 度数是 135° . A O D
第2章 圆
小结与复习
要点梳理
一.与圆有关的概念 1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
2.弦:连接圆上任意两点的线段. 3.直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦. 4.劣弧:小于半圆周的圆弧. 5.优弧:大于半圆周的圆弧. ·
数学九年级下湘教版第三章圆教案
3．1 .1 圆第一课时教学目标1．知识与技能：了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．2．过程与方法：从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．3．情感、态度与价值观：经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．重难点、关键1．重点：垂径定理及其运用．2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学）1．举出生活中的圆三、四个．2．你能讲出形成圆的方法有多少种？二、探索新知从以上圆的形成过程，我们可以得出：定义一：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，•另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义二：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．同时，我们又把①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作AC”，读作“圆弧AC”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示ABC叫做优弧，•小于半圆的弧（如图所示）AC或BC叫做劣弧．④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（学生活动）请同学们回答下面两个问题．1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？•你能找到多少条对称轴？2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．3．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的．（学生活动）请同学按下面要求完成下题：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．下面我们用逻辑思维给它证明一下： 已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M 求证：AM=BM ，AC BC =，AD BD =.分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、•OB 或AC 、BC 即可．证明：进一步，我们还可以得到结论：（本题的证明作为课后练习）例1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径． 分析：例1决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．三、巩固练习教材P61 练习 ．四、应用拓展例2．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5面到拱顶距离CD=18m ，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m 理由．分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m•是否需要采取紧急措施，•只要求出DE 的长，因此只要求半径R ，然后运用几何代数解求R ． 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆的有关概念；2．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 3．垂径定理及其推论以及它们的应用． 六、布置作业3.1 圆(第2课时)教学内容1．圆心角的概念．2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．教学目标1．知识与技能了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．2．过程与方法通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．3．情感、态度与价值观经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．重难点、关键1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．2．难点与关键：探索定理和推导及其应用．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下题．已知△OAB，如图所示，作出绕O点旋转30°、45°、60°的图形．A Array BO二、探索新知如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？B '发现：在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？•请同学们现在动手作一作．B ''A A ' (1) (2)你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 我能发现：AB =''A B ，AB=A /B/．现在它的证明方法就转化为前面的说明了，•这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弧也相等．例1．如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ． （1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•为什么？∠AOB与∠COD 呢？D三、巩固练习教材P63 练习．四、应用拓展例2．如图3和图4，MN是⊙O的直径，弦AB、CD•相交于MN•上的一点P，•∠APM=∠CPM．（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．NP(3) (4)五、归纳总结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．圆心角概念．2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．六、布置作业七、教学反思A 3.1 .2圆教学内容1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．教学目标1．知识与技能 ．了解圆周角的概念． 2．过程与方法：理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用． 3．情感、态度与价值观经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题． 重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键：探究圆周角的定理的存在． 教学过程一、复习引入 （学生活动）请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？ 2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等． 二、探索新知问题：如图所示的⊙O ，我们在射门游戏中，设E 、F 是球门，•设球员们只能在EF 所在的⊙O 其它位置射门，如图所示的A 、B 、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言C （2）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=12∠AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．老师点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．（3）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同侧，那么∠ABC=12∠AOC吗？请同学们独立完成证明． 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的． 从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可． 三、巩固练习1．教材P65 动脑筋．2．教材P66 练习．四、应用拓展 例2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠a ，b ，c ，⊙O 半径为R ，求证：sin a A =sin b B =sin c C=2R ．五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 六、布置作业1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题． 六、布置作业七：教学反思3.1.3与圆有关的位置关系(第1课时)教学目标1．知识与技能．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P 在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r及其运用．2．过程与方法：理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．了解反证法的证明思想．3．情感、态度与价值观：经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．复习圆的两种定理和形成过程，并经历探究一个点、两个点、•三个点能作圆的结论及作图方法，给出不在同一直线上的三个点确定一个圆．接下去从这三点到圆心的距离逐渐引入点P•到圆心距离与点和圆位置关系的结论并运用它们解决一些实际问题．重难点、关键1．•重点：点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆其它们的运用．2．难点：讲授反证法的证明思路．3．关键：由一点、二点、三点、•四点作圆开始导出不在同一直线上的三个点确定一个圆．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们口答下面的问题．1．圆的两种定义是什么？2．你能至少举例两个说明圆是如何形成的？3．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？4．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想．二、探索新知由上面的画图以及所学知识，我们可知：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d则有：点P在圆外⇒d>r 点P在圆上⇒d=r 点P在圆内⇒d<r反过来，也十分明显，如果d>r⇒点P在圆外；如果d=r⇒点P在圆上；如果d<r⇒点P在圆内．因此，我们可以得到：Array下面，我们接下去研究确定圆的条件：（学生活动）经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆．（1）作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？（2）作圆，使该圆经过已知点A、B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？（3）作圆，使该圆经过已知点A、B、C三点（其中A、B、C三点不在同一直线上），•你是如何做的？你能作出几个这样的圆？老师在黑板上演示：（1）无数多个圆，如图1所示．（2）连结A、B，作AB的垂直平分线，则垂直平分线上的点到A、B的距离都相等，都满足条件，作出无数个．其圆心分布在AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图2所示．lBA BA(1) (2) (3)（3）作法：①连接AB、BC；②分别作线段AB、BC的中垂线DE和FG，DE与FG相交于点O；③以O为圆心，以OA为半径作圆，⊙O就是所要求作的圆，如图3所示．在上面的作图过程中，因为直线DE与FG只有一个交点O，并且点O到A、B、C•三个点的距离相等（中垂线上的任一点到两边的距离相等），所以经过A、B、C三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆．证明：如图，假设过同一直线L上的A、B、C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线L1，又在线段BC的垂直平分线L2，•即点P为L1与L2点，而L1⊥L，L2⊥L，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．所以，过同一直线上的三点不能作圆．上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设过同一直线上的三点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立．这种证明方法叫做反证法．在某些情景下，反证法是很有效的证明方法．例1．某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．作法：（1）在残缺的圆盘上任取三点连结成两条线段；lmBAC ED OF （2）作两线段的中垂线，相交于一点． 则O 就为所求的圆心． 三、巩固练习 教材P69 练习． 四、应用拓展例2．如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC ，AB=48cm ，CD=30cm ，高27cm ，求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四点，写出作法并求出这圆的半径（比例尺1：10）分析：要求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四个点，应该先选三个点确定一个圆，•然后证明第四点也在圆上即可．要求半径就是求OC 或OA 或OB ，因此，•要在直角三角形中进行，不妨设在Rt △EOC 中，设OF=x ，则OE=27-x 由OC=OB 便可列出，•这种方法是几何代数解．作法分别作DC 、AD 的中垂线L 、m ，则交点O 为所求△ADC 的外接圆圆心． ∵ABCD 为等腰梯形，L 为其对称轴 ∵OB=OA ，∴点B 也在⊙O 上 ∴⊙O 为等腰梯形ABCD 的外接圆 设OE=x ，则OF=27-x ，∵OC=OB= 解得：x=20 ∴，即半径为25m ．五、归纳总结（学生总结，老师点评）本节课应掌握：1． 点和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，则;;.P d r P d r P d r ⇔>⎧⎪⇔=⎨⎪⇔<⎩点在圆外点在圆上点在圆内2．不在同一直线上的三个点确定一个圆． 3．三角形外接圆和三角形外心的概念． 4．反证法的证明思想． 5．以上内容的应用． 六、布置作业七、教学反思：3.2.1 点、直线与圆的位置关系点与圆的位置关系 教学目标：1． 掌握点与圆的位置关系。
【整理】湘教版九年级下册第二章圆教案(第1-4课时)
P1Βιβλιοθήκη P2P3定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧 ,简称弧 .如图 ,以 A 、B 为端点的弧记作 , AB , 读作 :弧 AB. 分类 :①圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆 .
②大于半圆的弧 ,用三个点表示 ,如图中的 ABC ,叫做优弧 .
7、如图，⊙ O与⊙ O′是任意两个圆，把这两个圆看作一个整体，它是一个轴对
A．1 cm
B
． 2 cm
C
．3 cm
D
．1 cm
或 2 cm
6、已知矩形 ABCD的边 AB＝ 6， AD＝8. 如果以点 A 为圆心作⊙ A，使 B、C、D 三
点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙Ａ 的半径 r 的取值范围是（
）
A．6＜r ＜10 B ．8＜r ＜10 C ．6＜r ≤8
D ．8＜r ≤10
圆是生活中常见的图形 ,许多物体都给我们以圆的形象 .
（ 1）观察以上图形，请大家说说生活中还有哪些圆形，让学生体验圆的和谐与 美丽 . （ 2）活动：请同学们在草稿纸上用圆规画圆 ,体验画圆的过程 ,想想圆是怎样形成 的. 二、新知探究： 1、探究一：圆的定义
（1）活动：如教材 P43 图所示，用绳子和圆规画圆； （2）思考： 通过用绳子和圆规画圆的过程， 你发现了什么？由此你能得到什么 结论？ （3）凝炼结果：圆的定义及表示方法：
哪几种位置关系什么？点 P 到圆心 O 的距离 d 与⊙ O 的半径为 r 有何关系？ （ 2）结论：点与圆的位置关系及性质：
一般地 ,设⊙ O 的半径为 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d,则有 ①若点 P 在⊙ O 内，则 d＜r； ②若点 P 在⊙ O 上，则 d=r； ③若点 P 在⊙ O 外，则 d＞r。
九年级数学下册 第2章 圆小结与复习学案 (新版)湘教版
第2章小结与复习【学习目标】1．梳理本章知识，构建知识体系．2．巩固本章所学知识，加强对各知识点的熟练应用． 【学习重点】对本章知识结构的总体认识． 【学习难点】把握有关性质和定理解决问题．情景导入 生成问题知识结构我能建：圆⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧圆的概念圆的有关性质⎩⎪⎨⎪⎧圆的对称性⎩⎪⎨⎪⎧圆是轴对称图形——垂径定理圆是中心对称图形圆心角、弧、弦之间的关系圆周角定理，圆内接四边形与圆有关的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧四边形的外接圆，三角形的外接圆直线与圆位置关系——切线⎩⎪⎨⎪⎧切线长定理三角形内切圆弧长与扇形面积的计算正多边形与圆、作图与计算自学互研 生成能力知识模块一 圆的有关概念及性质的运用【例1】 (黔南中考)如图，直径为10的⊙A 经过点C(0，6)和点O(0，0)，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为__45__．(例1图) (变例2图) (变例3图) 【变例1】 已知P 为⊙O 内部一点且OP ＝3，⊙O 的半径R ＝5，则过点P 的⊙O 的最短的弦长为__8__，最长的弦长为__10__．【变例2】 (包头中考)如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，OB ⊥AC ，若∠BOC＝56°，则∠ADB＝__28__°. 【变例3】 如图，⊙O 的半径为3，△ABC 是⊙O 的内接等边三角形，将△ABC 折叠，使点A 落在⊙O 上，折痕EF 平行于BC ，则EF 长为__2__．知识模块二 圆与切线【例2】 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，∠CDB ＝20°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E 等于( B )A ． 40°B ．50°C ．60°D ．70°(例2图) (变例1图) (变例2图)【变例1】 如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，D 是⊙O 上一点，且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF 的长度为( B )A ．2B ．2 3C . 3D ．2 2【变例2】 如图，O 是△ABC 的内心，过点O 作EF∥AB，与AC ，BC 分别交于点E ，F ，则( C )A ．EF>AE ＋BFB ．EF<AE ＋BFC ．EF ＝AE ＋BFD ．EF ≤AE ＋BF知识模块三 与圆有关的计算【例3】 一个扇形的弧长是12π，它的圆心角是120°，则这个扇形的面积是__108π__.【变例1】 如图，正方形MNEF 的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB 与CD 是大圆的直径，AB ⊥CD ，CD ⊥MN ，则图中阴影部分的面积是( D )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π(变例1图) (变例2图) (变例3图) 【变例2】 如图所示，已知正方形ABCD 的中心为O ，边长为6，E 为正方形ABCD 内部一点，且△EBC 是正三角形，△EBC 的中心为P ，则OP 的长为．【变例3】 (南京中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为__133__．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 圆的有关概念及性质的运用 知识模块二 圆与切线 知识模块三 与圆有关的计算检测反馈 达成目标1．如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF的长度为( B)A．2 B．2 3 C. 3 D．2 22．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为__1∶2∶3__．3．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB的长为8cm，则图中阴影部分的面积为__16π__cm2.课后反思查漏补缺1．收获：____________________________________________________________________2．存在困惑：__________________________________________________________。
新湘教版九年级下册第二章圆教案
一、情境导入，初步认识若∠OAB=50°,圆心角定理是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法.1.教材P56第1、2题一、情境导入，初步认识阅读教材上，并且两边都与圆_________的角叫做圆周角.,_____或_______所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的第2题图第3题图1.教材P56第3~5题.一、情境导入，初步认识则凹面是半圆形状,与该圆⊥AB于E，BD1.教材P57第7~9题.一、情境导入，初步认识能发现图中有哪些等量关系？与垂径定理有关的证明.于1.教材P60第1、2题一、情境导入，初步认识学生就读的学校离家太远,给让三个村到学校的).试求小明家圆形花坛的面积.一条边上的是（）1.教材P63第1、2题一、情境导入，初步认识O的位置关系是1.教材P65第1题.一、情境导入，初步认识有怎样的位置关系？为什么？来得到切线的判定.到直线的距离的大小关系，让学生用自己的以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为（）BE=CF,试本堂课主要学习了切线的判定定理及切线的画法,通过1.教材P75第2~3题.如图，两个圆心图，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦为直径，以O为圆心的半圆为△ABC的角平分线，且一、情境导入，初步认识、PB为⊙O的两条切BPO.BAC的度数是_____.第1题图第2题图外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别为第3题图第4题图,AD,DC,BC都与⊙O相切则∠DOC=______.是⊙O的直径,AM和是它的两条切线,DE切⊙1.教材P75第5题，P一、情境导入，初步认识教师引导学生，作与三角形三边相切的圆，圆心到三角形的三条边的距离相等的度数.第2题图第3题图中，∠C=90°,AC=5，⊙O与Rt△ABC的三边r=2，则△ABC的周长为______.第4题图5题图1.教材P75第6、7题，一、情境导入，初步认识二、思考探究，获取新知在同圆或等圆中,如果圆心角相等那么它们所对的弧长_______.度的圆心角所对的弧长，则这个扇形的半径为（）第4题图第5题图一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线无滑动翻滚1.教材P81页第1题.一、情境导入，初步认识你能求出做这把扇子用了多少纸吗，完成下列各题：求阴影部分的面积.为半径1.教材P81第2、3题动手画一画.段弧，依次连接各分点得六边形ABCDEF，该六边形与正方形、正五边形、正六边形进行探若是轴对称图形，请画出所有对湖北恩施中考）下列图形中，有且只有两条对称轴的中心对称图形是（）求1.教材P86第1、2题一、知识框图，整体把握二、释疑解惑，加深理解1.垂径定理及推论的应用垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧D.PO=PD 第1题图第2题图分别为1.布置作业:从教材“复习题。
九年级数学下册 第2章 圆小结与复习学案 (新版)湘教版
【变例2】 如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则(C)
A．EF>AE＋BFB．EF<AE＋BF
C．EF＝AE＋BFD．EF≤AE＋BF
【例3】 一个扇形的弧长是12π，它的圆心角是120°，则这个扇形的面积是__108π__.
【变例1】 如图，正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB与CD是大圆的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，则图中阴影部分的面积是(D)
交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 圆的有关概念及性质的运用
知识模块二 圆与切 线
【例2】 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于(B)
A． 40°B．50°C．60°D．70°
(例2图) (变例1图) (变例2图)
【变例1】 如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF的长度为(B)
第2章小结与复习
【学习目标】
1．梳理本章知识，构建知识体系．
2．巩固本章所学知识，加强对各知识点的熟练应用．
【学习重点】
对本章知识结构的总体认识．
【学习难点】
把握有关性质和定理解决问题．
情景导入 生成问题
知识结构我能建：
圆
自学互研 生成能力
2023九年级数学下册第2章圆2.2圆心角、圆周角2.2.1圆心角教案(新版)湘教版
- 巩固学生在课堂上学到的圆心角知识点和应用。
- 通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。
- 通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。
拓展与延伸
1. 提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：
- 《几何原本》：建议学生阅读这本书中关于圆心角和圆周角的部分，了解这些概念在几何学中的重要性和应用。
圆心角 = 1/4 × 360°
圆心角 = 90°
所以，圆心角AOB所对的圆心角为90°。
例题4：
已知圆O的半径为8cm，圆心角AOB为150°，求圆心角AOB所对的弦长。
解答：
弦长公式：弦长 = (圆心角 / 360°) × 2r
其中，圆心角AOB为150°，半径r为8cm。
代入公式得：弦长 = (150° / 360°) × 2 × 8cm
- 通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。
- 通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
3. 课后拓展应用
教师活动：
- 布置作业：根据“圆心角”课题，布置适量的课后作业，巩固学习效果。
- 提供拓展资源：提供与“圆心角”课题相关的拓展资源（如书籍、网站、视频等），供学生进一步学习。
- 反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。
弧长 = πcm
所以，圆心角AOB所对的弧长为πcm。
例题2：
已知圆O的半径为10cm，圆心角AOB为60°，求圆心角AOB所对的弦长。
解答：
弦长公式：弦长 = (圆心角 / 360°) × 2r
其中，圆心角AOB为60°，半径r为10cm。
代入公式得：弦长 = (60° / 360°) × 2 × 10cm
最新湘教版初中数学九年级下册第2章小结与复习优质课课件
例：如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径
的⊙O与直角边BC相切于点D.
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．
(1)证明： 连结OD，
∵BC与⊙O相切于点D，∴OD⊥BC. 又∵∠C＝90°，∴OD∥AC，
图32－1
∴∠ODA＝∠DAC.而OD＝OA，
∠ABC的平分线交AD于点E，连结BD、CD.
(1)求证：BD＝CD；
(2)请判断B、E、C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的
圆上？并说明理由． (1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴B⌒D＝C⌒D.∴BD＝CD.
(2)解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.
理由：由(1)知：BD＝CD，∴∠BAD＝∠CBD.
∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠DAC，
即AD平分∠BAC.
(2)解：设圆的半径为R，在Rt△BOD中，BO2＝ BD2 ＋OD2，
切线的判定定理的两种应用
1、如果已知直线与圆有交点，往往要作出过这一 点的半径，再证明直线垂直于这条半径即可；
2、如果不明确直线与圆的交点，往往要作出圆心 到直线的垂线段，再证明这条垂线段等于半径即 可．
切线的性质定理出可理解为:如果一条直线满足以 下三个性质中的任意两个，那么第三个也成立. ①经过切点、②垂直于切线、③经过圆心.
第2章 圆 小结与复习
本章知识结构图
圆的基本性质
圆的对称性 弧、弦圆心角之间的关系 同弧上的圆周角与圆心角的关系
点和圆的位置关系 三角形的外接圆
与圆有关的位置关系
圆
直线和圆的位置关系 切线 三角形内切圆
正多边形和圆
云城区第七中学九年级数学下册 第2章 圆小结与复习课件湘教版
3
2.5
2 1.5
4.如下图 , 圆锥的顶点为P , AB是底面⊙O 的一条 直径 , ∠APB =90° , 底面半径为r , 求这个圆 锥的侧面积和表面积.
解：根据题意易知扇形的弧长（即底面圆周长）为
l= 2 π r = 2 π r ；扇形的半径为 2 r . 所以圆锥的侧面积 S=1 22πr2r=2πr2. 圆锥的表面积 S=2πr2+πr2.
如果〞你”在前面 , 那么谁在后面 ？
了！ 太棒
KEY: 棒
当堂训练
1. 如下图是一个立方体纸盒的展开图 , 使展开图沿 虚线折叠成正方体后相対面上的两个数互为相反数,求:
a _-_2_, b _-_7_, c __1__
2. 〞坚”在下 , 〞就”在后 , 胜利在哪里 ？
坚
持就是
胜
“胜”在上，
D
A
F
A O B
C
B
E
O
C
D
随堂练习
圆的有关概念及性质 选自《创优作业》
1.（张家界中考）如图, 在☉O 中, AB 是直径, AC 是弦,
连接OC, 若∠ACO ＝30°, 则∠BOC 的度数是（ D ）
A. 30°
B. 45°
C. 55°
D. 60°
选自《创优作业》
2. 如图, M 是 CD 的中点, EM ⊥ CD ．若 CD ＝ 4,
根据底面图形的边数 , 我们分别称图中的立体 图形为直三棱柱、直四棱柱、直五棱柱、直六棱柱. 例如 , 长方体和正方体都是直四棱柱.底面是正多边
做一做
收集几个直棱柱模型 , 再把侧面沿 一条侧棱剪开 , 它们的侧面能否展开成 平面图形 , 是矩形吗 ？
【教育资料】湘教版数学九年级下册导学案：第2章 圆的复习课2(导案)(无答案)学习精品
湘教版九年级下册数学导学案第2章圆的复习与小结（2）【学习目标】1．了解点与圆，直线与圆以及圆和圆的位置关系．2．了解切线的概念，切线的性质及判定． 3．会过圆上一点画圆的切线．重点：1．探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系．2．探索切线的性质；能判断一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．难点：探索各种位置关系及切线的性质．【预习导学】1.确定圆的条件(1)要确定一个圆，其就是确定圆的和，圆就随之确定．（2）经过一个点可以作个圆．（3）经过两点也可以作个圆．（4）经过在同一直线上的三点圆．（5）经过不在同一直线上的三点只能作圆．【探究展示】1．点和圆的位置关系（1）点和圆的位置关系有三种，即点在圆外；点在圆上；点在圆内．（a）当d＜r时，；（b）当d＝r时，；（c）当d＞r时，．2．直线和圆的位置关系（1）直线和圆的位置关系也有三种，即、、，当直线和圆有两个公共点时，此时直线与圆；当直线和圆有且只有一个公共点时，此时直线和圆；当直线和圆没有公共点时，此时直线和圆．一种就是从公共点的个数来判断，上面已知讨论过了，（2）另一种是比较圆心到直线的距离d与半径的大小．（a）当d＜r时，；（b）当d＝r时，；（c ）当d ＞r 时， ．3.切线的性质和判定．(1) 切线的性质是：圆的切线 于过切点的半径（或直径）．(2) 切线的判定是：经过直径的 ，并且 这条直径的直线是圆的切线．(二)展示提升1．矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上吗？为什么？2．⊙O 的半径r ＝5cm ，圆心O 到直线l 的 距离d ＝OD ＝3 m ．在直线l 上有P 、Q 、R 三点，且有PD ＝4cm ，QD ＞4cm ，RD ＜4cm ，P 、Q 、R 三点对于⊙O 的位置各是怎样的？3．如图，点A 的坐标是(－4，3)，以点A 为圆心，4为半径作圆，则⊙A 与x 轴、y 轴、原点有怎样的位置关系？4．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝9，D 是AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 切AC 于点E ，求AD 的长．【知识梳理】以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.本节课我们复习巩固了两种位置关系，即点和圆的位置关系；直线和圆的位置关系；切线的性质与判定以及判断四点是否共圆．【当堂检测】1．菱形各边的中点在同一个圆上吗？ 2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，∠CAE ＝∠B，你认为AE 与⊙O 相切吗？为什么？ 3.如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠ACB ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，求图中阴影部分的面积．【学后反思】通过本节课的学习，1.你学到了什么？E GH2.你还有什么样的困惑？3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？。
2023九年级数学下册第2章圆2.1圆的对称性教案(新版)湘教版
3.数学建模：引导学生运用圆的对称性解决实际问题，培养学生的数学建模能力。
4.数据分析：通过对圆的对称性数据进行分析，提高学生的数据分析能力。
5.数学抽象：使学生能从具体情境中抽象出圆的对称性概念，培养学生的数学抽象能力。
6.数学运算：在探索圆的对称性过程中，运用数学运算解决相关问题，提高学生的数学运算能力。
2.过程与方法：
-学生通过小组讨论和实践活动，培养了合作能力和沟通技巧。
-学生能够运用观察、分析和归纳等方法，探索和发现圆的对称性规律。
-学生能够运用数学软件和教具，增强对圆的对称性的直观理解。
3.情感态度与价值观：
-学生对圆的对称性产生了浓厚的兴趣，提高了学习数学的积极性。
-学生能够认识到数学与现实生活的联系，培养了应用数学解决实际问题的意识。
-计算：圆的对称性质可以用于解决几何问题，如圆的直径和半径的长度计算，以及圆的周长和面积的计算
教学反思与改进
本节课结束后，我进行了深刻的教学反思，旨在评估教学效果并识别需要改进的地方。
首先，在知识讲解方面，我注意到部分学生在理解和掌握圆的对称性定义和性质方面存在困难。为了提高学生的理解能力，我计划在未来的教学中采用更多的实例和实际问题来辅助讲解，帮助学生更好地理解和应用圆的对称性。
学情分析
九年级的学生经过之前的学习，已经具备了一定的数学基础，对几何图形有了一定的认识和理解。他们已经学习了直线、射线、平面几何等基本概念，并掌握了一定的证明方法和性质。这为学习圆的对称性提供了基础知识。
学生在知识方面，已经掌握了基本的代数知识和几何知识，能够理解和运用代数表达式和几何图形的性质。他们具备了一定的逻辑思维能力，能够进行简单的证明和推理。然而，对于圆的对称性这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和引导来理解和掌握。
湘教版九年级下《圆》学案
第三章圆3.1.1 圆的对称性（一）一、自学导航1、圆是平面内到一定点的等于的所有点组成的图形，这个定点叫做，定长叫做。
2、连结圆上任意两点的线段叫做，经过圆心的弦叫做。
3、圆是旋转对称图形，即圆绕圆心旋转都能与自身重合；圆也是中心对称图形，是它的对称中心；圆还是轴对称图形，都是它的对称轴。
4、垂径定理：垂直于弦的直径弦。
二、问题探究1、在白纸的圆上画任意一条直径，把白纸沿着这条直径所在直线折叠，观察圆的两部分是否互相重合，这体现圆具有什么样的对称性？2、如下图，你能利用圆的轴对称性证明：垂直于弦的直径平分这条弦吗？三、综合运用1．下列说法错误的是（）A．圆是中心对称图形，圆心是对称中心B．圆是旋转对称图形C．圆是轴对称图形，直径是对称轴D．圆有无数条对称轴2、已知⊙O的半径为R,弦AB的长也是R,则∠AOB的度数是_________.3、圆的一条弦把圆分为5: 1 两部分, 如果圆的半径是2cm, 则这条弦的长是_____cm.4、如图3—1,半径为2cm的⊙O中有长为的弦AB,则∠AOB的度数为( ) A. 60° B. 90°C. 120°D. 150°5．如图3—2,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个6．如图3—3,A是半径为5的⊙O内一点,且OA＝3,过点A且长小于8的弦有( )A. 0条B. 1条C. 2条D. 4条BAOBPAO图3—1 图3—2图3—37．如图，⊙O中，弦AB的长为6cm，⊙O到AB的距离为4cm，求⊙O的半径。
图3—４8．如图3—4,AB 是⊙O 的弦(非直径),C 、D 是AB 上两点,并且AC ＝BD.试判断OC 与OD 的数量关系并说明理由.DCBAO图3—５９．如图3—5,AB 是⊙O 的直径,P 是AB 上一点,C 、D 分别是圆上的点,且∠CPB ＝DPB,且弧BD ＝弧BC ,.则线段PC 、PD 相等吗？请说明理由。
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第2章小结与复习
【学习目标】
1．梳理本章知识，构建知识体系．
2．巩固本章所学知识，加强对各知识点的熟练应用． 【学习重点】
对本章知识结构的总体认识． 【学习难点】
把握有关性质和定理解决问题．
情景导入 生成问题
知识结构我能建：
圆⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧圆的概念
圆的有关性质⎩⎪⎨⎪⎧圆的对称性⎩
⎪⎨⎪
⎧圆是轴对称图形——垂径定理圆是中心对称图形圆心角、弧、弦之间的关系
圆周角定理，圆内接四边形
与圆有关的位置关系⎩⎪⎨
⎪⎧
四边形的外接圆，三角形的外接圆直线与圆位置关系——切线⎩
⎪⎨⎪
⎧切线长定理三角形内切圆弧长与扇形面积的计算
正多边形与圆、作图与计算
自学互研 生成能力
知识模块一 圆的有关概念及性质的运用
【例1】 (黔南中考)如图，直径为10的⊙A 经过点C(0，6)和点O(0，0)，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为__4
5
__．
(例1图) (变例2图) (变例3图) 【变例1】已知P为⊙O内部一点且OP＝3，⊙O的半径R＝5，则过点P的⊙O的最短的弦长为__8__，最长的弦长为__10__．
【变例2】(包头中考)如图，点A，B，C，D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC＝56°，则∠ADB＝__28__°.
【变例3】如图，⊙O的半径为3，△ABC是⊙O的内接等边三角形，将△ABC折叠，使点A落在⊙O上，折痕EF平行于BC，则EF长为__2__．
知识模块二圆与切线
【例2】如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于( B)
A． 40°B．50°C．60°D．70°
(例2图) (变例1图) (变例2图) 【变例1】如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF的长度为( B)
A．2 B．2 3 C. 3 D．2 2
【变例2】如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则( C)
A．EF>AE＋BF B．EF<AE＋BF
C．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF
知识模块三与圆有关的计算
【例3】一个扇形的弧长是12π，它的圆心角是120°，则这个扇形的面积是__108π__.
【变例1】如图，正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB与CD是大圆的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，则图中阴影部分的面积是( D)
A．4πB．3πC．2πD．π
(变例1图) (变例2图) (变例3图) 【变例2】 如图所示，已知正方形ABCD 的中心为O ，边长为6，E 为正方形ABCD 内部一点，且△EBC 是正三角形，△EBC 的中心为P ，则OP 的长为__3－3__．
【变例3】 (南京中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为__13
3
__．
交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一圆的有关概念及性质的运用
知识模块二圆与切线
知识模块三与圆有关的计算
检测反馈达成目标
1．如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF的长度为( B)
A．2 B．2 3 C. 3 D．2 2
2．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为__1∶2∶3__．
3．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB的长为8cm，则图中阴影部分的面积为__16π__cm2.
课后反思查漏补缺
1．收获：____________________________________________________________________
2．存在困惑：__________________________________________________________。