63东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-排列组合二项式定理(理)B

排列、组合、二项式定理（教案）A

一、知识点梳理

1．排列、组合、二项式知识相互关系表

2．两个基本原理

（1）分类计数原理中的分类； （2）分步计数原理中的分步；

正确地分类与分步是学好这一章的关键。 3．排列

（1）排列定义，排列数

（2）排列数公式：系 =

=n·(n－1)…(n－m+1)；

（3）全排列列： =n!；

（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 4．组合

（1）组合的定义，排列与组合的区别； （2）组合数公式：C n m

==；

（3）组合数的性质 ①C n m

=C n

n-m

；②；③rC n r

=n·C n-1

r-1

；④C n 0+C n 1+…+C n n =2n

；

⑤C n 0

-C n 1+…+(-1)n

C n n

=0，即 C n 0

+C n 2

+C n 4

+…=C n 1

+C n 3

+…=2n-1

；

5．二项式定理

（1）二项式展开公式：(a+b)n =C n 0a n +C n 1a n-1b+…+C n k a n-k b k +…+C n n b n

；

（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：T k+1=C n k a n-k b k

； 6．二项式的应用

（1）求某些多项式系数的和； （2）证明一些简单的组合恒等式；

（3）证明整除性。①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；

（4）近似计算。当|x|充分小时，我们常用下列公式估计近似值：

m

n A )!

(!

m n n -n

n A )!(!!m n m n -1

2)1(1)

m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n r

n r n r n C C C 11+-=+

①(1+x)n ≈1+nx；②(1+x)n

≈1+nx+

x 2

；（5）证明不等式。 二、题型探究

[探究一]：计数原理

例1．完成下列选择题与填空题 （1）有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有 种。 A ．81 B ．64 C ．24 D ．4 （2）四名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是（ ）

A ．81

B ．64

C ．24

D ．4 （3）有四位学生参加三项不同的竞赛，

①每位学生必须参加一项竞赛，则有不同的参赛方法有 ； ②每项竞赛只许有一位学生参加，则有不同的参赛方法有 ；

③每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有一位学生参加，则不同的参赛方法有 。

例2．（06江苏卷）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）。

[探究二]：排列问题

例3．（1）（06北京卷）在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）

（A ）36个 （B ）24个 （C ）18个 （D ）6个 （2）（06福建卷）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（ ）

2

)1( n n 1,2,3,4,5

（A）108种（B）186种（C）216种（D）270种（3）（06湖南卷）在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（）

A．6 B. 12 C. 18 D. 24

（4）(06重庆卷)高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）（A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040

例4．（1）（06天津卷）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有个（用数字作答）；

（2）（06上海春）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.

[探究三]：组合问题

例5．（1）(06重庆卷)将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（）

（A）３０种（B）９０种（C）１８０种（D）２７０种（2）（06天津卷）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A．10种B．20种C．36种D．52种

例6．（1）(06陕西卷)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有 种；

（2）（06全国II ）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（ ）

（A ）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种

[探究四]：排列、组合的综合问题

例7．平面上给定10个点，任意三点不共线，由这10个点确定的直线中，无三条直线交于同一点（除原10点外），无两条直线互相平行。求：（1）这些直线所交成的点的个数（除原10点外）。（2）这些直线交成多少个三角形。

例8．已知直线ax+by+c=0中的a,b,c 是取自集合{－3,－2,－1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。

[探究五]：二项式定理

例9．（1）（湖北卷）在的展开式中，的幂的指数是整数的项共有 A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项 （2）的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是 （A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）

6

24

(x x 10

)31(x

x -